NOTAS DE CURSO SEMESTRE 2019-I ELHOIM SUMANO RAM´IREZ
´Indice
1. Preliminares 1
2. Anillo de polinomios en una indeterminada 2 3. Anillo de polinomios en varias indeterminadas 5
Tarea 1 7 4. Conjuntos algebraicos 9 5. Ideales radicales 10 Tarea 2 12 6. El funtor X 7→ k[X] 16 7. Subespacios irreducibles 21
8. Conjuntos algebraicos del plano sobre un dominio de factorizaci´on ´unica 29
Tarea 3 38
9. El Teorema de los ceros de Hilbert 41
10. El espectro de un anillo 45
11. La gavilla de funciones racionales 48
Tarea 4 53
Referencias 56
1. Preliminares
Recuerda que un anillo (conmutativo con uno) es un conjunto A junto con dos operaciones binarias:
A×A suma // A
(a, b) 7−→ a+b y
A×A producto // A
(a, b) 7→ a·b =a b
que cumplen las siguientes propiedades:
Sia, b, c∈A, entonces a+ (b+c) = (a+b) +c, a(bc) = (ab)cy a(b+c) = (ab) + (ac). Se tiene que a+b=b+a y ab=ba para cualesquiera a, b∈A.
Existe un elemento 0∈A, llamado elneutro aditivo o elcero, tal quea+ 0 =a= 0 +a
para cualquier elemento a∈A.
Para todo a ∈ A existe un elemento −a ∈ A, llamado el inverso aditivo de a, con la propiedad quea+ (−a) = 0 = (−a) +a.
Existe un elemento 1 ∈ A, al que llamamos el neutro multiplicativo o el uno, tal que
a1 =a = 1a para cualquier elemento a∈A.
SiAes un anillo, unsubanillodeAes un subconjuntoB ⊆Atal que 1∈By−a, a+b, ab∈B
para cualesquiera a, b∈B.
... Z,Q,R,Co´ ZmZ para algunam∈N ....
A. Unmorfismo de anillos es una funci´on entre anillosf: A // B tal que:
f(1) = 1, f(a+b) =f(a) +f(b) y f(ab) = f(a)f(b) para cualesquiera a, b∈A.
§1.1. SiA es un anillo, un ideal de A es un subconjunto a⊆A no vac´ıo, con la propiedad que −a, a+b, xa∈B para cualesquiera a, b∈a y x∈A. Denotamos como
§1.1.1. Sif: A // B es un morfismo de anillos, recuerda que el n´ucleo y la imagen de f
son los siguientes subanillos: ker(f) = na∈A f(a) = 0 o y im(f) = nb∈B b =f(a) para alguna a ∈A o ,
respectivamente. No es dif´ıcil notar que ker(f) es de hecho un ideal de A.
El siguiente enunciado es conocido como elPrimer Teorema de isomorfismopara anillos con uno:
Proposici´on 1.1. Si f: A // B es un morfismo de anillos con uno, entonces la regla de asociaci´ona+ ker(f) 7→ f(a)determina un morfismo de anillos con uno fe: A/ker(f) // B , el cual induce un isomorfismo de anillos:
A //
B
A/ker(f) // im(f)
2. Anillo de polinomios en una indeterminada
Sea k un anillo (conmutativo con uno). Un polinomio con coeficientes en k en una inde-terminada es una funci´on σ: N // k tal que
sσ(s) 6= 0 es un subconjunto finito de N. Si σ es un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada, a σ(s) ∈ k lo llamamos el coeficiente de σ en grado s. Denotamos como k[X] al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k en una indeterminada.
La funci´on constante de N en k con valor 0 es llamada el polinomio (constante) cero. El grado de un polinomio distinto del cero es denotado comograd(σ) y definido como el elemento m´aximo del subconjunto no vac´ıosσ(s)6= 0 de n´umeros naturales.
Si σ, µ ∈k[X] la suma de σ+µy el producto de σ·µson los polinomios definidos por las f´ormulas: σ+µ(s) =σ(s) +µ(s) y σ·µ(s) = X r+t=s σ(r)·µ(t), respectivamente.
Lema 2.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjuntok[X] con la suma y el producto definidos arriba forman un anillo conmutativo con uno. M´as a´un, se tiene que:
grad(σ+µ)≤max grad(σ), grad(µ) y grad(σ·µ)≤grad(σ) +grad(µ),
siempre que los grados en las f´ormulas tengan sentido.
Por otro lado, si k es un dominio entero k[X] tambi´en lo es, es decir si σ, µ ∈ k[X] son polinomios distintos del cero entonces σ ·µ es un polinomio distinto del cero; en este caso
grad(σ·µ) =grad(σ) +grad(µ).
Nota que los polinomios de grado cero son exactamente aquellas funciones σdeNenk tales que σ(0) 6= 0 yσ(s) = 0 siempre que s6= 0. Se sigue que la funci´on:
(1) k σ• // k[X] definida como σa(s) = a si s= 0 0 si s6= 0
tiene como imagen al conjunto de los polinomios de grado cero junto con el polinomio (cons-tante) cero. La imagen deσ• enk[X] es por definici´on el conjunto de lospolinomios constantes. En particular, los polinomios de grado cero son los polinomios constantes distintos del cero. Lema 2.2. Si k es un anillo conmutativo con uno, la funci´on σ• de (1) es un morfismo de anillos (con uno) el cual es inyectivo, en particular el conjunto de los polinomios constantes es un subanillo de k[X] que podemos identificar con k.
Por el Lema anterior, si a ∈ k usamos la misma letra para denotar al polinomio constante
σa, es decir escribimosσa =a. Por otro lado definimos alpolinomio indeterminada X como la
funci´on: (2) N X // k definida como X(s) = 1 si s= 1 0 si s6= 1. Es f´acil mostrar:
1.- Si m ≥ 0 es un n´umero entero, entonces Xm es la funci´on definida como X(m) = 1 y
X(s) = 0 si s6=m.
2.- Si m ≥ 0 es un n´umero entero y a ∈ k, entonces a·Xm es la funci´on definida como a·Xm
Se sigue entonces que siσ: N // k es un polinomio con coeficientes en k en una indeter-minada, entonces: σ = X s∈N σ(s)·Xs = σ(d)·Xd+· · ·+σ(1)·X+σ(0) donde d=grad(σ).
A partir de ahora podemos decir: considera p(X) =
d
P
s=0
asXs = adXd+· · ·+a1X +a0 un polinomio con coeficientes en k, cada vez que queramos hablar de la funci´on σ: N // k
definida por σ(s) =as si 0≤s ≤d y σ(s) = 0 si s > d.
Proposici´on 2.3. Si k es un anillo conmutativo con uno, el anillo de polinomios en una indeterminada k[X] tiene la siguiente propiedad universal: Para todo anillo conmutativo con uno A, la funci´on:
Hom(k[X], A) // A × Hom(k, A)
ψ 7→ ψ(X), ψ◦σ• ,
es una funci´on biyectiva, donde Homdenota el conjunto de morfismos de anillos con uno. Dicho de otro modo, para definir un morfismo de anillos de k[X] en A es suficiente con definirlo en el subanillo de los polinomios contantes y en el polinomio indeterminada X.
§2.1. Funciones algebraicas en una variable. Considera la funci´on: (3) k[X] ev• // f: k →kf es una funci´on P(X) 7−→ evP = a7→evP(a) = P(a) donde definimos evP(a) = P(a) = d P s=0 asas = adad+· · ·+a1a+a0 si P(X) es el polinomio P(X) = d P s=0
asXs =adXd+· · ·+a1X+a0. Diremos que a∈k es un cero de P(X) si se tiene que evP(a) =P(a) = 0.
Nota que ev• es un morfismo de anillos si definimos (f+g)(a) =f(a) +g(a) y (f ·g)(a) = f(a)·g(a) para cualesquiera dos funciones f y g de k en k. (Esto puede ser deducido de la Proposicion 2.3). El anillo imagen de ev• es llamado el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable o de las funciones algebraicas sobre k en una variable. Se sigue del primer teorema de isomorfismo para anillos, que el morfismo (3) induce un isomorfismo entre el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable y el cociente que se obtiene de dividir al anillo k[X] de los polinomios con coeficientes enk en una indeterminada, m´odulo el ideal ker(ev•) de los polinomios que definen la funci´on cero de k enk.
Observaci´on 2.4. Recuerda que por el peque˜no teorema de Fermat, si pes un n´umero primo el polinomio Q(X) = Xp−X ∈
ZpZ[X] define la funci´on cero evQ(X) de Z
Sin es un n´umero compuesto, enZ
nZ[X]se puede encontrar un polinomio de grado menor que n con dicha propiedad. Por ejemplo R(X) = X5 −X3 ∈
Z8Z[X] define la funci´on cero
de Z8Z en Z8Z.
Para dominios enteros infinitos la situaci´on es m´as simple:
Corolario 2.5. Si k es un dominio entero y p(X)∈k[X]\{0}, el n´umero de ceros dep(X), es decir la cardinalidad del conjunto a∈kp(a) = 0 , es menor o igual que el grado de p(X).
En particular si k es un dominio entero infinito, la funci´on (3) es inyectiva; es decir, en este caso el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable es isomorfo al anillo de polinomios k[X].
Este enunciado es una consecuencia de la siguiente propiedad:
Lema 2.6. Sea k un anillo conmutativo con uno. Si P(X) = adXd+· · ·+a1X +a0 es un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada, entonces para todo a ∈ k existe un polinomio Q(X) tal que P(X) = (X−a)Q(X) +P(a).
3. Anillo de polinomios en varias indeterminadas
Sea k un anillo conmutativo con 1 y n≥1 un n´umero natural. Definimos un polinomio con coeficientes en k enn indeterminadas como una funci´onσ: Nn // k , tal que el subconjunto
s = (s1, . . . , sn)
σ(s) 6= 0 del producto cartesiano Nn es finito. En este caso llamamos a
σ(s) ∈ k el coeficiente de σ en grado s. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes enk enn indeterminadas es denotado comok[X1, . . . , Xn].
