TEMA II: APLICACIONES ENTRE ESPACIOS TOPOL ´OGICOS FRANCISCO J. L ´OPEZ
1. INTRODUCCION´
Las aplicaciones continuas son las transformaciones naturales entre espacios topol ´ogicos. Hablando sin excesivo rigor, una aplicaci ´on entre dos espacios topol ´ogicos es continua si preserva la idea de proximidad topol ´ogica, esto es, si lleva puntos pr ´oximos del primer espacio a puntos pr ´oximos en el segundo evitando rupturas (o discontinuidades). El concepto de continuidad es fundamen-tal en el desarrollo de la Topolog´ıa, y tiene repercusiones importantes en otros ´ambitos como la teor´ıa de espacios m´etricos y el An´alisis Matem´atico.
Las aplicaciones continuas biyectivas con inversa continua son fundamentales para la teor´ıa. Son conocidas con el nombre de homeomorfismos y materializan la idea de equivalencia topol ´ogica entre espacios. Dos espacios homeomorfos son indistinguibles desde el punto de vista de la topolog´ıa. A nivel intuitivo, dos objetos son homeomorfos si uno se obtiene del otro tras una deformaci ´on no traum´atica, esto es, sin rupturas ni apertura de agujeros. De hecho, el objeto fundamental de la topolog´ıa es la clasificaci ´on de espacios topol ´ogicos, o en otras palabras, el establecer criterios para determinar si dos espacios son homeomorfos o no.
La motivaci ´on del concepto de aplicaci ´on continua es sencilla a partir de los conocimientos que posee el alumno tanto provenientes de la teor´ıa de espacios m´etricos como del An´alisis.
Recordemos que dados dos espacios m´etricos(Xj,dj),j =1, 2, y una aplicaci ´on f :X1 →X2, se dice que f escontinua en x0∈X1si y s ´olo si
(1.1) ∀e>0, ∃δ>0 : d1(x,x0)<δ=⇒d2(f(x),f(x0)<e.
En otras palabras, si puntos pr ´oximos a x0 en (X1,d1) tienen im´agenes pr ´oximas a f(x0) en (X2,d2). El enunciado (1.1) es equivalente al siguiente:
(1.2) ∀B2(f(x0),e), ∃B1(x0,δ) : B1(x0,δ)⊆ f−1(B2(f(x0),e)),
donde como es habitualBj(p,r)representa bola abierta en(Xj,dj)de centrop ∈Xy radior>0,
j = 1, 2. Como los entornos de un punto en un espacio m´etrico no son sino los subconjuntos conteniendo una bola abierta centrada en ese punto, (1.2) admite una transcripci ´on inmediata y equivalente al lenguaje de entornos:
∀U2∈ Uτf([xd20]), ∃U1∈ Uxτ0[d1] : U1⊆ f −1(U
2), o equivalentemente,
(1.3) ∀U2∈ Uτf([dx02]), f−1(U2)∈ Uxτ0[d1].
La ventaja del enunciado de continuidad de f enx0dado en la expresi ´on (1.3) es que nos libera de cualquier referencia a la distancia y permite su generalizaci ´on a espacios topol ´ogicos.
2. APLICACIONES CONTINUAS: DEFINICION Y PROPIEDADES B´ ASICAS´
Definici ´on 2.1(Aplicaci ´on continua). Dados dos espacios topol ´ogicos(Xj,τj),j=1, 2, un punto x0∈X1y una aplicaci ´on f:(X1,τ1)→(X2,τ2), se dice que f es continua en x0si y solo si
f−1(U)∈ Uτ1
x0 ∀U∈ U
τ2 f(x0).
Igualmente, f se diceglobalmente continua(o simplemente continua) si y solo sif es continua enx
para todox∈X1.
Esta definici ´on admite las siguientes reformulaciones: Proposici ´on 2.2. Los siguientes enunciados son ciertos:
(I) f es continua en x0 ⇐⇒ f−1(U) ∈ Uxτ01 ∀V ∈ βf(x0), dondeβf(x0)es una base de entornos de f(x0)en(X2,τ2).
(II) f es continua en x0⇐⇒f−1(O)∈ Uxτ01 ∀O∈τ2con f(x0)∈O.
Dem:Demostremos (I). Supongamos quefes continua enx0. Si tomamosV∈βf(x0)⊆ Uτf2(x
0)
ten-emos que f(V)∈ Uτ1
x0 por definici ´on de continuidad. Supongamos ahora quef
−1(U)∈ Uτ1 x0 para
todoV∈βf(x0). Si consideramosU∈ U
τ2
f(x0), por definici ´on de base de entornos existeV∈βf(x0)
tal queV ⊆U, y por tanto f(V)⊆ f−1(U). Como f−1(V)∈ Uτ1
x0 deducimos que f
−1(U)∈ Uτ1 x0
por la propiedad (iii) de los sistemas de entornos, concluyendo la prueba.
Para probar (II), t´engase en cuenta que{O∈τ2 : f(x0)∈O}es una base de entornos de f(x0)
en(X,τ2)y utilicese (I).
Veamos algunos ejemplos sencillos de aplicaciones (globalmente) continuas. • Id : :(X,τ)→(X,τ), Id(x) =x ∀x∈X, es continua (aplicaci ´on identidad). • f:(X1,τ1)→(X2,τ2), f(x) =c∈X2∀x∈X1(aplicaci ´on constantec) es continua. • f:(X,τd)→(Y,τ)es continua para cualesquiera conjuntoX, espacio topol ´ogico(Y,τ), y
aplicaci ´on f: X→Y.
• f:(X,τ)→(Y,τt)es continua para cualesquiera espacio topol ´ogico(X,τ), conjuntoY, y aplicaci ´on f: X→Y.
Teorema 2.3. Dados dos espacios topol´ogicos(Xj,τj), j=1, 2y una aplicaci´on f:(X1,τ1)→(X2,τ2),
los siguientes enunciados son equivalentes:
(a) f es continua.
(b) f−1(O)∈τ
1∀O∈τ2. (c) f−1(F)∈ F
1∀F∈ F2, dondeFjes el conjunto de cerrados en(Xj,τj), j=1, 2.
(d) f(A)⊆ f(A)∀A⊆X1. (e) f−1(B◦)⊆ f−1(B)◦∀B⊆X2.
Dem:(a)=⇒(b). SiO ∈ τ2 entoncesOes entorno de todos sus puntos en(X,τ2). En particular,
O∈ Uτ2
f(x)para todox∈ f
−1(O), de donde por continuidad f−1(O)∈ Uτ1
x para todox ∈ f−1(O).
Esto prueba que f−1(O)es un entorno de todos sus puntos en(X,τ1), y por tanto, es un abierto deτ1.
(b)=⇒(a). Seax ∈ X1un punto arbitrario, y seaO∈ τ2un abierto conx ∈ O. Por hip ´otesis,
f−1(O) ∈ Uτ1
x . Esto prueba que f es continua enx (ver Proposici ´on 2.2), y comoxes arbitrario
globalmente continua.
(b)=⇒(c). TomemosF ∈ F2y escribamosF= X2−OdondeO∈ τ2. Por hip ´otesis f−1(O)∈ τ1, de donde f−1(F) = f−1(X2−O) =X1− f−1(O)∈ F1.
(c)=⇒(b). TomemosO∈ τ2y escribamosO=X2−FdondeF ∈ F2. Por hip ´otesis f−1(F)∈ F1, de donde f−1(O) = f−1(X2−F) =X1−f−1(F)∈τ1.
(c)=⇒(d). Tomemos cualquier A ⊆ X1, consideremos f(A) ∈ F2 y observemos que por hip ´otesis f−1(f(A)) ∈ F1. Como A ⊆ f−1(f(A)) ∈ F1 deducimos que A ⊆ f−1(f(A)) (recordemos que el cierre de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene), y por tanto que
f(A)⊆ f(A).
(d)=⇒(c). ConsideremosF∈ F2y llamemosA= f−1(F). Por hip ´otesisf(A)⊆ f(A), esto es,
f(f−1(F))⊆ f(f−1(F))⊆F. Esto demuestra que f−1(F)⊆ f−1(F), y como la inclusi ´on contraria siempre es cierta, que f−1(F) = f−1(F). Como consecuencia f−1(F)∈ F
1.
(b)=⇒(e). TomemosB⊆X2un subconjunto arbitrario. ComoB◦ ∈τ2, por hip ´otesisf−1(B◦)∈ τ1. De la inclusi ´on f−1(B◦)⊆−1(B)deducimos pues que f−1(B◦)⊆ f−1(B)◦(recordemos que el interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en el conjunto).
(e)=⇒(b). TomemosO ∈ τ2. ComoO◦ = O, de nuestras hip ´otesis f−1(O) = f−1(O◦) ⊆
f−1(O)◦, y como la inclusi ´on contraria siempre se da f−1(O) = f−1(O)◦, esto es, f−1(O) es
abierto.
La siguiente proposici ´on recoge algunas propiedades b´asicas de las funciones continuas. Proposici ´on 2.4. Los siguientes enunciados son ciertos:
(i) Si f:(X1,τ1) → (X2,τ2)y g: (X2,τ2) → (X3,τ3)son continuas entonces g◦f: (X1,τ1) → (X3,τ3)es continua.
(ii) Si(X,τ)es un espacio topol´ogico y A⊆X entonces laaplicaci ´on inclusi ´oniA:(A,τA)→(X,τ),
iA(a):=a∀a∈A, es continua.
(iii) Si f:(X1,τ1)→(X2,τ2)es continua y A⊆X1entonces laaplicaci ´on restricci ´onf|A:(A,(τ1)A)→
(X2,τ2) f|A(a):= f(a)∀a∈A, es continua.
