INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

“APLICACIONES EN FINANZAS DE MODELOS

AUTORREGRESIVOS”

TESIS

QUE, PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO

MATEMÁTICO, PRESENTA.

CLAUDIA VIRIDIANA VÁZQUEZ MARTÍNEZ

Director de Tesis: Roberto S. Acosta Abreu

México D.F., diciembre de 2008

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

I

INDICE

Introducción 1

Capítulo 1 “Mercados Financieros” 1.1 Introducción 3

1.2 Participantes de los mercados 3

financieros 1.3 Tipos de mercados financieros 3

1.3.1 Mercado de capitales 4

1.3.2 Mercado de dinero 4

1.3.3 Mercado cambiario 5

1.3.4 Mercados de derivados ODC 5

1.4 Descripción de las opciones 6

1.5 Vencimiento de las opciones 7

1.6 Inversión duplicadora 8

1.7 Opciones de compra o Call options 9

1.7.1 Ganancia o pérdida al vencimiento 11

1.8 Opciones de venta o pull options 11

1.8.1 Pérdida o ganancia al vencimiento 13

1.9 Venta en corto 14

1.10 Primera oportunidad de arbitraje 15

1.10.1 Segunda oportunidad de arbitraje 15

Capítulo 2 “El Método Binomial para la valuación de opciones” 2.1 Introducción 16

2.2 Modelo de un período 17

2.3 Modelo de dos períodos 18

2.4 Modelo de acciones 19

II

2.6 Precio de una opción de venta americana 22

Capítulo 3 “Ecuación de Black-Scholes para el valor de una opción”

3.1 Introducción 27 3.2 Ecuación de Black-Scholes 27 3.2.1 La fórmula de Black-Scholes para el

precio de una opción 28 3.2.2 Fórmula de paridad opción de

venta-opción de compra 33 3.3 La ecuación diferencial parcial

de Black-Scholes 35 3.3.1 Condiciones iníciales de la ecuación

diferencial parcial de Black-Scholes 40 3.4 Sensibilidad del precio de la opción 41

Capítulo 4 “Modelos Autorregresivos y Regreso a la Media”

4.1 Introducción 44 4.2 Modelos autorregresivos 45 4.3 Valuación de opciones por medio de

su ganancia esperada 46 4.4 Regreso a la Media 51

Capítulo 5 “Modelos Autorregresivos Generalizados”

5.1 Introducción 54 5.2 Modelos autorregresivos con

heterocedasticidad 55 5.3 Modelos GARCH 59 5.4 Estimación de los parámetros GARCH 60

III

5.5 Pronósticos con el modelo GARCH 61

5.5.1 Modelos de la media condicional 62

5.5.2 Modelos de la varianza condicional 63

5.5.3 Modelo GARCH (P,Q) para la varianza 63

condicional 5.5.4 Modelo GJR (P,Q) de varianza condicional 64

5.5.5 Modelo EGARCH (P,Q) de varianza condicional 64

5.6 Predicción de error cuadrático medio mínimo 65

5.6.1 Las desviaciones estándar condicionales de las innovaciones futuras 66

5.6.2 La media condicional de los pronósticos de la serie de ganancias 67

5.6.3 El error cuadrático medio mínimo del pronóstico de la volatilidad de las ganancias 67

5.6.4 La raíz cuadrada del error cuadrático medio asociada con los pronósticos de la media 69

5.7 Observaciones pre-muestrales 69

5.8 Comportamiento asintótico para horizontes pronóstico de rango grande 70

5.9 Valuación de opciones en el contexto de volatilidad estocástica (modelo GARCH(P,Q)) 72

5.9.2 Resultados numéricos 72

5.10 Ejemplo con datos del petróleo 74

5.10.1 Ejemplo con datos del índice SP&500 80

5.11 Limitaciones del modelo GARCH 83

Conclusiones 84

Apéndice Caminatas aleatorias, el movimiento browniano, la integral estocástica, la formula de Itô y el movimiento browniano

IV

A1 Caminatas aleatorias 86

A2 Movimiento Browniano 88

A3 La integral estocástica 92

A4 La formula de Itô 93

A5 Movimiento Browniano geométrico 96

AGRADECIMIENTOS

En especial a mi familia, por todo el apoyo que me han brindado para cada proyecto que he emprendido en mi vida, ya que sin su apoyo no hubiera logrado llegar hasta este punto tan importante. Gracias por toda la paciencia, comprensión y amor recibido incondicionalmente. Por todas aquellas palabras de aliento que he recibido en los momento de tristeza y por todas las alegrías compartidas. Los amo.

Gracias a mi novio porque en cada momento importante de mi vida has estado presente. Te amo

Un agradecimiento especial al profesor Roberto S. Acosta Abreu, que me alentó a terminar este trabajo y por todo el tiempo dedicado al desarrollo del mismo. Mil gracias.

1

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se describen brevemente los fundamentos sobre los mercados financieros, es decir, su estructura y que tipo de instrumentos financieros maneja cada uno de ellos, esto con la finalidad de poder saber como es que funciona el mercado de derivados. Los derivados son instrumentos financieros cuyo valor depende de otros valores o bienes básicos. De los derivados nos interesan principalmente las opciones. Una opción es un contrato que da a su poseedor el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un bien por un valor y en una fecha futura preestablecidos de antemano. Un problema fundamental con las opciones es el de determinar su valor el cual se llama también la prima. Un modelo muy importante para valuar el precio de una opción es el modelo de Black-Scholes (BS). Este modelo de precios de acciones lo introdujeron F. Black y M. Scholes en 1973. En este modelo se determina la relación existente entre el costo de la opción de compra y el precio del bien subyacente. Una de las hipótesis básicas en el modelo BS es que el precio del bien subyacente satisface una ecuación diferencial estocástica. En esta ecuación aparece la suma de dos términos: uno que representa la parte determinística que dice que el bien va cambiando su valor al paso del tiempo de acuerdo a la formula de interés compuesto. La parte estocástica de la ecuación nos dice que las fluctuaciones en el precio del bien se deben a un proceso de “moviendo browniano” que describiremos con algún detalle mas adelante. Un aspecto importante que abordaremos en este trabajo es que el proceso de ruido en el modelo de BS puede ser aproximado por un modelo discreto más sencillo. El modelo de aproximación es el llamado modelo binomial para el cual los cambios en el precio del bien se dan solo en puntos discretos en el tiempo, y en estos puntos el valor del bien sólamente pueden subir o bajar por factores fijos. El modelo binomial es importante porque nos da un método bastante preciso para valuar opciones, y también porque a partir de el mediante un paso al límite podemos obtener una fórmula para el valor de una opción para

2

un modelo continuo que es la célebre ecuación de Black-Scholes para el valor de una opción de compra.

Cuando los supuestos básicos del modelo de BS no se satisfacen, lo cual es el caso observado en algunas series financieras, hay la necesidad de usar otro tipo de modelos para describir el proceso de precios, y otros métodos para encontrar los valores de las opciones. En este trabajo damos una introducción sencilla al uso de modelos alternativos al de BS cuando no se satisfacen las hipótesis de movimiento browniano por el proceso de precios del bien subyacente. En particular estudiamos brevemente los procesos autorregresivos y damos algunos ejemplos de valuación de opciones en este contexto.

3

CAPÍTULO 1

MERCADOS FINANCIEROS

1.1 INTRODUCCIÓN

Un mercado financiero es el lugar, mecanismo o sistema compuesto por un conjunto de reglas que permiten a los participantes realizar operaciones de inversión, financiamiento y cobertura, a través de diferentes intermediarios, mediante la compra y venta de activos financieros.

La finalidad de los mercados financieros es el determinar los precios justos de los diferentes activos financieros, poner en contacto a oferentes y demandantes de fondos y buscar que el costo de transacción sea el menor posible.

