TEMA Nº 1. VECTORES. CÁLCULO VECTORIAL

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Profesor: A. Zaragoza López Página 1

TEMA Nº 1. VECTORES. CÁLCULO VECTORIAL

NOTA: Para acceder a los videos y páginas Webs propuestas PISAR CONTROL y PINCHAR en el video o página Web seleccionada.

Video Obligatorio: Iniciación a vectores y operaciones con vectores http://www.youtube.com/watch?v=m0ykWZbFZJg

La temática vista en el video anterior intentaremos explicarla con el siguiente contenido:

1.- Estudio de las Magnitudes.( pág. Nº 1)

2.- Magnitudes Escalares y Vectoriales.(pág.nº 2) 3.- Estudio de los Vectores.(pág. Nº 4)

3.1.- Clasificación de vectores.(pág. Nº 7)

3.2.- Componentes cartesianas de un vector. Cosenos Directores.

(Pág. Nº 9)

4.- Vector Unitario. ( pág. Nº 16) 5.- Operaciones con vectores.

5.1.- Suma de Vectores.(pág. Nº 21) 5.2.- Diferencia de vectores.(pág. Nº 32)

5.3.- Producto escalar de dos Vectores.(pág. Nº 37) 5.4.- Producto vectorial de dos Vectores.(pág. Nº 46) 6.- Aplicaciones de la multiplicación de Vectores.

6.1.- Proyección de un vector A sobre otro B.(pág. Nº 61) 6.2.- Cálculo del Área de un triángulo.(pág. Nº 67)

6.3.- Cálculo del Área de un paralelogramo.(pág. Nº 76)

6.4.- Cálculo del volumen de un paralelepípedo. Producto Mixto de tres vectores.(pág. Nº 80)

7.- Momento de un Vector respecto a un punto. Teorema de Varignon (Pág. Nº 84)

1.- Estudio de las Magnitudes.

Magnitudes Físicas

http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/magnitudes/magnitud es.html

(2)

Magnitud

http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/medi da/magnitudes.htm

Magnitud

http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html

Las

Magnitudes

son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas, por ejemplo una temperatura, una longitud, una fuerza, la corriente eléctrica, etc.

Estudiemos la siguiente experiencia:

La policía de tráfico que está en carreta recibe un mensaje del helicóptero de apoyo que dice: Coche, de tales características, marcha a una velocidad de 120 Km/h en zona de velocidad limitada a 50 Km/h.

con conducción temeraria.

Se espera que la policía salga a la búsqueda del conductor que está infringiendo la ley. La pregunta es la siguiente ¿ con los datos aportados pueden hacer su trabajo?

El comunicado aporta un número y una unidad (120 Km/h) pero no aporta los datos vectoriales necesarios que establezcan las características del movimiento del coche, tales como la dirección y el sentido del movimiento, por lo que la policía no podrá realizar su trabajo, es decir, no podrá salir a la búsqueda del conductor infractor.

2.- Magnitudes Escalares y Vectoriales.

Video: Animaciones sobre Magnitudes Escalares y vectoriales http://www.youtube.com/watch?v=PqNlCvfZ9H0

Magnitudes Escalares y Vectoriales

http://quimicayalgomas.com.ar/fisica/magnitudes-vectoriales-y- escalares

http://www.fisicapractica.com/magnitudes.php

(3)

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml

Con esta experiencia realizada en el apartado nº 1 llegamos a la conclusión de que las magnitudes las podemos clasificar en:

a) Magnitudes escalares.- Son aquellas que para su completa definición sólo necesitan de un número, seguido de una unidad en que la medimos. Este es el caso de la temperatura, masa, longitud para las cuales basta con indicar los grados, los gramos o los metros de una distancia.

b)

Magnitudes vectoriales.-

Son aquellas que para quedar definidas necesitan más que un simple número. Precisan, además, una dirección y un sentido. Si se trata de las fuerzas además necesitamos un punto de aplicación. Son ejemplos de estas magnitudes: velocidad, aceleración y fuerza, entre otras.

La fuerza es la típica magnitud vectorial. Para conocer los efectos de una fuerza cuando se aplica a un objeto, es necesario saber su punto de aplicación, su dirección, sentido y el módulo o intensidad con la que dicha fuerza llega al cuerpo. Es decir, no es suficiente con decir que la fuerza vale o tiene un módulo de 42 N (Newton).

La diferencia entre magnitudes Escalares y Vectoriales radica en el hecho de que:

a) Magnitud Escalar es aquella que queda perfectamente definida con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.

b) Magnitud Vectorial es aquella que para quedar perfectamente definida, además de la cantidad expresada mediante un número y una unidad se necesita indicar la dirección y el sentido en que actúan.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante la sigla de la magnitud con una flecha encima. La fuerza es una magnitud vectorial, la representaremos de la forma F.

