Flujo incompresible. Mario Storti. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería - CIMEC INTEC, (CONICET-UNL), Santa Fe, Argentina

(1)

Flujo incompresible

Mario Storti

Centro Internacional de M ´etodos Num ´ericos en Ingenier´ıa - CIMEC

INTEC, (CONICET-UNL), Santa Fe, Argentina

h

[email protected]

i

http://www.cimec.org.ar/mstorti

(2)

•

slide 3...Definici ´on de flujo compresible/incompresible

•

slide 6...Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible

•

slide 13...Formulaci ´on vorticidad-funci ´on de corriente

•

slide 17...Discretizaci ´on en variables primitivas

(3)

Definici ´

on de flujo

com-presible/incompresible

(4)

Definici ´

on de flujo compresible/incompresible

•

Un flujo incompresible es ´aquel donde el fluido no se comprime, como es t´ıpicamente el caso de los l´ıquidos

•

Tambi én puede pasar que bajo ciertas condiciones un fluido que es compresible (como los gases en general) no manifiesta efectos de compresibilidad para un patr ón o r égimen de flujo en particular.

•

En ese caso se le asigna a la propiedad de flujo compresible o

incompresible al patr ón de flujo. Para los fluidos compresibles, puede demostrarse que los efectos compresibles van con el n úmero de Mach al cuadrado, es decir que la variaci ón relativa de la densidad

∆

ρ

=

O

(

M

2

)

,

con

M =

u

c

(1)

es el n ´umero de Mach,

u

es la velocidad del fluido y

c

es la velocidad del sonido. Podemos decir entonces que el flujo es compresible si el n ´umero de Mach es menor que un cierto valor, digamos 0.1. Por ejemplo, un auto

(5)

Definici ´

on de flujo compresible/incompresible (cont.)

Es de notar que si las variaciones de densidad son provocadas por otros efectos que no sean la presi ón mec ánica como la dilataci ón t érmica,

expansi ón solutal (p.ej. salinidad), etc... entonces el patr ón de flujo puede considerarse (con respecto a los efectos sobre los algoritmos num éricos) incompresible, a ún si la densidad resulta no ser constante ni espacialmente ni en el tiempo. El t érmino compresible/incompresible se aplica a las

variaciones de densidad producidad exclusivamente por efecto de la presi ´on. Si bien en principio uno podr´ıa pensar que la incompresibilidad es una

ventaja, ya que permite eliminar (en muchos casos) una variable (la densidad), desde el punto de vista num ´erico suele traer m ´as problemas que soluciones.

(6)

Ecuaciones de

Navier-Stokes

incompresible

(7)

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible

∂

u

∂t

+ (

u

· ∇

)

u

=

−

1 ρ

∇

p

+

ν

∆

u

(2)

∇ ·

u

= 0

(3)

La primera es la “ecuaci ´on de momento”, mientras que la segunda es la

“ecuaci ón de continuidad” o “balance de masa”. Es importante notar que en el l´ımite de “flujo reptante” o “flujo de Stokes” (es decir, despreciando el t érmino convectivo), las ecuaciones resultantes son exactamente iguales a las de elasticidad lineal incompresible isotr ópica, si reemplazamos el vector de velocidad por el de desplazamiento y la viscosidad por el m ódulo de

(8)

Problemas con las ecs. incompresibles

Las siguientes observaciones nos permiten adelantar el problema ocasionado por la incompresibilidad:

•

La condici ón de incompresibilidad no tiene un t érmino temporal: Esto quiere decir que “la presi ón no tiene historia”. El estado del fluido s ólo est á dado por la velocidad. Tambi én podemos decir que la ecuaci ón de continuidad aparece como una restricci ón, m ás que como una ecuaci ón de evoluci ón. La presi ón, pasa a ser el multiplicador de Lagrange

(9)

Problemas con las ecs. incompresibles (cont.)

Las ecuaciones son no locales: Por ejemplo, consideremos un s ´olido incompresible que ocupa una regi ´on

Ω

. Las condiciones son de

desplazamiento nulo en toda la frontera, menos en una cierta parte

Γ

₁ donde se aplica un cierto desplazamiento uniforme, y otra cierta parte

Γ

₂ donde las condiciones son libres, es decir tracci ´on nula.

