ESPECIALIDAD EN
MÉTODOS
ESTADÍSTICOS
FACULTAD
DE
ESTADÍSTICA E
INFORMÁTICA
UNIVERSIDAD
VERACRUZANA
ALGUNOS
DISEÑOS
EXPERIMENTALES Y
EL
ANÁLISIS
DE
VARIANZA
MULTIVARIADO
Trabajo recepcional que como requisito
parcial para obtener el diploma de esta
Especialidad presenta:
JOSÉ MIGUEL HERNÁNDEZ MORALES.
Tutor Académico
M. en C. Ibrahima Gobhi Sow
DATOS DEL AUTOR: José Miguel Hernández Morales, nació en Xalapa, Veracruz en 1952,
realizó todos sus estudios en su ciudad natal. En 1972 ingreso a la Facultad de Estadística de la
Universidad Veracruzana. Obtuvo el titulo de Licenciado en Estadística en 1979, con la tesis titulada
“Distribución óptima en asignación sistemática de testigos, empleando funciones de tendencia”.
Trabajo en México D.F., en el Instituto Nacional de Investigaciones Agrícolas de enero de 1977 a
abril de 1978. En 1978 se incorporo a la docencia en las Carreras de Biología, Estadística y
Economía de la U.V. En 1980 formó parte del grupo de académicos que fundan el Sistema de
Enseñanza Abierta de la U.V. en donde actualmente labora.
AGRADECIMIENTOS:
Agradezco los apoyos prestados por las autoridades universitarias y sindicales, así como las
facilidades por parte del SEA para realizar estos estudios. Deseo hacer patente mi agradecimiento a
todos los maestros de la Especialidad, y en particular al M. en C. Ibrahima Gobhi Sow por la
dirección de esta monografía y al Dr. Mario Miguel Ojeda R. por la revisión, sugerencias y
recomendaciones. A las futuras licenciadas en Estadística Erika Cervantes C. y Erika Rodríguez V.
por su esmerado apoyo en la edición del trabajo.
El Comité Académico de la Especialidad en Métodos Estadísticos, y el respectivo Tutor Académico
del trabajo recepciones “ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES Y ANÁLISIS DE
VARIANZA MULTIVARIADO”, una vez cubiertos todos los requisitos académicos y
administrativos establecidos, autorizan la impresión y la constitución del jurado para la defensa del
mismo.
9
1
2
3
INTRODUCCION
5
CONCEPTOS GENERALES DE LOS DISEÑOS EXPERIMEN
TALES
9
2.1 Antecedentes...
9
2.2
Terminología ...
10
2.3
Principios
básicos
de
los
diseños experimentales
...
12
2.4
Directrices
para el
diseño
de
experimentos... 14
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR
17
3.1 Caso
Univariado
...
17
3.1.1
Introducción
...
17
3.1.2
Modelo
lineal...
20
3.1.3
Notación
matricial
.
...
21
3.1.4
Análisis
de
varianza
...
23
3.1.5
Ejemplo...
. .
...
25
3.2
Caso
Multivariado
...
31
3.2.1
Introducción
...
31
3.2.2
Modelo lineal
... 32
V
- .'
•
3.2.4
Análisis
de
varianza
multivariado...
36
3.2.5
Ejemplo:...
39
4
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR
44
4.1
Caso
Univariado...
44
4.1.1
Introducción...
44
4.1.2
Modelo
Lineal
...
46
4.1.3
Notación
matricial
...
47
4.1.4
Análisis de
varianza
...
49
4.1.5
Ejemplo
...
51
4.2
Caso
Multivariado
...
55
4.2.1
Introducción.
. . .
...
55
4.2.2
Modelo
lineal... ...
-... ...
.
56
4.2.3
Notación
matricial
...
57
4.2.4
Análisis de
varianza...
(
.
59
4.2.5
Ejercicio
... 61
5 DISEÑO
EN CUADRADO LATINO
68
5.1
Caso
univariado
... 68
5.1.1
Introducción...
68
5.1.3
Notación
matricial
... ...
5.1-4
Análisis de varianza
... ...
5.1.5
Ejemplo...
5.2
Caso Múltivariado
... ...
5.2.1
Introducción... ...
5.2.2
El
modelo
lineal
...
...
...
5.2.3
Notación matricial
...
5.2.4
Análisis
de
varianza...
5.2.5
Ejemplo
... ... ...
73
74
76
80
80
80
81
82
84
6 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR DE DOS FACTORES
CON n OBSERVACIONES POR CELDA
6.1
Caso
Univariado...
6.1.1
Introducción ...
6.1.2
Modelo
lineal... ...
6.1.3
Notación
matricial
.
...
6.1.4
Análisis
de
varianza
...
6.1.5
Ejemplo...
6.2 Caso Múltivariado ...
6.2.1
Introducción... ... ...
6.2.2
Modelo lineal... ...
91
91
91
94
95
96
99
104
6.2.3
Notación matricial
...
