TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEJOS
Y
ÁLGEBRA LINEAL
CON APLICACIONES
Material de Apoyo para el Curso de
Matemáticas IV
M. en C. Antonio Silva Martínez
2007
2 INTRODUCCIÓN
Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas IV, del plan de estudios DGEST 2004 de la carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Números Complejos y Álgebra Lineal, resultado del compromiso profesional hacia la institución para una sólida formación académica de los estudiantes en Ingeniería Electrónica.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detallado para la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparado este nuevo trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios prácticos de circuitos eléctricos estables. Complementándose este trabajo con ejercicios de práctica para el estudiante y sus respuestas a los impares. Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las bases cognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenos electrónicos mediante esta importante herramienta.
Para la compilación de este trabajo se ha contado con la valiosa ayuda de Lobsang Javier Mendoza Licea y César Martín García Prado, egresados de la carrera de Ingeniería Electrónica, quienes se han dado la tarea de revisar minuciosamente los ejemplos y ejercicios propuestos en este problemario, para una mejor calidad y aprovechamiento del mismo por parte de los alumnos.
Finalmente, este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte de los profesores y estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ DOCENTE DE LA DIVISIÓN
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
3 TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página 1. Números Complejos
1.1 Origen de los números complejos. 1.2. Los números complejos y su Algebra.
1.2.1 Operaciones elementales con números complejos.
1.2.2 Conversión de forma rectangular a forma polar de un numero complejo
1.2 Ejemplos 1.2 Ejercicios
1.3 Potencia real de un número complejo. 1.3 Ejemplos.
1.3 Ejercicios.
1.4 Raíces de un número complejo. 1.4 Ejemplos. 1.4 Ejercicios. 1.5 Logaritmo complejo. 1.5 Ejemplos. 1.6 Exponencial compleja. 1.6 Ejemplos. 1.6 Ejercicios. 5 6 7 7 8 13 14 15 19 20 21 24 25 27 30 31 34 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.1 Introducción a los sistemas de Ecuaciones Lineales.
2.2 Interpretación geométrica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales en R2 2.2.2 Sistemas de ecuaciones lineales en R3
2.3 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales “Eliminación de Gauss”.
2.3 Ejemplos. 2.3 Ejercicios.
2.4 Eliminación por “Gauss-Jordán”. 2.4 Ejemplos.
2.4 Ejercicios.
2.5 Aplicaciones. Circuitos Eléctricos (redes) 2.5 Ejemplos. 2.5 Ejercicios. 35 36 36 38 40 40 45 46 47 49 51 52 58
4 3. Matrices y Determinantes.
3.1 Introducción.
3.2 Operaciones con matrices. 3.2.2 Multiplicación de matrices. 3.2 Ejemplos. 3.2 Ejercicios. 3.3 Clasificación de Matrices. 3.4 Matriz inversa. 3.4 Ejemplos. 3.4 Ejercicios.
3.5 Determinante de una matriz. 3.6 Propiedades de los determinantes. 3.6 Ejemplos.
3.6 Ejercicios.
3.7 Adjunta de una matriz. 3.7 Ejemplos.
3.7 Ejercicios. 3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa.
3.8 Ejemplos. 3.8 Ejercicios.
3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer. 3.9 Ejemplos. 3.9 Ejercicios. 59 59 60 62 65 66 70 73 77 78 80 82 85 86 88 93 94 95 100 101 102 106 4. Espacios Vectoriales 4.1 Definición 4.1 Ejemplos 4.1 Ejercicios 4.2 Subespacios Vectoriales 4.2 Ejemplos 4.2 Ejercicios 4.3 Independencia lineal 4.3 Ejemplos 4.3 Ejercicios 4.4 Bases vectoriales 4.4 Ejemplos 4.4 Ejercicios 4.1.1 Cambio de Base 4.1.1 Ejemplos 4.1.1 Ejercicios 107 108 113 115 115 123 124 124 126 127 127 130 131 134 143 5. Transformaciones 5.1 Transformaciones Lineales 5.1 Ejemplos 5.1 Ejercicios
6. Apéndice. Algebra Lineal con Scientific Word Place (Versión 5.0)
145 147 154 156
5 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardaco, en un tratado monumental acerca de la solución de la ecuación cúbica y cuártica titulado Ars Magna. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedich Gauss les dio el nombre actual y las utilizó para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero. En esta sección se explorarán las propiedades de los números complejos y sus operaciones elementales, Además de algunas funciones con valores complejos, que en la teoría de funciones de una variable compleja extiende los conceptos del cálculo al plano complejo y por consiguiente la derivación y la integración complejas adquieren una nueva profundidad y elegancia, y por lo tanto la naturaleza bidimensional del plano complejo produce muchos resultados útiles en Matemáticas Aplicadas en la Ingeniería. En particular a la Ingeniería de Circuitos Eléctricos Transitorios y Análisis de Señales, simplificando notoriamente los cálculos que llevan a la interpretación de su comportamiento.
6 1.2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA
Un número complejo es un número de la forma a bi donde a y b son números reales e i es un símbolo con la propiedad de que 2 1
i . El número real a se considera como un tipo especial de número complejo, de razón de que a a0i. Si Z abi es un número complejo, entonces la parte real de Z denotada por Re
Z es a y la imaginaria de Z denotada por Im z es b. Dos números complejos a bi
y c di son iguales si sus partes reales e imaginaria son iguales, es decir si,
c
a y b d. Un número complejo a bi puede identificarse con el punto
a,bgraficado en un plano, denominado plano complejo o plano de Argand., como se muestra en la siguiente figura. En el plano complejo, el eje horizontal se le conoce como el eje real, mientras que el eje vertical se conoce como eje imaginario.
