Resistencia de Materiales II - Tipeo[1]

(5/9/86) RESISTENCIA DE MATERIALES 1 1ra. Hoja de trabajos prácticos

(2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1 (5 puntos)

Se tiene una cartela unida a una columna por medio de cuatro remaches de igual diámetro. La cartela está sometida a la acción de una fuerza P = 4000 kg con una excentricidad de 24 cm. Si el esfuerzo actuante medio admisible es de

τ

m

=1000 kg/cm

2 _{, para los remaches. Hallar su diámetro que} permitan una unión segura entre la cartela y la columna.

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

La estructura reticular mostrada está formada por seis barras del mismo material y sección igual a 10 cm2_{. Si los esfuerzos admisibles de tracción y}

compresión son

σ

t

=1200 kg /cm

2 y

σ

c

=

800 kg/cm

2 . Determinar el máximo valor de la fuerza P con que se puede cargar la estructura.

PROBLEMA N° 3 (8 puntos)

Para la estructura mostrada sometida a la acción de una carga de P = 500 kg. Determinar:

a) El diámetro de los pasadores B, E y F si su esfuerzo cortante medio

τ

m

=900 kg /cm

2 _.

b) El diámetro del cable, si

σ

t

=1200 kg /cm

2 _.

c) La dimensión de la plancha cuadrada del apoyo D, si la resistencia del terreno es de

σ

c

=

4 kg /cm

2

.

d) El esfuerzo de aplastamiento en el apoyo F, si

σ

c

=

800 kg/cm

2

.

PROBLEMA N° 4 (4 puntos)

Una hélice de espesor constante “t” tiene la forma de un rombo de diagonales “2L” y “b” sabiendo que su peso específico es γ (peso por unidad de volumen) y que está girando con velocidad angular constante de

ωrad / seg _{en torno al punto O, determinar:}

a) El esfuerzo normal que se produce en una sección situada a una distancia “x” de O.

b) El máximo esfuerzo normal en la hélice.

c) Indicar a qué distancia “x” de O se encuentra la sección que soporta el máximo esfuerzo normal.

d) Dibujar el diagrama

σ vs “ x ”

, cuando L = 100 cm, t = 1 cm, b = 10 cm,

γ=7800 kg /m

3 y

ω=1200 rpm.

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 2da. Hoja de Trabajos Prácticos

(2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1 (6 puntos)

La estructura mostrada está formada por barras de acero (E = 2.1 x 106

kg/cm2_{) siendo sus longitudes y áreas las siguientes AB = CD = 3 m, Área =}

5 cm2_{; AC = BD = 4 m, Área = 10 cm}2_{; AD = BC, Área = 3 cm}2_{. Usando el}

concepto de deformación unitaria y analizando la manera como se deforma la estructura, determinar:

a) Las fuerzas en las barras, cuando actúa en cada nodo una fuerza P = 15 toneladas.

b) La deformación en cada barra.

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

Un pilote de madera (E = 1 x 105 _kg/cm2_{; v = 0.45) de sección circular}

constante de radio r = 10 cm y la longitud L = 4 m se encuentra dentro de un terreno arcilloso soportando una carga P = 120 Ton aplicada en su parte superior, tal carga es soportada íntegramente por fricción que se ejerce a lo

largo del pilote, dicha fricción o rozamiento varía en forma parabólica tal como se indica en la figura. Despreciando el peso del pilote, determinar:

a) El incremento de área de la sección que se encuentra en el punto medio del pilote.

b) En cuánto cambia el volumen del pilote. c) La deformación total del pilote.

PROBLEMA N° 3 (4 puntos)

Una placa de acero (E = 2.1 x 105 _kg/cm2_{, v = 0.3) está sometida a un}

estado biaxial de esfuerzos tal como se indica en la figura. Sobre esta placa se dibuja el triángulo equilátero ABC antes de someter a la placa al estado de esfuerzos.

a) Determinar la pendiente del lado AB cuando la placa está sometida a esfuerzos.

b) En qué porcentaje incrementa su longitud la altura del triángulo.

PROBLEMA N° 4 (5 puntos)

El elemento mostrado consta de una parte de sección circular y una parte de sección cuadrada de lado L = 1 cm y longitud “x”. La parte de sección circular tiene un volumen de 24 x 10-6 _m3_{. Si la barra se somete a una}

fuerza de tracción de 20 000 Newtons, determinar la longitud “x” de la sección cuadrada y el diámetro de la sección circular, para que la energía total en el rango elástico sea mínima, indicar el valor de la energía mínima expresada en Joules.

E = 200 GPa

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (3era. Hoja de Trabajos Prácticos)

(2do. Periodo – 1986)

NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU SOLUCIÓN.