107
6.2.4
Análisis
de varianza
...
108
6.2.5
Ejemplo... 111
7 BIBLIOGRAFIA
119
8 APENDICES
121
8.1 Tablas.
...
121
1
INTRODUCCION
La
importancia
de
la estadística multivariada
está
fuera
de
discusión.
Algunas
razones
son:
•
Los
investigadores
estudian los
fenómenos
multidimensionalmente.
• Se
cuenta
con
los
desarrollos
teóricos
y
metodológicos
desde
hace
varias
décadas.
• Se
dispone
de
software para
poder
aplicar
las técnicas
y
métodos
multi-variados.
En
el área
de diseños
experimentales
es bastante
frecuente
que
se
colecten
ob
servaciones
en
varias variables.
Por tal
motivo
es
muy
importante
aplicar
técnicas
multi variadas
al
análisis
de estos datos.
Los
análisis
marginales
pueden
dar
resulta
dos no
realistas,
en
razón
que
las variables
observan una
estructura
de
correlación.
Sin embargo
tal aspecto
no
se
considera
en
los
cursos
de
diseños
experimentales
y
los
cursos
de multivariado
sólo
dan una
introducción
al
análisis
de
varianza multivariado.
Aunado
a
esto
se
debe
decidir
que no
hay
libro
alguno
dedicado
a
presentar en
una
forma
didáctica y
sencilla el
análisis
de varianza multivariado aplicado
a los
diseños
Así, en
virtud
de
que
no
existe
un material
didáctico que se
ajuste
a los
objetivos
que
persiguen los
cursos
que traten
el
tema
de
diseños
experimentales
en
su
modal
idad
multivariada,
impartidos
en
la
licenciatura en Estadística
de
la
Universidad
Veracruzana, se consideró
de
gran interés la realización
de
un
trabajo con las carac
terísticas
de
una
monografía
cuyo fin
fuese
el de llenar
este
vacío
en
la
bibliografía.
Tal
es
el
objetivo
del
presente.
La
temática
que
se
expone
tiene
el propósito de, en
forma
didáctica
y sencilla, dar
una
panorámica
metodológica del
análisis
de varianza
multivariado, pensando en
un
curso
que
trate
los
diseños experimentales más
usuales,
generalizando
de
lo
univariado
a lo
multivariado.
No
se
pretende,
por
supuesto,
hacer
ninguna
aportación
novedosa
a
la extensa
lit
eratura
teórica
y
metodológica
ya existente;
la
idea primordial es presentar,
de manera
detallada
e
ilustrada, la
metodología
usando un
enfoque
basado en
la
generalización
del
análisis
univariado al
caso
multivariado, misma que consideramos ayudará
a
una
mejor
comprensión
del
tema,
así
como
a una mayor asimilación
y
fácil
aprendizaje
de los procedimientos.
Para
esto
se
presentan
ejemplos en los
que se ilustra
detal
ladamente
el aspecto
operativo,
tanto de
forma
manual como mediante
el
paquete
estadístico
SAS.
El
presente trabajo
está
integrado por
cinco
capítulos.
En el primero se presentan
terminología,
principios
básicos,
las
directrices
generales
del diseño
experimental
y
el
análisis
estadístico
de
los
datos
resultantes.
En
el
capítulo
segundo,
se
presenta
el
diseño completamente
al
azar
bajo
el orden
siguiente:
introducción,
modelo
lineal,
notación
matricial, análisis
de
varianza y
un
ejemplo. En el
ejemplo
se ilustra
la
metodología
del
análisis
de varianza
tanto
de
forma
manual
como
mediante
el paquete
SAS.
Posteriormente
aparecen en
forma
secuencial,
en capítulos
diferentes
y
bajo
la
misma
estructura,
el
diseño
de
bloques
al
azar
y el
diseño
en
cuadrado latino. En
el último
capítulo
se
trata
el
arreglo
factorial
con dos
criterios
de clasificación
con
k
observaciones
por
celda, y se
asume
anidado
en
el
diseño
completamente
al
azar.
Cabe hacer
notar
que
este
arreglo puede ser anidado en cualquiera de
los
diseños
experimentales,
pero
este aspecto
ya
no
se
trata
aquí.
Se
anexa un
apéndice
integrado
por:
•
Las
tablas
de
distribución
de probabilidad
F,
xl
y
Ua
.
•
El programa
y
salida
de
.los
ejemplos
correspondientes
a
cada
uno
de
los
diseños
univariados
y
multivariados.
Cabe
hacer notar
que
en
el
caso
univariado
el programa también
calcula
y
muestra
los
residuos y
valores
predichos,
con
el objeto
de
explorar
gráficamente
los
supuestos
estadístico
de
Shapiro-Wilk
para
probar
normalidad.