Figura 1.2 Representación de un número complejo z en el plano complejo
Re z = a + i b
a b
7 1.2.1 OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números complejos
i b a
Z1 1 1 y Z2 a2 b2idan como resultado un número complejo y se definen de la siguiente manera:
i a a b a b a a a b b a a i b a i b a i b a i b a Z Z iv i a b b a b b a a Z Z iii i b b a a Z Z ii i b b a a Z Z i 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 En otras palabras, al sumar o restar dos números complejos simplemente se suman o se restan las partes reales y las imaginarias correspondientes. Para multiplicar dos números complejos aplicamos la ley distributiva y el hecho de que
1
2
i . Finalmente, para el cociente de dos complejos se aplica la regla del binomio conjugado.
1.2.2 CONVERSION DE FORMA RECTANGULAR A FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea: i b a Z1 1 1 De donde: 1 1 1 2 1 2 1 1 a b tg b a Z Entonces:
Forma Polar de un Número Complejo:
1
1 Z
8
Z Cos iSen Z
1.2 EJEMPLOS. Realizar las siguientes operaciones con los números complejos que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
Donde: 4 2 3 1 3 4 2 1 3 Z Z ) d Z Z ) c Z Z ) b Z Z ) a 2 3 1 1 4 3 3 1 ) )( ) ) Z Z Z g Z Z Z f Z Z e i Z i Z i Z i Z 7 4 3 1 7 2 3 4 2 3 4 3 2 1 Forma rectangular: i i i i i i i i Z Z d i i i i i i Z Z c i i i i Z Z b i i i i Z Z a 3 16 7 19 21 76 7 12 7 16 3 4 ) 7 4 ( * ) 3 4 ( ) 3 1 ( * ) 3 4 ( ) 7 4 3 1 ( * ) 3 4 ( ) 13 11 ) 7 6 ( ) 2 9 ( ) 7 2 ( ) 6 9 ( ) 7 2 ( ) 2 3 ( 3 3 ) 7 53 3 7 ) 7 7 4 ( ) 2 3 1 ( ) 7 2 ( ) 7 4 3 1 ( ) 7 ) 3 2 ( ) 4 3 ( ) 3 4 ( ) 2 3 ( ) 4 2 3 1 3 4 2 1
9 i i i i Z Z Z i i i i i i i i i Z Z Z g i i i i Z Z Z i i i i i i i i i i i i i i i i i i Z Z Z f i i i i i i i i i i i i i Z Z e 22 4 ) 3 25 ( ) 4 8 ( 3 4 25 8 ) ( 25 8 ) 21 4 ( ) 14 6 ( 14 21 4 6 ) 7 2 ( * ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 7 2 ( * ) 2 3 ( ) ( ) ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 4 ) ( * ) ( ) ( * ) 7 2 ( ) 2 3 ( 7 2 ) 53 17 53 20 49 4 21 4 14 6 49 14 14 4 14 21 4 6 ) 7 2 ( * ) 7 2 ( ) 7 2 ( * ) 2 3 ( 7 2 2 3 ) 2 3 1 2 3 1 193 139 193 1479 193 525 193 2058 193 525 193 2058 1 4 3 193 525 193 2058 441 193 21 25 441 193 3 14 441 193 21 25 3 14 441 193 21 25 3 14 21 4 21 4 49 16 9 1 7 8 3 7 3 2 49 16 21 4 21 4 9 1 7 8 3 7 3 2 7 4 3 1 7 4 3 1 7 4 3 1 7 4 3 1 1 3 3 1
10 Forma polar:
0 7 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 07 . 8 . 1418 . 0 50 1 49 ) 1 ( ) 7 ( 7 ) 3 4 ( ) 2 3 ( ) rads tg Z Z Z i Z Z i i Z Z a 3.1416 rads 0 180 -0.1418 rads 0 07 . 8
50 Z 0.1418rads. 0 3 7 7 53 1 2 2 3 4 87 . 72 . 2718 . 1 92 . 7 7 53 3 7 7 53 3 7 ) 7 2 ( ) 7 4 3 1 ( ) rads tg Z i i i Z Z Z b
Forma polar: 92 . 7 Z 1.2718 rads
0 1 2 2 3 1 76 . 49 8685 . 0 11 13 02 . 17 13 11 13 11 3 ) rds tg Z i Z Z Z c11 Forma polar: Z 17.02 0.8685rads
0 21 64 7 9 1 7 9 2 21 64 4 2 76 . 21 3992 . 0 30 . 3 7 9 21 64 ) 2 rads tg Z i Z Z Z d
Forma polar: Z 3.3077 0.3992rads rads rads tg Z i Z Z Z e 42 . 2 1 . 139 90 . 40 180 8663 . 0 90 . 40 4952 . 0 53 17 53 20 53 17 53 20 ) 0 0 53 20 53 17 1 2 2 3 1 Forma polar: 4952 . 0 Z 2.42rads12 rads rads tg Z i Z Z Z Z f 23 . 3 36 . 185 36 . 5 180 36 . 5 093 . 0 696 . 7 193 139 193 1479 193 139 193 1479 ) 0 0 193 1479 193 139 1 2 2 1 4 3 Forma polar: 69 . 7 Z 3.23rads
