Una introducción a caracterización de puntos singulares monodrómicos utilizando el método de darboux

Texto completo

(1)U NIVERSIDAD T ECNOLÓGICA DE P EREIRA T RABAJO DE G RADO. CARACTERIZACIÓN DE PUNTOS SINGULARES MONODRÓMICOS UTILIZANDO EL MÉTODO DE DARBOUX. Autor: Rafael Augusto Castañeda Vanegas. Director de tesis: Pedro Pablo Cárdenas Alzate, Ph.D(c). Trabajo presentado como requisito para optar al título de MAGISTER EN MATEMÁTICAS bajo la supervisión del Grupo de Investigación en Ecuaciones Diferenciales No Lineales GEDNOL Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira. 12 de enero de 2018.

(2) I. Agradecimientos Dedico este logro a mis padres Rafael Castañeda y Marleny Vanegas por el amor y paciencia que me han brindado en la vida y especialmente a mi esposa Viviana e hijo Simón por acompañarme todo este tiempo. A mi director, Pedro Pablo Cárdenas Alzate por su persistencia de seguir en el camino de la matemática aplicada, por sus sabios consejos, correcciones, opiniones y toda la ayuda brindada durante esta etapa. A todos los que de una u otra forma hicieron realidad este sueño de culminar mi maestría.. Rafael Augusto Castañeda Vanegas.

(3) II. Índice general 1. Introducción 1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Específicos . . . . . . . . . . . 1.4. Justificación . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Planteamiento del problema 1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 1 1 1 2 2 2 3 3 3. 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro 2.1. Generalidades de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El problema del foco-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Punto singular con valores propios complejos puros . . . . . . . . . . . 2.2.2. Formas normales para un sistema con dos valores propios imaginarios puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 5 8 9 14. 3. El método de Darboux 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El método de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 19 19. 4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Puntos singulares del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 28 28.

(4) 1. Capítulo 1 Introducción 1.1.. Resumen. En este trabajo se estudia el problema del centro-foco (o foco-centro) para sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma: ( x0 = P (x, y) (1.1) y 0 = Q(x, y), donde P y Q son funciones polinomiales. Acá se desarrolló una técnica que permite concluir que un punto singular de tipo monodrómico para este sistema no lineal es un centro [1]. Dicha técnica o método se conoce como el método de Darboux, el cual usa curvas algebraicas invariantes en la construcción de una primera integral. Como aplicación de este método, se considera un modelo de tipo Gauss [2] generalizado de la forma: ( x0 = αx 1 − xk − yp(x) − m1 (1.2) y 0 = y (−β + γp(x)) , donde p es la función de tipo Holling, es decir, p(x) =. mx2 , ax2 + bx + c. (1.3). con c = 1.[3]. 1.2.. Introducción. El estudio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales inicia generalmente por la búsqueda de puntos singulares, en los cuales en cada vecindad de dichos puntos, se estudia normalmente su linealización. En este trabajo se limitó a un sistema sobre un abierto U ⊂ R2 , donde X = (x, y) ∈ U . Así pues, observando los valores propios de la matriz Jacobiana del sistema X 0 = w(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).

(5) Capítulo 1. Introducción. 2. en un punto singular, por ejemplo (x0 , y0 ), donde P y Q son funciones polinomiales o simplemente analíticas sobre el abierto U , puede concluirse sobre la naturaleza de un punto singular para el sistema lineal asociado. Esta información es vital, ya que proporciona mucha ayuda sobre la caracterización de estos puntos. Sin embargo, la presencia de un centro para el sistema linealizado de un sistema en un punto singular no implica necesariamente la presencia de un centro para el sistema no lineal en ese mismo punto. En este trabajo, se expone el problema del cetro-foco, en el cual se estudia el tipo de un punto singular monodrómico no degenerado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales [4, 5, 6] ( x0 = P (x, y) y 0 = Q(x, y), donde tanto P como Q son funciones polinomiales (o analíticas). Decimos que un punto singular es no degenerado y monodrómico si el sistema lineal asociado tiene ya sea un centro o un foco en dicho punto singular. Ahora bien, la pregunta esencial es bajo que condiciones se puede concluir que un punto singular monodrómico no degenerado es un centro o un foco para el sistema no lineal. Se puede decir entonces que el problema del centro-foco es general, es decir, existe también para puntos singulares en los cuales la parte lineal es degenerada, es decir, en los cuales los valores propios son nulos, por ejemplo de matriz nilpotente o más aun, nula. No obstante, esto es tema para futuras investigaciones, por lo cual el trabajo se limita solo al caso donde la parte lineal tiene dos valores propios imaginarios puros no nulos, es decir, el caso no degenerado. Finalmente, se aplica este problema al modelo predador-presa donde la recolecta de presas es permitida. Dicho modelo es aplicado en la pesca, en problemas forestales y en la gestión de la fauna. Este modelo presenta una dinámica más compleja que otro tipo de modelos de tipo predador-presa sin recolecta de presas. La interacción predador-presa es lineal en el número de predadores. Es este trabajo, se estudia el sistema llamado modelo de Gauss generalizado con recolecta de presas.. 1.3.. Objetivos. 1.3.1.. General. Aplicar el método de Darboux en la caracterización de puntos singulares monodrómicos en sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales de tipo polinómico.. 1.3.2.. Específicos. Presentar y analizar el problema del foco-centro para sistemas diferenciales de tipo algebraico..

(6) Capítulo 1. Introducción. 3. Describir el método de Darboux para sistemas de ecuaciones diferenciales de tipo polinómico. Caracterizar los puntos singulares del sistema polinomial (1.1) mediante el método de Darboux. Utilizar varias versiones de las funciones de tipo Holling como aplicación para el problema del foco-centro.. 1.4.. Justificación. El estudio de puntos singulares en campos vectoriales analíticos planos es un problema que se encuentra parcialmente resuelto. El único caso que permanece abierto es el de tipo monodrómico, en el cual las órbitas giran alrededor de la singularidad. En los sistemas de ecuaciones diferenciales analíticos, si x0 es un punto singular monodrómico, entonces este punto es un centro o un foco. El problema es entonces como determinar las condiciones para distinguir entre un centro y un foco. El objetivo principal de este trabajo es la investigación del problema de foco-centro en sistemas de ecuaciones diferenciales analíticos con puntos singulares nilpotentes. Este problema ha sido ampliamente estudiado, puesto que no existe un algoritmo para este caso, comparable por ejemplo con el método de Lyapunov para el caso de singularidades no degeneradas. Se estudia acá un método denominado el método de Darboux; el cual hace uso de la teoría de la forma normal y trata el problema de la forma clásica. Por lo tanto, se investiga los sistemas analíticos diferenciales con puntos singulares nilpotentes como límite de sistemas diferenciales con singularidades no degeneradas. Para evaluar la eficiencia y comprender posibles obstrucciones, se aplicó la técnica a una familia concreta de sistemas de ecuaciones diferenciales. [13]. 1.4.1.. Planteamiento del problema. En el problema del centro-foco, se hace la pregunta objetivo de este trabajo: Bajo que condiciones se puede concluir que un punto singular monodrómico no degenerado es un centro o un foco para un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales?.. 1.5.. Metodología. La primera etapa corresponde a un barrido bibliográfico a través los diferentes trabajos de investigación que se encuentran disponibles en medio digital (journals), donde se buscó el origen, las generalidades, descripción del método y su aplicación a sistemas de ecuaciones diferenciales de tipo polinómico, los cuales constituyen la primera carpeta de archivos electrónicos. Con esa información se avanzó en la resolución de diferentes modelos no lineales que involucran funciones de tipo Holling . Una vez se estudió el método de Darboux, el investigador avanzó a la segunda etapa, la cual consistió en la búsqueda de nuevos documentos a través de la red especializados en resolver este tipo de problemas, específicamente problemas de tipo Holling y que constituyeron una segunda carpeta de archivos electrónicos. Una vez más se analizaron diferentes.

(7) Capítulo 1. Introducción. 4. versiones de sistemas polinomiales y se consignaron en cuaderno borrador. Durante esta etapa también se tuvieron en cuenta las diferentes modificaciones aplicadas al método y se pusieron a prueba en el mismo borrador. A través de las dos etapas anteriores se consultaron documentos físicos que trataron temas de la investigación como la clasificación de los sistemas de ecuaciones diferenciales, especialmente de tipo homogéneo. La tercera etapa consistió en consultas a investigadores, principalmente aquellos relacionados con la línea de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones (sistemas dinámicos) con el fin de analizar las soluciones encontradas mediante otro tipo de métodos. En la cuarta etapa se aplicó el método a un modelo biológico, donde mediante una simulación computacional se expusieron los valores de algunas constantes de Lyapunov para la solución del problema en cuestión ([8,9]) . Finalmente la quinta etapa consistió en la elaboración del último borrador y su revisión previa antes de la elaboración del documento final, por parte del director..

