TEMA 6 Movimiento oscilatorio

TEMA 6

Movimiento oscilatorio

1.- Movimiento armónico simple (M.A.S.) 2.- Oscilaciones amortiguadas

3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia

1.- Movimiento armónico simple

1.1.- Estudio dinámico del M.A.S.

1.2.- Estudio cinemático del M.A.S.

• Posición, velocidad y aceleración

• Representación de Fresnel

1.3.- Estudio energético del M.A.S.

1.4.- Ejemplos de M.A.S.

• Péndulo simple

• Péndulo físico

• Péndulo de torsión

1.1.-Estudio dinámico del M.A.S.

El M.A.S. es la situación ideal de una oscilación perfecta, repetida de forma indefinida en el tiempo.

Para hacer el estudio dinámico, veamos el ejemplo de una masa en un muelle, que ilustra muy bien el M.A.S.

mg kx

→ →

∑ F = m a

En esta situación de equilibrio

mg-kx

= 0 DSL

(sólo hay movimiento en una dirección, llamémosla x)

→ →

∑F = ma

Si ahora estiramos adicionalmente el muelle (situación fuera del equilibrio):

= ••

+x ) mx

mg-k(x _o

mg − kx

− kx = m

x

= ••

−kx mx x 0

m x+ k =

••

Por la condición de equilibrio

Siempre que tengamos una ecuación diferencial de la forma:

0 x

c

x + =

••

magnitud de posición derivada dos veces

respecto al tiempo

cte.

magnitud de posición sin derivar

en que la aceleración sea proporcional al desplazamiento, estaremos ante un M.A.S., donde c se suele escribir como ω

0 mx

x+ k =

••

En el caso anterior:

0 x x+ω²₀ =

••

m

2

k

0

=

ω m

0

= k

con: ω

1.2.- Estudio cinemático del M.A.S.

La solución de la ecuación diferencial vista es:

(

)

= A sen t

x(t) _{0 0}

t cos

C t sen C

x(t) = ₁ ω₀ + ₂ ω₀

o también:

m

0 = k ω

siendo:

≡ frecuencia angular (natural) del sistema

(A

, ϕ) ó (C

, C

) ≡ constantes de integración

(dependen de las condiciones iniciales)

● Posición, velocidad y aceleración

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/shm/shm_s.htm

- Analicemos la expresión que nos da la posición de la partícula:

(

)

= A sen t

x(t) _{0 0}

◙ A

≡amplitud  máxima elongación (respecto a la posición de equilibrio)

◙ ϕ ≡desfase (también llamado cte de fase, fase inicial, etc.)

Notemos que en t = 0  x(t=0)=x

=A

senϕ

ϕ viene dado por las condiciones iniciales (c.i.)

— Si el movimiento empieza en t=0:

x(t=0)=0=A

senϕ senϕ=0 ϕ = 0

— Si la partícula en t=0 está en la posición máxima:

x(t=0)=A

=A

senϕ sen ϕ=1 ϕ = π /2 Así:

ϕ > 0

“adelanto” de la onda

( )

x(t) = ₀ ω₀

(

)

sen A

x(t) = ₀ ω₀ +π

◙ T ≡periodo

El tiempo que transcurre entre dos posiciones análogas (de máx. a máx., de mín. a mín., etc.) se denomina periodo.

Puesto que se repite el valor de x, eso es equivalente a que la fase aumente en 2π:

(

)

(

)

sen _{0 0}

π

= ω

=

ν T 2

1 ₀

Así:

π + ϕ + ω

= ϕ + +

ω₀(t T) ₀t 2

0

T 2 ω

= π

π

= ω₀T 2

≡ periodo (en segundos)

◙ ν ≡ frecuencia

Se define como el nº de oscilaciones en un segundo. Así:

1 oscilación

ν 1 s

T (segundos)

0 (unidades S.I. de ν ≡ s = Hertz)

- A partir de la posición derivemos para obtener la velocidad de la partícula:

(

)

= A sen t

x(t) _{0 0}

Puesto que:

derivando:

( ω + ϕ )

ω

=

= x

A cos t

v

De nuevo se trata de una sinusoide. Notemos que:

( )

(

)

Así:

( ω + ϕ )

= A cos t

x(t)

(

)