Estos se pueden operar sin contacto físico, a través de sistemas electrónicos, teléfono, fax. También hay mercados financieros en los que si se tiene contacto físico, como los corredores de bolsa.

Así cada activo financiero u objeto de transacción, puede ser de dos tipos, ya sea un valor básico o un derivado financiero.

1.2 PARTICIPANTES DE LOS MERCADOS FINANCIEROS

Emisora

Tenedor o dueño de los valores

Agentes Especializados como; Brokers, Dealers y Market Makers. Autoridades y organismos autorregulatorios.

4

1.3 TIPOS DE MERCADOS FINANCIEROS

Los mercados financieros se clasifican por el tipo de activo financiero que ofrecen, los principales a nivel internacional son:

1.3.1 MERCADO DE CAPITALES

Estos espacios físicos o virtuales están formados por conjuntos de reglas que permiten a inversionistas, emisores e intermediarios realizar operaciones de emisión, colocación, distribución e intermediación de títulos accionarios. Los instrumentos que se manejan en este tipo de mercados son: Acciones, Certificados de Participación Ordinarios sobre acciones, Obligaciones convertibles en acciones, Warrants.

La compraventa de acciones se puede llevar a cabo a través de mercados primarios o mercados secundarios.

1.3.2 MERCADO DE DINERO

Son espacios físicos o virtuales que se conforman por un conjunto de reglas que permiten a inversionistas, emisores e intermediarios realizar operaciones de emisión, colocación, distribución e intermediación de los valores instrumentos de deuda (bonos) de bajo riesgo y alto grado de liquidez. Modo en el cual los gobiernos y las corporaciones que necesitan tomar prestado dinero se ponen en igualdad de condiciones con inversionistas que cuentan con fondos para prestar.

Los principales tipos de bonos son:

Bono de descuento o de cupón cero. Bonos con cupones.

La compraventa de valores instrumentos de deuda se puede realizar mediante mercados primarios o mercados secundarios.

5

1.3.3 MERCADO CAMBIARIO

Lugar en que oferentes y demandantes de monedas de curso extranjero, llevan a cabo operaciones de compra-venta de divisas como lo son: Dólares, euros, libras esterlinas, etc., así el volumen de transacciones determina los precios diarios de unas monedas en función de otras, o el tipo de cambio con respecto a la moneda nacional.

Este tipo de mercado se usa para administrar los riesgos asociados al manejo de divisas los cuales surgen cuando las compañías entran en transacciones que involucran pagos en moneda extranjera.

1.3.4 MERCADOS DE DERIVADOS ODC

Es aquel a través del cual las partes celebran contratos con instrumentos cuyo valor depende o es contingente del valor de otro(s) activo(s), denominado(s) activo(s) subyacente(s).

La función primordial del mercado de derivados consiste en proveer instrumentos financieros de cobertura o inversión que fomenten una adecuada administración de riesgos.

En el cual se pactan las operaciones directamente entre compradores y vendedores, sin que exista una contraparte central que disminuya el riesgo de crédito.

De tal manera que los podemos describir como sigue:

Son “Trajes a la Medida”. No están estandarizados.

No cotizan en una bolsa de valores.

6 Forwards

Opciones (de compra y de venta) Swaps

Contratos de futuros Bienes o comoditties

Así pues se profundiza en este tipo de mercado, primero mostrando las generalidades y técnicas financieras, para así poder analizar las opciones de compra y venta, los distintos tipos, la manera en como se manejan y los métodos más utilizados para obtener el precio justo de una opción.

1.4 DESCRIPCIÓN DE LAS OPCIONES

Tanto una opción de compra como una de venta tienen ciertos elementos en común como lo son:

1. El valor intrínseco de la acción subyacente. Esto es, cuando mayor sea su valor, mayor será el precio de la opción de compra suscrita sobre ese titulo, esto considerando constantes el precio de ejercicio y la fecha de expiración del contrato.

2. El precio de ejercicio. Cuanto más bajo sea el precio de ejercicio (X ) mayor será el precio de la opción de compra (V_c), puesto que

existirá una mayor probabilidad de que el precio de mercado de la acción acabe superando al de ejercicio; ocurre lo contrario en el caso de las opciones de venta.

3. La volatilidad del mercado o del título en cuestión. La magnitud de las oscilaciones diarias del precio del titulo subyacente, influye directamente en el tamaño del precio de la opción de compra o venta. De tal manera que a mayor riesgo mayor precio y viceversa.

4. El tiempo de vida de la opción. El precio incluye un elemento temporal, que tiende a decrecer al aproximarse la fecha de expiración

7

del contrato de la opción. Es decir, cuanto menos le quede de vida a la opción, menor será su valor, puesto que menos probabilidades tiene el precio de mercado de superar al de ejercicio (o de ser inferior al mismo, si nos referimos a las opciones de venta).

5. El tipo de interés sin riesgo. El valor de la opción depende de la tasa de descuento que se aplica en el mercado financiero a las inversiones financieras libres de riesgo (r). Esto es así porque al combinar la emisión de opciones de compra sobre acciones con la tenencia de las propias acciones es posible eliminar totalmente el riesgo de la inversión.

6. Los dividendos. Los dividendos (D) repartidos por la acción subyacente también afectan al valor de la opción. Pues cuanto mayores sean los dividendos más bajo será el costo de la opción de compra, puesto que se supone que al repartirse los dividendos el precio de mercado de la acción descenderá, o no subirá tanto como debiera. Con la opción de venta ocurrirá justo lo contrario, puesto que si desciende el precio de mercado del activo subyacente ello redundara en un aumento del valor de la opción de venta.

Así pues el precio de una opción de compra depende principalmente de seis factores: V_c = f(S,X,t,

σ

,r,D), siendo sus relaciones las siguientes:

0 0 0 0 0 0 < ∂ ∂ > ∂ ∂ > ∂ ∂ > ∂ ∂ < ∂ ∂ > ∂ ∂ D V r V V t V X V S V_{c c c c c c} ; ; ; ; ; σ

Mientras que para la opción de venta las relaciones serian:

0 0 0 0 0 0 > ∂ ∂ < ∂ ∂ > ∂ ∂ > ∂ ∂ > ∂ ∂ < ∂ ∂ D V r V V t V X V S V_{p p p p p p} ; ; ; ; ; σ

8

1.5 VENCIMIENTO DE LAS OPCIONES

Aquellas opciones que pueden ser ejercidas sólo en el momento del vencimiento reciben el nombre de opciones europeas, pero si se puede ejercer, además, antes de dicha fecha se denominan opciones americanas. El poseedor de una opción, tanto si es de compra o venta, puede optar por tres posibles decisiones:

a) Ejercer el derecho comprando o vendiendo los títulos que la opción le permite.

b) Dejar pasar la fecha de vencimiento sin ejercer su opción.

c) Venderla antes de su vencimiento en el mercado secundario de opciones.

1.6 INVERSIÓN DUPLICADORA

Para generar una inversión duplicadora es necesario construir una inversión llamada portafolio, que consiste en un contrato de valor f y una cantidad

de efectivo r(T t)

Xe− − .

Entonces el valor neto es:

) (T t r

Xe

f + − −

Cualquier cantidad de efectivo en un portafolio crece de acuerdo con el factor

) (T t r

e − desde ahora hasta la expiración. La r representa la tasa actual de

rendimiento de intereses en dicha inversión.

Podemos decir, que en la fecha de expiración, esta cartera duplica una acción si.

9

1.7 OPCIONES DE COMPRA O CALL OPTIONS

En este tipo de opciones uno puede adquirir la posibilidad de compra de una acción en una fecha futura predeterminada o antes de la misma a un precio garantizado y este derecho es sin obligación de comprar en el futuro.