PROBLEMA N° 1 (3 puntos)

Un perno de acero se inserta dentro de un casquillo de latón tal como se indica en la figura. El perno tiene una sección transversal de 2 cm2 _{y un}

paso de rosca de 0.16 cm. Si la sección transversal del casquillo tiene un área de 6.5 cm2 _{determinar las deformaciones y los esfuerzos en ambos}

elementos, cuando a la tuerca se le da un cuarto de vuelta. Eacero= 2.1 x 106 kg/cm2

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

Se tiene dos barras de aluminio soldadas a las placas rígidas, las cuales a su vez están atravesadas por un perno de acero cuya rosca tiene un paso de 0.3175 cm. Si la temperatura se incrementa en 27 °C. Determinar el número de vueltas que se le debe dar a la tuerca para tener esfuerzos de igual valor en el perno y en las barras.

Ealuminio= 0.7 x 106 kg/cm2 Eacero = 2.1 x 106 kg/cm2

αaluminio = 28 x 10-6 αacero = 12 x 10-6

RESOLVER EL PROBLEMA APLICANDO EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

PROBLEMA N° 3 (7 puntos)

En el mecanismo mostrado solo los elementos A, B y C son deformables. Determinar el máximo valor de P en KN para que los esfuerzos que se produzcan en A, B y C no sobrepasen los admisibles.

Elemento Material Área (mm2_{) E (GPa)}

σ (MPa) A acero 300 200 140 B concreto 4000 30 20 C Latón 1000 100 60

PROBLEMA N° 4 (5 puntos)

a) Determinar las fuerzas en las barras de la estructura mostrada, cuando se aplica en B una fuerza de 6000 kg. Todas las barras tienen la misma sección y son del mismo material.

b) Determinar las reacciones en A, B, C y D. Usar método de rigidez.

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (4ta. Hoja de Trabajos Prácticos)

(2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1 (5 puntos)

Se tiene tres anillos de latón, cobre y acero, colocados tal como se indica en la figura. El diámetro interior del anillo de acero y el exterior del anillo de cobre es 12 cm. Conociendo sus espesores de 6 mm y 4 mm,

respectivamente; el anillo de latón tiene un espesor de 5 mm. Todos los anillos encajan exactamente cuando la temperatura es de 5° C; si la temperatura se eleva a 55° C. Determinar los esfuerzos en los anillos. Materiales E kg/cm2 _α

Acero 2.1 x 105 _{12 x 10}-6

Cobre 1.12 x 106 _{16.7 x 10}-6

PROBLEMA N° 2 (8 puntos)

Se tiene una estructura formada por tres barras construidas con materiales no linealmente elásticos y cuyas gráficas σ - ԑ se dan en la tabla 1.

Determinar las fuerzas en las barras, cuando se aplica en D una fuerza vertical P de 17900 kg y se incrementa la temperatura a las barras A, B y C en 90° C, -80° C y 36° C respectivamente. Material Área (cm2_{) α} A 5 20 x 10-6 B 2 26 x 10-6 C 1.5 25 X 10-6 PROBLEMA N° 3 (7 puntos)

La estructura mostrada está formada por dos barras de acero AB y DE y dos de bronce BC y CD. La barra AB fue cortada con una longitud de 0.40 cm, menos que la prevista. Hecho el montaje, la barra rígida se somete a una

carga de ω = 5000 kg/m, y posteriormente se hace variar la temperatura en las barras en la misma cantidad. Se pide:

a. Determinar los esfuerzos debido al montaje.

b. Entre qué valores puede variar la temperatura para los esfuerzos en las barras de acero y bronce, no sobrepasen los esfuerzos admisibles. Material E (kg/cm2_{) α} adm (kg/cm2) α Área (cm2₎ Acero 2 x 106 _{1680 12 x} 10-6 _{1.5 A} Bronce 0.84 x 106 _{1400 17 x} 10-6 _{1.0 A}

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (5ta. Hoja de Trabajos Prácticos)

(2do. Periodo – 1985)

NOTA.- EL PUNTAJE MÁXIMO SE ASIGNARÁ A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU

SOLUCIÓN.

PROBLEMA N° 1 (4 puntos)

Se tiene una barra curva constituida por 3/4 de circunferencia (situada en un plano horizontal) de radio igual a 1 m y cuya sección transversal está compuesta de un núcleo de acero y una cubertura de aluminio de radios 2 cm y 4 cm, respectivamente. Determinar los esfuerzos cortantes máximos en ambos materiales, debido a la torsión, cuando se aplica una carga P de 500 kg.