(8) 5. Capítulo 2 Generalidades sobre el problema del foco-centro 2.1.. Generalidades de los sistemas lineales. A continuación se presentan los diferentes tipos de singularidades en un sistema lineal (en el cual la matriz es invertible). Esto nos dará una herramienta útil para poder comprender la noción de centro y de foco ([10]). Para ello, se considera inicialmente un sistema de ecuaciones diferenciales lineal en el plano: X 0 = AX,. (2.1). donde X ∈ R2 y A es una matriz cuadrada de orden dos. Acá, el interés se centra en el retrato fase del sistema X 0 = BX con B = P −1 AP y en el cual B está en la forma de Jordan (real). Ahora bien, los casos siguientes presentan el resumen en el cual todos los valores propios son diferentes de cero. 1. Sea B la matriz B=. . λ 0 , 0 µ. donde λ < 0 < µ. En este caso, se tiene un punto de silla el cuál tiene como retrato de fase la singularidad dada por la figura 2.1.. F IGURA 2.1: Punto de silla..

(9) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 6. 2. Sea B la matriz B=. . λ 0 , 0 µ. donde λµ > 0. Acá, si λ ≤ µ < 0, se tiene entonces un nodo estable. Se conoce la existencia de dos casos diferentes según los valores que λ y µ puedan tomar. Un caso particular se encuentra cuando la matriz B tiene la forma. F IGURA 2.2: Nodo estable: λ = µ < 0.. λ 1 B= , 0 λ con λ < 0. Los retratos de fase para estos casos pueden verse en la figura 2.2. Ahora, es importante observar que si λ ≥ µ > 0, tenemos así la presencia de un nodo inestable.. F IGURA 2.3: Nodo estable: λ < µ < 0.. 3. Sea B la matriz B=. . α −β , β α.

(10) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 7. donde α, β 6= 0. Acá, si α < 0, se tiene entonces un foco estable con trayectorias en el sentido dado por β, lo cual podemos ver en la figura 2.3. Ahora, si α > 0, se obtiene un foco inestable.. F IGURA 2.4: Nodo estable: λ < 0 y bloque de Jordan.. F IGURA 2.5: Foco estable: β > 0.. F IGURA 2.6: Foco estable: β < 0.. 4. Sea B la matriz B=. . 0 −β , β 0. donde β 6= 0. Por lo tanto, el sistema dado por X 0 = BX posee un centro en el origen (ver 2.7). Como en el caso anterior, las trayectorias están dadas en el sentido dado por β. Se sabe que este sistema puede ser escrito en coordenadas polares de la siguiente manera ([11]):.

(11) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 8. F IGURA 2.7: Centro β > 0.. ( r0 = αr θ0 = β.. (2.2). La siguiente proposición permite concluir sobre la naturaleza de un punto singular en el origen para un sistema lineal el cual tiene dos valores propios no nulos. ([12]) Proposición 2.1.1. El sistema lineal (2.1) tiene un punto de silla, un nodo, un foco o un centro en el origen si la matriz A es semejante a una de las matrices B descritas anteriormente. Es importante anotar que si por ejemplo la matriz A tiene valores propios imaginarios (puros) ±ωi, entonces el retrato fase del sistema lineal es linealmente equivalente a uno de los retratos de fase dados en la figura 2.7.. 2.2.. El problema del foco-centro. Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal sobre un conjunto abierto U ⊂ R2 : ( x0 = P (x, y) (2.3) y 0 = Q(x, y), donde P (x, y) y Q(x, y) son funciones polinomiales. Definición 2.2.1. Se dice que un punto singular monodrómico no degenerado X0 es aquel en el cual el sistema lineal asociado tiene un centro o un foco débil en este punto singular (en el caso o degenerado, es decir, los valores propios son diferentes de cero). Más adelante se da una definición del término monodrómico, el cual significa que existe una aplicación de primer retorno de Poincaré sobre una sección. En general, el problema del foco-centro conduce a la pregunta siguiente: Bajo que condiciones se puede concluir que este punto X0 (singular monodrómico) es un centro para el sistema (2.3)?.

(12) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 9. Tómese el punto singular en el origen (sin pérdida de generalidad). Sea además w(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Así pues, el sistema lineal asociado en el origen tiene por matriz la matriz A dada por Dw(0), en el cual  ∂P ∂P   ∂x  Dw(x, y) =   ∂Q ∂x. ∂y   . ∂Q  ∂y. El siguiente teorema permitirá comprender la organización de las trayectorias en una vecindad de un punto singular([13). Intuitivamente, el teorema muestra que en una vecindad de un punto singular hiperbólico X0 , el sistema no lineal X 0 = w(X). (2.4). tiene la misma estructura cualitativa de las trayectorias que el sistema lineal X 0 = AX,. (2.5). donde A = Dw(X0 ). Lo anterior significa que el sistema no lineal (2.4) es topológicamente orbitalmente equivalente al sistema lineal (2.5) en una vecindad del origen. Antes de presentar el teorema, se darás unas definiciones previas. Definición 2.2.2. Se dice que un punto singular X0 de un campo vectorial w(X) se dice hiperbólico si todas las partes reales de los valores propios de Dw(X0 ) son no nulos. Definición 2.2.3. Sean las ecuaciones diferenciales X 0 = w1 (X) y Y 0 = w2 (Y ) con X ∈ U ⊂ Rn y Y ∈ V ⊂ Rn . Se dice que ambas ecuaciones son topológicamente orbitalmente equivalentes si existe un homeomorfismo H de U en V tal que las trayectorias de X 0 = w1 (X) en U son enviadas sobre las trayectorias de Y 0 = w2 (Y ) en V preservando la orientación de las trayectorias (pero no necesariamente la parametrización). Si el homeomorfismo preserva la parametrización, se habla entonces de equivalencia topológica. Cuando se menciona en esta definición sobre topológicamente orbitalmente equivalentes, se quiere decir que los sistemas en cuestión tienen la misma organización topológica de las trayectorias. Teorema 2.2.1. (Hartman-Grobman). Sean la ecuación diferencial ordinaria X 0 = w(X) de clase C 1 sobre un abierto U ⊂ Rn y X0 un punto singular hiperbólico. Sea A = Dw(X0 ). Entonces, X 0 = w(X) es topológicamente equivalente al campo lineal Y 0 = AY sobre una vecindad V de X0 .. 2.2.1.. Punto singular con valores propios complejos puros. Se estudia a continuación el caso particular de un punto singular con valores propios complejos puros ±ωi (no nulos). Así, la matriz A asociada al sistema lineal puede ser escrita en la forma ([14]): 0 −ω B= , (2.6) ω 0.

(13) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 10. con ω 6= 0. Ahora, puede definirse sobre una sección dada por una semirecta desde el punto singular una aplicación de primer retorno φ. En general, se toma la semirecta horizontalmente hacia la derecha (ver figura 2.8). En efecto, la existencia de la aplicación de primer retorno se explica observando la transformación del sistema en coordenadas polares. Se puede observar que la parte lineal en el origen del sistema que trataremos está dado en (2.6), donde un centro en el origen para el sistema lineal puede ser escrito en la forma. F IGURA 2.8: Aplicación de primer retorno de Poincaré.. ( r0 = O(r2 ) θ0 = ω + O(r).. (2.7). Bajo esta forma, el sistema proporciona información sobre la aplicación ω 3ω de primer retorno. 0 Ahora, para un r pequeño, por ejemplo r < δ, se tiene que θ ∈ 2 , 2 y B(0, r) ⊂ U . Tómese ahora una condición inicial (pequeña) r0 ∈ [0, Cδ) con C < 1. Así, para un tiempo T 4π y 4π , se retorna sobre la sección dada por θ = 0. En este caso C debe ser escogido entre 3ω ω suficientemente pequeño para que se cumpla que r(t) < δ para 0 ≤ t ≤ T . Lo anteriormente expuesto es lo que define la aplicación de primer retorno de Poincaré ([15]). Esta aplicación es una de las principales herramientas en el estudio de la estabilidad de un punto singular y de las bifurcaciones de las órbitas periódicas. El siguiente teorema permite definir la analiticidad de la aplicación de primer retorno. Teorema 2.2.2. Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales analítico X 0 = w(X). Sea X0 un punto singular el cual tiene valores propios de parte imaginaria no nula. Entonces la aplicación de primer retorno (definida anteriormente) es analítica. Demostración. Inicialmente se hace una traslación para retornar X0 al origen y obsérvese el sistema en coordenadas polares. En efecto, ( r0 = f (r) (2.8) θ0 = ω + g(r). Este sistema es analítico en r y θ. Ahora supóngase que φ = (φ1 , φ2 ) es el flujo del sistema, donde φ1 representa la coordenada radial y φ2 la coordenada angular. Se tiene entonces que φ(t, X1 ) = (φ1 (t, X1 ), φ2 (t, X1 )) ,. (2.9).

