Operaciones.
Las fracciones y sus
operaciones
O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,
En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.
LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONES Introducción.
Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta,
Términos de una fracción.
Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción.
a
Si tenemos dos números a y b , y b 0, entonces la expresión --- es una
fracción . b
b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se
divide la unidad.
a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos.
a NUMERADOR
b DENOMINADOR
1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 2 10 : 5 = 2
2 . 2 = 4
2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5. 10 . 2 = 20
20 : 5 = 4
Fracción de un número.
Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos? Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :
Unidad 7
.
Operaciones
Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.
Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:
1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador:
3 5 9 456 --- , --- , --- , --- , 3 5 9 456
Todas estas fracciones son iguales a la unidad.
la unidad
2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21
--- , --- , --- , --- , 3 4 7 9 47
Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad.
2
Por ejemplo 3
Si la representamos gráficamente:
1 Unidad
2/3
Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.
3.Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9
--- , --- , --- , --- , - , 3 3 9 5 4
Todas estas fracciones son mayores que la unidad.
4 Por ejemplo 3
Si la representamos gráficamente:
1 Unidad 1 Unidad
Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.
3/3 + 1/3
Numero Mixtos.
Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número
natural y una fracción.
4 3 1 1 5 4 1 1
- = --- + -- = 1 + - -- = - + - = 1 +
3 3 3 3 4 4 4 4
También podemos escribirlas de la siguiente forma. 4 1 1
--- = 1 + --- = 1 ---
3 3 3
5 1 1
--- = 1 + --- = 1 ---
4 4 4
1 1
1 --- y 1 ---
3 4
son números mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “
Fracciones Equivalentes. a c
Si dos fracciones --- y --- son equivalentes, entonces se verifica
b d
que a . d = b . c
Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.
Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones.
a c
--- = ---- a . d = b . c
b d
Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus
productos cruzados son iguales.
2 4
--- ---- 3 6
2 . 6 = 12 3 . 4 = 12
Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y así comprobamos que las fracciones son equivalentes.
2 4
Entonces --- y ---- son equivalentes 3 6
a c
Para indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos --- = ----
b d 2 4
La fracciones ---- y ---- son equivalentes
3 6
En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados.
Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes
a . d b . C
3 4
Por ejemplo : --- y ---- 2 5
3 . 5 = 15 2 . 4 = 8
Comprobamos que 15 8
3 4 Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes, y ponemos --- ----
2 5
Comprobación y Ordenación de Fracciones.
a c Si tenemos dos fracciones ---- y ----
b d
¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor?
Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tienen mayor numerador.
2 3 3 2
Por ejemplo : --- y ---- --- > ---
5 5 5 5
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
2 2 2 2
Por ejemplo : --- y ---- --- < ---
4 3 4 3
¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales?
En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores.
2 3 Por ejemplo : --- y ----
3 4 2 4 6 8 --- = ---- = --- = ---
3 6 9 12 Buscamos fracciones equivalentes.
3 6 9 --- = ---- = ---
4 8 12
8 9 2 3 Como --- < ---- , entonces ---- < ---
suma y resta con:
a) Mismo Denominador:
Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c
---- y ---- b b
Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador. a c a + c
--- + ---- = b b b 3 2 3+ 2 5 --- + --- = --- = --- 7 7 7 7
O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c
--- - ---- = b b b
3 2 Por ejemplo --- y ---
7 7
3 2 3 - 2 1 --- - ---- = --- = ---
7 7 7 7
Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o
restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
b) Distinto Denominador.
Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.
Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que
éstas tengan el mismo denominador
3 4 Por ejemplo --- y ---
5 2
3 6 - = 5 10
4 8 12 16 20 --- = --- = --- = --- =
2 4 6 8 10
4 3 20 6 20 + 6 26 --- + --- = --- + --- = ---- =
2 5 10 10 10 10
4 3 20 6 20 – 6 14 --- - --- = --- - --- = --- = ---
2 5 10 10 10 10
Para hallar fracciones con distinto denominador,
podemos usar el método del mínimo común múltiplo
de los denominadores ( m. c. m. )
1 2 3 Tenemos las fracciones ----, --- ,
2 3 4
1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12
2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción.
1 1 6
--- 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 --- = ---
2 2 12 2 2 8
--- 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 --- = ---
3 3 12 3 3 9
--- 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 --- = ---
6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ---, --- y --- son equivalentes a ---- , ---- y --- 12 12 12 2 3 4
y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.
1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 --- + --- + --- = --- + --- + --- = --- = --- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 --- + --- - --- = --- + --- - --- = --- = --- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
Multiplicación y División
a c
Para multiplicar las fracciones --- y --- , hacemos b d
a c a . c --- . ---- = --- b d b . d
Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores.
Por ejemplo:
1 2 1 . 2 2
--- . --- = --- = --- 3 5 3 . 5 15
a c
Para dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos b d
a c a d a . d ---- ---- = --- . --- = b d b c b . c
Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.
Por ejemplo:
3 2 3 5 3 . 5 15 --- --- = --- . ---- = --- = --- 2 5 2 2 2 . 2 4
También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra.
a c a . d ---- : --- = --- b d b . C Por ejemplo:
3 2 3 . 5 15 ---- : --- = --- = ---