Si σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios, la suma de σ y µ es el polinomio σ+µ definido
como σ+µ(s) = σ(s) +µ(s) para toda s = (s1, . . . , sn) y el producto es el polinomio σ·µ
definido como:
(4) σ·µ(s) = X
r+t=s
σ(r)·µ(t)
para todas= (s1, . . . , sn), donder+t= (r1+t1, . . . , rn+tn) sir = (r1, . . . , rn) yt = (t1, . . . , tn).
Lema 3.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjunto k[X1, . . . , Xn] con la suma y el
producto definidos arriba forman un anillo conmutativo con uno. Consideremos la funci´on σ•: k // k[X1, . . . , Xn] definida como
(5) σa(s1, . . . , sn) = 1 si (s1, . . . , sn) = (0, . . . ,0), 0 si (s1, . . . , sn)6= (0, . . . ,0) .
Los polinomios de la forma σa para alguna a∈k son llamados los polinomios constantes.
Lema 3.2. Para todo anillo conmutativo con uno y todo n´umero natural n ≥ 1, la funci´on definida arriba σ•: k // k[X1, . . . , Xn] es un morfismo inyectivo de anillos con 1. En parti-cular el conjunto de los polinomios constantes es un subanillo dek[X1, . . . , Xn] al que podemos
Para cada n´umero natural 1≤i≤ndefinimos alpolinomio i-´esima indeterminada Xi como
la funci´on de Nn en k definida por:
Xi(s) = 1 si s=ei = (0, . . . ,0,1 i,0, . . . ,0), 0 si s6=ei. Se puede mostrar:
1.- Sim ≥0 e 1≤i≤n son n´umeros naturales, entonces el polinomioXim ∈k[X1, . . . , Xn]
es igual a la funci´on definida como:
(6) Xim(s) = 1 si s=mei = (0, . . . ,0, m i ,0, . . . ,0), 0 si s6=mei. 2.- Sim1, . . . , mn ≥0 e 1≤i ≤n, el polinomio X1m1· · ·Xnmn ∈k[X1, . . . , Xn] es igual a la
funci´on definida como:
(7) Xm1 1 · · ·X mn n (s) = 1 si s= (m1, . . . , mn), 0 si s6= (m1, . . . , mn) .
3.- Si m1, . . . , mn ≥0 e 1≤ i≤n son n´umeros naturales, se tiene que para todo a∈ k el polinomioa Xm1
1 · · ·Xnmn ∈k[X1, . . . , Xn] es igual a la funci´on definida como:
(8) a Xm1 1 · · ·X mn n (s) = a si s = (m1, . . . , mn), 0 si s6= (m1, . . . , mn) .
Se sigue en particular que si σ: Nn // k es un polinomio con coeficientes en k en n
indeterminadas, entonces: σ = X (s1,...,sn)∈Nn σ(s1, . . . , sn)X1s1· · ·X sn n = X s∈Nn σ(s)Xs.
Proposici´on 3.3. Si k es un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1 es un n´umero natural, el anillo de polinomios con coeficientes enk en nindeterminadas k[X1, . . . , Xn]tiene la siguiente propiedad universal: Para todo anillo conmutativo con uno A, la funci´on:
Hom(k[X1, . . . , Xn], A) // An × Hom(k, A) ψ 7→ ψ(X1), . . . , ψ(Xn) , ψ◦σ• , es biyectiva.
En palabras, para definir un morfismo de anillos de k[X1, . . . , Xn] en A es suficiente con
definirlo en el subanillo de los polinomios constantes y en los n polinomios indeterminadas
X1, . . . , Xn.
Corolario 3.4. Si k es un anillo conmutativo con uno, los siguientes anillos son isomorfos: k[X1, . . . , Xn], k[X1, . . . , Xn−1] [Xn],· · ·, k[X1]. . . [Xn−2] [Xn−1] [Xn].
§3.1. Funciones algebraicas en varias variable. Considera el morfismo de anillos con uno: (9) k[X1, . . . , Xn] ev• // f: kn→k f es una funci´on σ =P(X1, . . . , Xn) 7−→ a7→evσ(a) =P(a) donde evσ(a) = P(a1, . . . , an) = P (s1,...,sn)∈Nn σ(s1, . . . , sn)a1s1· · ·asnn = P s∈Nn σ(s)as para toda a= (a1, . . . , an) en kn.
Si σ = P(X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio, decimos que un elemento a =
(a1, . . . , an)∈ kn es un cero de P si se tiene queevσ(a) =P(a1, . . . , an) = 0. El anillo imagen
deev• es llamado el anillo de lasfunciones polinomiales sobrek ennvariableso de lasfunciones algebraicas.
Deducimos del Lema 2.6 y el Corolario 3.4:
Proposici´on 3.5. Si k es un dominio entero infinito (9) es una funci´on inyectiva. Tarea 1
1.- Verifica las f´ormulas (6), (7) y (8) de la p´agina 6 (puedes usar el ejercicio 6).
2.- Sik es un dominio entero, deduce por inducci´on sobren≥1 que el anillo de polinomios
k[X1, . . . , Xn] es un dominio entero.
3.- Si f ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio distinto del cero definimos el grado total de f como el n´umero natural:
grad(f) = maxσ1+· · ·+σn
σ = (σ1, . . . , σn)∈supp(f) . Muestra:
a) grad(f) = 0 si y solamente si f es la constante cero.
b) grad(f g)≤grad(f) + grad(g) si f, g ∈k[X1, . . . , Xn] son polinomios no nulos.
4.- Sea L un monoide yn ≥0 un n´umero natural. Muestra que se tiene una biyection: HomM onoide(Nn, L) // Ln
ϕ 7→ ϕ(e1), . . . , ϕ(en)
donde HomM onoide denota al conjunto de los morfismos de monoides.
5.- Sea k un anillo conmutativo con uno y M un monoide abeliano. Un M-polinomio con coeficientes en k es una funci´on σ: M // k tal que el conjunto s ∈Mσ(m)6= 0 es un subconjunto finito de M. Denotamos como k[M] al conjunto de todos los M -polinomios con coeficientes en k.
Muestra que k[M] = k[M],+,·
es un anillo conmutativo con 1 donde σ+µ (s) = σ(s) +µ(s) y: σ·µ(s) = X r+t=s σ(r)·µ(t) para todos∈M.
6.- Sea `≥2 un n´umero natural. Siσ1, . . . σ` ∈k[M] muestra que el producto (σ1· · ·σ`)∈ k[M] cumple: σ1· · ·σ` (s) = X r1+···+r`=s σ1(r1)· · ·σ`(r`)
para cadas∈M, donde la suma est´a indexada sobre las`-´adas (r1,· · · , r`) de elementos
deM tales que r1+· · ·+r` =s.
7.- Verifica que la funci´onσ•: k // k[M] definida como:
σa(s) =
1 sis =e (el elemento neutro de M) , 0 sis 6=e.
es un morfismo de anillos con uno inyectivo.
8.- Sea X(•) : M // k[M] la funci´on definida en t∈M como el M-polinomio:
X(t)(s) = 1 si s=t , 0 si s6=t.
Muestra queX(•) es un morfismo de monoides inyectivo, donde k[M] es visto como monoide multiplicativo.
9.- Si k es un anillo conmutativo con uno y M un monoide abeliano, el anillo de M -polinomios k[M] tiene la siguiente propiedad universal: Para todo anillo conmutativo con uno A, la funci´on
HomAnillo(k[M], A) // HomM onoide(M, A) × HomAnillo(k, A)
definida en un morphismo de anillos (con uno) ψ: k[M] // A como el morfismo de monoides ψ◦X(•) (A como monoide multiplicativo) y el morfismo de anillos ψ◦
σ•: k // A , es una funci´on biyectiva.
10.- Muestra que el anillo k[Z] es isomorfo al anillo que se obtiene de dividir al anillo de polinomios k[X, Y] en dos indeterminadas m´odulo el ideal generado por el polinomio
XY −1.
11.- Describe todos los elementos de Z/2Z[Z/2Z].¿El anillo k[Z/nZ] es isomorfo al anillo de polinomioes k[X] en una indeterminada m´odulo el ideal generado por el polinomio
Xn−1?
4. Conjuntos algebraicos
Sea k un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1. Si S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es una familia de polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas, denotamos como Z(S) al conjunto de ceros de S, es decir: Z(S) = n a= (a1, . . . , an)∈kn P(a) = 0 para todoP ∈S o . Denotamos tambi´enZ(S) = Z(P1, . . . , P`) si S =
P1, . . . , P` es un conjunto finito de
poli-nomios.
Rec´ıprocamente si Ω ⊆kn es un subconjunto arbitrario, el ideal de Ω es el subconjunto de k[X1, . . . , Xn] de los polinomios que se anulan en Ω:
I(Ω) = nP(X)∈k[X1, . . . , Xn] P(a) = 0 para todoa= (a1, . . . , an)∈Ω o .
Lema 4.1. Las funciones: (10) ( Subconjuntos del anillo k[X1,· · ·, Xn] ) Z // (Subconjuntos del producto cartesianokn ) , I oo
tienen las siguientes propiedades:
1.- Z(R)⊆ Z(S) siempre que S ⊆R. 2.- I(Ω)⊆ I(Ω0) siempre que Ω0 ⊆Ω.
3.- Z(S) =Z(hSi) donde hSi es el ideal generado por S. 4.- I(Ω) es un ideal del anillo k[X1, . . . , Xn].
5.- Ω⊆ Z I(Ω)
si Ω⊆kn es un subconjunto arbitrario.
6.- S ⊆ I Z(S) si S ⊆k[X1, . . . , Xn] es un subconjunto arbitrario. 7.- Z(∅) =Z(0) =kn y Z(k[X1,· · ·, Xn]) = Z(1) =∅.
8.- I(∅) =k[X1, . . . Xn] y si k es un dominio entero infinito entonces I(kn) = 0.
9.- T α∈Λ Z(Sα) = Z( S α∈Λ Sα) si
Sα α∈Λ es una familia de subconjuntos Sα ⊆k[X1, . . . , Xn].
