q 1 modifica las propiedades físicas del espacio que le rodea de forma que, cuando se coloca la carga q 1 en las proximidades de la carga q 2

(1)

8.02-1 Campo electrostático

se manifiestán sin que exista ninguna conexión material entre ellas. Esto es un hecho experimental. Por tanto, son fuerzas de acción a distancia, como las fuerzas de tipo gravitatorio, aunque existen importantes diferencias entre ellas.

Por consiguiente, se pueden describir mediante un campo, de igual forma que se utiliza el concepto de campo gra- vitatorio para describir la interacción gravitatoria.

Es útil, por tanto, imaginar que:

Una carga eléctrica modifica, de alguna manera, las propiedades físicas del espacio que le rodea, de forma que dichas propiedades difieren en algo de las propiedades de esa región del espacio cuando no está presente la carga.

La expresión anterior de la fuerza F corresponde, en realidad, a la de la fuerza ejercida por la carga q₂ sobre la carga q₁.

Consideraremos, pues, que la carga q₂ modifica las propiedades físicas del espacio que le rodea de forma que, cuando se coloca la carga q₁ en las proximidades de la carga q₂, queda sometida a la acción de la fuerza F. Según esta interpretación:

* La modificación de las propiedades físicas del espacio que rodea a una carga q₂es independiente de la exis- tencia de una segunda carga q₁.

* La carga q₂, por su simple presencia, crea un campo de fuerzas eléctricas, al que se denomina campo elec- trostático.

* Y es éste campo electrostático el que, al actuar sobre la carga q₁, la somete a la acción de la fuerza F.

Supondremos, pues, que la fuerza F que actúa sobre la carga q₁, es ejercida por el campo electrostático creado por la carga q₂, y no por la carga q₂ directamente, a distancia.

A su vez, la carga q₁ crea su propio campo electrostático que, al actuar sobre la carga q₂, la somete a la acción de otra fuerza electrostática, que es la de reacción a la que ejerce q₂ sobre q₁.

Diremos, pues, que:

Existe un campo electrostático en una región del espacio, si al colocar una partícula cargada en un punto de dicha región, queda sometida a la acción de una fuerza de origen eléctrico.

Hay que advertir que el término que se utiliza frecuentemente para designar esta propiedad es la de campo eléc - trico en lugar de campo electrostático. En realidad es una cuestión de matiz, ya que más adelante veremos la con- veniencia de definir otro tipo de campo eléctrico ficticio, no electrostático, es decir, que no es originado por cargas eléctricas, y por tanto es conveniente, desde un principio, dejar claro este concepto.

Por otra parte, se debe tener cuidado con ciertas interpretaciones del concepto de campo electrostático, ya que es frecuente leer que el campo electrostático es la región del espacio donde son sensibles las acciones de una carga eléctrica. Esto no es así, exactamente.

Si el campo electrostático fuese una región del espacio, se podría considerar como un volumen, y éste concepto geométrico no refleja en absoluto las propiedades anteriormente discutidas. Una cosa es, que dichas propiedades se manifiesten en una región del espacio, y otra muy distinta es que esas propiedades se identifiquen con dicha región del espacio.

En un sentido amplio, se podría decir que campo es sinónimo de perturbación. A fin de cuentas representa la modificación de una propiedad física que no se produciría si no estuviese presente la carga eléctrica que lo origina.

Se define el campo electrostático en un punto del espacio como

La fuerza electrostática, por unidad de carga, que actúa sobre una carga puntual situada en reposo, en dicho punto.

Es decir, el campo electrostático creado por la carga q₂ en el punto ocupado por la carga q₁, fijado por el vector de posición r₁, es, por definición:

Las fuerzas de atracción o de repulsión entre dos cargas eléctricas

F

= kq₁q₂ r₁₂²

r₁₂ r₁₂ = 1

4πε₀ q₁q₂

r₁₂³ r₁₂

E

(r₁ ) =F ₁₂

q₁

[1]

[2]

F₁₂ representa la fuerza electrostática ejercida por la carga q₂ sobre la carga q₁.

