41
5. F
ORMULACIÓN
DEL
PROBLEMA
DE
SISTEMAS
MULTICUERPO
Para definir completamente el sistema multicuerpo del modelo se comienza por describir los parámetros antropométricos utilizados para la implementación de los datos experimentales. Seguidamente se define la formulación matemática para la cinemática, tanto para la resolución del problema cinemático consistente como inconsistente y se describen las dos formulaciones para la cinética que aplicaremos al modelo. Primero, se define la resolución del problema dinámico por equilibrio de fuerzas y en segundo lugar la resolución por multiplicadores de Lagrange, que incluyen los pares cinemáticos en las articulaciones.
5.1.
P
ARÁMETROS ANTROPOMÉTRICOS
La cinética del cuerpo se determina a partir de la cinemática, pero para ello deben conocerse determinados parámetros. La masa, momentos de inercia y las posiciones de los centros de masa deben quedar definidos para poder calcular las fuerzas y momentos aplicados en el modelo. Para definir estos parámetros debemos conocer determinadas medidas físicas, que dependen de la raza, edad sexo y condición física del sujeto.
En nuestro proyecto se estudian niños de entre 5 y 8 años de ambos sexos. A pesar de que las medidas antropométricas de los niños no son idénticas a las de los adultos, nos guiaremos a partir de los datos de adultos al no poseer información exacta para infantes. Tomaremos pues las medidas aportadas en [21].
Para la resolución del problema dinámico inverso, las fuerzas inerciales de cada segmento deben ser calculadas. El origen de cada segmento se coloca sobre su centro de masa, siendo las relaciones entre los segmentos y las posiciones de los centros mostradas en la Muestra de datos antropométricos masculinos [21]Figura 31 [3].Para la resolución del problema dinámico inverso se tomaron los parámetros proporcionales de adultos, tanto masculinos como femeninos, como se muestran en laFigura 31.
Masa
Al separarse el modelo y resolver el problema dinámico inverso en cada segmento por separado, se debe considerar la masa propia de cada uno. Por ello, se aproxima la masa de cada segmento independiente como un porcentaje del total de la masa del cuerpo.
42
Figura 31. Centros de masas del modelo, caso de sujeto varón [3] Momentos de inercia
Los ejes principales en anatomía son la intersección entre los planos frontal, transversal y frontal del cuerpo. Los ejes principales de inercia en mecánica son aquellos cuyos productos de inercia son nulos. Los ejes principales de inercia y los anatómicos no tienen porque coincidir, pero el error cometido al considerarlos coincidentes es muy pequeño. Esto es posible ya que la pelvis, muslos y piernas son simétricos en dos planos, sagital y frontal [21].
43
5.2.
C
INEMÁTICA DEL MODELO
Para la definición de las ecuaciones se sigue una formulación cartesiana, donde el vector de posición consta de las coordenadas de translación y rotación de cada segmento:
Los vectores y representan respectivamente las tres coordenadas de traslación y cuatro de orientación del segmento , quedando este definido por siete coordenadas independientes. Estas siete coordenadas se encuentran en el sistema global de referencia del laboratorio. Las tres coordenadas de traslación son las que representan el movimiento del sistema de referencia local fijo del segmento.
La orientación del segmento queda definida mediante la matriz de rotación . Esta matriz de rotación queda definida totalmente por los cuatro parámetros de Euler del segmento [12]. El uso de los parámetros de Euler puede simplificar enormemente los cálculos matemáticos ya que permite evitar configuraciones singulares. La orientación del segmento a partir de los parámetros de Euler resulta:
Siendo las coordenadas de orientación de los 4 parámetros de Eurler. En posición se utilizan las coordenadas de traslación, pero en velocidad y aceleración se usan los ángulos de Euler. Tenemos cuatro parámetros de Euler, sin embargo sólo son necesarios tres parámetros para definir la orientación en el espacio. El cuarto parámetro de Euler queda definido por la siguiente restricción matemática:
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Las velocidades y aceleraciones traslacionales se representan en coordenadas globales, mientras que las velocidades y aceleraciones rotacionales se expresan en las coordenadas locales de cada segmento ( ). Los vectores de velocidad y aceleración quedan definidos por los vectores de velocidad y aceleración de cada segmento:
Las variables que intervienen en la cinemática del modelo para cada segmento resultan ser [3]:
Posición global del centro de masa .