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3.- Estudio de los Vectores.

Hemos hablado de magnitudes vectoriales y ello nos obliga a conocer lo que es un

VECTOR

.

Vectores

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html Definición de Vectores

Vectores

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html

Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

B ( Extremo)

●

A ( Origen )

●

Elementos de un vector:

1.- Dirección de un vector

La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Concretamente la dirección viene determinada por el ángulo que forma la recta que contiene el vector con el eje OX.

Y

B

α = Ángulo = Dirección

A

X

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2.- Sentido de un vector

El sentido del vector AB es el que va desde el origen A al extremo B. Se determina mediante la punta de flecha.

A B (SENTIDO)

3.- Módulo de un vector

El módulo del vector AB es la longitud del segmento AB . Se representa por AB .

●B

A AB

●

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Calculemos el módulo de un vector

:

Para ello llevaremos el vector AB a unos ejes de coordenadas cartesianas en el plano.

Y

B(x₁y₁)

y1 ●

AB y1 - yo

A(xoyo) yo ●

x1 - xo

xo x₁ X

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Si aplicamos el teorema de Pitágoras:

AB ² = ( x₁ – x₀ )² + ( y₁ – y_o )²

AB = [ ( x1 – x0)² + ( y1 – yo )²]^1/2

Ejercicio resuelto

Calcular el módulo del vector AB sabiendo que A es el punto de coordenadas A(2,1) y B el punto de coordenadas B(-3,2). ¿Tendrá el mismo módulo AB el vector BA?.

Resolución xo,yo

A(2,1) AB [ ( x1 – xo ) , ( y1 – yo )] ; AB [ ( -3 – 2 ) , ( 2 – 1 ) ] x₁,y1

B(-3,2) AB ( -5 , 1)  Expresión del vector AB en función de sus componentes cartesianas

AB

= [(-5)² + 1²]^1/2 ;

AB = (25+1)^1/2 ;

AB = 5.1 u u = unidades de la magnitud vectorial

Vector BA:

xo,yo

B(-3,2)

x1,y1 BA [ ( 2 – ( -3) , ( 1 – 2 )] ; BA = ( 5,-1) A(2,1)

BA = [ 5² + (-1)²]^1/2 ; BA = ( 25 + 1 )^1/2 ; BA = (26)^1/2

BA = 5,1 u

Los vectores AB y BA tienen el mismo módulo. Como veremos más adelante se trata de vectores opuestos, es decir, aquellos que tienen la misma dirección pero el sentido contrario.

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3.1.- Clasificación de vectores.

Clasificación de Vectores

https://sites.google.com/site/vectoresfisica/clasificacion-de-vectores Clasificación de vectores

http://estrategias-para-aprender.globered.com/categoria.asp?idcat=36 Clasificación de vectores (BUENO)

http://laplace.us.es/wiki/index.php/2.8._Ejemplo_de_clasificaci%C3%

B3n_de_vectores

Podemos establecer la siguiente clasificación de vectores:

1.- Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido lo que implica que sean paralelos.

A

B

2.- Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido y se pueden trasladar paralelamente a sí mismos.

A C

B

D

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3.- Vectores Deslizantes

Son aquellos que se pueden trasladar sobre la recta en que se apoyan, es decir, a lo largo de su dirección

A A

4.- Vectores fijos

Son aquellos cuyo punto de aplicación, dirección y sentido son fijos e invariables.

y

A

●

X

5.- Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

A

B

6.- Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

A

B

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7.- Vector Posición

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector posición del punto P.

y

P

OP

O X

3.2.- Componentes cartesianas de un vector (R2 y R3)

Componentes de un Vector

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html Componentes de un vector

Componentes de un Vector

http://www.educaplus.org/movi/1_3componentes.html Componentes cartesianas de un vector en 2D y 3D

http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2008/profesores_newton/pr acticas_newton/p3/Eda2008%20Newton/conchi_

Componentes cartesianas de un vector

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Componentes_cartesianas_de_un_v ector_(G.I.A.)

Tenemos el vector AB, tiene como origen es el punto A y extremos el punto B. El punto A tienen de coordenadas A(3,2) y el punto B(-1,-3).

Determinar las coordenadas o componentes cartesianas del vector AB.

Las coordenadas del vector AB las podremos obtener restando a las coordenadas del Punto extremo, B, las coordenadas del origen, A.