(2)

Según la definición anterior:

La unidad de campo electrostático en el S.I. es la intensidad de un campo que, al actuar sobre la carga de un culombio, ejerce sobre ella la fuerza de un newton.

Por consiguiente, el campo electrostático se medirá en el S.I. de unidades, en newtons.culombio⁻¹. Si se despeja F₁₂de [1] y se sustituye en [2],

E

(r ) = 1

4πε₀ q₂ r³r

La definición [2] de campo eléctrico se suele denominar definición operacional del campo eléctrico, puesto que no se define a partir de propiedades del campo, sino a partir de una operación de medida de una fuerza por unidad de carga. Y para significar que la existencia del campo creado por una carga no exige la existencia de una segunda carga de prueba, se suele definir el campo como:

E

(r ) = lim

q→0

F

q

donde el paso al límite simboliza que dicho campo existiría en el punto fijado por el vector de posición r, aunque dicha carga de prueba no estuviese presente.

De la propia definición, se deduce que el campo electrostático creado por una carga puntual en reposo en el vacío, E(r), es un vector que tiene, en cada punto, la dirección de r, es decir, la de la recta que une la carga con el punto, y su sentido es el de ± r, según que la carga que crea el campo sea positiva o negativa.

De forma que dicho campo se aleja de la carga, si ésta es positiva, o se dirige hacia la carga, si es negativa, como muestra la figura 8.4-1.

Por lo tanto, el campo electrostático E creado por una carga puntual en reposo en el vacío, es un campo de fuerzas central o

E

(r₁ ) =F ₁₂

q₁ = kq₂ r₁₂³ r₁₂

= 1 4πε₀

q₂ r₁₂³ r₁₂

= 1 4πε₀

q₂ r₁

− r₂

 3(r₁

− r₂

)

E

(r₁ ) = 1

4πε₀ q₂ r₁

− r₂

 3(r₁

− r₂

) de donde

Si se toma como origen de coordenadas el punto ocupado por una carga q, la expresión del campo creado en un punto situado a una distancia r de ella es:

E = 1

4πε₀ q₂ r³ o radial. En cuanto al módulo de E:

[3]

[4]

[5]

[6]

FIG. 8.4-1

solamente depende de la distancia r, y, por consiguiente, tendrá el mismo valor en todos los puntos de una superficie esférica con centro en la carga puntual, y de radio r. Se trata, pues, de un campo con simetría central o esférica.

Se observa, por tanto, que las características del campo electrostático creado por una carga puntual en las con- diciones anteriormente mencionadas son muy similares a las del campo gravitatorio creado por una partícula pun- tual de masa m, que también es un campo central o radial y tiene simetría esférica.

Y, además, recordando que la condición que debe cumplir un campo para que sea conservativo es que, para cualquier trayectoria curvilínea cerrada, se cumpla la condición:

E

.dr

∫

C ^{= 0} [7]

vamos a ver que el campo electrostático creado por una carga puntual en reposo, en el vacío, es conservativo.

(3)

Por consiguiente, por ser un campo conservativo, dará lugar, como veremos más adelante, a un potencial electrostá- tico.

Si están presentes varias cargas puntuales en reposo, en el vacío, el campo electrostático creado por ellas en un punto, como consecuencia del principio de superposición, es la suma vectorial de los campos creados en dicho punto por cada una de las cargas separadamente:

E

(r) = 1 4πε₀ ^qⁱ

r − r_i

r − r_i ³

i=1 n

∑

Hasta aquí se han considerado solamente los campos electrostáticos creados por cargas puntuales en reposo, situadas en el vacío. En la realidad los campos son originados por cargas distribuidas sobre cuerpos de tamaño finito y su cálculo es, en general, muy complicado, o bien imposible, excepto en el caso de estar distribuidas las cargas sobre cuerpos de forma geométrica sencilla tales como hilos, barras cilíndricas, superficies planas, superficies esféri- cas o esferas. Seguiremos suponiendo que tales cargas se encuentran en el vacío.

Para calcular tales campos, utilizaremos las densidades de carga, que ya se han definido anteriormente.

