MA 1116 Guía Farith pdf

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(1)Matemáticas III. Farith J. Briceño N. - 2015 Material en revisión.

(2) Indice. 1 Matrices. Definiciones básicas.. 3. 2 Sistemas de ecuaciones lineales. 27. 3 Matriz inversa. Determinante. 81. 4 Vectores en Rn y en Cn .. 103. 5 Rectas y planos en R3 .. 121. 6 Espacios vectoriales.. 153. 7 Combinación lineal. Espacio generado.. 161. Última actualización: septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(3) Matemática III - Guía 1. Matrices. Definiciones básicas. Objetivos a cubrir. Código : MAT-3.01. • Matrices. Operaciones entre matrices. Propiedades de las matrices. • Matriz traspuesta, simétrica, antisimétrica, idempotente. • Operaciones elementales sobre las filas de una matriz.. Ejemplo 1 : Sean A =. 1. 2. 3. 3. 0. 1. para que A = B.. !. y B=. Ejercicios resueltos. α2 − 2. β. 3. 5−β. 0. −1. !. . Hallar los valores de α y β. Solución : Estas matrices no pueden ser iguales, ya que, a23 6= b23 . Ejemplo 2 : Sean A =. a2. b2. b2 + 2. a4. que A = B.. !. y B=. −1. 2b − 1. 3b. 1. !. ⋆. . Hallar los valores de a y b para. Solución : Observemos, en primer lugar, que ambas matrices son del mismo tamaño, 2 × 2. Veamos, ahora, cuales son los valores de a y b, para que sean iguales componentes a componentes, así, se deben cumplir las siguientes igualdades a11 = b11. =⇒ a2 = −1. a12 = b12. =⇒ b2 = 2b − 1. =⇒. b2 − 2b + 1 = 0. =⇒. (b − 1) = 0. a21 = b21. =⇒ b2 + 2 = 3b. =⇒. b2 − 3b + 2 = 0. =⇒. (b − 1) (b − 2) = 0. a22 = b22. =⇒ a4 = 1. a = ±i. =⇒. =⇒. 2. =⇒. b=1 b=1. =⇒. y b=2. a = ±i. Luego, los valores de a y b para que A = B son. a = ±i. y. b = 1.. Ejemplo 3 : Hallar los valores de las constantes α y β para que 4β − 1 4α3 − 6α2 A = αβ y B=. ⋆. 5β 2. 1. α4 − 4α + 5. sean iguales.. . Solución : Observemos que las dos matrices tienen el mismo tamaño, 1 × 3. Además para que sean iguales se debe cumplir 1ra entrada. αβ = 1. 2da entrada. 4β − 1 = 5β 2. 3ra entrada. 4α3 − 6α2 = α4 − 4α + 5. Última actualización: septiembre 2015. =⇒. 5β 2 − 4β + 1 = 0 =⇒. Farith J. Briceño N.. =⇒. β=. 2±i 5. α4 − 4α3 + 6α2 − 4α + 5 = 0. [email protected].

(4) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. De la ecuación de la primera entrada tenemos que, si β = αβ = 1 mientras que, para β =. =⇒. 4. 2+i , entonces 5. α. . 2+i 5. . =1. =⇒. α = 2 − i,. α. . 2−i 5. . =1. =⇒. α = 2 + i,. 2−i , se tiene que 5 αβ = 1. =⇒. por último, sustituimos estos valores de α en la ecuación de la tercera entrada para demostrar que se cumple la igualdad, • Para α = 2 − i, se tiene α4 − 4α3 + 6α2 − 4α + 5 = (2 − i)4 − 4 (2 − i)3 + 6 (2 − i)2 − 4 (2 − i) + 5 2 2 = (2 − i) (2 − i) − 4 (2 − i) + 6 − 4 (2 − i) + 5 2. = (2 − i). 2. 4 − 4i + i2 − 8 + 4i + 6 − 8 + 4i + 5. = (2 − i) (1) − 3 + 4i = 4 − 4i + i2 − 3 + 4i = 0, es decir, se cumple la igualdad. • Para α = 2 + i, se tiene 4. 3. 2. α4 − 4α3 + 6α2 − 4α + 5 = (2 + i) − 4 (2 + i) + 6 (2 + i) − 4 (2 + i) + 5 2 2 = (2 + i) (2 + i) − 4 (2 + i) + 6 − 4 (2 + i) + 5 2. = (2 + i). 2. 4 + 4i + i2 − 8 − 4i + 6 − 8 − 4i + 5. = (2 + i) (1) − 3 − 4i = 4 + 4i + i2 − 3 − 4i = 0, es decir, se cumple la igualdad. Luego, los valores buscados son β=. 2+i , 5. y. α=2−i. β=. 2−i , 5. α = 2 + i. ⋆. .  Ejemplo 4 : Sean C =  . 7. −1. 3. 5. −2. −1. Solución : Tenemos que  7 −1 4  5 0 kC = −3   3 −2 −1 4. Última actualización: Septiembre 2015. . . 4. .  0   y k = −3, hallar kC. 4 (−3) (7).    =  (−3) (3)   (−3) (−2). (−3) (−1) (−3) (5) (−3) (−1). Farith J. Briceño N.. (−3) (4). . . −21.    (−3) (0)   =  −9 (−3) (4) 6. 3 −15 3. −12. .  0   −12. [email protected].