(

)

cos A

x

v = ^• = ₀ω₀ ω₀ +ϕ = ₀ω₀ ω₀ +ϕ+π

Por tanto, la velocidad es una sinusoide:

• de amplitud A

ω

• adelantada π/2 respecto a la posición

- A partir de la velocidad derivemos para obtener la aceleración de la partícula:

Puesto que:

derivando:

(

)

ω

=

= x^• A cos t

v _{0 0 0}

La aceleración es por tanto una sinusoide:

• de amplitud A

ω

• en oposición de fase a la posición

(

)

(

)

ω

−

=

= ^••x A sen t A sen t

a ₀ ²_{0 0 0} ²_{0 0}

Cuestión 6.1

Considérese una masa de 100 g unida a un muelle (k=100

N/m). En el instante inicial la posición de la masa está

situada a 1 cm de la posición de equilibrio y tiene una

velocidad hacia la izquierda de 50 cm/s. Escribir la

ecuación del MAS correspondiente.

● Representación de Fresnel

Veamos una representación interesante del MAS. Consideremos una partícula en una circunferencia de radio A

con movimiento circular uniforme de velocidad angular ω

(constante). Esta partícula se representa por su vector de posición o fasor.

La proyección de este movimiento sobre el eje x es:

x=A

sen(ω

t+ϕ)

Al recorrer Q (extremo del

fasor) la circunferencia, la

proyección P recorre el eje

x pasando por los extremos

A

y –A

de forma

oscilatoria.

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/shm/shm_s.htm

La velocidad de la partícula Q tiene módulo ω

A

y es un vector tangente a la circunferencia en cada punto

v=A

ω

cos(ω

t+ϕ)

La aceleración de la partícula Q (aceleración centrípeta únicamente) es un vector de módulo ω

A

dirigido hacia el centro de la circunferencia en cada punto

a=-A

ω

sen(ω

t+ϕ) La proyección de este vector

velocidad sobre el eje x es: La proyección de este vector

aceleración sobre el eje x es:

1.3.- Estudio energético del M.A.S.

La energía mecánica es (se trata de un

sistema conservativo):

mv 1 2 U 1 E

E_m = _c + = ² + ² =

donde: x ⁼ A

sen ( ^ω

t ^{+ ϕ} ) ; v ⁼ A

^ω

cos ( ^ω

t ^{+ ϕ} )

( ) ( )

( ) ( )

[

]

02

2 0 02 2 o

20 02 2

m 2

2kA t 1

sen t

cos 2kA

1

t sen

2kA t 1

cos 2mA

kx 1 2 mv 1

2 E 1

= ϕ + ω +

ϕ + ω

=

= ϕ + ω +

ϕ + ω ω

= +

=

Así:

(ya que: k=mω

)

02

m kA

2

E = 1 E^m ∝ A⁰²

Tenemos entonces:

m

0 = k ω

http://www.edumedia-sciences.com/es/a229-conservacion-de-la-energia

Cuestión 6.2

Un cuerpo de 1.5 kg que alarga un muelle en 2.8 cm

respecto a su longitud natural cuando cuelga de él en

reposo, oscila con una amplitud de 2.2 cm. Calcula la energía

cinética máxima del cuerpo.

1.4.- Ejemplos de M.A.S.

● Péndulo simple

Consideremos una masa unida a un hilo inextensible:

Estudio dinámico: ∑

F = m

a 1.- Equilibrio:

2.- Fuera del equilibrio:

mg T

T-mg=0

mg

mgcosθ mgsenθ

t) n)

n) T–mgcosθ=mv

/L

α

=

= θ

−mgsen ma mL

t) _t

0 L sen

g θ = +

θ^•

•

T

1.- Equilibrio

2.- Fuera del equilibrio

Esto no es un MAS. Sólo si θ muy pequeño se tiene:

θ ↓↓  sen θ ≈ θ

M.A.S.

