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ESTUDIANTE: ________________________________________________________ “Para cualquier asesoría u orientación sobre el desarrollo de la guía, favor comunicarse al siguiente número telefónico, según el curso y docente que le corresponda.”
NOMBRE DOCENTE CURSO JORNADA TELEFONO
JOSE ALBERTO RUEDA ROJAS 8º (1,2,3) TARDE 3223507682
YOLANDA COY 8º (1) MAÑANA 3213025431
BERTHA RANGEL LEON 8º (2,3,4) MAÑANA 3118681911 META DE COMPRENSIÓN:
Resolver problemas propuestos usando propiedades y relaciones de los números reales a partir de explicaciones o talleres.
DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:
Identifica el conjunto de los números reales y los localiza en la recta numérica. Realiza operaciones y resuelve problemas con números reales.
Aplica el teorema de Pitágoras para hallar los lados de un triangulo rectángulo. EXPLORACIÓN:
EJEMPLO
Para representar √2 en la recta numérica se siguen estos pasos:
• Se construye un cuadrado de lado 1 sobre la recta numérica, entre el número 0 y el número 1 y se obtiene la diagonal 𝑑 = √1 + 1 = √2.
• Se hace un arco con centro en 0 y radio igual a la diagonal. La distancia entre el punto de corte y el 0 es √2
Usa la regla y el compás para representar estos números en la recta numérica. • √7
• √10 • -√10 • √11
ESTRUCTURACIÓN Y PRÁCTICA:
El conjunto de los numero reales (R) está formado por todos los números racionales e irracionales; es decir R=QUI. Además, a cada numero real le corresponde un punto en la recta numérica.
NUMEROS RACIONALES
El conjunto de los números racionales (Q) es el conjunto de números que se pueden escribir de la forma 𝑎
𝑏, donde 𝑎 𝑦 𝑏 son números enteros con 𝑏 ≠ 0. ORDEN EN LOS NUMEROS RACIONALES.
Dados dos números racionales 𝑎 𝑏𝑦
𝑐
𝑑, se puede establecer una de estas relaciones: 𝑎 𝑏> 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏< 𝑐 𝑑
Para comparar números racionales, se buscan fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador. Luego, se comparan los numeradores.
EJEMPLO:
Para comparar −3 5 y −
7
10, se buscan fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador. Estas son: − 6
10 y − 7 10. Como -6>-7, entonces − 6 10> − 7 10. Por lo tanto, − 3 5> − 7 10.
EXPRESION DECIMAL DE UN NUMERO RACIONAL
La expresión equivale a la división del numerador entre el denominador de una fracción. Expresión decimal Características ejemplo
Exacta Tiene un numero finito de cifras decimales. Equivale a una fracción decimal, es decir, una con denominador 10 o una potencia de 10.
9 2= 4,5 Periódica pura Su parte decimal esta formada por un
grupo de cifras que se repite indefinidamente. Ese grupo se llama periódico.
10
3 = 3,33 … = 3, 3̂ Periódica mixta Su parte decimal está formada por un
grupo de cifras que no se repite y un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El grupo que no se repite se llama ante periodo.
25
6 = 4,166 … = 4,16̂
EJEMPLO:
Al calcular la expresión decimal de los números −5 4, 7 3, 17 6 Se encuentra lo siguiente: −5 4= −1,25 7 3= 2,333 … 17 6 = 2,8333 … De lo anterior se deduce que estas expresiones decimales son:
−5 4= −1,25 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 7 3= 2,333 … 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑎 17 6 = 2,8333 … 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎 EJERCICIOS:
1. Halla la expresión decimal de los números que están en las casillas y colorea según la clave dada. 1/6 -3/5 -5/9 23/6 13/9 1/2 5/2 -7/3 2/3 4/5 33/8 1/3 1/5 1/4 1/9 -72/7 43/6 25/9 -7/5 5/8
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• Colorea de azul las casillas que tengan fracciones cuya expresión decimal sea exacta.
• Colorea de verde las casillas que tengan fracciones cuya expresión decimal sea periódica pura.
• Colorea de rojo las casillas que tengan fracciones cuya expresión decimal sea periódica mixta.