(14) Ainsi, partons du fait que nous travaillons dans un système analytique. Théorème 1.3.1. Soit Ẋ = v(X), un système d’équations diﬀérentielles nonanalytique. Soit X0 un point singulier ayant des valeurs propres de partie Capítulo 2.linéaires Generalidades sobre el problema del foco-centro 11 imaginaire non nulle. Alors, l’application de premier retour définie ci-haut est analytique. donde X1 = (x1 , 0) es la condición inicial sobre la sección (ver figura 2.9) y sea T (x1 ) = T (r0 ), le tiempo de retorno sobre esta sección, entonces r0 = x1 . La condición inicial regresa a (r0 , 0).. F IGURA 2.9: Sección de una solución periódica. Fig. 1.6. Section d’une solution périodique. Ahora, T (r0 ) está definida implícitamente por Démonstration. Faisons une translation pour ramener X0 à l’origine et regardons le système en coordonées soit φ2polaires, (T (r0 ), (r 0 , 0)) = 2π. ( = f(r), La idea es solucionar esta ecuación, o loṙque es lo mismo (1.3.3) ✓˙ = ! + g(r). φ2 (t, (r0 , 0)) − 2π = ψ(t, r0 ) = 0, Ce système est analytique en r et ✓. Soit = ( 1 , 2 ) le flot du système, où 1 en una vecindad de ( 2π , 0). Se tiene entonces que représente la ωcoordonnée radiale et 2 la coordonnée angulaire. 2π , (0, 0) − 2π = 0. ψ(t0 , 0) = φ2 On a que ω. (2.10). (2.11). (2.12). A continuación se hace uso del de la función implícita, donde primero se debe (t, Xteorema (1.3.4) 1 ) = ( 1 (t, X1 ), 2 (t, X1 )), tener que où X1 = (x1 , 0) est la condition initiale sur la section (voir figure 1.6) et soit ∂φ2 section. Alors r = x . La condition ∂ψretour sur cette T (x1 ) = T (r0 ), le temps de 1 = 6= 0. 0 (2.13) ∂t ∂t 2π (t0 ,0) ( ω ,(0,0)) initiale devient (r0 , 0). De la definición de flujo ∂φ (t, X) = w(φ(t, X)), ∂t donde w = (f (r), ω + g(r)) tenemos que ∂φ2 = w + g(φ1 (t, X)), ∂t. (2.14). (2.15). lo que implica que ∂ψ ∂t. = (t0 ,0). ∂φ2 = ω 6= 0. ∂t ( 2π ,(0,0)) ω. (2.16). Así se ha verificado la condición (2.13). Ahora, se aplica el teorema de la función implícita para funciones analíticas y poder decir entonces que existe una vecindad U de 2π , 0 , una ω vecindad V de 0 y una función analítica T : V → R tales que.

(15) est analytique, car la composition de fonctions analytiques est analytique. Comme r0 = x1 sur la section ✓ = 0, la démonstration est terminée.. Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 12. ⇤. ψ(t, r0 ) = 0,. (2.17). sobre el conjunto si y sólo = T (rde Así pues, se tiene que ) es analítica entonces 0 ). notre Ceci laisse deux Uchoix poursilet type singularité, soit Tun(r0foyer faible ouy un puede verse que la aplicación de primer retorno de Poincaré,. centre. Par définition, un tel point est appelé monodromique. φ1 (T (r0 ), (r0 , 0)) = p(r0 ),. (2.18). es ya p(x) que lal’application composicióndedepremier funciones analíticas analítica. Enanalítica eﬀet, soit retour définieesplus haut. Finalmente, Si p(x) est como r0 = x1 sobre la sección θ = 0.. analytique en 0, alors nous pouvons remarquer que les solutions périodiques sont les points fixes de p ou encore les zéros de l’application déplacement définie par :. La prueba anterior concluye que se tienen dos opciones para el tipo de la singularidad, ya sea un foco débil o un centro. A este punto se le denomina punto monodrómico.. V (x) = p(x). x,. (1.3.14). Ahora bien, supóngase p(x) la aplicación de primer retorno definido anteriormente. Si. où V (0) = 0 correspond au point singulier. Regardons la figure 1.7. En sachant esta aplicación es analítica en 0, entonces se puede decir que las soluciones periódicas son los. puntos fijo de dicha aplicación p o aún los ceros de la aplicación (desplazamiento) definida por. F IGURA 2.10: Primer retorno de Poincaré para una solución periódica.. Fig. 1.7. Application de premier retour de Poincaré pour une solution périodique V (x) = p(x) − x,. (2.19). donde V (0)analytique, = 0 corresponde al punto singular que (ver Vfigura 2.10). Ahora, p es analítica, que p est nous savons également est analytique et como une applicase sabe igualmente que V es analítica y una aplicación de este tipo no puede tener una tion analytique ne peut une dos accumulation de zéros. Nous avons alors deux acumulación de ceros. Así,avoir se tienen casos posibles:. cas possibles.. Supóngase que V tiene ceros aislados. Entonces no hay ningún otro cero más que x = 0 en una vecindad delzéros origen. EstoDonc representa el caso de que un foco. – Soit V a des isolés. il n’y aentonces aucun autre zéro x = 0 dans Supóngase que V ≡de 0, entonces corresponde centro. un voisinage l’origine. este Cecicaso représente alorsaleuncas d’un. foyer.. – Soit Vesto ⌘ es 0, lo ce que qui se correspond à unelcentre. En resumen, conoce como problema del foco-centro. Ahora bien, se proporciona el siguiente teorema y sus corolarios con el fin de entender mejor el problema en donc qu’apparaît notre problème de centre-foyer. Afin ydedefaciliter cuestión. C’est Al igual queiciesto, se dan algunas definiciones de foco, de centro foco-centro.. la compréhension, nous regardons le théorème 1.3.2 ci-dessous et son corollaire Sea X0 un punto singular aislado en el plano de un sistema no lineal con traslación en associé provenant de [18]. Mais avant, donnons quelques définitions rigoureuses el origen y sea (r(t, r0 , θ0 ), θ(t, r0 , θ0 )) la solución del sistema no lineal en coordenadas po2 lares condiciones iniciales = r0 y θ(0)Nous = θsupposons pueden d’un con foyer, d’un centre et d’unr(0) centre-foyer. que Xdefiniciones 0 . Las siguientes 0 2 R est un encontrarse en el clásico libro de Perko ([14,15]). point singulier isolé du système non-linéaire ayant été translaté à l’origine et nous.

(16) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 13. Definición 2.2.4. El origen es llamado un foco estable para el sistema no lineal si existe un δ > 0 tal que para 0 < r0 < δ y θ0 real, r(t, r0 , θ0 ) → 0y |θ(t, r0 , θ0 )| → ∞ cuando t → ∞. Ahora, en el sentido contrario, el origen es llamado un foco inestable si r(t, r0 , θ0 ) → 0 y |θ(t, r0 , θ0 )| → ∞ cuando t → −∞. El foco se dice débil si los valores propios del sistema linealizado son imaginarios puros. Definición 2.2.5. El origen es llamado un centro-foco para el sistema no lineal si existe una sucesión de soluciones periódicas Γn con Γn+1 al interior de una región (ovalada) definida por Γn tal que Γn → 0 cuando n → ∞ y tal que toda trayectoria entre Γn y Γn+1 espiral hacia Γn o Γn+1 cuando t → +∞ y hacia Γn+1 o Γ cuando t → −∞. (ver figura 8) Ahora, el teorema central propuesto en ([14,17]) se presenta a continuación. Teorema 2.2.3. Sea U un subconjunto abierto del plano que contiene al origen y sea v ∈ C 1 (E) con w(0) = 0. Supóngase que el origen es un centro para el sistema lineal asociado con A = Dw(0). Entonces en origen será un centro, un centro-foco o un foco para el sistema no lineal. La demostración del teorema puede encontrarse en ([14]). A continuación se presenta un ejemplo del caso centro-foco. Ejemplo 2.2.1. Supongamos el sistema C ∞ (no analítico): ( r0 = f (r) θ0 = 1, donde f (r) es la función. ( 1 e− r sin f (r) = 0,. 1 r. . ,. (2.20). r>0 r = 0.. Puede verse que este sistema tiene un equilibrio estable en el origen que no es ni un centro ni un foco. En efecto, no puede verse la apariencia de las trayectorias tomando valores precisos de r. Sea 1 1 1 1 , 3π , . . . , nπ , . . .}, tenemos que e− r sin 1r = 0 y entonces se tiene la presencia de ciclos r ∈ { π1 , 2π 1 límites. Sea en particular el valor r = nπ y obsérvese su trayectoria ([16,18]). Por lo tanto, ( r0 = 0 (2.21) θ0 = 1. 1 Así pues, esta trayectoria es un ciclo límite de radio nπ . Se tiene entonces una infinidad de ciclos límites. Un ciclo sobre dos es atractivo y los otros son repulsivos. Las trayectorias (espiralmente) entre estos ciclos límites hacia el que es atractivo y regresando en el tiempo hacia el que es repulsivo. Esto corresponde a la definición de centro-foco. Una idea de esto puede verse en el retrato de fase de la figura 8.. El siguiente corolario nos muestra la descripción de la situación para un sistema analítico. Corolario 2.2.1. Sea un abierto U del plano que contiene al origen y sea w analítico en U con w(0) = 0. Supóngase que el origen es un centro para el sistema lineal con A = Dw(0). Entonces el origen o es un centro o un foco para el sistema no lineal. Con una buena idea hasta el momento sobre el problema del centro-foco, el interés se centra en un sistema analítico que tenga un centro en el origen para el sistema lineal asociado y se intentará probar si el origen en un centro o un foco para el sistema no lineal..