Velocidad lineal global del centro de masa .
Aceleración global lineal del centro de masas .
Orientación angular del segmento .
Velocidad angular local del segmento .
Aceleración angular local del segmento .
Transformación de coordenadas
Para pasar las coordenadas de un sistema de referencia a otro se utiliza la matriz de rotación mencionada anteriormente. Los vectores representados en el sistema local de referencia se distinguirán mediante el apóstrofe ´. Tenemos entonces el vector de posición en coordenadas locales pasa a coordenadas globales a través de la matriz [3].
Figura 33. Coordenadas globales y locales de un punto [3]
De forma que considerando el punto :
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Cinemática de las articulaciones
Para analizar y comparar la cinemática de las articulaciones se utilizan los ángulos de Euler, ya que resultan más fáciles de visualizar. Sin embargo, los ángulos ortopédicos, flexión, abducción y rotación, permiten reflejar el movimiento de unos segmentos respecto a los otros y son más utilizados en aplicaciones clínicas [3]. Se utilizan los ángulos ortopédicos, hallados a partir de los parámetros de Euler para definir los ángulos producidos durante la marcha. Adaptando la matriz de rotación a este sistema tenemos:
Y los ángulos ortopédicos resultan:
5.3.
R
ESOLUCIÓN PROBLEMA CINEMÁTICO INVERSO
En primer lugar se resuelve en este apartado el problema cinemáticamente inconsistente para velocidades y aceleraciones, sin aplicar las restricciones cinemáticas en las articulaciones. En segundo lugar se resuelve el problema cinemáticamente consistente, donde se aplican las restricciones por los pares esféricos en las articulaciones y se resuelve el problema para velocidades y aceleraciones.
5.3.1.
P
ROBLEMA CINEMÁTICAMENTE INCONSISTENTE
Como hemos visto anteriormente la posición de un punto P se define por:
De forma que la velocidad de dicho punto resulta [12]:
46
Siendo el vector de velocidad angular del segmento :
La aceleración del punto P resulta entonces [12]: Siendo la aceleración angular del segmento :
5.3.2.
P
ROBLEMA CINEMÁTICAMENTE CONSISTENTE
Revisando nuestro modelo, se tienen 4x7=28 variables en parámetros de Euler. Se debe entonces resolver el problema para nuestras 28 incógnitas. Se tienen 3 pares de rotación, de forma que hay 3x3=9 restricciones cinemáticas. Por otro lado existen 4 restricciones matemáticas, asociadas a cada segmento, incluidas por los parámetros de Euler. Esto hace un total de 13 ecuaciones de restricción sobre nuestro modelo.
Por otro lado se puede aplicar el Método de las restricciones direccionales añadidas [12], bastante utilizado en los sistemas multicuerpo. Este método incluye una serie de ecuaciones conductoras por cada grado de libertad, introduciendo cada variable direccional en función del tiempo. Tenemos pues 4x3=12 restricciones angulares y 3 restricciones traslaciones, que deben aplicarse sobre el sistema. Nuestro sistema se compone entonces de 28 incógnitas, con 28 ecuaciones en total, que hacen que el problema sea determinado.
Siendo el vector de las coordenadas direccionales y su función del tiempo conocida. El sistema final de ecuaciones resulta:
47
5.3.2.1. Cinemática de las articulaciones. Restricciones
La cinemática de las articulaciones sigue la metodología expuesta en 5.2, aunque ahora se deben incluir las restricciones añadidas en esta resolución al considerar las restricciones en las articulaciones. Todas las articulaciones se modelan como pares cinemáticos, cuyos centros, punto P, se definen como se indica en la Figura 34.