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(x₁,y₁) B(-1,-3)

(xo,yo) AB = [ ( x1 – xo ) , ( y1 – yo )] AB [ ( x1 – xo ) , ( y1 – yo) ] A(3,2) Observar que podemos utilizar el signo “igual” propio del mundo de las Matemáticas, o no utilizarlo, más en el mundo de la Física.

Para nuestro ejemplo en concreto:

AB [ ( -1 – 3 ) , ( -3 – 2) ] ; AB ( -4,-5)

Veremos otras formas de obtener las Componentes de un vector.

Trabajaremos primero en el plano:

Al proyectar el vector V

sobre los ejes de coordenadas V obtenemos las

Vy componentes cartesianas del

vector V

Vx

Utilizando la equipolencia entre V vectores hemos podido

Vy descomponer el V en sus componentes Vx, Vy Vx

Podemos entonces establecer vectorialmente que:

V = Vx + Vy (1) V ( Vx , Vy )

V

Vy

Vx

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Como vimos en el ejercicio anteriormente realizado podemos construir un triángulo rectángulo en donde:

Por Pitagoras:

Vy V Vy V ² = Vx ² + Vy ²

Vx

En el mismo ejercico se vió como se calculaban los módulos de las componentes Vx y Vy del vector V.

Las Componentes Vx y Vy también se pueden conocer realizando la proyección de V sobre cada uno de los ejes de coordenadas.

Y

Vy V Vy

α

Vx X

Aplicando trigonometría:

sen α = Vy / V ; Vy = V . sen α

De la misma manera podemos llegar a la conclusión:

cos α = Vx / V ; Vx = V . cos α

Ya que estamos metidos con ángulos es importante conocer los llamados COSENOS DIRECTORES. Veamos la razón.

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La

dirección

del vector es la

dirección de la recta que contiene al vector

o de cualquier recta paralela a ella.

Me da la sensación de que sabemos pintarla pero no sabemos realmente que es y además es muy normal confundir dirección y sentido de un vector.

Volvamos al grafico:

Y

Vy β V Vy

α

Vx X

Hemos introducido otro ángulo, β, el que forma la componente Vy con el vector V.

Geométricamente:

cos α = Vx / V cos β = Vy / V

cos α y cos β se conocen como COSENOS DIRECTORES.

Conociendo los cosenos directores podremos determinar los ángulos que forma el vector con los ejes de coordenadas y como consecuencia la dirección del vector.

Como conclusión: la

Dirección

del vector viene dada por los cosenos directores y como conclusión del ángulo que forma la recta que contiene al vector con los ejes de coordenadas.

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Matemáticamente se cumple:

cos

²

α + cos

²

β = 1 (1)

La demostración es fácil de entender siempre y cuando recordemos que:

cos α = | Vx | / | V | cos β = | Vy | / | V |

Llevadas estas ecuaciones a la ecuación (1) anterior, nos quedaría:

[ | Vx |/ | V | ]² + [ | Vy | / | V | ]² = 1 | Vx |²/ | V |² + | Vy |² / | V |² = 1 | Vx |² + |Vy |² / | V |² = 1 Si recordamos que | V |² = | Vx |² + | Vy |²

Nos quedaría:

| V |

²

/ | V |

²

= 1

que es lo queríamos demostrar.

Al trabajar en el espacio (3D) todo vector tiene tres componentes.

Vamos a dibujar un poco:

Z ^Vz V

^Vy

Z

^Vx X

Vectorialmente:

V ( Vx , Vy , Vz )

(14)

| V |² = | Vx |² + | Vy |² + | Vz |²

Si queremos conocer los vectores directores:

Z ^Vz

γ V β

α ^Vy Z

^Vx X

Geométricamente:

cos α = | Vx | / | V | cos β = | Vy | / | V | cos γ = | Vz | / | V | Cumpliéndose:

cos

²

α + cos

²

β + cos

²

γ = 1

Hallar los cosenos directores del vector u (2,2,1).

Resolución

cos α = ux / u cos β = uy / u cos δ = uz / u

u = ( 2² + 2² + 1²)^1/2 ; u = 3

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cos α = 2/3 ; cos β = 2/3 ; cos δ = 1/3 Ejercicio resuelto

Dados los vectores u ( 3,1,-1) y v (2,3,4), hallar:

a) Módulos de u y v.

b) Vector unitario en la dirección y sentido del vector u.

c) Cosenos directores de v,

d) Demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores del vector v es igual a la unidad.

