Funciones numéricas de ideales graduados

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Funciones num´ ericas de ideales graduados

Yuriko Pitones

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT-México

Seminario GASIULL Universidad de la Laguna

Abril 2021

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Contenido

Notaci´on y definiciones Funcio´on de Hilbert Multiplicidad

Funci´on de distancia m´ınima

M´ınima distancia de c´odigos Reed-Muller Pesos generalizados

Cotas

Funci´on Huella

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Contenido

Cotas

Funci´on Huella

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Contenido

Cotas

Funci´on Huella

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(5)

R = K [x1, ..., xn] =L∞

d =0R_d = R0⊕ R₁⊕ R₂⊕ · · · . I 6= (0) un ideal graduado de R.

R/I = { ¯f = f + I | f ∈ R}

Funci´on de HIbert de R/I , H_I : N → N.

H_I(d ) := dim_KR_d/I_d. I_d = R_d∩ I Hilbert Series of S /I

Hilb_S/I(t) = P

i ≥0

dim_K(Si/Ii)tⁱ.

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(6)

R = K [x1, ..., xn] =L∞

R/I = { ¯f = f + I | f ∈ R}

H_I(d ) := dim_KR_d/I_d. I_d = R_d∩ I

Hilbert Series of S /I

Hilb_S/I(t) = P

i ≥0

dim_K(Si/Ii)tⁱ.

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R = K [x1, ..., xn] =L∞

R/I = { ¯f = f + I | f ∈ R}

H_I(d ) := dim_KR_d/I_d. I_d = R_d∩ I Hilbert Series of S /I

Hilb_S/I(t) = P

i ≥0

dim_K(S_i/I_i)tⁱ.

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(8)

Definici´on

El grado o multiplicidad:R/I

e(R/I ) = h(1)

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(9)

Definici´on

Elgrado o multiplicidad: R/I

e(R/I ) = h(1)

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(10)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₁ : {x, y , z} base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²}

base de S3 : {xyz, xz², yz², y²z, z³} base de S4 : {xyz², xz³, yz³, y²z², z⁴} base de S₅ : {xyz³, xz⁴, yz⁴, y²z³, z⁵}

... ...

base de S_i : {xyz^{i −2}, xz^{i −1}, yz^{i −1}, y²z^{i −2}, zⁱ} para i ≥ 3 Serie de Hilbert de S

Hilb_S(t) = 1 + 3t + 5t²+ 5t³+ 5t⁴+ 5t⁵+ · · · = ^1+2t+2t_1−t ² Multiplicidad de S

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(11)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³) base de S0 :

{1} base de S₁ : {x, y , z} base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(12)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₁ : {x, y , z} base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(13)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₁ :

{x, y , z} base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(14)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₁ : {x, y , z}

base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²} base de S3 : {xyz, xz², yz², y²z, z³} base de S4 : {xyz², xz³, yz³, y²z², z⁴} base de S₅ : {xyz³, xz⁴, yz⁴, y²z³, z⁵}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₂ :

{xy , xz, y², yz, z²} base de S3 : {xyz, xz², yz², y²z, z³} base de S4 : {xyz², xz³, yz³, y²z², z⁴} base de S₅ : {xyz³, xz⁴, yz⁴, y²z³, z⁵}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

base de S₂ : {xy , xz, y², yz, z²} base de S3 : {xyz, xz², yz², y²z, z³} base de S₄ : {xyz², xz³, yz³, y²z², z⁴} base de S₅ : {xyz³, xz⁴, yz⁴, y²z³, z⁵}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

... ...

base de S_i : {xyz^{i −2}, xz^{i −1}, yz^{i −1}, y²z^{i −2}, zⁱ} para i ≥ 3

Serie de Hilbert de S

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

... ...

Hilb_S(t) = 1 + 3t + 5t²+ 5t³+ 5t⁴+ 5t⁵+ · · · = ^1+2t+2t_1−t ²

Multiplicidad de S

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(20)

Ejemplo (f´ acil)

S = K [x , y , z]/(x², xy², y³)

base de S0 : {1}

... ...

e(S ) = 1 + 2 + 2 = 5

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(21)

Remarks:

I ⊂ R, I = q₁∩ ... ∩ q_m (descomposici´on primaria irredundante)

e(R/I ) = X

ht(I )=ht(qi)

e(R/qi).

I es un ideal radical no-mezclado, f ∈ R un polinomio homog´eneo tal que (I : f ) 6= I y A es el conjunto de todos los primos asociados de R/I que contienen a f , entonces ht(I ) = ht(I , f )

e(R/(I , f )) =X

p∈A

e(R/p).

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(22)

F_t = { f ∈ R_t| f 6∈ I , (I : f ) 6= I }.

(I : f ) 6= I es equivalente a f ∈ p para alg´un p ∈ Ass(R/I ) Ass(R/I ) es el conjunto de primos asociados de R/I .

