Solución a los ejercicios de vectores:

Solución a los ejercicios de vectores:

Nota 1: Estas soluciones pueden tener errores y erratas (es un rollo escribiros las soluciones bonitas con el ordenador), así que hay que verlas con espíritu crítico y confiar también en vuestra lógica y vuestro “saberhacer”. Se agradecerá que los errores que se puedan detectar sean comunicados al profe, Diky Moc!!.

1. Determinar las componentes de un vector de módulo 5 unidades, que forma 60º con el eje positivo OX. ¿Y si el ángulo es de 120º ?

Solución: a) 3 2,5· 2 3 5· 5·sen60 v·sen y v 2,5 2 1 5· 5·cos60 v·cos x v = = = = = = = = α α b) 3 2,5· 2 3 5· 5·sen120 v·sen y v 2,5 2 1 -5· 5·cos120 v·cos x v = = = = − = = = = α α

2. ¿Qué dirección (ángulo con eje OX) tendrá el vector de coordenadas (-4, 7)? ¿Y el vector (3,-4)? ¿Y el vector (0,-6)? ¿Cuáles serán las coordenadas de los vectores opuestos (de sentido contrario) a estos?

Solución: a) -60,26 4 -7 arctg v v arctg x y _=      =       = 1

α

pero en realidad estamos buscando un ángulo en el II cuadrante (cos <0 y sen >0) luego:

α

₁ =180º−60,26º=119,74º

b) ₂ =−53,13º      =       = 3 4 -arctg v v arctg x y

α (o lo que es lo mismo, si queremos escribir este ángulo del III cuadrante como positivo (sentido contrario a las agujas del reloj)

º 77 , 306 º 13 , 53 º 360 2 = − =

α

)

3. Un vector tiene su punto de aplicación (origen) en el punto (2,4) y su extremo en el punto (7,7). Determina el módulo de ese

vector, así como su dirección (ángulo con OX) Solución

)

3

,

5

(

)

4

7

,

2

7

(

)

,

=

−

−

=

=

(v

x

v

y

v

r

34

9

25

+

=

=

+

=

=

2 y 2 x

v

v

v

v

r

31,0º 30,96º 5 3 arctg v v arctg x y ≈ =       =       = α

4. Calcula el módulo del vector cuyas coordenadas son (4,-3) Solución:

v

=

v

r

=

v

_x2

+

v

_y2

=

4

2

+

(

−

3

)

2

=

25

=

5

>

0

5. La suma de vectores, ¿será conmutativa?. Demostrarlo gráficamente mediante (2,4)

Solución: ya lo hemos visto en clase la suma de vectores es conmutativa (os dejo como ejercicio “demostrarlo” gráficamente mediante un ejemplo)

6. Las direcciones de dos vectores, cuyos módulos son de 3 y 4 unidades, forman entre sí un ángulo recto. ¿Cuánto valdrá el módulo de su resultante?

Solución:

R

=

R

=

3

2

+

4

2

=

5

r

7. En el caso anterior, ¿cómo podríamos determinar la dirección del vector resultante?

Solución: Suponiendo los vectores coincidiendo con los ejes X e Y:

)

0

,

3

(

)

,

1

=

(v

1x

v

1y

=

v

r

y

v

r

₂

=

(v

_2x

,

v

_2y

)

=

(

0

,

4

)

v

r

₁

v

r

₂

r

+

=

⇒ R

y aplicando trigonometría básica, el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es: º 13 , 53 =       = 3 4 arctg

α

=

(esta sería la solución si el vector de módulo 4 esta verticalmente) 8. ¿Cómo se procederá para determinar la resultante de un conjunto de vectores

libres?

Solución: Desplazando los vectores hacia el mismo punto y haciendo coincidir sus orígenes.

9. ¿Cómo se determinaría la resultante (gráfica) de un conjunto de vectores que poseen la misma dirección:

a. con igual sentido,

b. con sentidos diferentes.

¿Qué conclusiones pueden deducirse de estas situaciones? Solución: Pensadlo vosotros, es fácil

10. Obtener todos los elementos de la resultante de los vectores

A

=

(2,5)

r

,

(0,-3)

=

B

r

y C r

un vector de módulo=4 unidades y α=35º. Solución:

C

=

(C·cos35,

C·sen35)

=

(4·cos35,4

·sen35)

=

(

3,28

;

2,29)

r

0,71)

(5,28;

)

(3,28;2,29

3)

(0,

(2,5)

+

−

+

=

−

=

+

+

=

A

B

C

R

r

r

r

r

33 , 5 ) 71 , 0 ( ) 28 , 5 ( 2+ − 2 = = =R R r

7

,

66

º

28

,

5

71

,

0

−

=













₋

=

arctg

α

11. ¿Puede el módulo de un vector ser negativo? ¿Y las componentes de un vector, pueden ser negativas?