(iv) Si f:(X1,τ1) →(X2,τ2)es continua y B ⊆Im(f) = f(X1)entonces laaplicaci ´on restricci ´on en el codominiobf:(X1,τ1)→(B,(τ2)B) bf(x):= f(x)∀x∈X1, es continua.
(v) Sean(X1,τ1)y(X2,τ2)dos espacios topol´ogicos, y consideremos una familia de abiertos{Oλ, λ∈ Λ} ⊆τ1satisfaciendo∪λ∈ΛOλ=X1, y una familia de aplicaciones continuas{fλ:(Oλ,(τ1)Oλ)→
(X2,τ2) : λ∈Λ}satisfaciendo fλ|Oλ∩Oµ = fµ|Oλ∩Oµpara todoλ,µ∈Λ.
Entonces la aplicaci´on f:(X1,τ1)→(X2,τ2), f|Oλ := fλ ∀λ∈Λ,es continua.
(vi) Sean (X1,τ1) y (X2,τ2) dos espacios topol´ogicos, y consideremos una familia finita de cerrados {Fj,j = 1, . . . ,n} ⊆ F1 satisfaciendo ∪nj=1Fj = X1, y una familia de aplicaciones continuas {fj: (Fj,(τ1)Fj) → (X2,τ2) : j = 1, . . . ,n}satisfaciendo fj|Fj∩Fi = fi|Fj∩Fi para todo j,i ∈
{1, . . . ,n}.
Enntonces la aplicaci´on f:(X1,τ1)→(X2,τ2), f|Fj := fj ∀j=1, . . . ,n,es continua.
Dem:Comprobemos (i). Tomemos un abiertoO ∈ τ3 arbitrario. La continuidad de g nos da
g1(O)∈τ
2(ver la Proposici ´on 2.2-(b)), de donde usando quef es continua y la misma proposici ´on deducimos que f−1(g−1(O)) ∈ τ
1. Pero(g◦ f)−1(O) = f−1(g−1(O)), por lo que concluimos la continuidad deg◦f de nuevo por Proposici ´on 2.2-(b) .
Probemos (ii). En efecto, siO∈ τentoncesi−A1(O) =O∩A∈ τApor definici ´on de topolog´ıa
Para probar (iii) tengamos en cuenta (i), (ii) y el hecho de quef|A = f ◦iA.
Para demostrar (iv) consideremosO∩B∈ (τ2)B, dondeO ∈τ2. Como Im(f)⊆ B, inferimos quefb−1(O∩B) = f−1(O), de donde bf−1(O∩B)∈τ1sin m´as que usar la continuidad de f. Esto prueba que bf es continua.
Comprobemos (v). Primero obs´ervese que f est´a bien definida. SiO∈τ2un abierto arbitrario, podemos poner f−1(O) = ∪λ∈Λ(f|Oλ) −1(O) = ∪ λ∈Λf −1 λ (O). Como f −1 λ (O)es un abierto de (Oλ,(τ1)Oλ)y(τ1)Oλ ⊆ τ1por serOλ ∈ τ1, inferimos que f
−1
λ (O) ∈τ1, y esto para todoλ∈ Λ. Por tanto, f−1(O) =∪λ∈Λfλ−1(O)∈τ1y f es continua.
Para acabar probemos (vi). Al igual que en el caso anterior f est´a bien definida. SiF ∈ F2es un cerrado arbitrario en(X2,τ2), tenemos que f−1(F) = ∪nj=1(f|Fj)
−1(F) = ∪n j=1f
−1
j (F). Como fj−1(F)es un cerrado en(Fj,(τ1)Fj)yFj∈ F1, deducimos que f
−1
j (F)∈ F1para todoj=1, . . . ,n. Por tanto f−1(F) =∪n
j=1f
−1
j (F)∈ F1, de dondef es continua por la Proposici ´on 2.2-(c).
3. CARACTERIZACION DE LA CONTINUIDAD POR SUCESIONES´
Es conocido que la continuidad admite una caracterizaci ´on natural por sucesiones en el con-texto de topolog´ıas metrizables. Vamos a extender este resultado a su concon-texto topol ´ogico natural, esto es, el de espacios que satisfagan el I Axioma de Numerabilidad.
Teorema 3.1. Sea f:(X1,τ1)→(X2,τ2)una aplicaci´on, y asumamos que(X1,τ1)es I-AN. Entonces,
f es continua en x∈X1⇐⇒ ∀ {xn}n∈N⊆X1, {xn}n∈N→x,{f(xn)}n∈N→ f(x). Dem:=⇒) (Para la prueba de esta implicaci ´on la hip ´otesis I-AN es prescindible) Supongamos que f es continua en x y tomemos {xn}n∈N ⊆ X1 convergiendo a x ∈ X1. Consideremos {f(xn)}n∈N ⊆ X2y un entornoU ∈ Ufτ2(x). Por la continuidad de f enxtenemos que f−1(U)∈ Uτ1
x , de donde por ser{xn}n∈N →xinferemos la existencia deN∈Ntal quexn ∈ f−1(U)para
todon≥N. En particularf(xn)∈Upara todon≥N, lo que prueba que{f(xn)}n∈N → f(x).
⇐=) Para probar esta implicaci ´on, consideremos una base de entornos numerable de x en (X1,τ1), llam´emoslaβ0x={Un : n∈N}, con la propiedad de queUn+1⊆Unpara todon∈N. La existencia de tal base de entornos en ambiente I-AN se demostr ´o en el tema anterior.
Razonemos por reducci ´on al absurdo, y supongamos que f no es continua enx. Por tanto, ha de existir un entornoU∈ Uτ2
f(x)tal que f
−1(U)∈ U/ τ1
x . En particular,Un* f−1(U)para todon(de
otra forma f−1(U)ser´ıa entorno dex), y podemos encontrarxn ∈Un−f−1(U)para cada n ´umero naturaln. La sucesi ´on{xn}n∈Nas´ı construida converge axen(X1,τ1). En efecto, siV ∈ Uxτ1 es
un entorno dexcualquiera, al serβ0xbase de entornos dexen(X1,τ1)podemos encontrarN∈N tal queUN ⊆ V. En particularUn ⊆ UN ⊆ V para todon ≥ N, y por tanto{xn}n∈N → x en (X1,τ1). Sin embargo,{f(xn)}n∈Nno converge a f(x)ya que f(xn)∈/ Upara todon∈ N. Esta
contradicci ´on prueba que f ha de ser continua enx.
Como corolario trivial de este resultado, las transformaciones afines f: Rn → Rm, f(x) := A·x+b, dondeA ∈ Mm×n(R)es una matriz con coeficientes reales de ordenm×nyb ∈ Rm
(utilizamos notaci ´on columna), son funciones continuas. En efecto, para la prueba ´usese la ante-rior caracterizaci ´on de la continuidad por sucesiones.
4. ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS
Las funciones continuas tienen una gran importancia no s ´olo para la Topolog´ıa, sino tambi´en para el An´alisis y Geometr´ıa. Recordemos que una funci ´on no es sino una aplicaci ´on con codo-minio el conjunto de los n ´umeros reales, o m´as generalmente, el espacio euclidianoRn,n≥1. Las funciones admiten un ´algebra elemental, es decir, puede ser sumadas, multiplicadas, divididas,... y es natural preguntarse el comportamiento de la continuidad respecto de estas operaciones al-gebraicas elementales.
Comenzaremos con el siguiente
Lema 4.1. Las siguientes funciones son continuas:
• Suma: +:(R2,τu)→(R,τu), +(x,y):=x+y.
• Multiplicaci´on: ·:(R2,τu)→(R,τu), ·(x,y):=x·y.
• Inverso: −1:(R− {0},τu)→(R,τu), −1(x):=x−1=1/x.
• Divisi´on: / :(R×R− {0},τu)→(R,τu), (x,y):=x/y.
• Proyecci´on: pj:(Rn,τu)→(R,τu);pj(x1, . . . ,xn) =xj, j=1, . . . ,n.
Dem:La prueba de este resultado es trivial utilizando el Teorema 3.1. No obstante, ofrecemos una prueba directa a partir del concepto original de continuidad en espacios m´etricos.
Fijemos un punto(x,y) ∈R2y probemos que+es continua en(x,y)para cualquier(x,y)∈
R2. Para ello tomemose > 0 y observemos quekx0+y0−(x+y)k
2 < epara todo (x0,y0) ∈
B2((x,y),e/2).
De igual manera, para probar que · es continua en (x,y) ∈ R2 basta con tomar e > 0 ar-bitario, elegirδ > 0 tal queδ(|x|+|y|+δ) < e, y observar quekx0·y0−x·yk2 < epara todo (x0,y0)∈B2((x,y),δ).
Para probar que−1es continua enx para cualquierx ∈ R− {0}, tomemose > 0 arbitrario, elijamosδ>0 tal que |x( δ
δ−|x|)| <e, y observemos que|1/x−1/x
0|<
ecuando|x−x0|<δ. La funci ´on / es la composici ´on de las funciones continuas (R− {0})×R → R2, (x,y) 7→ (1/x,y)(la continuidad de esta funci ´on se deja como ejercicio), y·:R2→R.
Finalmente, probemos quepjes continua,j ∈ {1, . . . ,n}. Para ello fijemosx = (x1, . . . ,xn)∈
Rnye>0 arbitrarios, y observemos que|x
j−xj|<epara todo(x10, . . . ,x0n)∈B2(x,e).