(5) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 5. así, la matriz −3C es una nueva matriz del mismo tamaño de la matriz C, denotamos esta nueva matriz B   −21 3 −12   . B= −9 −15 0   6 3 −12. ⋆. Ejemplo 5 : Sean A =. 3. 1. 2. −5. !. y B=. 2. −3. −1. 0. !. . Hallar A + B, en caso de ser posible.. Solución : Puesto que ambas matrices tienen el mismo tamaño, 2 × 2, la operación suma se puede realizar, así, tenemos que ! ! ! ! 3 1 2 −3 3 + (2) 1 + (−3) 5 −2 A+B = + = = , 2 −5 −1 0 2 + (−1) −5 + (0) 1 −5 luego, la matriz suma de las matrices A y B, la cual denotamos por C, viene dada por ! 5 −2 C= . 1 −5 ⋆ Ejemplo 6 : Hallar A + B, en caso de ser posible, donde   3i 1 − 3i −5  A= y 2 4−i −3 − 3i 3. . B=. 1. 0. −i. 7 2. 3 − 4i. . 2 . 2+ i 3. Solución : Puesto que ambas matrices tienen el mismo tamaño, 2 × 3, la operación suma se puede realizar, así, tenemos que     3i 1 − 3i −5 1 0 3 − 4i + A+B = 2 7 2  4−i −3 − 3i −i 2+ i 3 2 3     3i + (1) 1 − 3i + (0) −5 + (3 − 4i) 1 + 3i 1 − 3i −2 − 4i    = = 7 2 2 1 8 7 , 4 − i + (−i) −3 + − 3i + 2 + i 4 − 2i − i 2 3 3 2 3 3 luego, la matriz suma de las matrices A y B, la cual denotamos por C, viene dada por   1 + 3i 1 − 3i −2 − 4i C = 1 8 7 . 4 − 2i − i 2 3 3. Ejemplo 7 : Sean A =. −1. 2. −2. 1. !. . 1  5  y C =  −3  1. 2. ⋆. .   . Hallar CA, en caso de ser posible. 0   1. Solución : En primer lugar, observemos que el producto C3×2 A2×2 se puede realizar, ya que, el número de columnas de la matriz C coincide con el número de filas de la matriz A, además, se tiene que la matriz resultante, CA, es de tamaño 3 × 2 Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(6) Matemática III - Guía 1.. .   CA =  . 1 5 −3. 2. Matrices. Definiciones básicas.. .   0   1. 1 .   = .  1 (−1) + (2) (−2) !  2  5 =  (−3) (−1) + (0) (−2) 1  (1) (−1) + (1) (−2). −1 −2. 1 − −4 5 3+0. 2 +2 5 −6 + 0. −1 − 2. 2+1. . 6. . . .     =  . 3    Ejemplo 8 : Sean A =   −3  y B = 2. 21 5 3. 12 5 −6. −3. 3. −. −1.  1 (2) + (2) (1)  5   (−3) (2) + (0) (1)   (1) (2) + (1) (1).     . =⇒. .   CA =  . 21 5 3. 12 5 −6. −3. 3. −. .   . . ⋆. 2 . Hallar AB, en caso de ser posible.. 4. Solución : En primer lugar, observemos que el producto A3×1 B1×3 se puede realizar, ya que, el número de columnas de la matriz A coincide con el número de filas de la matriz B, además, concluimos que la matriz resultante, AB, es de tamaño 3 × 3       3 (3) (−1) (3) (4) (3) (2) −3 12 6         4 2 = (−3) (4) (−3) (2)  −12 −6  AB =   −3  −1  (−3) (−1) = 3 , 2 (2) (−1) (2) (4) (2) (2) −2 8 4 así,. .  AB =   . π  Ejemplo 9 : Sean C =   1 2. . −3. 12. 3. −12. −2. 8. 4 √  2   y D= 0. 0. 1. 6. .  −6  . 4. ⋆. −5 . Hallar CD, en caso de ser posible.. Solución : En primer lugar, observemos que el producto C3×2 D1×3 NO se puede realizar, ya que, el número de columnas de la matriz C no es igual al número de filas de la matriz D, por lo tanto, el producto CD no tiene sentido. ⋆ Ejemplo 10 : Responda VERDADERA o FALSA la siguiente proposición: “El producto de matrices es conmutativo”. Solución : Consideremos las matrices del ejemplo 9   π 4  √  C= y 2   1  2 0. D=. 0. 1. −5. . ,. observemos que el producto C3×2 D1×3 NO se puede realizar, pero el producto D1×3 C3×2 SI se puede realizar, ya que, el número de columnas de la matriz D es igual al número de filas de la matriz C. Gracias a este contraejemplo podemos concluir que la proposición es FALSA.. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. ⋆. [email protected].

(7) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. Ejemplo 11 : Sean B =. 1. 0. 7. −2 . Hallar B 2 , en caso de ser posible.. −6. Solución : Tenemos que B 2 = BB, como la matriz B no es una matriz cuadrada, concluimos que B 2 NO tiene sentido. ⋆ Ejemplo 12 : Sean. A=. E=. −1. 2. −2. 1. !. ,. 1. 0. 1. 0. 2. 1. B=. i. i−2. 1. i−1. !. . 1 5 −3.   C= . ,. !. 1. 2. .   , 0   1. .   D= . 1 2 −2. −1. .   , 4   5. 3. Diga cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectuelas 1. A + B. 2. D − 2E. 3. 5C. 5. B 2 + iA. 4. CA − 2D. 6. C 2 + D. Solución : 1. Puesto que ambas matrices tienen el mismo tamaño, 2 × 2, se puede realizar la operación, así, tenemos que ! ! ! −1 2 i i−2 −1 + i i A+B = + = . −2 1 1 i−1 −1 i 2. La operación D − 2E no tiene sentido, ya que las matrices no tienen el mismo tamaño. 3. Tenemos que. .   5C = 5  . 1 5 −3 1. 2. . . 1.     −15 = 0    5 1. 10. .  0  . 5. 4. Observemos que el producto C3×2 A2×2 se puede realizar, ya que, el número de columnas de la matriz C coincide con el número de filas de la matriz A, además, concluimos que la matriz resultante, CA, es de tamaño 3 × 2, el cual es el tamaño de la matriz resultante 2D, así, la operación (CA)3×2 − (2D)3×2 se puede efectuar. Realizamos la operación    CA − 2D =  . 1 5 −3 1. 2. .   0   1. −1. 2. −2. 1.  1  5 (−1) + (2) (−2)  =  (−3) (−1) + (0) (−2)  (1) (−1) + (1) (−2) Última actualización: Septiembre 2015. !. .   −2 . 1 2 −2 3. −1. .   4   5.   1 1 (2) + (2) (1)  5    −  −4  (−3) (2) + (0) (1)   6 (1) (2) + (1) (1). Farith J. Briceño N.. −2. .  8   10. [email protected].