10.- T α∈Λ I(Ωα) =I( S α∈Λ Ωα) si
Ωα α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆kn.
11.- S
α∈λ
Z(Sα) ⊆ Z(
T
α∈λ
S) y Z(S)∪ Z(R) ⊆ Z(S ·R) donde S ·R denota el producto de subconjuntos de un anilloS·R=P·QP ∈S y Q∈R . M´as a´un si k es un dominio entero entonces Z(S)∪ Z(R) = Z(S·R). 12.- P α∈Λ I(Ωα)⊆ I( T α∈Λ Ωα) si
Ωα α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆kn.
Definici´on 4.2. Si k es un anillo conmutativo con uno, un subconjunto X ⊆kn de la forma
X =Z(S) para alguna n ≥1 y alg´un subconjunto S ⊆k[X1, . . . , Xn] es llamado un conjunto
algebraico sobre k. Si k es un dominio entero, se sigue de las propiedades 7, 9 y 11 del Lema 4.1 que los conjuntos algebraicos sobre k contenidos en kn (para n ≥ 1 fija) son los cerrados
de una topolog´ıa en kn llamada la topolog´ıa de Zariski en kn. Mostremos:
Lema 4.3. Si k es un dominio entero y n ≥ 1, la topolog´ıa de Zariski en kn contiene a la
topolog´ıa cofinita de kn, es decir todo subconjunto finito de kn es un cerrado de Zariski. M´as
a´un, si n = 1 la topolog´ıa de Zariski en k es exactamente la topolog´ıa cofinita; en particular si
k es un dominio entero finito, es decir si k es un campo finito, la topolog´ıa de Zariski de k es la topolog´ıa discreta.
Demostraci´on. Como la uni´on finita de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico, basta notar que Z(X1−a1, . . . , Xn−an) =
(a1, . . . , an) si (a1, . . . , an)∈kn es un punto.
Rec´ıprocamente, supongamos que n = 1 y sea S ⊆ k[X]. Si S = ∅ o S = {0} entonces Z(S) = kn. Si por otro ladoP ∈S es un polinomio no cero, se sigue que Z(S)⊆ Z(P). Como k es un dominio entero la cardinalidad de Z(P) est´a acotada por el grado de P, por lo tanto
Z(S) es un conjunto finito.
Si k es un anillo normado (por ejemplo k =R con el valor absoluto) entonces la topolog´ıa de Zariski de kn est´a contenida en la topolog´ıa m´etrica de kn (ver el Ejercicio 34 abajo). En
general esta contenci´on es propia (ver el Ejercicio 16 abajo)
5. Ideales radicales
Seakun anillo conmutativo con uno yn≥1 un n´umero natural. Consideremos las funciones:
(11) ( Ideales del anillo k[X1,· · ·, Xn] ) Z // ( Conjuntos algebraicos contenidos enkn ) , I oo
inducidas por restricci´on de las funciones (10). Notemos:
Lema 5.1. Si X ⊆ kn es un conjunto algebraico, entonces X = Z I(X). En particular en (11) la funci´on I es inyectiva y Z es sobreyectiva.
Demostraci´on. Esto es una consecuencia de la definici´on de conjunto algebraico y de las con-tenciones Ω⊆ Z I(Ω)y S ⊆ I Z(S)v´alidas para cualesquiera Ω ⊆kn yS ⊆k[X
1, . . . , Xn]
(ver las propiedades 5 y 6 del Lema 4.1).
Se sigue del Lemma 5.1 que el conjunto parcialmente ordenado que forman los conjuntos algebraicos contenidos enkn, se puede identificar con un subconjunto del conjunto
parcialmen-te ordenado (con la conparcialmen-tenci´on opuesta) de los ideales del anillo k[X1, . . . Xn] (I invierte la
contenci´on). Queremos mostrar que cuandokes un dominio entero la imagen de esta inclusi´on est´a contenida en los llamados ideales radicales.
Recordemos primero:
Definici´on 5.2. Si A es un anillo conmutativo con uno yS ⊆A es un subconjunto, el radical deS es el conjunto de las ra´ıces de los elementos de S es decir:
√
El nilradical de A es por definici´on el conjunto:
Nil(A) = √0 =a∈Aa` = 0 para alguna` ≥1 de los elementos nilpotentes de A.
Esta construcci´on tiene las siguientes propiedades:
Lema 5.3. Sea A un anillo conmutativo con uno, entonces: a) Si S ⊆R ⊆A entonces √S ⊆√R.
b) S ⊆√S yp√S =√S para cualquier subconjunto S⊆A.
c) √a es un ideal si a⊆ A es un ideal. En particular el conjunto de los elementos nilpo-tentes Nil(A) =√0 es un ideal de A.
d) √a=π−1 Nil(A/a)
para todo ideala⊆Adondeπ: A // A/a es el morfismo can´ oni-co.
e) Si p⊆A es un ideal primo entonces √p=p.
f) Si a1, . . . ,at⊆A es una familia de ideales, entonces:
√ a1· · ·at = r t ∩ s=1as = t ∩ s=1 √ as. donde a·b= Pα∈Λaα·bα
aα∈a, bα ∈b y Λ es finito denota el producto de ideales de un anillo.
g) Si p1, . . . ,pt ⊆ A es una familia de ideales primos y `1, . . . `t ≥ 1 son n´umeros
natu-rales, entonces q p`1 1 · · ·p `t t = t ∩ s=1ps. En particular q p`1 1 · · ·p `t t = p1· · ·pt siempre que
p1, . . . ,ptsean ideales coprimos entre si, es decir tales quepi+pj =Apara1≤i6=j ≤t.
h) Si a⊆A es un ideal, entonces √a= T a⊆p
pprimo
p.
Demostraci´on de f ), g) y h): De las contenciones a1· · ·at⊆ t ∩ s=1as ⊆as deducimos: √ a1· · ·at⊆ r t ∩ s=1as ⊆ t ∩ s=1 √ as.
Por otro lado sia ∈ ∩t
s=1 √
as, es decira cumple que para toda 1≤s≤t existe`s≥1 tal que a`s ∈a
s, entoncesa`1+···+`s =a`1· · ·a`s ∈a1· · ·as es decira∈
√
a1· · ·at. Esto muestra f).
g) se deduce de f) por un m´etodo est´andar (ver Ejercicio 31).
Para mostrar h) notemos que por d) es suficiente verificar que la intersecci´on de todos los ideales primos de A es igual al conjunto de sus elementos nilpotentes. La contenci´on Nil(A) = √
0⊆ T p⊆A
pprimo
pse sigue f´acilmente de que 0 es un elemento de todo ideal primo deA. Para mostrar
la otra contenci´on veremos que six∈Ano es nilpotente entonces existe un ideal primop⊆A
que no contiene a x, es decir mostremos queA\Nil(A)⊆ S p⊆A pprimo (A\p) =A\ T p⊆A pprimo p .
En efecto sea x∈A\Nil(A) y consideremos el siguiente conjunto: Γ =a⊆Aa ideal y x` ∈/ apara toda `∈N .
Notemos que el ideal cero pertenece a Γ pues x no es un nilpotente de A. M´as a´un si
a1 ⊆a2 ⊆ · · · ⊆as ⊆ · · · es una cadena de ideales en Γ, se verifica f´acilmente que
S
i∈N
ai es un
elemento de Γ. Por el Lema de Zorn existe un elemento p de Γ, m´aximo en Γ respecto de la contenci´on. En particularx /∈ppuesp∈Γ. Mostremos quepes un ideal primo deA. Para ello supongamos que a, b∈ A\p, es decir p p+ (a) y p p+ (b). Se sigue que existen `, m∈N tales que x` ∈p+ (a) yxm ∈p+ (b), digamosx`=z1+az2 y xm =w1+bw2 dondez1, w1 ∈p. Entonces x`+m =x`xm = (z1+az2)(w1+bw2) = (z1w1+z1bw2+az2w1) +abz2w2 ∈p+ (ab). Por lo tanto p p+ (ab) pues x`+m ∈/ p, lo que implica que ab /∈p. Definici´on 5.4. Un ideal radical de A es un ideal a ⊆ A tal que a = √a. Se sigue de la propiedad c) del Lema 5.3 que los ideales primos son ejemplos de ideales radicales.
Mostremos finalmente:
Lema 5.5. Si k es un anillo conmutativo con uno tal que Nil(k) = √0 = 0 (por ejemplo si
k es un dominio entero) y Ω⊆ kn es un subconjunto arbitrario, entonces el ideal I(Ω) es un
ideal radical del anillo de polinomiosk[X1, . . . , Xn]. En particular I(X)⊆k[X1, . . . , Xn]es un
ideal radical para todo conjunto algebraico X ⊆kn sobre un dominio entero k.
Demostraci´on. Supongamos que k es un anillo conmutativo con uno con la propiedad que
x` = 0 parax∈k y `≥1 implica quex= 0. Si Ω⊆kny f ∈p
I(Ω) se sigue que existe` ≥1 tal que f(a)` = f`(a) = 0 para toda a ∈ Ω. Entonces f(a) = 0 para toda a ∈ Ω, es decir
f ∈ I(Ω). Por lo tantoI(Ω) =pI(Ω).
Tarea 2 Sea k un dominio entero y n≥1 un n´umero natural. 13.- Muestra las propiedades:
a) Z(a) =Z(√a). b) Z(P i ai) =T i Z(ai) si
ai i es una familia de ideales de k[X1, . . . , Xn]. c) Z(a∩b) = Z(a·b) =Z(a)∪V(b).
14.- Sea X ⊆ kn un conjunto algebraico. Definimos la topolog´ıa de Zariski en X como la topolog´ıa inducida de la topolog´ıa de Zariski de kn. De manera expl´ıcita V ⊆ X es un cerrado de Zariski si existe un cerrado de Zariski W ⊆ kn tal que V = W ∩ X.
Muestra que V ⊆ X es un cerrado de Zariski si y solamente si existe un ideal radical
a⊆k[X1, . . . , Xn] tal que I(X)⊆a y V =Z(a).