Condiciones de la opción:

El comprador de la opción paga al vendedor una comisión llamada

prima.

En la fecha de vencimiento, el tenedor de este contrato podría pagarle

al emisor el precio de ejercicio.

Si el emisor del contrato recibe el precio de ejercicio del tenedor, el

emisor tiene que entregar una acción al tenedor en la fecha de vencimiento.

Considere, el punto de vista del comprador, para ello supongamos que un inversor desea adquirir una acción porque piensa que su cotización va a subir, pero no puede o no quiere pagar el precio que el mercado le demanda, en este caso podría adquirir una opción de compra, sobre dicha acción. Al adquirir una opción de compra se podrá beneficiar de un aumento en el precio del activo subyacente sin haberlo comprado.

El poseedor de la opción de compra, podrá decidir si ejerce o no la opción. La ejercerá cuando la cotización (S) supere el precio de ejercicio, por otro

lado si llegada la fecha de vencimiento de la opción, el precio de ejercicio (X ) sigue siendo superior a la cotización (out of the money) la opción no

será ejercida.

La figura 1.1 muestra el beneficio que se puede obtener a través de una opción de compra.

10

La principal atracción, es el alto apalancamiento que proporciona ya que se pueden obtener fuertes ganancias con pequeños desembolsos iniciales y además el riesgo está limitado a una cantidad fija. De tal manera que la pérdida máxima consiste en adquirir una opción de compra y queda limitada al pago de la prima (V_c). Mientras que el beneficio, en teoría puede ser

ilimitado Máx(S−X;0)−V_c.

Ahora tomemos en cuenta el punto de vista del emisor, así, el inversor que emite o vende una opción de compra espera que la cotización de la acción subyacente se mantenga estable o que tienda a la baja. Su único cobro será el valor de la prima, sus pagos dependerán de si el precio de ejercicio es inferior, o no, al del mercado en la fecha de cotización. Si el precio de mercado supera la de ejercicio (in the money), en dicha fecha, el propietario de la opción reclamara la acción a la que tiene derecho lo que generara una perdida para el emisor. Si ocurre lo contrario la opción no será ejercida y no se tendrá que entregar la acción.

En la figura 1.2 podemos observar que la ganancia máxima del emisor, estará dada por la prima de la opción (V_c), mientras que la perdida

dependerá de la diferencia entre el precio de mercado el día del vencimiento y el precio de ejercicio V_c−Máx(S−X;0). c

V

Cotización (S) X+V_c X S-(X+V_c)

Figura 1.1Grafica del Beneficio sobre una opción de compra. Beneficio

11

1.7.1 GANANCIA O PÉRDIDA AL VENCIMIENTO

Para esto pueden suceder dos cosas que no ocurra compraventa o que se efectué el contrato, pues el emisor debe de pagarle al tenedor la diferencia del precio de la acción y el precio de ejercicio. Esto permite describir la ganancia neta posible en cuanto a precio de la acción al vencimiento S_T y el

precio de ejercicioX . Entonces se tiene:

Ganancia Neta de la Compra=máx

{

S_T −X,0

}

Esto solo es valido cuando S_T −X es positivo, de otro modo el resultado es

cero. De tal manera que la ganancia se reescribe como:

Ganancia Neta de la Compra=

(

)

+

−X S_T

1.8 OPCIONES DE VENTA O PULL OPTIONS

Este tipo de opciones concede a su poseedor el derecho a vender en el futuro una acción a un precio fijo, ya sea en una fecha futura predeterminada o antes de la misma. Es posible comprar una oportunidad para vender una acción en el futuro a un precio garantizado, incluso si no es propietario de acción alguna. c V Cotización (S) X+V_c X (X+V_c)- S

Figura 1.2 Resultado sobre una opción de compra según el emisor. Beneficio

12

Condiciones de la opción:

El comprador de la opción paga al vendedor una prima llamada

comisión.

En la fecha de vencimiento, el tenedor de este contrato puede darle al

emisor una acción o en forma equivalente, el precio de mercado de una acción.

Si el emisor del contrato recibe del tenedor la acción o su precio, el

emisor tiene que pagar la comisión de ejercicio al tenedor en la fecha de vencimiento.

Tomemos en cuenta el punto de vista del comprador, este espera una baja en los precios de las acciones, la adquisición de una opción de venta puede aportar ingresos con un riesgo limitado.

Obsérvese que en la figura 1.3 se tiene la representación del beneficio que puede obtenerse a través de la posesión (compra) de una opción de venta, así entonces la perdida máxima para el comprador de la opción de venta estará determina por el costo de la misma (V_p), mientras que los resultados

de su posición irán mejorando cuando más descienda el precio de mercado de la acción Máx[X −S;0]-V_p, hasta llegar a la máxima ganancia que se que

obtiene cuando la cotización se anula (X −V_p).

Vp

Cotización (S)

X

X-(S+V_p)

Valor máximo de las entradas p

V X− Beneficio

13

Consideremos ahora el punto de vista del emisor, la persona que emite una opción de venta cree que la tendencia del precio de la acción será neutra o ligeramente alcista y la emisión de este tipo de opción ofrece la oportunidad de obtener un ingreso en forma de prima.

De tal manera que el vendedor o emisor de una opción de venta deberá adquirir la acción al precio de ejercicio estipulado, si el comprador de la opción la ejerce dentro del plazo al que tiene derecho.

La figura 1.4 muestra la ganancia o pérdida de una opción de venta ejercida antes de su fecha de vencimiento, por lo que la ganancia máxima para el vendedor esta dada por el costo de la misma

( )

V_p y los resultados de su

posición irán empeorando cuando más descienda el precio de mercado de la acción Máx

[

X −S;0

]

−Vp, hasta llegar a la pérdida máxima que se obtendría en el caso de que la cotización sea nula.

1.8.1 PÉRDIDA O GANANCIA AL VENCIMIENTO

En el caso de esta opción casi siempre no ocurre compraventa o se liquida el contrato mediante pago de la diferencia al tenedor, entre el precio de ejercicio y el precio de la acción.

p

V

Cotización (S) X

X-(S+V_p)

Figura 1.4Resultado sobre una opción de venta según el emisor.

p

V X−

14

Así se puede escribir la remuneración considerando el precio de la acción a su vencimiento S_T y el precio de ejercicioX entonces tenemos:

Remuneración=máx

{

X −S_T,0

}

=

(

X −S_T

)

+

Tanto una opción de compra o venta de tipo americana pueden tener una remuneración o ganancia mayor que una opción de compra o venta europea.

1.9 VENTA EN CORTO

La gran variedad de intercambios permitidos en un mercado de valores aumenta la disponibilidad de valores de capital para intercambiar.

Para poder realizar estos intercambios es necesario de liquidez que es la disponibilidad de activos intercambiados.

Pero cuando no se cuenta con liquidez en ese momento se puede hacer uso de la venta en corto que es vender un valor básico sin poseerlo en primer lugar y luego comprarlo para entregarlo. Así entonces se puede operar en corto la cantidad de efectivo en la cartera, mediante la obtención en préstamo de dinero, al tipo de cambio r a corto plazo.

Condiciones de una venta en corto:

Uno obtiene en préstamo un número específico de acciones y las

vende hoy.

No se especifica la fecha en que se tienen que devolver las acciones

dadas en préstamo.

Si el propietario de las acciones en préstamo decide vender, entonces

el vendedor en corto tiene que obtener en préstamo otras acciones y reemplazar las primeras acciones prestadas.