Como ya hemos visto, la solución es:

L

0 = g

(

)

=

θ(t) _maxsen ₀t

g 2 L T = π

Estudio energético del péndulo simple:

L 0 g θ = +

θ^•

•

con:

sen 2 2 mgL )

cos 1

mgL(

) cos mg(L-L mgh

U

2 θ

= θ

−

=

= θ

=

=

2 2

C m L

2 mv 1

2

E 1 



 

 θ

=

= ^•

E

=cte=E

+U

Así:

2 cte mgLsen

2 2mL

1 mgLsen 2

2 L

2m U 1 E

E

E^m _C ^{2 2 2 2 2} θ =

+ θ θ =

 +



 

 θ

= +

=

≡ ^{• •}

2 2

mL ) 2 mgLsen 2

2 dt (E

d θ

− θ =

= θ^•

sen 2 mgL

2 E L

g 4

d 2)

mgLsen 2

mL (E 2 dt d

2 2 2

− θ

= θ

− θ

= θ

sen 2 mgL

2 E

d g

L 2 dt 1

2 θ

−

= θ

http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.html

Notemos que es una función periódica de límites 0 y 1. Por consiguiente: será:

mgLsen 2 2

U ² θ

=

Nótese que:

■ Si E>2mgL  movimiento no oscilatorio (movimiento circular)

■ Si E<2mgL  movimiento oscilatorio

Calculemos el periodo:











 θ +



 

 +

 θ



 

 + π

θ =

−

∫ θ θ =

−

∫ θ

∫ =

= ^{θ θ}

...

2 8 sen

3 sen 2

2 1 1 g 2 L

sen 2 mgL

2 E d g

2 L sen 2

mgL 2 E

d g

L 2 4 1 dt T

max 2 4

max 2 2

0 2 0 2

T 0

max max

sen² 2θ

● Péndulo físico

Un péndulo físico es cualquier masa volúmica no puntual (sólido rígido) que oscila en torno a un cierto punto de sí misma.

Estudio dinámico: tenemos una fuerza (el peso) aplicada en el C.M. que da lugar a un giro en torno al punto O:

→ →

α

∑M =I

0 I sen

mgL θ = +

θ^•

• 2

2

dt I d

M θ

∑ =

→ →

→ = d x F

M M = mgLsenθ

donde hacemos los cálculos respecto al punto O.

El momento del peso respecto a O es:

Es un momento recuperador: si θ>0  M<0

θ

−

= mgLsen M

θ

− θ =

mgLsen dt

Id ₂

2

Así:

Esto tampoco es un M.A.S., excepto si θ muy pequeño, en cuyo caso:

θ ↓↓  senθ ≈ θ

M.A.S.

La solución es:

I

0 = mgL

(

)

=

θ(t) _maxsen ₀t

mgL 2 I

T = π I 0

mgL θ = +

θ^•

•

con:

● Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión consiste en una masa unida a un hilo que está girado (torsionado). Debido a la torsión el hilo gira y se produce un movimiento oscilatorio.

Con el giro se produce un momento recuperador (que es proporcional al ángulo girado):

θ 0 Ι θ

+ τ =

•

τθ

−

= θ =

dt M I d ₂

2

siendo τ ≡ cte de torsión del hilo

θ

∝

M

M = − τθ

Estudio dinámico:

MAS

0 I

= τ ω

(

)

θ

=

θ(t) _maxsen ₀t π τ

=2 I

con:

Por tanto:

La solución es:

Cuestión 6.3

Un péndulo simple de 0.55 m de largo se mueve 7º a un lado

y se suelta. ¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar

su velocidad máxima?

2.- Oscilaciones amortiguadas

2.1.- Estudio dinámico con amortiguamiento 2.2.- Análisis del movimiento con

amortiguamiento

• Amortiguamiento débil

• Amortiguamiento crítico

• Amortiguamiento supercrítico

Hasta ahora hemos considerado la situación ideal en la que el movimiento es indefinido, pero en realidad observamos que la oscilación cesa al cabo de unos segundos. El movimiento está amortiguado.

2.1.- Estudio dinámico con amortiguamiento

Hay muchos tipos de amortiguamiento, dependiendo del rozamiento. Nosotros vamos a considerar una situación en la que la fuerza de rozamiento de la masa sujeta a un muelle sea proporcional a la velocidad:

v - f = γ

Dimensiones de γ:

(Unidades en el S.I.  kg.s

)

1

MT-

[v]

] [F]

[γ = =

donde γ es una constante.