Teorema 4.2. Consideremos un espacio topol´ogico(X,τ)y funciones continuas f ,g:(X,τ)→(R,τu). Entonces las siguientes funciones son continuas:
(i) (f,g):X→(R2,τu),(f,g)(x):= (f(x),g(x)).
(ii) f+g: X→(R,τu),(f+g)(x):= f(x) +g(x).
(iii) f·g:X→(R,τu),(f·g)(x):= f(x) +g(x).
(iv) f/g:X→(R,τu),(f/g)(x):= f(x)/g(x), siempre que g(x)6=0para todo x∈X.
Dem:Probemos la continuidad de (f,g). Recordemos que las bolas {B∞((x,y),e) : (x,y) ∈
R2, e>0}son una base de la topologiaτ
uenR2, y simplemente observemos que(f,g)−1 B∞((x,y),e)=
f−1(]x−e,x+e[)∩g−1(]y−e,y+e[)es abierto deτya que f−1(]x−e,x+e[)yg−1(]y−e,y+ e[)∈τpor la continuidad de f yg.
La funci ´on f+ges continua por ser composici ´on de funciones continuas: f+g = +◦(f,g), usar el Lemma 4.1.
La funci ´on f·ges continua por ser composici ´on de funciones continuas: f·g=· ◦(f,g), usar el Lemma 4.1.
La funci ´onf/ges continua por ser composici ´on de funciones continuas: f/g=/◦(f,g), usar
el Lemma 4.1.
Como consecuencia inmediata de este resultado, las funciones polin ´omicas P: (Rn,τu) →
(R,τu)son continuas. Igualmente, las funciones racionales o cocientes de polinomicasP1/P2:(Rn−
Z,τu)→(R,τu)son continuas en su dominio naturalRn−Z(Zes el cerradoP2−1({0}), recordar
que la imagen inversa por una aplicaci ´on continua de un cerrado es un subconjunto cerrado). Tambi´en se podr´ıa haber abordado la prueba de este resultado usando la caracterizaci ´on de la continuidad por sucesiones del Teorema 3.1.
5. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS
Unas de las aplicaciones m´as interesantes para la topolog´ıa son las que respetan los abier-tos (cerrados), esto es, llevan abierabier-tos en abierabier-tos (cerrados en cerrados). Estas propiedades topol ´ogicas tienen muchas implicaciones en el campo del an´alisis complejo y de la geometr´ıa en general.
Definici ´on 5.1. Una aplicaci ´onf:(X1,τ1)→(X2,τ2)se diceabiertasi y solo si
f(O)∈τ2 ∀O∈τ1. Algunos ejemplos sencillos:
• Dado(X,τ)espacio topol ´ogico,A∈τ⇐⇒iA:(A,τA)→(X,τ)es abierta. • Cualquiera aplicaci ´on f:(X,τ)→(Y,τd)es abierta.
• Cualquiera aplicaci ´on f:(X,τt)→(Y,τ)es abierta.
• Cualquiera aplicaci ´on sobreyectiva f: (X,τCF)→(Y,τCF)es abierta.
• Cualquiera aplicaci ´on sobreyectiva f: (X,τCN)→(Y,τCN)es abierta.
La siguiente proposici ´on se muestra muy ´util:
Proposici ´on 5.2. Dada una aplicaci´on f: (X1,τ1)→(X2,τ2), son equivalentes: (a) f es abierta.
(b) SiB ⊆τ1es una base deτ1, entonces f(B)∈τ2para todo B∈ B. (c) f(A◦)⊆ f(A)◦para todo A⊆X1.
(d) Para todo x∈X1y U∈ Uxτ1, f(U)∈ Uτf2(x). Dem:(a)=⇒(b) Trivial.
(b)=⇒ (a) Dado O ∈ τ1, se tiene que O = ∪i∈IBi, donde {Bi, i ∈ I} ⊆ B. Por tanto
f(O) =∪i∈If(Bi)∈τ2; t´engase en cuenta que por hip ´otesis f(Bi)∈τ2para todoi∈ I.
(a)=⇒(c) ConsideremosA∈X1. ComoA◦ ⊆ Adeducimos que f(A◦)⊆ f(A). Pero al ser f abierta f(A◦)∈τ2, y por tanto f(A◦)⊆ f(A)◦por definici ´on de interior.
(c)=⇒(a) SiO∈ τ1entoncesO◦ =O, y de nuestras hip ´otesis f(O) = f(O◦)⊆ f(O)◦. Como la inclusi ´on contraria siempre es cierta inferimos que f(O) = f(O)◦, esto es, f(O)es un abierto.
(a)=⇒(d) Consideremosx ∈ X1yU∈ Uxτ1. Sabemos por la definici ´on de entorno que existe O ∈ τ1tal quex ∈ O ⊆ U, y por tanto, f(x) ∈ F(O) ⊆ f(U). Como por hip ´otesis f(O) ∈ τ2, deducimos que f(U)∈ Uτ2
(d)=⇒(a) Supongamos queO∈τ1. Esto es equivalente a decir queO∈ Uxτ1 para todox∈O.
Por hip ´otesis, f(O)∈ Uτ2
f(x)para todof(x)∈ f(O), de dondef(O)∈τ2.
Recordemos que una funci ´on f:Ω⊆Rn →Rm,n≥m, dondeΩes un abierto deRn, se dice
ser unasubmersi´onsi la diferencialdFp:Rn →Rmes sobreyectiva para todo p∈Ω. La siguiente
proposici ´on nos presenta algunas aplicaciones abiertas b´asicas:
Proposici ´on 5.3. Toda submersi´on f:Ω ⊆ Rn → Rm, n ≥ m, es abierta. Como consecuencia las siguientes aplicaciones son abiertas:
(i) pσ:(Rn,τu) → (Rk,τu), k ≤ n, pσ(x1, . . . ,xn) = (xσ(1), . . . ,xσ(k)), donde σ: {1, . . . ,k} → {1, . . . ,n}es una aplicaci´on injectiva (en particular, pj:(Rn,τu)→(R,τu), pj(x1, . . . ,pn) =xj,
es abierta, j=1, . . . ,n).
(ii) p :(R,τu)→(S1,τu),p(t) = (cos(t), sin(t)).
(iii) n :(Rn+1− {0},τ
u)→(Sn,τu),n(x) =x/kxk2.
Dem:La prueba de este resultada se basa en la escritura local de las submersiones como conse-cuencia del teorema de la funci ´on impl´ıcita. Omitiremos los detalles.
Los resultados (i), (ii) y (iii) son consecuencia sencilla de este resultado general ya que todas las aplicaciones involucradas son submersiones. En cualquier caso ofreceremos una pruebaad-hoc
para cada uno de ellos.
Para probar (i), recordemos queB ={B∞((x1, . . . ,xn),e) : (x1, . . . ,xn) ∈Rn, e >0}es una base deτuy tengamos en cuenta Proposici ´on 5.2-(b). TomemosB∞((x1, . . . ,xn),e)∈ Barbitrario, y observemos quepσ B∞((x1, . . . ,xn),e)=B∞((xσ(1), . . . ,xσ(k)),e)∈τu, de dondepσes abierta. Para probar (ii), tengamos en cuenta que la familia B = {]a,b[: 0 < b−a ≤ 2π} es una base de τu y utilicemos de nuevo Proposici ´on 5.2-(b). Fijemos [a,b[∈ B, y observemos que
p(]a,b[) =arg−1(]a,b[)para una conveniente rama del argumento arg : S1− {p(a)} →]a,a+2π[. Como arg : (S1− {p(a)},τ
u)→(]a,a+2π[,τu)es una funci ´on continua, inferimos que p(]a,b[)∈
τu, y por tanto, que p es abierta.
Por ´ultimo demostremos (iii). Ahora tendremos en cuenta queB = {B2(q,e) : q ∈ Rn+1− {0}, e > 0}es una base deτu enRn+1− {0}y de nuevo la Proposici ´on 5.2-(b). Si tomamos B2(q,e)∈ B, se tiene que n(B2(q,e)) =B2 kqkq ,kqke ∩Sn, que es abierto en la topolog´ıa usual de
Sn.
El concepto de aplicaci ´on cerrada es el natural:
Definici ´on 5.4. Sean(X−1,τ1)yX2,τ2)dos espacios topol ´ogicos, y denotemos porFjla familia
de cerrados en(Xj,τj),j=1, 2.
Una aplicaci ´onf:(X1,τ1)→(X2,τ2)se dicecerradasi y solo si
f(F)∈ F2 ∀F∈ F1. Veamos algunos ejemplos sencillos:
• Dado(X,τ)espacio topol ´ogico,A⊆Xes cerrado⇐⇒iA:(A,τA)→(X,τ)es cerrada. • Cualquiera aplicaci ´on f:(X,τ)→(Y,τd)es cerrada.
• Cualquiera aplicaci ´on f:(X,τCF)→(Y,τCF)es cerrada.
• Cualquiera aplicaci ´on f:(X,τCN)→(Y,τCN)es cerrada.
Es interesante notar que las proyeccionespσ:(Rn,τu)→(Rk,τu), dondeσ:{1, . . . ,k} → {1, . . . ,n} no son cerradas. El contraejemplo m´as sencillo es el siguiente. En (R2,τu) el conjunto F =
{(x, 1/x) : x ∈ R− {0}}es cerrado en(R2,τu), mientras quep1(F) = p2(F) = R− {0}no es cerrado en(R,τu).
Proposici ´on 5.5. Dada una aplicaci´on f: (X1,τ1)→(X2,τ2), son equivalentes: (a) f es cerrada.
(b) f(A)⊆ f(A)para todo A⊆X1.
