2.1.
Funciones variable compleja
En este cap´ıtulo vamos a tratar con funcionesf : Ω ⊂C →C, dondeΩ ⊂ Ces
el dominio de definici´on. La forma habitual de expresar estas funciones es como una ecuaci´on w = f(z), donde z ∈ Ω y w ∈ C. Cuando Ω no se especifica se
sobreentiende que el dominio de definici´on es el mayor posible. Si z = x+iy yw = u+iv, la ecuaci´on que define la funci´on es
u+iv = f(x+iy).
Eso significa que, en realidad, una funci´on de variable compleja son dos funciones de dos variables reales,u = u(x, y) y v = v(x, y). Vista de este modo la funci´on tambi´en puede describirse comof : Ω ⊂ R2 → R2.
Ejemplos 2.1.
(1) Consideremos la funci´onf(z) =z2. Esta funci´on ser´a
u+iv = (z+iy)2 =x2−y2+i2xy,
con lo que tambi´en puede describirse como
Tambi´en pueden usarse coordenadas polares, en cuyo caso,
u+iv =r2e2iθ =r2cos 2θ+ir2sen 2θ,
y entonces tendremos
u(r, θ) = r2cos 2θ, v(r, θ) =r2sen 2θ.
(2) Las funciones no tienen por qu´e tomar valores complejos, pueden tambi´en tomar s´olo valores reales (porquev = 0en todo el dominio de definici´on). Un ejemplo esf(z) = |z|. (3) Tambi´en es posible que las funciones sean multivaluadas; es el caso def(z) = argz. En
estos casos hay que especificar la determinaci´on para saber c´omo es la funci´on.
La representaci´on gr´afica de funciones de variable compleja se lleva a cabo mediante la representaci´on de los dos planos complejos, Z yW. En el primero se representan curvas o regiones, y en el segundo se representa su imagen.
2.2.
L´ımites y continuidad
Dado que la topolog´ıa deCy de R2 coinciden, los conceptos de l´ımite y
conti-nuidad de funciones de variable compleja se heredan directamente de los deR2.
Diremos quef : Ω →C, conΩ un dominio de C, tiene l´ımite
l´ım z→z0
f(z) = w,
si, para todoǫ >0, existeδ >0tal que|f(z)−w|< ǫsiempre que0 < |z−z0| < δ (dicho de otro modo, la imagen del discoD(z0, δ), exceptuando el centro, est´a en
D(w, ǫ)).
Es sencillo probar que
l´ım z→z0 f(z) = w ⇐⇒ l´ım z→z0 Ref(z) = Rew, l´ım z→z0 Imf(z) = Imw. Tambi´en que si l´ım z→z0 f(z) =w, entonces l´ım z→z0 f(z) = w, l´ım z→z0 |f(z)| = |w|,
Por lo dem´as, las propiedades algebraicas de los l´ımites se trasladan sin cambio a este caso (suma, producto, cociente, etc., de l´ımites).
Diremos quef : Ω →C, conΩ un dominio de C, es continua enz0 ∈ Ωsi
l´ım z→z0
f(z) =f(z0).
Sumas, productos, cocientes o composiciones de funciones continuas dan funcio-nes continuas. Tambi´en, z, Rez, Imz y |z| son funciones continuas en todo C.
La funci´on argz no lo es, pero s´ı es continua en cualquier conjunto de la forma
C−S, siendoS una remirrecta que parte del origen (que define la determinaci´on).
2.3.
Derivabilidad y funciones holomorfas
2.3.1. Definici ´on y propiedades
Tenemos dos opciones para definir la derivada de una funci´on de variable com-pleja:
(1) Utilizar la definici´on de diferenciabilidad de funcionesf :R2 → R2.
(2) Aprovechar que gracias a la estructura de cuerpo que tieneCpodemos dividir
complejos, y dar una definici´on “unidimensional”.
Por ser una estrategia m´as simple, emplearemos la opci´on (2).
Definici´on 2.1 (Derivada). Sean Ω ⊂ C abierto, f : Ω → C y z0 ∈ Ω. Diremos
quef es derivable enz0 si existe el l´ımite
f′(z0) = l´ım z→z0 f(z)−f(z0) z−z0 = l´ım h→0 f(z0 +h)−f(z0) h (dondez, h ∈ C).
Al ser la misma definici´on que en R las reglas de c´alculo de derivadas son
id´enticas:
Teorema 2.1. Seanf, g funciones derivables enz0 y seanα, β ∈ C; entonces
(1) Linealidad: αf +βg es derivable en z0 y
(αf +βg)′(z0) = αf′(z0) +βg′(z0).