Tómese Gacero = 8.4 x 105 kg/cm2 Galuminio = 2.8 x 105 kg/cm2

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

Un motor mediante un conjunto de engranajes mueve un eje a 10 Hz. El motor entrega 52 KW a A y 45 KW a C. Determinar el diámetro del eje macizo sabiendo que el esfuerzo cortante admisible es 40 MPa y el ángulo de torsión no debe sobrepasar de 0.05 rad. Geje = 11 GPa

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (7a. Hoja de Trabajos Prácticos)

(2do. Periodo – 1986)

NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU

SOLUCIÓN.

Problema N° 1 (5 puntos)

Determinar el núcleo central de la figura que se muestra.

(Se determinará las coordenadas de sus vértices con referencia a los ejes principales y centrales.) Dibujar la sección a escala 1 cm <> 5 cm y dibujar sobre ella, a la misma escala, el núcleo central.

Problema N° 2 (5 puntos)

Sobre la sección triangular mostrada de una columna actúa sobre el punto A situado sobre el eje “y” una fuerza de compresión P (no se indica el elemento de conexión). Determinar la región en donde puede actuar otra fuerza de compresión de módulo 2P que nos asegure que toda la sección esté sometida a esfuerzos de compresión.

NOTA.- Se determinará las coordenadas de los vértices de la región, referida a los ejes principales y centrales, y se dibujará sobre la sección usando una escala 1 cm <> 10 cm.

Problema N° 3 (5 puntos)

El muro de sostenimiento mostrado se encuentra sometido a la acción de una carga repartida y una carga concentrada P aplicada en el punto A de la base superior. El muro está empotrado a una zapata rectangular de dimensiones “L” y “L/2”. Determinar:

a) ¿Cuál es el valor de la carga P que nos asegure que en la base del muro no se presenten esfuerzos de tracción?

b) ¿Cuál debe ser el diagrama de distribución de esfuerzos en la base del muro?

c) ¿Cuál deben ser las dimensiones de la zapata, expresadas en múltiplos de 5 cm, si la carga admisible del terreno es de 6 kg/cm2_?

Problema N° 4 (5 puntos)

Un pilar de 2.40 m de altura, sección rectangular de ancho 0.30 m constante, y longitud L variable entre 0.60 m y 1.20 m soporta la acción de una fuerza P de 21 ton tal como se indica en la figura.

El pilar se apoya sobre una zapata trapecial cuyas dimensiones se indican. Despreciando el peso propio del pilar y la zapata, determinar:

a) El máximo esfuerzo de compresión en el pilar.

b) El máximo esfuerzo de compresión en el terreno (Recuerde que la zapata no transmite esfuerzos de tracción al terreno)

RESISTENCIA DE MATERIALES I 8va. Hoja de trabajos prácticos

(2do. Periodo – 1986)

NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1 (5 puntos)

La viga AB, de sección triangular, está cargada tal como se indica en la figura. Para una sección “m” situada a 2 m del apoyo A determinar:

a) El diagrama de flujo vertical qxy

b) El diagrama de esfuerzos cortantes τxy

c) Determinar σmáx y τmáx en la sección m.

d) Indicar qué porcentaje de σmáx representa τmáx

Se ha fabricado una viga uniendo 4 tablones de madera por medio de cola. Determinar el máximo esfuerzo cortante en las uniones colocadas.

PROBLEMA N° 3 (5 puntos)

Se construye una viga con 5 tablones unidos por pernos pasantes tal como se muestra en la figura. Los pernos tienen un área transversal de 320 mm2

cada uno y espaciados longitudinalmente 150 mm. Si la luz de la viga es de 2.50 m y soporta una carga concentrada P = 4 500 kg en su punto medio. ¿Cuál es el máximo esfuerzo cortante en cada perno?

PROBLEMA N° 4 (5 puntos)

Se ha fabricado una viga compuesta (empotrada en un extremo) uniendo dos porciones de madera con una plancha de acero de 0.625 cm de espesor mediante pernos de ½” de diámetro espaciados longitudalmente 20 cm. Si el módulo de elasticidad del acero y la madera son 2 x 106 _kg/cm2 _{y 10}5

kg/cm2 _{respectivamente, determinar el esfuerzo cortante en los pernos,}

RESISTENCIA DE MATERIALES I 9na. hoja de trabajos prácticos

(2do. Periodo – 1986)

NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE

CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1 (4 puntos)

Determinar el centro de corte para la sección tubular mostrada.

Una fuerza de 1000 kg actúa en C y en un plano horizontal, determinar: a) Los esfuerzos principales en los puntos H y K.

b) Los planos en donde se producen los esfuerzos principales, dibujándolos mediante un cuadradito elemental e indicando en ellos los esfuerzos principales.

c) El máximo esfuerzo cortante en H y K; los planos en donde se producen. Dibujar los planos de corte máximo mediante un cuadradito elemental e indicar en ellos los esfuerzos cortantes.

