Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x²₁+ x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = x₁− 2x₂+ 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  1, 1, −2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) − 2P⁰(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + 4t − t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante α, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = −2, −1  X −5 3

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y = −2 −4

5 3

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −3 −4 2 −5

 X



, Y =

 5 4

−1 3

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 2 4 1



 , b2 =



 1 3 1



 , b3 =



 1 2 1



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1+ 2x2− 3x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = x₁+ x₂+ x₄,

ϕ₂(x) = 2x₁+ x₂+ x₃− 2x₄, ϕ₃(x) = 3x₁+ 2x₂+ x₃− x₄.

Tarea 6, variante α, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =













−4 2 0 5 2













, a₂=











 2 1

−1 2

−2













, a₃ =













−4

−2 2

−4 4











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante α, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x₁− 4x²₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 4x₁− x₂+ x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  2, −3, 2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) − 3P⁰(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − 2t + t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante β, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = −2, −5  X −4

−1

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y =

 4 −4

−2 −5

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −4 −1

3 2

 X



, Y =  −3 5

−2 4

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 1 1 1



 , b2 =



 4 3 3



 , b3 =





−1 1 0



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+ 2x2− x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = 4x₁+ x₂− 4x₃+ 2x₄, ϕ₂(x) = −3x₁+ x₂− 3x₃+ 3x₄, ϕ₃(x) = −6x₁+ 2x₂− 6x₃+ 6x₄.

Tarea 6, variante β, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 2 4 3 4 3













, a₂ =











 2 1 1

−2 0













, a₃=













−4

−5

−4

−2

−3











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante β, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = x²₁+ x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 2x₁+ 2x₂− 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y = −1, 3, −2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P⁰(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − 2t + 3t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 1 AJAS, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = 5, −2  X −3 4

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y =

 4 −5

−3 −1

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −2 −1

−5 3

 X



, Y =  −2 5

−1 −5

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 1 4 4



 , b2 =



 2 2 3



 , b3 =



 1 3 3



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+ x2+ 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = x₁+ 4x₂+ x₄,

ϕ₂(x) = x₁+ 2x₂− 4x₃− 3x₄, ϕ₃(x) = x₁+ 3x₂− 2x₃− x₄.

Tarea 6, variante 1 AJAS, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =













−4 1 3 0 2













, a₂=











 1 1 3

−3 1













, a₃ =











 2 2 6

−6 2











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 1 AJAS, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x²₁.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 2x₁+ x₂− 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y = −3, 3, −2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) + P⁰(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + 4t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 2 BTCF, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = −5, −1  X

 5

−4

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y = 2 −3

3 4

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −3 4

−1 −2

 X



, Y =  −3 2

1 −2

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 3 2 2



 , b2 =



 1 1 1



 , b3 =



 0 1 2



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− x2− 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = −x₁+ x₂+ x₃+ x₄, ϕ₂(x) = −3x₁+ x₂− 3x₃+ 3x₄, ϕ₃(x) = −2x₁+ x₂− x₃+ 2x₄.

Tarea 6, variante 2 BTCF, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 3 4 2

−1 0













, a₂=











 1 1 1

−3 1













, a₃ =











 2 3 1 2

−1











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 2 BTCF, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x²₁− 3x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 2x₁− 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  2, 3, 1 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − 3P⁰(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1 + 2t − 2t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 3 CSA, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) =  5, 2  X

 1

−3

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y = −2 1 2 5

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −4 4 5 1

 X



, Y = −5 −2

−3 2

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 2 1 4



 , b2 =



 1 1 2



 , b3 =



 0 1 1



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1+ x2− 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = x₁+ 4x₂+ x₃+ 2x₄, ϕ₂(x) = 2x₁+ 4x₂+ x₃− x₄, ϕ₃(x) = 3x₁+ 4x₂+ x₃− 4x₄.

Tarea 6, variante 3 CSA, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 4 3

−4

−3

−2













, a₂=













−4 3

−2 5 4













, a₃ =











 0 3

−3 1 1











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 3 CSA, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x²₁− 4x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 2x₁− 3x₂. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  −1, 3, 3 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−2) − 3P⁰(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t + t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 4 CNKM, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = 3, −4  X

 1

−1

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y =

 1 5

−3 −2

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr 3 2 4 5

 X



, Y = 1 −5 2 −4

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 1 0 2



 , b2 =



 2 1 3



 , b3 =



 2 1 4



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1+ x2− 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = −2x₁+ x₂+ 2x₃+ 2x₄, ϕ₂(x) = 4x₁− 2x₂− 4x₃− 4x₄, ϕ₃(x) = 4x₁+ 2x₂+ 2x₃+ 3x₄.

Tarea 6, variante 4 CNKM, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁=













−4

−2 2 1

−2













, a₂ =











 0 2 3 2 4













, a₃ =











 4 4 1 1 6











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 4 CNKM, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x₁x₂− 4x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = −4x₂+ x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  −1, 3, 3 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) − 2P⁰(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − t − 3t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 5 CNLE, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = 1, −2  X

 2

−5

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y = −2 −5

−4 −1

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr 5 2 1 −5

 X



, Y =  3 4

2 −5

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1 =



 1 2

−1



 , b2 =



 1 3

−2



 , b3=



 2 2 1



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1− x2− 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = 2x₂− 4x₃− 4x₄, ϕ₂(x) = x₁+ 2x₂+ x₃− 2x₄, ϕ₃(x) = x₁+ 3x₂− x₃− 4x₄.