Dem:(a)=⇒(b) ConsideremosA ⊆X1. ComoAes cerrado, por hip ´otesis deducimos que f(A) es cerrado. Pero al serA⊆Atenemos quef(A)⊆ f(A), de dondef(A)⊆ f(A) = f(A).
(b)=⇒(a) SeaF⊆X1cerrado. Por hip ´otesis,f(F)⊆ f(F) = f(F). Como la inclusi ´on contraria
siempre es cierta f(F) = f(F)y f(F)es cerrado.
Para acabar, comentaremos una condici ´on suficiente para que una aplicaci ´on continua sea cer-rada, en el contexto de espacios m´etricos.
Teorema 5.6. Consideremos(Xj,dj), j = 1, 2, dos espacios m´etricos, donde(X1,d1)tiene la siguiente
propiedad:”Toda sucesi ´on acotada en(X1,d1)admite una parcial convergente”.
Supongamos que f:(X1,τ[d1]) →(X2,τ[d2])es una aplicaci´on continua satisfaciendo que f−1(A)
es acotado en(X1,d1)para todo A⊆X2acotado en(X2,d2).
Entonces f es una aplicaci´on cerrada.
Dem:SeaF ⊆ X1cerrado en(X1,τ[d1]), y consideremos f(F) ⊆ X2. Para comprobar que f(F) es cerrado en(X2,τ[d2])utilizaremos la caracterizaci ´on del cierre por sucesiones expuesta en el tema anterior. En efecto, tomemos{f(xn)}n∈N ⊆ f(F), donde{xn}n∈N ⊆F, y supongamos que
{f(xn)}n∈N→y0∈X2. Nuestro objetivo es garantizar quey0∈ f(F). Para ello, observemos que el conjunto A = {f(xn) : n ∈ N}es acotado en(X2,d2)por ser la sucesi ´on convergente. De nuestras hip ´otesis f−1(A)es acotado, y en particular la sucesi ´on{xn}
n∈N⊆ f−1(A)es acotada.
Teniendo en cuenta la propiedad de (X1,τ1)en el enunciado del teorema ha de existir una sucesi ´on parcial{xσ(n)}n∈Nde{xn}n∈Nconvergente a un puntox0∈ X1. ComoFes cerrado en (X1,τ[d1])inferimos quex0∈ F. Por otra parte, la continuidad de f y el Teorema 3.1 nos garanti-zan que{f(xσ(n))}n∈N → f(x0). Por la unicidad del l´ımite, f(x0) = y0 ∈ f(F)como quer´ıamos
demostrar.
Corolario 5.7. Consideremos subconjuntos X ⊆ Rn e Y ⊆ Rmdotados ambos de las correspondientes topolog´ıas euclidianas inducidas, donde X se supone cerrado en(Rn,τu). Supongamos que f: (X,τu)→
(Y,τu)es una aplicaci´on continua satisfaciendo que f−1(A)es acotado para todo A⊆Y acotado. Entonces f es una aplicaci´on cerrada.
Dem:Las topolog´ıas(X,τu)e(Y,τu)son metrizables (son las asociadas a la distancia euclidiana
restringida a X eY, respectivamente). Adem´as, por ser X cerrado en(Rn,τu), el Teorema de
Bolzano-Weierstrass nos dice que toda sucesi ´on acotada en Xadmite una parcial convergente. Podemos por tanto aplicar el Teorema 5.6 para concluir que f es cerrada.
• k · k2:(Rn,τu)→(R,τu).
• Cualquier funci ´on polin ´omicaP:(Rn,τu)→(R,τu).
Concluiremos esta secci ´on con la siguiente proposici ´on.
Proposici ´on 5.8. Consideremos apliciones f:(X1,τ1)→(X2,τ2)y g:(X2,τ2)→(X3,τ3). Los
sigu-ientes enunciados son ciertos:
(a) Si f y g son abiertas (resp., cerradas)=⇒g◦f es abierta (resp., cerrada).
(b) Si g◦f es abierta (resp., cerrada) y f es sobreyectiva y continua=⇒g es abierta (resp., cerrada).
(c) Si g◦f es abierta (resp., cerrada) y g es inyectiva y continua=⇒f es abierta (resp., cerrada).
Dem:(a) es trivial por definici ´on.
Probemos (b) en la versi ´on para aplicaciones abiertas (para cerradas la prueba es an´aloga). Supongamos queO ⊆ X2es abierto. Como f es continua tenemos que f−1(O) ∈ τ1, de donde (g◦ f)(f−1(O)) ∈ τ3por ser g◦f abierta. Teniendo en cuenta que f(f−1(O)) = Opor ser f sobreyectiva, inferimos que(g◦f)(f−1(O)) =g(O)∈τ
3, esto es,ges abierta.
Demostremos (c) en su versi ´on para aplicaciones cerradas (para abiertas la prueba es an´aloga). Sea F ⊆ X1un subconjunto cerrado. Por ser g◦ f cerrada tenemos que g(f(F)) es cerrado en (X3,τ3), de donde por sergcontinuag−1(g(f(F)))es cerrado en(X2,τ2). Comoges inyectiva
g−1(g(f(F))) = f(F), de dondef(F)es cerrado en(X2,τ2)concluyendo la prueba.
6. HOMEOMORFISMOS
Los homeomorfismos entre espacios topol ´ogicos materializan la idea de equivalencia o isomor-fismo topol ´ogico. Intuitivamente, dos objetos en un espacio euclidiano son homeomorfos si uno se obtiene de otro tras una deformaci ´on.
Definici ´on 6.1. Una aplicaci ´on entre espacios topol ´ogicos f:(X1,τ1)→(X2,τ2)se dice un
home-omorfismosi f es biyectiva, continua, y la aplicaci ´on inversa f−1:(X
2,τ2)→(X1,τ1)es continua. Dos espacios topol ´ogicos(X1,τ1)y(X2,τ2)se dicen homeomorfos, y escribiremos(X1,τ1) ∼= (X2,τ2), si existe un homeomorfismo f:(X1,τ1)→(X2,τ2).
Veamos algunos ejemplos sencillos de homeomorfismos: • Id :(X,τ)→(X,τ).
• f:(X1,τt)→(X2,τt),f biyectiva.
• f:(X1,τCF)→(X2,τCF), f biyectiva.
• f:(X1,τCN)→(X2,τCN), f biyectiva.
• f:(X1,τd)→(X2,τd),f biyectiva.
• F:(Rn,τu)→(Rn,τu),f(x) =Ax+b, dondeA∈Mn(R)es una matriz regular yb∈Rn.
• (X1,τ1) = (S2,τu),(X2,τ2) = (E,τu), dondeE={(x,y,z) : x2/a2+y2/b2+z2/c2=0}, a,b,c>0, f:(S2,τu)→(E,τu), f(x,y,x) = (ax,by,cz).
Teorema 6.2. Sea f:(X1,τ1)→(X2,τ2)una aplicaci´on biyectiva. Son equivalentes: (a) f es un homeomorfismo.
(b) f es continua y abierta.
(c) f es continua y cerrada.
(d) f(A) = f(A),∀A⊆X1. (e) f(A◦) = f(A)◦,∀A⊆X1.
Dem:(a)=⇒(b) La continuidad de f se sigue de la definici ´on de homeomorfismo. La aplicaci ´on
f es abierta como consecuencia de que f−1es continua y el Teorema 2.3-(b). (b)=⇒(a) La continuidad de f−1se sigue de que f es abierta.
(a)=⇒(c) La continuidad de f se sigue de la definici ´on de homeomorfismo. La aplicaci ´onf es cerrada como consecuencia de quef−1es continua y el Teorema 2.3-(c).
(c)=⇒(a) La continuidad def−1se sigue de que f es cerrada. (a)⇐⇒(d) Se sigue de la Proposici ´on 5.5-(b) y el Teorema 2.3-(d).
(a)⇐⇒(e) Se sigue de la Proposici ´on 5.2-(b) y el Teorema 2.3-(e).
Los homeomorfismos representan la igualdad topol ´ogica, toda propiedad u objeto topol ´ogico dentro de un espacio topol ´ogico tiene su equivalente en cualquiera otro homeomorfo a ´el. La siguiente proposici ´on nos muestra s ´olo algunos ejemplos significativos de ello:
Proposici ´on 6.3. Sea f:(X1,τ1)→(X2,τ2)una aplicaci´on biyectiva. Son equivalentes: (a) f es un homeomorfismo.
(b) τ2= f(τ1):={f(O) : O∈τ1}.
(c) ∀B ⊆τ1base deτ1, f(B):={f(B) : B∈ B}es base deτ2. (d) ∀x∈X1,Ufτ(2x)= f(Uxτ1):={f(U) : U∈ Uxτ1}.
(e) ∀x ∈X1y∀βτx1 ⊆ Uxτ1 base de de entornos de x en(X1,τ1), f(βτx1):={f(V) : βτx1 ∈ βτx1}es base de entornos de f(x)en(X2,τ2).
Dem:(a)⇐⇒(b) Los homeomorfismos son las aplicaciones biyectivas, continuas y abiertas entre espacios, esto es, para las queτ2= f(τ1). La equivalencia es pues trivial.
(b)⇐⇒(c) Los abiertos de una topolog´ıa se generan a partir de los abiertos de cualquiera de sus bases (todo abierto es uni ´on de abiertos b´asicos). La equivalencia se sigue del hecho de que la operaci ´on imagen directa por una aplicaci ´on respeta la uni ´on.
(b)⇐⇒(d) Los abiertos de una topolog´ıa se caracterizan por la propiedad de ser entornos de todos sus puntos. La equivalencia es pues trivial.
