Probabilidades

Capítulo 3

Modelo de

Probabilidades

Lecturas: Recomendadas

• 1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter: “Los chilenos no saben lo que leen” Revista 230. CEP. www.cep.cl Lectura

obligatoria

• 2.- A Philosophical Essay in Probabilities. Marquis de Laplace. Pierre Simon Dover publications, Inc 1951

(Grupo 1): General principles of the calculus of Probability + Concerning Probability

( Grupo2 ): General principles of the calculus of Probability + Concerning Hope



Experimento aleatorio : 



Espacio Muestral : 



_{Espacio Muestral : Discreto , Continuo}



_{Evento o Suceso}



_{Sucesos elementales, seguros e imposibles}



_{Probabilidad : grado de certidumbre}



_{Probabilidad y Juegos de Azar}



_{Probabilidad y Frecuencia relativa}



_{Probabilidad Subjetiva (Personal)}

Conceptos Básicos

Conceptos Básicos

Conceptos Básicos

• Experimento Aleatorio: P

roceso en observación

• Evento Elemental: -

“Resultado” de un experimento indivisible

-“

Mutualmente Excluyentes”: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro

- “Equiprobable” : Cada evento simple tiene identica probabilidad

• Espacio Muestral

El conjunto de todas las observaciones elementales

• Evento “A” -

El conjunto de todos los eventos elementales observaciones posibles que

Conceptos Básicos

Conceptos Básicos

Conceptos Básicos

Conjuntos y Eventos



(S)



(S):

Espacio Muestral: Todos los posibles resultados elementales

s



S

,

resultado elemental



:

Familia de todos los eventos posibles de

S

 



,

luego



es un Evento

s





,

luego



evento imposible

S





,

luego

S

es el Evento Seguro

A

y

B





,

luego son eventos

A



B





; A



B





; A

c

_



_,

_{son eventos}

E

A

B

Conjuntos vs. Eventos

Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades

S  Universo Espacio Muestral



Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos

A 



A subconjunto de S A es un Evento

s  A s es elemento de A Ocurre el evento A

 Conjunto vacío Evento Imposible

S Universo Evento Seguro

AB A unión B Evento A o Evento B

AB A intersección B Evento A y Evento B

Ac _{Complemento de A Evento no-A}

 Se toma al azar una esfera de la urna I

 Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.

 Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II.

 ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

Experimento Aleatorio

I

II

1

1

2 2

3

Espacio Muestral

Traspasar Roja # 1

Traspasar Verde # 1

Traspasar Verde # 2

Distintas

formas como puede

• Probabilidad es una medida de la incertidumbre

(Estimación de la probabilidad)

• Teórica - “A Priori”

– P_r (Ai) = n / N

• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser

observado

• N = número total de resultados posibles

• Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”

– P_r (Ai) = n/N

• n = número de veces que ocurrio “Ai”

• N = número total de observaciones

• Subjetiva

– La “Opinión de un Experto”

Modelo Probabilístico

Sea una Distribución de Probabilidad P,

función que asigna a cada sub-conjunto

razonable de



un valor entre 0 y 1.

Sea



2



_{colección de eventos}

razonables de



(



-álgebra)

P: [0;1]

Modelo de Probabilidad= (



, , P)



Cálculo de Probabilidades

(

Eventos Equiprobables)

Noción intuitiva:

P(A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles

Noción frecuentista:

Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento

N_A: N° total de veces que ocurre A

P(A) =

N

N

lim

A

1. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir a_i ) = 1/ N

2. Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K.

3. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada

r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra r-tupla.

Observación

En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de

manera aleatoria uno o más objetos desde una colección

de objetos

Probabilidad Axiomática



_{Axioma 1:}

_P(A)



₀



_{Axioma 2:}

_P(



_{) = 1}

Suponiendo que A

₁

, A

₂

,... son eventos

mutuamente excluyentes

Propiedades

1. P(



) = 0

2. P(A)



1

3. P(A

C

) = 1 - P(A)

4. Si A



B



P(A)



P(B)

5. P(A



B) = P(A) + P(B) - P(A



B)

6. P(



A

_i

)





P(A

_i

)

Espacio Muestral Finito

Sea

S = {s

₁

, s

₂

, s

₃

, ...., s

_N

}

Espacio Muestral Finito

E

_i

= {

s

_i

} i =1,..N

Evento Elemental



E

_i

= S Mutuamente excluyentes de a pares

Aplicando los axiomas se tiene

1. P(E

_i

) = f

_i

> 0 i =1, 2, 3, .. , N;

2. P(



E

_i

) = 1 



f

_i

= 1

3. Como E

_i



E

_j

= 0



i



j  P(E

_i



E

_j

)=P(E

_i

) + P(E

_j

)

N i

Probabilidad Condicional

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.

La probabilidad de A condicionada a la

ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :

P(A/B) = P(A



B)

P(B)

Propiedades:

1.

P(A/B)



0

2.

P(



/B) = 1

Probabilidad Condicional

A

B



Centra el foco de atención en el

hecho que se sabe que han ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido”

sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Probabilidad Condicional

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas

superficiales son

funcionalmente defectuosas

100% piezas Manufacturadas

Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie.