La finalidad que se persigue al definir estas densidades de carga es la de poder considerar cualquier elemento de carga dq, como una carga prácticamente puntual, y, por consiguiente, el campo creado por dicho elemento, en un punto situado en el vacío, a una distancia r, será un campo elemental, de módulo:

8.02-2 Campo creado por una distribución de carga

[8]

E

.dr

C

∫

⁼_4πε¹

0

q 1r³r

C

∫

^.dr^⁼_4πε¹

0

q 1_C

∫

r³^{.dr =}_4πε¹

0

q 1

∫

_C r²^{.dr =}_4πε¹

0

q −1 r





 





C

∫

^{= 0}

dE = 1

4πε₀ dq r²

El campo total se obtendrá sumando vectorialmente los campos creados por todos los elementos de carga que integran el cuerpo electrizado, lo que se expresa en la forma:

E

= dE

∫

⁼ ₄_πε¹

0

dq r² r

∫

r ⁼₄_πε¹

0

r r³

∫

^dq

donde el signo integral representa la suma vectorial de un número infinito de campos elementales, y no significa que dicha operación sea una suma algebráica, o una suma numérica de los módulos de dichos campos elementales.

El cálculo, por integración, del campo electrostático creado por una distribución continua de carga presenta el inconveniente de que los campos creados por los distintos elementos de carga tienen, en general, diferente dirección, módulo y sentido.

Sin embargo, se puede salvar este inconveniente integrando por separado las componentes del campo electrostá- tico según las direcciones de los tres ejes coordenados en el espacio, X, Y y Z, porque, aunque a lo largo de cada una de estas direcciones varíe el sentido y el módulo de la componente correspondiente, estableciendo un convenio de signos se puede efectuar el cálculo por integración, ya que la integración es una suma algebráica. De modo que:

E_x =

∫

dE_x ^E^y ⁼

∫

^dE^y ^E^z⁼

∫

^dE^z

E

= E_xi + E_yj

+ E_zk

[9]

[10]

y el campo E es

[12]

En algunos casos, la distribución simétrica de la carga en torno a un punto, a un eje, o a un plano, permite sim- plificar el cálculo, ya que alguna de las componentes cartesianas se anula, por simetría, quedando reducido el cál- culo a una sola componente.

Si están presentes varias cargas puntuales y diferentes distribuciones de carga, el campo creado en un punto determinado por el vector de posición r tiene por expresión:

[11]

E

(r ) = 1

4πε₀ _i=1^qⁱ

n

∑

^r



− r_i



r

− r_i

3+ 1 4πε₀

r

− r '



r

− r '

3

L

∫

^λ^(r^^{').dl '+}₄_πε¹

0

r

− r '



r

− r '

3

S

∫

^σ^(r^^{').da '+}₄_πε¹

0

r

− r '



r

− r '

3

V

∫

^ρ^(r^^{').dv '} _[13]

donde r_i representa el vector de posición de la carga q_iy r’ el vector de posición de cada elemento infinitesimal de las diferentes distribuciones de carga.

(4)

Como ya se vio en Mecánica, una magnitud física de carácter vectorial que, en general, es función de cada punto del espacio y del instante que se considere, es un campo vectorial, y se puede representar por medio de líneas de fuer - za.

Este concepto fue introducido por MICHAEL FARADAY (1791-1867) con objeto de representar campos eléctricos o magnéticos.

Las líneas de fuerza se obtienen trazando, a partir de cada punto del espacio, un pequeño segmento en la direc- ción del vector correspondiente a dicho punto. El extremo de dicho segmento sirve como origen para trazar otro segmento en la nueva dirección que tenga la magnitud vectorial, y así sucesivamente.De esta forma se obtiene una linea poligonal como la de la figura 4-2.

El vector campo en cada punto es tangente a la línea de fuerza y su sentido es el de dicho vector campo.

Naturalmente, se puede dibujar una línea de fuerza que pase por cada punto del espacio, pero ya se comprende que si se hace esto, todo el esquema estaría lleno de líneas de fuerza y no se podría distinguir ninguna de ellas.

