January 31, 2020
II.3 INTEGRALES IMPROPIAS
1. Integraci´on de funciones acotadas en intervalos no acotados
Definici´on 1.1. Sea f : [a, +∞) → R integrable en cada intervalo [a, b], con b > a. Se dice que la integral impropia de pimer tipo
Z +∞
a
f (x)dx converge, sii el l´ımite
b→∞lim Z b
a
f (x)dx existe y es finito; es este caso se define
Z +∞
a
f (x)dx = lim
b→∞
Z b a
f (x)dx.
En otro caso se dice que la integral impropia diverge
Definici´on 1.2. Sea f : (−∞, b] → Rintegrable en cada intervalo [a, b], con a < b. Se dice que la integral impropia de pimer tipo
Z b
−∞
f (x)dx converge sii el l´ımite
a→−∞lim Z b
a
f (x)dx existe y es finito; en este caso se define
Z b
−∞
f (x)dx = lim
a→−∞
Z b a
f (x)dx.
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
Definici´on 1.3. Sea f : R → R integrable en cada intervalo [a, b], con a < b. Se dice que la integral impropia de pimer tipo
Z +∞
−∞
f (x)dx converge sii ambos l´ımites
Z a
−∞
f (x)dx y Z +∞
a
f (x)dx convergen para alg´un a y en este caso, se define
Z +∞
−∞
f (x)dx = Z a
−∞
f (x)dx + Z +∞
a
f (x)dx.
1
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
Definici´on 1.4. Sea f : R → R integrable en cada intervalo [−a, a], para todo a. El l´ımite
a→∞lim Z a
−a
f (x)dx se llama el valor principal de Cauchy de la integral R+∞
−∞ f (x)dx.
Proposici´on 1.5. Si la integral impropiaR+∞
−∞ f (x)dx converge, entonces su valor coincide con el valor principal de Cauchy, es decir,
Z +∞
−∞
f (x)dx = lim
a→∞
Z a
−a
f (x)dx.
El re´ıproco no es cierto. Por ejemplo, el valor principal de Cauchy de f (x) = x es 0, pero R+∞
−∞ xdx diverge.
2. Integraci´on de funciones no acotadas en intervalos acotados
Definici´on 2.1. Sea f : (a, b] → R una funci´on no acotada en (a, b] pero integrable en [a + ε, b] para cada ε > 0, tal que a + ε < b. Si el l´ımite
lim
ε→0+
Z b a+ε
f (x)dx
existe y es finita, entonces se dice que la integral de segunda especie Z b
a
f (x)dx converge y se define
Z b a
f (x)dx = lim
ε→0+
Z b a+ε
f (x)dx.
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
Definici´on 2.2. Sea f : [a, b) → R una funci´on no acotada en [a, b) pero integrable en [a, b − ε], para todo ε > 0 tal que a < b − ε. Si el l´ımite
lim
ε→0+
Z b−ε a
f (x)dx
existe y es finita, entonces se dice que la integral de segunda especie Z b
a
f (x)dx converge y se define
Z b a
f (x)dx = lim
ε→0+
Z b−ε a
f (x)dx.
Definici´on 2.3. Sea f : [a, b] → R una funci´on y sea c ∈ (a, b) tal que f no es acotada ni en [a, c) nio en (c, b], pero es integrable en [a, c − ε] y en [c + ε, b], para todo ε > 0 tal que a < c − ε y c − ε < b. Si las dos integrales impropias
Z c a
f (x)dx and
Z b c
f (x)dx convergen, entonces se dice que la integral de segunda especie
Z b a
f (x)dx converge y se define
Z b a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
3. Integraci´on de funciones no acotadas en intervalos no acotados Sea f : I → R, donde I es un intervalo no acotado (I = (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞) o [a, ∞)), y sea f no acotada en un n´umero finito de subintervalos de I. Entonces, I se puede dividir en un n´umero finito de intervalos, I1, . . . , In, tales que la integral
Z
Ii
f (x)dx es impropia de primera o de segunda especie.
Se dice que la integral
Z
I
f (x)dx converge sii cada una de la integrales improiasR
Iif (x)dx converge. En este caso, la integral impropia de f sobre I es
Z
I
f (x)dx = Z
I1
f (x)dx + · · · + Z
In
f (x)dx.