2. El rio Bogotá arroja diariamente al Magdalena, alrededor de 79/1000 de toneladas de plomo, 184/9 de toneladas de hierro, 52/10 de toneladas de detergente y 133/90 de toneladas de desechos sólidos. ¿Cuál de estos desechos contamina más el rio? NUMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMERICA
Para representar un racional en la recta numérica, se dividen las unidades en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador.
EJEMPLO
Par representar el numero racional -2,7 en la recta numérica primero se ubican los números enteros entre los cuales se encuentra el numero dado; es decir, -3 y -2. Luego, para ubicar las decimas se divide la unidad en diez partes iguales y se cuentan siete de estas partes comenzando en el -2.
EJERCICIO:
3. Indica el número racional que representan los puntos indicados en cada figura.
NUMEROS IRRACIONALES.
Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como razones entre dos números enteros y tiene como característica que su expresión decimal es infinita no periódica. Este conjunto se representa con el símbolo I.
NUMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA. A cada numero irracional le corresponde un número en la recta. EJEMPLO
Para representar √2 en la recta numérica se siguen estos pasos:
• Se construye un cuadrado de lado 1 sobre la recta numérica, entre el número 0 y el numero 1 y se obtiene la diagonal 𝑑 = √1 + 1 = √2.
• Se hace un arco con centro en 0 y radio igual a la diagonal. La distancia entre el punto de corte y el 0 es √2
Este procedimiento se puede aplicar para representar los números √3, √4 entre otros.
EJERCICIO:
4. Ubica en la recta numérica y establece la relación de orden entre ellos. 2𝜋; −1,3; 1
3; √2; −√3; 1,4 ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES. El conjunto de los números reales es ordenado.
Los símbolos <, >, ≤ 𝑦 ≥ llamados respectivamente menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que, definen las relaciones de orden en el conjunto de los números reales.
• 𝑈𝑛 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑎 > 𝑏 , 𝑠𝑖 𝑎 − 𝑏 < 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑎 − 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑏 < 𝑎. • 𝑢𝑛 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏.
• 𝑢𝑛 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑠𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏.
Gráficamente, un número real a es menor que otro si esta a la izquierda de b en la recta numérica.
EJEMPLO
El numero 89 es menor que 37, porque se encuentra a la izquierda de este y se escribe -89 < -37.
Página 5 de 6 EJERCICIOS:
5. Expresa en forma decimal los siguientes números, después, determina su orden de menor a mayor.
√3 1
5 −2
3 − 2 6. Emplea los signos <, > o = según corresponda.
A. 3 17 2 B. 4 𝜋 C. √7 √10
7. Si en venus y en la luna la gravedad es 0,87 y 1/6 de la gravedad en la tierra, respectivamente en donde es mayor la gravedad, en venus o en la luna?
8. Determina la longitud de una circunferencia y redondea el resultado a la unidad, la décima y la centésima. Ten en cuenta que 𝐿 = 2𝜋𝑟.
9. Una rueda tiene un diámetro de 15 cm y recorre un camino recto a velocidad constante. Completa la tabla con la distancia recorrida al completar el número de giros.
Giros 3 5 8 9 10
Distancia
TEOREMA DE PITAGORAS
En todo triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados dos lados son los catetos.
El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
EJEMPLO
Para calcular la longitud de la hipotenusa en el triángulo de la figura se aplica el teorema de Pitágoras como se indica:
ℎ2= (12𝑚)2+ (5𝑚)2 ℎ2= 144𝑚2+ 25𝑚2 ℎ2= 169𝑚2 ℎ = √169𝑚2 ℎ = 13𝑚 EJERCICIOS:
10. Halla las hipotenusas en los triángulos rectángulos.
11. Una escalera de 4 m de longitud se ubica a 1,5 m de distancia de la pared. La distancia desde el suelo hasta la parte superior de la pared es 4 m. ¿alcanza la escalera la parte superior de la pared?
TRANSFERENCIA Y VALORACIÓN ( Realiza cada uno de los ejercicios propuestos después de cada ejemplo y por ultimo realiza los ejercicios 12,13,14)
12. Indique cuáles axiomas de los reales se usaron para realizar las siguientes operaciones:
a) 3+(2+1)=(3+2)+1 b) 2(3+4)=2(3)+2(4)
13. Simplifique usando el orden de las operaciones. a) [ 2 + (2 − 3)] (2)
b) [2⋅ 3 − 3⋅ 22]2
14. Simplifique: a) −[−2 − (−3)] b) −3 −5