15.- Si Ω ⊆ kn muestra que el conjunto algebraico Z I(Ω)
es la cerradura de Ω en kn
16.- Si Ω1 = (a, b) ∈ R2 a > 0 y b = 0 , Ω2 = (a, b) ∈ R2 a ≥ 0 y b = 0 y Ω3 = (a, b) ∈ R2
a 6= 0 y b = 0 muestra que I(Ω1) = I(Ω2) = I(Ω3) = a donde a ⊆ R[X, Y] es el ideal generado por la variable Y. En particular se tiene que Z I(Ω1)
=Z I(Ω2)=Z I(Ω3) =Z(a) = eje x⊆R2. Deduce que Ω1, Ω2 y Ω3 no son conjuntos algebraicos deR2.
17.- Encuentra un dominio entero k, un n´umero n ≥ 1 y una familia infinita Xi i∈
N de
conjuntos algebraicos dekn tales que S
i∈N
Xi no sea un conjunto algebraico de kn.
18.- Muestra que si a∈k e 1 ≤i≤n entonces (Xi−a)⊆k[X1, . . . , Xn] es un ideal primo.
M´as a´un si el dominio entero k es infinito entonces I Z(Xi−a)
= (Xi−a).
19.- Si α ∈ k verifica que el ideal (Y −αX) ∈ k[X, Y] es un ideal primo y si k es infinito entonces I Z(Y −αX)
= (Y −αX).
20.- Sia= (a1, . . . , an)∈knmuestra queI(a) = (X1−a1, . . . , Xn−an). Deduce queI(a) es un ideal primo. Demuestra que si I(a) es un ideal m´aximo para alg´una∈kn entonces I(b) es un ideal m´aximo para todo b∈kn.
21.- Sea f ∈k[X, Y] un polinomio no cero de grado total igual a n y considera g ∈k[X, Y] el polinomio g =Y −αX −β donde α, β ∈k. Si X =Z(f)⊆k2 y L =Z(g)⊆k2 son los conjuntos de ceros de f y g respectivamente. Muestra que L ⊆ X si y solamente si f ∈ I Z(g). M´as a´un si el dominio entero k es infinito y L * X muestra que la intersecci´onL ∩ X ⊆k2 es un conjunto finito de cardinalidad menor o igual a n. 22.- Verifica que p(X`, Ym) = (X, Y) en k[X, Y] para cualesquiera `, m≥1.
23.- Sea k un dominio entero infinito tal que 2 = 1 + 1 ∈ k×. Muestra que I Z(a) =a e I Z(b) =b donde a = (X2 −Y) y b = (X2 +Y)⊆k[X, Y] en particular √a=a y √
b =b. Demuestra que I Z(a+b) = (X, Y) y que a+b = (X2, Y) de modo que √
a+b=I Z(a+b) por el ejercicio anterior.
24.- Sea A un anillo conmutativo con uno. Si a y b son ideales deA, muestra que: a) √a∩b=√a∩√b y √a+b=
q√
a+√b.
b) Determina un anillo A e ideales a y b tales que √a+√b6=√a+b.
25.- Si X ⊆ kn y Y ⊆ km son conjuntos algebraicos, muestra que X × Y ⊆ kn+m es un
conjunto algebraico.
26.- Si f: k // k es una funci´on biyectiva entonces f y f−1 son continuas respecto de la topolog´ıa de Zariski.
27.- Si F: X // Y es una funci´on entreX ⊆kn y Y ⊆km conjuntos algebraicos, decimos que F es una funci´on polinomial, un morfismo regular o un morfismo algebraico si existen polinomios f1,· · · , fm ∈ k[X1, . . . , Xn] tales que F(a) = f1(a),· · · , fm(a)
para todoa∈ X.
a) Muestra que toda funci´on polinomial es una funci´on continua respecto de las topo-log´ıas de Zariski inducidas en X y Y.
b) SiF: X // Y es una funci´on polinomial muestra con un contraejemplo queF(X) no es necesariamente un conjunto algebraico.
c) Demuestra que la composici´on de funciones polinomiales es una funci´on polinomial. d) SiX ⊆ knes un conjunto algebraico denotamos pork[X] al conjunto de las funciones
polinomiales deX en el conjunto algebraicok. Muestra quek[X] admite una estruc-tura de anillo conmutativo con uno si f+g
(a) = f(a)+g(a) y f·g
(a) = f(a)·g(a) y que la funci´on ν: k // k[X] definida por ν(α)(a) = α para todo a ∈ X es un morfismo de anillos con uno.
e) Si X ⊆ kn es un conjunto algebraico, muestra que existe un isomorfismo de anillos ϕ: k[X1, . . . , Xn]
I(X) // k[X] tal que el morfismo composici´on ϕ◦ν (donde ν
es el morfismo del inciso anterior) es igual a la composici´on:
k σ• // k[X1, . . . , Xn] π //
k[X1, . . . , Xn]
I(X)
dondeσ• es la funci´on (5) en la p´agina 5 y π es el morfismo cociente.
f) SiF: X // Y es un morfismo regular entre conjuntos algebraicos sobrek, muestra que la f´ormula F∗(f) =f ◦F define un morfismo de anillos F∗: k[Y] // k[X] . 28.- Sea X un conjunto algebraico no vac´ıo sobrek y k[X] el anillo de las funciones
polino-miales de X en k (ver ejercicio anterior). Si definimos las funciones:
(12) ( Ideales del anillo k[X] ) ZX // ( Conjuntos algebraicos contenidos enX ) , IX oo como ZX(a) =
a∈ X f(a) = 0 para toda f ∈a sia⊆k[X] es un ideal e IX(Y) =
f ∈ k[X]f(a) = 0 para todo a∈ Y si Y ⊆ X es un conjunto algebraico; muestra las siguientes propiedades:
a) Las funciones IX y ZX est´an bien definidas.
b) IX(Y) ⊆ IX(Y0) si Y0 ⊆ Y ⊆ X son conjuntos algebraicos y ZX(a) ⊆ ZX(a0) si
a0 ⊆a⊆k[X] son ideales. c) ZX(0) =X, ZX(k[X]) =∅, IX(∅) = k[X] yIX(X) = 0. d) ZX(P i∈I ai) = T i∈I ZX(a i) y ZX(a∩b) =ZX(a·b) = ZX(a)∪ ZX(b) si ai,a,b ⊆k[X] son ideales. e) T α∈Λ IX(Y α) =IX( S α∈Λ
Yα) si Yα ⊆ X son conjuntos algebraicos.
f) Si Y ⊆ X ⊆kn es un conjunto algebraico, muestra que: (13) π−1◦ϕ−1 IX(Y)
= I(Y),
donde π: k[X1, . . . , Xn] // k[X1, . . . , Xn]
I(X) es el morfismo cociente can´onico yϕ: k[X1, . . . , Xn]
I(X) // k[X] es el isomorfismo del Ejercicio 27. Por otro lado, sia⊆k[X] es un ideal, verifica que:
g) SiY ⊆ X es un subconjunto arbitrario, entoncesY es un subconjunto algebraico de
kn si y solamente si Y =ZX(a) para alg´un ideal radical a⊆k[X] (ver el Ejercicio
14).
29.- Sea X un conjunto algebraico sobre k. Si τ es una topolog´ıa en X muestra la siguiente propiedad: La topolog´ıa de Zariski de X (ver el ejercicio 14) est´a contenida en τ si y solamente si, las funciones polinomiales de X en k son continuas con respecto de la topolog´ıaτ y la topolog´ıa de Zariski en k.
30.- Si A es un anillo conmutativo con uno, muestra que las siguientes condiciones son equivalentes:
a) Si a⊆A es un ideal entonces existen a1, . . . , am ∈A tales quea= (a1, . . . , am).
b) Si a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆as ⊆ · · · ⊆A es una sucesi´on de ideales, entonces existe n ∈N
tal que an=as para toda s≥n.
c) Todo conjunto no vac´ıo de ideales de A admite un elemento m´aximo (respecto de la contenci´on).
Un anillo neteriano es un anillo conmutativo con uno verificando las propiedades equivalentes de arriba. Si k es un anillo neteriano se puede mostrar (ver por ejemplo [Ful08]) que el anillo de polinomios en una indeterminada k[X] es un anillo neteriano.
Muestra que si X ⊆ kn es un conjunto algebraico sobre un anillo neteriano k, en-tonces existen un n´umero finito de polinomios P1, . . . Pm ∈ k[X1, . . . , Xn] tales que
X = Z(P1,· · · , Pm). (Este enunciado es conocido como el Teorema de la base de
Hil-bert).
31.- Sea A un anillo conmutativo con uno. Muestra:
a) Si a,b⊆A son ideales de A entoncesa·b ⊆a∩b ⊆a+b. b) Si a+b=A entoncesa·b =a∩b.
c) Si a1, . . . ,as⊆A es una familia finita de ideales tales que ai+aj =A siempre que
0≤ i 6=j ≤ s entonces ∩s
i=1ai =a1· · ·as. (Ayuda: Prueba primero que la hip´otesis implica que para toda 2≤i≤s se tiene que a1· · ·ai−1
+ai =A).
32.- Sea A un dominio de factorizaci´on ´unica (por ejemplo el anillo de los enteros Z o el anillo de polinomios k[X] con coeficientes en un campo). Si a = (a) ⊆ A es un ideal y a = p`1
1 · · ·p`ss donde p1, . . . , ps ∈ A son elementos irreducibles no asociados dos a
dos (recuerda que a, b ∈ A son asociados si a = ub donde u es una unidad), entonces √
a= (p1· · ·ps) (ver §8.2).
33.- Describe las funciones de (11) en los casos n= 1, k =R y n= 1, k =C(ver §8.2). 34.- Un anillo normado k = (k,| · |) es un anillo (conmutativo con uno) k junto con una
funci´on | · |: k // R verificando las propiedades:
a) |a| ≥0 para todo a∈k y |a|= 0 si y solamente si a= 0. b) |a+b| ≤ |a|+|b| y |a b| ≤ |a| |b| para cualesquiera a, b∈k.
Si k es un anillo normado y n ≥1, el producto cartesiano kn es un espacio m´etrico
con la distancia definida por la f´ormula:
d(a, b) = v u u t n X i=1 |ai−bi|2 donde a= (a 1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn)∈kn.