4. Convergencia absoluta de integrales impropias
Definici´on 4.1. Sea [a, b), con −∞ < a < b ≤ +∞, y sea f : [a, b) → R una funci´on integrable en cualquier intervalo [a, x] ⊆ [a, b]. Se dice que la integral impropia Rb
af (x)dx converge absolutamente iii la integral impropia
Z b a
|f (x)| dx converge.
Proposici´on 4.2. Si la integral impropiaRb
af (x)dx es absolutamente convergente, entonces es convergente y
Z b a
f (x)dx
≤ Z b
a
|f (x)| dx.
Nota 4.3. El rec´ıproco no es cierto. Por ejemplo, la integral de Dirichlet Z ∞
0
sin x x dx es convergente, pero no absolutamente.
5. Propiedades de la integral impropia Sea [a, b), con −∞ < a < b ≤ +∞.
(1) Linealidad. Si f y g son integrables en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b], y su integrales son convergentes en [a, b), entonces Rb
a(αf (x) + βg(x))dx converge para todo α, β ∈ R, y
Z b a
(αf (x) + βg(x))dx = (α Z b
a
f (x)dx + β Z b
a
g(x)dx.
(2) Sea c ∈ (a, b) y sea f una funci´on integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b]. Entonces la integral impropia Rb
af (x)dx converge siiRb
c f (x)dx converge. En este caso, Z b
a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
(3) Regla de Barrow. Si f : [a, b) → R es continua, F : [a, b) → es una primitivs de f , y Rb
af (x)dx converge, entonces Z b
a
f (x)dx = lim
x→b−F (x) − F (a).
(4) Cambio de variable. Sea f : [a, b) → R continua y sea φ : [α, β) → R de clase C1, donce −∞ < α < β ≤ +∞, φ(α) = a, limt→β−φ(t) = b y tal que la imagen φ([α, β)) = [a, b) (la imagen del intervalo [α, β) por φ es [a, b)). Entonces
Z b a
f (x)dx = Z β
α
f (φ(t))φ0(t)dt.
(5) Integraci´on por partes. Sean u, v : [a, b) → R dos funciones de clase C1 tales dos de las siguientes tres integrales son convergents. Entonces la otra integral tambi´en converge y
Z b
u(x)v0(x)dx = lim
−(u(x)v(x)) − Z b
u0(x)v(x)dx.
6. Criterios de convergencia Sea [a, b), con −∞ < a < b ≤ +∞.
(1) Sea f : [a, b) → R tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b), y f es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b). Entonces la integral impropia Rb
af (x)dx converge sii la funci´on
F (x) = Z x
a
f (t)dt es acotada en [a, b).
(2) Criterio de comparaci´on. Sean f, g : [a, b) → R integrables en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b).
(a) Supongamos que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b). Entonces (i) Rb
ag(x)dx converge ⇒Rb
af (x)dx converge.
(ii) Rb
af (x)dx diverge ⇒Rb
ag(x)dx diverge.
(b) Supongamos qu f (x), g(x) > 0 para todo x ∈ [a, b) y que lim
x→b−
f (x) g(x) = `.
Entonces
(i) 0 < ` < +∞ ⇒ las dos integrales Rb
a f (x)dx yRb
a g(x)dx tienen el mismo car´acter.
(ii) ` = 0 y Rb
ag(x)dx convergente ⇒ Rb
a f (x)dx converge.
(iii) ` = +∞ yRb
ag(x)dx divergente ⇒Rb
af (x)dx diverge.
(c) Sea f : [a, b) → R tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b), y f es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b).
(i) Supongamos que b < +∞, es decir, el intervalo [a, b) es acotado y lim
x→b−f (x)(b − x)α = k, con −∞ < k < +∞.
Entonces
α < 1 ⇒ Z b
a
f (x)dx converge, α ≥ 1 ⇒
Z b a
f (x)dx diverge
(ii) Supongamos que b = +∞, es decir, el intervalo [a, ∞), y
x→+∞lim f (x)xα = k, con −∞ < k < +∞.
Entonces
α > 1 ⇒ Z ∞
a
f (x)dx converge, α ≤ 1 ⇒
Z ∞ a
f (x)dx diverge.
Nota 6.1. Todas las definiciones y resultados anteriores para integrales impropias en el intervalo [a, b), son igualmente v´alidos para integrales impropias en (a, b], con −∞ ≤ a <
b < +∞.