(8) Matemática III - Guía 1.. .   = . −. Matrices. Definiciones básicas.. 21 5 3. 12 5 −6. . . 1. −2.      −  −4  6 3. −3. . . 8. 21 −1 5 3+4. 12 +2 5 −6 − 8. −.    8  =  10 −3 − 6. 3 − 10. . .     =  . 26 5 7. 22 5 −14. −9. −7. −. .   . . 5. Tenemos que el producto B 2 = B2×2 B2×2 se puede realizar, ya que, la matriz B es una matriz cuadrada de orden 2, por lo que la matriz resultante, B 2 , es de tamaño 2 × 2, el cual es el tamaño de la matriz resultante iA, así, la operación B 2 2×2 + (iA)2×2 se puede efectuar.. Realizamos la operación 2. B + iA = BB + iA =. =. i. i−2. 1. i−1. i. i−2. 1. i−1. !. +i. −1. 2. −2. 1. (i) (i) + (i − 2) (1). (i) (i − 2) + (i − 2) (i − 1). (1) (i) + (i − 1) (1). (1) (i − 2) + (i − 1) (i − 1). =. i2 + i − 2. =. −3 + i. −5i. −1 + 2i. −2 − i. −3. −3i. −1. −2. !. =. !. i2 − 2i + i2 − 3i + 2 i − 2 + i2 − 2i + 1. i+i−1. !. +. !. +. −i. 2i. −2i. i. !. !. +. −i. 2i. −2i. i. =. ! −i. 2i. −2i. i. !. !. −3 + i − i. −5i + 2i. −1 + 2i − 2i. −2 − i + i. !. .. 6. La operación C 2 + D NO tiene sentido, puesto que, la matriz C no es una matriz cuadrada, por lo tanto, C 2 NO se puede realizar. ⋆ Ejemplo 13 : Considere la matriz. . −2.  A=  −4 4. Demuestre que la n−ésima potencia de esta matriz es  −1  n n  A = 2  −2 2. . 8. 6. 10.  6   −4. −8 4 5 −4. 3. .  3  . −2. Demostración : Usamos inducción matemática para demostrar la igualdad Paso I : Verificamos la igualdad para n = 1    2 (−1) 2 (4) 2 (3) −2 8 6    1  2 (3) 6  A =A=  −4 10  =  2 (−2) 2 (5) 2 (2) 2 (−4) 2 (−2) 4 −8 −4. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. . . −1. 4. 3. .    .  = 21  −2 5 3    2 −4 −2 [email protected].

(9) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 9. Paso II : Hipótesis inductiva : Supongamos que la igualdad se cumple para n = h.   −1 4 3   5 3  Ah = 2h   −2  2 −4 −2 Paso III : Tesis inductiva : Demostremos la igualdad para el caso n = h + 1, es decir, debemos demostrar que   −1 4 3   5 3  Ah+1 = 2h+1   −2 . 2 −4 −2 Como Ah+1 = Ah A y por hipótesis inductiva se tiene que  −1 4 3  5 3 Ah = 2h   −2 2 −4 −2. entonces,. . −1. −1. 4. 4. 3. . −2. 8. 6. .  , . .     6  5 3  Ah+1 = Ah A = 2h     −4 10  −2 4 −8 −4 2 −4 −2 .  = 2h   −2 2. pero,. 3. . . −1. 4. 3. . . 4. 3. . −1. 4. 3. .       h+1    5 3  5 3  5 3  3  ,   −2 =2  −2  2  −2 2 −4 −2 2 −4 −2 2 −4 −2 −4 −2 5. . −1. 4. 3. . −1. 4.     −2 5 5 3    −2  2 −4 2 −4 −2. así, . −1. (−1) (−1) + (4) (−2) + (3) (2). 3. .  2 3  =A , −2. (−1) (4) + (4) (5) + (3) (−4). (−1) (3) + (4) (3) + (3) (−2). .   (−2) (4) + (5) (5) + (3) (−4) (−2) (3) + (5) (3) + (3) (−2)  A2 =   (−2) (−1) + (5) (−2) + (3) (2) , (2) (−1) + (−4) (−2) + (−2) (2) (2) (4) + (−4) (5) + (−2) (−4) (2) (3) + (−4) (3) + (−2) (−2). efectuando obtenemos que. con lo que. . −1. 4.  5 A2 =   −2 2 −4 . −1. 3.  3  , −2 4.  5 Ah+1 = 2h+1   −2 2 −4 Última actualización: Septiembre 2015. . Farith J. Briceño N.. 3. .  3  . −2 [email protected].

(10) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. Al cumplirse la tesis inductiva, concluimos que . −1.  An = 2n   −2 2. Ejemplo 14 : Considere la matriz. .  A= . 4. 3. .  3  . −2. 5 −4. 0. 0. 0. 3. 0. 0.  0   2 . 0. 0. 3n.  0  . n 2. 0. ⋆. . −2. Demuestre que la n−ésima potencia de esta matriz es  (−2)n  0 An =   0. 10. Demostración : Usamos inducción matemática para demostrar la igualdad Paso I : Verificamos la igualdad para n = 1    1 (−2) −2 0 0     3 0  A1 = A =  = 0  0 0 0 2 0. 0. 0 1. (3). 0. 0. (2)1. .  . . Paso II : Hipótesis inductiva : Supongamos que la igualdad se cumple para n = h.   h (−2) 0 0   Ah =  0 3h 0    h 0 0 2 Paso III : Tesis inductiva : Demostremos la igualdad para el caso n = h + 1, es decir, debemos demostrar que   h+1 (−2) 0 0   Ah+1 =  0 3h+1 0   . h+1 0 0 2 Como Ah+1 = Ah A y por  h (−2)  Ah+1 = Ah A =  0  0. hipótesis inductiva se tiene que   −2 0 0 0 0    3 0  3h 0   0  h 0 0 2 0 2. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. . (−2)h (−2) + (0) (0) + (0) (0)  h =  (0) (−2) + 3 (0) + (0) (0) (0) (−2) + (0) (0) + 2h (0). (−2)h (0) + (0) (3) + (0) (0) (0) (0) + 3h (3) + (0) (0) (0) (0) + (0) (3) + (0) 2h.  (−2)h (0) + (0) (0) + (0) (2)  (0) (0) + 3h (0) + (0) (2)   h (0) (0) + (0) (0) + 2 (2) [email protected].