0 1 2 2 2 3 1 69 . 79 390 . 1 4 22 360 . 22 22 4 22 4 * ) rads tg Z i Z Z Z Z g Forma polar: 36 . 22 Z 1.390rads13 1.2 EJERCICIOS. Realice las siguientes operaciones con los números complejos que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
4
6
5
1
6
4
3
2
2
6
4
2
3
1
Z
Z
)
g
Z
Z
)
f
Z
Z
)
e
Z
Z
)
d
Z
Z
)
c
Z
Z
)
b
Z
Z
)
a
i
Z
i
Z
i
Z
i
Z
i
Z
i
Z
Donde
3
2
5
1
2
6
5
4
2
3
:
8 1 6 5 4 3 2 1
RESPUESTAS: Forma rectangular: i g i e i Z c i Z a 208 19 208 121 ) 8 29 8 119 ) 8 8 31 ) 20 9 20 7 ) Forma Polar a) Z= 0.57 -0.909 rads c) Z= 8.88 4.2613 rads. e) Z=15.31 0.2390 rads. g) Z=0.58 2.9858 rads.14 1.3 POTENCIA REAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
TEOREMA DE DE´ MOIVRE
La potencia enésima de w
w
CosiSen
, está dada por:
n n iSen Cos w w Z = wn
Cos niSen n
.Y se verifica para todo valor real de la Exponente n
En el caso de un exponente racional de la forma 1/n, se tiene:
a ib
w
Cos iSen
w
Cos n i Senn
w n n n n n 1 1 1 1 1 Donde: 1 1 1 2 2 1 1 a b tg y b a w
15 1.3 EJEMPLOS. Calcule las potencias que se indican con los números
complejos que se dan a continuación.
rads w tg Z i Z a 7853 . 0 ; 2 45 7853 . 0 1 1 2 1 1 1 ) 0 1 2 2 29
0 0 0 1 2 2 36 2 29 2 29 2 29 29 225 92 . 3 45 180 45 7853 . 0 1 1 2 1 1 1 ) 1 76 . 16441 7096 . 0 7096 . 0 2 773 . 22 773 . 22 2 29 7853 . 0 29 7853 . 0 2 7853 . 0 7853 . 0 2 rads rads tg w i Z b i Z i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z
i Z x i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 73 . 1483 856 . 26188 10 66 . 5 999 . 0 2 28 . 28 281 . 28 2 36 7853 . 0 36 7853 . 0 2 7853 . 0 7853 . 0 2 3 2 36 2 36 2 36 36 β 16
. 63 . 1 49 . 93 51 . 86 180 51 . 86 51 . 1 1 17 290 17 1 17 1 ) 0 0 1 2 2 17 rads rads tg Z i Z c
i x x Z i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 20 20 2 17 2 17 2 17 17 10 555 . 4 10 193 . 7 5348 . 0 8444 . 0 290 71 . 27 71 . 27 290 17 63 . 1 17 63 . 1 290 63 . 1 63 . 1 290
0 1 2 2 15 30 5235 . 0 3 1 2 4 1 3 1 3 3 ) rads tg Z i Z d
i Z i x Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 232 . 32735 529 . 48 999 . 0 10 481 . 1 2 8525 . 7 8525 . 7 2 15 5235 . 0 15 5235 . 0 2 5235 . 0 5235 . 0 2 3 15 15 15 15 17
0 1 2 2 12 45 7853 . 0 2 2 8 4 4 2 2 2 2 ) rads tg Z i Z e
i Z x i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 99 . 463 8 . 261881 10 77 . 1 999 . 0 8 423 . 9 423 . 9 8 12 7853 . 0 12 7853 . 0 8 7853 . 0 7853 . 0 8 3 6 6 6 12
rads rads tg Z i Z f 447 . 2 2 . 140 80 . 39 180 80 . 39 6947 . 0 6 5 61 25 36 5 6 5 6 ) 0 0 1 2 2 9
i Z i Z i Z iSen Cos Z iSen Cos Z 8 . 106355173 32 . 19508361 9835 . 0 1804 . 0 61 4 0318 .. 0 999 . 0 61 9 447 . 2 9 447 . 2 61 6947 . 0 6947 . 0 61 2 9 2 9 2 9 9 18
rads rads tg w i Z g 01139 . 2 1302 . 1 14159 . 3 76 . 64 1302 . 1 7 3 16 9 7 3 7 3 7 ) 0 1 2 2 18
i Z i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 633 . 323 132 . 413 63209 . 0 8069 . 0 2 205 . 36 205 . 36 2 18 1139 . 2 18 1139 . 2 2 01139 . 2 01139 . 2 2 9 9 9 18 0 7 4 9 4 1 2 2 6 46 . 33 6610 . 0 723 . 0 9 4 7 4 9 4 7 4 ) rads tg Z Z h
i Z i Z iSen Cos Z iSen Cos Z iSen Cos Z 5260 . 0 6756 . 0 683 . 3 73 . 4 605 . 1 966 . 3 966 . 3 605 . 1 6 6610 . 0 6 6610 . 0 723 . 0 6610 . 0 6610 . 0 723 . 0 6 6 6 6 β 19
3 2 7 5 2 8 ) 10 6 ) 9 4 ) 8 3 6 ) 7 2 ) 6 10 ) 5 ) 4 3 ) 3 ) 2 8 ) 1 4 7 4 2 1 3 8 2 1 0 2 2 4 1 1 5 7 1 1 0 2 1 1 8 8 3 5 1 2 5 2 3 i Z i Z i Z i Z i Z i Z i Z i Z i Z i Z 1.3 EJERCICIOS. Calcule las potencias que se indican con los números complejos que se dan a continuación.