Aunque
este
material
fue
elaborado
pensando
en
estudiantes
de
un
curso
específico,
esperamos
que
sirva
como
material
de
consulta
para investigadores,
técnicos
y
profe
2 CONCEPTOS GENERALES DE LOS DISEÑOS EXPERIMENTALES
2.1 Antecedentes
El
análisis
de varianza tuvo
su
origen
en el
área
de
la
agricultura, siendo
el
científico
inglés
Sir
Ronald
A. Fisher, aproximadamente
en
1920,
quien
lo
implemento
como
herramienta
para
el
análisis estadístico
de datos
obtenidos
de
los
diseños
experimen
tales. A
partir
del
análisis
de
datos
específicos,
Fisher
inventó
esta
técnica
y
estableció
los
principios
del
diseño
experimental.
La
experimentación ha tenido
un
gran
desar
rollo
en este siglo
y prácticamente
se
utiliza en
todas las áreas
de conocimiento, desde
las ciencias biológicas
hasta las
ciencias
sociales y de la
conducta,
pasando
por
la
ingeniería
industrial
y química.
Aunque
hay
que
señalar
que,
como las
primeras apli
caciones de
los
métodos
del diseño
experimental
se
dieron
en
el
área
de
la agricultura
y
ciencias
biológicas,
gran
parte de
la
terminología
está
asociada
a
éstas.
En la ac
tualidad la experimentación
se incluye
en
muchos programas
de formación
a
nivel de
licenciatura, por ejemplo
en
agronomía, en ingeniería química
e
industrial,
psicología,
biotecnología
y
bionálisis. Mucho
más
imnportante
se
considera
a esta
materia en los
2.2 Terminología
El
análisis
de
cualquier
conjunto
de
datos está sujeto
por
la
manera
en
la
cual
los
datos
fueron
colectados
y
por
los
objetivos
que
se
persiguen en el estudio.
Cuando
el objetivo
principal
del
estudio
se
traduce
en comparar medias de
tratamiento
o
ver
como
un
conjunto
de
variables
independientes
afectan
a una
o
más
variables
dependientes
la
técnica
adecuada
para
seleccionar
la muestra
puede
ser
el
diseño de
experimentos,
siempre
que
el
investigador
esté
en
posibilidades de
manipular
la
asignación de
los
tratamientos a
las
unidades
experimentales.
El diseño
de
experimentos
es
la
secuencia
completa
de
pasos tomados de
antemano
para asegurar
que
se
obtendrán,
los
datos
apropiados, de
modo
que
sea
posible
un
análisis
que conduzca a deducciones válidas
con
respecto al
problema
establecido.
Diseñar un
experimento
no
es
más que plantearlo
de
modo
que
se
reúna
la
infor
mación que
sea
pertinente al problema
bajo
estudio.
Los
propósitos
fundamentales
de
un
diseño experimental son:
a)
Que
proporcione
la
máxima
información pertinente al problema.
b)
Que
sea
lo más simple
y
eficiente
posible.
Esto quiere decir que se
debe
hacer
el esfuerzo para
ahorrar
tiempo,
dinero,
per
sonal
y
material
experimental.
Entonces el propósito de
cualquier
diseño experimental
es
un
método
general que
implica
tanto
a
la metodología estadística
como
al
análisis
económico,
donde
el
fin
último
es
lograr eficiencia
estadística
y
economizar
recursos.
Dado
su
importancia
dentro
de
esta
temática
es
necesario
tener
claro
el
significado
de
algunos
términos
clave, que
trataremos
en seguida.
Una
unidad experimental
es la
unidad
básica
mínima sobre
la
que se
va
a
medir,
a la
cual
se
le
aplica
un
sólo tratamiento
(que puede
ser
una
combinación de niveles
de
varios factores)
en
una
reproducción
del experimento
básico.
El error
experimental describe
el
fracaso
de
llegar
a
resultados
idénticos
con dos
unidades experimentales
tratadas
en
condiciones
idénticas. Es
en
sí
una
cantidad
que
representa
la variabilidad
no
explicada.
El
error
experimental
puede
reducirse
normalmente adoptando
una
o
más
técnicas
como
las
siguientes:
1.
-Usando material experimental
más
homogéneo cuando esto
sea
posible.
2.
-Usando covariables y/o bloques.
3.
-Tener
más
cuidado
al
conducir
el
experimento y en
los
instrumentos
de
medición.
El
concepto tratamiento o combinación
de
tratamientos
implica
el
conjunto
par
ticular
de
condiciones experimentales
que
se asignan
a
una unidad
experimental bajo
Los experimentos
según
Montgomery
(1991) se
clasifican
en unifactoriales y multi
factoriales.
En
los
experimentos
multifactoriales
un tratamiento es el nivel
o
cantidad
de un
sólo
factor. Los
multifactoriales
incluyen
más de
un
factor,
y
un
tratamiento
se
define
como
la combinación
de
niveles
de
los
factores en
estudio.
Estos
experimentos
permiten
él estudio
del
efecto
de
cada
factor
por separado
y
del
efecto
conjunto
de
dos
o más factores llamado ”interacción”
.