15

1.10 PRIMERA OPORTUNIDAD DE ARBITRAJE

Supongamos que el precio de hoy no esta de acuerdo con su valor futuro, entonces tenemos:

Valor del Contrato+Cantidad en Efectivo < Una Unidad de Valor

Con esto el inversionista puede vender en corto grandes cantidades del valor, lo cual genera dinero efectivo instantáneo. De este dinero ganado se puede toma una cantidad para formar el número correcto de unidades de cartera y cubrir la venta en corto realizada.

1.10.1 SEGUNDA OPORTUNIDAD DE ARBITRAJE

Consideremos la situación opuesta, es decir:

Valor del Contrato+Cantidad en Efectivo > Una Unidad de Valor

Entonces el inversionista podría vender en corto unidades de las mismas y cubrir estas ventas en corto con acciones baratas, compradas inmediatamente después de vender en corto.

De tal manera que en estas dos oportunidades de arbitraje al principio se gana algo de efectivo, sin considerar el comportamiento futuro del mercado. Los mercados reales no permitirían que funcionara cualquiera de estos esquemas para hacer dinero.

16

CAPÍTULO 2

EL MÉTODO BINOMIAL PARA LA VALUACIÓN DE OPCIONES

2.1 INTRODUCCIÓN

Este modelo fue propuesto y desarrollado por John Cox, Stephen Ross y Mark Rubinstein, el mismo permite estimar teóricamente el precio de opciones tanto europeas como americanas. Se construye un árbol binomial el cual va a representar los distintos “caminos” que puede seguir el precio del subyacente durante el período de vida de la opción. Son asumidas las siguientes hipótesis:

Invariancia de Mercado; se supone que el volumen de operaciones

en el mercado financiero es lo suficientemente grande como para no verse afectado por las operaciones que hagamos.

Imposibilidad de Arbitraje; esto es que no hay posibilidades de

generar dinero mediante negociaciones que impliquen la compra-venta de activos entre operadores. O sea que el mercado alcanzó un equilibrio dinámico debido al conocimiento de los operadores de todas las posibilidades de negociación.

Simultaneidad de las Operaciones; las operaciones de

compra-venta de opciones y/u otros activos puede realizarse en forma simultanea.

Simetría en las Tasas de Interés; se puede prestar y tomar prestado

a las mismas tasas de interés.

Transacciones a Costo Nulo; todas las transacciones pueden

17

2.2 MODELO DE UN PERÍODO.

Consideremos una opción europea de tipo call sobre un activo financiero cuyo precio sigue un movimiento browniano geométrico. Sea S0 el valor

inicial conocido del activo. Sea f el valor de la opción al tiempo inicial, el cual

queremos determinar. Suponemos que la opción tiene un tiempo de vencimiento T que su precio de ejercicio es K y que durante la vida de la

opción el precio del activo puede subir a partir deS0 hasta el nivel S u0 o

puede bajar de S0 hasta S d0 donde u>1 y d <1. Si el precio del activo sube

a S u0 el valor de la opción en T fT es fT = fu =max(S u0 −K, 0); si el precio

del activo baja a S d0 el valor de la opción es fT = fd =max(S d0 −K, 0).Como

se muestra a continuación en la figura 2.1.

Consideremos un portafolio formado por ∆ unidades del activo y la venta en corto (o sea la venta de una opción que tendremos que redimir a su vencimiento) de una opción. El valor de ∆ que hace que el portafolio no tenga riesgo está dado por:

. d S u S f f_{u d} 0 0 − − = ∆ (2.1)

Un portafolio sin riesgo debe tener una ganancia dada por la tasa de interés libre de riesgo r. El valor presente del portafolio es

(

S₀u∆− f_u

)

e−rT. El costo

Valor del derivado

Figura 2.1Árboles de precio acción y derivado Árbol del precio de una acción

u S₀ 0 S d S₀ u f 0 V d f

18

de formar el portafolio es S₀∆− f . Se sigue que S₀∆− f =

(

S₀u∆− f_u

)

e−rT, de

donde

(

S u f_u

)

e rT.

S

f = ₀∆− ₀ ∆− −

Sustituyendo ∆ de la ecuación (2.1) resulta que el valor de la opción está dado por f =e−rT[p f_{u u} +p f_{d d}], (2.2) donde , 1. rT u u d e d p u d p p − = − + = (2.3)

2.3 MODELO DE DOS PERÍODOS.

Consideremos ahora un modelo binomial de dos pasos cada uno con una longitud de T/ 2 años.

El precio inicial del activo es S0. Durante cada paso este se mueve hacia

arriba u veces su valor inicial o se mueve hacia abajo d veces su valor

inicial. Por ejemplo después de dos movimientos hacia arriba el valor de la

opción es 2

0

max( , 0).

T uu

f = f = S u −K Como se observa en la figura 2.2.

Figura 2.2Árbol de opciones

uu f u S d S 0 V d Sf_ud dd f Tiempo 0 1 2

19

Supongamos que la tasa de interés libre de riesgo es r. Aplicando la fórmula

(2.2) en cada período obtenemos que el precio de la opción es

2 ₂ 2 2 [ 2 ]. T r u uu u d ud d dd f =e− p f + p p f +p f (2.4)

De nuevo vemos que el precio de la opción es la ganancia esperada descontada usando las probabilidades de riesgo neutro y la tasa de interés libre de riesgo.

2.4 MODELO DE ACCIONES

Este modelo extiende los cálculos a un periodo múltiple más realista, sea S₀

el precio de la acción al tiempo cero, la cuál solo puede moverse hacia uno de los dos precios en una unidad de precio.

En la figura 2.3 se muestra lo anterior y se puede observar que los valores futuros son múltiplos del valor actual, aquí se supone que los parámetros

p d u, y están dados. 0 3 3 S u p

Figura 2.3Árbol de acciones en forma desplegada

0 S 0 uS 0 2_S u 0 2_S d 0 udS 0 udS 0 dS 0 3 S u 0 2_dS u 0 2_dS u 0 2 S ud 0 2 dS u 0 2_S ud 0 2_S ud 0 3_S d 0 2 2 dS qu p 0 2 2 S ud pq 0 2 2 dS qu p 0 2 2 S ud pq 0 2 2 dS qu p 0 2 2 S ud pq 0 3 3 S d q Total= E[S₃]

20

Se obtiene el precio S₁, en el tiempo t=1 mediante la multiplicación se S₀ ya

sea por u o d, donde u >1 y d <1. Así entonces se dice que los movimientos

al alza ocurren con una probabilidad p y un movimiento a la baja con

probabilidad q=1−q. Calculando el E[S₁] se tiene:

0 0 0 1 puS qdS pu qd S S E[ ]= + =( + )

El término pu+qd mide la tendencia del precio de la acción.

Con la información que muestra la figura 2.3, se puede hallar el E[S₃], lo cual

es la suma del producto de la columna, es decir.

( )

( )

( )

( )

[

]

(

)

3 ₀ 0 3 2 2 3 3 pu 3qd pu 3qd pu qd S pu qd S S E[ ]= + + + = + ⋅

Por lo que se ve que para el periodo k+1, se tiene la relación;

(

)

[ ]

]

[S_{k 1} pu qd E S_k

E + = + ⋅

Por lo tanto en cada periodo se multiplica el valor esperado por el término de tendencia, lo que implica:

(

)

0

]

[S pu qd S

E _k = + k⋅

El árbol de acciones crece a una tasa de k

2 , lo que nos da el número de

nodos que conforman el árbol de acciones.

2.5 MODELO DE N PERIODOS

Los parámetros u, d y p_u en un modelo binomial para cualquier valor de N

períodos iguales, cada uno de longitud t T N

21

tome en cuenta la media y la varianza del activo durante cualquier intervalo. Igualando las varianzas del activo en el modelo discreto y en el modelo continuo y tomando en cuenta la siguiente condición

1 , u d = obtenemos que , , , r t u t t e d p u d u e d e δ σ δ σ δ − − = − = = (2.5)

cuando se ignoran términos de orden superior a δt.