La δ-funci´on de I, es la funci´on δ_I: N+→ Z dado por δI(t) =

e(R/I ) − m´ax{e(R/(I , f ))| f ∈ F_t} si F_t 6= ∅,

e(R/I ) si Ft = ∅.

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(23)

F_t = { f ∈ R_t| f 6∈ I , (I : f ) 6= I }.

(I : f ) 6= I es equivalente a f ∈ p para alg´un p ∈ Ass(R/I ) Ass(R/I ) es el conjunto de primos asociados de R/I .

La δ-funci´on de I, es la funci´on δI: N+→ Z dado por δI(t) =

e(R/I ) − m´ax{e(R/(I , f ))| f ∈ F_t} si F_t 6= ∅,

e(R/I ) si Ft = ∅.

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(24)

Theorem 1 (N´u˜nez-Betancourt, Pitones, Villarreal (2020))

Supongamos que I es un ideal radical. Entonces, δ_I(d ) es una funci´on decreciente.

δ_I(1) > δ_I(2) > · · · > δ_I(r_I) = δ_I(d ) para d ≥ r_I. Definition 2

Sea I un ideal radical. El ´ındice de regularidad de I, denotado por rI, es definido por

r_I = m´ın{s ∈ N | δI(s) = l´ım

t→∞δ_I(t)}.

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(25)

δ_I

r_I

t→∞l´ım δ_I(t)

reg(R/I )

• •

r_I es el punto de estabilizaci´on de la δ-funci´on, en general, r_I es d´ıficil de calcular. Esta relacionado con la multiplicidad de Castelnuovo–Mumford.

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(26)

δ_I

r_I

t→∞l´ım δ_I(t)

reg(R/I )

• •

r_I es el punto de estabilizaci´on de la δ-funci´on, en general, r_I es d´ıficil de calcular. Esta relacionado con la multiplicidad de Castelnuovo–Mumford.

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(27)

C´odigos lineales

Sea K = Fq un campo finito. Un c´odigo lineal C es un subespacio de K^m, para alg´un m.

Par´ametros b´asicos

Longitud: m.

Dimensi´on:dim_KC.

Distancia m´ınima: δ(C) := min{kv k : 0 6= v ∈ C}.

kv k : # de entradas no cero de v (peso de Hamming).

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(28)

C´odigos lineales C´odigos proyectivos tipo- Reed -Muller

Y = {P1, ..., P_m}

Definimos una K -aplicaci´on lineal:

ev_d : R_d −→ K^|Y| f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

evd es unaaplicaci´on evaluaci´on.

La imagen de R_d bajo ev_d, denotada por C_Y(d ) es un C´odigo tipo-Reed-Muller de grado d sobre el conjunto Y.

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(29)

Y = {P1, ..., P_m}

ev_d : R_d −→ K^|Y| f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

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(30)

Y = {P1, ..., P_m}

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P₁), . . . , f (P_m))

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(31)

Y = {P1, ..., P_m}

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P₁), . . . , f (P_m)) evd es unaaplicaci´on evaluaci´on.

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(32)

Y = {P1, ..., P_m}

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P₁), . . . , f (P_m))

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(33)

ev_d: R_d−→ K^|Y|,f 7→ (f (P₁), . . . , f (P_m))

ker (ev_d) = {f ∈ R_d | f (P_i) = 0 ∀Pi ∈ Y}

= I (Y)d. Ideal anulador de Y.

Entonces existe un isomorfismo de K -espacios vectoriales: R_d/I (Y)d ' C_Y(d ).

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(34)

ev_d: R_d−→ K^|Y|,f 7→ (f (P₁), . . . , f (P_m))

ker (ev_d) = {f ∈ R_d | f (P_i) = 0 ∀Pi ∈ Y}

= I (Y)d. Ideal anulador de Y.

Entonces existe un isomorfismo de K -espacios vectoriales:

R_d/I (Y)d ' C_Y(d ).

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(35)

Definici´on 1

Los parametros b´asicos del c´odigo lineal C_Y(d ) son:

Longitud: |Y|

Dimensi´on:dimK(C_Y(d )) Distancia m´ınima: δ_Y(d )

δ_Y(d ) := min{kv k : 0 6= v ∈ C_Y(d )}

donde kv k es el n´umero de entradas no cero de v .

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(36)

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

Para f ∈ R_d, denotamos kf k el n´umero de no ceros de f en Y.

kf k = |Y| − |V

Y

(f )|

V_Y(f ) = {P ∈ Y | f (P) = 0}, Conjunto de ceros de f.

δ_Y(d ) = min{kf k : f ∈ R_d},

= min{|Y| − |VY(f )| : f ∈ R_d}

= |Y| − max{|VY(f )| : f ∈ Rd

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(37)

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

kf k = |Y| − |V

Y

(f )|

V_Y(f ) = {P ∈ Y | f (P) = 0},Conjunto de ceros de f.