La
interacción es
la
respuesta
diferencial
a un
factor en
una
combinación con
niveles
variables
de
un
segundo factor
aplicado
simultáneamente.
Es decir,
la
interacción
es
un efecto
adicional
debido
a
la
influencia
combinada
de
dos
o
más
factores.
2.3
Principios básicos de los diseños experimentales
El
propósito
final
del
diseño
estadístico
de
experimentos
es
obtener
datos apropiados,
que
puedan
ser
análizados
mediante métodos
estadísticos,
con
objeto de
producir
con
clusiones validas
y
objetivas.
La
metodología
estadística
es
el
único
enfoque
objetivo
para
analizar
un
problema que
involucre
datos
sujetos a errores
experimentales.
Existen dos
aspectos
en
cualquier
problema
experimental:
el diseño
del
experi
mento
y
el
análisis estadístico
de
los
datos.
Ambos
temas están
estrechamente
rela
cionados,
ya que el método de
análisis
depende
del
diseño
empleado.
• a)
La
replicación
es
la repetición del
experimento
básico; las
razones
del
por
qué la
replicación
es
deseable
son:
1
Proporciona
una
estimación
del
error
experimental que actúa como
una "unidad
básica de
medida”
para
indicar la
significancia
de
las
diferencias
observadas, o
para
determinar
la
amplitud
de
un
intervalo
de
confianza.
2 La replicación
produce,
hasta
cierto
nivel
de
incremento, una
esti
mación
más
aproximada del
error experimental.
3
Capacita para obtener
una estimación
más
precisa
del
efecto
medio
de
cualquier
factor,
porque
<r^ —
donde cr
2
es el
error
experimental
verdadero
y
n
es
el
número de repeticiones.
•
b)La
aleatorización es
la
piedra
angular
que fundamenta el
uso
de
los
métodos estadísticos en el
diseño
de experimentos. Se entiende
por
aleator
ización
al
echo
de
que
tanto
la
asignación del material
experimental
como
el
orden
en
que
se
realizan
las
pruebas
o
ensayos
se
determinan aleato
riamente.
Los
métodos estadísticos
requieren
que
las
observaciones
(o los
errores)
sean
variables
aleatorias
independientes.
La aleatorización
permite
• c)El
control
local o análisis
por
bloques,
se
refiere
a la cantidad
de
bal
anceo,
bloqueo
y
agrupamiento
de
las
unidades
que
se
emplean
en
el
diseño
estadístico adoptado; el propósito
de
usar
el
principio de control local
es
hacer
el
diseño
experimental
más
eficiente, incrementando su
precisión
para
reducir
la
magnitud del
error
experimental.
2.4
Directrices para el diseño de experimentos
Para
usar un
enfoque
estadístico
al
diseñar y
analizar
un experimento
se
requiere
que
todos los
participantes
en
él
tengan
de
antemano
una idea clara
de
qué
es exactamente
lo que
se va a
estudiar,
cómo
se van
a
recopilar
los
datos
y,
al
menos,
una idea
general
de
como
se
van
a
analizar. Se
recomienda seguir
los
siguientes pasos.
•
1.-Comprensión
y
planteamiento
del
problema. Este
punto
pudiera parecer
obvio;
sin
embargo, en
la
práctica
no
es
sencillo darse cuenta de
que existe
un
problema
que
requiere experimentación,
ni
diseñar
un
planteamiento
claro
y
aceptable
del
mismo.
Es
necesario
desarrollar
todas
las
ideas so
bre
los
objetivos
del experimento. Un
planteamiento
claro
del
problema
contribuye
a menudo
en
forma
sustancial a un
mejor conocimiento
del
fenómeno
y de
la
solución
final
del
problema.
los
niveles
específicos
a los cuales se
hará
el experimento. También
debe
considerarse
la
forma
en
que
se
controlarán
estos factores,
para mantener
los en
los
valores deseados,
y
como
se
les
medirá.
Es importante investigar
todos
los
factores
que puedan
ser
de interés,
y
no
depender
demasiado
de
la
experiencia
pasada,
en particular durante
la
primeras
etapas
de
la
experimentación o
cuando
el proceso
no
está
muy
avanzado. Cuando el
objetivo
es
el
escrutinio de
factores
o
la
caracterización
del proceso,
suele
ser
mejor
mantener
en
un
número
bajo los niveles de
los
factores
(lo
más
común
es
a
dos
niveles).
•
3.- Selección
de
la
variable
de
respuesta. Al
seleccionar
las
respuestas
o
variables
dependientes,
el
experimentador
debe estar seguro
de
que
aquello
que
se va
a
medir
realmente
provea información útil
acerca
del
proceso
de
estudio.
• 4.-Elección del diseño
experimental.
Si
los
tres
pasos
anteriores
se
han
seguido
de la
manera
correcta
este
cuarto
es
relativamente
fácil.