En el caso compresible, el operador es el´ıptico, local, y la influencia del desplazamiento impuesto sobre el dominio

Γ

₁ en el dominio

Γ

₂ depender ´a de la

distancia entre ambas regiones, sus tama ˜nos

relativos, etc... Si el tama ˜no de ambas regiones es similar y muy peque ˜nos con respecto a la distancia que los separa, entonces los desplazamientos en

Γ

2

ser ´an despreciables.

00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 1 2 L

(10)

Problemas con las ecs. incompresibles (cont.)

Por el contrario, en el caso incompresible, el cambio de volumen total en

Γ

₂ debe ser igual al impuesto en

Γ

1, por lo tanto los desplazamientos en

Γ

2 ser ´an del

mismo orden que aquellos impuestos en

Γ

₁

(asumiendo que ambas regiones de la frontera tienen dimensiones similares). 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 1 2 L

(11)

Problemas con las ecs. incompresibles (cont.)

•

Cambia el c áracter matem ático de las ecuaciones: Tambi én en el caso el ástico, estacionario las ecuaciones dejan de ser el´ıpticas al pasar al caso incompresible. Esto se debe a que la ecuaci ón de continuidad “no tiene t érmino en derivadas segundas”.

•

La ecuaci ´on de la energ´ıa se desacopla de la de momento y continuidad:

El campo de temperaturas se puede obtener a posteriori a partir de el campo de velocidades obtenido.

(12)

Problemas con las ecs. incompresibles (cont.)

•

Notar que tambi ´en en el caso de elasticidad lineal el l´ımite incompresible es un l´ımite singular. Es decir si en las ecuaciones de elasticidad

compresible hacemos tender el coeficiente de Poisson

ν

a 1/2

(incompresible) entonces el tensor de coeficientes el ´asticos se hace singular. Por eso es necesario pasar a una formulaci ´on que trate especialmente la incompresibilidad.

•

No hay condici ón de contorno para la presi ón: Para un operador el´ıptico normalmente debemos imponer una condici ón de contorno (Dirichlet, Neumann o mixta) en cada parte del contorno. Eso se pega con el criterio para Problemas de Valores de Contorno en 1D: como el operador es de 2do orden hace faltan dos condiciones (una en cada extremo). Como aqu´ı la presi ón s ólo tiene una derivada no queda en claro cuantas condiciones se deben imponer. Se puede demostrar que lo correcto es (sobre

contornos s ólidos) imponer las dos componentes de velocidad y no imponer la presi ón. Eso si, la presi ón queda definida a menos de una

(13)

Formulaci ´

on

vorticidad-funci ´

on de

(14)

Formulaci ´

on vorticidad-funci ´

on de corriente

La vorticidad se define como

Ω

=

∇ ×

u

(4)

el cual, para un flujo bidimensional se reduce a

Ω = Ω

_z

=

∂v

∂x

−

∂u

∂y

(5)

En 2D se puede encontrar una funci ´on de corriente

ψ

tal que

u

=

∂ψ

∂y

(6)

v

=

−

∂ψ

(15)

Formulaci ´

on vorticidad-funci ´

on de corriente (cont.)

Tomando rotor de (2) se llega, despues de un cierto trabajo algebraico, a

∂

Ω

∂t

+ (

u

· ∇

)

Ω

−

(

Ω

· ∇

)

u

=

ν

∆

Ω

(8)

pero (s ´olo en 2D!) el tercer t ´ermino es nulo, ya que

∇

u

debe estar en el plano y

Ω

est á fuera del plano, de manera que la ecuaci ón se reduce a una ecuaci ón de advecci ón difusi ón para la vorticidad

∂

Ω

∂t

+ (

u

· ∇

)Ω =

ν

∆Ω

(9)

Por otra parte, recombinando (5) con (6) se llega a una ecuaci ´on de Poisson para la funci ´on de corriente:

∆

ψ

=

−

Ω

(10)

La “formulaci ´on vorticidad/funci ´on de corriente” consiste en resolver (9) y (10) en forma acoplada.