(17) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 2.2.2.. 14. Formas normales para un sistema con dos valores propios imaginarios puros. Acá se presenta la forma normal para un sistema analítico en una vecindad de un punto singular con dos valores propios imaginarios puros. Para una detallada descripción del tema, se puede consultar en ([14]). Por lo tanto, acá se limita solamente al caso de los valores propios imaginarios puros (±ωi). El ejemplo siguiente será vital en el desarrollo del trabajo. Sean los valores propios imaginarios puros λ1 = ωi y λ2 = −ωi del sistema ( x0 = P (x, y) (2.22) y 0 = Q(x, y). Ahora bien, este sistema tomando z = x + iy adopta la forma z 0 = iωz + f2 (z, z) + f3 (z, z) + · · ·. z 0 = −iωz + f2 (z, z) + f3 (z, z) + · · · ,. (2.23). donde fr (z, z) es homogénea de grado r. Es importante resaltar que sólo interesa en el caso particular donde la matriz A es diagonal. En el caso de las formas normales para un sistema no lineal con matriz A diagonal, es posible desarrollar la teoría de formas normales de la siguiente forma para un sistema ([19]) 0 λ1 0 x g1 (x, y) x = + , (2.24) y0 0 λ2 y g2 (x, y) donde gi (x, y) = O(|x, y|). Sean λ1 , λ2 los valores de este sistema. La idea de la forma normal es hacer cambios de coordenadas para simplificar al máximo el sistema. Ahora bien, los monomios que nos interesan son los monomios resonantes, los cuales se escribirán en nuestro caso como z m1 z̄ m2 y serán de la forma < λ, m >= λs ,. (2.25). donde m = (m1 , m2 ), λ = (λ1 , λ2 ) y s = 1, 2. Esto permite así analizar el caso particular de la presencia de dos valores imaginarios puros. Por lo tanto, se tiene λ1 = ωi y λ2 = −ωi. Ahora, para el caso s = 1, se hallan los monomios resonantes en la primera ecuación. En efecto, se tiene λ1 = m1 λ1 + m2 λ2 , con mj ≥ 0 y m1 + m2 ≥ 2 ⇔ ωi = m1 ωi − m2 ωi ⇔ 1 = m1 − m2 ⇔ m1 = m2 + 1, m2 ≥ 1.. (2.26). Por lo tanto, los monomios resonantes de la primera ecuación son entonces z 2 z̄, z 3 z̄ 2 , . . . , z r+1 z̄ r , . . .. (2.27).

(18) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 15. Para s = 2, se tiene la segunda ecuación. λ2 = m1 λ1 + m2 λ2 , con mj ≥ 0 y m1 + m2 ≥ 2 ⇔ −1 = m1 − m2 ⇔ m2 = m1 + 1.. (2.28). Los monomios resonantes de la segunda ecuación son entonces z z̄ 2 , z 2 z̄ 3 , . . . , z r z̄ r+1 , . . .. (2.29). Puede verse entonces que estos son los conjugados de los monomios resonantes de la primera ecuación. Por lo tanto, haciendo un cambio de variable se obtiene z = Z + Q(Z, Z) z̄ = Z + Q(Z, Z), con Q de grado 2s + 1. Así pues el sistema adopta la forma ( 2 s Z 0 = ωiZ + c1 Z 2 Z + c2 Z 3 Z + · · · + cs Z s+1 Z + O (|Z|2r+2 ) 0 2 3 s+1 Z = −ωiZ + c1 Z Z + c2 Z Z 2 + · · · + cs Z Z s + O |Z|2r+2. (2.30). (2.31). En general, en el infinito, el cambio será divergente. Para el caso Re(cj ) = 0, se obtiene convergencia, lo que corresponde al caso de un centro. Si por el contrario, sabiendo que todos los valores Re(cj ) son nulos hasta j = s − 1 y que Re(cs ) 6= 0, es decir, Re(c1 ) = Re(c2 ) = · · · = Re(cs−1 ) = 0 Re(cs ) 6= 0, entonces el sistema en coordenadas polares queda en la forma ( r0 = Re(cs )r2s+1 + O(r2s+1 ) θ0 = ω + O(r),. (2.32). (2.33). donde puede verse que se tiene un foco débil atractivo si Re(cs ) < 0 y repulsivo si Re(cs ) > 0. Se dice que este foco débil es de orden k. Ahora, si los Re(cj ) son nulos, entonces se tiene un centro. Esto es expresado por el teorema de Poincaré que se verá mas adelante. Ahora bien, si tomando cj = aj + ibj se obtiene ( r0 = a1 r3 + a2 r5 + · · · + ak r2k+1 + O(r2s+2 ) θ0 = ω + b1 r2 + · · · + bk r2k + O(r2s+2 ).. (2.34). Una pregunta interesante es sobre los valores de los cj . El cálculo de los cj puede realizarse utilizando un software de manipulación simbólica. La fórmula del primer coeficiente es bien conocida. Sabiendo que cj = aj + ibj , puede encontrarse el primer coeficiente de la forma normal, para un sistema con dos valores propios imaginarios puros..

(19) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 16. Proposición 2.2.1. Si tenemos el sistema X. x0 = −ωy +. ajk xj y k. k+j≥2. 0. y = ωy +. X. bjk xj y k ,. (2.35). k+j≥2. entonces 1 1 [a11 (a20 + a02 ) − b11 (b20 + b02 ) − 2a20 b20 + 2a02 b02 ] . Re(c1 ) = (3a30 + a12 + b21 + 3b03 ) + 8 8ω (2.36) A continuación se introduce el teorema de Poincaré, el cual proporcionará un criterio preciso para determinar si se está en presencia de un centro. Teorema 2.2.4. (Teorema de Poincaré). Sea un sistema analítico con un punto singular con dos valores propios imaginarios puros. Si todos los Re(cj ) son nulos, donde los cj son los coeficientes de la forma normal (2.31), entonces el punto singular es un centro. Para detalles de la demostración puede verse ([14 ]). El teorema de Poincaré utiliza las constantes de Lyapunov que se introducen a continuación. Este teorema proporciona una condición suficiente para lograr determinar la existencia de un centro en el problema del fococentro. En general, se puede calcular los primeros coeficientes con la ayuda de un software. Para efectivamente mostrar la existencia de un centro, hay varias formas de hacerlo, una de las cuales se presentarán en el siguiente capítulo. Cabe recalcar que en este trabajo se utiliza en lugar de Re(cj ) las constantes de Lyapunov L(j). Proposición 2.2.2. (Constantes de Lyapunov). Para un sistema de la forma (2.35), existe una serie formal de la forma ∞. donde. X 1 Fp (x, y), F := (x2 + y 2 ) + 2 p=3 p X. (2.37). ai,p−i xi y p−i ,. (2.38). L(k)(x2 + y 2 )k+1 .. (2.39). Fp (x, y) =. i=0. tal que F0 =. ∞ X k=1. Acá, los L(k) son las denominadas constantes d eLyapunov. Es posible obtener operando grado a grado (para un grado dado), un sistema de variables no conocidas ai,p−i . Acá, el principio es sencillo (pero los cálculos son un poco tediosos). Se tiene entonces que F0 =. ∞ X p=3. Gp (x, y).. (2.40).