PROBLEMA N° 3 (6 puntos)

Si la fuerza de 1000 kg del problema N° 2 actuase en el punto P conservando su dirección sin despreciar el esfuerzo cortante debido al corte, determinar, usando el círculo de Mohr

a) Los esfuerzos principales en los puntos H y K (ver figura del problema 2) los planos en donde se producen, dibujándolos mediante cuadraditos elementales e indicando en ellos los esfuerzos.

b) Los máximos esfuerzos cortantes en H y K, los planos en donde se producen dibujándolos mediante cuadraditos elementales e indicando en ellos los esfuerzos cortantes máximos.

Tómese para a/b: 1.5; α = 0.231 ; β = 0.196 ; n = 0.859 PROBLEMA N° 4 (5 puntos)

Una hélice cuyo peso es de 147.150 KN conectada a un eje de 2 m de longitud y 0.45 m de diámetro, sirve para impulsar una embarcación. El eje está conectado a un motor de 15 MW considerando que sólo el 85 % de esta potencia impulsa la embarcación, determinar los máximos esfuerzos principales y el máximo esfuerzo cortante cuando la embarcación va a 32 km/h si para esa velocidad el eje está girando a 100 r.p.m.

RESISTENCIA DE MATERIALES I 10 ma. hoja de trabajos prácticos

(2do. periodo – 1986)

NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE

CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1

A un tubo de pared delgada, se le aplica una fuerza P que hace que los esfuerzos de compresión σ0 que se producen, sean iguales a σf del material.

Para incrementar la carga en ΔP, se sugiere colocar una presión interna “q” al tubo de tal forma que parte de la carga sea resistida directamente por la presión. Usando el criterio de falla de Von Mises, hallar la expresión de ΔP que se debe incrementar. En qué caso el efecto de “q” es útil y en qué caso no.

∆ P= A (

√

σ

₀2

+

B−σ

₀

)

A y B son constantes

PROBLEMA N° 2

Se ha construido una cúpula de espesor “e” usando un concreto especial de peso específico “γ”, usándose 20.521 kg de este material. Construida la cúpula (y antes de desencofrar) se colocaron en la superficie de la cúpula y a un metro del vértice dos “straing gages”, los cuales cuando la cúpula

estuvo terminada (y desencofrada) dieron las siguientes lecturas ϵa =

-777.5 x 10-9 _{y ϵ}

b = -2087.5 x 10-9 se pide determinar:

a.- El peso específico del concreto usado b.- El espesor de la cúpula c.- El ancho del anillo de borde.

d.- La cantidad de acero que se debe usar en el anillo considerando un factor de seguridad de 5

Tómese para el concreto

v = 0.2 E = 105 _kg/cm2 _σ adm = 170 kg/cm2 Para el acero E = 2.1 x 106 _σ f = 5000 kg/cm2 Para el terreno σadm = 4 kg/cm2 PROBLEMA N° 3

Un eje que gira con aceleración angular constante de 5 rad/seg2 _está

conectado a un disco rígido de 30 cm de radio. En la superficie del disco se suelda una barra de 15 cm de longitud, 2” de diámetro y peso 0.0018 kg/m. ¿Cuál es el valor del esfuerzo máximo cuando ω = 1000 r.p.m.?

¿Qué tiempo transcurre desde el inicio del movimiento hasta que el material comience a fluir? Si σf = 7000 kg/cm2

Nota.- Recuerde que la aceleración radial es ω2_{R y la componente}

PROBLEMA N° 4

Se han construido dos tanques cilíndricos de igual dimensiones soldando planchas cuadradas de espesor “e”, los cuales contendrán aire comprimido. Sabiendo que el esfuerzo admisible perpendicular a la soldadura 630 kg/cm2_{, usando el criterio de Treica y Vond Mises determinar el espesor y la}

presión que pueden soportar si σf = 6000 kg/cm2. Úsese un coeficiente de

seguridad de 2.

PROBLEMA N° 5

A una temperatura dada un voladizo toca justamente un plano sin fricción. Calcúlese el momento flexionante máximo si la temperatura de esta se eleva en ΔT. Despréciese el peso de la viga y el efecto de la fuerza axial en la deflexión por flexión. Las cantidades A,E, I y α son datos.

PROBLEMA N° 6

Determinar los diagramas del momento flector y fuerza cortante para una viga de acero que se apoya en dos barras de madera articuladas.