Para
ele
gir
el
diseño
es
necesario
considerar
el
tamaño
muestral
(número
de
repeti
ciones),
seleccionar un
orden
adecuado
para
los ensayos
experimentales
y
determinar
si
hay
implicado
bloqueo
u
otras
restricciones
de
aleatorización.
•
5.-Realización del
experimento.
Cuando
se
realiza el experimento
es
vital
vigilar
el
proceso
cuidadosamente
para
asegurar que
todo
se
haga conforme
a
lo
planeado.
En
esta
fase,
los
errores
en
el procedimiento
suelen
anular
la
validez
experimental.
La planeación
integral
es decisiva
para el
proceso.
•
6.-Análisis de
datos.
Deben
emplearse métodos
estadísticos
para análizar
los
datos
de modo
que
los
resultados
y
conclusiones sean
objetivos
más
que
apreciativos.
Si
el
experimento
se
diseñó
correctamente
y se
ha
real
izado
conforme
a
lo
planteado,
los
métodos
estadísticos
que
se
requieren
no son
complicados. Existen
muchos
excelentes
paquetes de
software
para
en
análisis
de
datos,
y varios métodos
gráficos
sencillos
son importantes
en
la
interpretación
de
tales
datos. El análisis
de
residuos
y la
verificación
de
la idoneidad del
modelo
son
también
técnicas
de
análisis
de
gran
utilidad.
• 7.
-Conclusiones
y
recomendaciones.
Una
vez
que se han
analizado
los
datos,
el experimentador
debe
extraer conclusiones
prácticas
de los resulta
dos
y
recomendar
un
curso
de
acción. En este
punto
el
análisis económico
3 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR
3.1 Caso Univariado
3.1.1 Introducción
Consideremos
en
términos
generales,
que
se
desea
comparar
el
efecto
de
t
tratamientos
o
niveles de un
factor.
La
respuesta
en cada
uno
de
los
tratamientos
aplicado a
una
unidad experimental es una
variable
aleatoria
respuesta,
que tiene
asociada
un
modelo
estadístico.
Sobre
los
parámetros de
este
modelo
se
plantea las
hipótesisi
a contrastar.
El diseño completamente
al azar es
un
diseño
en
el
cual
los tratamientos
son
asignados
al
azar
a
las unidades experimentales,
o
viceversa.
Este
diseño
no impone
restricciones
en
la distribución
de
los
tratamientos
a
las
unidades
experimentales.
Debido
a
su
simplicidad,
el
diseño
completamente
al
azar es
usado
ampliamente.
Sin
embargo,
se tiene
que
ser
cauteloso y
su
uso
debe
limitarse
a
situaciones
en
las
cuales
se
disponen
de
unidades
experimentales
relativamente
homogéneas;
puede
decirse
que
las
unidades
experimentales
deben tener
la
misma
capacidad de
respuesta.
El
esquema general es el
siguiente:
Se
tiene
un
conjunto
de
N
unidades
experimentales
relativamente
homogéneas; se
elige
de
acuerdo a ciertos
criterios
(t)
tratamientos que
pueden
ser
diferentes niveles
formación de
t
grupos de
unidades
experimentales, lo cual
debe
hacerse
de
forma
aleatoria;
es decir, se eligen
al
azar las
unidades que
recibirán
el tratamiento
í-ésimo.
La
variable
respuesta
asociada
a
la
unidad j-ésima que
recibió
el
tratamiento
í-ésimo
se denota
por
TABLA
DE
OBSERVACIONES
tratamientos (o
nivele
ís
de
un
factor)
1
2
t
2/n
2/21
■
• yn
yu
2/22
• • yt2
yi
ni
l/2n2
ytnt
y
i.
yi.
y*.
■ ■
■
yt.
y..
Cabe hacer
notar
que con
el
propósito de simplicidad
en
la
notación
no
distinguire
mos
de
yij
(la variable aleatoria
de
las observaciones
o
datos
correspondientes),
ya
que
esto
no
nos
causará
problema
alguno. El
lector
debe tenerlo en
cuenta por
que
a
veces
deduciremos
estadísticos
y
a
veces
evaluaremos éstos
a
partir
de datos. Estric
tamente hablando
esto
debería
hacerse
con
notación
distinta,
pero
eso
complicaría
la
3.1.2
Modelo lineal
El
modelo
lineal
correspondiente al diseño
completamente
al
azar
para
una
variable
escalar
observada por unidad
experimental
es:
Uij P
“
b
£
ij
i
i
= 1,2,
...,t
j
= l,2,...,n¿
(1)
donde:
yij
=observación
correspondiente a
la
unidad
experimental
j-ésima que
recibió
el
i-ésimo
tratamiento.
fi
=media
general.
q
¡
í
=efecto
del tratamiento í-ésimo.
£ij
=
Error
aleatorio.
En este
modelo los
efectos
de los tratamientos se
definen
como desviaciones con
t
respecto
a la
media
general,
por lo
tanto
^2
o¡¿
=
0.
Con estas restricciones
se
puede
»=i
estimaraj, £*2,..., a¡t
.