(11) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. . 11. . (−2)h+1. 0. 0. 0. 3h+1. 0. 0. 0. 2h+1.  Ah+1 = Ah A =  . Al cumplirse la tesis inductiva, concluimos que  (−2)n  0 An =   0. . 0. 0. 3n.  0  . 2n. 0.   . ⋆. Ejemplo 15 : Determinar si las siguientes proposiciones son VERDADERA ó FALSA. 1. Si AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0. 2. Si AB = AC entonces B = C. Solución : 1. Considere las matrices A=. !. 1. 0. 0. 0. !. 0. 0. 1. 0. y. B=. 0. 0. 1. 0. !. son diferentes de cero, pero, AB =. 1. 0. 0. 0. !. =. (1) (0). (0) (0). (0) (1). (0) (0). !. =. 0. 0. 0. 0. !. ,. es decir, AB = 0. Por la tanto, la proposición es FALSA. 2. Considere las matrices A=. 1. 0. 0. 0. !. ,. B=. 0. 0. 1. 0. !. y. C=. 0. 0. 3. 2. !. ,. observemos que, AB =. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. !. 0. 0. 1. 0. !. 0. 0. 3. 2. !. =. (1) (0). (0) (0). (0) (1). (0) (0). (1) (0). (0) (0). (0) (3). (0) (2). !. =. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. !. ,. !. ,. mientras que, AC =. !. =. !. =. se tiene que AB = AC = 0, pero, B 6= C. Por la tanto, la proposición es FALSA. Ejemplo 16 : Resuelva la ecuación matricial ! 1 1 A= 0 1. 2X + 4A = 3B + 2A, y. B=. ⋆. donde −1. 0. 0. 2. !. Solución : Tenemos que 2X + 4A = 3B + 2A. =⇒. Última actualización: Septiembre 2015. 2X = 3B + 2A − 4A. =⇒. Farith J. Briceño N.. 2X = 3B − 2A. =⇒. X=. 3 B−A 2. [email protected].

(12) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. Así, 3 X= 2. −1. 0. 0. 2. !. −. 1. 1. 0. 1. !. . −. =. 3 2 0. 0 3. . 3 − −1 = 2 0+0. Por lo tanto, la solución de la ecuación matricial es  5 −  2 X= 0.      . −. !. 1. 1. 0. 1. . . 0−1 3−1. −. =. 5 2 0. −1 2.  . .. 2. X− Y =. . . −1. Ejemplo 17 : Resuelva el sistema matricial     2X − 3Y =   . 12. 1. 5. 4. 2. 6. 2. 0. 1. ⋆. ! !. Solución : Multiplicamos por −2 a la segunda ecuación y se la sumamos a la primera ecuación ! !   1 5 1 5       2X − 3Y = 2X − 3Y =       4 2 4 2 =⇒ ! !     6 2 6 2      X− Y =  −2   −2X + 2Y = −2 0 1 0 1 ! ! 1 5 6 2 −Y = −2 , 4 2 0 1 entonces −Y =. 1. 5. 4. 2. !. −2. 6. 2. 0. 1. !. =⇒. Y =−. 1. 5. 4. 2. !. +2. 6. 2. 0. 1. !. ,. de aquí, Y =−. 1. 5. 4. 2. !. +2. 6. 2. 0. 1. !. =. −5. −4. −2. =. −1 + 12. −5 + 4. −4 + 0. −2 + 2. así, Y = de la segunda ecuación se tiene X −Y = Última actualización: Septiembre 2015. 6. 2. 0. 1. !. !. −1. 11. −1. −4. 0. =⇒. +. 12. 4. 0. 2. !. =. ! 11. −1. −4. 0. !. !. X=. Farith J. Briceño N.. 6. 2. 0. 1. !. + Y,. [email protected].