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son

funcionalmente defectuosas

Casos Probabilidad Condicional

A

B Si A  B = A  P(A | B) = =  P(A)

P(A  B ) P(B)

P(A) P(B)

A _B

Si A  B = B  P(A | B) = = = 1P(A  B ) P(B)

P(B) P(B)

A

B

Si A  B =   P(A | B) = = = 0P(A  B ) P(B)

P() P(B)

A

B Si A  B    P(A | B) = =

Probabilidad Total

Sean B

₁

, B

₂

,....,B

_n

eventos mutuamente

excluyentes : P( ) = 1

Entonces

P(A) =

Consecuencia (Regla de Bayes):

P(B

_i

/A) = P(A/B

_i

) P(B

_i

)



_in

B

i

1 



  n i i

i

P

B

Probabilidad Total

B₁ B₂

B₃ B₄

AB₄

AB₃ AB₁

AB₂

B₅

 Sean B₁, B₂,....,B_n eventos mutuamente excluyentes

P( B_i ) = 1

 Entonces P(A) = P(A | B) P(B)

A Equipo Fallado

Equipo Manufacturado

en Planta B₂



_{i 1=}n

Regla de Bayes



P (B_i | A ) = P (Bi) P (A | Bi )

P (B_i) P (A | B_i )

B_iB_j = ; i  j

 B = S  j

Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B₃ ?

• Se pide P(B₃ | A); pero sólo se conoce P(A  B_i), i = 1, 2, 3, .. , k

• Sabemos que P(A  B_i) = P( A | B_i ) P(B_i) = P(B_i | A) P(A)

Probabilidad Multiplicativa

Ley Multiplicativa:

siempre que:





2 1 ₁1

1

)

/

(

)...

/

(

)

(

)

(

  



n i i n i n i

i

P

A

P

A

A

P

A

A

A

P



_in

A

i

El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n₁

elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n₂

elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimo conjunto que tiene n_k elemetos, en DONDE EL ORDEN COMO SE

SELECCIONA ES IMPORTANTE

n

n

n

Regla de la Multiplicación

n₂

n₂

n₂

Ejemplo 3.1

1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de

probabilidad (



,



, P) tales que:

P(B)=0,4 P(A



B)=0,7

P(A/B)=0,75

Determinar:

Solución

P(A

C

) = 1 - P(A)

P(A



B) = P(A) + P(B) - P(A



B)

P(A



B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3

P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6

P(A

C

_{) = 0,4}

P(A-B) = P(A



B

C

) = P(A) - P(A



B) = 0,6 - 0,3 = 0,3

P(A

C



B

C

) = P(A

C

) + P(B

C

) - P(A

C



B

C

)

P(A

C



B

C

) = P(B

C

) - P(A



B

C

) = 0,6 - 0,3 = 0,3

Luego P(A

C



_B

C

_{) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7}

P(A/B

C

_{) = P(A}



_B

C

_{) = 0,3 = 0,5}

Ejemplo 3.2

Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera

de tres fabricantes con probabilidades: p

₁

= 0,25 ; p

₂

= 0,50

; p

₃

= 0,25.

Las probabilidades de que un procesador funcione

correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4

respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar

funcione durante 10.000 horas.

Solución

i) P(C) =

= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25

= 0,225.

ii) P(F

₃

/C) = P(C/F

₃

) P(F

₃

)

P(C)

= 0,4 * 0,25 = 0,444.

0,225



 3 1

)

(

)

/

(

i i i

P

F

F

Independencia Probabilística

2. Sean A_i: i  I = 1,2,3,...,k una colección de eventos de (, , P). Se dice que los elementos son conjuntamente

independientes ssi:

P(



A

_i

) = P(A

_i

)

  J  I = 1,2,3,...,k

jJ



jJ

1. Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico (, , P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:

P(A



B) = P(A) P(B)



P(A | B) = P(A)

Observaciones

1. Independencia probabilística Conjunta



Independencia

de a pares

2

.

Independencia probabilística de a pares



Independencia

probabilística Conjunta

3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.

Entonces se tiene

- A, B

C

son independientes

.

-

A

C

, B

C

son independientes

- A

C

, B son independientes

Ejemplo 3.3:

Sea

(



, 2



_,

_P

₎

_{modelo de probabilidad.}



=



(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)



P(



w

_i



) =

1

/

4



i = 1, 4

Sean A

₁

, A

₂

, A

₃

eventos de

(



, 2



_,

_P

_{) :}

A

₁

: 1

era

coord. es 1

A

₂

: 2

da

coord. es 1

A

₃

: 3

era

coord. es 1

Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilística

A B 1 2 3 ₄ A B 1 2 5

Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B

4 2 4 3 2 1 4 3 2

1 ) ( )]; ( ) [ ] [ ] [ ] 2

[( )

(E P R R R R P E P R R P R R P R p p

Variaciones

Def: Sea A un conjunto : , se llama variación

simple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos

distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo

componen y en el orden en que estos elementos van

colocados

A={x

₁

,x

₂

,...x

_n

} V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)...

V(n,k)= n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

Obs: Si las variaciones son con repetición V

1

(n,k) = n

k

n

A

Permutaciones

P

r

n

_n

n r

=

-!

(

) !

Número de maneras distintas de

sacar r elementos de lote de n 

CUANDO EL ORDEN

IMPORTA :

Nota: Estudiar permutaciones con

repetición

n objetos

Combinacione

s

C(n,r)

n

n r

=

-!

r!(

)!

Combina

Combina

c

c

ion

ion

e

e

s( sin repetición)

s( sin repetición)

:

:

Número de maneras distintas de

sacar r elementos de lote de n 

CUANDO EL ORDEN

NO IMPORTA

Nota : Estudiar combinaciones con

repetición C

1

(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

Construcción Modelos de Probabilidad

• Sea



una medida en el Espacio Muestral

tal que



(



) <



: Longitud ; Superficie

Volumen. etc.

• Entonces existe un función definida en IR

P

: IR IR :

es una medida de Probabilidad





(



)

Ejemplo 3.5:

Problema del encuentro:

Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la

biblioteca , espera al otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.

¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1 Y(t) : Llegada del estudiante 2

[X(t);Y(t)]  [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]= A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10}