(20) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 17. Cuando el grado p de Gp es impar, se puede solucionar el sistema Gp = 0 y encontrar así las ai,p−i . Cuando el grado de p es par, hay que escoger L(k − 1) para que el sistema Gp = L(k − 1)(x2 + y 2 )k sea compatible. Sin embargo, utilizando un software de cálculo simbólico, es posible determinar las primeras constantes de Lyapunov. El siguiente teorema establece que es posible enunciar el teorema de Poincaré con las constantes de Lyapunov. Teorema 2.2.5. Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (1.1) con un punto singular con dos valores propios imaginarios puros. Entonces, el sistema posee un centro en el origen si y solo si todas las constantes de Lyapunov son nulos. Una prueba de este teorema se puede encontrar en ([14]). Se vió de manera intuitiva que si todas las constantes de Lyapunov son nulas, entonces la serie F es una integral primera formal del sistema, es decir, que ella es constante sobre todas las trayectorias del sistema. De manera semejante se puede decir que el sistema tiene un foco débil de orden k si L(1) = L(2) = · · · = L(k − 1) = 0 y L(k) 6= 0. Este foco es atractivo si L(k) < 0 y repulsivo si L(k) > 0. En efecto, la función hallada es una función de Lyapunov. Las constantes de Lyapunov y las partes reales de los coeficientes cj de la forma normal no son extraños entre si. En efecto, en el caso donde el sistema está ya en la forma normal de Poincaré (2.31), se tiene que 1 1 f (x, y) = (x2 + y 2 ) = z z̄, 2 2 entonces L(i) = Re(ci ). Ahora, puede enunciarse la siguiente proposición. Proposición 2.2.3. Sea el sistema analítico de ecuaciones diferenciales no lineales X 0 = w(X) con un punto singular en el origen de parte lineal 0 −ω . (2.41) ω 0 Sea L(k) sus constantes de Lyapunov y sea (2.31) su forma normal. Entonces Re(c1 ) = Re(c2 ) = · · · = Re(ck−1 ) = 0, Re(ck ) 6= 0 ⇐⇒ L(1) = L(2) = · · · = L(k − 1) = 0, L(k) 6= 0.. (2.42). Además, Re(ck ) y L(k) tienen el mismo signo. En efecto, se podría simplemente observar como se comportan los L(k) fuera de los cambios de variable que llevan el sistema bajo la forma normal de Poincaré. Un análisis más detallado se puede encontrar en ([6])..

(21) Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro. 18. Finalmente, se puede decir que el teorema de Poincaré no ayuda a encontrar todas las constantes de Lyapunov, ya que el cálculo es aún imposible, sin embargo es posible calcular algunas L(j) de forma computacional y el cálculo es más simple que el de las Re(cj )..

(22) 19. Capítulo 3 El método de Darboux 3.1.. Introducción. En el capítulo anterior se describió el problema del centro-foco. Resumiendo, este problema se refiere a que si tenemos un sistema no lineal y analítico, el sistema lineal asociado tiene una singularidad monodrómica, por ejemplo en el origen (sin perdida de generalidad) dos casos son posibles para el origen en el sistema no lineal, ya sea un centro o un foco débil. Se busca ahora un criterio que permita determinar el tipo de esta singularidad. En este capítulo, se presenta el método objetivo de la presente investigación para la resolución del problema centro-foco, el cual permite concluir la existencia de un centro. Uno de los mecanismos para demostrar la existencia de un centro fue conjeturado por Zoladek y se trata de la existencia de curvas algebraicas invariantes con las cuales podemos construir un factor integrante o una integral primera, lo que se conoce como el método de Darboux, que por definición, un centro de este tipo es llamado el centro de Darboux.. 3.2.. El método de Darboux. Se discute a continuación el mecanismo que nos permite determinar la existencia de un centro en un campo de vectores polinomial; tal mecanismo es el método de Darboux. Primero, debemos presentar la definición de las nociones de curvas algebraicas, curvas algebraicas invariantes y de integrales primeras. Supóngase el sistema polinomial no lineal ( x0 = P (x, y) y 0 = Q(x, y).. (3.1). Se presenta a continuación, la definición de curva algebraica. Definición 3.2.1. Una curva algebraica es el conjunto de puntos (x, y) ∈ C2 tales que F (x, y) = 0, donde F es un polinomio de C[x, y]. De acuerdo al sistema (3.1), se puede dar igualmente la definición de una curva algebraica sobre el flujo de un campo de vectores. Es importante recalcar que este sistema está también definido para x, y ∈ C..

(23) Capítulo 3. El método de Darboux. 20. Definición 3.2.2. La curva algebraica F (x, y) = 0, donde F es un polinomio de C[x, y], se dice invariante sobre el flujo del campo vectorial (3.1) si F 0 |F (x,y)=0 = 0.. (3.2). De igual forma, se puede introducir la siguiente proposición: Proposición 3.2.1. Sea F (x, y) = 0 un polinomio irreducible de C[x, y]. La curva algebraica F (x, y) = 0 es invariante bajo el flujo del campo vectorial (3.1) si y sólo si existe un polinomio K(x, y) ∈ C[x, y] tal que dF = K(x, y)F (x, y). (3.3) F0 = dt Demostración. Como F0 =. dF dF P (x, y) + Q(x, y) dx dy. (3.4). es un polinomio de coeficientes complejos que se anula cuando F (x, y) = 0, este polinomio debe entonces ser divisible por F (x, y) ya que F es irreducible. Así pues es posible escribir F 0 como F 0 = K(x, y)F (x, y).. (3.5). Es de anotar que la otra implicación se demuestra de forma directa. Entonces, si existe un polinomio K(x, y) ∈ C[x, y] tal que F0 =. dF = K(x, y)F (x, y), dt. (3.6). entonces F 0 |F (x,y)=0 = 0.. (3.7). Se tiene que la curva algebraica F (x, y) = 0 es invariante bajo el flujo. Acá, se llama al polinomio K(x, y) el cofactor de F (x, y). Ahora se presenta el método de Darboux, objetivo de este trabajo. Interesa en primera medida el papel de las curvas invariantes en la construcción de integrales primeras y de factores integrantes de tipo de Darboux, las cuales son por definición, funciones que se expresan como productos de potencias de polinomios Fi tal que Fi (x, y) es una curva algebraica invariante. Definición 3.2.3. Una integral primera de un sistema es una función no constante que es constante sobre todas las trayectorias de este sistema. El método de Darboux permite entonces encontrar una integral primera de un campo de vectores polinomial de la forma (3.1). Supóngase ahora que el campo tiene m curvas algebraicas invariantes, denotadas F1 (x, y) = 0, . . . , Fm (x, y) = 0,. (3.8). con Fi (x, y) = 0 ireducible, para i = 1, 2, . . . , m. Es importante notar que cada una de estas curvas tiene su respectivo cofactor K1 (x, y), . . . , Km (x, y). Se puede entonces escribir Fi0 = Ki (x, y)Fi (x, y).. (3.9).

(24) Capítulo 3. El método de Darboux. 21. Supóngase ahora que existen constantes α1 , . . . , αm ∈ C tales que m X. αi Ki (x, y) = 0.. (3.10). i=1. Para la obtención de una integral primera asociada al sistema, se hace uso de la siguiente proposición. Proposición 3.2.2. Considérese un sistema de la forma (3.1) con curvas algebraicas invariantes, Fi (x, y) = 0, donde Fi (x, y) = 0 un polinomio irreducible, donde i = 1, . . . , m tales que (3.10) se satisface para constantes αi , no todos nulos. Entonces, la función H(x, y) =. m Y. Fiαi ,. (3.11). i=1. es una integral primera del sistema en cuestión. Demostración. Sea H = F1α1 · · · Fmαm . Se puede entonces escribir: dH αm−1 = α1 F1α1 −1 (F2α2 · · · Fmαm )F10 + · · · + αm Fmαm −1 (F1α1 F2α2 · · · Fm−1 )Fm0 dt αm−1 = K1 α1 F1α1 (F2α2 · · · Fmαm ) + · · · + Km αm Fmαm (F1α1 F2α2 · · · Fm−1 ) = (α1 K1 + α2 K2 + · · · + αm Km )H = 0, donde H es una integral primera del sistema. Ejemplo 3.2.1. Se muestra a continuación que el sistema de ecuaciones diferenciales adjunto tiene tres rectas invariantes y se deduce una integral primera del mismo. Sea el sistema. ( x0 = x(1 + x − y) y 0 = y(−1 + x − y).. (3.12). Se puede ver que x = 0 y y = 0 son dos rectas invariantes las cuales pueden ser escritas como F1 = x = 0 y F2 = y = 0. En efecto, para verificar que son invariantes se tiene que para F1 : F10 = x0 = x(1 + x − y) = (1 + x − y)x = K1 F1 , con K1 (x, y) = 1 + x − y. Ahora, para F2 se obtiene F20 = y 0 = y(−1 + x − y) = (−1 + x − y)y = K2 F2 , con K2 (x, y) = −1 + x − y. Ahora, para encontrar la tercera recta invariante, se realiza el siguiente análisis: x0 = 0 y y 0 = 0si x = y = 0. x0 = 0 si y = 0 y x0 − 1 (con x 6= 0). Finalmente, y 0 = 0 si x = 0 y y = −1 (con y 6= 0). Por consiguiente, se tendría la recta invariante F3 = y + x + 1 = 0. En efecto,.