(13) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 13. por lo tanto, X=. 6. 2. 0. 1. !. +Y =. 6. 2. 0. 1. !. +. 11. −1. −4. 0. !. =. así, X=. 17. 1. −4. 1. Luego, la solución del sistema matricial viene dada por ! 17 1 X= y −4 1. !. 6 + 11. 2 + (−1). 0 + (−4). 1+0. !. =. 17. 1. −4. 1. !. .. Y =. 11. −1. −4. 0. !. . ⋆. Ejemplo 18 : Identificar cuales de las siguientes matrices se encuentra en la forma escalonada reducida por filas. Justifique su respuesta.    1 2 0 0 1 −2 0    0 1 2 3  0 a. A =  b. B =    0  0 0 0 0 0 0 0 0. c.. . 0  C=  0 0. 1 0 0. −1. .  1   0. . 1.   0  d. A =   0  0. escalonada o en la forma 2. −2. . 0. .  7   1. 1 0. −2. 0. 1. −3. 3. 1. 0. 0.  0    0   1. Solución : Es conocido que una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas si se cumplen las siguientes condiciones 1. Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz. 2. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier fila cuyos elementos no todos son cero es 1. 3. Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en la fila de abajo está más hacia la derecha que el prim 1 en la fila de arriba. 4. Cualquier columna que contiene el primer 1 en una fila tiene ceros en el resto de sus elementos. Por otra parte, una matriz está en la forma escalonada por filas si se cumplen (1), (2) y (3). a. Observemos que la matriz A cumple con las condiciones (1) - (4), por lo tanto, es una matriz que se encuentra en su forma escalonada reducida, note que toda matriz que se encuentra en su forma escalonada reducida, también se encuentra en su forma escalonada. b. Observemos que la matriz B NO cumple con la condición (1) en la primera fila, por lo tanto, no se encuentra en su forma escalonada. c. Observemos que la matriz C cumple con las condiciones (1) - (4), por lo tanto, es una matriz que se encuentra en su forma escalonada. d. Observemos que la matriz A NO cumple con las condiciones (1) y (3) en la tercera fila, por lo tanto, no se encuentra en su forma escalonada. ⋆ Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(14) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 14. Ejemplo 19 : Considere la matriz .    A=  . 3. 2. −2. 0. 1. −1. 0. 1. 0. 4. 2. 1. −1. 2. 5. −1. 1. .  2    0   −4. Encuentre la matriz equivalente a A dada por las siguientes operaciones elementales sobre las filas 1 F1 −→ F1 , 3. 2F2 + F3 −→ F3 ,. F1 + F4 −→ F4 .. Solución : Aplicamos las operaciones elementales sobre las filas de la matriz A    2 2 3 2 −2 0 1 1 − 0  3 3    1  1 −1 0 1 2    3 F1 →F1  1 −1 0 1   −−−−−→    0  4 2 1 0   0 4 2 1   −1 2 5 −1 −4 −1 2 5 −1 .    −−−−−−−→     2F2 +F3 →F3. . 1 1. 2 3 −1. −. 1 3 2.      0   −4. 2 3 0. 1. 2. 2. 3. −1. 2. 5. −1.   F1 +F4 →F4   1 −−−−−−−→   2   0. 2 3 −1. 2 3 0. −. 1. 4. 2. 3. 8 3. 13 3. −1. .      4   −4 1 3 2. 0. 2. Luego, la matriz equivalente a A según las operaciones elementales  2 2 1 1 − 0  3 3 3   1 −1 0 1 2    2 2 2 3 4   8 13 11 0 −1 − 3 3 3. 1 3 2. 0. 2. 1. . −. 11 3. .     ,   . sobre las filas dadas es      .   . ⋆. Ejemplo 20 : Hallar la matriz equivalente en su forma escalonada de la matriz   −4 2 4 1   A= −2 −5 0   6 . −6 4 7 3. Solución : Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz dada para transformar dicha matriz. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(15) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. en la versión de su forma escalonada (método de eliminación gaussiana)   1 1   1 − −1 − −4 2 4 1  2 4     − 14 F1 →F1    6   −2 −5 0  −−−−−→  6  −2 −5 0    −6 4 7 3 −6 4 7 3 .  −6F1 +F2 →F2   −−−−−−−−→   . 1. 1 − 2. −1. 0. 1. 1. −6. 4. 7. 1 − 4 3 2. . 15. .  1    6F1 +F3 →F3     −−−−−−−→  0      3 0 . −. 1.   −F2 +F3 →F3  −−−−−−−→  0  . 1 2. −1. 1. 1. 1. 1. −. 0. 1 2. −1. 1. 1. 0. 0. Luego, la matriz equivalente en su forma escalonada de la matriz dada es  1 1  1 − −1 −  2 4     3  B= 0  1 1   2   0. 0. 0.  1 4    3   2   3  2 1  − 4   3  .  2 . −. 0. 0. ⋆ Ejemplo 21 : Hallar la matriz equivalente en su forma escalonada reducida de la matriz   2 2 −1 0    3 −1 1 −1    A= .  0  1 5 4   1 0 1 1. Solución : Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz para transformar dicha matriz en su forma escalonada reducida     2 2 −1 0 1 0 1 1      3  −1 1 −1  −1 1 −1    F1 ←→F4  3    −−−→    0   1 5 4  1 5 4    0  1 0 1 1 2 2 −1 0 . 1. 0. 1.   0  −−−−−−−−→   0  0. −1. −2. 1. 5. 2. −3. −3F1 + F2 → F2. −2F1 + F4 → F4. Última actualización: Septiembre 2015. 1. . . . 1. 0. 1. 1.    −4   −F2 →F2  0  −−−−→   0 4    0 −2. 1. 2. 1. 5. 2. −3.  4    4   −2. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(16) Matemática III - Guía 1.. . 1. 0. 1.   0    0  0. 1. 2. 1. 5. 2. −3. Matrices. Definiciones básicas.. 1. .  4    4   −2. . . −F2 + F3 → F3. −2F2 + F4 → F4. −−−−−−−−→. 0. 1. 1.   0    0  0. 1. 2. 0. 3. 0. −7.  4    0   −10. . 0. 1. 1.   0  −−−−→   0  0. 1. 2. 0. 1. 0. −7.  4    0   −10. . −F3 + F1 → F1. −2F3 + F2 → F2 −−−−−−−→ 7F3 + F4 → F4. . 1. 0. 0. 1.   0  −−−−−→   0  0. 1. 0. 0. 1. 0. 0.  4    0   1. 1 F4 →F4 − 10. Luego, la matriz equivalente en su forma escalonada  1   0  B=   0  0 Ejemplo 22 : Considere la matriz A dada por . . 1. 1. 1 3 F3 →F3. 16. 1.  A=  3 0. . 0. 0. 1.   0    0  0. 1. 0. 0. 1. 0. 0.  4    0   −10. −F4 + F1 → F1. −4F4 + F2 → F2. −−−−−−−−→. . 1.   0     0  0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 2 1. 2. .  0   .  0   1. reducida de la matriz dada es  0 0 0  1 0 0   .  0 1 0   0 0 1. −1. . 1. ⋆. .  4   −2. 1. Encuentre la matriz en su forma escalonada reducida de la matriz aumentada (A | I).   1 0 1    3 1 1    − − , hallar, en caso de ser posible, los productos de matrices 2. Considere la matriz B =  4 4 4      3 1 5 − − 8 8 8 a. AB,. b. BA,. Solución : 1. Aplicamos operaciones elementales sobre las dicha matriz en su forma escalonada reducida    1 −1 2 1 0 0   −3F1 +F2 →F2   3  −−−−−−→  2 4 0 1 0    0 1 −2 0 0 1 Última actualización: Septiembre 2015. c. BAB. filas de la matriz aumentada para transformar . 1. −1. 2. 1. 0. 0. 0. 5. −2. −3. 1. 0. 1. −2. 0. 0.  0   1. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(17) Matemática III - Guía 1.. . 1.   0  0. Matrices. Definiciones básicas.. −1. 2. 1. 0. 5. −2. −3. 1. 1. −2. 0. 0. 0. . . 1.  F2 ↔F3   0   −−−−→  0 1 0. . 17. . −1. 2. 1. 0. 0. 1. −2. 0. 0. 5. −2. −3. 1.  1   0. 0. 0. 1. 0. 1.  −−−−−−−−→   0 0. 1. −2. 0. 0. 0. 8. −3. 1.  1   −5. . 1. 1  8 F3 →F3  −−−−→  0  0. . 0. 1. 0. 1. 1. −2. 0. 0. 0. 1. 3 8. 1 8.  1   5 . 1. −. 0. 0. 1. 0. −.    C= 0   0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 3 − 4. 1 4. 1 − 4. 0. 1. −. 3 8. 1 8. −. 5 8. 1. −. −. 8. 1. 0. 3 4. 1 4. −. 1 4. 1 8. −. 5 8. 3 8 Luego, la matriz equivalente en su forma escalonada reducida de la matriz (A | I) es 1. . 0.    −−−−−−→  0   0. 2F3 +F2 →F2. . . 1. F2 + F1 → F1 −5F2 + F3 → F3. 1. .    .  . .    .  . 2.a. Puesto que las matrices A y B son cuadradas de orden 3, entonces el producto AB se puede realizar   1 0 1   1 −1 2   1 1  3    − −  2 4  AB =  4 4   3   4    0 1 −2 3 1 5 − − 8 8 8 .     =   . 3 3 (1) (1) + (−1) − + (2) − 4 8 3 3 (3) (1) + (2) − + (4) − 4 8 3 3 (0) (1) + (1) − + (−2) − 4 8. . 1 1 + (2) 4 8 1 1 (3) (0) + (2) + (4) 4 8 1 1 (0) (0) + (1) + (−2) 4 8 (1) (0) + (−1). 3 3  1+ 4 − 4   3 3  = 3− −  2 2   3 3 0− + 4 4 Última actualización: Septiembre 2015. 1 1 + 4 4 1 1 0+ + 2 2 0−. 0+. 1 1 − 4 4. Farith J. Briceño N.. 1 5 (1) (1) + (−1) − + (2) − 4 8 1 5 (3) (1) + (2) − + (4) − 4 8 1 5 (0) (1) + (1) − + (−2) − 4 8.  1 5 −   4 4  1   1 5   3− − = 0  2 2    0 1 5 0− + 4 4 1+. 0 1 0. 0.          .   0 .  1. [email protected].