Muestra que todo conjunto algebraico X ⊆kn es un cerrado de la topolog´ıa m´etrica
inducida.
35.- Si P y Q son conjuntos parcialmente ordenados una funci´on mon´otona decreciente (resp. mon´otona creciente) es una funci´on F: P // Q tal que F(B) ≤ F(A) (resp.
F(A)≤F(B)) siempre que A≤B sean objetos de P. Si F: P // Q y G: Q // P son dos funciones mon´otonas decrecientes, muestra que las siguientes propiedades son equivalentes:
a) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Qentonces X ≤F(A) si y solamente siA ≤G(X).
b) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Q entonces A ≤ G F(A) y X ≤
F G(X).
Unaconexi´on de Galois es una pareja F: P oo // Q : Gde funciones mon´otonas de-crecientes que verifica las propiedades equivalentes de arriba. SiF: P oo // Q : Ges una conexi´on de Galois muestra que:
a) F A=F G(F A) y G(X) = G F(GX) si A es un objeto de P y X es un objeto deQ. b) G(Q) = A∈ PA=GF(A) y F(P) = X ∈ QX =F G(X) .
c) F y G inducen por restricci´on un isomorfismo (decreciente) entre los conjuntos parcialmente ordenados G(Q)⊆ P y F(P)⊆ Q.
6. El funtor X 7→ k[X]
En esta secci´on queremos mostrar dos propiedades del funtorX 7→ k[X], entre la categor´ıa de los conjuntos algebraicos sobre k y la categor´ıa de las k-´algebras (ver la Proposici´on 6.3 y el Corolario 6.4). Sin embargo cuando se trabaja con el concepto de categor´ıa se pueden pre-sentar algunos problemas sobre el tama˜no de las colecciones de objetos. Una forma de resolver este problema consiste en considerar una teor´ıa de conjuntos y clases (con los axiomas de von Neumann-Bernays-G¨odel, digamos), de modo que se habla de“la clase de todos los conjuntos”. Otra forma, la que nosotros adoptaremos, consiste en restringirse a “un conjunto suficiente-mente grande de conjuntos”(llamado “universo”) con la teor´ıa de universos de Grothendieck. Para ello supondremos que trabajamos con colecciones a las que llamamos conjuntos y que son regidos por los axiomas de la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Frenkel m´as el axioma de
elecci´on (la teor´ıa de conjuntos que usamos en la facultad desde ´Algebra Superior I). Des-pu´es fijamos (hay que suponer su existencia con un axioma adicional) un conjunto U al que llamamos nuestro universo y el cual verifica las siguientes propiedades:
(a) U es un conjunto transitivo, es decir si X ∈Y ∈ U entoncesX ∈ U (b) SiX ∈ U entonces el conjunto potencia P(X) pertenece a U.
(c) SiI ∈ U y f: I // U es una funci´on, la uni´on S
i∈I
f(i) pertenece a U
(d) U contiene al conjunto subyacente del anillo conmutativo Z de los n´umeros enteros (y a los conjuntos subyacentes de cualquier conjunto de anillos conmutativos con uno de nuestro inter´es).
Se verifican en particular que nuestro universo U tiene las siguientes propiedades: (e) El conjunto vac´ıo ∅ es un elemento de U.
(f) Si X ∈ U entonces
X ∈ U. (g) SiX ⊆Y ∈ U entonces X ∈ U. (h) SiX, Y ∈ U entonces X×Y ∈ U.
(i) Si X, Y ∈ U entonces Set(X, Y) ∈ U, donde Set(X, Y) denota al conjunto de las funciones de X enY.
Definici´on 6.1. Una categor´ıa C (o una U-categor´ıa) consiste de la siguiente informaci´on: Un conjunto C0 (que sea un subconjunto de U, es decir C0 ⊆ U) cuyos elementos son llamados los objetos de C.
Para cualesquiera dos objetosX, Y ∈ C0 un conjuntoC(X, Y)(que pertenezca a nuestro universo U, es decir C(X, Y)∈ U) cuyos elementos son denotados f: X // Y y son llamados los morfismos deX enY.
Para todo objeto X ∈ C0 un elementoidX ∈ C(X, X) llamado el morfismo identidad de X.
Para cualesquiera tres objetos X, Y, Z ∈ C0 una funci´on composici´on: C(X, Y)× C(Y, Z) // C(X, Z)
(f, g) 7→ g ◦f ,
que a cada pareja de morfismos f: X // Y yg: Y // Z asocia el morfismo compo-sici´on g◦f.
sujeta a las siguientes condiciones:
Si X, Y ∈ C0 son objetos y f: X // Y es un morfismo entonces f ◦ idX = f y
idY ◦f =f.
Si X, Y, Z, W ∈ C0 son objetos y f: X // Y , g: Y // Z y h: Z // W son morfis-mos, entonces h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
1.- Los conjuntos (que pertenecen a nuestro universoU) y las funciones entre ellos forman una categor´ıa a la que denotamosSet. En este caso el morfismo identidad es la funci´on identidad ordinaria y la composici´on de morfismos es la composici´on de funciones. En los siguientes cinco ejemplos el morfismo identidad de cualquier objeto es la funci´on iden-tidad del conjunto subyacente y la composici´on de morfismos es simplemente la composici´on de funciones.
2.- Los espacios topol´ogicos (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) y las funciones continuas entre ellos forman una categor´ıa a la que denotamosTop.
3.- Los monoides (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) y los morfismos de monoides forman una categor´ıa a la que denotamos Mnd.
4.- Los anillos conmutativos con uno (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) y los mor-fismos de anillos con uno forman una categor´ıa a la que denotamos como Anillos. 5.- Si k es un dominio entero (cuyo conjunto subyacente pertenece a U), los conjuntos
algebraicos sobre k y las funciones polinomiales entre ellos (ver el ejercicio 27) forman una categor´ıa a la que denotamos CAlgk
6.- Sik es un anillo conmutativo con uno, unak-´algebra es por definici´on una pareja (A, ν) dondeA es un anillo conmutativo con uno yν: k // A es un morfismo de anillos con uno. Un morfismo de k-´algebras f: (A, ν) // (B, σ) es un morfismo de anillos con uno f: A // B tal que f◦ν =σ.
Si k es un dominio entero (cuyo conjunto subyacente pertenece a U), las k-´algebras (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) y los morfismos de k-´algebras entre ellas forman una categor´ıa a la que denotamos k-Alg.
Algunos ejemplos poco m´as abstractos:
7.- Si A es un conjunto (contenido en nuestro universo A ⊆ U), existe un ´unica categor´ıa C cuyo conjunto de objetos es C0 =A y donde:
(14) C(X, Y) = ∅ si X 6=Y idX si X =Y
Una categor´ıa C con la propiedad que para cualesquiera dos objetos X, Y ∈ C0 se cumple (14) es llamada unacategor´ıa discreta.
8.- Recuerda que unconjunto pre-ordenado es una pareja (A,≤) formada por un conjunto
A y una relaci´on≤ que satisface las propiedades:
a) a≤a para todo objeto a∈A. b) Si a≤b y b ≤centonces a≤c. Si (A,≤) es un conjunto pre-ordenado (tal que A⊆ U) existe una ´unica categor´ıa C cuyo conjunto de objetos es C0 =A y donde:
C(X, Y) = ∅ si X Y •Y X si X ≤Y pero X 6=Y idX si X =Y
Por ejemplo siX es un espacio topol´ogico (cuyo conjunto subyacente est´e contenido en nuestro universoX ⊆ U), denotamos como Ab(X) a la categor´ıa asociada al conjunto parcialmente ordenado por la contenci´on de los abiertos de X. De manera explicita, los objetos de la categor´ıa Ab(X) son los subconjuntos abiertos de X y los morfismos son las inclusiones entre ellos.
9.- SiM es un monoide (cuyo conjunto subyacente pertenece aU) existe una ´unica categor´ıa C cuyo conjunto de objetos es C0 =
? , dondeC(?, ?) =M y la funci´on composici´on es la funci´on producto M ×M // M .
Rec´ıprocamente si C es una categor´ıa cualquiera y X ∈ C0 es un objeto de ella, el conjunto C(X, X) admite una estructura de monoide cuyo neutro es el morfismo identidad deXy cuyo producto·es definido por la composici´on de morfismosg·f =g◦f. 10.- Si C es una categor´ıa, la categor´ıa opuesta de C es la categor´ıa Cop cuyo conjunto de
objetos es igual al conjunto de objetos de C, los conjuntos de morfismos son definidos como Cop(X, Y) = C(Y, X), los morfismos identidades de Cop son los mismos que los
morfismos identidad de C y donde g◦opf =f◦g.
Definici´on 6.2. SiC yD son dos categor´ıas (o m´as precisamente dosU-categor´ıas), un funtor
F: C // D consiste de la siguiente informaci´on: Una funci´on F0: C0 // D0 .
Para cualesquiera dos objetos X, Y ∈ C0 una funci´on FX,Y: C(X, Y) // D(X, Y) .
sujeta a las siguientes condiciones:
Para todo objeto X ∈ C0 se tiene que FX,X(idX) = idF0(X).
Para cualesquiera tres objetos X, Y, Z ∈ C0 y cualesquiera dos morfismos f: X // Y y g: Y // Z se tiene que FX,Z(g◦f) = FY,Z(g)◦FX,Y(f).
Ejemplos:
1.- Se tienen funtores conjunto subyacente (o functores que olvidan la estructura): Top // Set , Mnd // Set , Anillos // Set y CAlgk // Set
(dondek es una anillos conmutativo con uno cuyo conjunto subyacente pertenece aU). 2.- Si k es una anillos conmutativo con uno (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) se tiene un funtor anillo subyacente k-Alg // Anillos que a una k-´algebra (A, ν) asocia el anilloA.
3.- SiC yD son las categor´ıas asociadas a dos conjuntos pre-ordenados como en el ejemplo 8 de esta secci´on, se verifica que un funtor F: C // D es simplemente una funci´on mon´otona creciente (ver el ejercicio 35 en la p´agina 16). De la misma forma se muestra que un funtorF: C // Dop se identifica con una funci´on mon´otona decreciente.