(2) Regla de Leibnitz:f g es derivable en z0 y
(3) Regla del cociente: Sig(z0) 6= 0,f /g es derivable en z0 y f g ′ (z0) = f′(z0)g(z0)−f(z0)g′(z0) g(z0)2 . Sif es derivable en z0 yg lo es en f(z0), entonces
(4) Regla de la cadena:g ◦f es derivable en z0 y
(g◦f)′(z0) =g′ f(z0)f′(z0).
Asimismo, derivabilidad implica continuidad:
Teorema 2.2. Sif : Ω → Ces derivable enz0 ∈ Ω, entoncesf es continua enz0.
Ejemplos 2.2.
(1) f(z) = zn, conn ∈N, es derivable en Cyf′(z) = nzn−1 (la demostraci´on es como en
R.
(2) f(z) = a0+a1z+a2z2+· · ·+anznes derivable en todoC.
(3) f(z) = P(z)/Q(z), conP(z)yQ(z)sendos polinomios, es derivable en todoCexcepto
en las ra´ıces deQ(z).
(4) f(z) = zno es derivable en ning´un punto deC. Ve´amoslo:
l´ım h→0 f(z0+h)−f(z0) h = l´ımh→0 z0+h−z0 h = l´ımh→0 h h =(x,yl´ım)→(0,0) x−iy x+iy.
Se ve f´acilmente que este l´ımite no existe si nos acercamos por rectas y = λx, ya que el resultado depende deλ.
(5) Como consecuencia, las funciones f(z) = Rez y g(z) = Imz no son derivables en ning´un punto.
2.3.2. Condiciones de Cauchy-Riemann
En realidad, la definici´on de derivabilidad oculta la definici´on de diferenciabi-lidad enR2, a la que es equivalente. Veamos el siguiente resultado:
Teorema 2.3 (Condiciones de Cauchy-Riemann). Sea f = u + iv una funci´on f : Ω →C, conΩ ⊂ Cabierto, y seaz0 = x0+iy0 ∈ Ω. Entonces,f es derivable
en z0 si y s´olo si u, v son diferenciables en (x0, y0) y cumplen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann
ux = vy, uy = −vx. (CR)
Adem´as,
Dem.: Para demostrar este resultado vamos a introducir cierta notaci´on. Denotare-mosr0 = (x0, y0), F(r) = u(x, y), v(x, y)
yh = (hx, hy) siendoh = hx+ihy.
⇒ Si f es derivable, lo es a lo largo de cualquier direcci´on. Entonces, tomando la direcci´onImh = 0(sobre el eje real),
f′(z0) = l´ım
h→0
u(x0 +h, y0) +iv(x0 +h, y0)−u(x0, y0)−iv(x0, y0)
h = l´ım h→0 u(x0 +h, y0)−u(x0, y0) h + ihl´ım→0 v(x0 +h, y0)−v(x0, y0) h = ux(x0, y0) +ivx(x0, y0),
es decir, para que el l´ımite exista tienen que existir las derivadas parciales deuyv respecto axy cumplirsef′(z0) = ux(x0, y0) +ivx(x0, y0). Por otro lado, tomando
la direcci´onReh = 0(sobre el eje imaginario), f′(z0) = l´ım
h→0
u(x0, y0 +h) + iv(x0, y0 +h)−u(x0, y0)−iv(x0, y0)
ih = −il´ım h→0 u(x0, y0 +h)−u(x0, y0) h + l´ımh→0 v(x0, y0 +h)−v(x0, y0) h = −iuy(x0, y0) + vy(x0, y0),
es decir, para que el l´ımite exista tienen que existir las derivadas parciales de u y v respecto a y y cumplirse f′(z
0) = vy(x0, y0) −iuy(x0, y0). Igualando las dos
expresiones se obtiene (CR).
Para demostrar la diferenciabilidad de u y v en x0 partimos de que si f es
derivable enz0 se cumple l´ım h→0 f(z0 +h)−f(z0)−hf′(z0) h = 0. (*)
Pero comof′ = ux+ivx,
hf′ = (hxux−hyvx) +i(hxvx+ hyux) = |{z}
(CR)
(hxux+ hyuy) +i(hxvx+hyvy).
As´ı pues,
Re(hf′) =∇u·h, Im(hf′) = ∇v ·h, luego (*) se reescribe como
l´ım
h→0
kF(r0 +h)−F(r0)−DF(r0)·hk
siendoDF(r0)la matriz jacobiana deFenr0. La ecuaci´on anterior no es m´as que
la expresi´on de la diferenciabilidad deF enr0.
⇐ Que uy v sean diferenciables en r0 implica que existen sus derivadas parcia-les. Como adem´as se cumple (CR), la matriz jacobiana deF ser´a
DF = ux uy vx vy = ux −vx vx ux .