(c)⇐⇒(d) Los entornos de un punto en un espacio topol ´ogico se generan a partir de los en-tornos b´asicos de una base de enen-tornos del punto cualquiera (son los subconjuntos que contienen en su interior un entorno b´asico). La equivalencia se sigue del hecho de que la operaci ´on imagen
directa por una aplicaci ´on respeta la inclusi ´on.
La siguiente proposici ´on se muestra en ocasiones muy ´util:
Proposici ´on 6.4. Si f:(X1,τ1)→(X2,τ2)es un homeomorfismo y A⊆X1, entonces F:(A,(τ1)A)→
(f(A),(τ2)f(A)),F(a) = f(a)para todo a∈A, es un homeomorfismo.
Dem:Proposici ´on 2.4-(iii) y Proposici ´on 2.4-(iv) aplicados a f y a f−1implican queF yF−1 son
continuas.
Uno de los conceptos fundamentales de la topolog´ıa es el de invariante topol ´ogico. Se trata aque-llas propiedades de los espacios topol ´ogicos que permanecen invariantes por homeomorfismos. Definici ´on 6.5. SeaP una propiedad l ´ogicamente atribuible a espacios topol ´ogicos. Se dice que Pes uninvariante topol´ogicosi y s ´olo si es cierto el siguiente enunciado:
Si f:(X1,τ1)→(X2,τ2)es un homeomorfismo y(X1,τ1)satisfaceP, entonces(X2,τ2)
Uno de los objetivos de este curso, si no el fundamental, ser´a el presentar algunos invariantes topol ´ogicos. Comentaremos algunos ejemplos sencillos:
• La propiedad ”ser Hausdorff o T2” es un invariante topol ´ogico (trivial por la Proposici ´on 6.3-(d)).
• La propiedad”toda funci´on continua valuada sobre(R,τu)admite un m´aximo”es un
invari-ante topol ´ogico.
La principal utilidad de los invariantes topol ´ogicos es la de establecer que dos espacios no son homeomorfos. Veamos algunos ejemplos que aclaren esta idea.
• (Rn,τ
CF) y(Rn,τu)no son homeomorfos: el primero no es T2 y el segundo s´ı. De he-cho,(X,τCF), dondeXes infinito, no es homeomorfo a ning ´un espacio metrizable por la
misma raz ´on.
• ([0, 1],τu)no es homeomorfo a(]0, 1[,τu): en el primer caso cualquier funci ´on continua f:([0, 1],τu)→(R,τu)admite m´aximo, pero no en el segundo (considerarf:(]0, 1[,τu)→
(R,τu),f(x) =x).
6.1. Homeomorfismos notables. Vamos a presenar algunos de los homeomorfismos b´asicos m´as relevantes, en alg ´un caso con interesante trasfondo geom´etrico. Las topolog´ıas subyacentes en los siguientes ejemplos ser´an siempre las correspondientes topolog´ıas euclidianas inducidas.
6.1.1. Intervalos de la recta real. Todos los intervalos abiertos de la recta real son homeomorfos entre si. En efecto, t´engase en cuenta que:
• f:]0, 1[→]a,b[, f(t) = a+ (b−a)t, es un homeomorfismo con inverso f−1: ]a,b[→]0, 1[,
f−1(s) = 1
b−a(s−a).
• f:]0, 1[→]a,+∞[, f(t) = 1−tt +a, es un homeomorfismo con inversof−1:]a,+∞[→]0, 1[,
f−1(s) = s+s−a1−a.
• f:]0, 1[→]−∞,a[, f(t) = t−t1+a, es un homeomorfismo con inverso f−1: ]−∞,a[→ ]0, 1[,f−1(s) =s−s−a1−a.
• f:]0,+∞[→ R, f(t) = log(x), es un homeomorfismo con inverso f−1:R →]0,+∞[,
f−1(s) =es.
An´alogamente, es posible probar que
• [0, 1]es homeomorfo a[a,b]para todoa<b.
• Los intervalos[a,b[,[a,+∞[,]−∞,a]y a]c,d]son homeomorfos a[0, 1[para cuales quiera
a<b,c<d.
6.1.2. Conjuntos de estructura anular. Para cada subconjuntoJ ⊆ [0,+∞[, denotemos por AnJ := {x∈Rn : kxk
2∈ J} ⊆Rn,n≥2. Se tiene que
AnJ ∼=Sn−1×J={(x,z)∈Rn×R≡Rn+1 : kxk
2=1 yz∈ J}. En efecto, obs´ervese que la aplicaci ´on f: AnJ → Sn−1×J, f(p) = ( p
kpk2,kpk2), y su inversa
f−1: Sn−1×J → An
J, f−1(q,r) = rq, son continuas (usando el Teorema 3.1 es un ejercicio
sen-cillo).
Sih: J1→J2es un homeomorfismo, es f´acil comprobar (por ejemplo, usando de nuevo el Teo-rema 3.1) que la aplicaci ´onF:Sn−1×J1 →Sn−1×J2,F(p,r) = (p,h(r)), es un homeomorfismo tambi´en. Este hecho tiene algunas consecuencias sencillas:
• An[a,b]∼= An[c,d], 0<a<b, 0<c<d. • An]a,b]∼= An]c,d], 0≤a<b, 0≤c<d.
6.1.3. La proyecci´on estereogr´afica. Para cada n ≥ 1, la regi ´on esf´erica Sn − {N}, donde N = (0, . . . , 0, 1)es el polo Norte deSn, y el espacio euclidianoRnson homeomorfos de forma natural. Uno de los homeomorfismos cl´asicos entre estos dos objetos viene dado por la llamadaproyecci´on estereogr´aficade la esfera sobre el hiperplanoHn :={(x
1, . . . ,xn+1) : xn+1= 0}(hiperplano del ecuador) deRn+1. Expliquemos los detalles.
Lo primero, obs´ervese queRn yHnson homeomorfos de forma can ´onica: n ´otese que la apli-caci ´on i :Rn →Hn, i(x) = (x, 0), y su inversa i−1: Hn →Rn, i−1(x, 0) = x, son continuas. En lo que sigueRnyHnse considerar´an naturalmente identificados v´ıa i.
La aplicaci ´on proyecci ´on estereogr´aficaσ: Sn− {N} → Hn ≡Rnobedece a la siguiente con-strucci ´on geom´etrica:
Para cada puntop = (x1, . . . ,xn+1)∈ Sn− {N}, consideramos la semirectaLpcon punto ini-cialNy orientada seg ´un el vectorN p~ = p−N. Por definici ´onσ(p) = Lp∩Hn. Anal´ıticamente,
Lp={(0, . . . , 0, 1) +λ(x1, . . . ,xn+1−1) : λ>0}, de dondeσ(p)es el punto deLppara el valor λ= 1−x1 n+1, esto es, σ(x1, . . . ,xn+1) = ( x1 1−xn+1 , . . . , xn 1−xn+1 , 0)≡( x1 1−xn+1 , . . . , xn 1−xn+1 )∈Rn.
El procedimiento geom´etrico inverso nos dice que para caday= (y1, . . . ,yn)∈Rn, σ−1(y1, . . . ,yn) = 1
1+kyk2 2
(2y1, . . . , 2yn,kyk22−1).
Obviamente ambas aplicacionesσyσ−1son continuas (f´acil comprobaci ´on por sucesiones, Teo-rema 3.1), por lo queσes un homeomorfismo.
6.1.4. La proyecci´on de Mercator. Para cada n ≥ 2, la regi ´on esf´erica Sn− {N,S} (donde N = (0, . . . , 0, 1)es el polo Norte yS= (0, . . . , 0,−1)es el polo Sur deSn) y el cilindron-dimensional
Sn−1×R:={(x,z)∈Rn×R≡Rn+1 : kxk 2=1}
son homeomorfos de forma natural. El homeomorfismo cl´asico entre estos dos objetos viene dado por la llamadaproyecci´on de Mercator.
La proyecci ´on de Mercatorµ:Sn− {N,S} → Sn−1×Robedece a la siguiente construcci ´on geom´etrica:
Para cada punto p= (x,xn+1)∈ Sn− {N,S}, consideramos la semirectaRpcon punto inicial el origen 0 y orientada seg ´un el vector~p. Por definici ´onµ(p) = Rp∩Sn−1×R. Anal´ıticamente,
Rp={λ(x,xn+1) : λ≥0}, de dondeµ(p)es el punto deLppara el valorλ= kxk1
2, esto es, µ(x,xn+1) = (kx xk2, xn+1 kxk2 )∈Sn−1×R. El procedimiento geom´etrico inverso nos dice que para caday∈Sn−1×R,
µ−1(y) = y kyk2
∈Sn− {N,S}.
6.1.5. El hiperboloide y el cilindro. El cilindro C = S1×R ⊆ R3 y el hiperboloide de una hoja
H1 = {(x,y,z) ∈ R3 : x2+y2 = z2+1}son naturalmente homeomorfos. Geometricamente ambos espacios est´an foliados por circunferencias, es m´as, el corte de uno y otro con planos hori-zontalesΠk={(x,y,z)∈R3 : z=k},k∈R, es una circunferencia centrada en el punto(0, 0,z).
Lo ´unico que hay que hacer es aplicar homot´eticamente para cada alturakla circunferencia de radio unoC∩Πken la circunferencia de radio√k2+1H
1∩Πk, homotecia que actua s ´olo sobre
las dos primeras coordenadas y deja la tercera invariante. Anal´ıticamente, f:C → H1, f(x,y,z) = (
√
z2+1x,√x2+1y,z), es una aplicaci ´on biyectiva y continua, con inversa f−1: H
1 → C, f−1(x,y,z) = (√zx2+1, y √ z2+1,z) = ( x k(x,y)k2, y k(x,y)k2,z), tambi´en continua. 7. LATOPOLOG´IAPRODUCTO
La categor´ıa de espacios topol ´ogicos es productiva, lo que traducido a un lenguaje m´as sencillo quiere decir que el producto cartesiano de dos espacios topol ´ogicos soporta de forma natural una topolog´ıa, conocida como topolog´ıa producto. Esta topolog´ıa es can ´onica en el sentido de que es la topolog´ıa menos fina en el producto cartesiano de los espacios que hace a las proyecciones continuas.