En
el
caso
de
tener
un
diseño
balanceado se
sabe
que
m=n2=...=nt=n
Supuestos:
Los
supuestos
asociados
al modelo
son:
Normalidad,
Independencia
y
Homocedas-ticidad. Su
representación
compacta
es:
En
relación con
los supuestos
del
Análisis
de Varianza en
el
diseño
estadístico de
experimentos
Cochran en
1947,
referido
por
Cochran
y
Cox
(1974),
menciona
que:
”
La
lógica
del
Análisis
de
Varianza
exige el
cumplimiento
de
los tres
supuestos.
Sin em
bargo,
en
la
práctica,
dichos
supuestos
no
son igualmente críticos. Se demuestra que
aunque
la
distribución dentro
de
cada uno
de
los
subgrupos
sea
bastante
asimétrica,
el
contraste
de
significación
apenas
se afecta
”
.
Es
posible
mencionar
que el
cumplim
iento del
supuesto
de
independencia
se
apoya en gran
medida
de la
planeación
y
conducción
del experimento,
no así la
homocedasticidad
y la
normalidad.
Respecto a
los
supuestos
se recomienda
realizar
una
exploración inicial
de
los
datos
a
través
de
técnicas gráficas y
de
estadísticas descriptivas
para
tener una
idea
de
su
razonabilidad
antes
de
ajustar el modelo.
Posterior al ajuste
se
debe
realizar
un diágnostico
basado
en los
residuos.
3.1.3
Notación matricial
En notación
matricial el
modelo
lineal
correspondiente
al diseño es el siguiente:
Y
=
X/3
+ E
donde:
Y
=
Vector respuesta
(o
de
observaciones
en la
variable
respuesta
Y).
X=Matriz
de
diseño.
E=Vector de
errores
aleatorios.
La
forma
que
tomaría matricialmente
el
modelo
en
(1)
es:
•
■
yn
1
1 •••
0
Sil
yn
1
1 •••
0
£12
2/lni
1
1 ...
0
£lr»l
2/21
1
0 ...
0
£21
2/22
1
0 •••
0
CEi
£22
=
: • • •
;
<*2
+
2/2n2
1
0 •••
0
ot-t
^2n2
ya
1
o ...
1
£tl
yt2
1
0 •••
1
St2
i
•
1
________
1
0 •••
1
&tnt
Y(A?xl)
X(jVx<7)
^faxl)
E(wxi)
Donde
q =
t
+
1
f
Xi
1
si la
unidad
experimental
recibió
el
tratamiento
i-ésimo.
0
en
cualquier
otro caso.
3.1.4
Análisis de varianza
El modelo
(1)
permite probar
la hipótesis
acerca
de
la nulidad
del
efecto
producido
por
los
tratamientos.
Tal
hipótesis
puede
expresarse
como:
H
q
:
Mi
—
M?
—
••• —
Mí
—
0
Vs
Hi
:
m
»
7^
Mí* Para menos
un
par
(z,
i*)
Si
H
q
es verdadera todos los
tratamientos
tienen
la
media
común
M-
Una
forma
equivalentes de
expresar
la
hipótesis
anterior
en términos
de
los
efectos de
tratamien
tos,
a^,
i
=
1,2,...,
t
es:
Ho
:
q
¡
i
=
o¡2
=
••• =
ott
=
0
Vs
Hy
:
ai
/
0 para
al
menos
un
i
Por
tanto
,
es
posible
probar
la
igualdad de las medias
de
tratamientos,
o
bien
probar
que
los
efectos de
tratamientos
(a¡<)
son
cero. El
procedimiento
apropiado
para
probar
la
igualdad
en
el
nivel
medio de
t
tratamientos
es
el
análisis de
varianza.
El
diseño completamente
al
azar
permite particionar
la
variabilidad
total
en
dos
fuentes:
la
atribuida
a
tratamientos
y
la
atribuida
al
error
aleatorio.
Los
cálculos
correspondientes al
diseño
completamente al azar
se
resumen
en
la tabla siguiente:
TABLA ANVA PARA
UN
DCA
Fuente
de
Grados de
Suma
de
Cuadrado
F
o
Variación
Libertad
Cuadrados
Medio
Tratamientos
í-1
SCtroí
—
52
t
^¿
(í/¿
¿=1
.-y..)2
CM
troí =
CMtrat
cme
Error
N-t
SCB
=
52
¿
(ytj
¿=ij=i
-
yJ
2
CM
E
= g*
í-'Mtrat
CM
e
Total
N-l
SCtot
=52 52
(y¿j
-y..)2
Para
fines
prácticos
se
recomiendan las
fórmulas
siguientes
sctot =¿£
¿=1.7=1
SC
lr„,
=¿
¿
¿=1
SC
E
=sctoí
-sc
trot
N=ív,
F
c = ¿
»=i
n<
t m
í/<.
=E2Z
v
í/..