a) u = ( u²x + u²y + u²z)^1/2 ; u = ( 3² + 1² + (-1)²]^1/2 ; u = (11)^1/2 v = ( v²x + v²y + v²z )^1/2 ; v = ( 2² + 3² + 4²)^1/2 ; v = (29)^1/2 b) u = u . a ; a = vector unitario del vector u

a = u / u ; a (ax,ay,az)

ax = 3/(11)^1/2 ; ay = 1/(11)^1/2 ; az = -1/(11)^1/2 a = 3/(11)^1/2 i + 1/(11)^1/2 j - 1/(11)^1/2 k

c) cos α = vx / v = 2/(29)^1/2

cos β = vy / v = 3/(29)^1/2

cos δ = vz/ v = 4/(29)^1/2

d) [ 2/(29)^1/2]² + [ 3/(29)^1/2]² + [ 4/(29)^1/2]² =

= 4/29 + 9/29 + 16/29 = (4 + 9 + 16 ) / 29 = 29/29 = 1

Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k ; v = 2 i - 6 j + K y z = 8 i + j - 3 k, hallar sus módulos y sus cosenos directores.

Resolución

u = [ 3² + (-2)² + 3²] ; u = (22)^1/2 ; u = 4,69 v = [ 2² + (-6)² + 1²] ; v = (41)^1/2; v = 6,4

(16)

z = [ 8² + 1² + (-3)²]^1/2 ; z = (74)^1/2 ; z = 8,6 Vector u:

cos α = ux/u ; cos α = 3/4,69 ; cos α = 0,63 cos β = u_y/u ; cos β = (-2)/4,69 ; cos β = - 0,42 cos δ = uz/u ; cos β = 3/4,69 ; cos δ = 0,63 Vectores v y z igual que u.

4.- Vector Unitario.

Vamos a introducirnos en un nuevo tipo de vector:

Vectores Unitarios

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml Vectores Unitarios

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html Vector Unitario

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_5.html Vector Unitario y Vector Nulo

http://www.xenciclopedia.com/post/Fisica/Vector-unitario-y-Vector- nulo.html

Vector Unitario

Los vectores unitarios tienen por módulo la UNIDAD.

Normalizar un vector A consiste en obtener otro vector unitario u, de la misma dirección y se sentido que el vector dado:

A

u

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Para determinar el vector unitario nos basamos en: Todo vector es igual al modulo de dicho vector por el vector unitario en la dirección y sentido del mismo.

A = A . u ; u = A / A u = Vector Unitario

Ejemplo resuelto

Dado el vector V(3,4) determinar el vector unitario de su misma dirección y sentido.

Resolución

u = V / V (2)

V = ( 3² + 4²)^1/2 ; V = (25)^1/2 = 5

Si nos vamos a la ecuación (1):

u = V / V ; u = (3,4)/5 = ( 3/5 , 4/5 )

Con los vectores unitarios tenemos otra posibilidad de representar un vector. Volvamos a la gráfica:

Y

Vy V

Vx

(18)

y vamos a normalizar el vector V:

Y

Vy V

j α

i Vx X

i es el vector unitario de la componente x del vector V.

j es el vector unitario de la componente y del vector V.

Se estableció que:

V = Vx + Vy y ahora sabemos que:

i = Vx / Vx ; Vx = Vx . i j = Vy / Vy ; Vy = Vy . j La expresión:

V = Vx + Vy La podemos transformar en:

V = Vx . i + Vy . j

Ejemplo

Dado el vector V de componentes (3,-5), normalizarlo.

Normalizar un vector consiste en ponerlo en función de sus vectores unitarios, es decir, manifestar las componentes del vector V en función de sus componentes según los ejes de coordenadas.

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V = 3 . i + (-5) . j ; V = 3 . i - 5 . j

Sabiendo que el punto A es A(-3,-2) y que el vector AB es AB (9,5) determinar las coordenadas del punto B.

Resolución

AB = [ (xB – xA) , (yB – yA) ] (9,5) = [(x_B – (-3)) , ( y_B – (-2))]

9 = xB + 3 ; xB = 9 – 3 = 6 ; xB = 6

Punto B(6,3) 5 = yB + 2 ; yB = 5 – 2 = 3 ; yB = 3

El vector AB viene determinado por las componentes (-11,8). Sabemos que el punto extremo es B(-7,5). Determinar el punto origen A

Resolución

AB = [ (xB – xA) , (yb – yA) ] ; AB = [ ( -7 – xA ) , ( 5 – yA) ] -11 = -7 – xA ; xA = 4 ; 8 = 5 – yA ; yA = -3  A(4,-3)

Calcula el valor de “k” sabiendo que el módulo del vector V(k,3) es 5.

Resolución

| v | = ( k² + 3²)^1/2 ; 5 = ( k² + 3²)^1/2 ; 25 = K² + 9 ; k² = 16 ; k = ±4 Son válidos los dos valores de “k”.