La condici´on de diferenciabilidad enr0 se expresa a trav´es de (**) que, empleando la expresi´on que hemos obtenido para la jacobiana, se convierte en (*) si definimos f′(z0) = ux(x0, y0) +ivx(x0, y0). Pero (*) implica que existe la derivada de f en
z0 y que vale f′(z0).
Como para que u y v sean diferenciables es suficiente que las derivadas par-ciales sean continuas, en aplicaciones pr´acticas puede ser suficiente el siguiente corolario:
Corolario 2.1. Seaf = u+iv una funci´onf : Ω →C, conΩ ⊂ Cabierto, y sea
z0 = x0 + iy0 ∈ Ω. Supongamos que existen las derivadas parciales con respecto
axey deuyv y son continuas en un entorno de(x0, y0). Entonces,f es derivable
en z0 si y s´olo si se cumple (CR) en(x0, y0).
Ejemplos 2.3.
(1) Sea la funci´onf(z) = |z|2. Esta funci´on tieneu(x, y) = x2 +y2 yv(x, y) = 0, ambas
diferenciables en R2. Las condiciones (CR) implican 2x = 0, 2y = 0; por lo tanto, f es
derivable s´olo enz = 0.
(2) Definamos la funci´on exponencial comof(z) = ez = ex(cosy+iseny). Verifiquemos (CR):
ux =excosy, uy =−exseny,
vy =excosy, vx =exseny. Por tanto la funci´on es derivable en todoC. Su derivada ser´a
f′ =u
x+ivx =excosy+iexseny =f, as´ı que tenemos, como enR, la relaci´on(ez)′ =ez.
Con este resultado vamos a introducir uno de los conceptos b´asicos del an´alisis complejo:
Definici´on 2.2 (Funci´on holomorfa). Decimos que f es holomorfa en un abierto Ω ⊂ C si es derivable en todos los puntos de Ω. Tambi´en decimos que f es
Ejemplos 2.4.
(1) SeaΩ⊂Cun dominio yf : Ω→R(es decir,Imf = 0). Supongamos quefes derivable
enz0 ∈Ω; entonces, por (CR)
ux=vy = 0, uy =−vx = 0, ya quev = Imf = 0. Por lo tantof′(z
0) = 0.
Supongamos que f es derivable en todo Ω; entonces f′ = 0 en todo Ω yf es, por tanto,
constante. Luego tenemos el sorprendente resultado de que las ´unicas funciones holomorfas que toman valores reales en un dominio son las constantes.
(2) Como consecuencia del ejemplo anterior, las funciones Rez, Imz, |z| y argz no son holomorfas en ning´un dominio deC. La funci´on|z|2 tampoco, ya que, aunque es derivable
enz = 0, no lo es en ning´un entorno de ese punto.
Una interesante caracterizaci´on de las funciones holomorfas se sigue del si-guiente razonamiento. Dadas dos funciones diferenciables en un abierto,u(x, y)y v(x, y), aplicamos el cambio de variable x = (z +z)/2, y = (z −z)/2i, y cons-truimos la funci´on F(z, z) = u(x, y) +iv(x, y). Evidentemente,f(z) = F(z, z), pero enF la dependencia en z queda expl´ıcita. Ahora bien,
ux+ivx = ∂
∂xF(z, z) =Fzzx+Fzzx = Fz +Fz, uy +ivy = ∂
∂yF(z, z) =Fzzy + Fzzy = iFz −iFz, y si se cumple (CR), es decir, si la funci´on es holomorfa,
uy +ivy = −vx+iux = i(ux+ ivx), luego
Fz +Fz = Fz −Fz =⇒ Fz = 0.
Es decir, las funciones holomorfas no pueden depender expl´ıcitamente de z. Es-te argumento basta para excluir como funciones holomorfas Rez = (z + z)/2, Imz = (z −z)/2i, |z|2 = zz, etc.
2.4.
Funciones arm ´
onicas
Vamos ahora a plantearnos los siguientes dos problemas:
(1) Dada una funci´on, φ(x, y), diferenciable en un abierto de R2, ¿cu´ando
pode-mos asegurar que φ(x, y) es la parte real o imaginaria de una funci´on holo-morfa?
(2) Y si sabemos que es la parte real (o imaginaria) de una funci´on holomorfa, ¿cu´al es la correspondiente parte imaginaria (o real) de esa funci´on?
Para resolverlos vamos a introducir un nuevo tipo de funciones:
Definici´on 2.3 (Funci´on arm´onica). Sea Ω ⊂ R2 abierto; una funci´on φ : Ω → R
de claseC2(Ω)es arm´onica en Ω si
∆φ = φxx+φyy = 0 enΩ.
La ecuaci´on que define el car´acter arm´onico de una funci´on recibe el nombre de ecuaci´on de Laplace, y el operador diferencial
∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 se denomina laplaciano.