RESPUESTAS i Z i Z i x x Z i Z i x x Z 454 . 489 488 . 1225 ) 9 97 . 296 03 . 54 ) 7 10 244 . 5 10 59556 . 8 ) 5 02 . 118 82 . 342 ) 3 10 8 . 5 10 6435 . 4 ) 1 21 21 22 21
20 1.4 RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO
El teorema de De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w, a partir de:
w Zn . Para encontrar z, se tiene:
Z Cos iSen
Z y w w
CosiSen
Donde argZ y argw. De tal forma que con el teorema De Moivre se tiene:
Cosn iSenn w Cos iSen
Zn .
Así, se puede tomar:
n w Z 1 y
2
, 0, 1, 2 1 arg 1 Arg w k k n w n Aunque la ecuación proporciona un número infinito de valores para , sólo se obtienen n ángulos polares diferentes, ya que:
, 2 2 2 n k n n kYa que los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, se limitará la atención en los ángulos n-polares
2
, 0,1,2 1 1 Argw k k n n 21 1.4 EJEMPLOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por medio del teorema de De´ MOIVRE.
7860 . 0 2719 . 1 5256 . 0 8506 . 0 5 2 107 . 1 2 107 . 1 5 : 1 7860 . 0 2720 . 1 107 . 1 107 . 1 5 : 0 2 107 . 1 2 107 . 1 5 42 . 63 . 107 . 1 1 2 5 2 1 2 1 ) 1 2 / 1 1 2 1 2 1 2 / 1 1 0 2 1 2 1 2 / 1 0 2 1 2 1 2 / 1 0 1 2 2 2 / 1 i Z i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para k isen k Cos Z rads tg w i Z a
144 . 2 366 . 0 4 063 . 1 4 063 . 1 106 : 2 3895 . 1 6738 . 1 2 063 . 1 2 063 . 1 106 : 1 7548 . 0 0403 . 2 063 . 1 063 . 1 106 : 0 2 063 . 1 2 063 . 1 106 90 . 60 . 063 . 1 5 9 106 9 5 9 5 ) 2 3 1 3 1 3 / 1 2 1 3 1 3 1 3 / 1 1 0 3 1 3 1 3 / 1 0 3 1 3 1 3 / 1 0 1 2 2 3 1 i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para k isen k Cos Z rads tg w i Z b 22
4572 . 1 5731 . 0 9305 . 0 3660 . 0 18 . 36 6 499 . 1 6 499 . 1 18 . 36 : 3 5731 . 0 4572 . 1 3660 . 0 9305 . 0 18 . 36 4 499 . 1 4 499 . 1 18 . 36 : 2 00227 . 0 56057 . 1 00145 . 0 9965 . 0 18 . 36 2 499 . 1 2 499 . 1 18 . 36 : 1 5731 . 0 4572 . 1 366 . 0 9305 . 0 18 . 36 499 . 1 499 . 1 18 . 36 : 0 2 499 . 1 2 499 . 1 18 . 36 91 . 85 . 499 . 1 6 18 . 36 6 6 ) 3 4 / 1 3 4 1 4 1 4 / 1 3 2 3 / 1 2 4 1 4 1 4 / 1 2 1 4 / 1 1 4 1 4 1 4 / 1 1 0 4 / 1 0 4 1 4 1 4 / 1 0 4 1 4 1 4 / 1 0 7 3 1 2 2 7 3 4 / 1 7 3 i Z i Z isen Cos Z k para i Z i Z isen Cos Z k para i Z i Z isen Cos Z k para i Z i Z isen Cos Z k para k isen k Cos Z rads tg w i Z c 23
2534 . 1 5695 . 0 4 2914 . 0 4 2914 . 0 81 . 6 : 2 119 . 1 800 . 0 2 2914 . 0 2 2914 . 0 81 . 6 : 1 1335 . 0 3702 . 1 81 . 6 2914 . 0 2914 . 0 81 . 6 : 0 2 2914 . 0 2 2914 . 0 81 . 6 69 . 16 . 2914 . 0 81 . 6 ) 2 3 1 3 1 3 / 1 2 1 3 1 3 1 3 / 1 1 3 / 1 0 3 1 3 1 3 / 1 0 3 1 3 1 3 / 1 0 2 5 4 3 1 2 4 3 2 2 5 3 / 1 4 3 2 5 i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para k isen k Cos Z rads tg w i Z d
776 . 1 3227 . 0 2 7188 . 0 2 7188 . 0 113 : 1 227 . 3 776 . 1 7188 . 0 7188 . 0 113 : 0 2 7188 . 0 2 7188 . 0 113 185 . 41 . 7188 . 0 8 7 113 7 8 7 8 ) 1 4 1 4 1 4 / 1 1 0 4 1 4 1 4 / 1 0 4 1 4 1 4 / 1 0 1 2 2 4 / 1 i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para k isen k Cos Z rads tg w i Z e 24
7765 . 1 3227 . 0 6 7188 . 0 6 7188 . 0 113 : 3 3227 . 0 776 . 1 4 7188 . 0 4 7188 . 0 113 : 2 3 4 1 4 1 4 / 1 3 2 4 1 4 1 4 / 1 2 i Z isen Cos Z k para i Z isen Cos Z k para 1.4 EJERCICIOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por medio del teorema de De´ MOIVRE.