Para que las líneas de fuerza indiquen en cada punto el módulo, además de la dirección y sentido del vector campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma:

En cada punto se toma una pequeña superficie de área dA, normal a la dirección del vector campo en dicho punto, y se dibujan a partir de los puntos de dicha superficie un número de líneas de fuerza, dN, uniformemente distribuidas, igual al producto del módulo del vector campo por el área dA del elemento de superficie.De esta forma, el módulo del vector en dicho punto queda determinado por la densidad superficial de líneas de fuerza que atravie- san normalmente un elemento de área situado en dicho punto:

8.02-3 Líneas de fuerza

Si se dibuja nuevamente esta línea poligonal, tomando los puntos más próximos entre sí, los segmentos que determinan serán más pequeños, y en el límite, cuando las longitudes de estos segmentos tiendan a cero la línea poligonal se convertirá en una línea curva, denominada línea de fuerza del campo vectorial.

Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que:

FIG. 8.4-2

E = dN

dA ^[14]

De forma que en aquellas regiones en las que las líneas de fuerza estén más próximas entre sí el módulo del vector campo tendrá un mayor valor. Y, por el contrario, el módulo será menor en aquellas regiones donde las líneas de fuerza estén más separadas.

En general, nos interesa únicamente este aspecto cualitativo de las líneas de fuerza.

De todo lo anterior se deduce que:

* Si en un esquema, las líneas de fuerza son rectilíneas, paralelas, de igual sentido y equidistantes unas de otras, corresponden a un campo electrostático uniforme.

* Las líneas de fuerza del campo creado por una carga puntual son radiales, con centro en la carga puntual, y van dirigidas de la carga al infinito, si la carga es positiva, o del infinito hacia la carga si ésta es negativa.

* De una carga positiva parten líneas de fuerza que terminan en cargas negativas, o en el infinito.

* A una carga negativa llegan líneas de fuerza procedentes del infinito o de cargas positivas.

* Las cargas son las únicas fuentes del campo electrostático.

* Las líneas de fuerza del campo electrostático no pueden cortarse o desdoblarse.

Si dos o más líneas del campo electrostático se cortasen en un punto, o se bifurcasen, el campo electrostático en el punto de corte no estaría definido unívocamente, y, para un sistema de cargas dado, el campo en cada punto tiene un valor único totalmente determinado.

Conviene advertir que cuando se habla del “punto del infinito”, o de una “distancia infinita” en Electrostática, no se debe interpretar al pie de la letra como un punto infinitamente alejado o como una distancia realmente infinita.

Se debe entender esta denominación en el sentido de ser un punto que se encuentra a una distancia muy grande comparada con las dimensiones de las restantes magnitudes que intervienen en el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si nos encontramos realizando una serie de experiencias con pequeñas partículas cargadas en la mesa de un laboratorio, las paredes de éste se encuentran a una distancia “infinita” de las partículas cargadas.

Se debe hacer esta misma consideración a la hora de interpretar, por ejemplo, el campo creado por un hilo con- ductor rectilíneo, muy delgado, “de longitud infinita”, cargado uniformemente con una cierta densidad lineal de carga. No significa tal denominación que el hilo tenga realmente una longitud “infinita”, sino que su longitud es muy grande comparada con la distancia a la que se desea calcular el campo

(5)

En Magnetismo, donde volveremos a encontrar estas mismas denominaciones, tienen la misma interpretación.

8.02-4 Ecuación de las líneas de fuerza

Puesto que el vector campo eléctrico E es en todo punto tangente a una línea de fuerza, y cada elemento de lon- gitud dl se puede considerar asimismo tangente a la línea de fuerza, los vectores E y dl son de igual dirección, y por consiguiente, sus componentes serán proporcionales. Así que, la ecuación de las líneas de fuerza queda determina- da:

dx E_x =dy

E_y =dz E_z = cte.

El valor de la constante se determina especificando las coordenadas de un punto por el que pasa la línea de fuerza.

dr E_r =rdϕ

E_ϕ =dz E_z = cte.

dr E_r =rdθ

E_θ =r senθdϕ E_ϕ = cte.

En coordenadas cilíndricas, por:

En coordenadas esféricas, por:

[15]

[16]

[17]

En coordenadas cartesianas, por: