cm2/min, encuentre la raz´on a la cual disminuye el di´ametro cuando es de 10 cm.
2.– A mediod´ıa, el velero A est´a a 150 km al oeste del velero B. El A navega hacia el este a 35km/hy el B hacia el norte a 25 km/h. ¿ Con qu´e rapidez cambia la distancia entre las embarcaciones a las 4:00 P.M?
3.– Un avi´on vuela horizontalmente a una altitud de 1 mi a una velocidad de 500mi/hy pasa sobre una estaci´on de radar. Encuentre la raz´on a la que aumenta la distancia del avi´on a la estaci´on cuando aqu´el ´esta a 2 mi de ´esta.
4.– Una l´ampara est´a montada en el extremo superior de un poste de 15 pies de alto. Un hombre cuya altura es de 5 pies se aleja del poste a una velocidad de 5pies/seg a lo largo de una trayectoria recta. ¿Con qu´e rapidez se mueve la punta de su sombra cuando el hombre est´a a 40 pies del poste?
5.– Dos autom´oviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. Uno a viaja hacia el sur a 60mi/h y el otro hacia el oeste a 25mi/h. ¿Con qu´e raz´on aumenta la distancia entre los dos autom´oviles 2 horas m´as tarde?
6.– Una l´ampara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que est´a a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de alto camina desde la l´ampara hacia el edificio a una velocidad de 1.6m/seg, ¿Con qu´e rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 4 m de ´este?
7.– Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4p/segdesde un punto P. Cinco segundos m´as tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 p/seg desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qu´e raz´on se separan 15 minutos despu´es que la mujer empez´o a caminar?
8.– Un diamante de b´eisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 p/seg.
a) ¿Con qu´e raz´on disminuye su distancia a la segunda base cuando est´a a la mitad de la distancia de la primera?
b) ¿Con qu´e raz´on aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento?
9.– La altura de un tri´angulo crece 1 cm/min y su ´area 2 cm2/min. ¿Con qu´e raz´on cambia la base del tri´angulo cuando la altura es de 10 cm y el ´area de 100cm2?
10.– El agua se fuga de un tanque c´onico invertido a raz´on de 10000cm3/min, al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una raz´on constante. El tanque tiene 6 metros de altura y el di´ametro en la parte superior es de 4 metros, si el nivel del agua sube a raz´on de 20cm/min cuando la altura de ese nivel es de 2 metros, encuentre la raz´on a la que se bombea el agua al tanque.
11.– Una artesa de agua tiene 10 metros de largo y una secci´on transversal en forma de trapecio isosceles cuyo ancho en el fondo es de 30 cm. el de la parte superior 80 cm. y la altura 50 cm. Si la artesa se llena con agua a raz´on de 0,20m3/min, ¿Con qu´e rapidez sube el nivel del agua cuando est´a tiene 30 cm de profundidad?
12.– Dos de los lados de un tri´angulo tienen 4 y 5 metros de longitud y el ´angulo entre ellos crece a raz´on de 0,06rad/seg. Encuentre la raz´on con qu´e aumenta el ´area del tri´angulo cuando el ´angulo entre los lados de longitud fija es deπ/3.
13.– Dos lados de un tri´angulo tienen longitud de 12 m y 15 m. El ´angulo entre ellos crece a raz´on de 2◦/min. ¿Con qu´e rapidez aumenta la longitud del tercer lado cuando el ´angulo entre los lados de longitud fija es de 60◦
14.– Un faro est´a en una isla peque˜na a 3 Km de distancia del punto m´as cercano P en una linea costera recta y su luz realiza 4 revoluciones por minuto. ¿Con qu´e rapidez se mueve el haz de luz a lo largo de la linea costera cuando est´a a 1 km de P?
15.– Un avi´on vuela a una velocidad constante de 300 Km/hpasa sobre una estaci´on de radar a una altitud de 1 km y asciende formando un ´angulo de 30◦. ¿Con qu´e raz´on aumenta la distancia del avi´on a la estaci´on de radar un minuto m´as tarde?
16.– Dos personas parten del mismo punto una camina hacia el este a 3mi/h y la otra hacia el noroeste a 2 mi/h. ¿Con qu´e rapidez cambia la distancia entre ambas despu´es de 15 minutos?
17.– Un atleta corre alrededor de una pista circular de 100 m de radio a una velocidad constante de 7 m/seg. El amigo del atleta est´a parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Con qu´e rapidez cambia la distancia entre ellos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?
18.– El minutero de un reloj tiene 8 mm de largo y el horario 4 mm. ¿Con qu´e rapidez cambia la distancia entre las puntas de las manecillas a una en punto?
19.– Una artesa rectangular tiene 8 pies de largo, 2 pies de ancho y 4 pies de profundidad. Si el agua fluye en ella raz´on de 2 p3/min, ¿Como est´a subiendo el nivel cuando el agua tiene 1 pie de profundidad?
20.– Est´a entrando liquido en un dep´osito cil´ındrico vertical de 6 pies de radio a raz´on de 8 p3/min. ¿A qu´e ritmo est´a subiendo el nivel?
21.– Un hombre de 5 pies de altura camina a 4 p/seg alej´andose en linea recta de la luz de una farola que est´a a 20 pies sobre el suelo. (a)¿A qu´e ritmo se mueve el extremo de su sombra? (b)¿A qu´e ritmo est´a cambiando la longitud de su sombra?
22.– Un globo asciende verticalmente sobre un punto A del suelo a raz´on de 15 p/seg. Un punto B del suelo dista 30 pies de A. Cuando el globo est´a a 40 pies de A, ¿A qu´e ritmo est´a cambiando su distancia al B?
23.– Una escalera de 20 pies de largo est´a apoyada en una casa. Hallar los ritmos a qu´e: (a) baja por el muro su extremo superior si su apoyo dista 12 pies de la casa y se separa de ella a 2p/seg, (b) est´a decreciendo la pendiente de la escalera.
25.– La longitud del largo de un rect´angulo disminuye a raz´on de 2cm/seg, mientras que el ancho aumenta a raz´on de 2cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar:
a) la variaci´on del ´area del rect´angulo
b) la variaci´on del per´ımetro del rect´angulo
c) la variaci´on de las longitudes de las diagonales del rect´angulo
26.– Dos lados de un tri´angulo miden 4 m y 5 m y el ´angulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el ´area y la altura del tri´angulo se incrementan cuando el ´angulo entre los lados es deπ/3.
27.– Una luz est´a en el suelo a 45 metros de un edificio. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a raz´on constante de 2 metros por segundo.¿A qu´e velocidad est´a disminuyendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre est´a a 25 metros del edificio?
28.– Un globo est´a a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una raz´on constante de 4 m/seg. Un autom´ovil pasa por debajo viajando por una carretera recta a raz´on constante de 60 m/seg.¿Con qu´e rapidez cambia la distancia entre el globo y el autom´ovil 1/2 segundo despu´es?
29.– Considere un dep´osito de agua en forma de cono invertido. Cuando el dep´osito se descarga, su volumen disminuye a raz´on de 50πm3/min. Si la altura del cono es el triple del radio de su parte superior,¿con qu´e rapidez var´ıa el nivel del agua cuando est´a a 5 m del fondo del dep´osito?
30.– Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador. Calcular el ritmo de cambio del ´angulo de elevaci´on cuando el globo est´a a una altura de 17,32 metros.
31.– Considere un tri´angulo rect´angulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a raz´on de 0,5 cm/min y el cateto b crece a raz´on de 2 cm/min, determine la variaci´on del ´area del tri´angulo cuando a mide 16 cm y b mide 12 cm.
32.– Dos lados paralelos de un rect´angulo se alargan a raz´on de 2 cm/seg, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rect´angulo de ´area constante igual a 50cm2. ¿Cu´al es la variaci´on del lado que se acorta y la del per´ımetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm?