(18) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. Luego. . 1. −1.  AB =   3 0. 0.    −3 4    4  −2 3 − 8. 1 4 1 8. 2. 2 1. . 1. . 18. . 1.  1   1   −  = 0 4     5 0 − 8. 0 1 0. 0. .   0  = I3 .  1. 2.b. Puesto que las matrices A y B son cuadradas de orden 3, entonces el producto BA se puede realizar   1 0 1   1 −1 2     3 1 1    −  3 2 4  BA =  − 4  4 4       0 1 −2 3 1 5 − − 8 8 8   (1) (1) + (0) (3) + (1) (0) (1) (−1) + (0) (2) + (1) (1) (1) (2) + (0) (4) + (1) (−2)     =  − 43 (1) + 14 (3) + − 14 (0) − 43 (−1) + 14 (2) + − 41 (1) − 43 (2) + 14 (4) + − 14 (−2)    − 83 (1) + 18 (3) + − 58 (0) − 83 (−1) + 18 (2) + − 85 (1) − 83 (2) + 18 (4) + − 58 (−2) . 1+0+0.   3 3  =  −4 + 4 + 0   3 3 − + +0 8 8. Luego.. . 1. 0.   3  BA =  − 4   3 − 8. 1. .  1  1    −  3 4   0 5 − 8. 1 4 1 8. −1 + 0 + 1. 2+0−2.  1   3 1   − +1+  = 0 2 2     3 1 5 0 − + + 4 2 4. 3 1 1 + − 4 2 4 3 1 5 + − 8 4 8. −1. 2. . . 1.    4  0 =  −2 0. 2 1. . 0 1 0. 0. 0 1 0. 0. .   0 .  1. .   0  = I3  1. 2.c. Tenemos, por la ley asociativa del producto de matrices y por (2.b.), que BAB = (BA) B = I3 B = B. ⋆ Ejercicios. 1. Sean A =. 1. 2. 3. 3. 0. 1. !. y B=. A = B. 2. Sean A =. 1. 2. 3. 3. −1. 0. que A = B. 3. Sean A =. a2. b2. b2 + 2. a4. Última actualización: Septiembre 2015. !. !. α2 − 2. β. 3. 5−β. 0. −1. y B=. y B=. !. . Hallar los valores de α y β para que. α2 + 2. β. 4. β+1. −1. 0. −1. 2b − 1. 3b. 1. !. !. . Hallar los valores de α y β para. . Hallar los valores de a y b para que A = B.. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(19) Matemática III - Guía 1.. . Matrices. Definiciones básicas.. α3. .  2 4. Sean A =   γ 1. A = B.. . 8. 1.    α+β   y B =  −2 −1 β2. −2 +. 1. . √  3i  . Hallar los valores de α, β y γ para que −1. 5. Hallar los valores de las constantes α y β para que 4β − 1 4α3 − 6α2 A = αβ y sean iguales. . 7.  6. Sean C =  . −1. 1. B=. 5β 2. α4 − 4α + 5. . .  0   y k = −3, hallar kC. −1 4 ! ! 1 2 −3 y B= . Hallar A + B, si es posible. −5 −1 0. 3. 5. −2 3. 7. Sean A =. 4. 19. 2. 8. Hallar A + B, si es posible, donde    1 0 3i 1 − 3i −5   y B = A= 7 2 − 3i −i 4−i −3 3 2   1 ! 2  5  −1 2   9. Sean A = y C =  −3 . Hallar CA, si es posible. 0   −2 1 1 1   3    4 2 . Hallar AB, si es posible. 10. Sean A =   −3  y B = −1 2   π 4  √  1 −5 . Hallar CD, si es posible. 11. Sean C =  1 2    y D= 0 2 0. 3 − 4i. . 2 . 2+ i 3. 12. Responda VERDADERO o FALSO la siguiente proposición:. 13. Sean B =. 1. 0. −6. 14. Sean. A=. E=. −1. 2. −2. 1. !. ,. 1. 0. 1. 0. 2. 1. “El producto de matrices es conmutativo”. −2 . Hallar B 2 , si es posible.. B=. i. i−2. 1. i−1. !. !. ,. .   C= . 1 5 −3 1. 2. .   , 0   1. .   D= . 1 2 −2 3. −1. .   , 4   5. Diga cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectuar la misma. 1. A + B. 2. D − 2E. Última actualización: Septiembre 2015. 3. 5C. 4. CA − 2D. Farith J. Briceño N.. 5. B 2 + iA. 6. C 2 + D [email protected].