Normalizar los siguientes vectores: u (1, 2^1/2) ; v ( -4,3 ) y w (8,-8).

Resolución

(20)

Normalizar un vector consiste en hallar el vector unitario en su misma dirección y sentido. Por tanto:

a) u ( 1, 2^1/2) ; a ( ax , ay)  a (ax,ay) vector unitario de u Se cumple:

u = | u | . a ; a = u / | u | ax = ux / | u | ; ay = uy / | u |

| u | = [ 1² + (2^1/2)² ]^1/2  | u | = 3^1/2 ax = 1 / 3^1/2 ; ay = 2^1/2 / 3^1/2 ; ay = (2/3)^1/2

a (ax,ay)  a = ax i + ay j  a = 1/ 3^1/2 i + (2/3)^1/2 j b) Igual a a).

c) Igual a a).

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4,-3) , B(3,0) y C(0,1).

Resolución

Podremos clasificar el triángulo en función de las longitudes de sus lados. Hasta el momento no podemos clasificar el triángulo en función de los ángulos.

En función de las longitudes de los lados, los triángulos se pueden clasificar en:

a) Equiláteros.- Los tres lados iguales.

b) Isósceles.- Dos lados iguales y uno distinto.

c) Escaleno.- Los tres lados diferentes.

(21)

Dicho esto, que nuestro triángulo es:

C(0,1) Podemos transformar el triángulo en tres vectores:

B(3,0)

A(4,-3)

C

B

A CB = | CB | ; CB [ (3 – 0 ) , (0 – 1)] ; CB (3,-1) BA = | BA | BA [ (4 – 3) , (-3 – 0 ) ] ; BA (1,-3) AC = | AC | AC [ ( 0 – 4 ) , ( 1 – (-3))] ; AC (-4,4)

| CB | = [( 3² +(-1)²]^1/2 ; | CB | = (10)^1/2

| BA | = [( 1² + (-3)²]^1/2 ; | BA | = ( 10)^1/2

| AC | = [(-4)² + 4²)] ; | AC | = (32)^1/2

Conclusión: Se trata de un tiángulo Isósceles.

Si V es un vector de componentes (3,4), hallar el vector unitario en su misma dirección y sentido.

Resolución

Recordemos que:

u = Vector Unitario u = V / V  u ( ux,uy ) V (Vx,Vy)

(22)

^1/2

V = Vx ² + Vy ² ; V = [ ( 3² + 4² ]^1/2 = 5

u_x = Vx / V ; ux = 3/5

u_y = V_y/ | V | ; u_y = 4 / 5

Luego el vector unitario del vector V es:

u ( 3/5,4/5)  u = 3/5 i + 4/5 j Ejercicio resuelto

Dado el vector u (2,-1), determinar dos vectores equipolentes a u, AB y CD, sabiendo que A(1,-3) y D(2,0).

Resolución

Si nos basamos en la equipolencia de vectores tenemos que conocer que los tres vectores u , AB, CD tienen el mismo módulo. Esto nos permite establecer:

B(x1,y1) AB [ ( x1 – 1), (y1 – (-3) )]

AB [ ( x1 – 1 ) (y1 +3) ] Como:

A(xo,yo) u = AB ; u y AB deben tener las mismas componentes:

(2,-1) = [ (x₁ – 1 ) , ( y₁ + 3) ] 2 = x₁ – 1 ; x₁ = 2 + 1 ; x₁ = 3

-1 = y1 + 3 ; y1 = -1 – 3 = -4 ; y1 = -4 Luego el punto B es B(3,-4)

Por tanto AB [(3 – 1),( -4 – (-3))] ; AB ( 2, -1)

AB = 2 i - j

(23)

Profesor: A. Zaragoza López Página 23 D(x₃,y₃) CD [(x₃ – x₂ ), ( y₃ – y₂)]

CD [(2 – x2 ) , ( 0 – y2 ) ]

Por las mismas razones del vector AB:

(2,-1) = [ (2-x2),(0-y2]

2 = 2 – x2 ; x2 = 0 C(x2, y2) -1 = 0 –y2 ; y2 = 1

El punto C será C(0,1) y el vector CB [ ( 2 – 0 ) , ( 0 – 1) ] CB ( 2 , -1 ) ; CB = 2 i - j

Si trabajamos en el espacio todo vector tiene tres componentes como se pone de manifiesto en la figura siguiente:

Z

Vz

V

k Vy i j

Y Vx

X

Podemos escribir al igual que en el plano: V ( Vx , Vy , Vz ) Componentes cartesianas.