Consideremos un modelo binomial con N pasos. Al instante inicial el precio

del activo es S0 conocido; tenemos una opción europea de tipo call con

precio de ejercicio K y con valor f₀₀ que queremos determinar, y N tδ =T es

el tiempo de vencimiento de la opción.

Para evaluar la opción suponemos lo siguiente:

1. La ganancia esperada de los activos considerados es la tasa de interés libre de riesgo.

2. Un flujo financiero en el futuro se puede valuar descontando (o actualizando) su valor esperado a la tasa de interés libre de riesgo.

El modelo binomial que obtenemos de esta forma representa los movimientos de precio del activo de una forma llamada de riesgo neutro, o que no tiene oportunidades de arbitraje.

22

En el periodo i tδ , 0≤ ≤i N hay i+1 valores posibles del activo que son

0 ,

j i j

S u d − j=0,K, .i Sea

ij

f el valor de la opción en el nodo ( , )i j donde i se

refiere al periodo i tδ , (i=0,K,N) y _j es el nodo _j en el periodo _{i tδ} para 0, ,

j= K i (el número del nodo crece al subir en el árbol binomial). El precio

del activo en el nodo ( , )i j es S u d₀ j i j− . En el periodo de vencimiento tenemos

, max( 0 , 0), 0, , .

j i j N j

f = S u d− −K j= K N (2.6)

Podemos como en el caso de dos periodos ir ahora hacia atrás en el tiempo (con i decreciendo) y obtenemos

f_ij =e−r tδ [p f_{u i}+_1,j+₁+p f_{d i}+_1,j], i= N−1,N−2,K, 0, j=0,K, .i (2.7)

De esta forma obtenemos el valor de la opción f00 al instante inicial 0. Esta

forma de evaluar la opción es muy conveniente desde el punto de vista computacional. Usando la fórmula anterior podemos expresar f₀₀ en

términos de los valores de la opción al tiempo de vencimiento en la forma siguiente:

[

]

j d j N u j NN N j t r N N N d NN d N u NN N u t r N p p f j N e f f p f p Np f p e f − − = − − − −

∑

      = + + + = 0 00 0 1 1 00 δ δ _... ) . (28

Veamos ahora otra forma de expresar el valor de la opción al instante cero. El valor del activo al periodo N tδ es 0 , 0,1, , .

j N j Nj

S =S u d − j= K N Este valor

se puede escribir en la forma 0 ,

Y N Y Nj

S =S u d − donde Y es una variable

aleatoria binomial con parámetros N y p. El valor de la opción en el periodo N tδ es max( , 0) max( 0 , 0).

Y N Y

T Nj

f = S −K = S u d − El valor actual de poseer la

opción es N t T

23 0 [ ] [max( , 0)]. N t N t Y N Y P T P e− δ E f =e− δ E S u d − −K

Por tanto, como en los casos N =1, y N =2 obtenemos que el valor de la

opción se puede escribir en la forma

00 [ ] [max( 0 , 0)].

N t N t Y N Y

P T P

c= f =e− δ E f =e− δ E S u d − −K (2.9)

2.6 PRECIO DE UNA OPCIÓN DE VENTA AMERICANA

El precio de una opción de venta americana neutral al riesgo, es el valor presente esperado de la opción, se asume por debajo del precio del activo subyacente del cambio seguro de acuerdo con el movimiento browniano geométrico neutro al riesgo. Para aproximar este precio, se debe aproximar al proceso de movimiento browniano geométrico neutral al riesgo que sigue un proceso binomial multiperiodico. Se elige un número n, con t igual al

tiempo de ejercicio de una opción, (dejar) con

(

k n

)

n kt

t_k = con =0,1,..., ,

ahora suponemos que:

1. La opción solo puede ser ejercida solo una vez en el tiempo

(

k n

)

t_k con =0,1,..., , y

2. Si S

( )

tk , es el precio seguro al tiempo tk , entonces

(

)

( )

( )

   = + -p t dS p t uS t S k k k _{conprobabilidad 1} ad probabilid con 1 , donde d u d n rt p e u e u tn tn − − + = = = σ , −σ 1

24

El precio de una opción americana neutral al riesgo, puede aproximarse por el valor esperado de las ganancias de la opción. A continuación se mostrara como determinar esta ganancia esperada.

Para empezar, notemos que si i de los primeros k movimientos en los

precios fueron crecientes y k−i, fueron decrecientes, entonces el precio al

tiempo t_k debería ser

s d u t

S( _k)= i k−i

Entonces, i debería ser uno de los valores i =0,1,2,...,k, esto sigue que hay 1

+

k posible precio seguro en el tiempo t_k. Ahora, sea V_k(i)que denota el

rendimiento esperado de la ganancia de una opción de venta, dado que la opción no ha sido ejercida antes de su tiempo de ejercicio t_k, dado que este

precio en el tiempo t_k es S(t_k)=uidk−is y la política óptima será seguida en

el tiempo t_k. Para determinar V₀(0), el valor presente esperado de las

ganancias de la propia opción de venta se determina con un proceso iterativo regresivo (del ultimo al primero), primero se determina V_n(i) para cada una

de sus n+1 valores posibles de i, entonces determinamos V_n−1(i) para cada

uno de sus nposibles valores de i, entonces V_n−2(i) para cada uno de sus

0 3_S u 0 3_S d

Figura 2.4Árbol de acciones

0 S 0 dS 0 uS 0 2_S u 0 2_S ud 0 udS 0 2_S d 0 2_dS u 0 3 0 d S S − 0 0 2 0 ud S S − 0

25 1

−

n valores posibles de i y así sucesivamente. Considerando primero que

entonces la opción expira en el tiempo t_n, tenemos lo siguiente

V_n(i)=max(K−uidn−is,0) (2.10)

Lo cual determina todos los valores V_n(i), i=0,1,2,...,n, ahora, sea

n rt

e−

=

β .

Tomemos en cuenta el siguiente subárbol de la figura 2.6, el cual muestra que hay dos alternativas ejercer la opción en este momento o conservarla por un periodo más.

Supongamos que estamos en el tiempo t_k, la opción de venta todavía no ha

sido ejercida y el precio de la acción es uidk−is. Si ejercemos la opción en

este punto entonces recibiremos K−uidk−is. Por otro lado si no ejercemos

ahora, entonces el precio al tiempo t_k+1, será si ui+1dk−is, (con probabilidad p) o uidk−i+1s, (con probabilidad 1− p). Si esto es ui+1dk−is y se emplea una

política óptima de que el tiempo continuo, −t_k de la ganancia esperada de la

opción de venta es; βVk+₁(i+1); similarmente la ganancia esperada si el

precio decrece es βV_k+1(i). A partir de aquí, el precio crecerá con probabilidad p o decrecerá con probabilidad 1− p de aquí se sigue que la

Valor de la iteración Valor del ejercicio inmediato Valor máximo de las entradas

0 2 0 ud S S − 0 3 0

d

S

S

−

26

ganancia esperada en −t_k, si no ejercemos pero posteriormente

continuamos óptimamente, es ) ( ) 1 ( ) 1 ( ₁ 1 i p V i V_k+ + + − β _k+ β .