(16)

Formulaci ´

on vorticidad-funci ´

on de corriente (cont.)

Las ventajas y desventajas de la formulaci ´on, con respecto a la formulaci ´on en variables primitivas (2-3) son

•

La extensi ón a 3D de la formulaci ón vorticidad/funci ón de corriente es muy compleja.

•

La formulaci ´on vorticidad/funci ´on de corriente tiene un grado de libertad menos por nodo.

•

Las condiciones de contorno para la presi ´on son desconocidas para la formulaci ´on en variables primitivas.

•

Las condiciones de contorno para la vorticidad son desconocidas para la formulaci ´on vorticidad/funci ´on de corriente .

•

La formulaci ón vorticidad/funci ón de corriente requiere de cierto cuidado en cuanto a la discretizaci ón.

(17)

Discretizaci ´

on en

variables primitivas

(18)

Discretizaci ´

on en variables primitivas

i−1 i i+1 j+1 j j−1 pressure node u velocity node v velocity node

(19)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Si despreciamos el t ´ermino convectivo (problema de Stokes) y consideramos el caso estacionario en una malla de paso homog ´eneo

h

, la siguiente

discretizaci ´on (espacial) de segundo orden parece ser un buen punto de partida

ν

(∆

h

u

)

ij

−

p

i+1,j

−

p

i−1,j

2 ρh

= 0

ν

(∆

h

v

)

ij

−

p

i,j+1

−

p

i,j−1

2 ρh

= 0

u

i+1,j

−

u

i−1,j

2 h

+

v

i,j+1

−

v

i,j−1

2 h

= 0

(20)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Ec. de momento seg ´un

x

ν

(∆

h

u

)

ij

−

p

i+1,j

−

p

i−1,j

2 ρh

= 0

i

i+1

i−1

j

j+1

j−1

(21)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Ec. de momento seg ´un

y

ν

(∆

h

v

)

ij

−

p

i,j+1

−

p

i,j−1

2 ρh

= 0

i

i+1

i−1

j

j+1

j−1

(22)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Ec. de continuidad

u

i+1,j

−

u

i−1,j

2 h

+

v

i,j+1

−

v

i,j−1

2 h

= 0

i

i+1

i−1

j

j+1

j−1

(23)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

∆

h reresenta el operador de Laplace discreto est ´andar de 5 puntos

(∆

h

u

)

ij

=

u

i+1,j

+

u

i−1,j

+

u

i,j+1

+

u

i,j−1

−

4 u

ij

h

2 (11)

Pero resulta ser que las presiones en los nodos

impares se desacopla de los pares dando lugar a modos

“checkerboard” en la presi ´on. Notar que en las ecuaciones s ´olo aparece la diferencia de presiones entre dos nodos

alternados.

i−1

i

i+1

j

j+1

j−1

+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 −1

(24)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Las formas de resolver esto es

•

Resolver una ecuaci ´on alternativa para la presi ´on llamada PPE (Poisson Pressure Equation).

•

Usar m ´etodos de compresibilidad artificial.

•

Usar mallas “staggered” (en espa ˜nol “desparramadas” (???)) Discutiremos a continuaci ´on el uso de mallas staggered.

(25)

Uso de mallas staggered

Si consideramos la ecuaci ´on de momento seg ´un

x

, entonces vemos que lo ideal ser´ıa tener una malla para los nodos de velocidad

x

desplazada en

h/

2

con respecto a la malla de los nodos de presi ´on, en ese caso

podr´ıamos tener una ecuaci ´on de la forma

ν

(∆

h

u

)

_i₊₁_/ 2,j

−

p

i+1,j

−

p

i,j

ρh

= 0

j−1

j

j+1

j−1/2

j+1/2

i+1

i

i−1

i−1/2 i+1/2

punto alrededor del

(26)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Similarmente, para la ecuaci ´on de momento seg ´un

y

tenemos

ν

(∆

h

v

)