Solución: No, los módulos siempre son positivos

Si, por supuesto que pueden serlo, son números escalares “normales”. 12. Dibujar los vectores:

A

=

(-3,-4)

r

,

B

=

(0,-3)

r

y

C

=

(-3,4)

r

13. Dados los vectores ar =(1,0) y

b

=

(3,0)

r

. Obtener el vector c a b r r r + = Solución:

c

=

a

+

b

=

(1,0)

+

(3,0)

=

(4;0)

r

r

r

14. Dados los vectores er =(2,0) y

f

=

(0,3)

r

. Obtener el vector h e f r r r · 2 · 3 + = Solución:

h

=

3

·

e

+

2

·

f

=

3

·

(2,0)

+

2

·

(0,3)

=

(3·2;2·3)

=

(6;6)

r

r

r

15. Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 12 unidades y forma un ángulo de 30° con la parte positiva del eje OX.

Solución: Este tipo de ejercicio lo hemos hecho ya un millón de veces.

6 2 1 12· 12·sen30 v·sen y v 3 6· 2 3 12· 12·cos30 v·cos x v = = = = = = = = α α

16. Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 8 unidades y forma un ángulo de 300° con la parte positiva del eje OX.

Solución: 3 -4· 2 3 8· 8·sen300 v·sen y v 4 2 1 8· 8·cos300 v·cos x v = − = = = = = = =













α α 17. Dado el vector

A

=

(-3,7)

r

, comprueba que el vector

A A u r r r = es un vector de modulo unidad en la misma dirección y sentido que

A

r

. (Ayuda: Calcula el vector

u

r

y después usa la fórmula (3) para comprobar que la tangente de los ángulos que forman con el eje X , tanto

A

r

como

u

r

son iguales. Solución:

A

=

(-3,7)

r

58 A A A= = _x2 + _y2 = ⇒ _Ar       ₋ = − = = = 58 7 , 58 3 ) 7 , 3 ( 58 1 · 1 A A A A u r r r r r

Veamos que ambos vectores forman el mismo ángulo con el eje X:

      = = ⇒                =           =       =       =       = 3 -7 arctg α α 3 -7 tg 58 3 -58 7 tg u u tg ) tg(α 3 -7 tg A A tg ) tg(α u A X Y u X Y A

18. Determina TODAS las características (módulo, ángulo con eje X) del vector

A

r

del ejemplo anterior.

Solución: Solo os queda por obtener el angulo que A=(-3,7)

r

forma con el eje X. -66,8º 3 -7 arctg =      =

α Ojo!!! este ángulo está en el IV cuadrante pero nuestro vector esta en el II cuadrante tenemos que buscar el ángulo equivalente. ⇒α =180-66,8º=113,2º

19. Dado los vectores A=-5i +4j; B=-i -7j. Obtener todas las características del vector P= 5A -3B.

Solución:

P

=

5

·

A

−

3

·

B

=

5

·

(-5,4)

−

3

·

(-1,-7)

=

(

−

25

+

3

;

20

+

21

)

=

(

−

22

;

41

)

r

r

r

El módulo y el ángulo que forma P con el eje x lo calculáis vosotros (ya sabéis como). 20. Dado el vector

H

i

j

r

r

r

5

2

+

=

. Obtener un vector unitario en su MISMA dirección y sentido. Solución:

H

=

i

+

j

=

(

2

,

5

)

r

r

r

5

2

⇒ H = H = H_x2 +H_y2 = 29 r ) 93 , 0 ; 37 , 0 ( 29 5 , 29 2 ) 5 , 2 ( 29 1 · 1 =       = = = = H H H H u r r r r r

21. Expresar en notación de vectores unitarios (como suma de vectores unitarios

i

r

y

j

r

) los vectores de los ejercicio 14 al 18.

Solución: Os dejo este ejercicio a vosotros para que practiquéis, es trivial.

22. Dado el vector

a

r

con origen en el origen de coordenadas y de componentes: ax=3 unidades, ay=4 unidades. Exprésalo en forma vectorial, calcula su módulo y

el ángulo que forma con el eje OX Solución:

)

4

,

3

(

=

+

=

i

j

a

r

r

r

4

3

; v = ar = 42+32 = 25 =5>0 ; =53,13º      = 3 4 arctg α

23. ¿Es posible que la suma de dos vectores, de módulos 3 y 4 sea un vector de módulo 1?

Solución: ¿Que pensais vosotros? Que ocurriría si por ejemplo sumamos los vectores

El modulo de la suma de dos vectores siempre cumple que:

b

a

b

a

b

a

r

r

r

r

r

r

+

≤

+

≤

−

i

r

4·

i r 3·

-Esto no hay que saberlo para mi asignatura es solo por información y curiosidad. Trata de imaginarte o de dibujar de que forma puedes sumar dos vectores para obtener un vector lo más largo posible (módulo mayor) o lo más corto posible (módulo menor).

24. Calcula las componentes cartesianas del vector a que tiene por origen el origen de coordenadas, de módulo cinco unidades y que forma un ángulo de 52º con el eje de las abscisas.

Solución: 94 , 3 788 , 0 · 5 08 , 3 616 , 0 · 5 = = = = = = = = 5·sen52 v·sen y v 5·cos52 v·cos x v α α