También podemos establecer la igualdad: V = Vx + Vy + Vz En fución de los vectores unitarios: V = Vx i + Vy j + Vz k Como en el plano, se cumple que el módulo de V es:

| V | = [ |Vx|² + |Vy|² + |Vz|²]^1/2

(24)

Calcular el vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector v(-1,1,2).

Resolución

v = [ (-1)² + 1² + 2²]^1/2 ; v = ( 6 )^1/2 = 2,44

5.1.- Suma de Vectores.

Video: Suma de vectores

http://www.youtube.com/watch?v=Jk3PhjaNSvw

Suma de Vectores

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml Suma y resta de Vectores

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html Suma de Vectores

http://www.jfinternational.com/mf/suma-vectores-fisica.html Suma de vectores.

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/cinematica2/cin2d02.

htm

Podemos realizar la suma de vectores mediante dos formas:

a) Gráficamente.

b) Vectorialmente.

Gráficamente:

Supongamos los vectores F1 y F2, que forman entre ellos un ángulo α, como muestra la figura adjunta:

F1

α

F2

La suma de estos dos vectores concurrentes en sus puntos origen la podemos realizar mediante la regla del paralelogramo. Consiste en

(25)

trazar desde el extremo del primer vector un vector paralelo al segundo vector y trazar desde el extremo del segundo vector otro paralelo al primer vector:

F₁ S S = F₁ + F₂ Suma vectorial S = Vector Suma F2

Puede ocurrir la circunstancia que los vectores sean concurrentes en el extremo de uno de los vectores y el origen del otro:

F2

F1

S = F₁ + F₂

Si nos basamos en las características de los vectores deslizantes y vectores equipolentes podremos utilizar la regla del paralelogramos y llegar a las mismas conclusiones que en el primer método gráfico:

F2

F₁

S = F₁ + F₂

(26)

Deslizaremos el vector F1:

F1

F₂

Aplicamos ahora la regla del paralelogramo:

F1

S = F1 + F2

F₂

S = F1 + F2

Los dos vectores S comprobar que son equipolentes, es decir, mismo módulo, misma dirección y mismo sentido.

Podríamos suponer que las dos fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo pero no son vectores concurrentes:

(27)

Deslizamos los dos vectores hasta que concurran en un punto:

Podemos aplicar la regla del paralelogramo:

F1

S = F1 + F2

F2

Otra circunstancia que nos podemos encontrar es determinar la suma o resultante del conjunto de vectores de la gráfica adjunta:

F2 F4

F1 F5

(28)

El vector suma es un vector que tiene su origen en el origen del primer vector y su extremo en el extremo del último vector:

F2 F3

F1 F4

S = F1 + F2 + F3 + F4

Este vector suma se puede obtener gráficamente por deslizamiento, equipolencia de vectores y regla del paralelogramo:

F2 F3

F₁ F₄ S = F1 + F2 + F3 + F4

Deslizamos F1:

F1

F2 F3

F4

S = F₁ + F₂ + F₃ + F₄

Aplicamos la regal del paralelogramo entre F1 y F2:

F1

F12 F3

F₂

F₄ S = F1 + F2 + F3 + F4

(29)

A continuación haremos lo mismo con F12 y F3 hasta llegar a la F123 con F4 y obtendremos un vector equipolente al vector Suma.

Mediante el

Teorema del coseno

podemos establecer el módulo del vector suma:

B

F1

S F1

β α

O F2 A

Tomemos el triángulo OAB y apliquemos el Teorema del coseno:

S

²

= F

₁²

+ F

₂²

– 2 F

₁

. F

₂

. cos β

“α” y “β” son ángulos suplementarios y se cumple:

cos β = - sen α

S² = F1 2 + F2

2 – 2 F1 . F2 . ( - cos α ) S² = F1

2 + F2

2 + 2 . F1 . F2 . cos α S = ( F12

+ F22

+ 2 . F1 . F2 . cosα)^1/2

Todo lo que hemos hecho hasta el momento es el trabajo con vectores desde el punto de vista gráfico, obteniendo el módulo de la resultante de un conjunto de vectores. Hemos utilizado el módulo de todos los vectores aplicados hasta el momento.

Encuentre el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud sabiendo que su resultante tiene 20 unidades de longitud.

Resolución

(30)

Recordar:

S = ( F1 2 + F2

2 + 2 . F1 . F2 . cos α)^1/2 F1 = 10 udl

F₂ = 15 udl 20² = 10² + 15² + 2 . 10 . 15 . cos α S = 20 udl 400 = 100 + 225 + 300 cos α

400 – 100 – 225 = 300 cos α ; 75 = 300 cos α cos α = 75/300 ; cos α = 0,25  α = 75,5 ^o

La pregunta es ¿ si me piden obtener el módulo del vector suma pero parto de las componentes de los dos vectores y no del módulo?