(20) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 20. 15. Sean . . 1  2 A=  2 3 E=. 1 3   ; 5  2. B=. 5. 1. 6. −5. −1. 6. i. 2−i. −3i. 1. !. ;. .  C = . −1. 1. .  −1   ; 2. 1 2. !. .    D=  . −. 3 4 0 2. 1  5   1    2 . 0. Diga cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectuar la misma. 1. A + B. 2. D + 2E. 3. 4E. 4.. 7. 2iBE. 8. BE + D. 9. 3DE. 10. A2 + DB. 16. Considere la matriz. . 3D − CA. −2.  A=  −4 4. 5.. 11. ED − B 3 6. 10.  6   −4. Demuestre que la n−ésima potencia de esta matriz es  −1 4  5 An = 2n   −2 2 −4. 6.. E2 − C. 12. iA2 − (EC). 2. . 8. −8. B 3 − iA. 3. .  3  . −2. 17. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 diagonal. (a) Demuestre que la matriz A2 también es diagonal. Halle la forma de la matriz A2 . (b) Demuestre que la matriz A3 también es diagonal. Halle la forma de la matriz A3 . (c) ¿Podría generalizar los resultados obtenidos en los ejercicios 17a y 17b para la matriz potencia An , con n ∈ N? 18. Sea A una matriz cuadrada de orden 3 diagonal. (a) Demuestre que la matriz A2 también es diagonal. Halle la forma de la matriz A2 . (b) Demuestre que la matriz A3 también es diagonal. Halle la forma de la matriz A3 . (c) ¿Podría generalizar los resultados obtenidos en los ejercicios 18a y 18b para la matriz potencia An , con n ∈ N? 19. Considere la matriz. .  A= . 0. 0. 0. 3. 0. 0.  0   2. Demuestre que la n−ésima potencia de esta matriz es  n (−2) 0  0 3n An =   0 0 Última actualización: Septiembre 2015. . −2. Farith J. Briceño N.. 0. .  0  . n 2 [email protected].

(21) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 21. 20. Si A es una matriz cuadrada de orden n, diagonal ¿Podría generalizar los resultados obtenidos en los ejercicios 17 y 18 para la matriz potencia Am , con m ∈ N? Demuestre dicho resultado.   1 1 1  1 n n 21. Sea A =  1 1 1   . Hallar A . ¿Si n es suficientemente grande, entonces A es igual a? 3 1 1 1 ! −1 −1 22. Calcular las potencias de la matriz A = . 1 0 ! −2 −9 23. Demuestre que si A = , entonces, 1 4 ! 1 − 3n −9n n A = , para todo n ∈ N. n 1 + 3n 24. Encuentre los valores de x, y, z que satisfagan la igualdad      x−y −1 2 y 0 z −1       1     y −x  +  −z 2 3 = 0  0 z 2 −2 3 x −2 25. Encuentre los valores de a, b y c, para que se satisfaga la igualdad ! ! 3−a b −2 2 a+b 4 + = 4 1−c 6 1−c 2 0. −1. 3. .  4   1. 4 4. −1. a. 2. 2. 0. 6. !. 26. Determinar si las siguientes proposiciones son VERDADERA o FALSA. Justifique todas sus respuestas. 2. (a) Si A y B son matrices n × n, entonces (A + B) = A2 + 2AB + B 2 .. (b) Si A y B son matrices n × n, entonces (A − B) (A + B) = A2 − B 2 .. (c) Si A es una matriz cuadrada de orden n e In es la matriz identidad de orden n, entonces 2 (A + In ) = A2 + 2A + In .. (d) Cualesquiera que sean las matrices A, B y C de tamaño n × n, tales que AB = AC, se cumple que B = C. (e) Si A y B son matrices n × n, entonces B (AB − BA) = AB 2 − B 2 A. (f) Sean A y B dos matrices cuadradas n × n. Luego AB = BA. =⇒. (In − 2B) A = (In − 2A) B,. donde In es la matriz identidad de orden n. (g) Sea A una matriz cuadrada n × n, tal que A2 = 3A − In , entonces A3 = 3A − In , In es la matriz identidad de orden n. (h) Si AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0. (i) Si AB = AC entonces B = C. 27. Resuelva la ecuación matricial 2X + 4A = 3B + 2A, donde, A=. Última actualización: Septiembre 2015. 1. 1. 0. 1. !. y. Farith J. Briceño N.. B=. −1. 0. 0. 2. ! [email protected].

(22) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 22. 28. Hallar la familia de matrices que cumplen la ecuación a3 A3 + 3a2 A2 + 3aA + I = 0. 29. Resuelva el sistema matricial.     2X − 3Y =         . X− Y =. 1. 5. 4. 2. 6. 2. 0. 1. 30. Resuelva el siguiente sistema matricial  ! −1 2    2X − 7Y =    −1 5 1. !  2 1      −X + 4Y = 2 1. 3..     X t + 3Y =       t    2X − Y =. 5.. 6. 1. −1. −6. 3. 3. −3. −3.    t  (2X − 7Y ) =          X + iY =. 2.. 4.. ! 2 + 5i. 1 − 2i. 2. 2i. 2−i. 3i. 2+i. !.     3X + Y =          X + 2Y =. !. −i. !. 0. 1. 1. 2 3. −5. −5. −1.    t  (2X − 7Y ) =       t t    X + iY =. !. 6.. !. !.     2X t + Y =       t    X + 2Y =. !. −i. 2 + 5i. 1 − 2i. 2. 2i. 2−i. 3i. 2+i. 3. 1. 0. −2 1. 0. −2. 4. !. !. ! !. 2. 31. Demuestre que si A y B son matrices que conmutan, entonces (AB) = A2 B 2 . 32. Identificar cuales de las siguientes matrices se encuentra en la forma escalonada o en la forma escalonada reducida por filas. Justifique su respuesta.     1 2 0 0 1 −2 0 2 −2     0 1 2 3  0 1 7  a. A =  b. B =   0   0  0 0 0 0 0 0 0 0 1. c.. . 0   C= 0 0. 33. Considere la matriz. 1. 0. 0.  1   0. 0. .    A=   Última actualización: Septiembre 2015. . . 1.   0  d. A =   0  0. 0. 1. −3. 3. 1. 0. 0. 0. .  0    0   1. . 3. 2. −2. 0. 1. 1. −1. 0. 1. 0. 4. 2. 1. −1. 2. 5. −1.  2    0   −4. Farith J. Briceño N.. −2. [email protected].