Viga I = 30 x 106 _mm4 _{E = 200 GPa}

RESISTENCIA DE MATERIALES I Primer Examen

(2do. Periodo – 1986) Indicaciones

1. Los alumnos resolverán cuatro de los cinco problemas propuestos. 2. Las aclaraciones sobre el texto de los problemas será hecha sólo por

los profesores del curso.

3. El puntaje máximo se asignará a los problemas que tengan valores corectos, bien presentados, acompañados de diagramas de cuerpo libre necesarios para la solución.

4. No se podrá usar libros, apuntes, tablas, etc.

PROBLEMA N° 1 (5 puntos)

Una caja de forma rectangular con dimensiones “a”, “b”, y “L”: contiene un sólido deformable de módulo de elasticidad E y módulo de Poisson v en la forma que se indica en la figura. Si a este material se le aplica una presión uniforme σ0 sobre su superficie horizontal superior y sabiendo que el resorte

tiene una constante elástica “K”, determinar:

a) La deformación del resorte, en función de a, b, L, E, σ0, v y K.

b) Si la constante K del resorte fuese nula, calcular el cambio de volumen del sólido.

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

Se tiene una barra rígida sostenida por tres barras de 4.20 m de longitud, formadas por un núcleo de aluminio (E = 0.7 x 105 _kg/cm2_{, Área = 6 cm}2 _{y α}

= 22.5 x 10-6_{) y una cubertura de acero (E = 2.1 x 10}6 _kg/cm2_{, A = 8 cm}2 _{y α}

= 12 x 10-8_{) soldadas entre sí.}

a.- Determinar el máximo valor de la carga P que se le puede aplicar a la barra rígida; si simultáneamente se aumenta la temperatura de la barra I en ΔT = 50 ° C; para no sobrepasar los esfuerzos admisibles del acero (1200 kg/cm2_{) y del aluminio (800 kg/cm}2₎

b.- Calcular los esfuerzos en el acero y en el aluminio en las 3 barras para el valor de la carga P calculada en “a”.

PROBLEMA N° 3 (5 puntos)

El eje de una mezcladora, que funciona como un elemento a torsión, se construye soldando a un tubo circular cuatro piezas rectangulares como paletas. El tubo tiene un diámetro exterior de20 cm y un diámetro interior de 16 cm; cada una de las paletas tiene una sección de 5 cm x 15 cm. Si el esfuerzo admisible es τ = 620 kg/cm2_{, determinar el momento torsor}

máximo que puede aplicarse a dicho elemento. Datos: α = 0.267; β = 0.263; n = 0.753

PROBLEMA N° 4

Se ha construido una viga empleando un material cuyo módulo de

elasticidad en tracción es Et = 350 x 103 kg/cm2 y en compresión Ec = 875 x

103 _kg/cm2_{. La viga es de longitud 5 m y está sometida a la acción de un}

momento flector negativo M. El radio de curvatura del plano neutro es 960.00 m.

Se pide:

a) Determinar la posición del eje neutro y la máxima deflexión de la viga.

b) Calcular el momento M, y los esfuerzos máximos en la sección transversal.

PROBLEMA N° 5

Una columna corta está sometida a la acción de una fuerza P de compresión de 30 toneladas perpendicular a la sección y actuando en el punto A.

Determinar:

a) La ecuación del eje neutro y dibujarlo sobre la sección de la columna (Dibujar la sección a escala 1 cm <> 5 cm)

b) Dibujar el diagrama de distribución de esfuerzos normales, indicando los valores máximos y mínimos.

Profesores: Ing° J. Granadino Ing° P. Obando Ing° M. Tinman

TERCER EXAMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (2do. Periodo – 1986)

PROBLEMA N° 1 (5 puntos) a.- (2.5 puntos)

Partiendo de la expresión que permite determinar el criterio de falla según Von Mises, cuando se conoce los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3; comprobar

que cuando el estado tensional está referido a un sistema ortogonal derecho x, y, z: dicho criterio queda definido por

2 σ

_f2

=

(

σ

_x

−

σ

_y

)

2

+

(

σ

_y

−

σ

_z

)

2

+

(

σ

_x

−

σ

_z

)

2

+6

(

τ

2_xy

+

τ

2_xz

+

τ

2_yz

)

b.- Deducir la expresión que permite determinar el desplazamiento del punto medio M, debido a una fuerza P situada a una distancia genérica x’ del apoyo A (ver figura a). Empleando este resultado y el principio de

superposición de efectos determinar las reacciones y los diagramas de M.F. y F.C. para la viga que se muestra en la figura b.

Sabiendo que el apoyo B de esta viga sufre un asentamiento vertical de 1.2 cm. Tómese EI = 16800 Ton.m2_.