=EE
í
/
o
j
=
i
»=ij=i
Al
cumplirse
los supuestos
del
modelo
y si
Ho,
resulta
ser
cierta,
entonces
F
q
se
distribuye
como
una
F
con
(t
—
1)
grados
de
libertad
en el
numerador
y
(2V
—
t)
en
el
denominador, lo
cual fundamenta
la
regla
de
decisión,
a
un
nivel
de
significancia
a,
que
consiste
en
rechazar
H
q
;
si Fo >
Fp
y
no
rechazar
en
caso contrario. Aquí
Fp
es
un valor
de
tablas
de
la
distribución
F
buscada
a
un
nivel
a.
3.1.5 Ejemplo
Se
desea
evaluar
si
para
una
zona
dada
existen
diferencias
significativas
en el crec
imiento
en
altura de
cinco
clases de
plantas de
Pinus Montezumae.
Para
el
efecto,
se
plantó
material
de
cada una
de
las
clases en
seis parcelas de
igual
superficie.
Las
mediciones
se hicieron a los diez años
de
efectuada
la
plantación,
observándose
que
para
entonces se
habían
perdido
dos
parcelas
de
la
clase
1
y
una
parcela
de
la
clase
Clases
(Tratamientos)
1
2
3
4
5
total
8.4
12.3
4.3
8.2
5.1
7.6
15.2
5.9
10.1
7.2
8.2
10.6
4.7
10.4
6.7
10.8
11.7
4.9
12.6
6.5
12.5
6.1
9.8
6.3
15.6
5.2
11.7
34.40
77.9
31.1
62.8
31.8
238
El
modelo
lineal para
este
caso
particular
es:
yij
=
fí
+
ai
+
£
ij
■
<
i
=
1,2,3,4,5
j = l,2,...,ni
donde:
y¿j
=
es
la observación
de
la
parcela
J-ésima en
la
clase
z-ésima.
fj,
=
media general.
&ij
=
error
aleatorio.
Digamos,
que
según la
notación
del modelo tendríamos que:
8.4
=
Ai
+
a!
+£n
7.6 =
p,
+
Q¡i
+
£12
6.3
= /z
+
a¡5
+
£55
La hipótesis a
probar
es:
Ho
:
Qi
=
a
2 =
...
=
ce
5
= 0
Vs
H\
:
«i
/
0 para
al
menos
un
i
A
continuación
mostramos
los
cálculos que
implica el
análisis
de
varianza:
•
Grados
de
libertad:
•
Suma
de
cuadrados:
calculamos
=
2097.926
SC
toí = [(8.4)2
+
(7.6)
2
+ ... +
(6.3)2]
-
Fc
=
270.294
SCtrat =
+
... +
Í3L212]
-
F
c
=
230.062
SCe
=
270.294 -
230.062
=
40.232
•
Cuadrados
medios:
CM
troí
=
230.062/4
= 57.51
CM
e
= 40.232/22
=
1.828
Finalmente
la
tabla
ANVA
nos
queda:
TABLA ANVA
PARA
UN
DCA
F.V
gl
SC
CM
Fo
clases
4
230.062
57.51
31.46
error
22
40.232
1.828
total
26
270.294
Regla de decisión:
Dado que
F
q
~
> buscando
en
tablas obtenemos
F? = F^
q
^
= 2.82. Así
Conclusión:
Por
lo menos
existe
una
clase
de
pino
diferente
a
las
demás, con una
significancia
del
5%.
Con el
propósito
de
probar
el
supuesto
de
homocedasticidad
de
varianzas
de
nue
stro
ejemplo,
se
usa
la
prueba de Bartlett.
La
hipótesis
que
se
prueba es de
que
t
poblaciones
normales
tienen
varianza
común
(cr
2);
es
decir, que
si las varianzas
poblacionales
se
representan por
cr
2,
<72,<r
2
,
el
juego de
hipótesis
es:
■tlQ
•
—
^2
—
•••
—
Vs
Hi
al
menos un cr2
es
diferente
de las
demás
El
estadístico de
prueba
es:
l
ln
S2
-
¿
Z»
ln
S?
t=l
donde:
t
Z
= 52
Z¿
=
son
los grados
de
libertad del
CM
e
t=l
C
=
1
+
3<¿I> (¿
í
- ¡)
Bartlett,
demostró
que
cuando
H
q
es
cierta,
Xo
tiene
una
distribución
que es
aproximadamente
xft-iy
regla de
decisión
para la
prueba
es:
”rechazar
Ho
si
s?
1.98
li
3
liSf
5.94
InS?
0.683
ZilnS?
2.049
1/li
0.333
3.95
5
19.75
1.373
6.865
0.20
0.49
5
2.45
-0.713
-3.565
0.20
2.35
5
11.75
0.854
4.27
0.20
0.65
4
2.44
-0.494
-1.976
0.25
22
42.33
7.643
1.183
S
2
=
*4
— =
^
= 1.924
Ez*
i=l
c
=1
+
5<¿i>
(1183
-
á)
=
1094
ZlnS
2 =
(22)
ln(1.924) = 14.398
x3
=
T^(14.398-7.643)
=
6.17
Regla de
decisión:
Como
6.17<9.48,
entonces
no
se
rechaza
Ho.