En esta situación (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle), la ecuación dinámica será:

→ →

∑F = ma

m x

= − kx − γ v 0

kx x x

m

+ γ

+ =

0 m x

x k

x mγ + =

+ ^•

•

• ^•x^•+2βx^•+ω²₀x = 0

2 m ; m

2 k

0 = β = γ

2 ω ω0

2β

con:

El parámetro se denomina parámetro de amortiguamiento.

m 2

= γ β

Dimensiones de β  T

(Unidades de β en el S.I.  s

)

La solución de esta ecuación diferencial depende del valor de β(γ) frente a ω

:

Si β<ω

 amortiguamiento débil

Si β=ω

 amortiguamiento crítico

Si β>ω

 amortiguamiento supercrítico

2.2.- Análisis del movimiento con amortiguamiento

0 x x

2

x^•+ β ^•+ω²₀ =

•

Tenemos que resolver la ecuación dinámica que hemos obtenido:

● Amortiguamiento débil

En este caso la solución es:

con:

La amplitud no es constante (ya no es un M.A.S.)

El movimiento no es estrictamente periódico, no existe un periodo estricto, aunque se puede considerar:

' T 2

ω

= π

Matemáticamente, la amplitud se hace nula sólo en el infinito. Sin embargo, en la realidad se observa que el sistema pierde toda la energía y se para.

( β < ω

)

t 0

e

A

A(t) =

● Amortiguamiento crítico

Si nos fijamos en la ecuación anterior, ω´ sería cero y no estaría definida una frecuencia. De hecho, la solución no es oscilatoria. La solución es:

t 1 -

0

A t)e (A

x(t) = +

A

, A

≡ constantes de

integración (dependen de las c.i.)

Interés: diseño de sistemas para que no haya vibraciones y se tienda rápidamente a una situación de equilibrio (amortiguadores, etc.)

( β = ω

)

● Amortiguamiento supercrítico o sobreamortiguado

De nuevo, si nos fijamos en la solución de ω´ de la situación 1, ω’ sería imaginario. Así, la solución no viene dada por funciones sinusoidales sino por funciones senh (que en esencia son exponenciales):

t 2 -

t

1e- ¹ A e ² A

x(t) = ^ω + ^ω

A

, A

≡ constantes de integración (dependen de las

c.i.)

( β > ω

)

20 1 = β+ β2 −ω ω

20 2 = β− β2 −ω ω

con:

Cuestión 6.4

El periodo de la oscilación lineal amortiguada de una masa

de 200 g que cuelga de un resorte ideal de constante 150

N/m es 0.52 s. Calcular la constante de amortiguamiento γ.

3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia

3.1.- Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas

3.2- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas

3.3.- Resonancia

• Resonancia en amplitud

• Resonancia en potencia

3.1.- Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas

Como hemos visto, en la situación real la oscilación de una partícula no se mantiene al provocar o dar una fuerza momentánea, ya que cesa al cabo de unos segundos (amortiguamiento). Si queremos mantener la oscilación debemos mantener la fuerza  apliquemos una F=F(t)

Un caso concreto e interesante será una fuerza sinusoidal:

t sen F

F(t)

F = = ₀ ω

Así, consideremos que F=F(t) sea:

La ecuación dinámica (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle) es entonces:

→ →

∑F = ma

m x

= − kx − γ x

+ F(t)

F(t) x

kx x

m + + γ =

t sen t

m sen x F

2 x

x

+ ω

+ β

=

ω = α

ω

•

m F

0

= con: α

La solución consta de dos partes:

— Solución de la parte homogénea 0

x x

2

x

+ β

+ ω

=

•

La solución de esta ecuación ya la hemos visto, depende del tipo de amortiguamiento. Consideremos el caso de amortiguamiento débil (β<ω

):

) 't sen(

e A (t)

x

=

ω + ϕ

— Solución particular

Si se sustituye en la ecuación diferencial, se obtiene:

) t Asen(

(t)

x_p = ω −δ

) m

4 ( )

A (

2 2 2 20

0 2

2 2

2 20

0

 

 

 +  γω ω

− ω

= α ω β + ω

− ω

= α

) m(

tg 2

2 0

20

ω − ω

= γω ω

− ω

= βω δ

Como vemos, tenemos:

ω

, m ≡ dependen del sistema

β (γ) ≡ depende del amortiguamiento

ω , α ≡ características de la fuerza externa

(Para ω=ω

→ δ vale siempre π/2)

