ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: SEXTO
ESTUDIANTE:
Para cualquier duda, asesoría u orientación sobre el desarrollo de la guía, favor comunicarse:
DOCENTE GRADO CELULAR
LUZ DARY CIFUENTES S. 6-1, 6-2, 6-3 Y 6-4 J.M 3138322651
PILAR HUERTAS 6 -1, 6 -2 J.T 31345162 54
JHON JAVIER TORRES 6 -3 J.T 3138685973
META DE COMPRENSIÓN:
Identificar los números enteros y resolver operaciones básicas a partir de la guía de forma correcta.
DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:
Representa el conjunto de los números enteros en la recta numérica y establecer la relación de orden.
Realiza operaciones básicas con números enteros.
Aplica el concepto de potenciación y su relación con las operaciones inversas. (radicación).
EXPLORACIÓN: ¿Cuánto sabes?
1. Tomando como referencia el año de tu nacimiento, ubica algunos acontecimientos importantes que hayan pasado antes y después de tu nacimiento, utilice el signo menos y el signo más para representar estas cantidades.
a. ¿De qué depende que se escriba una cantidad a la derecha o izquierda del cero? b. Compara dos números que corresponden a fechas de acontecimientos de tu vida
indicando cual es el mayor.
2. Un cuerpo se desplaza cuando al moverse cambia de posición. En la recta, un cuerpo A se encuentra en la posición “0”, se mueve hacia la izquierda cinco posiciones y luego nueve posiciones hacia la derecha. Después de estos dos desplazamientos.
a. ¿en qué posición se encuentra el cuerpo?
SABIAS QUE…
En los números Naturales no existe ningún número que al sumarle 3 fuera igual a 2. Por lo tanto, los matemáticos se vieron en un aprieto y en la necesidad de crear un nuevo sistema de números, donde existieran números negativos, como, por ejemplo -1, que al sumarle 3 nos diera 2, es decir debo 1 y tengo 3 me quedan 2.
De esta manera surgieron los números enteros.
ESTRUCTURACIÓN Y PRÁCTICA:
CONCEPTO: Para realizar la ampliación de los números naturales, se introducen los números enteros negativos, los cuales resultan útiles para describir ciertas situaciones, tales como el registro de deudas, temperaturas bajo cero, años antes de Cristo (a.c), entre otras.
Los números enteros negativos se escriben anteponiendo el signo menos a cada número natural, por Ejemplo -5, -8, -12, son números enteros negativos. El conjunto de los números enteros negativos se simboliza así Z¯.
El conjunto de los números enteros positivos está formado por los números naturales y se simboliza así Z+.
El conjunto de los números enteros está formado por los Z+, los Z¯ y el cero que es único número que no se considera negativo o positivo. Los números enteros se simbolizan con
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la letra Z y se determina de la siguiente manera: Z= {Z¯ꓴ Z+ꓴ {0} }.
Al determinarlo por extensión se tiene que: Z = {…, -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, 5,.. }
Ejemplo 1: En el siguiente caso, me han pagado una de deuda de $120.000 este es un Z positivo ya que cuento con ese dinero ($120.000). Si fuera lo contrario que tengo una deuda de $120.000 este sería un Z negativo, ya que no cuento con el dinero, pero si lo debo ($ -120.000).
ACTIVIDAD: 1
1. Escribe un número entero que represente cada situación.
a. Un submarino se encuentra a 1500 metros de profundidad.
b. El 21 de enero se registró una temperatura de 4° bajo cero en la ciudad de Bogotá c. El submarino se encuentra sobre el nivel del mar.
d. El avión está a una altura de 2500 metros. e. Ocurrió 300 años antes de Cristo.
2. Teniendo en cuenta los conceptos anteriores determina cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Los números enteros son un conjunto numérico.
b. El conjunto de los números N es un subconjunto de los números Z.
c. Los números N son los Z negativos. (recuerde que N son Naturales y Z son enteros) d. El cero es un Z positivo.
e. En los números N no se pueden realizar restas en las que el sustraendo es mayor que el minuendo.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA:
Los números Z se pueden representar en la recta numérica así:
Primero se ubica un punto sobre la recta al cual se le hace corresponder el cero.
Luego a partir de este punto se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la derecha como a la izquierda.
Por último, a cada marca se le asigna un número Z, a la derecha del cero Se ubican los Z+ y a la izquierda del cero los Z¯.
En la recta numérica los números Z están organizados en forma creciente de izquierda a derecha. Esto permite determinar su sucesor y el antecesor de un número Z.