_i,j₊₁_/ 2

−

p

i,j+1

−

p

i,j

ρh

= 0

j−1

j

j+1

j−1/2

j+1/2

i+1

i

i−1

i−1/2 i+1/2

punto alrededor del

(27)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Esto lleva a considerar la siguiente malla “staggered”

•

nodos de presi ´on en los puntos

(

i, j

)

•

nodos de

u

en los puntos

(

i

+

1

_/

2

, j

)

•

nodos de

v

en los puntos

(

i, j

+

1

_/

2

)

j−1

j

j+1

j−1/2

j+1/2

i+1

i

i−1

i−1/2 i+1/2

pressure node

v node

u node

(28)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Para la ecuaci ´on de continuidad

u

_i₊₁_/ 2,j

−

u

i−1/2,j

h

+

v

_i,j₊₁_/ 2

−

v

i,j−1/2

h

= 0

j−1

j

j+1

j−1/2

j+1/2

i+1

i

i−1

i−1/2 i+1/2

punto alrededor del

(29)

Discretizaci ´

on en variables primitivas (cont.)

Esto evita el desacoplamiento de las presiones entre nodos pares e impares. Entonces tenemos 3 redes “staggered” a saber

•

Los nodos de presi ´on:

p

_ij

≈

p

(

ih, jh

)

•

Los nodos de velocidad

x

:

u

_i₊₁_/

2,j

≈

u

((

i

+

1

_/

2

)

h, jh

)

•

Los nodos de velocidad

y

:

v

_i,j₊₁_/

2

≈

v

(

ih,

(

j

+

1

_/

2

)

h

)

Por otra parte, las condiciones de contorno tambi én se simplifican algo, en cuanto a las condiciones sobre la presi ón, ya que utilizando s ólo contornos que coinciden con lineas semienteras (

i, j

=entero+1/2).

El m ´etodo de mallas staggered es probablemente el m ´as robusto y prolijo para tratar flujo incompresible por diferencias finitas.

(30)

Discretizaci ´

on por elementos finitos

Considerando el caso estacionario, flujo reptante, un t ´ermino forzante

f

y condiciones de contorno Dirichlet, las ecuaciones de gobierno son

ν

∆

u

− ∇

p

=

f

en

Ω

∇ ·

u

= 0

en

Ω

u

= ¯

u

,

en

Γ

y espacios de interpolaci ´on

X

h

= span

{

N

pµ

, µ

= 1

. . . N

}

(31)

Discretizaci ´

on por elementos finitos (cont.)

La formulaci ón d ébil Galerkin se obtiene pesando la ecuaci ón de momento por una funci ón de interpolaci ón de velocidad y pesando la ecuaci ón de continuidad con las funciones de interpolaci ón de presi ón.

Z

Ω

φ

(

∇ ·

u

) dΩ = 0

,

∀

φ

∈

X

h

Z

Ω

(

∇ ·

v

)

p

dΩ +

Z

Ω

ν

(

∇

v

:

∇

u

) dΩ =

=

Z

Ω

f

· v

dΩ +

Z

Γ

v

· t

· n

ˆ

dΓ

,

∀

v

∈

V

h

Notar que, como no aparecen derivadas de

p

ni

φ

entonces es posible utilizar aproximaciones discontinuas para

p

.

(32)

Discretizaci ´

on por elementos finitos (cont.)

El sistema al que se llega es;





0 Q

T

Q

ν

K









P

U





=





0 F





AX

=

B

,

donde

p

h

=

X

µ

p

µ

N

pµ

,

P

= [

p

1

, p

2

, . . . , p

N

]

T

u

h

=

X

µ

u

µ

N

uµ

,

U

= [

u

1

, u

2

, . . . , u

N

]

T

Q

µkν

=

Z

Ω

N

uµ,k

N

pν

dΩ

K

=

Z

N

δ

N

dΩ

(33)

Discretizaci ´

on por elementos finitos (cont.)