Esto
nos lleva
a
concluir
que:
no
existe
suficiente evidencia
para
decir
que
el
supuesto
de
homo
cedasticidad
de
varianza para
este
juego de
datos no
se
cumple.
3.2
Caso Múltivariado
3.2.1 Introducción
El
análisis de
varianza
múltivariado se
presenta,
generalizando
los conceptos y las
fórmulas
al caso
en el
que
se observan más
de
una
variable respuesta o
dependiente.
En general,
en
el
análisis
múltivariado
se
miden
p
variables
en
cada individuo o unidad
experimental, obteniéndose
un
vector
de
variables
y
no
una medición
sobre
una sola
variable
como
en
el
caso
del
análisis
univariado.
Si en
el
diseño
completamente al azar (DCA)
univariado
el modelo
estadístico
considera
un
factor
de
clasificación
o
t
tratamientos con una
sola
variable
respuesta
bajo
estudio,
entonces
la
extensión al
caso
múltivariado
consiste
en estudiar más
de una variable
respuesta,
bajo
la
misma situación
en
la
que,
como
dijimos
antes,
interesa
determinar
la
diferencia
entre
tratamientos. Aquí la
diferencia
se
tendría
que
plantear a
través
de
vectores
de
mediáis
correspondientes a varias
variables
medidas
sobre
las
mismas
unidades
experimentales.
En
sí el
diseño
experimental (proceso
de aleatorización)
es
el
mismo, lo que
cambiaría
sería el modelo,
los
supuestos
y
el
análisis
de
los
datos.
Las
observaciones
o
datos multivariados resultantes
de
un
DCA se pueden presen
TABLA
DE
OBSERVACIONES
tratamientos
1
2
• '• •
t
Ki
r2 •••
YP
Y
y2 ...
Yp
•
••
Yi
y2
...
Yp
2/m
1/112 • • •
Vnp
y2n
1/212 - - '
y¡ip
• •
•
y
tu
ym
•
•
ytip
1/121
1/122 ’ ’ ’
y\2
P
1/221
1/222 ' • ’
y22p
•
• •
l/í21
ym '
•
•
yt2p
1/131
1/132
yi3P
1/231
1/232
’ ’ '
V23p
•
' •
l/t31
ym
■
■
•
yt3P
1/lnl
yin2
yinp
l/2nl
í/2n2
‘
‘
y2np
ytnl
ytn2
'
’
'
ytnp
2/i.i
yn ■
■
■
yi.p
1/2.1
1/2.2 • • •
V2.p
■
■ yt.i
yt.2
■
■
■
yt.
P
3.2.2 Modelo lineal
El
modelo
asociado
a
este
diseño
es:
Yij
= p +
Qi+Eij
;
i
=
1,2,...,*
j =
l,2,...,ni
\
(2)
Yij
=
(VijuViji,
=
vector de
p
observaciones
respuesta medidas
sobre la
unidad
j-ésima
que
recibió el
tratamiento
i-ésimo.
¿?=(/
xi
,/22,
=
vector
de las
medias
generales.
eij
—
(£iji,£ij2,
■■■,£ijp)
=
vector
de
errores aleatorios.
ai
—
(o¡ii,
q
¡
í
2)
•••)
Q¡»P
)
= vector
del efecto del
tratamiento
i-ésimo.
Con
la
re-
t
stricción £
<*i
=
0.
t=l
Nótese
que
aquí
el
superíndice
t
indica transpuesto;
este
debe
distinguirse
del
índice
t
asociado
al
número de
tratamientos.
Supuestos:
En
relación
con
el
modelo
(2) se supone que, cada componente
del
vector
de
observaciones
(y^)
se
corresponde a un
modelo normal
univariado,
de
manera
como
fue
expresado
en
la ecuación
(1).
Los
vectores
de
errores
son variables independientes
entre sí con
vector
de
medias
media
0
y
matriz de
covarianzas Se supone
para
los
errores
idéntica
distribución
normal
multivariada,
es
decir:
e«~7V
p
/(0,E)
donde:
z
=
<7li
<Tj2
•
•
• O'lp
^22 •
• 1
PP
3.2.3
Notación matricial
El
vector
de observaciones
de
las
p
variables
bajo
estudio
Yi,
Y¿,Y
p
medidas
sobre
la unidad experimental j-ésima
que
recibió
el tratamiento í-ésimo,
se
representa
por:
y
íj
= (yiji
>
yij^
i
•
•
• j
yijp)
La
notación
matricial particular
del
modelo general
Y
=
X/3 +
E,
cuando
se
tiene
yíi
yÍ2
yín,
y«
Y22
yU
y«
1
<
<
1