Comentemos todos los detalles de esta construcci ´on.
Proposici ´on 7.1. Sean(X1,τ1),(X2,τ2)dos espacios topol´ogicos. Entonces la familia τ1×τ2:={O1×O2 : O1∈τ1, O2∈τ2}
es base de una ( ´unica) topolog´ıaτ(τ1×τ2)en X1×X2.
Dem:Como trivialmente∪O1×O2∈τ1×τ2O1×O2 = X1×X2, lo ´unico que resta demostra es que
dadosO1×O2,O01×O02∈τ1×τ2y un punto(x1,x2)∈(O1×O2)∩(O01×O02), existeO100×O
00
2 ∈ τ1×τ2 tal que (x1,x2) ∈ O100×O002 ⊆ (O1×O2)∩(O01×O20). Basta con elegir O001 ×O002 = (O1∩O10)×(O2∩O02)∈τ1×τ2.
Definici ´on 7.2(Topolog´ıa producto). Dados espacios topol ´ogicos(X1,τ1)y(X2,τ2), la topolog´ıa τ(τ1×τ2)construida en la Proposici ´on 7.1 es conocida comotopolog´ıa producto deτ1yτ2.
El espacio topol ´ogico(X1×X2,τ(τ1×τ2)sera referido como elespacio topol´ogico producto de los
espacios(X1,τ1)y(X2,τ2).
A la hora de trabajar con m´as comodidad con la topolog´ıa producto, es conveniente tener en cuenta la siguiente:
Proposici ´on 7.3. Sean (X1,τ1), (X2,τ2) dos espacios topol´ogicos y (X1×X2,τ(τ1×τ2) el espacio
topol´ogico producto. Los siguientes enunciados son ciertos:
(i) SiBj ⊆ τjes base deτj, j = 1, 2, entoncesB×B2 = {B1×B2 : B1 ∈ B1,B2 ∈ B2}es base de τ(τ1×τ2). (ii) Si(x1,x2) ∈ X1×X2, entoncesUxτ11 × U τ2 x2 = {U1×U2 : U1 ∈ U τ1 x1,U2 ∈ U τ2 x2}es base de entornos de(x1,x2)en(X1×X2,τ(τ1×τ2)).
(iii) Si(x1,x2) ∈ X1×X2yβjxj es base de entornos de xjen(Xj,τj), j = 1, 2, entoncesβ
1
x1×β
2
x2 =
Dem:Probemos (i). TomemosO∈τ(τ1×τ2)y(x1,x2)∈O. Comoτ1×τ2es base deτ(τ1×τ2), existeO1×O2 ∈τ1×τ2tal que(x1,x2)∈O1×O2 ⊆O. Pero al serBjbase deτj, existeBj ∈ Bj
conxj∈ Bj ⊆Oj,j=1, 2, de donde(x1,x2)∈ B1×B2⊆O1×O2⊆O. ComoB1×B2∈ B1× B2 concluimos queB1× B2es base deτ(τ1×τ2).
Demostremos (iii) (el enunciado (ii) es consecuencia inmediata de (iii)). SeaU ∈ Uτ(τ1×τ2)
(x1,x2) un
entorno arbitrario de(x1,x2)en(X1×X2,τ(τ1×τ2)). Por definci ´on de entorno sabemos que ex-isteO∈τ(τ1×τ2)tal que(x1,x2)∈O⊆U. Al igual que el el caso anterior, podemos encontrar
O1×O2 ∈ τ1×τ2 tal que(x1,x2) ∈ O1×O2 ⊆ O ⊆ U. Como xj ∈ Oj ∈ τj inferimos que Oj ∈ Uxτjj, de donde por serβ
j
xj base de entornos dexjen(Xj,τj)podemos encontrarVj ∈ β
j xj tal
queVj ⊆Oj,j =1, 2. Por lo tanto,V1×V2 ∈ β1x1 ×β2x2 yV1×V2 ⊆O1×O2 ⊆O ⊆ U, lo que
prueba el enunciado.
Veamos algunos ejemplos sencillos de esta construcci ´on:
• Si (X1,τ1),(X2,τ2) son espacios topol ´ogicos triviales (esto es, τj ≡ τt topolog´ıa trivial, j=1, 2), entoncesτ(τ1×τ2)es la topolog´ıa trivial enX1×X2. La prueba es directa. • Si (X1,τ1), (X2,τ2) son espacios topol ´ogicos discretos (esto es, τj ≡ τd topolog´ıa
disc-reta, j = 1, 2), entoncesτ(τ1×τ2) es la topolog´ıa discreta enX1×X2. En efecto, dado (x1,x2) ∈ X1×X2, el hecho de que {xj} ∈ τj, j = 1, 2, implica que {x1} × {x2} = {(x1,x2)} ∈τ1×τ2⊆τ(τ1×τ2).
• Si(X1,τ1),(X2,τ2)son espacios topol ´ogicos cofinitos (esto es,τj ≡τCFtopolog´ıa cofinita, j =1, 2), entoncesτ(τ1×τ2)no ha de ser la topolog´ıa cofinita. En efecto, siX1yX2son conjuntos infinitos yOj =Xj−FjdondeFjes finito,j=1, 2, entonces(X1×X2)−(O1×
O2)no es finito (contiene al conjunto infinito(X1×F2)∪(F1×X2)), y por tantoO1×O2 no es abierto cofinito.
• (Rn×Rm,
τ(τun×τum)) = (Rn+m,τun+m). En efecto, para todo(x,y) ∈ Rn×Rmy e > 0, Bn+m
∞ ((x,y),e) = Bn∞(x,e)×Bm∞(y,e), donde Bk∞(p,δ) representa la bola abierta en (Rk,d∞)de centrop∈Rky radioδ>0. Como las bolas abiertas parad
∞son una base de la topolog´ıa euclidiana en cualquiera dimensi ´on, el resultado se sigue de la Proposici ´on 7.3-(i).
Proposici ´on 7.4. Sean (X1,τ1), (X2,τ2) dos espacios topol´ogicos y (X1×X2,τ(τ1×τ2)) el espacio
topol´ogico producto. Consideremos subconjuntos Aj⊆Xj, j=1, 2. Los siguientes enunciados son ciertos:
(i) (A1×A2)◦ =A◦1×A◦2. (ii) A1×A2=A1×A2. (iii) Fr(A1×A2) = (A1×Fr(A2))∪(Fr(A1)×A2). (iv) (A1×A2,τ(τ1×τ2)A1×A2) = A1×A2,τ (τ1)A1×(τ2)A2 .
Dem:Probemos (i). ComoA◦1×A2◦ ∈ τ1×τ2⊆τ(τ1×τ2)yA1◦×A◦2 ⊆ A1×A2, por definici ´on de interiorA◦1×A◦2 ⊆ (A1×A2)◦. Para la otra inclusi ´on, tomemos(x1,x2) ∈ (A1×A2)◦. Esto quiere decir que existeU ∈ Uτ(τ1×τ2)
(x1,x2) tal queU ⊆ A1×A2. Sabemos existeO ∈ τ(τ1×τ2)tal
que(x1,x2)∈O⊆U, de donde al serτ1×τ2base detau(τ1×τ2)deducimos que existeOj ∈τj, j= 1, 2, tal que(x1,x2)∈ O1×O2 ⊆O⊆ U⊆ A1×A2. En particularxj ∈Oj ∈ Aj, de donde xj∈ A◦j,j=1, 2 y(x1,x2)∈ A◦1×A◦2. Esto prueba que(A1×A2)◦⊆ A◦1×A◦2.
Demostremos (ii). Consideremos un punto(x1,x2) ∈ X1×X2, y consideremos la base de entornosUτ1
x1 × Uxτ22 de(x1,x2)en(X1×X2,τ(τ1×τ2)). Tenemos que
(x1,x2)∈A1×A2⇐⇒ ∀U1×U2∈ Uxτ11× U
τ2
⇐⇒ ∀Uj∈ Uxτjj, Uj∩Aj6=∅, j=1, 2⇐⇒xj∈ Aj, j=1, 2⇐⇒(x1,x2)∈A1×A2.
Para comprobar (iii), observemos que Fr(A1×A2) =A1×A2−(A1×A2)◦, de donde usando (i)y (ii) deducimos que Fr(A1×A2) = A1×A2−A◦1×A◦2. ComoAj = Fr(Aj)
· ∪ A◦j, j = 1, 2, tenemos que Fr(A1×A2) = (Fr(A1) · ∪A◦1)×(Fr(A2) · ∪ A◦2)−A◦1×A2◦= = (Fr(A1)×Fr(A2)) · ∪(Fr(A1)×A2◦) · ∪(A◦1×Fr(A2)) = (Fr(A1)×Fr(A2)) · ∪(Fr(A1)×A2◦) ∪ (Fr(A1)×Fr(A2)) · ∪(A◦1×Fr(A2))= = Fr(A1)×(Fr(A2)) · ∪ A◦2) ∪ (Fr(A1) · ∪ A◦1)×Fr(A2)= (Fr(A1)×A2)∪(A1×Fr(A2)). Por ´ultimo, demostremos (iv). Comoτ1×τ2es base deτ(τ1×τ2), sabemos que
B:={(O1×O2)∩(A1×A2) : O1×O2⊆τ1×τ2}
es base de τ(τ1×τ2)A1×A2. Pero es inmediato comprobar que B = (τ1)A1 ×(τ2)A2, ya que
(O1×O2)∩(A1×A2) = (O1∩A1)×(A2∩O2)para todoO1×O2 ⊆ τ1×τ2. Esto es,B es la base natural deτ (τ1)A1×(τ2)A2
, de donde se sigue queτ(τ1×τ2)A1×A2 =τ (τ1)A1×(τ2)A2
.