PROBLEMA N° 2 (5 puntos)

Empleando el método vectorial de rigidez, determinar: a) Las fuerzas en todas las barras; b) Los desplazamientos totales de los nudos 2 y 3; c) Las reacciones en los apoyos; sabiendo que la barra 2-4 ha resultado 4 mm más larga que la longitud prevista en el proyecto. Considerar además un cambio de temperatura de -40° C para todas las barras.

Tómese E = 2.05 x 106 _kg/cm2 _{α = 11.7 x 10}-6_{/ °C}

Las diagonales 1-3 y 2-4 tienen un área transversal de 6.5 cm2 _{y todas las}

demás 8.2 cm2_.

PROBLEMA N° 3

El elemento estructural mostrado está formado por un eje macizo de 4 cm de diámetro y una sección tubular abierta a lo largo de su generatriz cuyos diámetros exterior e interior son 12 cm y 10 cm, respectivamente. Ambos elementos están conectados por un disco rígido, recubierto por un material aislante, y soldado a él, tal como se indica en la figura.

Sabiendo que inicialmente se aplica un momento torsor en el extremo 3 del eje que causa un giro de 0.1 rad en este extremo, y que posteriormente el eje sufre un aumento de temperatura ΔT. Calcular el cambio de temperatura

máximo que puede sufrir el eje para que no fallen ni el eje ni el tubo. Usar el criterio de falla de Von Mises tomando un factor de seguridad de 2. Tómese para el eje y para el tubo.

E = 2 x 106 _kg/cm2 _{G = 870 000 kg/cm}2 _σ

f = 2400

kg/cm2

α = 10 x 10-6_/°C

PROBLEMA N° 4 (5 puntos) Para la viga mostrada

a) Determinar en el empotramiento la distribución de esfuerzos cortantes y esfuerzos normales.

b) Dibujar los diagramas de M.F. y F.C. para la viga.

PROBLEMA N° 5 (5 puntos)

La viga mostrada tiene sección rectangular de 80 x 200 mm y está sometida a la acción de una carga P de 400 KN que actúa en uno de los planos de simetría. Determinar los esfuerzos principales y el máximo esfuerzo cortante que se produce en el punto A.

Dibujar los planos en donde se producen estos esfuerzos indicando sobre ellos los esfuerzos determinados.

1

era _PRÁCTICA

1) Trasladamos la fuerza P al centro de la columna:

Haciendo equilibrio:

(I) P = 4 F  F = 1000 kg

(II) M =4 F'

(

4

√

2

)

→ F'=3000

√

2 kg Luego:

Como la componente horizontal es la misma

La fuerza resultante será mayor en los puntos “A” y/o “B”

R=

[

(

F+

F

'

√

2

)

2

−(

F

'

√

2

)

2

]

1 /2

=5000 kg

τ

_m

=

R

A

→ A=

5000

1000

=5 cm

2

d=

(

4 A

π

)

1 2

(

1

2.54

)

→d =1

2) Respecto al eje X: En el nudo E: EM = 0 P(2) = FED(2) FED = P Por simetría: FEB = FEA

∑

Fy=0

2 F

EA

[

2

√

2

(

(

2

√

2

)

2

+

2

2

)

1 2

]

√

2

2

+

F

ED

=0

F

_EA

=

F

_ED

=−0.866 P

En el nudo D:

∑

M=0

Por simetría:

F

D B

=

F

DA

∑

F

y

=0

2 F_DB 2

(

(

2

√

2

)

2+22

)

1/ 2 +F_DC=0  FDC = FDA = -1732 P Luego:

σ

_ED

=

P

10

≤ 1200 → P ≤12000 kg

σ

_EA

=

σ

_EB

=

0.866 P

10

≤800 → P≤ 9237.6 kg

σ

_DC

=

2 P

10

≤1200 → P ≤ 6000 kg

σ

_DB

=

σ

_DA

=

1.732 P

10

≤ 800 → P ≤ 4618.9 kg

∴ P

máx

=

4618.9 kg

3) Para toda la estructura:

∑

M

_D

=0

_{: 5000 (70) = F} y(250)  Fy = 1400 kg ( ↓ )

∑

F

_y

=0

_{: 5000 + 1400 = D} y  Dy = 6400 kg ( ↑ )

En F :

τ

_m

=

1400

2

A

_F

=900

kg

cm

2

→ A

F

=

0.777 cm

2

→ d

_F

=

(

4 A

F

π

)

1 2

(

1

2.51

)

=0.39 → {d} rsub {F} = {3.13

¿

8

→

4

8

∴d

F

=

1

2

∑

M

E

=0

: C_y(100) = 1400 (200) -> Cy = 2800 kg

∑

Fy=0 _{: 1400 + Ey = 2800 ->} EY = 1400 kg

∑

M

_B

=0 Tsenθ( 90)+2800 (130 )=5000 (90)