A

=





0 Q

T

Q

ν

K





Q

µkν

=

Z

Ω

N

uµ,k

N

pν

dΩ

K

iµjν

=

Z

Ω

N

uµ,k

δ

ij

N

uν,k

dΩ

N ´otese que la matriz

K

es sim ´etrica y definida positiva, mientras que la matriz total

A

s ´olo es sim ´etrica y de hecho no puede ser definida positiva ya que tiene elementos diagonales (en el bloque

0

) nulos.

(34)

Discretizaci ´

on por elementos finitos (cont.)





0 Q

T

Q

ν

K









P

U





=





0 F





Como

K

es no-singular podemos eliminar

U

de la ecuaci ón de momento e insertarla en la ecuaci ón de continuidad obteniendo una ecuaci ón para

P

de la forma

(35)

Discretizaci ´

on por elementos finitos (cont.)

HP

= (

Q

T

K

−1

Q

)

P

=

Q

T

K

−1

F

(13)

La matriz

H

es sim ´etrica y semidefinida positiva. Para que el problema este bien planteado debemos al menos exigir que la matriz sea no-singular.

Podemos ver que esto ocurre si y s ´olo si

Q

tiene rango (el n ´umero de filas/columnas linealmente independiente)

N

_p (el n ´umero de grados de

libertad de presi ´on). Efectivamente, si

Q

tiene rango menor que

N

_p entonces existe algun vector

P

tal que

QP

=

0

y entonces

HP

= 0

. Por otra parte, si

Q

tiene rango igual a

N

_p entonces para todo

P

6 =

0

vale que

u

=

QP

6 = 0

y entonces

P

T

(

Q

T

K

−1

Q

)

P

=

u

T

K

−1

u

>

0

(14)

con lo cual

H

resulta ser definida positiva y por lo tanto no-singular. ’slidesec0patch-testEl patch test

(36)

El test de la parcela (patch test)

Ahora bien

Q

es de dimensi ´on

N

u

×

N

p, de manera que, para que

Q

tenga rango

N

_p debemos pedir que al menos

N

_u

≥

N

_p. Si bien esto parece un requerimiento bastante simple, en realidad sirve para descartar toda una serie de familias de interpolaci ´on y da lugar al famoso “test de la parcela”

(“patch test”). Q2/P1 Q2(s)/P1 Q2(s)/P0 P1/P0 P2/P1 _P2/P0 inestable Q1/P0 estable inestableQ2/Q1 Q2(s)/Q1

inestable inestable estable

inestable inestable estable nodo de presión

(37)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Consideremos por ejemplo la interpolaci ´on m ´as simple que se nos pueda ocurrir es

P

1 /P

0

para tri ángulos, es decir velocidades lineales continuas y presiones constantes por elemento. (La convenci ón aqu´ı es poner primero el espacio de interpolaci ón para velocidades y despu és el que se usa para

presiones. En general, a menos que se mencione lo contrario el espacio para velocidades se asume continuo y el de presiones discontinuo.

P n

denota el espacio de funciones que es polinomial de grado

n

por elemento, mientras que

Qn

denota el espacio de funciones bilineales (trilineales en 3D) de grado

n

.)

En una malla estructurada de cuadr ángulos, donde dividimos cada cuadr ángulo en dos tri ángulos, tenemos (para una malla

suficientemente grande)

N

_p=2 grados de libertad de presi ´on por cada cuadr ´angulo y un nodo de velocidad (es decir

N

_u

= 2

) por cuadr ´angulo, por lo tanto no se satisface el test de la parcela y la

(38)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Si tomamos parcelas m ´as peque ˜nas la

situaci ´on es peor, ya que el

N

_u es mayor o igual al

N

_u asint ´otico pero imponiendo las condiciones de contorno “m ´as inestables posibles”, es decir todo el contorno de la parcela con velocidades impuestas el

N

_u resulta ser

N

_u

(

asymptotic

) = (

N

_uper cell

)

×

(cell number)

N

u

=

N

u

(

asymptotic

)

+

(vel. additional d.o.f.’s)

−

(vel b.c. (all non-slip))

≤

(

N

u(asymptotic)

)

additional vel. nodes

(39)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Ejemplo: patch de elementos

P

1 /P

0 N

u(asymptotic)

= 12

additional boundary

= 12

b.c. (all non-slip)

= 20

N

u

= 4

< N

u(asymptotic)

N

p

= 12

−

1 = 11

> N

u

=

⇒

unstable!

typical cell

(40)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Entonces, si bien el test de la parcela “asint ótico” permite descartar una serie de familias de interpolaci ón, el test aplicado sobre parcelas m ás peque ño

resulta ser m ´as restrictivo.