Entonces K−uidk−is es la ganancia, si ejercemos es porque el valor anterior

es la ganancia máxima esperada, si no ejercemos se sigue que la posible ganancia máxima esperada es el más grande de estos dos. Eso es, para

1 ,..., 1 , 0 − = n k , Vk(i)=max

(

K −uidk−is,β_pV_k+1(i+1)+β(1− p)βV_k+1(i)

)

, i=0,...,k (2.11) Para obtener la aproximación, primero usamos la ecuación (2.10) para determinar el valor de V_n(i); entonces usamos (2.11) con k =n−1, para obtener los valores V_n−1(i) y volvemos a utilizar (2.11) con k =n−2 para obtener los valores V_n−2(i), y así sucesivamente hasta determinar el valor

0

V , que es la aproximación del precio de una opción de venta de tipo

27

CAPÍTULO 3

ECUACIÓN DE BLACK-SCHOLES PARA EL VALOR DE UNA OPCIÓN

3.1 INTRODUCCIÓN

Este modelo de precios de acciones lo introdujeron F. Black y M. Scholes en 1973 y generalizada por R. Merton (1973).

El modelo de Black-Scholes consiste en determinar la relación existente entre el costo de la opción de compra europea (V_c) y el precio de la acción

sobre la que recae (S₀), la cual nos permite determinar que opciones se

encuentran infravaloradas y cuales sobrevaloradas cada día.

3.2 ECUACIÓN DE BLACK-SCHOLES

Para obtener la ecuación de Black-Scholes se aplica el lema de Itô. La primera hipótesis básica es que el precio de la acción sigue un movimiento browniano geométrico.

dS = µSdt+σSdB (3.1)

Supuestos de los que parte la ecuación:

El precio del activo sigue una distribución normal logarítmica, por lo

que los rendimientos se distribuyen normalmente.

El valor de los rendimientos es conocido y es directamente

proporcional al paso del tiempo.

No hay costo de transacción, así que se puede establecer una

cobertura sin riesgo entre el activo y la opción sin ningún costo.

28 Durante el periodo de ejercicio, la acción subyacente no pagara

dividendos.

Las opciones son de tipo europeo.

3.2.1 LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES PARA EL PRECIO DE UNA OPCIÓN

Para esto es necesario considerar un modelo de acciones cuyas probabilidades permitan el uso de modelos de iteración. Ahora tomemos una inversión sencilla formada por acciones y efectivo. Suponemos que compramos las acciones a de un valor cuyo precio es de S₀ y sumamos b

dólares, por los que el valor de la inversión es:

b aS + =

Π ₀

Así entonces el valor de la inversión en algún tiempo posterior

τ

esta dado por:

τ τ

τ =aS +ber Π

Y descontando la tasa libre de riesgo r:

b S ae

e−rτΠ_τ = −rτ _τ +

Eliminando el término b al resolver la ecuación Π, y reagrupando los términos correspondientes a Π del lado izquierdo y los correspondientes a

Sdel lado derecho, se obtiene una relación entre ellos que se expresa de la

siguiente manera:

29

Esta identidad muestra que Π_τ heredara una propiedad de S, si forzamos

el modelo S para que satisfaga

E

[

e−rτS_τ +S₀

]

=0 (3.3) Lo anterior será entonces considerado el criterio de calibración del modelo y se establece que para cualquier a que se use se cumple lo siguiente

[

e−rτΠ_τ −Π₀

]

=0

E

Por lo tanto el valor de a se elimina, así como se sabe que E

[ ]

Π₀ =Π₀, entonces se puede calcular Π0 usando valores descontados de carteras futuras como sigue:

[ ]

_τ

τ Π =

Π₀ e−r E

Incluso si a valiera con el paso del tiempo, se preserva la acción justo arriba;

la relación es valida para cualquier cartera duplicadora.

Por todo lo anterior, podemos remplazar un modelo de acción con el modelo τ

S~ , donde la volatilidad es la misma pero donde S~₀ es:

[ ]

τ τ S E e S~₀ = −r ~

Utilizando este modelo de acción para calcular − τ

[ ]

_Πτ

E

e r , cuando Π_τ se encuentra por medio de una cartera duplicadora.

Cuya respuesta para el valor −τ

[ ]

_Πτ

E

30

La formula para S~_τ, tiene la forma _{S e}σBτ+mτ

0 y considerando el criterio de calibración que esta dado por _{S =e}−rτ_E

[

_{S e}σBτ+mτ

]

0 0 , lo que se reduce a la expresión _E

[

_eσBτ+(m−r)τ

]

=1. Considerando que 2 2 σ − = r m .

Por lo que el modelo relacionado queda expresado de la siguiente manera:

r r B e S S ₀ 2 2         ₋ + = σ σ τ τ ~ _(3.4)

Se sabe que en el caso de una opción de compra europea, la ganancia neta es

(

)

+

−X

S_T , de modo que la ecuación se convierte en:

(

)

[

+

]

− − =e S X V rT _T

Usando el modelo dado por la ecuación (3.4) tenemos:

T r B T T e S S         ₋ + = ₀ 2 2 σ σ (3.5)

Ahora reescribiendo la expresión anterior. Tomando en cuenta que B_T es

una variable aleatoria normal con media 0 y varianza T, pero se puede

sustituir TZpor el valor de B_T, donde Z es una variable estándar normal

con media 0 y varianza 1, por tanto el valor de S_T es:

T r Z T T S e S         ₋ + = ₀ 2 2 σ σ

31

Por lo que V queda como:

                      − = +         ₋ + − X e S E e V T r Z T rT 2 0 2 σ σ

Entonces por la regla para calcular el valor esperado se tiene:

V e S e X e dx x T r x T rT 2 2 0 2 2 2 − ∞ ∞ − +         ₋ + −

∫

                    − = σ σ

π

(3.6)

Ahora solo es necesario integrar y evaluar (3.6), para esto primero se examinara la parte que esta en las llaves, la cual no es cero cuando

0 2 0 2 > −         ₋ + X e S T r x T σ σ

Por ello se resuelve la ecuación ₀ 2 0

2 = −         ₋ + X e S T r a T σ σ para a y se obtiene que: T T r S X a

σ

σ

      − −       = 2 ln 2 0

Por lo tanto el valor de V se reescribe como:

dx e X e S e V x a T r x T rT 2 2 0 2 2 2 − ∞        ₋ + −

∫

          − = σ σ

π

32

Por lo que se divide la integral anterior en dos partes.

El segundo termino

(

N(a)

)

XN( a) X dx e X x a − =− − =− − − ∞

∫

1 2 1 ₂2

π

El primer termino dx e e e S dx e e S x a x T T r x a T r x T 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 1  ∞ −       ₋ − ∞        ₋ +

∫

∫

= σ σ σ σ

π

π

Para resolver la integral anterior es necesario completar cuadrados, entonces

Por lo que la integral queda de la siguiente manera:

(

)

dx e dx e a T T x a x x T

∫

∫

∞ + − − ∞ − = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ σ

π

π

Haciendo el siguiente cambio de variable y=x−σ T , por lo tanto la integral

se reescribe como:

(

)

(

N a T

)

e dy e e T t a y T σ π σ σ σ − − =

∫

∞₋ − 1 2 1 _{2 2} 2 2 2 2

Por ello, el primer término en (3.6) se convierte, después de simplificar y cancelar los términos T

eσ2 , en lo siguiente.

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T x T T x T x x T x σ σ σ σ σ σ = − + − = − − −

33

(

)

(

a T

)

N e S₀ rT − −

σ

Al reunir las partes de la integral podemos observar:

(

)

[

]

(

)

(

)

( )

[

]

(

)

(

a T

)

Xe N

( )

a N S a XN T a N e S e X S e V rT rT rT T rT − − − − = − − − − = − = − − + − σ σ 0 0 Puesto que T T r S X a σ σ       − −       = 2 ln 2 0

Entonces claramente se ve que

T T r X S a σ σ       − +       = − 2 ln 2 0 , por lo que

(

)

T T r X S T a

σ

σ

σ

        + +       = − − 2 ln 0 2

Por ello −a=d2 y a−

σ

T =d1 y entonces finalmente tenemos que el valor de V es:

V =S₀N(d₁)−e−rTXN(d₂) (3.7)

La ecuación (3.7) se llama ecuación de Black-Scholes para el precio de una opción de compra.