4.- Sik es un dominio entero (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) tenemos un funtor CAlgk // Top que a cada conjunto algebraico sobrek asocia el mismo conjunto con su topolog´ıa de Zariski (ver el ejercicio 14).
5.- Si k es un anillo conmutativo con uno (cuyo conjunto subyacente pertenece a U) se tiene un funtor k[·] : CAlgk // k-Algop que a cada conjunto algebraico X sobre k
asocia suk-´algebra de funciones polinomialesk[X] (ver el ejercicio 27 de la p´agina 13) y a cada morfismo regularF: X // Y asocia el morfismo dek-´algebrasF∗: k[Y] // k[X] definido como F∗(f) = f◦F (ver el ´ultimo inciso del ejercicio 27).
Mostremos la siguiente propiedad del funtor k[·]:
Proposici´on 6.3. Sik es un anillo conmutativo con uno (cuyo conjunto subyacente pertenece a U), el funtor k[·] : CAlgk // k-Algop del ejemplo 5 de arriba tiene la propiedad que para cualesquiera X yY conjuntos algebraicos sobre k, la siguiente funci´on es biyectiva:
CAlgk(X,Y) // k-Alg(k[Y], k[X])
F 7→ F∗.
Demostraci´on. Supongamos que X ⊆kn y Y ⊆km. Consideremos el morfismo de anillos con
uno:
(15) k[X1, . . . , Xm]
π // k[Y],
que a cada polinomio P ∈ k[X1, . . . , Xm] asocia la restricci´on a Y de la funci´on de km en k
inducida por P (ver (9)). La funci´on (15) es suprayectiva por definici´on de funci´on polinomial. Si para cada 1 ≤ i ≤ m denotamos como ϕi: Y // k a la funci´on tal que ϕi(b) = bi si
b = (b1, . . . , bm)∈ Y, es decirϕi =π(Xi), se sigue que para todaϕ∈k[Y] existe un polinomio P ∈k[X1, . . . , Xm] tal que: (16) ϕ= X (s1,...,sm)∈Nm α(s1,...,sm)ϕ s1 1 . . . ϕ sm m donde P = X (s1,...,sm)∈Nm α(s1,...,sm)X s1 1 . . . X sm m .
En efecto toma P ∈ k[X1, . . . , Xm] tal que π(P) = ϕ y nota que (15) es un morfismo de
anillos.
Sea ahora H: k[Y] // k[X] un morfismo de k-´algebras y considera las funciones polino-miales H(ϕi) : X // k para 1 ≤i≤m. Por definici´on existen polinomios Pi ∈k[X1, . . . , Xn]
con 1 ≤ i ≤ m tales que H(ϕi)(a) = Pi(a) para toda a ∈ X. Define la funci´on polinomial F: X // Y como F(a) = P1(a), . . . , Pm(a) = H(ϕ1)(a), . . . , H(ϕm)(a) si a∈ X. Deducimos: F∗ ϕ(a) =ϕ F(a)= X (s1,...,sm)∈Nm α(s1,...,sm) H(ϕ1)(a) s1 . . . H(ϕm)(a) sm = X (s1,...,sm)∈Nm α(s1,...,sm)H(ϕ1) s1. . . H(ϕ m)sm (a) =H X (s1,...,sm)∈Nm α(s1,...,sm)ϕ s1 1 . . . ϕ sm m (a) = H(ϕ)(a)
para toda ϕ∈k[Y] y a∈ X. Por lo tanto F∗ =H. El siguiente enunciado caracteriza a las funciones entre conjuntos algebraicos que son poli-nomiales, en t´erminos de su anillo de funciones polinomiales:
Corolario 6.4. Sean X y Y dos conjuntos algebraicos. Si F: X // Y es una funci´on entre conjuntos, entoncesF es una funci´on polinomial si y solamente si para toda funci´on polinomial
ϕ∈k[Y] se tiene que ϕ◦F ∈k[X].
Demostraci´on. SiF: X // Y es una funci´on polinomial, entonces para toda funci´on polino-mial ϕ: Y // k sabemos que la composici´onϕ◦F: X // k es una funci´on polinomial (ver el ejercicio 27 en la p´agina 13).
Rec´ıprocamente supongamos que F: X // Y es una funci´on entre conjuntos con la pro-piedad que la asignaci´on ϕ 7→ ϕ◦F define una funci´on F∗: k[Y] // k[X] . Mostremos que en este caso la funci´on as´ı obtenidaF∗ es un morfismo de k-´algebras. En efecto recuerda que las operaciones en los anillosk[X] y k[Y] son definidas puntualmente y que la imagen dek por
los morfismos
Un ´ultimo ejemplo de funtor que encontramos al comienzo de estas notas:
6.- Si k es un anillo conmutativo con uno (cuyo conjunto subyacente pertenece a U), se tiene un funtor k[·] : Mnd // k-Alg que a cada monoide M asocia la k-´algebra
k[M] de los M-polinomios con coeficientes enk (ver los Ejercicios 5 y 7).
7. Subespacios irreducibles
En esta secci´on determinamos en t´erminos de la topolog´ıa de Zariski a los conjuntos alge-braicos X ⊆kn cuyo ideal I(X) es un ideal primo (Ver la secci´on 5). Mostremos primero:
Lema 7.1. Si X es un espacio topol´ogico, los siguientes enunciados son equivalentes:
1.- Si U, V ⊆ X son abiertos tales que U, V 6= ∅ entonces U ∩ V 6= ∅. En palabras, cualesquiera dos abiertos no vac´ıos de X tienen al menos un punto en com´un.
2.- Si A, B ⊆ X son cerrados tales que A∪B =X entonces A=X o B =X. En palabras, no existen dos cerrados propios de X que cubran X.
3.- Si U ⊆ X es un abierto tal que U 6=∅ entonces U =X donde U es la cerradura de U
en X. En palabras, todo abierto no vac´ıo de X es denso.
4.- Si U y A son un abierto y un cerrado de X respectivamente tales que U ⊆A entonces si U 6=∅ se tiene que A=X.
5.- Si A⊆ X es un cerrado tal que A6=X entonces o
A =∅ donde o
A denota al interior A
en X. En palabras, el interior de todo cerrado propio de X es igual al vac´ıo.
6.- Si U y A son un abierto y un cerrado de X respectivamente tales que U ⊆A entonces si A6=X se tiene que U =∅.
Demostraci´on. 1 ⇒ 2: Sean A, B ⊆ X dos cerrados tales que A∪B = X. Se tiene entonces queX \A yX \B son abiertos deX tales que (X \A)∩(X \B) = ∅. Por 1 se sigue queX \A=∅ o X \B =∅ es decirA=X o B =X.
2 ⇒ 3: Sea U ⊆ X un abierto tal que U 6= ∅, es decir tal que X \U 6= X. Consideremos los cerrados X \U y U de X, donde U es la cerradura de U en X, es decir U es igual a la intersecci´on de todos los cerrados de X que contienen a U. Como X =U ∪(X \U) y U ⊆ U
entonces X =U ∪(X \U). Se sigue de 2 queX =U pues X 6=X \U.
3⇒ 4: Sean U, A ⊆ X un abierto y un cerrado respectivamente tales que U 6= ∅ y U ⊆A. Se sigue de 3 que U =X y como U ⊆U ⊆A entonces A=X.
4 ⇒5: Sea A ⊆ X un cerrado tal que A 6=X. Recuerda que el interior de A en X, al que denotamos como
o
A, es igual a la uni´on de todos los abiertos de X contenidos en A. Por otro lado si U es un subconjunto abierto de X tal que U ⊆ A, se sigue de 4 que U = ∅ pues por hip´otesis A 6=X. Por lo tanto
o
A =∅.
5⇒6: Sean U, A⊆ X un abierto y un cerrado respectivamente tales que A6=X y U ⊆A. De 5 sabemos que Ao =∅; como U ⊆A se sigue que U =∅.
6⇒1: SeanU, V ⊆ X abiertos y supongamos que U 6=∅ yU∩V =∅, es decir supongamos que U ⊆ X \V es un abierto no vac´ıo contenido en el cerrado X \V de X. Se sigue de 6 que
X \V =X, es decir V =∅.
Definici´on 7.2. Un espacio irreduciblees un espacio topol´ogicoX el cual es no vac´ıo y cumple las propiedades equivalentes del Lemma 7.1.
M´as generalmente, siX es un espacio topol´ogico y Y ⊆ X, decimos queY es un subespacio irreducible deX siY es un espacio irreducible con la topolog´ıa relativa inducida de la topolog´ıa de X.
Del Lema 7.1 deducimos:
Corolario 7.3. Sea X un espacio topol´ogico. Si Y ⊆ X es un subconjunto no vac´ıo, los siguientes enunciados son equivalentes:
1.- Y es un subespacio irreducible de X.
2.- Si U y V son abiertos de X tales que U∩ Y 6=∅ 6=V ∩ Y entonces U ∩V ∩ Y 6=∅. 3.- Si A y B son cerrados de X tales que Y ⊆ A∪B entonces Y ⊆A o Y ⊆B.
4.- Si U yA son un abierto y un cerrado de X respectivamente tales que U∩ Y ⊆A∩ Y y
U ∩ Y 6=∅ entonces A∩ Y =Y es decir Y ⊆A.
5.- Si U yA son un abierto y un cerrado de X respectivamente tales que U∩ Y ⊆A∩ Y y
A∩ Y 6=Y entonces U ∩ Y =∅.
Notemos que el concepto de subespacio irreducible en espacios m´etricos no es muy intere-sante:
Lema 7.4. Sea X un espacio topol´ogico. Si x∈ X entonces {x} es un subespacio irreducible de X. Rec´ıprocamente si la topolog´ıa de X tiene la propiedad que para cualesquiera dos putos
x, y ∈ X existen abiertos U, V ⊆ X tales que x∈U, y∈V y U ∩V =∅ (por ejemplo si X es un espacio m´etrico), entonces Y es un subespacio irreducible de X si y solamente si Y ={x} para alg´un x∈ X.