Por ejemplo para la interpolaci ´on

Q

1 /P

0

el an ´alisis asint ´otico da

N

u por celda

= 2

,

N

p por celda

= 1

lo cual en principio est ´a bien, pero cuando vamos a una parcela de

2 ×

2 = 4

elementos cuadrangulares tenemos

N

_u

= 2

(s ´olo el nodo de velocidad del medio est ´a libre),

N

p

= 3

(uno de los nodos de presi ón siempre est á restingido) lo cual est á

(41)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Sin embargo, puede verse que un

macroelemento triangular formado por 3 elementos

Q

1 /P

0

es estable.

Para un patch de 1 macro elemento (arriba),

N

_u

=

N

_p

= 2

y para 2 macroelementos (abajo) tenemos

(42)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

Parece que “agregar grados de libertad de velocidad” (o

equivalentemente “quitar

grados de libertad de presi ´on”) tiende a estabilizar una

formulaci ´on.

Sin embargo, se puede car en aproximaciones “sub ´optimas”.

nodo de velocidadnodo de presión

stability

Q2/P1 Q2(s)/Q1 Q2(s)/P1 Q2(s)/P0 P2/P0 P2/P1 inestable inestable inestable Q2/Q1 estable estable estable subóptimas!!

(43)

El test de la parcela (patch test) (cont.)

La relaci ón asint ótica m ás apropiada parece ser

N

_u

= 2

N

_p.

2

Q2/Q1 inestable

Asymptotic Nu/Np

Q2(s)/P0

6

estable

2

Q1/P0 inestable

3/2

Q2(s)/Q1 inestable

8/3

Q2/P1 estable Q2(s)/P1

2

inestable P1/P0

1

P2+/P1

5/3

inestable estable P2/P1

4/3

inestable P2/P0

4

estable

nodo de presión

analysis

cell for asymptotic

nodo de velocidad

(44)

La condici ´

on de

(45)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska

Si bien el test de la parcela es muy útil para descartar posibles familias de interpolaci ón, no es suficiente para asegurar la convrgencia. R´ıos de tinta han corrido en cuanto a cual es la condici ón para asegurar convergencia en

problemas de este tipo y la respuesta es la conocida “condici ´on de Brezzi-Bab ˇuska” tambien conocida como condicion “inf-sup”.

inf

qh∈Xh−0







sup

v_h∈V_h−0

R

Ω

q

h

∇ ·

v

h

dΩ

R

Ω

|∇

v

h

|

2

_dΩ

1/₂

R

Ω

|

q

2 h

|

dΩ

1/₂







=

BB

≥

C

6 =

C

(

h

)

(46)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Las tres integrales que aparecen se pueden reducir a formas bilineales con las matrices de elementos finitos:

Z

Ω

q

h

∇ ·

v

h

dΩ =

q

T

Q

T

v

Z

Ω

|∇

v

h

|

2

dΩ =

v

T

Kv

Z

Ω

|

q

_h2

|

dΩ =

q

T

M

p

q

donde

M

_p es la “matriz de masa para las funciones de presi ´on”

M

pµν

=

Z

(47)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

De manera que

BB

=

inf

q∈IRNp−{0}

(

sup

v∈IRNu−{0}

q

T

Q

T

v

(

v

T

Kv

)

1/2

(

q

T

M

_p

q

)

1/2

)