(25) Capítulo 3. El método de Darboux. 22. F30 = y 0 + x0 = −y + xy − y 2 + x + x2 − xy = x2 − y 2 + x − y = (x − y)(x + y) + (x − y) = (x − y)(x + y + 1) = K3 F 3 , con K(x, y) = x − y. Ahora bien, para encontrar una integral primera con la ayuda del método de Darboux, se buscan 3 X constantes α1 , α2 y α3 sabiendo que αi Ki (x, y) = 0. Así pues se tiene que: i=1. α1 (1 + x − y) + α2 (−1 + x − y) + α3 (x − y) = 0 (α1 − α2 ) + (α1 + α2 + α3 )x + (−α1 − α2 − α3 )y = 0, por lo que α1 − α2 = 0 implica que α1 = α2 . Ahora, si α1 + α2 + α3 = 0, se tiene que α3 = −2α2 . Si por ejemplo, α2 = 1, entonces α1 = 1 y α3 = −2. Así pues H(x, y) =. 3 Y. Fiαi = F1α1 F2α2 F3α3. i=1. = (x)1 (y)1 (y + x + 1)−2 xy = . (y + x + 1)2 Vale la pena notar que H(x, y) es constante a lo largo de las trayectorias, en efecto, dH y 2 + y − xy 0 x2 − xy + x 0 = Hx x0 + Hy y 0 = x + y dt (x + y + 1)3 (x + y + 1)3 2 1 2 2 2 = (y + y − xy)(x + x − xy) + (x − xy + x)(−y + xy − y ) (x + y + 1)3 2 1 2 2 2 (y + y − xy)(x + x − xy) − (x + x − xy)(y + y − xy) = (x + y + 1)3 = 0. Ahora, por definición, un factor integrante es una función M (x, y) 6= 0 tal que el sistema ( x0 = P (x, y)M (x, y) (3.13) y 0 = Q(x, y)M (x, y).

(26) Capítulo 3. El método de Darboux. 23. es Hamiltoniano, ya sea de la forma ( x0 = ∂H ∂y 0 y = − ∂H ∂x. (3.14). para una función H(x, y), lo que es equivalente a div(P M, QM ) = 0,. (3.15). en una vecindad del punto singular ya que el dominio es simplemente conexo. Proposición 3.2.3. Considérese el sistema (3.1) con curvas algebraicas invariantes, Fi (x, y) = 0, donde Fi (x, y) = 0 es un polinomio irreducible, con i = 1, . . . , m, tales que (3.10) se satisface para constantes αi (no todas nulas). Entonces, si M=. m Y. Fiαi. (3.16). i=1. y. m X. αi Ki + div(P, Q) = 0,. (3.17). i=1. entonces M es un factor integrante.. Demostración. Inicialmente se quiere que div(P M, QM ) = 0. Sea ∂M ∂P ∂Q ∂M +Q +M + div(P M, QM ) = P . ∂x ∂y ∂x ∂y. (3.18). En la proposición (3.22) se mostró que dH = (α1 K1 + α2 K2 + · · · + αm Km )H, dt donde H(x, y) =. m Y. Fiαi .. (3.19). (3.20). i=1. Acá, H = M . Entonces dM =M dt También se tiene que. m X i=1. αi Ki. !. .. dM ∂M dx ∂M dy ∂M ∂M = + =P +Q dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y. (3.21). (3.22).

(27) Capítulo 3. El método de Darboux. 24. y por tanto ∂M ∂P ∂Q ∂M +Q +M + div(P M, QM ) = P ∂x ∂y ∂x ∂y dM = + M (div(P, Q)) dt ! m X =M αi Ki + M (div(P, Q)) =M. i=1 m X. !. αi Ki + div(P, Q). i=1. =0. (3.23). utilizando la hipótesis. Se tiene finalmente que div(P M, QM ) = 0,. (3.24). donde M es entonces un factor integrante. Ahora se puede entonces obtener una integral primera por integración; lo que resume entonces el método de Darboux el cual da un criterio para determinar si una singularidad en un sistema no lineal analítico es un centro. A continación se presentan dos ejemplos de aplicación en los cuales podemos utilizar el método de Darboux para determinar la existencia de un centro. Ejemplo 3.2.2. Supóngase el sistema polinomial ( x0 = −x2 − y + 3y 2 y 0 = x(1 + y).. (3.25). Puede verse que es posible hallar una recta invariante y una cónica invariante para este sistema. Así pues, es fácil ver que la recta y = −1 es una recta invariante para (3.25). De igual forma, dicha recta puede ser escrita como F1 (x, y) = y + 1 = 0. Se puede verificar que esta recta es efectivamente invariante. Ahora, escribiendo F10 = y 0 = x(1 + y) = F1 K1 ,. (3.26). se obtiene el cofactor K1 = x. Por consiguiente, se puede encontrar la ecuación de la cónica invariante sabiendo que esta cónica debe ser escrita bajo la forma general F2 (x, y) = Ax2 + By 2 + Cy + 1 = 0.. (3.27). En efecto, como el sistema es reversible respecto al eje y, se puede limitar a cónicas simétricas respecto al eje y. La ecuación de esta cónica (no pasando por el origen) toma la forma (3.26). De igual forma puede hallarse la ecuación F2 de esta cónica y su cofactor K2 , calculando F20 y escribiendo F20 = F2 (x, y)K2 (x, y). Por lo tanto.

(28) Capítulo 3. El método de Darboux. 25. F20 = 2Axx0 + 2Byy 0 + Cy 0 = 2Ax(−x2 + y + 3y 2 ) + 2By(x + xy) + C(x + xy) = −2Ax3 + (6A + 2B)xy 2 + (−2A + 2B + C)xy + Cx C C 2 2 y− . = −2x Ax + (−3A − B)y + A − B − 2 2. (3.28). Realizando la comparación de los términos de x3 , se encuentra que K2 = −2x. Sabiendo finalmente que la última linea debe ser igual a − 2x(Ax2 + By 2 + Cy + 1),. (3.29). donde −2x sería el cofactor K2 . Realizando la comparación término a término se puede encontrar A, B y C, donde 6 9 A=− ; B= ; C = −2 (3.30) 5 5 Así pues, después de algunas manipulaciones aritméticas se tiene que la ecuación de nuestra cónica invariante es F3 (x, y) = −6x2 + 9y 2 − 10y + 5 = 0, (3.31) donde su cofactor es K3 (x, y) = −2x. Después de todo lo expuesto, se puede ya utilizar el método de Darboux para encontrar una integral primera. Se busca α1 y α3 sabiendo que α1 K1 (x, y) + α3 K3 (x, y) = 0.. (3.32). −2xα1 + xα3 = 0, ∀x, y ⇔ (−2α1 + α3 )x = 0, ∀x, y ⇔ α3 = 2α1 .. (3.33). A continuación se halla α1 y α3 .. Tómese por ejemplo, α1 = 1 y α3 = 2. Se encuentra entonces la ecuación de una integral primera hallada por el método de Darboux, es decir, H = F11 F32 = (−6x2 + 9y 2 − 10y + 5)(y + 1)2 .. (3.34). Analizando esta función, es posible señalar que H tiene un máximo estricto en (0, 0) y entonces sus curvas de nivel son cerradas en una vecindad del origen. Por consiguiente puede concluirse que el origen es un centro por el método de Darboux. Observación. Este ejemplo permitió poner en aplicación el método de Darboux, al igual que es posible mostrar que este sistema es reversible respecto al eje y. Ejemplo 3.2.3. Sea el sistema. ( x0 = −x2 − y + y 2 y 0 = x + xy.. (3.35).