3.2.2 FÓRMULA DE PARIDAD OPCIÓN DE VENTA-OPCIÓN DE COMPRA.

Una opción de compra europea está relacionada con una opción de venta europea. Suponemos que se decide vender una opción de compra cubierta, es decir, compramos una acción al valor S y vendemos una opción de

34

compra al precio C, (donde el precio de ejercicio y el vencimiento son

arbitrarios). Siendo prudente ante la posibilidad de baja de la acción, compramos una opción de venta al precio P, con el mismo precio de

ejercicio y vencimiento de la opción de compra, lo cual se puede escribir como sigue: C P S+ − = hoy posición la de Costo

Consideremos que X es el precio de una opción de venta y de una opción

de compra. ¿Cuál es el valor de la posición al vencimiento?

Si S ≥ X , el valor es igual a X . Damos acciones al comprador de la

opción de compra X y la opción de venta se vence sin valor.

Si S< X , el valor es igual a X . Damos la acción al vendedor de la

opción de venta y la opción de compra vence sin valor.

Así entonces no importa que ocurra, el valor de la posición al vencimiento es el mismo, es decir X. Debido a que se tiene una posición determinista

ocurre:

(

S+P−C

)

erτ = X Por lo que: X e S P C− = − −rτ

Es relevante hacer notar que si la diferencia de precios C−P no es igual a X

e

S− −rτ , entonces los oportunistas lo llevarán rápido a S−e−rτX , ya sea

mediante la compra o la venta de la posición S+P−C.

Se usara la paridad put-call para determinar el precio de una opción de venta europea sobre una acción con el mismo parámetro que antes.

35

La relación de paridad put-call se puede reescribir como:

X e S C

P= − + −rτ

Sustituyendo la formula de Black-Scholes del precio de una opción de compra europea sobre la acción, se obtiene

X e S d XN e d SN P= ( ₁)− −rτ ( ₂)− + −rτ

Aplicando el hecho de que N(d_i)+N(−d_i)=1 para i=1,2, vemos que

P=−SN(−d₁)+e−rτXN(−d₂) (3.8)

Que es el precio Black-Scholes de una opción de venta europea.

3.3 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE BLACK-SCHOLES

Suponga que V

(

S_t,t

)

representa el precio de una opción sobre una acción:

t

S es el precio de la acción en el tiempo t. Suponemos que V

(

S_t,t

)

es una

función suave de las variables (genéricas) S y t. La estrategia para

construir la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes consta de cuatro pasos, los tres primeros son puramente matemáticos, mientras que en la cuarta etapa se brinda el argumento final.

Paso 1. Expandir V en una serie de Taylor en S y t.

Paso 2. Sustituir la expresión dS(3.1), en la serie de Taylor, por V .

Paso 3. Simplificar algebraicamente el término browniano y eliminar términos de orden superior.

Paso 4. Iguala V con una cartera duplicadora.

36

Procedamos como sigue. Suponga que y = f(x), es la expansión de la serie

de Taylor para f y tiene la forma siguiente

∑

∞ = ≈ 0 0 k k ! k ) ( f ) x ( f ,

en el caso de una variable. Ahora para el caso de dos variables, z= f(x,y),

la serie de Taylor tiene la forma

superior orden de términos + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 y y ) , ( f xy y x ) , ( f x x ) , ( f y y ) , ( f x x ) , ( f ) , ( f ) y , x ( f (i)

Reescribiendo (i) en forma diferencial se tiene

. superior.. orden de términos + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dy y f dxdy y x dx x f dy y f dx x f df (ii)

Por lo que se puede interpretar dx como un pequeño cambio de x y df como

una diminuta modificación de f resultante de pequeños cambios en dx y dy. Escribimos la ecuación (ii) para f de modo que se pueda ver la forma

matemática general, independientemente del campo (calor, luz, sonido, electromagnetismo).

37 superior orden de términos 2 1 + ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) dt ( t V dSdt t S V ) dS ( S V dt t V dS S V dV ,

esto completa el paso 1.

Ahora sustituimos dS(3.1), en la ecuación anterior y conservamos solo

términos de primer orden en dt.

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dt t V dt SdB Sdt t S V DdB Sdt S V SdB Sdt S V dt t V dV ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

σ

µ

σ

µ

σ

µ

Conservamos los cuatro primeros términos y descartamos el último de la derecha. Con lo que queda lo siguiente

(

Sdt SdB

)

dt S(dt) SdBdt

dSdt =

µ

+

σ

=

µ

2 +

σ

Recuerde que dB≈Z dt y dBdt ≈Z(dt)3/2. Debido a que tanto

( )

dt 2 y 2

3/ ) dt

( no son de primer orden, descartamos dSdt, lo cual sólo nos deja

( )

_dS 2 _{para considerar:} 2 2 2 2 2 2 2 2 _{S (dt) S dBdt S (dB)} ) dS ( =

µ

+

µσ

+

σ

Eliminemos los dos términos de la derecha por los argumentos previos. Por otra parte,

( )

dB 2 ≈

(

Z dt

)

2 =Z2dt, resulta de primer orden en dt.

38

(

)

dB S V S dt S V Z S S V S t V dt S V Z S SdB Sdt S V dt t V dV ∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

σ

σ

µ

σ

σ

µ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (3.9)

Para simplificar más (3.9) reemplazamos Z2 por su valor esperado, es decir

1. Así pues obtenemos

dB S V S dt S V S S V S t V dV ∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

µ

σ

σ

2 2 2 2 2 1 (3.10)

La justificación de que Z2 →1 es que cualquier suma de estas diferenciales

contiene un promedio que casi iguala el valor medio.

Esto contempla los pasos 2 y 3, que son los pasos matemáticos, pero ahora se hará uso de una herramienta financiera.

Haremos uso de la herramienta conocida como la cartera duplicadora, para calcular los precios de derivados mediante modelos de tiempo discretos.

Esta herramienta permite evaluar el rendimiento total de la inversión a medida que varía en el tiempo la posición de una acción. Comenzamos una búsqueda de una inversión acción/valor apropiada. En cualquier momento, el valor neto de esta inversión es el valor, V(S_t,t).

Suponemos que V(S,t)es una función suave dada de las variables S y t.

Debemos determinar valores numéricos

valor del acciones de número = ) t (

φ

y bonos de número = ) t (

ψ

39

de modo que la ecuación

V

(

S_t,t

)

=

φ

S_t +

ψ

dP_t (3.11)

se sostiene para 0≤t≤T. Esta ecuación afirma que el valor neto de nuestra

posición es igual al valor de nuestras tenencias de acciones y bonos. P_t, es

el valor absoluto de un bono. Afirmamos que los cambios de valor neto obedecen a la ecuación

dV =

φ

dS_t +

ψ

dP_t (3.12)

Ahora completaremos la ecuación de Black –Scholes. Puesto que

SdB Sdt dS =

µ

+

σ

y rPdt dP=

podemos expresar (3.12) como

(

S r P

)

dt SdB

dV =

µφ

+

ψ

+

σφ

En seguida igualamos los dV en (3.12) y (3.10):

(

)

dB S V S dt S V S S V S t V SdB dt P r S ∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + +

ψ

σφ

µ

σ

σ

µφ

2 2 2 2 2 1

Aunque parece difícil, contamos con la libertad considerable para la elección de

φ

y ψ , así que ponemos

(

S ,t

)

S V ) t ( _t ∂ ∂ = φ (3.13)

40

Con esta alternativa no sólo se cancelan los términos dB, sino que también

se cancelan µφS y µS∂V /∂S. Esto deja

dt S V S t V Pdt r _       ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 1

σ

ψ

(3.14)

Vemos que ψP=V −S∂V /∂S de la ecuación (3.8). Sustituyendo esto en

(3.10) para obtener dt S V S t V dt S V S V r         ∂ ∂ + ∂ ∂ =       ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 1

σ

Finalmente llegamos a la ecuación

rV S V S S V rS t V = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 σ , (3.15)

que se llama Ecuación diferencial parcial de Black-Scholes del precio de una opción.