RESPUESTAS 1) Z
1 i 1/2 4549 . 0 0985 . 1 4549 . 0 0985 . 1 ) 1 1 0 i Z i Z 2) Z
52i
1/3 3) Z
23i
1/3 0115 . 1 1521 . 1 5036 . 1 241 . 0 4919 . 0 4521 . 1 ) 3 2 1 0 i Z i Z i Z 4)
25
1/3 4 7 i Z 5) Z
54 3i
1/4 2568 . 1 4270 . 0 4270 . 0 2568 . 1 2568 . 1 4270 . 0 4270 . 0 2568 . 1 ) 5 3 2 1 0 i Z i Z i Z i Z 6) Z
723i
1/425 1.5 LOGARITMO COMPLEJO
La exponencial compleja esta definida por:
Cosy iSeny
e e e e e x iy x iy x z Es una función entera con valor diferente de cero que satisface a la ecuación diferencial.
,
0 1 ´ z f z f fDe donde ez 0se sigue de que ni x
e ni Cos yi Sen yse anulan. Además observe que como z xiy, la notación conduce a:
1 iy iy e y Sen i y Cos e 2 2 2 1 1 1 x iy y z x iy z
Si Entonces las fórmulas trigonométricas para las sumas implican que:
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 z z y y i x x x x x x x x z z e e e y y Sen i y y Cos e y Sen y Cos y Cos y Sen i y Sen y Sen y Cos y Cos e y Sen i y Cos y Sen i y Cos e e e e Como ez :es uno a uno como la superficie de Reimann, se puede definir su función inversa que mapea en . Limitando el caso real, se llama a este mapeo inverso logaritmo y se denota por
: log z
Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que: en z todo para z e y en z todo para z e z z , , log log
26 La única tarea pendiente es obtener una expresión para Log z en términos de funciones conocidas.
La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:
, arg log log loglog arg log arg
z i z e e z z i z z i z
Donde log z es el logaritmo natural del cálculo elemental.
Con estos conceptos, no es difícil verificar que log z es continua ya que:
log log
arg arg
,arg log arg log log log w z i w z w i w z i z w z
Y el logaritmo natural y a función argumento son continuas. TEOREMA: la función log z iarg zesanalítica paratodo zen
El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:
. log log log , log log log 2 1 2 2 1 2 1 1 z z z z z z z z
Note que en estas dos identidades suponemos que z1 z2son puntos de la superficie de Reimann
27 1.5 EJEMPLOS. Realice las siguientes operaciones con los complejos dados
. , , 4 694 . 0 6 5 5 6 arg 61 5 6 5 6 5 6 ) 3 919 . 0 840 . 4 4 7 3 4 919 . 0 4 7 3 4 arg 840 . 4 4 7 3 4 4 7 3 4 ) 2 180 , 2 850 . 2 25 . 27 2 3 5 850 . 2 291 . 0 291 . 0 5 2 3 5 arg 25 . 27 5 2 3 5 2 3 5 ) 1 0 1 2 2 3 4 4 7 1 2 4 7 2 3 4 0 0 2 3 1 2 2 3 2 positivos reales los de eje al respecto con mide se éste negativo sea ángulo el que de pesar a y cuadrante el en encuentra se vector el que a Debido rads tg i i i Ln i i Ln rads tg i i Ln rads o sumar debe se cuadrante el en encuentra se vector el que a Debido i i Ln rads tg i i Ln 28
20 . 15 28 . 13 20 . 15 28 . 13 4 4 4 4 ) 6 21 . 1 73 8 3 21 . 1 3 8 8 3 arg 73 8 3 8 3 8 3 ) 5 180 , 3 : 64 . 4 16 . 36 6 5 2 64 . 4 94 . 265 94 . 85 180 50 . 1 6 6 5 2 arg 16 . 36 6 6 5 2 6 5 2 ) 4 3 3 3 4 3 4 3 1 2 2 0 0 0 5 2 1 2 2 5 2 i i Sen e i Cos e Sen i Cos e e e e i i Ln rads tg i i Ln rads o aumentar que tienen le se cuadrante el en encuentra se vector el que a debido Nota i i Ln rads tg i i i Ln i i 29
432 . 0 277 . 0 1 1 1 1 * ) 10 277 . 8 30 . 18 9 9 9 9 * ) 9 020 . 0 079 . 0 * ) 8 026 . 0 132 . 0 * ) 7 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 5 2 5 2 5 8 2 2 5 8 2 2 5 5 1 5 1 3 3 3 9 3 9 3 8 2 8 2 8 2 8 2 5 1 2 5 1 2 5 1 5 1 2 2 2 i Sen i e Cos e Sen i Cos e e e e i Sen e i Cos e Sen i Cos e e e e i Sen i e Cos e Sen i Cos e e e e i Sen i e Cos e Sen i Cos e e e e i i i i i i i i 30 1.6 EXPONENCIAL COMPLEJA
Las funciones exponenciales y logaritmo compleja se pueden usar para definir las funciones potencias.