(29) Capítulo 3. El método de Darboux. 26. En este caso, puede verse que el sistema es temporalmente reversible respecto al eje y. Para ello, debe verificarse que P (−x, y) = P (x, y) y Q(−x, y) = Q(x, y). En efecto se tiene que P (−x, y) = −y − (−x)2 + y 2 = P (x, y) y Q(−x, y) = −x − xy = −(x + y) = −Q(x, y), así pues es posible concluir que el origen es un centro ya que todo centro es analíticamente reversible. Ahora, se ve fácilmente que y = −1 es una recta invariante para el sistema, es decir, si se escribe F1 (x, y) = y + 1 = 0, se puede verificar que esta recta es invariante, en efecto, F10 = y 0 = x + xy = x(1 + y) = xF1 (x, y) = K1 F1 (x, y), de donde K1 (x, y) = x es el cofactor de F1 (x, y). Seguidamente, para encontrar la ecuación de la cónica invariante, se escribe su ecuación bajo la forma general (puesto que el sistema es reversible respecto al eje y) F2 (x, y) = αx2 + βy 2 + γy + 1 = 0.. (3.36). Así pues, para encontrar la ecuación F2 de la cónica y su cofactor K2 , se calcula F20 . Entonces se obtiene que F20 = 2αxx0 + 2βyy 0 + γy 0 = 2αx(−y − x2 + y 2 ) + 2βy(x + xy) + γ(x + xy) = −2αx3 + 2(α + β)xy 2 + (−2α + 2β + γ)xy + γx h γi γ y− . = −2x αx2 + (α − β)y 2 + α − β − 2 2. Ahora bien, como F20 = K2 (x, y)F2 (x, y), se tiene que h γ γi −2x αx2 + (α − β)y 2 + α − β − y− = K2 (x, y)(αx2 + βy 2 + γy + 1). 2 2. Acá se observa que K2 (x, y) = −2x sería el cofactor. Ahora, se hallan los valores α, β y γ comparando los términos. Se tiene que −α − β = β, lo que implica que α = −2β. Como − γ2 = 1 se tiene que γ = −2 y finalmente la ecuación α − β − γ2 = γ, lo que implica que β = 1, de donde α = −2. Por lo tanto, la ecuación de la cónica está dada por F2 (x, y) = −2x2 + y 2 − 2y + 1, con confactor K2 (x, y) = −2x. Ahora, con la ayuda del método de Darboux se encuentra una integral primera del sistema. Para ello, se busca α1 y α2 tales que α1 K1 (x, y) + α2 K2 (x, y) = 0, entonces.

(30) Capítulo 3. El método de Darboux. 27. α1 x + α2 (−2x) = 0 α1 x − 2α2 x = 0 (α1 − 2α2 )x = 0 ⇔ α1 = 2α2 . Ahora, si por ejemplo α2 = 1 entonces α1 = 2, por consiguiente la ecuación de una integral primera del sistema es H(x, y) = F1α1 F2α2 = (y + 1)2 (−2x2 + y 2 − 2y + 1). Seguidamente, si se analiza la función H(x, y) = −2x2 y 2 + y 4 + 2y 3 − 2y 2 − 4x2 y − 2x2 + 1, se concluye que H(x, y) tiene un máximo en (0, 0) y entonces las curvas de nivel son cerradas en una vecindad del origen, y así se deduce que el origen es un centro (método de Darboux). Observación. Es fácil ver que la linealización del sistema A en (0, 0) está dada por 0 −1 A= , 1 0. y entonces hay dos valores propios de la forma ±i, lo que ayuda a concluir que se tiene un centro en el origen..

(31) 28. Capítulo 4 Aplicación al modelo generalizado de Gauss 4.1.. Introducción. El objeto de estudio es el modelo de Gauss generalizado (con cosecha de presas), el cual tiene la siguiente forma simplificada: ( x0 = ρx(1 − x) − p(x)y − λ (4.1) y 0 = −δy + p(x)y, con x, y ≥ 0. Acá, se tiene cinco parámetros reales ρ, α, δ, λ los cuales son estrictamente positivos y β adopta cualquier valor real, donde p(x) =. x2 . αx2 + βx + 1. (4.2). A continuación, se hace el estudio de los puntos singulares para este sistema.. 4.2.. Puntos singulares del sistema. En esta sección, se estudian los puntos singulares del sistema (4.1) al igual que la descripción de su tipo. Se inicia señalando que la recta de ecuación y = 0 es invariante bajo el flujo del sistema (4.1). Igualmente, se recalca que el eje de las ordenadas no es invariante cuando λ 6= 0, lo que significa que el modelo no es adecuado cuando x es muy pequeño. Es importante recordar ahora que el cálculo de los puntos singulares del sistema (4.1) donde x2 p(x) = , (4.3) αx2 + 1 con β = 0. Estas son las soluciones del sistema de ecuaciones siguiente con x, y desconocidas: ( ρx(1 − x) − yp(x) − λ = 0 (4.4) y(−δ + p(x)) = 0, con x, y ≥ 0. Tomando la segunda ecuación, tenemos que y = 0 o p(x) = δ. Para y = 0, la primera ecuación adopta la forma.

(32) Capítulo 4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss. ρx2 − ρx + λ = 0.. 29. (4.5). Calculando el discriminate de esta ecuación cuadrática se tiene: ∆ = ρ(ρ − 4λ).. (4.6). Así pues, se tienen los siguientes casos: 1. Cuando ρ < 4λ, no se tiene punto singular sobre y = 0. 2. Cuando ρ = 4λ, entonces ( 21 , 0) es un punto singular doble. 3. Cuando ρ > 4λ, entonces la ecuación (4.5) tiene dos soluciones que llamaremos acá x01 y x02 , tales que p p ρ(ρ − 4λ) ρ(ρ − 4λ) 1 1 x01 = − , x02 = + . (4.7) 2 2ρ 2 2ρ Así pues, C = (x01 , 0) y D = (x02 , 0) son puntos singulares. (Ver cuadro 4.1) Veáse ahora el caso p(x) = δ. Se busca entonces el punto X0 ≥ 0 tal que p(x0 ) = δ. Utilizando la ecuación (4.4), se tiene que 1 y0 = (ρx0 (1 − x0 ) − λ). δ. (4.8). p(x) = δ ⇐⇒ (αδ − 1)x2 + δ = 0.. (4.9). Finalmente se halla que Se podría ahora analizar los casos para (αδ − 1) > 0, (αδ − 1) > 0 o (αδ − 1) = 0. Aunque (4.7) puede tener dos soluciones positivas, para uno de las dos soluciones, el valor de y correspondiente es negativo. Así pues, se tiene 0 o 1 punto singular en el primer cuadrante. Cuando el punto existe, por ejemplo E, este sale del primer cuadrante confundiéndose con C o D, lo cual puede verse de forma resumida en el cuadro 4.1. Región ρ < 4λ ρ = 4λ ρ > 4λ y x0 ∈]x01 , x02 [ ρ > 4λ y x0 = x01 ρ > 4λ y x0 = x02 ρ > 4λ y x0 ∈]0, x01 [ ∪ ]x02 , +∞[. Puntos singulares Ninguno 1 1 ( 2 , 0) es un punto doble si δ 6= α+4 , (C = D) 1 y es un punto triple si δ = α+4 , (C = D = E) C, D y E = (x0 , y0 ) donde p(x0 ) = δ 0 )−λ y y0 = ρx0 (1−x δ (C = E) es un punto doble y D C y (D = E) es un punto doble CyD. C UADRO 4.1: Puntos singulares del sistema dependiente de los valores de los parámetros.. Ahora, se puede analizar el tipo de cada uno de los puntos singulares, para ello se proporciona solamente ciertos elementos claves y las conclusiones con base al cuadro 4.1..

(33) Capítulo 4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss La matriz jacobiana del sistema (4.1) considerando siempre β = 0 está dada por ! −p(x) ρ − 2ρx − (αx2xy 2 +1)2 . J(x, y) = 2xy −δ + p(x) (αx2 +1)2. 30. (4.10). Así pues, con base a la tabla anterior se va a estudiar dos casos distintos: ρ = 4λ y ρ > 4λ. Para el caso ρ = 4λ, se tiene que el punto singular doble B = ( 12 , 0) con una matriz jacobiana en este punto vale ! 1 0 (α+4) . (4.11) J(B) = 1 0 −δ + (α+4) 1 Puede verse que B = ( 21 , 0) es entonces una silla-nodo de multiplicidad 2 si δ 6= (α+4) y una 1 . Ahora, para el caso ρ > 4λ, se necesita desasilla nilpotente de multiplicidad 3 si δ = (α+4) rrollar un poco de mas trabajo. Se procede a iniciar con la siguiente definición.. Región δ < p( 12 − τ ). Puntos singulares C, D, E. δ = p( 12 − τ ). C, D. p( 12 − τ ) < δ < p( 21 ). C, D, E. p( 12 ) ≤ δ < p( 12 + τ ). C, D, E. δ = p( 12 + τ ). C, D. δ > p( 12 + τ ). C, D, E. tipo C es un nodo repulsivo D, E son sillas hiperbólicas C es un nodo repulsivo D es una silla hiperbólica C y D son sillas hiperbólicas E es una anti-silla C y D son sillas hiperbólicas E es un foco/nodo atractivo C es una silla hiperbólica D es un nodo-silla atractivo D es un nodo atractivo C, E son sillas hiperbólicas. C UADRO 4.2: Puntos singulares del sistema dependiente de los valores de los parámetros. Definición 4.2.1. Una anti-silla de montar es un punto singular en el cual el producto de los valores propios es positivo. Así, una anti-silla de montar es entonces, ya sea un nodo, un foco, un foco débil o un centro. El cuadro 4.2 resume lo anteriormente dicho. Ahora, se proporciona el valor de x01 y x02 . p p ρ(ρ − 4λ) ρ(ρ − 4λ) 1 1 x01 = − , x02 = + . (4.12) 2 2ρ 2 2ρ Denótese x01 =. 1 2. − τ y x02 =. 1 2. + τ , donde p ρ(ρ − 4λ) τ= . 2ρ. (4.13).