La topolog´ıa producto satisface una propiedad universal que la caracteriza. Para explicar los detalles, necesitamos presentar las aplicaciones proyecci ´on.
Definici ´on 7.5. Sean(X1,τ1),(X2,τ2)dos espacios topol ´ogicos y(X1×X2,τ(τ1×τ2))el espacio topol ´ogico producto. Lasaplicaciones proyecci´on(o simplementeproyecciones) pj,j = 1, 2, vienen
dadas por las siguientes expresiones:
pj :X1×X2→Xj, pj(x1,x2) =xj,j=1, 2.
Teorema 7.6. Dados(X1,τ1),(X2,τ2)espacios topol´ogicos y el producto topol´ogico(X1×X2,τ(τ1× τ2)), se tiene que:
(a) pj:(X1×X2,τ(τ1×τ2))→(Xj,τj)es continua y abierta, j=1, 2.
(b) Si(X,τ)es un espacio topol´ogico y f:(X,τ)→(X1×X2,τ(τ1×τ2))una aplicaci´on, entonces
f es continua⇐⇒pj◦f es continua, j=1, 2.
(c) Siτes una topolog´ıa en X1×X2tal quepj:(X1×X2,τ)→(Xj,τj)es continua, j=1, 2, entonces
τ(τ1×τ2)⊆τ.
Dem:Probemos (a). Para comprobar que p1 es continua, consid´ereseO1 ∈ τ1 y obs´ervese que p−11(O1) = O1×X2 ∈ τ1×τ2 ⊆ τ(τ1×τ2). Para ver que p1es abierta, consid´erese un abierto b´asicoO1×O2 ∈ τ1×τ2y obs´ervese que p1(O1×O2) = O1 ∈ τ1. An´alogamente se razonar´ıa con p2.
Demostremos ahora (b). La implicaci ´on=⇒)es trivial ya que la composici ´on de aplicaciones continuas es una aplicaci ´on continua.
Probemos⇐=). Dado un abierto b´asicoO1×O2 ∈ τ1×τ2, f−1(O1×O2) = f−1(p−11(O1)∩ p−21(O2)) = f−1(p1−1(O1))∩ f−1(p−21(O2)) = (p1◦ f)−1(O1)∩(p2◦ f)−1(O2). Como (pj◦ f)−1(Oj)∈τjpor la continuidad de pj◦f,j=1, 2, deducimos(p1◦f)−1(O1)∩(p2◦f)−1(O2)∈ τ1×τ2⊆τ(τ1×τ2)y por tanto f es continua.
Por ´ultimo comprobemos (c), que simplemente expresa que la topolog´ıa producto es la menos fina haciendo continuas a las proyecciones. Para probarlo, supongamos queτes una topolog´ıa
enX1×X2tal que pj:(X1×X2,τ) →(Xj,τj)es continua,j=1, 2. TomemosOj ∈ tauj,j=1, 2,
arbitrarios, y observemos que de nuestras hip ´otesis p−j 1(Oj) ∈ τ, j = 1, 2, esto es, O1×X2,
X1×O1∈ τ. Por tanto,O1×O2 = (O1×X2)∩(X1×O1)∈ τ, de donde comoOj ∈τjes
arbi-trario,j =1, 2, deducimos queτ1×τ2 ⊆τ. Comoτ1×τ2es base deτ(τ1×τ2), concluimos que
τ(τ1×τ2)⊆τ.
Este resultado tiene interesantes consecuencias.
Corolario 7.7. Sean(X1,τ1),(X2,τ2)y(X,τ)espacios topol´ogicos y fj:X→Xj, j=1, 2, aplicaciones.
Consideremos la aplicaci´on evaluaci´on
(f1,f2):X→X1×X2, (f1,f2)(x) = (f1(x),f2(x)).
Se tiene que
(f1,f2): (X,τ)→(X1×X2,τ(τ1×τ2))es continua⇐⇒ fj:(X,τ)→(Xj,τj), j=1, 2, son continuas. Dem:=⇒) fj = pj◦(f1,f2)es continua por ser composici ´on de continuas, j = 1, 2; t´engase en cuenta el Teorema 7.6-(a).
⇐=)Como pj◦(f1,f2) = fjes continua,j=1, 2, el resultado se sigue del Teorema 7.6-(b).
Corolario 7.8. Sean(X1,τ1),(X2,τ2),(Y1,τ10)e(Y2,τ20)espacios topol´ogicos y fj: Xj →Yj, j= 1, 2, aplicaciones. Consideremos la aplicaci´on producto
f1×f2: X1×X2→Y1×Y2, (f1×f2)(x1,x2) = (f1(x),f2(x)).
Se tiene que
f1× f2:(X1×X2,τ(τ1×τ2))→(Y1×Y2,τ(τ10×τ20))es continua (abierta)⇐⇒ ⇐⇒ fj:(X1,τ1)→(Yj,τj0), j=1, 2, son continuas (abiertas).
En particular,
f1× f2:(X1×X2,τ(τ1×τ2))→(Y1×Y2,τ(τ10×τ20))es un homeomorfismo⇐⇒ ⇐⇒ fj:(X1,τ1)→(Yj,τj0), j=1, 2, son homeomorfismos.
Dem:Definamos
Fj :(X1×X2,τ(τ1×τ2))→(Yj,τj0), Fj(x1,x2) = fj(xj),
y observemos queFjes continua si y solo si fj es continua,j= 1, 2. En efecto, tomemosO1 ∈ τ10 y observemos queF1−1(O1) = f1−1(O1)×X2. Esto prueba queF1−1(O1) ∈ τ(τ1×τ2)si y solo si
f1−1(O1) ∈ τ1, de donde la continuidad deF1es equivalente a la de f1(analogamente se razona con F2y f2). Por otra parte f1× f2 = (F1,F2), de donde por el Corolario 7.7 la continuidad de
f1× f2es equivalente a la deFj,j=1, 2, esto es, a la de fj,j=1, 2.
Para comprobar el correspondiente resultado para aplicaciones abiertas, t´engase en cuenta que dadoO1×O2∈τ1×τ2, se tiene que
(f1×f2)(O1×O2) = f1(O1)×f2(O2)∈τ(τ10×τ20)⇐⇒ fj(Oj)∈τj0, j=1, 2; t´engase en cuenta que las proyecciones son abiertas y la definici ´on de la topolog´ıa producto.
Para la segunda parte del Corolario, obs´ervese que el producto de aplicaciones biyectivas es una aplicaci ´on biyectiva y(f1×f2)−1= f1−1× f2−1, y t´engase en cuenta lo ya probado.
La construcci ´on del producto topol ´ogico se extiende al caso de una cantidad finita de espacios (e incluso de una infinita, aunque ese caso no lo trataremos aqu´ı).
Nota 7.9. Dados(Xj,τj), j = 1, . . . ,n,n ≥ 2, una familia finita de espacios topol ´ogicos, por un
procedimiento inductivo estandar podemos definir ∏n
j=1Xj,τ(∏nj=1τj)como ( n−1
∏
j=1 Xj)×Xn,τ(τ( n−1∏
j=1 τj)×τn).Salvo la identificaci ´on can ´onica(∏n−j=11Xj)×Xn ≡∏nj=1Xj,((x1, . . . ,xn−1),xn)≡(x1, . . . ,xn−1,xn), la topolog´ıaτ(∏nj=1τj)no es sino la que admite por base a∏nj=1τj={O1×. . .n On : Oj∈τj, j=
1, . . . ,n}
Todos los enunciados probados para el cason=2 admiten una traslaci ´on natural y an´aloga al caso general del producto denespacios. Dejamos los detalles al alumno.
8. TOPOLOG´IA COCIENTE: IDENTIFICACIONES
Una de las construcciones m´as interesantes en Topolog´ıa es la que permite inducir la estructura de espacio topol ´ogico sobre el cociente de un espacio topol ´ogico por una relaci ´on de equivalen-cia. En ocasiones, es com ´un identificar puntos de un espacio o realizar operaciones de pegado en el mismo para generar un objeto nuevo. Sirva como ejemplo intuitivo el caso de una cinta de papel, que tras pegar o identificar puntos sim´etricos de dos de sus bordes paralelos u opuestos proporciona un cilindro. La misma operaci ´on de pegado pero realizando previamente un bu-cle en la cinta genera unacinta de M¨obius. El propio cilindro puede ser sometido a este tipo de procedimientos, si se dobla convenientemente e identifican los c´ırculos opuestos obtenemos un neum´atico (toro topol ´ogico). Son muchas las posibilidades que se nos ocurren para este tipo de operaciones de pegado, por lo que podemos afirma sin temor a equivocarnos que estamos ante una herramienta crucial para la construcci ´on de un gran n ´umero de espacios topol ´ogicos.
Para una mayor flexibilidad a la hora de presentar estas ideas, es apropiado introducir el con-cepto de topolog´ıa final para una aplicaci ´on e identificaci ´on topol ´ogica.
Teorema 8.1. Sean(X,τ)un espacio topol´ogico, Y un conjunto y f:X→Y una aplicaci´on sobreyectiva.