Definición:
Sea: za ealogz, a complejo0
La función zz :es analítica y uno a uno porque la composición de funciones de esos tipos. Por regla de la cadena.
log 1 * a z a z a a z a e zEl valor principal de la función potencia esta dado por:
z a a
e
z log
A menudo existe el interés en el caso en donde son enteros positivos factores comunes. Considere ahora el conjunto de númeroselog z2i, 0,1,2..., esto es que aquellos puntos en R situados directamente arriba y abajo del punto log
e . Entonces
Log z i
m n m nLogz m n i e e e 2 / / / 2 y si se escribe , n q , enteros q y p con q pn 0 se tiene:m n i pmi iqmn n iqm n
e e
e
e / 2 2 2 / 2 / ,
De tal forma que hay únicamente n respuestas con valores complejos diferentes. Así el mapeo zm/ n: conduce a cada n copias de
0 a una copia de
0 y se repite a partir de ahí. Este hecho permite simplificar el modelo usado para describir el mapeo m nz
w / . Para simplificar suponga que m=1. Entonces, 1 ,..., 2 , 1 , 0 , / 2 1 1 z e e q n w n nLogz iq n
Puede visualizarse como un mapeo de
0
nen
0
, donde
0
nconsiste en n copias de
0 pegadas” una después de la otra a lo largo del eje real negativo, como en R excepto que el bordaje superior de la rama de arriba de pega al borde inferior de la rama de abajo.31 1.6 EJEMPLOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números complejos.
5163 . 2 2360 . 0 66 . 1 66 . 1 * : 9272 . 0 66 . 1 1 1 : 1 ) 3 49 . 994 38 . 124 12 . 11 12 . 11 : 54 . 0 83 . 5 3 5 3 5 : 3 5 ) 2 1749 . 0 1123 . 0 1 1 cos : 1 0 0 1 1 0 ) 0 arg( 0 : ) 1 9272 . 0 9272 . 0 66 . 1 9272 . 0 66 . 1 9272 . 0 66 . 1 1 1 2 3 4 2 3 4 1 1 3 4 91 . 6 12 . 11 91 . 6 12 . 11 91 . 6 54 . 0 83 . 5 2 1 5 3 1 2 2 3 5 2 1 1 0 2 1 2 2 0 1 ) 0 ( ) 0 ( 3 4 3 4 3 4 2 1 2 2 2 ) 0 ( i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e i i isen e e e Entonces i i Ln tg i i i i Ln Donde e e i i i i i i Ln i i Ln i i i i i i Ln i i i i i Ln i i Ln i i i i 32
4 . 1513789 5 . 355715 34 . 1 34 . 1 * : 4650 . 1 016 . 3 3 3 : 3 ) 6 164 . 1 8658 . 0 9316 . 0 9316 . 0 * : 130 . 1 611 . 0 : ) 5 026 . 0 080 . 0 32 . 0 32 . 0 * : 39 . 1 435 . 1 2 2 : 2 ) 4 257 . 14 34 . 1 257 . 14 34 . 1 257 . 14 4650 . 1 016 . 3 4 3 1 2 2 1 1 3 4 3 1 3725 . 0 9316 . 0 3725 . 0 9316 . 0 3725 . 0 130 . 1 611 . 0 1 2 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 47 . 2 32 . 0 47 . 2 32 . 0 47 . 2 39 . 1 435 . 1 1 2 1 2 2 4 1 4 1 2 1 2 4 1 2 3 1 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 5 3 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 5 3 2 1 5 3 2 1 2 1 3 1 5 3 2 1 4 3 4 1 4 1 4 3 4 3 1 4 1 4 3 1 i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i i i i i Ln i i Ln i i i i i Ln i i Ln i i i i Ln i Ln i i i i i i 33
3 4 81 . 6 783 . 13 81 . 6 783 . 13 81 . 6 48 . 3 343 . 3 3 1 2 7 8 2 7 8 3 7 8 28 28 98 . 64 02 . 51 98 . 64 02 . 51 98 . 64 922 . 2 219 . 9 3 8 9 2 1 2 2 2 9 3 8 2 9 699 . 0 222 . 2 699 . 0 222 . 2 669 . 0 249 . 1 825 . 1 3 1 2 2 3 1 3 1 3 3 3 1 10 03 . 1 10 82 . 3 783 . 13 783 . 13 * : 48 . 3 343 . 3 : ) 9 10 37 . 1 10 210 . 1 02 . 51 02 . 51 * : 922 . 2 219 . 9 2 9 2 9 : 2 9 ) 8 407 . 0 310 . 0 222 . 2 222 . 2 * : 249 . 1 825 . 1 3 3 : 3 ) 7 7 8 7 8 3 7 8 3 3 8 3 8 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 x x Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i x x Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i Sen i Cos e e e e e Entonces i tg i i Ln Donde e e i i i i i i Ln i i Ln i i i i i Ln i i Ln i i i i i Ln i i Ln i i i i i i 34
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 2 5 6 2 2 1 4 4 3 3 1 3 2 2 2 6 3 4 2 5 1 2 4 1 ) 10 7 ) 9 3 3 1 ) 8 9 6 ) 7 8 1 7 4 ) 6 4 1 2 3 ) 5 8 3 5 ) 4 42 7 ) 3 6 2 3 ) 2 3 2 1 ) 1
i x x i i x x i i i i x x i i i i i i i i 47 47 5 18 17 2 1 4 3 2 6 6 2 6 2 5 1 10 56 . 3 10 923 . 1 7 ) 9 10 021 . 2 10 79 . 2 9 6 ) 7 2013 . 0 25 . 1 4 1 2 3 ) 5 10 112 . 3 10 13 . 2 2 ) 3 0139 . 0 0343 . 0 3 2 1 ) 1 1.6 EJERCICIOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números complejos.