Veremos m´as adelante que si una funci´onf es holomorfa en el dominioΩ ⊂ C,
entonces f′ tambi´en es holomorfa en Ω, por lo cual las funciones holomorfas son infinitamente derivables. Aunque a´un no podemos probar la derivabilidad def′, lo que s´ı podemos ver es que sus partes real e imaginaria cumplen (CR). Denotemos f′ = U +iV; como sabemos quef′ = ux+ivx, entoncesU = ux yV = vx. Pero entonces, como u y v cumplen (CR) y tienen que ser de clase C2 (por tanto, sus derivadas cruzadas son iguales),
Ux = (ux)x = (vy)x = (vx)y = Vy, Uy = (ux)y = (uy)x = −(vx)x = −Vx, con lo que obtenemos las ecuaciones (CR) para U y V.
Por otro lado, si derivamos las ecuaciones (CR) que cumplen uyv obtenemos (
ux = vy
uy = −vx =⇒ (
uxx = vyx
uyy = −vxy =⇒ uxx +uyy = 0, ( ux = vy uy = −vx =⇒ ( uxy = vyy uyx = −vxx =⇒ vxx+vyy = 0;
es decir, tanto u como v son funciones arm´onicas. Podemos, pues, enunciar el siguiente teorema:
Teorema 2.4. Si f es holomorfa en el abierto Ω ⊂ C, entonces Ref e Imf son
Lo que queda para poder responder la primera pregunta es saber si toda funci´on arm´onica es la parte real o imaginaria de una funci´on holomorfa. Esto es verdad si restringimos el tipo de dominioΩ. Ve´amoslo.
Definici´on 2.4 (Arm´onica conjugada). Dada la funci´on arm´onica u, definida en el abierto Ω ⊂ R2, se dice que v es su arm´onica conjugada en Ω si la funci´on
f = u+iv es holomorfa en Ω.
Si v es arm´onica conjugada deu, entonces−ues arm´onica conjugada de v, ya que si f = u+iv es holomorfa en alguna regi´on de C, −if = v −iu lo es en la
misma regi´on.
Teorema 2.5. Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto simplemente conexo; entonces
toda funci´on arm´onica enΩ posee una arm´onica conjugada en Ω.
Dem.: Dada u(x, y) arm´onica, una arm´onica conjugada debe cumplir (CR), es decir,
vy = ux, vx = −uy. De la primera ecuaci´on se deduce que
v(x, y) = Z y
y0
ux(x, t)dt+ g(x),
donde (x0, y0) es cualquier punto de un cierto entorno de (x, y), y g(x) es una
funci´on arbitraria. Sustituyendo en la segunda ecuaci´on, vx(x, y) =
Z y y0
uxx(x, t)dt+g′(x) = −uy(x, y). Comoues arm´onica,uxx = −uyy, as´ı que
−uy(x, y) = − Z y y0 utt(x, t)dt+g′(x) =−uy(x, y) +uy(x, y0) +g′(x), de donde g′(x) =−uy(x, y0) =⇒ g(x) = − Z x x0 uy(t, y0)dt. Por lo tanto v(x, y) = Z y y0 ux(x, t)dt− Z x x0 uy(t, y0)dt
Los teoremas 2.4 y 2.5 responden a la primera de las dos preguntas con que empezamos esta secci´on, al menos para dominios abiertos simplemente conexos. En ellos una funci´on es la parte real (o imaginaria) de una funci´on holomorfa si y s´olo si es arm´onica. La respuesta a la segunda pregunta pasa por hallar la arm´onica conjugada de una funci´on arm´onica.
Ejemplo 2.5. Dada la funci´on arm´onica enC,
u(x, y) = y3−3x2y,
halla la funci´on holomorfaf(z)cuya parte real esu.
El enunciado pide hallar la arm´onica conjugada,v, deu, y a partir de ella la funci´onf =u+iv. Aplicamos (CR):
ux(x, y) =−6xy=vy(x, y),
uy(x, y) = 3(y2−x2) = −vx(x, y).
De la primera ecuaci´on se sigue que
v(x, y) =−3xy2+a(x);
sustituyendo en la segunda,
3(x2−y2) = vx(x, y) =−3y2+a′(x) =⇒ a′(x) = 3x2 =⇒ a(x) =x3+c,
siendoc∈Cuna constante arbitraria. Entonces
v(x, y) =x3 −3xy2+c.
La funci´onf(z)es
f(z) = y3−3x2y+i(x3−3xy2+c).
Si sustituimosx= (z+z)/2ey= (z−z)/2i, obtenemos, despu´es de simplificar,
f(z) =i(z3+c),
cuya holomorf´ıa queda patente en el hecho de que no depende dez.
El resultado obtenido estaba sugerido por el hecho de que haciendoy= 0la funci´onf(z)vale