Llamemosτ[f]:={O⊆Y : f−1(O)∈τ} ⊆ P(X). Entonces (a) τ[f]es una topolog´ıa en Y.
(b) τ[f]es la m´as fina topolog´ıa en Y haciendo a f continua.
(c) Dado un espacio topol´ogico(Z,τ0)y una aplicaci´on h: :Y→Z,
h:(Y,τ[f])→(Z,τ0)es continua⇐⇒h◦f:(X,τ)→(Z,τ0)es continua.
Dem:Probemos (a). Comof−1(∅) =∅∈τy f−1(Y) =X∈τ,∅,Y∈τ[f].
SiO1,O2 ∈ τ[f], f−1(Oj) ∈ τ,j = 1, 2, de donde f−1(O1)∩ f−1(O2) = f−1(O1∩O2) ∈ τy
O1∩O2∈τ[f].
Por ´ultimo, si{Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τ[f], por el hecho de que f
−1(O
λ) ∈ τpara todoλ ∈ Λuno deduce que∪λ∈Λf−1(Oλ) = f
−1 ∪ λ∈ΛOλ
∈τ, esto es∪λ∈ΛOλ ∈τ[f].
Demostremos ahora (b). Obviamente, por definici ´on f: (X,τ) → (Y,τ[f])es continua. Sea b
τ cualquier topolog´ıa enY tal que f: (X,τ) → (Y,bτ) es continua. Por continuidad, siO ∈ τb entonces f(O)∈τ, de dondeO∈τ[f]ybτ⊆τ[f].
Para probar (c), observemos queh: (Y,τ[f]) →(Z,τ0)es continua si y s ´olo sih−1(O)∈ τ[f] para todo O ∈ τ0, esto es, si y solo si f−1(h−1(O)) = (h◦ f)−1(O) ∈ τ para todoO ∈ τ0:
t´engase en cuenta la definici ´on deτ[f]. Pero este ´ultimo enunciado es equivalente a decir que
h◦f:(X,τ)→(Z,τ0)es continua.
Definici ´on 8.2. Dados un espacio topol ´ogico(X,τ), un conjuntoYy una aplicaci ´on sobreyectiva
f: X → Y, la topolog´ıa τ[f]del Teorema 8.1 ser´a referida como topolog´ıa final inducida por la aplicaci ´on f enY.
Definici ´on 8.3. Una aplicaci ´on f:(X,τ) →(Y,τ0)se dice unaidentificaci´on topol´ogicasi y solo si
f es sobreyectiva yτ0 = τ[f]. En este caso tambi´en se dice que(Y,τ0)es elespacio identificaci´on asociado al espacio topol ´ogico(X,τ)y a la aplicaci ´on sobreyectiva f: X→Y.
Corolario 8.4. Sean(X,τ)un espacio topol´ogico, Y un conjunto y f:X →Y una aplicaci´on
sobreyec-tiva. LlamemosF[f]:={F⊆Y : f−1(F)∈ F } ⊆ P(X), dondeFes la familia de cerrados en(X,τ).
Entonces
(a) F[f]es la familia de cerrados deτ[f].
(b) Siτ0es una topolog´ıa en Y tal que f:(X,τ)→(Y,τ0)es continua=⇒ F0 ⊆ F[f], dondeF0es la
familia de cerrados deτ0.
Dem:Obs´ervese queτ[f] ={Y−F : F∈ F[f]}y util´ıcese el Toerema 8.1.
Dada una aplicaci ´on sobreyectiva f: X → Y, un subconjunto A ⊆ X se dice f -saturadosi
f−1(f(A)) =A. En ese contexto, siτes una topolog´ıa enXentonces τ[f] ={f(O) : O∈τyOes f-saturado}. La prueba de estos dos enunciados es trivial por definici ´on de identificaci ´on.
Un caso particular especialmente interesante es el de las proyecciones al cociente por una relaci ´on de equivalencia.
Definici ´on 8.5. Sea(X,τ)un espacio topol ´ogico y seaRuna relaci ´on de equivalencia enX. Sean
X/R:={[x] : x∈X}el espacio cociente de las clases de equivalencia deRenXyπ: X→X/R, π(x) = [x], la correspondiente proyecci ´on.
La topolog´ıaτ/R := τ[π]es conocida como latopolog´ıa cocienteasociada aτyR. Tambi´en se dice que(X/R,τ/R)es el espacio topol ´ogico cociente de(X,τ)por la relaci ´on de equivalenciaR.
Obviamente, en las condiciones de la definici ´on anteriorπ:(X,τ)→(X/R,τ/R)es una iden-tificaci ´on. Por tanto, el Teorema 8.1 nos dice que:
Corolario 8.6. Sea(X,τ)un espacio topol´ogico y R una relaci´on de equivalencia en X. Sea(X/R,τ/R)
el espacio topol´ogico cociente yπ:(X,τ)→(X/R,τ/R)la aplicaci´on proyecci´on (identificaci´on).
Entonces
(a) τ/R es la m´as fina topolog´ıa en X/R haciendo aπcontinua. (b) Dado un espacio topol´ogico(Z,τ0)y una aplicaci´on h: :X/R→Z,
h:(X/R,τ/R)→(Z,τ0)es continua⇐⇒h◦π:(X,τ)→(Z,τ0)es continua.
Tal y como se ha presentado el concepto de espacio topol ´ogico cociente, pareciera un caso particular del aparentemente m´as general de espacio identificaci ´on. Sin embargo, los espacios identificaci ´on y los cocientes topol ´ogicos son dos construcciones esencialmente equiparables o equivalentes. Vamos a explicar por qu´e.
Definici ´on 8.7. SeanXeYdos conjuntos, y seaf: X→Yuna aplicaci ´on sobreyectiva. Denotare-mos porRf a la relaci ´on binaria de equivalencia enXdada por:
xRfy⇐⇒ f(x) = f(y).
Denotaremos por bf : X/Rf →Ya la ´unica aplicaci ´on biyectiva satisfaciendo bf◦π = f. Para ser m´as preciso,
b
f :X/Rf →Y, bf([x]) = f(x).
Teorema 8.8. Sea f:(X,τ)→(Y,τ[f])una identificaci´on topol´ogica, y seaπ:(X,τ)→(X/Rf,τ/Rf) la proyecci´on topol´ogica al cociente(X/Rf,τ/Rf).
Entonces bf :(X/Rf,τ/Rf)→(Y,τ[f]), bf([x]) = f(x), es un homeomorfismo.
Dem:Como bf◦π= f es continua,fbes continua por el Corolario 8.6-(b) (o el Teorema 8.1-(c)). Como bf−1◦f =πes continua, bf−1es continua por el Teorema 8.1-(c). El mensaje de este teorema es que, salvo un homeomorfismo (que no es sino la equivalencia topol ´ogica entre espacios) todo espacio identificaci ´on es un espacio cociente. Este resultado es
´util para reconocer algunos espacios cociente como comprobaremos m´as adelante.
Es interesante tener criterios operativos para decidir si una aplicaci ´on es una identificaci ´on. Ese es el objetivo de la siguiente:
Teorema 8.9. Sea f:(X,τ)→(Y,τ0)una aplicaci´on. En cualquiera de las siguientes tres circunstancias
f es una identificaci´on:
(a) f sobreyectiva, continua y abierta.
(b) f sobreyectiva, continua y cerrada.
(c) f sobreyectiva, continua y admite una inversa continua a la derecha (∃g:(Y,τ0)→(X,τ)
sobreyec-tiva y continua tal que f◦g=IdY).
Dem:Demostremos (a). Veamos pues queτ0 =τ[f]. Como f es continua, el Teorema 8.1-(b) nos da queτ0⊆τ[f]. Para la otra inclusi ´on tomemosO∈τ[f], esto es,O⊆Ycon f−1(O)∈τ. Como
f es abierta, f(f−1(O)) ∈ τ0, y por la sobreyectividadO = f(f−1(O)) ∈ τ0. Esto prueba que τ0=τ[f].
Probemos (b). en este caso veamos queF0 = F[f], dondeF0 yF[f]son las familias de
cer-rados en(Y,τ0)y(Y,τ[f]), respectivamente; ver Corolario 8.4. Como f es continua, el Corolario 8.4-(b) nos da que F0 ⊆ F[f]. Para la otra inclusi ´on tomemosF ∈ F[f], esto es, F ⊆ Ycon f−1(F)∈ F, dondeF es la familia de cerrados en(X,τ). Como f es cerrada, f(f−1(F)) ∈ F0, y
por la sobreyectividadF= f(f−1(F))∈ F0. Esto prueba queF0 =F[f].
Por ´ultimo, demostremos (c). Como arriba veamos pues queτ0=τ[f]. Como f es continua, el Teorema 8.1-(b) nos da queτ0 ⊆ τ[f]. Para probar la otra inclusi ´on, tomemosO∈ τ[f], esto es,
O⊆Ycon f−1(O) ∈τ. Comoges continua,g−1(f−1(O)) = (f ◦g)−1(O) ∈τ0, de donde al ser
f ◦g=IdYdeducimos queO∈τ0. Esto prueba queτ0=τ[f].
Como complemento al Teorema 8.9, ofrecemos el siguiente corolario.
Corolario 8.10. Consideremos(Xj,dj), j=1, 2, dos espacios m´etricos, donde(X1,d1)tiene la siguiente
propiedad:”Toda sucesi ´on acotada en(X1,d1)admite una parcial convergente”.
Supongamos que f:(X1,τ[d1])→(X2,τ[d2])es una aplicaci´on sobreyectiva y continua satisfaciendo