Demostraci´on. Sea X un espacio topol´ogico. Notemos que si x∈ X entonces{x} es un subes-pacio irreducible de X pues es no vac´ıo y los ´unicos abiertos relativos son ∅ y {x} (ver 1 del Lema 7.1). Supongamos por otro lado que X es un espacio topol´ogico con la propiedad de separaci´on de puntos del enunciado del Lema y queY ⊆ X es un subespacio irreducible. Como Y es no vac´ıo existe x ∈ Y. Si Y = {x} ya terminamos. Si existe y ∈ Y con y 6= x entonces existen abiertosU, V ⊆ X tales quex∈U,y∈V yU∩V =∅. En particularU∩Y 6=∅ 6=V∩Y y U ∩V ∩ Y =∅ por lo que Y no podr´ıa ser un espacio irreducible (ver 2 del Corolario 7.3).
Por lo tanto Y ={x}.
Sin embargo:
Proposici´on 7.5. Seakun dominio entero,n≥1un n´umero natural yX ⊆ knun subconjunto arbitrario (no necesariamente un conjunto algebraico). EntoncesX es un subespacio irreducible de kn con respecto a la topolog´ıa de Zariski si y solamente siI(X) es un ideal primo del anillo
de polinomios k[X1, . . . , Xn].
En particular si k es un dominio entero infinito y n ≥ 1, el producto cartesiano kn con la
topolog´ıa de Zariski es un espacio irreducible.
Demostraci´on. Sea X ⊆ kn un subconjunto arbitrario, dondek es un dominio entero y n ≥1.
Supongamos para empezar que X es un subespacio irreducible de kn con respecto a la topolog´ıa de Zariski. SiI(X) =k[X1, . . . , Xn] deducimos de las propiedades 5 y 7 del Lema 4.1
queX ⊆ Z I(X)=Z k[X1, . . . , Xn]
=∅. Lo cual es una contradicci´on porqueX es no vac´ıo. Por lo tanto I(X) ⊆k[X1, . . . , Xn] es un ideal propio. Mostremos que si f, g ∈ k[X1, . . . , Xn]
cumplen quef g∈ I(X) perog /∈ I(X) entoncesf ∈ I(X). En efecto comof g ∈ I(X) se tiene que X ⊆ Z I(X) ⊆ Z(f g) y como k es un dominio entero entonces Z(f g) = Z(f)∪ Z(g). Se sigue que X ⊆ Z(f) oX ⊆ Z(g) pues por hip´otesis X es un espacio irreducible (ver 3 del Corolario 7.3). Como supusimos que g /∈ I(X) no se puede tener que X ⊆ Z(g). Por lo tanto X ⊆ Z(f) lo que implica que f ∈ I Z(f)
⊆ I(X).
Rec´ıprocamente supongamos que I(X) ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un ideal primo. Notemos en primer lugar que siX =∅ entonces I(X) = I(∅) = k[X1, . . . , Xn] (ver 8 del Lema 4.1). Como por hip´otesis I(X) es un ideal propio, se sigue que X 6= ∅. Supongamos por otro lado que X ⊆ Z(S)∪ Z(R) =Z(S·R) dondeS, R⊆k[X1, . . . , Xn], aplicando la funci´onI deducimos
quef·g ∈ I(X) para todof ∈S yg ∈R. Notemos que siX *Z(S) entoncesS*I(X) (pues si S ⊆ I(X) entonces X ⊆ Z I(X) ⊆ Z(S)), por lo que si suponemos X * Z(S) entonces existe un polinomio ϕ ∈ S tal que ϕ /∈ I(X). Como I(X) es un ideal primo y tenemos que
f·g ∈ I(X) para todof ∈S yg ∈R, se sigue queR ⊆ I(X), es decir X ⊆ Z I(X)⊆ Z(R). Por lo tanto X es un subespacio irreducible de kn (ver 3 del Corolario 7.3).
Por ´ultimo si k es un dominio entero infinito se sigue de la propiedad 8 del Lema 4.1 que I(kn) es el ideal cero del anillo k[X
1, . . . , Xn], el cual es un ideal primo pues en este caso k[X1, . . . , Xn] es un dominio entero por el ejercicio 2 de la p´agina 2.
Por ejemplo los siguientes son subespacios irreducibles dek2 (donde k es un dominio entero infinito):
1.- Siα ∈k la recta Z(Y −αX) =
(a, αa)∈k2
a∈k ⊆ k2 es un conjunto algebraico irreducible pues de acuerdo al Ejercicio 19 tenemos queI Z(Y −αX)= (Y −αX)⊆
k[X, Y] es un ideal primo.
2.- La par´abola Z(Y −X2) = (a, a2) ∈ k2a∈k ⊆ k2 es un conjunto algebraico el cual es un subespacio irreducible. En efectoI Z(Y −X2)
= (Y −X2) por el Ejercicio 23 y (Y −X2) ⊆ k[X, Y] es un ideal primo pues (Y −X2) es el n´ucleo del morfismo
k[X, Y]∼= k[X][Y] // k[X] evaluaci´on de Y enX2.
3.- A = (a, b) ∈ k2b = 0 ya6= 0 ⊆ k2 es un subespacio irreducible de k2 que no es cerrado (con la topolog´ıa de Zariski) ya que por el Ejercicio 16 se tiene que I(A) = (Y) ⊆ k[X, Y] donde (Y) es el n´ucleo del morfismo k[X, Y]∼= k[X]
[Y] // k[X] evaluaci´on de Y en 0.
7.1. Componentes irreducibles. Si X es un espacio topol´ogico, denotemos como SI(X) al conjunto parcialmente ordenado por la contenci´on de los subespacios irreducibles de X. Por el Lema 7.4 los subconjuntos de la forma {x} donde x ∈ X son elementos de SI(X), en particular si X 6=∅ entoncesSI(X) es un conjunto parcialmente ordenado no vac´ıo.
Lema 7.6. Sea X un espacio topol´ogico. Entonces:
1.- La cerradura Y en X de un subespacio irreducible Y de X es un subespacio irreducible de X.
2.- Si Y es un subespacio irreducible de X existe un subespacio irreducible Z de X tal que Y ⊆ Z y Z es m´aximo en el conjunto parcialmente ordenado SI(X) (i.e. si Z0 es un
subespacio irreducible de X tal que si Z ⊆ Z0 entonces Z =Z0).
Demostraci´on. SeaY un subespacio irreducible deX yY la cerradura deY enX. Supongamos queY ⊆A∪B dondeA, B ⊆ X son cerrados. ComoY ⊆ Y ⊆A∪B yY ⊆ X es un subespacio irreducible se sigue que Y ⊆ A o Y ⊆ B. En particular Y ⊆ A o Y ⊆ B pues A y B son cerrados. Por lo tanto Y es un subespacio irreducible de X.
Consideremos ahora un subespacio irreducible Y de X y sea PY el conjunto parcialmente
ordenado por la contenci´on de los subespacios irreducibles de X que contienen a Y. Notemos para empezar quePY es no vac´ıo puesY es un elemento dePY. Supongamos por otro lado que
W1 ⊆ W2 ⊆ · · · ⊆ Wn ⊆ · · · es una cadena de elementos de PY y considera el subconjunto
W = S
i∈N
Wi deX.
Mostremos que el subconjunto W de X es un subespacio irreducible. En efecto W es no vac´ıo pues Y ⊆ W1 ⊆ W. Por otro lado si U, V ⊆ X son subconjuntos abiertos tales que
W ∩U 6=∅ 6=W ∩V mostremos que W ∩U ∩V 6=∅. En efecto notemos que si Wi∩U =∅
para todo i∈N entonces:
W ∩U = [ i∈N Wi ∩U = [ i∈N (Wi∩U) =∅,
lo que es una contradicci´on. Por lo tanto existen i0, i1 ∈ N tales que Wi0 ∩U 6=∅ 6=Wi1 ∩V. Concluimos que sij = max(i0, i1) entoncesWj∩U 6=∅ 6=Wj∩V, por lo queWj∩U∩V 6=∅
ya que Wj es un subespacio irreducible de X. Deducimos de la contenci´on Wj ⊆ W que
W ∩U ∩V 6=∅.
Se sigue del Lema de Zorn que el conjunto parcialmente ordenado PY tiene al menos un
elemento m´aximo. Si Z es un elemento m´aximo de PY, tenemos en particular que Y ⊆ Z y
Z es un subespacio irreducible de X. Notemos que Z es m´aximo en el conjunto parcialmente ordenado SI(X) (no solamente en PY). En efecto, si Z0 es un subespacio irreducible de X tal
que Z ⊆ Z0 entonces tendr´ıamos que Y ⊆ Z0 pues Y ⊆ Z, entonces Z0 es un elemento de P Y
lo que implica que Z =Z0.
Definici´on 7.7. Si X es un espacio topol´ogico, los elementos m´aximos del conjunto parcial-mente ordenadoSI(X)son llamodos los componentes irreducibles deX. De manera expl´ıcita, un componente irreducible de X es un subespacio irreducible de X que no est´a contenido pro-piamente en otro subespacio irreducible de X.
Del Lema 7.6 deducimos:
Corolario 7.8. SeaX un espacio topol´ogico, la familiaYα α de los componentes irreducibles
de X tiene las siguientes propiedades:
1.- Yα es un cerrado irreducible de X para toda α.
2.- Yα *Yβ siempre que α6=β.
3.- X =S
α
Yα.
Demostraci´on. Mostremos 1: SiYαes un componente irreducible deX, por definici´onYαes un
subespacio irreducible deX. M´as a´un, si Yα es la cerradura deYα enX, tenemos que Yα ⊆ Yα
donde Yα es un subespacio irreducible de X por la propiedad 1 del Lema 7.6. Como Yα se
supuso m´aximo en el conjunto parcialmente ordenado SI(X), se sigue que Yα = Yα, es decir
Yα es cerrado enX.