T =1592.592 kg

∑

F

y

=0 Tsenθ+B

y

=5000+2800 → B

y

=6844.44 kg

∑

Fx=0Tcosθ=Bx→ Bx=1271 kg

∑

F

x

=

0

E

x

=1274 kg

∑

Fy=0

−

E

y

+

6844.44=6400

E

y

=444.44 kg

Luego: En el pasador B: B=

√

B_x2+B2_y=6962 kg

τ

_m

=

6962

A

=900

kg

cm

2

}

A=273 cm

2

→ d=

9.88

8

¿

}

∴ d=(

5

4

)

¿ En el pasador E:

E

2

=

E

x 2

+

E

y 2

E=

√

1274

2

+

955.56

2 E=1592.536 kg

τ

_m

=

1592.536

A

=

900

kg

cm

2

}

A=1.77 cm

2

→ d=

(

4.73

8

)

¿

}

∴ d=

5

8

¿ b)

σ

t

=

1592.592

A

=1200 → A=1.327 cm

2

→d =

4.09

8

”

}

∴ d=

5

8

¿ c) En D:

σ

_c

=

6400

A

=4

kg

cm

2

→ A=1600 cm

2

∴ PLANCHA DE40 x 40 cm

d) En F:

σ

_aplast

=

F

_y

2

t d

_f

=

700

(

3

4

} right ) left ({{1} over {2}} ^ {

)

(

2.5)

2

=28933

kg

cm

2 4)

F=mω

2

x dm=

γ

g

dv

dF=ω

2

xdm dV = ydxt

→ dF=

ω

2

xtb

L

x ( L−x ) dx

F=

ω

2

_γtb

gL

∫

_x L

x (L−x )dx=

ω

2

xtb

6 g

(

L

2

_{−3 x}

2

+

2 x

3

L

)

Luego: a)

σ

(x)

=

F ( x)

A ( x )

=

; A (x )=t

b

L

(

L−x )

σ

_(x)

=

ω

2

_γ

6 g

(−2 x

2

+

Lx+L

2

)

b) c)

σ

(x)más

:

dσ ( x)

dx

=0 → x=

L

4

→ σ

(

L

4

)

=

σ

máx

=

3 ω

2

γ L

2

16 g

Evaluando :

L=1 m, t=0.01 m ,b=0.1 m, γ=7800

kg

m

3

ω=1200 r . p . m. , g=9.8 x 3600

m

min

2

σ

máx

=59693.87

kg

m

2

=5.97

kg

cm

2 d)

σ

(x)

=

ω

2

γ

6 g

(

−2 x

2

+

Lx +L

2

)

=

−

ω

2

γ

3 g

[

(

x−

L

4

)

2

−

9 L

2

16

]

σ

(X )

+59.6938=

−

ω

2

γ

3 g

(

x−

L

4

)

2

2 da _PRÁCTICA 1. a) EN EL NUDO A:

∑

F

_x

=

0: R=Q cosα

_{… 1}

∑

F_y=0 :1500=F +Qsenα … 2 ADEMÁS : (C’D’)2 _{+ (B’D’)}2 _{= (B’C’)}2

y C

'

D

'

=

CD (1−ε

CD

)

B

'

D

'

=

BD (1+ε

BD

)

B

'

C

'

=

BC

(

1+ε

BC

)

Luego :

CD

2

(

1−2 ε

CD

+

ε

CD 2

)

+

BD

2

(

1+2 ε

_BD

+

ε

2_BD

)

=

BC

2

(1+2 ε

_BC

+

ε

_BC2

)

9

(

1−2 ε

CD

)

+16

(

1+2 ε

BD

)

=25(1+2 ε

BC

)

−9 ε

CD

+

16 ε

BD

=25 ε

BC

₋₉

(

R

5

E

)

+16

(

F

10

E

)

=25(

Q

3

E

)

24 F−27 R=125 Q … 3

Resolviendo 1, 2 y 3 F = 13 200 kg R = 1350 kg

Q = 2250 kg b)

_δ

_AC

₌

_δ

_BD

=(

AC) ε

_AC

=(

AC )

(

F

10

E

)

=

0.2514 cm

_δ

_AB

₌

_δ

_CD

₌₍

_{AB) ε}

_AB

₌₍

_AB)

(

R

5

E

)

=0.03857 cm

_δ

_AD

₌

_δ

_BC

₌₍

_{AD ) ε}

_AD

₌₍

_{AD )}

(

Q

3

E

)

=

0.17857 cm

HACIENDO EQUILIBRIO :