Ejemplo: ubica en la recta numérica los siguientes números enteros 5, 0, 7, 4, 3, 8, 1, -2, 6. Se marcan en la recta los números dados y se dejan los espacios de los que no están indicados, los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Los números Z señalados en la recta son los que están con un punto para los demás dejamos el espacio o se coloca el número así:
ACTIVIDAD:2
1. Elabora una recta numérica para cada enunciado.
a. Ubica en la recta numérica los números que están a la derecha de 4. b. Ubica en la recta numérica los números que están a la izquierda de 2. c. Ubica en la recta numérica los números que están entre -5 y 4.
d. Ubica en la recta numérica los números que están a la izquierda de 0.
e. Una persona se encuentra en la posición cero y se desplaza tres posiciones a la derecha, luego tres posiciones a la izquierda y por último cuatro posiciones a la derecha.
¿en qué posición quedó la persona? ¿Cuánto se desplazó?
NÚMEROS OPUESTOS: Dos números son opuestos cuando están a la misma distancia de Cero y tienen signos diferentes.
Ejemplo 1: 8 y - 8 son números, opuesto, pues la distancia de cada uno de ellos a cero es 8 unidades.
Ejemplo 2. Así mismo, el opuesto de - 4 es 4. Debido a que el opuesto de - 4 también se puede representar como –(- 4), Se tiene que - (- 4) = 4. Ya que la distancia de cada uno de ellos a cero es de 4 espacios.
ACTIVIDAD: 3
1. Determina el opuesto de los siguientes números.
a.17 b. -384 c. -x d. – (- 9) e. 13
2. Ubica cada uno de los siguientes números con su opuesto en una misma recta numérica. Luego, determina cuantos números Z hay entre Cada número y su opuesto. a. 2 b. -3 c. - 5 d. 8
VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número entero corresponde a la distancia que hay desde cero hasta la ubicación del número indicado. Para notar el valor absoluto de un número se escribe / a / y se lee valor absoluto de a.
Ejemplo 1: el valor absoluto de /-7/ es 7. Ya que de cero a – 7 hay siete espacios. Ejemplo 2: el valor absoluto de / 15 / es 15. Ya que de cero a 15 hay quince espacios.
ACTIVIDAD: 4
1. Calcular el valor absoluto de los siguientes números.
a. / 24 / b. / - 34 / c. / 0 / d. - /- 14 / e. / - x /
RELACIÓN DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS:
¿Cuánto sabes?
Cuál de los siguientes números enteros es mayor - 3 y 3. Justifica tu respuesta.
Sabias que cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.
Dados dos números a, b Є a los Z se pueden presentar entre ellos solamente una de las siguientes relaciones:
a < b Si a esta a la izquierda de b. a > b Si a esta a la derecha de b.
a = b Si en la recta numérica a y b se encuentran ubicados en el mismo punto.
Un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está situado más a la derecha sobre la recta numérica.
De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está situado a la izquierda sobre la recta numérica.
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Ejemplo 1: Para las siguientes parejas de números determina la relación es mayor que:
a. - 5 y – 2 b. -1 y 0 c. 2 y 4
Solución: a. – 5 < - 2 Es Mayor - 2 por estar a la derecha de - 5 b. 0 > -1 Es mayor 0 por estar a la derecha de - 1
c. 4 > 2 Es mayor 4 por estar a la derecha de 2
ACTIVIDAD: 5
1. Escribe el signo >, < o = según corresponda:
a. -7 ______ -12 b. – 2 _____2 c. – 5 _____ -3 d. 13______13 e. -3_______0 f. -22_______4 g. – 15 _____ -25 h. – 35 ______ -35
2. escribe los números que cumplen la condición dada.
a. Mayores que 3 y menores que 10 b. Mayores que – 7 y menores que 12. c. Menores que 5 y mayores que 1.
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 15, 24, - 35, 8, - 16, 104, - 40, 60, - 50, 1, 0, 38.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Adición de números enteros: Para sumar números enteros se debe tener en cuenta los siguientes casos.
Caso 1: Suma de números Z con el mismo signo: Se suman los valores absolutos y el resultado conserva el mismo signo.
Ejemplo 1: 3 + 5 = 8 El resultado es positivo porque los dos sumandos son positivos.
Ejemplo 2: (−3) + (−5) = − 8 El resultado es negativo porque los dos sumandos son negativos.
Caso 2: Suma de números Z con distinto signo: Se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo1: − 3 + 5 = 2 El resultado es positivo ya que 5 es el mayor valor absoluto y es positivo.
Ejemplo 2: - 9 + 6 = - 3 El resultado es negativo ya que 9 es el mayor valor absoluto y es negativo.