Mostremos 2: Sean Yα y Yβ dos subespacios irreducibles de X m´aximos en el conjunto
parcialmente ordenado SI(X). Si suponemos que Yα ⊆ Yβ, se sigue de la definici´on de ser
m´aximo que Yα=Yβ, es decir α=β. Por lo tanto si α6=β se tiene que Yα*Yβ.
Mostremos 3: Si Yα es un componente irreducible de X entonces por definici´on Yα ⊆ X.
Entonces S
α
Yα ⊆ X. Por otro lado, si x ∈ X sabemos que {x} es un subespacio irreducible
de X por el Lema 7.4. Se sigue de la propiedad 2 del Lema 7.6 que existe Yα un componente
irreducible de X tal que {x} ⊆ Yα. En particular x ∈ S α
Yα para todo x ∈ X. Por lo tanto
X ⊆S
α
Definici´on 7.9. Si X es un espacio topol´ogico y
Yα α es la familia de los componentes
irreducibles de X, decimos simplemente que X =S
α
Yα es la descomposici´on en componentes
irreducibles de X.
Por ejemplo, se sigue del Lema 7.4 que X = S
a∈X
{a} es la descomposici´on en componentes irreducibles de un espacio m´etrico X. Por otro lado si X es un espacio topol´ogico irreducible (por ejemplokn donde k es un dominio entero infinito) entoncesX =X es la descomposici´on
en componentes irreducibles deX. Del mismo modo, sikes un dominio entero infinito entonces Z(X2 −Y2) = Z(X−Y)∪ Z(X+Y) es la descomposici´on en componentes irreducibles del subconjunto algebraico Z(X2−Y2) del planok2.
El siguiente resultado nos dice que las propiedades del Corolario 7.8 caracterizan a la fami-lia de los componentes irreducibles de un espacio topol´ogico, si esta familia es finita (ver la Proposici´on 7.12).
Corolario 7.10. Sea X un espacio topol´ogico y Yi
`
i=1 una familia finita de subconjuntos de X, entonces Yi
`
i=1 es la familia de los componentes irreducibles de X si y solamente si: 1.- Yi es un cerrado irreducible de X para toda 1≤i≤`.
2.- Yi *Yj siempre que 1≤i6=j ≤`.
3.- X = S 1≤i≤`
Yi.
si y solamente si:
1’.- Yi es un cerrado irreducible de X para toda 1≤i≤`.
2’.- Yi * S j6=i Yj para toda1≤i≤`. 3’.- X = S 1≤i≤` Yi.
Demostraci´on. En el Corolario 7.8 mostramos que si Yi `
i=1 es la familia de los componentes irreducibles de un espacio topol´ogico X, entonces Yi
`
i=1 cumple las propiedades 1, 2, y 3. Supongamos que Yi
`
i=1 es una familia finita de subconjuntos deX que verifica las propie-dades 1, 2 y 3 del enunciado del Lema. Entonces Yi
`
i=1 satisface 1’ y 3’. Supongamos por otro lado que existe 1≤ i≤` tal que Yi ⊆
S
j6=i
Yj. Como Yi es un subespacio irreducible de X
y los subconjuntos Yj deX son cerrados si 1≤j 6=i≤`, se sigue por un argumento inductivo
(uni´on finita de cerrados es un cerrado) queYi ⊆ Yj para alg´un 1≤j 6=i≤`. Esto contradice
2, por lo tanto Yi *
S
j6=i
Yj para toda 1≤i≤`.
Por otro lado supongamos que Yi `
i=1 es una familia finita de subconjuntos de X que verifica las propiedades 1’, 2’ y 3’. Se sigue entonces que Yi
`
i=1 cumple las propiedades 1 y 3. Notemos que si Yi ⊆ Yj para algunos 1 ≤ i 6= j ≤ `, entonces existe 1 ≤ i ≤ ` tal que
Yi ⊆ S j6=i
Mostremos finalmente que si Yi `
i=1 es una familia de subconjuntos de X que cumple las propiedades 1, 2 y 3, entonces Yi
`
i=1 es la familia de los componentes irreducibles de X. En efecto, seaZ un componente irreducible deX. Se sigue de la propiedad 3 queZ ⊆ X = S
1≤i≤`
Yi
y de la propiedad 1 (los Yi son cerrados) que Z ⊆ Yi para alguna 1 ≤ i ≤ `. Como Yi es
irreducible y Z es un componente irreducible, concluimos que Z =Yi para alguna 1≤i ≤`.
Dicho de otro modo la familia Yi `
i=1 contiene a los componentes irreducibles deX.
Resta por confirmar que para todo 1 ≤ i ≤ `, el cerrado irreducible Yi es un componente
irreducible de X. En efecto, si 1 ≤ i ≤ ` es fija, como Yi ⊆ X es irreducible, se sigue de 2
del Lema 7.6 que Yi est´a contenido en alg´un componente irreducible de X. Pero sabemos que
los componentes irreducibles de X est´an entre los elementos de la familia Yi `
i=1. Entonces Yi ⊆ Yj para alguna 1 ≤ j ≤ ` donde Yj es un componente irreducible de X. Se sigue de 2
que i=j es decir Yi =Yj, por lo tanto Yi es un componente irreducible de X.
7.2. Espacios neterianos. En este p´arrafo veremos una condici´on suficiente para que un espacio topol´ogico tenga un n´umero finito de componentes irreducibles.
Si (P,≤) es un conjunto parcialmente ordenado, recordemos que por el Lema de Zorn las siguientes propiedades son equivalentes:
(N1) Toda cadena ascendente en (P,≤) es estacionaria, es decir si se tiene una sucesi´on ascendenteU1 ≤U2 ≤ · · · ≤ Us ≤ · · · de elementos de P donde s ∈N, entonces existe `∈N tal que U` =Us para todas≥`.
(N2) (P,≤) verifica la condici´on del elemento m´aximo, es decir si U ⊆ P es una familia no vac´ıo de elementos de P, entonces existe U ∈ U tal que si V ∈ U cumple que U ⊆ V
entonces U =V.
Por ejemplo, sik es una anillo conmutativo con uno, el conjunto parcialmente ordenado (por la contenci´on) de los ideales dekcumple (N1) y (N2) si y solamente si kes un anillo neteriano (ver el Ejercicio 30).
De manera an´aloga, las siguientes propiedades son equivalentes:
(A1) Toda cadena descendente en (P,≤) es estacionaria, es decir si se tiene una sucesi´on descendente A1 ≥ A2 ≥ · · · ≥ As ≥ · · · de elementos de P con s ∈N, entonces existe `∈N tal que A` =As para toda s≥`.
(A2) (P,≤) verifica la condici´on del elemento m´ınimo, es decir si A ⊆ P es una familia no vac´ıa de elementos de P, entonces existe A ∈ A tal que si B ∈ A cumple que B ≤ A
entonces B =A.
Definici´on 7.11. Un espacio topol´ogico X es llamado neteriano si el conjunto parcialmente ordenado (por la contenci´on) de los abiertos de X satisface las propiedades equivalentes (N1) y (N2) de arriba.
De manera equivalente, un espacio topol´ogico X es neteriano si el conjunto parcialmente ordenado (por la contenci´on) de los cerrados de X satisface las propiedades equivalentes (A1) y (A2).
Mostremos:
Proposici´on 7.12. Todo espacio topol´ogico neteriano tiene un n´umero finito de componentes irreducibles.
Demostraci´on. Sea X un espacio topol´ogico neteriano. Denotemos comoA al conjunto de los subespacios cerrados AdeX, tales que el n´umero de los componentes irreducibles de Ano sea finito. SiAes el conjunto vac´ıo, entoncesX tiene un n´umero finito de componentes irreducibles. Supongamos queA es un conjunto no vaci´o. ComoX es neteriano, se sigue de la propiedad (A1) de arriba que existe un elemento A de A m´ınimo (es decir, que no est´a contenido pro-piamente en ning´un otro elemento de A). Como A no tiene un n´umero finito de componentes irreducibles, A no puede ser irreducible. En efecto, si A es irreducible A mismo ser´ıa el ´unico componente irreducible de A. Por lo tanto existen cerrados B y C deX tales queA⊆B ∪C
pero A*B y A*C (ver 3 del Corolario 7.3).
Por otro lado sabemos que A es un cerrado de X (como lo es cualquier elemento de A), en particular B∩A y C∩A son subconjuntos cerrados de X tales que B∩A(A y C∩A(A
(pues isB∩A=AentoncesA⊆B) y (B∩A)∪(C∩A) =A. En particular, comoAes m´ınimo enA, deducimos queB∩A y C∩A tienen un n´umero finito de componentes irreducibles.
SeanYi s i=1 y Zj t
j=1 las familias de los componentes irreducibles de los cerrados B∩Ay
C∩AdeX (ver el Corolario 7.8). Notemos que como los subconjuntosYiyZj deAson cerrados
en X, tambi´en lo son en A. Adem´as los subconjuntos Yi y Zj son subespacios irreducibles de A (esto es por la definici´on de subespacio irreducible) y tenemos que:
[ 1≤i≤s Yi ! [ [ 1≤j≤t Zj ! = (B∩A)∪(C∩A) = A
Se sigue del Corolario 7.10 que la familia de los componentes irreducibles deAest´a contenida en la familia finita
Yi, Zj 1≤i≤s,1≤j≤t. Pero esto contradice que A sea un elemento de A.
Por lo tanto A es un conjunto vac´ıo, es decir X tiene un n´umero finito de componentes
irreducibles.
Deducimos (ver tambi´en el Ejercicio 40):
Corolario 7.13. Si kes un dominio neteriano (ver ejercicio 30) yX es un conjunto algebraico sobrek entonces X tiene un n´umero finito de componentes irreducibles (ver el Corolario 7.10). Demostraci´on. Recordemos que si k es un anillo neteriano, el conjunto parcialmente ordenado (por la contenci´on) de los ideales de k[X1, . . . , Xn] verifica las propiedades (N1) y (N2) de
arriba de la Definici´on 7.11 (ver el Ejercicio 30 sobre el Teorema de la base de Hilbert). Si X ⊆ kn donde k ≥ 1, se sigue del Lema 5.1 que el conjunto parcialmente ordenado