P=

∫

a b

(

k y

2

L

)

dy =

k L

2

3

=

P

→ k=

3 P

_L

2 Luego : A una distancia y :

P ( y )=

∫

0 y

(

k y

2

L

)

dy=P(

y

L

)

3

kg

En el punto medio : P(200) = 15 000 kg →∆ A A =2 ν τ E= 2

(

0.15

)

(

15000 A

)

7 x 105 → ∆ A=0.135 cm 2

∆ V =

1−2 ν

E

∫

₀ 100

P ( y ) dy=1.2 cm

3

δ=

∫

0 L

P ( y )

EA

dy=

PL

4 EA

=

120000 x 400

4 x 1 x 10

5

x 100 π

=0.382 cm

ε

_yy

=

1

E

(

σ

xx

−

γ σ

yy

)

ε

xx

=

40.476 x 10

−6

ε

yy

=

1

E

(

σ

yy

−

ν σ

xx

)

ε

yy

=−33.81 x 10

−6 Luego :

δ

xx

=

ε

xx

l

xx

=40.476 x 10

−6

l

xx

δ

yy

=

ε

yy

l

yy

=−33.81 x 10

−6

l

yy

Tg θ

'

=

Tgθ−33.81 x 10

−6

Tgθ

1+40.476 x 10

−6

(

1)

m=Tg θ

'

=1.73192

h’ = h – 33.81x10-6_{h -> h disminuye en 3.38 x 10}-3 _%

4. U1 = Energía de deformación para la sección cuadrada

U2 = Energía de deformación para la sección circular

U = U1 + U2

U

1

=

Fd

2

=

F

2

(

Fx

E A

1

)

=

F

2

_x

2 E A

1

U

2

=

Fd

2

=

F

2

(

F(0.2−x)

E A

₂

)

=

F

2

(0.2−x )

2 E A

₂ Luego :

U=

F

2

2 E

(

x

A

+

(0.2−x )

2

0.24 x 10

−6

)

→

dU

dx

=0 → x =8 cm

V

cil

=

(

π d

2

4

)

(0.2−0.08 )→ d=1.59 cm

U

mín

=

U (0.02)=1.4 joules .

3 era _PRÁCTICA 1. EQUILIBRIO DE LA TUERCA : LUEGO :

δ

a

+

δ

c

=

∆

_E

Fl

_a

_E

_a

+

_E

Fl

_l

_E

_l

=0.16 x

1

₄

→ F=25.5140 kg



δ

a

=0.0253 cm σ

a

=12757

kg

cm

2

(

T )

δ

l

=0.016 cm σ

l

=392 523

kg

cm

2

(

C)

δ

_{a ∆ T}

=

α

_a

l

_a

∆ T =0.0378 cm

δ

A ∆ T

=

α

A

l

A

∆ T =0.0178 cm

2 F

a

=

F

A Además :

δ

A

=

δ

A ∆ T

+

δ

A F

δ

a

=

δ

a ∆ T

+

δ

a F

δ

a ∆ T

−

F

_a

l

_a

E

a

A

a

=

δ

_{A ∆ T}

+

2 F

a

l

a

E

A

A

A

δ

a

=

δ

A

=

d



F

a

=855.788 kg

F

A

=1711.576 kg

σ

a

=

F

_a

π (2.5)

2

/

4

=174.34

kg

cm

2

(

C)

σ

A

=

F

_A

π (2.75)

2

/

4

=288.165

kg

cm

2

(

T )

Luego :

F

A

=

(

E

_A

A

_A

l

_A

)

δ

A

=150 x 10

5

∅

₁

, N

F

B

=

(

E

_B

A

_B

l

_B

)

δ

B

=750 x 10

5

∅

₂

−0.3 x 10

5

N

F

C

=

(

E

_C

A

_C

l

_C

)

δ

C

=250 x 10

5

(

∅

₁

−∅

₂

)

N

Reemplazando en (1) y (2) :

∅

1

=5.946 x 10

−8

p+1.62 x 10

−4

∅

2

=1.0812 x 10

−8

p+3.564 x 10

−4 Entonces :

F

A

=841.9 x 10

−3

p+2430

F

B

=810.9 x 10

−3

p−3270

F

C

=1216.2 x 10

−3

p−4860

Por condiciones del problema :

σ

_A

=

F

A

A

A

≤ 140 x 10

6

N

m

2

→ P ≤ 44 365.96 N

σ

B

=

F

_B

A

B

≤20 x 10

6

N

m

2

→ P ≤ 102688.371 N

σ

_C

=

F

C

A

C

≤60 x 10

6

N

m

2

→ P ≤ 53330.044 N

∴ P

máx

=

44.4 KN