Utilizaremos el método Vectorial:

Encuentre el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50º con el vector mayor.

Resolución

B F1 = 8 S F1 = 8

50^o α+50 O F₂ = 10 A

En el triángulo OAB de la figura anterior y por el teorema del coseno:

F1

2 = S² + F2

2 – 2 . S . F1 . cos α ; 64 = ( S² + 100 – 2 . S . 10 cos 50º)^1/2

64 = S² + 100 – 12,8 S ; S² – 12,8 S +36 = 0 S = 12,8 ± ( 163,84 – 144)^1/2 / 2

S = 12,8 ± 4,45 / 2

S1 = (12,8 + 4,45) /2 = 8,62 S₂ = (12,8 – 4,45) / 2 = 4,17

(31)

Vectorialmente tomaremos S₁. Es menor que el valor de F₂ pero mayor que F1. Lo que no se puede cumplir es que el módulo del vector suma sea inferior al valor de los vectores individualmente.

Conociendo el valor del S podemos aplicar la ecuación de la suma de dos vectores para obtener un vector resultante S:

S₂ = F₁² + F₂² + 2 . F₁ . F₂ . cos α 8,62² = 8² + 10² + 2 . 8 . 10 . cos α 74,3 = 64 + 100 + 160 . cos α 74,3 – 64 – 100 = 160 cos α

-89,7 = 160 cos α ; cos α = -89,7 / 160 ; cos α = -0,56 α = 124,1^o

Supongamos dos vectores F₁ y F₂, en función de sus componentes:

F1 = F1x i + F1y j + F1z k

Recordemos : S = F1 + F2

F2 = F2x i + F2y j + F2z k

S = (F1x i + F1y j + F1z k) + ( F2x i + F2y j + F2z k) = = ( F1x + F2x ) i + ( F1y + F2y ) j + ( F1z + F2z ) k Su módulo:

S = [ (F1x + F2x)² + ( F1y + F2y )² + ( F1z + F2z )² ]^1/2

Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k , v = 2 i - 6 j + k y

z = 8 i + j - 3 k. Determinar el vector unitario en la dirección y el sentido del vector s = u + v + z.

Resolución

(32)

S = ( 3 i - 2 j + 3 k) + ( 2 i - 6 j + k ) + ( 8 i + j – 3 k ) S = 13 i - 7 j + k

S = [( 13² + ( -7)² + 1²)]^1/2 ; S = 14,8

Recordemos que todo vector es igual al módulo de dicho vector por el vector unitario en la dirección y sentido del vector:

S = S . u ; u = S/ S

u = (13 i – 7 j + k)/ 14,8 ; u = 13/14,8 i - 7/14,8 j + 1/14,8 k

5.2.- Diferencia de vectores.

Video: Suma y resta de vectores. Método gráfico y analítico http://www.youtube.com/watch?v=PuMfJalqorY

Resta de vectores

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml Resta de Vectores

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html

Gráficamente

Supongamos dos vectores, F₁ y F₂ en el gráfico siguiente:

F1

D = F2 – F1

F2

También podría ser:

F1 D = F1 – F2

F2

(33)

Fijaros en las puntas de flecha, son las que determinan el minuendo y el sustraendo de la ecuación de la Diferencia de vectores.

En los dos casos no podemos aplicar la regla del paralelogramo puesto que esta lo que nos permite es conocer gráficamente la suma de dos vectores. Sin embargo si encontráramos algún camino para poder aplicar dicha regla el problema estaría resuelto.

Consideremos el primer caso:

F1

D = F2 – F1

F2

Vamos a sumar a F2 el vector opuesto a F1:

F1

D = F₂ – F₁ -F1 F2

S = F2 + (-F1)

Ahora sí podemos aplicar la regla del paralelogramo:

S = F2 + (-F1) = F2 – F1 = D

El vector S y el vector D son vectores equipolentes (mismo módulo y paralelos).

Podríamos hacer lo mismo con el segundo caso.

Podemos poner un ejemplo en donde trabajando directamente con los módulos de las fuerzas y sabiendo que en la diferencia entre vectores la regla del paralelogramo no se podía utilizar directamente, la fórmula final para obtener la Diferencia la obtenemos del Teorema del coseno y por lo tanto de la regla del paralelogramo:

(34)

Sobre un cuerpo de masa 500 g actúan dos fuerzas, F1 y F2, según el diagrama:

F1 = 10 N F2 = 25 N

Determinar la el espacio recorrido a los 10 s de iniciado el movimiento.