Figura 34. Articulación esférica entre el segmente i y el j [3]
Las ecuaciones algebraicas que definen la articulación son:
De esta forma los tres grado de libertad entre los dos segmentos quedan unidos por un par esférico. Los vectores indican la posición del centro de gravedad en coordenadas globales y indican la posición del punto P respecto del centro de gravedad en coordenadas locales.
5.3.2.2. Velocidad y aceleración
Partiendo de las velocidades y aceleraciones ya calculadas en 5.3.1, se debe ahora considerar el caso de las restricciones cinemáticas incluidas con las articulaciones. Para ello, se aplica el Método de las restricciones direccionales añadidas [12] ya mencionado. Diferenciando las ecuaciones del sistema:
48 En forma matricial: El término
se corresponde con la matriz jacobiana del sistema y con la
velocidad del sistema .
Simplificando la matriz jacobiana anterior:
Siendo una matriz permutada no cuadrada. Finalmente la velocidad del sistema se determina por:
Volviendo a derivar, se llega a las aceleraciones:
En forma matricial:
Siendo la diferenciación numérica de . Se vuelve a tener la matriz jacobiana multiplicando, además el segundo miembro lo definimos como:
Simplificando:
49
5.4.
R
ESOLUCIÓN PROBLEMA DINÁMICO INVERSO
En este apartado se resuelve el problema dinámico inverso por dos métodos diferentes, utilizando ecuaciones de equilibrio y multiplicadores de Lagrange. En este proyecto se usarán pares esféricos en todos los casos como aproximaciones a las articulaciones reales. Para la resolución del problema dinámico inverso se toman únicamente 4 segmentos, partiendo del pie hasta la cadera. Esto se debe a que únicamente poseemos datos de la pisada de uno de los pies, por tanto el otro pie lo ignoraremos a la hora de resolver el problema.
En el primer método se consideran las articulaciones como contactos puntuales, donde las fuerzas resultantes en la articulación desde un extremo son las fuerzas aplicadas del siguiente segmento sin considerar las restricciones cinemáticas de las articulaciones. Esta aproximación supone que las fuerzas absorbidas o ejercidas por los ligamentos o la propia articulación se concentran en el centro de la misma y se transmiten a través del hueso. Este método parte del problema cinemáticamente inconsistente.
En el segundo método se modelan las articulaciones como pares esféricos, teniéndose entonces 12 restricciones angulares y 3 restricciones traslaciones. Este sistema parte del problema cinemáticamente consistente y se compone por tanto de 28 incógnitas, con 28 ecuaciones en total, que hacen que el problema sea determinado.
5.4.1.
F
UERZAS EXTERNAS
Las fuerzas externas aplicadas en problema son las fuerzas de reacción en la pisada y las fuerzas gravitacionales. Estas últimas, las fuerzas gravitacionales, no son más que los pesos de cada uno de los segmentos, de signo vertical negativo. Las fuerzas de reacción en la pisada son medidas mediante la plataforma de fuerza durante la captura de la marcha. Estas fuerzas se suponen aplicadas en el centro de presión del segmento del pie. En la Figura 35. Fuerzas de reacción en la plataforma de fuerza se aprecia una muestra de las capturas realizadas con la plataforma.
Una vez conocidas las fuerzas de reacción, es posible hallar los momentos de reacción mediante:
50
Figura 35. Fuerzas de reacción en la plataforma de fuerza
Siendo el vector de posición del centro de presión del pie:
5.4.2.
R
ESOLUCIÓN POR EQUILIBRIO DE FUERZAS
En este caso, se toma cada segmento como un sólido libre con unas fuerzas y momentos conocidos en un extremo y desconocidas en el otro, aplicando a cada segmentos el principio d’Alembert. Se comienza computando desde el pie y subiendo a través de la pierna hasta llegar a la cadera. Se representan todas las fuerzas y variables traslacionales en coordenadas locales, mientras que los momentos y variables rotacionales se expresan en coordenadas locales del segmento [1].