= min{|Y| − |VY(f )| : f ∈ R_d}

= |Y| − max{|VY(f )| : f ∈ Rd

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(38)

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

kf k = |Y| − |V

Y

(f )|

= min{|Y| − |VY(f )| : f ∈ R_d}

= |Y| − max{|VY(f )| : f ∈ Rd

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(39)

ev_d : R_d −→ K^|Y|

f 7→ (f (P1), . . . , f (Pm))

kf k = |Y| − |V

Y

(f )|

= min{|Y| − |VY(f )| : f ∈ R_d}

= |Y| − max{|VY(f )| : f ∈ Rd

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(40)

Sea f un polinomio homogéneo de R, elconjunto de ceros de f en Y es denotado por V_Y(f ). Tenemos la siguiente fórmula para calcular el número de elementos de V_Y(f ).

|V_Y(f )| =

e(S /(I (Y), f )) si (I (Y) : f ) 6= I (Y), 0 si (I (Y) : f ) = I (Y).

Teorema(J. Mart´ınez-Bernal, – ,R. Villarreal (2017)) Si |Y| ≥ 2, entonces δ_Y(d ) = δ_{I (Y)}(d ) ≥ 1para d ≥ 1.

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(41)

Sea f un polinomio homogéneo de R, elconjunto de ceros de f en Y es denotado por V_Y(f ). Tenemos la siguiente fórmula para calcular el número de elementos de V_Y(f ).

|V_Y(f )| =

e(S /(I (Y), f )) si (I (Y) : f ) 6= I (Y), 0 si (I (Y) : f ) = I (Y).

Teorema(J. Mart´ınez-Bernal, – ,R. Villarreal (2017)) Si |Y| ≥ 2, entonces δ_Y(d ) = δ_{I (Y)}(d ) ≥ 1para d ≥ 1.

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(42)

Proof sketch.

δ_{I (Y)}(d ) = e(R/I (Y)) − max{e(R/(I (Y), f ))| f ∈ Fd}.

δ_Y = min{kf k : f ∈ R_d}

= |Y| − max{|VY(f )| : f ∈ Rd}.

De la observaci´on anterior tenemos que e(S /I (Y), f ) = |VY(f )|, adem´as e(R/I (Y)) = |Y| y por lo tanto

δ_Y= e(R/I (Y)) − max{e(R/I (Y), f ) : f ∈ Fd}.

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(43)

Sea I = I (Y) y F = {f1, . . . , f_r} y considere F_t,r = { F ⊂ R_t| F 6⊂ I , (I : F ) 6= I }.

La δ-funci´on de I, es la funci´on δ_{r ,I}: N+ → Z dado por δ_{r ,I}(t) =

e(R/I ) − m´ax{e(R/(I , F ))| F ∈ Ft,r} si F_t,r 6= ∅,

e(R/I ) si F_t,r = ∅.

Entonces: δr(C_Y(d )) = δ_{r ,I}(d )

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(44)

e(R/I ) si F_t,r = ∅.

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(45)

e(R/I ) si F_t,r = ∅.

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(46)

M_≺,d := {xâ| xâ ∈ ∆_≺(I )_d, (in≺(I ) : xâ) 6= in≺(I )}, Definición

La funci´on huellade I , denotada por fp_I, es la funci´on fp_I: N+→ Z dada por

fp_I(d ) :=

e(R/I ) − max {e(R/(in_≺(I ), x^a)) | x^a∈ M_≺,d} si M_≺,d 6= ∅,

e(R/I ) si M_≺,d = ∅.

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(47)

Sean I un ideal graduado no-mezclado y ≺ un orden monomial. Las siguientes se satisfacen.

(i) δ_I(d ) ≥ fp_I(d )y δ_I(d ) ≥ 0 para d ≥ 1.

(ii) fp_I(d ) ≥ 0 si in≺(I ) es no-mezclado.

e(R/I ) = e(R/in≺(I ))

e(R/ (I , f )) ≤ e(R/ (in≺(I ), in≺(f ))

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(48)

Sean I un ideal graduado no-mezclado y ≺ un orden monomial. Las siguientes se satisfacen.

(i) δ_I(d ) ≥ fp_I(d )y δ_I(d ) ≥ 0 para d ≥ 1.

(ii) fp_I(d ) ≥ 0 si in≺(I ) es no-mezclado.

e(R/I ) = e(R/in≺(I ))

e(R/ (I , f )) ≤ e(R/ (in≺(I ), in≺(f ))

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Funciones numéricas de ideales graduados

Funciones num´ ericas de ideales graduados

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

Ejemplo (f´ acil)

kf k = |Y| − |V

(f )|

kf k = |Y| − |V

(f )|

kf k = |Y| − |V

(f )|

kf k = |Y| − |V

(f )|

Gracias!