Cinemáticamente:

e = eo + Vo . t + ½ . a . t² como eo = 0 y Vo = 0  e = ½ . a . t²

Necesitamos conocer la aceleración que adquiere el cuerpo y según el 2º Principio de la Dinámica nos dice:

F = m . a

Conocida la fuerza podremos obtener la aceleración. Para obtener la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo volveremos a la gráfica inicial:

α = 180^o

F1 = 10 N F2 = 25 N

Según el diagrama de fuerzas, la fuerza resultante es la diferencia de las dos fuerzas (15 N), pero quiero que veáis como utilizando el teorema del coseno, que en una diferencia de vectores no se podía aplicar directamente, nos lleva a ese valor de la fuerza resultante que todos tenéis en mente:

FR = ( F2 2 + F1

2 + 2. F2 . F1 . cos α)^1/2

(35)

α = 180^o  cos 180^o = -1 FR = ( F2

2 + F1

2 + 2 . F1 . F2 . cos α)^1/2 FR = ( F2

2 + F1

2 + 2 . F1 . F2 . cos 180^o)^1/2 FR = [ F2

2 + F1

2 + 2 . F1 . F2 . (-1)]^1/2 FR = ( F2

2 + F1

2 - 2 . F1 . F2 )^1/2

FR = [( F2 - F1 )²]^1/2 ; FR = F2 – F1

La fuerza que actúa sobre el cuerpo vale:

F_R = 25 – 10 = 15 N La aceleración adquirida valdrá:

FR = m . a ; a = FR / m ; a = 15 N/0,500 Kg ; a = 30 m.s^-1 El espácio recorrido será:

e = ½ . a . t² ; e = ½ . 30 . 10² = 1500 m

Si

no trabajamos con módulos

de vectores sino con componentes de los vectores:

F₁ = F_1x i + F_1y j + F_1z k

F2 = F2x i + F2y j + F2z k

D = F1 – F2 = ( F1x i + F1y j + F1z K) – ( F2x i + F2y j + F2z k)

D = ( F_1x – F_2x) i + (F_1y – F_2y) j + (F_1z – F_2z) k

El módulo del vector Diferencia será:

D = [ (F_1x – F_2x)² + (F_1y – F_2y)² + (F_1z – F_2z)²]^1/2

(36)

Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k , v = 2 i - 6 j + k , determinar:

a) El vector unitario en la dirección y sentido del vector D1 = u – v.

b) El vector unitario en la dirección y sentido del vector D2 = v - u Resolución

u = 3 i - 2 j + 3 k v = 2 i - 6 j + 1 k

a) D₁ = u - v

u

D1 = u - v

v

D1 = ( 3 i - 2 j + 3 k) – ( 2 i - 6 j + k) = = (3 -2) i + [(-2 – (-6)] j + ( 3- 1) k = = i + 4 j + 2 k

Recordemos:

D1 = D1 . a a = vector unitario de D1 a = D1/D1

Calculemos el módulo del vector D₁:

D1 = ( 1² + 4² + 2²)^1/2 ; D1 = (21)^1/2 = 4,58

a = (i + 4 j + 2 k)/ 4,58 ; a = 1/4,58 i + 4/4,58 j + 2/4,58 k a = 0,21 i + 0,87 j + 0,43 k

(37)

u D2 = v - u

v u = 3 i - 2 j + 3 k

v = 2 i - 6 j + 1 k D2 = v - u

D2 = ( 2 i - 6 j + k) – ( 3 i - 2 j + 3 k) D2 = ( 2 – 3 ) i + [(-6) – (-2)] j + (1 – 3 ) k D₂ = - i - 4 j - 2 k

D2 = D2 . b ; b = vector unitario D2 b = D2/D2

b = (2 i - 6 j + k)/D2

D₂ = [( 2² + (-6)² + 1²)]^1/2 ; D₂ = ( 41)^1/2 = 6,4 b = 2/6,4 i - 6/6,4 j + 1/6,4 k

b = 0,31 i - 0,93 j + 0,15 k

5.3.- Producto escalar de dos Vectores.

Video: Producto de un escalar por un vector http://www.youtube.com/watch?v=6yn44Yrtxyo Producto de un Escalar por un Vector

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml Suma y resta de vectores. Producto de un escalar por un vector

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/cinematica2/cin2d02.

htm

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

Es un nuevo vector de la misma dirección, del mismo sentido y de módulo tantas veces mayor o menor, según sea el escalar ( entero o quebrado).