La solución general es, por tanto:

) t Asen(

) ' t

sen(

e A

x(t) = ₀ ^-βt ω +ϕ + ω −δ

(A

, ϕ  c.i.) parte temporal parte “permanente”

transitorio ( 0 si t ↑)

parte temporal

parte “permanente”

3.2.- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas

La frecuencia permanente o

estacionaria es la de la

fuerza aplicada (ω)

3.3.- Resonancia

● Resonancia en amplitud

) m

(

A 2

2 2 20

0



 

 + γω ω

− ω

= α

m 0 )

( d

d _{2 2 2} ²

0  =



 

 + γω ω

− ω ω

Al cabo de un cierto tiempo la parte temporal de la solución de la amplitud se hace muy pequeña y sólo permanece la solución permanente:

Nótese que:

Así, A es máxima, y se tiene la situación de resonancia en amplitud, cuando el denominador es mínimo:

2 20

2 2 2

0

max 2

m

2γ = ω − β

− ω

= ω

Esta ω

recibe el nombre de frecuencia de resonancia.

) t Asen(

(t)

x_permanente = ω −δ

Notemos que la resonancia en amplitud se produce para un valor de ω menor que ω

(excepto si β=0, en cuyo caso ω=ω

).

Cuando β es muy pequeño (amortiguamiento débil), ω

= ω

= y hay resonancia en amplitud, con valor de ésta, teóricamente, infinito.

Cuanto menor es el amortiguamiento β, más pronunciada es la resonancia.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/resonance_s.htm

m k

Calculemos la potencia transferida al sistema por la fuerza externa:

) t Asen(

x = ω −δ

= x

v

2 / π

− δ

= φ

P =

donde:

t sen F

F = ₀ ω

siendo

) t sen(

A

) 2 / t

sen(

A ) t ( cos A

v

φ

− ω ω

=

= π

+ δ

− ω ω

= δ

− ω ω

=

◙

◙

con:

) t Asen(

x = ω − δ

F = ₀ ω

) t sen(

A

v = ω ω − φ Notemos que:

x está atrasada δ respecto a F v está atrasada φ respecto a F

● Resonancia en potencia

) tsen cos

t sen cos

t (sen A

F

) tsen cos

cos t (sen tA

sen F

) t sen(

tA sen F Fv P

0 2 0

0

φ ω

ω

− φ ω

ω

=

= φ ω

− φ ω

ω ω

=

= φ

− ω ω

ω

=

=

Calculemos la potencia media transferida:

φ ω

>=

< F A cos 2

P 1 ₀

0 t

cos t

senω >=< ω >=

<

2 t 1

sen²ω >=

<

Operando:

0

0

(

) 4

F 2 2 P 1

ω β + ω

− ω

βω ω α

>=

<

lo que nos da una función

periódica de frecuencia 2ω, que

muestra dependencia con el

término cosφ, conocido como

factor de potencia.

Veamos esta función (<P> función de ω):

Se obtiene una potencia máxima transferida (resonancia en potencia) para el valor ω=ω

(que corresponde con tgδ=∞  δ=π/2  φ=0)

En el diagrama de fasores tendremos:

En condiciones de resonancia (φ=0) la

velocidad y la fuerza están en fase, de modo

que la partícula se mueve siempre en la misma

dirección que la fuerza. Esta es

evidentemente la condición mas favorable

para transferir potencia al sistema oscilante.

Analogía eléctrica

•Circuito oscilante

•Sintonizador de radio

•………

Proceso de resonancia  condiciones más favorables para la transferencia de energía de un sistema a otro

(

)

=

⇒ ω

= +

+ E sen t I I sen t

C Q dt

R dQ dt

Q

L d² _{2 max max}

Cuestión 6.5

Un oscilador amortiguado está caracterizado por su masa m=10 g, su constante elástica k=0.360 N/m y su constante de amortiguamiento γ=40 g/s. Se le aplica al oscilador una fuerza impulsora de frecuencia angular 15 rad/s y de 4·10

N de amplitud. a) Determinar el tipo de amortiguamiento;

b) calcular el desfase angular entre la posición y la fuerza aplicada y entre la velocidad y la fuerza aplicada; c) calcular la amplitud de la elongación; d) calcular la

"amplitud" de la velocidad.