Haciendo el cambio de variables

w

=

K

1/2

_v

_,

tenemos que

sup

v∈IRNu−{0}

q

T

Q

T

v

(

v

T

_Kv

₎

1/₂

=

sup

w∈IRNu−{0}

q

T

Q

T

K

−1/2

_w

(

w

T

_w

₎

1/₂

(48)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Si definimos

w

_q

=

K

−1/2

_Qq

_{, entonces el numerador es}

q

T

Q

T

K

−1/2

_w

₌

_w

T

q

w

y descomponemos

w

seg ´un una componente paralela a

w

_q y la otra perpendicular,

w

=

λ

w

_q

+

w

_⊥ entonces

q

T

Q

T

K

−1/2

_w

(

w

T

_w

₎

1/₂

=

w

q

w

(

w

T

_w

₎

1/₂

=

λ

k

w

q

k

2

(

λ

2

_k

_w

q

k

2

+

k

w

⊥

k

2

)

1/2

El m ´aximo se produce cuando

w

_⊥

= 0

y

λ >

0 q

T

Q

T

K

−1/2

_w

(

w

T

_w

₎

1/₂

q

T

Q

T

K

−1/2

_w

(49)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Tenemos entonces que

BB

=

inf

q∈IRNp−{0}

(

q

T

Q

T

K

−1

Qq

)

1/2

(

q

T

M

p

q

)

1_/ 2

BB

2

=

inf

q∈IRNp−{0}

q

T

Q

T

K

−1

Qq

q

T

_M

p

q

y de nuevo, haciendo el cambio de variable

q

0

=

M

1p/2

q

tenemos que

BB

2

=

inf

q0∈IRNp−{0}

q

0T

M

−p 1/2

Q

T

K

−1

QM

−1/₂ p

q

0T

q

0

(50)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Ahora bien, sea

H

=

M

−

1_/ 2 p

Q

T

K

−1

QM

−1/₂ p . Entonces

BB

2

=

inf

q0∈IRNp−{0}

q

0T

M

−p 1/2

Q

T

K

−1

QM

−1/₂ p

q

0T

_q

0

=

inf

q0∈IRNp−{0}

q

0T

Hq

q

0T

_q

0

Este es el “cociente de Rayleigh”.

Como

H

es sim ´etrica y definida positiva es diagonalizable (en una base ortogonal) y con autovalores positivos. Sean

{

λ

_i

,

h

_i

}

N_i₌₁p los autovalores y autovectores de

H

, con

λ

_i

>

0

y

h

t_i

h

_j

=

δ

_ij.

(51)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Cualquier vector

q

0

∈

IR

Np _{puede descomponerse en la base de los}

_h

i, es decir

q

0

=

Np

X

i=1

α

i

h

i y entonces

q

0T

q

0

=

Np

X

i=1

α

2_i

q

0T

Hq

0

=

Np

X

i=1

λα

2_i

(52)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

El cociente de Rayleigh es entonces

BB

2

=

inf

q0∈IRNp−{0}

q

0T

Hq

q

0T

q

0

=

inf

α∈IRNp−{0}

P

Np i=1

λα

2 i

P

Np i=1

α

2i

≥

λ

1

P

Np i=1

α

2 i

P

Np i=1

α

2i

=

λ

1

Donde

λ

₁ es el menor autovalor (asumimos que est ´an ordenados). Por otra parte, para

q

0

=

h

₁ tenemos

α

₁

= 1

,

α

_j

= 0

, para

j >

1

, de manera que

P

Np i=1

λα

2 i

P

Np i=1

α

2i

=

λ

1 de manera que

(53)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Pero, aplicando una “transformaci ´on de semejanza”, podemos ver que

M

−p 1/2

Q

T

K

−1

QM

−1/₂

p y

Q

T

K

−1

QM

−_p 1 son semejantes, de manera que

(54)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

= min eig

{

M

−p 1/2

Q

T

K

−1

QM

−1/₂ p

}

Haciendo una transformaci ´on de similaridad con

M

−

1_/ 2

p tenemos que

BB

2

= min eig

{

M

−_p 1

Q

T

K

−1

Q

}

De manera que la condici ´on de BB es

(55)

La condici ´

on de Brezzi-Bab ˇ

uska (cont.)

Notemos que el patch-test es una condici ´on necesaria para la condici ´on de BB. Si

Flujo incompresible. Mario Storti. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería - CIMEC INTEC, (CONICET-UNL), Santa Fe, Argentina