Tarea 6, variante 5 CNLE, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 1

−1 3

−3 1













, a₂=













−2 2

−6 6

−2













, a₃ =











 2

−1

−4

−3 3











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 5 CNLE, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x₁x₂− 2x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = 3x₁− x₂− 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  1, 3, 1 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + P⁰(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3 + 2t + 2t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 6 DPE, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = −2, −5  X −1

−4

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y =  3 2 4 1

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −5 −4

4 2

 X



, Y = 2 5 1 4

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 3 2

−1



 , b2 =



 1 1 1



 , b3=



 1 1 2



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− 3x2− 2x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = x₁+ 4x₂− 2x₃+ 2x₄, ϕ₂(x) = 2x₁+ 3x₂− 2x₃+ 3x₄, ϕ₃(x) = x₁− x₂+ x₄.

Tarea 6, variante 6 DPE, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 1

−3 3 1

−2













, a₂=











 6

−6 3 5

−6













, a₃ =











 4 0

−3 3

−2











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 6 DPE, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x₁+ 3x₂+ 3.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = −3x₁+ x₂+ 3x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y = −2, 1, −2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) + P⁰(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t − 3t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 7 DEER, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) = 4, −5  X

 5

−4

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y = 3 −4 4 −5

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr

 4 3

−3 2

 X



, Y =  −1 3

−2 5

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1=



 1 2 1



 , b2 =



 1 3 2



 , b3 =



 3 4 2



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1− 2x2+ x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = −4x₁+ x₂− 2x₃+ 2x₄, ϕ₂(x) = 4x₁+ 2x₂− 4x₃+ 3x₄, ϕ₃(x) = −3x₂+ 6x₃− 5x₄.

Tarea 6, variante 7 DEER, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =













−1 4 3 2 5













, a₂ =











 0 1 4 1 2













, a₃=











 1

−3 1

−1

−3











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 7 DEER, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x₁x₂+ x₂.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = x₁− 3x₂. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  3, −2, 2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−3) + 4P⁰(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − 2t + 3t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 8 DLRTH, p´agina 1 de 3

Ejercicio 4. 2 %.

Sea ϕ : M₂(R) → R,

ϕ(X) =  2, 3  X −4

−1

 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Y) = ϕ^>_ΓY_E.

Y =

 4 3

−3 −2

 .

Ejercicio 5. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostraci´on de la linealidad para el siguiente funcional lineal ϕ : M₂(R) → R y haga la comprobaci´on con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) =tr −4 4 5 1

 X



, Y =

 1 −1

−2 4

 .

Ejercicio 6. 2 %.

Sea Γ = (γ₁, γ₂, γ₃)la base dual a la base can´onica E = (e₁, e₂, e₃)de R³ y sea Ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃) la base dual a la base B = (b₁, b₂, b₃) de R³, donde

b1 =



 1

−1 2



 , b2 =



 1 4

−1



 , b3=



 1 1 1



 . I. Calcule las matrices de transici´on PE,B, P_Ψ,Γ y P_Γ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ₁, ψ₂, ψ₃ en forma expl´ıcita y compruebe que ψ_i(b_j) = δ_i,j. III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1+ x2+ x3 respecto a la base Ψ y haga

la comprobaci´on.

Ejercicio 7. 1 %.

Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ₂, ϕ₃} y haga la comprobaci´on. Aqu´ı los fun- cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R⁴)^∗ est´an definidos mediante las siguientes f´ormulas:

ϕ₁(x) = 2x₁+ x₂− 3x₃+ x₄, ϕ₂(x) = −x₁− 3x₂+ x₃, ϕ₃(x) = x₁− 2x₂− 2x₃+ x₄.

Tarea 6, variante 8 DLRTH, p´agina 2 de 3

Ejercicio 8. 1 %.

Construya una base Ψ del anulador de A = (a₁, a₂, a₃) y haga la comprobaci´on. Describa el subespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

a₁ =











 1 3 1 3 1













, a₂ =













−1

−1

−3

−5

−2













, a₃=











 0

−2 2 2 1











 .

Ejercicio 9. 1 %.

Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga la comprobaci´on. En este ejercicio est´a prohibido utilizar los vectores a₁, a₂, a₃.

Ejercicio 10. 1 %.

Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A como una combinaci´on lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 8 DLRTH, p´agina 3 de 3

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante ´

Funcionales lineales.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante la siguiente f´ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´on no se cumple y d´e un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x₁+ 3x₂+ 4.

Ejercicio 2. 2 %.

Sea ϕ : R³ → R,

ϕ(x) = −4x₁+ x₃. I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₁, γ₂, γ₃), donde Γ es la base dual a la base can´onica E del espacio R³.

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(y), donde y =  −3, 3, 2 ^>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(y) = ϕ^>_Γ y_E. Ejercicio 3. 2 %.

Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) + 2P⁰(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ₀, γ₁, γ₂), donde Γ es la base dual a la base can´onica E = (1, t, t²) del espacio P₂(R).

III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − 2t + 2t², de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ormula ϕ(Q) = ϕ^>_Γ Q_E.

Tarea 6, variante 9 DGGI, p´agina 1 de 3