3.3.1 CONDICIONES INICIALES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE BLACK-SCHOLES.

Para obtener un precio de opción, tal como el precio de una opción de compra europea, es necesario combinar (3.15) con condiciones de frontera. Las tres condiciones de frontera de una opción de compra son:

1. Finiquito: _V

(

_S,τ

) (

_{= S−X}

)

+_{, está afirmación indica que el finiquito sobre la}

opción es exactamente lo que debe ser.

2. lím_S→∞V

( )

S,t /S =1 para una opción sumamente dentro del dinero. El

valor de la opción se aproxima a S−X , de modo que la relación se acerca a

41

3. S(t₀)=0 implica que V(S,t)=0 para t >t₀. Una vez que la acción pierde

todo valor, no se recupera.

3.4 SENSIBILIDAD DEL PRECIO DE LA OPCIÓN

A continuación se analizara de que manera ciertas variables exógenos afectan el precio de las opciones, para esto se estudiaran una serie de índices o coeficientes representativos que servirán para establecer coberturas de riesgo en las carteras con opciones.

1. El coeficiente DELTA, se puede definir como la variación producida en el precio de la opción por una unidad de cambio en el precio de la acción subyacente.

En forma discreta tenemos:

acción la de precio opción la de precio ∆ ∆ = ∆ ∆ = S V DELTA

En forma continua, son igual a la derivada parcial del precio de la opción con respecto al del titulo subyacente:

₁ 1 1 = − ∂ ∂ = ∆ = ∂ ∂ = ∆ N(d ) V V ) N(d S V p p c c

También se puede definir la delta de la opción como la probabilidad de ejercer la misma. También se les conocer como ratios de cobertura e indican el número de acciones necesarias para cubrir una posición en opciones.

2. El coeficiente GAMMA. Mide el efecto que la inestabilidad del mercado produce en el valor de delta. Así la gamma de una opción mide la tasa de cambio de la delta cuando el precio de la acción varía una unidad.

42 Caso discreto: S DELTA Gamma ∆ ∆ = =γ Caso continuo:

(

)

t S e S c d

σ

γ

2 1 5 0 2 2 2 1 − . Π = ∂ ∂ =

La gamma es pues una medida de la sensibilidad de la delta y es afectada por la volatilidad y por el plazo hasta el vencimiento de la opción por lo tanto este coeficiente proporciona la medida del riesgo especifico asumido en las posiciones en opciones ya que la delta mide el riesgo de posición en términos del subyacente.

3. Coeficiente THETA. Muestra la variación en el precio de una opción como consecuencia de una variación en el tiempo que resta para su vencimiento. Es, pues, una medida del deterioro temporal.

Caso discreto: t V Theta ∆ ∆ = Caso continuo: ) ( ) ( _{1 2} 2 t N d Xe rN d S t V Theta =

σ

′ + −rτ ∂ ∂ =

4. El coeficiente RHO. Indica la sensibilidad del precio de la opción debido a los cambios del tipo de interés libre de riesgo, es decir mide la cobertura de la opción con respecto a dicho tipo de interés.

Caso discreto: r V Rho ∆ ∆ =

43 Caso continuo: ) (d₂ N tXe r V _rτ

ρ

₌ − ∂ ∂ =

Rho se compone de dos partes, la primera es un reflejo directo del efecto del tipo de interés libre de riesgo, en el precio del titulo subyacente, relación que se expresa mediante delta de la opción. El segundo componente proviene del impacto de los tipos de interés sobre el costo de mantener la posición.

5. El coeficiente VEGA. También denominado Kappa u Omega indica el cambio en el precio de una opción con respecto a una variación producida en la volatilidad de la acción.

Caso discreto:

σ

∆ ∆ = V VEGA Caso continuo: ) (d₁ N t S V ′ = ∂ ∂ =

σ

υ

El coeficiente vega es positivo puesto que todo aumento de volatilidad del subyacente hace aumentar el valor de la opción ya sea ésta de compra o de venta, una mayor volatilidad lleva a una probabilidad más alta de oscilaciones en el precio de la acción subyacente, lo que hace aumentar el valor de la opción.

44

CAPÍTULO 4

MODELOS AUTORREGRESIVOS Y REGRESO A LA MEDIA

4.1 INTRODUCCIÓN

Uno de los supuestos básicos en un modelo de movimiento browniano geométrico es que los cambios de precios en el futuro, dado el presente, son independientes de los cambios de precios en el pasado. Éste proceso es un modelo de Markov el cual supone que un estado futuro del sistema depende sólo del estado presente y no de los anteriores. Sin embargo a menudo se encuentran series de tiempo financieras para las que el modelo browniano geométrico no es adecuado, Por ejemplo en la referencia [7] se analizan los datos de cierre del mes más cercano de petróleo crudo del 3 de enero de 1995 al 19 de noviembre de 1997 (periodo antes de la crisis financiera asiática que afectó la demanda y dio como resultado una caída de los precios). En [7] se aplican varias pruebas estadísticas para ver que esta serie de precios no es consistente con la hipótesis de que los precios del crudo siguen un movimiento browniano geométrico.

A muchos les parece razonable que la historia reciente de un activo puede ser de utilidad al predecir precios futuros.

Los modelos autorregresivos pueden describirse como aquéllos en los que una variable o conjunto de variables se explican, al menos en parte, en función de los valores pasados de esa misma variable o conjunto de variables. Estos modelos han cobrado gran importancia en el campo de la econometría y la economía. Se ha demostrado que modelos sencillos de este tipo, con un pequeño número de variables y parámetros, compiten, incluso con ventaja, en su capacidad de predicción y simulación con los grandes modelos macroeconométricos que se desarrollaron en los años cincuenta y sesenta, y que incluyen cientos de variables y parámetros.

45

4.2 MODELOS AUTORREGRESIVOS

Sea S_d(n), el precio garantizado al final del día n. Si además definimos

L(n)=log

(

S_d

( )

n

)

,

entonces el modelo de movimiento browniano geométrico implica que

L(n)=a+L

(

n−1

)

+e(n) (4.1)

donde e(n), n≥1, es una secuencia de variables aleatorias normales

independientes idénticamente distribuidas con media 0 y varianza

N

2

σ

_{, (con}

252 =

N que es el número de días laborales en un año) y N

a=

µ

, donde

µ

, es la media del movimiento browniano geométrico y

σ

es la volatilidad asociada al parámetro.

Observando la ecuación (4.1), podemos considerar que se puede realizar un ajuste más general para L(n); es decir la regresión lineal.

L(n)=a+bL

(

n−1

)

+e(n), (4.2)

donde b, es otra constante cuyo valor suele necesitar de una estimación. La

estimación se mejora tomando a bcomo un valor arbitrario, en lugar de

1 =

b , estimando su valor a partir de los datos. La ecuación (4.2) es una

regresión lineal clásica y la técnica para estimar a,b y

σ

es bien conocida. Debido a que el modelo específica al logaritmo de los precios en el tiempo n

en término del logaritmo de los precios en un periodo de tiempo anterior, es llamado un modelo autorregresivo de orden uno.

Los parámetros a y del modelo autorregresivo dado por (4.2) son b