RESPUESTAS
35 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1 INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La ecuación general de una recta en 2
es de la forma:
c by
ax
y la ecuación general de un plano en 3
es de la forma:
d cz by
ax
Las ecuaciones de esta forma se denominan ecuaciones lineales.
Definición: una ecuación lineal en las n variables x1,x2...,xn es una ecuación
que puede escribirse en la forma:
b x a x a x a1 1 2 2... n n
Donde los coeficientes an y el término constante b son constantes.
Sean, por ejemplo las siguientes ecuaciones lineales:
4 3 2 1 5 3 2 , 9 3 15 2 1 , 1 4 3x y r s t x x x x
Observe que en la tercera ecuación es lineal porque puede reescribirse en la forma x15x2x3 2x4 3 También es importante advertir que, aunque estos son ejemplos (y que en la mayoría de las aplicaciones) los coeficientes y términos constantes son números reales, en algunos ejemplos y aplicaciones serán números complejos o miembros de p para algún número primo p.
Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones no lineales:
0 2 3 , 1 5 4 2 2 , 3 , 1 2 3 2 1 3 2 2 1 x x x Sen z Sen y x z y x x x z xy
De este modo, las ecuaciones lineales no contienen productos, recíprocos u otras funciones de las variables; éstas presentan únicamente a la primer potencia y están multiplicadas sólo por constantes.
36 2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
2.2.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R2
Los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones pueden ser mapeadas en los espacios 2
y 3 en un principio, y generalizarse para un espacio n.
Por ejemplo, las sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en 2
:
3 4 2 2 3 1 2 1 y x y x y x y x c y x b y x aResolviendo tales sistemas, se tiene:
(a) La suma de las dos ecuaciones da 2x=4, de manera que x=2, de lo que se desprende que y=1. una rápida verificación confirma que
2,1 es en realidad una solución de ambas ecuaciones. Ésta es la única solución que se puede ver al examinar que corresponde al (único) punto de intersección (2, 1) de las rectas con ecuaciones xy 1 y x y3, como se muestra en la figura 2.2.a. De este modo
2,1 es sólo unasolución única.
Figura 2.2.a. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales con solución única.
-(a) x -(a) -2 4 -2 -4 2 4 2 4 y -2 4 -2 -4 2 4 2 4 y x
37 (b) La segunda ecuación de este sistema es exactamente dos veces la primera, de modo que las soluciones son las mismas de esta ultima, a saber, los puntos sobre la recta x y 2. Estos pueden ser representados paramétricamente como
2 t,t
. De esta manera, este sistema tiene un número infinito de soluciones, figura 2.2.b.
Figura 2.2.b Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.
(c) Dos números x y y no pueden tener simultáneamente una diferencia de 1 y 3. por consiguiente este sistema no tiene soluciones (un enfoque más algebraico sería resaltar la segunda ecuación a la primera, con lo cual se llegaría a la igualmente absurda conclusión de que 0=-2) como se muestra en la figura 2.2.c., en este caso las ecuaciones de la rectas son paralelas.
Figura 2.2.c. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales sin solución -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (c) y x -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (c) y x -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (c ) y x -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (c ) y x -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (b) y x -2 -4 -2 -4 2 4 2 4 (b) y x
38 2.2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R3
Cuando las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única; si coinciden, existe un número infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una solución, y por lo tanto el sistema es inconsistente.
Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas, la grafica de la ecuación axbyczd en el espacio de tres dimensiones es un plano.
Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
m
lz
ky
jx
h
gz
fy
ex
d
cz
by
ax
en donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l, y m son constantes y al menos una de ellas en cada ecuación es diferente de cero.
En este sistema de ecuaciones, cada ecuación, representa a un plano. Cada solución (x, y, z) al sistema de ecuaciones debe de ser al menos un mismo punto en cada uno de los tres planos. Existen tres posibilidades:
(a) Los tres planos se intersecan en un solo punto P(x,y,z). Entonces existe una
solución única para el sistema lineal de ecuaciones.
39 (b) Los tres planos coinciden en un número infinito de puntos, formando una recta o inclusive coincidiendo dos o más planos. Entonces en cada punto sobre el plano es una solución del sistema de ecuaciones lineales y por lo tanto se tiene infinidad de soluciones para el sistema de ecuaciones lineales.
(C) Dos o más planos que representan al sistema de ecuaciones lineales no coinciden mediante puntos o rectas (planos paralelos) de tal manera que ningún punto plano se interfecta con los otros. Por lo tanto no existe solución al sistema de ecuaciones lineales, y el sistema es inconsistente.