Sustracción de números enteros: La diferencia de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (- b)
Ejemplo 1: 7 – 9 = - 2 ya que 7 + (- 9) = - 2 La sustracción termina convirtiéndose en una suma.
Ejemplo 2: ( -15) - 8 = - 23 ya que ( -15) +( - 8) = - 23 Ya que se convirtió en una suma de enteros del mismo signo.
Minuendo
Sustraendo
Ejemplo 3: 7 − (−5) = 7 + 5 = 12 Ya que el sustraendo paso a ser positivo.
Multiplicación de números enteros: La multiplicación de dos o más números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se tiene de la aplicación de la ley de los signos. Ley de los signos de la multiplicación
+ x + = + – x – = + – x + = – + x – = –
Ejemplo1: 2 • 5 = 10 En este caso el producto es positivo ya que los dos factores tienen igual signo.
Ejemplo 2: ( --5) • 4 = - 20 En este caso el producto es negativo porque los factores tienen diferente signo.
x 5 = 30 6 x (– 5) = – 30 (– 6) x 5 = – 30 (– 6) x (– 5) = 3
División de números enteros: Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.
Ley de los signos de la división
+ ÷ + = + – ÷ – = + – ÷ + = – + ÷ – = –
Considerando la división como la operación inversa de la multiplicación, obtenemos los siguientes resultados: 30 ÷ 5 = 6 (– 30) ÷ (– 5) = 6 (– 30) ÷ 5 = – 6 30 ÷ (– 5) = – 6
Esta regla, como se puede observar, es la misma que la regla de los signos de la multiplicación.
Ejemplo1: (+12) ÷ (+3) = +4 En este caso el cociente es positivo porque el dividendo y el divisor tienen el mismo signo.
Ejemplo2: (+12) ÷ ( -3) = - 4 En este caso el cociente es negativos porque el dividendo y el divisor tienen signos diferentes.
Ejemplo 3: (-12) ÷ (-3) = +4 Es positivo porque el dividendo y divisor tienen el mismo signo.
ACTIVIDAD 6:
1. Resuelve las siguientes operaciones con números enteros(Z).
a. 3 − 5 = b. − 2 + 9 = c. − 6 − 3 =
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Emergencia sanitaria COVID 19 - 1° PERIODO 2021 | d. 7 − 10 = e. 8 − (− 3) = f. − 2 + (− 5) = g. − 3 − (− 2) = h. 4 + (− 2) = i. 3 x (− 2) = j. − 5 x (− 4) = k. 0 x (− 3) = l. − 1 x (− 5) = m. 100 ÷ (− 20) = n. − 60 ÷ (− 10) = o. − 4 ÷ 2 =
POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS (Z)
La potencia de un número entero con exponente un número natural, es igual a multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como indique el exponente, cuyo valor absoluto es el valor de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas.
3
2= 9
Las potencias de exponente par son siempre positivas.
Ejemplo 1: Ejemplo 2: - 52 =25 Ejemplo 3: - 34 = 81
Ejemplo 4: 24 = 16
Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Ejemplo 1: - 33 = - 27 Ejemplo 2: (−2)3 = - 8 Ejemplo 3: 43 = 64
No hay ninguna dificultad. Únicamente debemos tener cuidado al multiplicar los signos negativos. (− 2)1 = − 2 (− 2)2 = (− 2) ⋅ (− 2) = 4 (− 2)3 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = − 8 (− 2)4 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = 16 (− 2)5 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = − 32
RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que, dados dos números, llamados radicando el índice, debemos hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
Base
Exponente
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
Ejemplo 1: √25 = 5 porque 5 x 5 = 25 Ejemplo 2: √3 = 9 porque 3x3 =9 Ejemplo 3: √49 = 7 porque 7x7 = 49
En la raíz cubica el índice es 3, en este caso debemos colocar el número. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: √273 = 3 por que 3x3x3 = 27
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: √1253 = 5 por que 5x5x5 = 125 ACTIVIDAD: 7
1. Halla las siguientes potencias.
a.
(− 2)2 =b.
(− 3)3 =c.
(1)4 =d.
(− 20)0 =e.
(4)3 =f.
(5)4=g.
(− 2)4 =2. Halla las siguientes raíces. a. √83 = b. √643 = c. √81= d. √36= e. √273 = TRANSFERENCIA Y VALORACIÓN
1. Leer y comprender el contenido de cada uno de los temas expuestos en la guía. 2. Desarrollar de manera ordenada cada una de las actividades propuestas, en el
cuaderno de matemáticas (hay siete actividades las cuales pertenecen a cada tema).