(34) D,E sont des cols hyperboliques C est un col-noeud répulsif D est un col hyperbolique 1 1 p( 2 ⌘) < < p( 2 ) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques E est un anti-selle Capítulo 4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss 31 p( 12 )  < p( 12 + ⌘) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques E est un (foyer/noeud) attractif 57 C est un col hyperbolique 1 = p( + ⌘) C,D 2 Las posibilidades de centro o las bifurcaciones de Hopf se dan cuando E es una anti-silla. D est un col-noeud attractif Acá interesa igualmente interesa el caso límite 1 Typedonde ρ = 4λ y por la condición para tener Région Points Singuliers > p( + ⌘) C,D,E D est un noeud attractif 1silla nilpotente, sea δ = 1 . Hasta 2acá, los puntos C, CDet y una E des se cols pueden fusionar. En E sont hyperboliques α+4 < p( 2 ⌘) C,D,E C est un noeud répulsif las siguientes figuras, se representan losdes retratos fase de Esinguliers como y de C, D y E se Tab. 3.2. hyperboliques Types des points pourcentro ⇢ > 4 [11] D,E sont cols = p( 12 ⌘). fusionan. 1. C,D. C est un col-noeud répulsif D est un col hyperbolique 1 1 p( 2 ⌘) < < p( 2 ) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques E est un anti-selle 1 1 p( 2 )  < p( 2 + ⌘) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques E est un (foyer/noeud) attractif 1 = p( 2 + ⌘) C,D C est un col hyperbolique D est un col-noeud attractif > p( 12 + ⌘) C,D,E D est un noeud attractif C et E sont des cols hyperboliques F IGURA Centro Tab. 3.2. Types des points singuliers pour ⇢4.1: > 4 E:[11] = p( 2. ⌘). C,D. Fig. 3.4. Comparaison entre centre et col nilpotent. 3.3. Analyse des bifurcations du système Il y a quatre types de bifurcations dans ce système. Nous nous attarderons plus précisément à la bifurcation de Hopf au voisinage du point singulier E = ⇥ Silla nilpotente. F IGURA 4.2: C = D⇤ = E: (x0 , y0 ) avec x0 2 x01 , 12 à la section 3.3.1 et à la bifurcation de col nilpotent au 1 voisinage du point singulier ( 12 , 0) lorsque ⇢ = 4 et = ↵+4 à la section 3.3.2.. Fig. 3.4. Comparaison entre centre et col nilpotent. 3.3. Analyse des bifurcations du système Il y a quatre types de bifurcations dans ce système. Nous nous attarderons plus précisément à la bifurcation de Hopf au voisinage du point singulier E = ⇤ ⇥ (x0 , y0 ) avec x0 2 x01 , 12 à la section 3.3.1 et à la bifurcation de col nilpotent au 1 voisinage du point singulier ( 12 , 0) lorsque ⇢ = 4 et = ↵+4 à la section 3.3.2..

(35) 32. Conclusiones y sugerencias En este trabajo de grado se estudió el problema del centro-foco, el cual responde a la pregunta: Bajo que condiciones puede concluirse que un punto singular monodrómico es un centro para el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal ( x0 = P (x, y) (14) y 0 = Q(x, y), donde P (x, y) y Q(x, y) son funciones polinomiales? Se estudió el método de Darboux, el cual permitió responder a esta pregunta. Este método brindó una forma de encontrar una integral primera de un campo vectorial polinomial utilizando las curvas algebraicas invariantes y sus respectivos cofactores. En este trabajo se mostró igualmente que un sistema de ecuaciones en particular presenta rectas invariantes y se calculó la primera integral del mismo. Mediante el método de Darboux, se probó la existencia de un centro para otros dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales; hallando una recta y una cónica invariante, para luego hallar una primera integral aplicando nuevamente el método en cuestión. Para el modelo generalizado de Gauss, se probó que la primera constante de Lyapunov para este sistema es nula, es decir, L(1) = 0, lo cual demostró que el punto singular E = (x0 , y0 ) es un centro, lo cual era uno de los objetivos respecto a las aplicaciones del método. Finalmente, se presentó todo el detalle de los puntos singulares del sistema para el modelo de Gauss generalizado y se proporcinó igualmente su tipo topológico utilizando la definción de anti-silla. Sugerencias. Se pueden mencionar muchas sugerencias las cuales hacen parte esencial de posibles investigaciones en el área. Entre ellas, como el problema del centro-foco es general, es decir, existe también para puntos singulares en los cuales la parte lineal es degenerada, dicho en otras palabras, en los cuales los valores propios son nulos, por ejemplo de matriz nilpotente, es interesante ahondar en el caso degenerado. Otra posible investigación sobre el problema del centro-foco es estudiarlo utilizando otro tipo de técnicas, entre las cuáles se destaca el método de análisis de reversibilidad algebraica o de análisis del sistema. Esto quiere decir que si un sistema posee una singularidad monodrómica (siendo algebraicamente o analíticamente reversible en ese punto), entonces esta singularidad será necesariamente un centro..

(36) 33. Bibliografía [1] Aktas, M. (2014). On the multivariate Lyapunov inequalities., Appl. Math. Comput., 232: 784-786. [2] Ayaz, F. (2004). Solutions of the system of differential equations by differential transform method., Applied Mathematics and Computation. 147:547-567. [3] Bazykin, A. (1998). Nonlinear Dynamics of Interacting Populations, World Scientific Series on Nonlinear Science A., World Scientific Publishing Co. 11. [4] Boussaada, I. (2008). Contribution to the study of periodic solutions and isochronous centers for planar polynomial systems of ordinary differential equations., Ph.D thesis, Université de Rouen., 1-94. [5] Brauer, F. and Soudack, A. (1979).Stability Regions in Predador-Prey Systems with Constant Rate Prey Harvesting. J. Math. Biol., 8: 55-71. [6] Cárdenas, P.Pablo et al. (2016). A note on Lyapunov constants of polynomial systems., Applied Mathematical Sciences., 10: 3165-3172. [7] Chen, X. and Romanovski, V. (2010). Linearizability conditions of time-reversible cubic systems. J. Math. Anal. Appl., 362: 438-449. [8] Christopher, C. and Chengzhi, L. (2000). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhauser, 171. [9] Coppel, W. (1996). A survey of Quadratic systems., Journal of Differential Equations., 2: 293-304. [10] Dumortier, F. et al. (1991). Generic 3-parameter Families of Planar Vector Fields, Unfolding of Saddle, Focus and Elliptic Singularities with Nilpotent Linear Parts. Lecture Notes in Math., 1480: 1-164. [11] Giné, J. (2007). On the number of algebraically independent Poincaré-Lyapunov constants., 188: 1870-1877. [12] Hill, J. and Pearson, J. (2007). Centres and limit cycles for an extended Kukles system. Electron. J. Differential Equations., 2007: 1-23. [13] Llibre, J. et al. (2006). Qualitative Theory of Planar Differential Systems., Springer Berlin Heidelberg. [14] Perko, L. (1996). Differential equations and dynamical systems. Second Edition, Springer. [15] Sadovskii, A. and Shcheglova, T. (2011). Solution of center-focus problem for a nine parameter cubic system. Differ. Equas., 47: 208-223..

(37) BIBLIOGRAFÍA. 34. [16] Shampine, L., and Thompson, S.(2000). Solving Delay Differential Equations with dde23. Mathematics Department, Southern Methodist University. Dallas, TX 75275. [17] Valli, D., and Kurths, J. (2014). Synchronization in coupled Ikeda delay systems., The European Physical Journal. 223: 1465-1479. [18] Wang, D. (2011). Mechanical manipulation for a class of differential systems., J. Symb. Comput., 12: 233-254. [19] Wang, D. (2004). Elimination Practice: Software Tools and Applications., Imperial College Press, London..

(38)