40 2.3 MÈTODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. “ELIMINACION DE GAUSS”
Cuando se aplica la reducción de renglón a la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, se crea un sistema que puede ser resuelto mediante sustitución hacia atrás. El proceso completo es conocido como “Eliminación
Gaussiana”.
1. Escriba una matriz aumentada de sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales de renglón para reducir la matriz aumentada a la forma escalonada del renglón.
3. Mediante la sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que corresponda a la matriz del renglón reducido.
2.3 EJEMPLOS. Por el método de eliminación Gaussiana resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.
5 2 5 3 2 3 ) 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x SOLUCIÓN: 2 1 3 1 0 0 1 1 0 1 1 1 10 1 3 5 0 0 1 1 0 1 1 1 8 1 3 3 2 0 1 1 0 1 1 1 5 5 3 2 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 2 1 2 5 1R R R R R R R
El sistema correspondiente es ahora:
2 1 3 3 3 2 3 2 1 x x x x x x
La sustitución hacia atrás da como resultado: x3 2,x2 1,x1 0 de manera que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
41 x = 2 1 0 4 4 0 2 9 3 2 ) 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 1 9 1 0 0 1 0 3 2 1 9 0 0 1 0 3 2 1 32 18 9 13 9 0 7 5 0 3 2 1 4 0 9 1 1 4 1 1 2 3 2 1 5 18 5 7 3 2 5 5 2 5 18 5 2 5 7 3 2 9 2 5 1 3 1 4 2 1 2 R R R R R R R R
El sistema correspondiente es ahora:
1 9 3 2 3 5 18 3 5 7 2 3 2 1 x x x x x x
La sustitución hacia atrás da como resultado: x3 1,x2 5,x1 2 de manera que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
1 5 2 x 0 6 4 2 0 0 2 3 ) 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 0 0 0 1 0 0 1 0 2 3 1 0 0 0 4 0 0 1 0 2 3 1 0 0 0 8 8 0 1 2 0 2 3 1 0 0 0 6 4 2 1 1 1 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 8 2 3 1 2 2 1 4 1 2 1 R R R R R R R R
El sistema correspondiente es ahora:
0 0 0 2 3 3 3 2 1 2 3 2 1 x x x x x x
La sustitución hacia atrás da como resultado: x3 0,x2 0,x1 0 de manera que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
0 0 0 x (Solución trivial)
42 6 8 4 2 21 3 3 4 3 2 8 2 ) 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x 6 10 2 15 6 15 2 21 3 1 3 1 23 1 2 2 1 0 0 1 8 1 2 0 0 1 10 15 2 15 6 0 21 0 2 8 1 2 0 0 1 6 21 2 1 8 4 3 3 4 8 1 2 2 3 1 6 12 1 R R R RR R
t x t t t x t t t x t x x x x x x x t x x x x x x x x x t x Si ando Parametriz 2 21 3 56 1 2 5 3 5 1 6 15 6 10 2 21 2 15 1 2 21 2 15 2 4 3 2 1 4 2 21 2 15 2 6 15 6 10 3 4 3 2 1 2 15 4 2 21 2 6 10 4 6 15 3 4 2 8 21 15 2 8 2 2 8 2 0 2 8 2 0 : Nota: Donde: “t”= 1, 2, 3……., nPor lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
2 4 3 1 3 0 4 3 2 ) 5 4 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x t x Si ando Parametriz R R R R R R R R R 4 2 5 11 2 11 10 11 3 2 1 2 3 3 11 5 11 2 11 8 11 2 11 10 11 3 2 1 2 3 3 2 2 2 5 2 17 2 3 2 11 2 1 2 3 3 1 3 2 1 3 1 : 0 4 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 7 5 2 0 0 1 2 1 0 1 1 4 1 0 1 4 1 3 3 3 2 2 1 1 2 1 71 1 2 2 1
t x t x t t t x t t x t t t x t t x x x x x x x x t x x x x x x x x x x 11 3 2 1 1 11 2 2 1 2 4 5 11 3 4 3 1 11 10 11 12 22 15 11 2 2 2 5 2 1 11 2 2 1 2 3 1 11 10 2 5 11 3 11 2 2 4 3 2 1 2 2 3 1 4 11 10 3 11 3 11 2 2 2 5 3 4 3 2 1 2 2 3 1 11 2 4 11 10 3 11 3 2 2 5 4 3 2 2 2 4 4 2 4 0 2 4 Donde: “t”= 1, 2, 3……., n43 5 5 2 7 4 3 2 ) 6 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 6 0 1 0 0 1 4 1 6 3 0 0 1 5 7 3 5 1 1 2 4 2 3 1 2 3 2 1 3 2 6 2 2 3 2 1 3 1 2 2 1 4 1 3 1 2 1 R R R R R R R R
El sistema correspondiente es ahora:
3 1 2 2 3 2 2 1 1 3 5 6 1 2 3 1 x x x x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 06
5 4 9 3 2 8 5 7 ) 7 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 49 2442 3 37 7 8 7 5 3 2 2 7 37 7 37 7 8 7 73 7 3 7 5 3 1 9 2 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 3 8 4 1 5 9 2 7 7 7 3 3 7 7 1 R R R R R R R R
El sistema correspondiente es ahora:
49 2442 3 37 2 7 8 2 7 5 1 3 23 21 185 7 8 1 0 x x x x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 49 2442 0 . 7 9 4 2 8 6 3 ) 8 3 2 1 3 2 1 x x x x x x