Figura 36. Esquema de fuerzas en el pie [1]
El caso del pie necesita una atención especial al resto de los segmentos, ya que se debe considerar las fuerzas de reacción de la plataforma. Sin embargo, todos los segmentos se
0 20 40 60 80 100 120 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 Force Fg z time [s] F o rce [ N ] Fx Fy Fz
51
resuelven mediante las mismas ecuaciones, aplicando la segunda ley de Newton para fuerzas y momentos en cada segmento [1].
52
5.4.3.
R
ESOLUCIÓN POR MULTIPLICADORES DE
L
AGRANGE
En esta resolución se aplican multiplicadores de Lagrange para resolver el problema cinético consistente. En este caso se aplican las fuerzas externas vistas en el apartado 5.4.1 junto a las fuerzas de restricción añadidas por los pares cinemáticos en las articulaciones.
5.4.3.1. Fuerzas de restricción
En este modelo también se encuentran aplicadas las fuerzas de reacción en la plataforma, así como las fuerzas gravitacionales. Además, se debe considerar también las fuerzas de restricción aplicadas en las articulaciones dentro de las fuerzas externas ejercidas sobre el segmento. Denominado a las fuerzas de restricción por el vector de 6 componentes aplicado sobre el segmento , el vector de las fuerzas de restricción aplicadas es:
Suponiendo que el movimiento de las articulaciones es sin fricción, el trabajo realizado por las fuerzas de restricción en un desplazamiento virtual es nulo.
Y considerando este desplazamiento para las restricciones cinemáticas:
Diferenciando las ecuaciones dependientes de las independientes :
O de otra forma:
Incluyendo la combinación lineal existente entre las fuerzas y las restricciones cinemáticas:
53
Siendo un vector independiente. Resolver el problema para es igual a resolverlo para , siendo cualquier vector.
Se tiene entonces el vector de fuerzas en función de las restricciones cinemáticas y de un multiplicador de Lagrange . Este multiplicador se divide entre las fuerzas de reacción en las articulaciones y los momentos conductores, incluyendo también los momentos residuales.
5.4.3.2. Ecuaciones de la dinámica del movimiento
Un grupo de cuerpos formando un sistema mecánico puede plantearse como una serie de cuerpos individuales conectados por articulaciones cinemáticas. Las fuerzas aplicadas por cada articulación se denomina y el vector que reúne estas fuerzas junto con las fuerzas gravitacionales y de reacción en la pisada la denominaremos . Las ecuaciones Newton-Euler determinan el movimiento combinado de traslación-rotación de nuestro sistema de segmentos. Las ecuaciones de Newton-Euler son:
Siendo la matriz inercial del segmento y su matriz de masa. Además y son los momentos externos y momentos de reacción externa respectivamente. La aceleración traslacional y la aceleración orientacional , junto con la velocidad orientacional y las fuerzas externas y de restricción , completan los vectores integrantes del sistema.
Reuniendo términos, se puede simplificar el sistema:
54
Igualmente se puede expresar las fuerzas externa y de restricción de la forma:
Pr otro lado, se tiene que se debe mantener la consistencia en velocidades y aceleraciones para que todo el sistema se mantenga. Esto se consigue añadiendo la ecuación
vista anteriormente, de forma que todo nuestro sistema sea consistente.
Ahora ya sólo quedaría resolver el problema dinámico inverso, donde las fuerzas y momentos de las articulaciones son nuestras incógnitas.
Las fuerzas en las articulaciones son calculadas directamente desde la ecuación anterior, teniendo en cuenta que se comienza resolviendo por el pie y ascendiendo por la pierna. Sin embargo, para hallar los momentos en cierta articulación se debe considerar los momentos en la articulación anterior.
Siendo lo momentos en la articulación y los momentos en la articulación
anterior. Por otro lado representa los momentos directores obtenido en el segmento definido entre las articulaciones y .