33.– Un tanque c´onico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior, se est´a llenando con agua a raz´on constante. ¿A qu´e velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta la mitad de su capacidad, la profundidad del agua est´a aumentando a raz´on de un metro por minuto? ¿Cu´anto tiempo tardar´a el tanque en llenarse?
35.– Un rect´angulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su v´ertice opuesto al origen est´a sobre la curva de ecuaci´ony= 2x, seg´un se muestra en la figura ad-junta. En este v´ertice, la coordenada y aumenta a raz´on de una unidad por segundo.¿Cu´al es la variaci´on del ´area del rect´angulo cuando x = 2?
36.– Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a raz´on de 0,01 cm/min. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´area cuando el radio mide 50 cm?
37.– Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un dep´osito en forma de cono invertido (con el v´ertice hacia abajo) a raz´on de 3πm3 por hora. Si el dep´osito tiene un radio de 2,5 metros en su parte superior y una profundidad de 10 metros, entonces:
a) ¿Qu´e tan r´apido cambia dicha profundidad cuando tiene 8 metros?
b) ¿A qu´e raz´on var´ıa el ´area de la superficie del nivel del aceite en ese mismo instante?
38.– Un globo aerost´atico se infla de tal modo que su volumen est´a increment´andose a raz´on de 84,951dm3/min. ¿Con qu´e rapidez est´a increment´andose el di´ametro del globo cuando el radio es 3,05 dm?
39.– Las aristas de un cubo variable aumentan a raz´on de 3 cent´ımetros por segundo. ¿Con qu´e rapidez aumenta el volumen del cubo cuando una arista tiene 10 cent´ımetros de longitud?
40.– De un tubo sale arena a raz´on de 16 dm3/seg. Si la arena forma una pir´amide c´onica en
el suelo cuya altura es siempre 1/4 del di´ametro de la base, ¿con qu´e rapidez aumenta la pir´amide cuando tiene 4 dm de altura?
41.– Una mujer, en un muelle, tira de un bote a raz´on de 15 metros por minuto sirvi´endose de una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4,8 metros por arriba del nivel del agua, ¿con qu´e rapidez el bote se aproxima al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de 6 metros?
Nota: El volumen V de un cono truncado circular recto de altitud h y radios inferior y superior a y b es: V = π3h(a2+ab+b2)
43.– El agua est´a goteando del fondo de un dep´osito semiesf´erico de 8 dm de radio a raz´on de 2dm3/hora. Si el dep´osito estaba lleno en cierto momento, ¿con qu´e rapidez baja el nivel del agua cuando la altura es de 3 dm?
Nota: El volumen V de un casquete esf´erico de altura h de una esfera de radio r es: V = π3h2(3r−h).
44.– Si Ang´elica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado p´ublico, que est´a a 9 metros de altura, a raz´on de 0,6 metros por segundo, entonces:
a) ¿Con qu´e rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Ang´elica est´a a 7,2 metros del poste? ¿A 9 metros?
b) ¿Con qu´e rapidez se mueve el extremo de su sombra?
45.– Un autom´ovil que se desplaza a raz´on de 9 m/seg , se aproxima a un cruce. Cuando el auto est´a a 36 metros de la intersecci´on, un cami´on que viaja a raz´on de 12 m/seg , cruza la intersecci´on. El auto y el cami´on se encuentran en carreteras que forman un ´angulo recto entre s´ı. ¿Con qu´e rapidez se separan 2 segundos despu´es de que el cami´on pasa dicho cruce?
46.– Un avi´on vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo llevar´a directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ´angulo de elevaci´on del aeroplano es deπ/3 radianes y aumenta a raz´on de 1/60 radianes por segundo. Determine la velocidad del avi´on.
47.– Una part´ıcula se est´a moviendo sobre una curva cuya ecuaci´on es 1+yxy32 = 8/5. Suponga que la coordenada x se est´a incrementando a raz´on de 6 unidades/seg cuando la part´ıcula est´a en el punto (1,2).
a) ¿Con qu´e rapidez est´a cambiando la coordenada y del punto en ese instante?