(23) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 23. Encuentre la matriz equivalente a A dada por las siguientes operaciones elementales sobre las filas 1 F1 −→ F1 , 3 . 34. Sea A = . √ 1+ 5 2. i. i √ 1− 5 2. 2F2 + F3 −→ F3 ,. F1 + F4 −→ F4 .. . . Demuestre que A es simétrica y que A2 = A.. 35. De un ejemplo de una matriz que no sea idempotente.. 36. Sean a, b, c números reales tales que a2 + b2 + c2 = 1 y consideremos la matriz:   0 a −b   0 c  A=  −a  b −c 0 (a) Demostrar que la matriz A es antisimétrica.. (b) Probar que la matriz M = A2 + I es simétrica. (c) Demostrar que la matriz M es idempotente. 37. Sean A=. −1. 3. 2. 1. !. B=. Calcular 1. A − 2B t. t. 2. At + iB. 3. 3iAt − (5iB). i−1. 2. −1. 5. !. 4. (BA). t. 5. (AB). t. 38. Demuestre que si A es una matriz cuadrada de orden n, antisimétrica, entonces todas las componentes de la diagonal principal son cero. 39. Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique todas sus respuestas. (a) Si A y B son simétricas n × n, entonces A2 + B 2 es simétrica.. (b) Si A y B son antisimétricas n × n, entonces AB es simétrica.. (c) Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A + At es simétrica.. (d) Si P y Q son ortogonales n × n, entonces P + Q también lo es.. (e) Sean A, B y C matrices cuadradas n × n, si C y B son simétricas e invertibles, entonces la matriz C t + B −1 At C −1 es simétrica. ! sen α − cos α (f) La matriz es ortogonal. cos α sen α. (g) Si Q es ortogonal y simétrica, entonces Q2 = I. (h) Si P es ortogonal, entonces P 2 lo es. 40. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas de orden n, simétricas, entonces (AB)t = BA. 41. Demuestre que si A es una matriz simétrica, entonces, A es una matriz normal, es decir, la matriz cumple con At A = AAt . 42. Demuestre que si A es una matriz antsimétrica, entonces, A es una matriz normal. 43. Demuestre que si A es una matriz ortogonal, entonces, A es una matriz normal. 44. Demuestre que si A es una matriz idempotente, entonces An = A, para todo n ∈ N. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(24) Matemática III - Guía 1.. Matrices. Definiciones básicas.. 45. Demuestre que la matriz. . 2. −3.  A=  −1. es una matriz idempotente. 46. Dada la matriz. . −3. 0. −8.  A=  0.  5   −4.  0  . 0. 5. Demuestre que es una matriz nilpotente de orden 2. 47. Dada la matriz. . 0. 1.  A=  0. 0. 0. . 3.  −2  . 0. 0. Demuestre que es una matriz nilpotente de orden 3. 48. Demostrar que la matriz A=. . 0. 0. 0. . −5. 4. 1. 24. 1. −1. 0. −1. es una matriz involutiva.. !. Respuestas: Ejercicios. 1. No existen valores;. 5. α = 2 + i,. 8.. 1 + 3i. 1 − 3i. 4 − 2i. 1 2. 12. Falso;. 14.4.. 2 5. β=.    . 2. No existen valores;. −. 8 3. α = 2 − i,. −. 7 3i. !. ;. β=. 9..    . 13. No se puede realizar;. − 26 5 7 −9. 22 5. .  −14  ;. − 57 4   − 15 2  . −3. 14.5.. −1. −7. 15.6. No tiene sentido; − 57 20 − 32. 30. 15.12.. y. −2 − 4i. 15.2. No tiene sentido;. 15.9.. 1 5i. 3. a = ±i y b = 1;  −21 3  2 1 6.  −9 −15 5 + 5 i; 6 3 12  21  − 5 5 −3   3 3 −6  ; 10.   −2 −3 3. −320 +. 6 17 36 i. −256 + 2i. 15.3.. −3i −2. 4. 24. −20. −4. 24. 30 − 10i. .  9  ;. !. 20. −20 − 20i. 15.7. − 99 10. 14.1.. −1 + i. !. i. −1. i. ;. !. ;. −4 − 4i 6 − 2i. 15.4.. . −320 +. 233 36 i. Última actualización: Septiembre 2015. ;. −12. 8. 24i 36 + 12i. 1 6. 11 3. 11 3. − 17 3. ;. 15.11.. 21. An = A.. 3i − 1,. 5. .  ; . !. −2. 1. √ γ = ± 2i;. y. β = −1. 7.. . −5. ;. 11. No se puede realizar;.  −6  ; 4. 15.1.. − 47 30. !. 6. √. 14.2. No tiene sentido;. 29 − 12.   . 36. !. 12. 14.6. No tiene sentido;. ;. 15.10. No tiene sentido;. −256 + i. 4. α =  −12  0 ; −12. 1 2 2 3. 14.3.. 7 3. +i. 7 2. − 3i 9−. 15.5.. −i. 27 2 i. −15 +. 25 3 i. . 1   −15 5 !. 10. .  0 ; 5. ;. −11 − 1−. 22 3 i. 35 2 i. !. ;. 15.8. No tiene sentido;. − 34 + 13i 123 4. − 9i. 25 2. + 7i. − 25 + 15i. !. ;. Si n es suficientemente grande, entonces An = A;. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(25) Matemática III - Guía 1.. 22. A3n−2 = A,. A3n−1 =. 26.a. Falso;. 0. 1. −1. −1. 26.b. Falso;. 26.h. Falso;. −1. −4. 30.3. X t =. 0. ; 10 7. − 10 7. − 15 7. 11 53. + +. !. , Y =. 96 53 i. 100 53. −. 74 53 i. 171 53 i. 116 53. +. 35 53 i. 32.a. Escalonada;. ,. A3n = I,. 27. X =. 30.1. X =. 15 7. 35 53. 30.5. X =. !. !. n ∈ N.;. 26.c. Verdadero;. 26.i. Falso; 11. Y =. Matrices. Definiciones básicas.. !. 15. 10. 27. 9 7. − 17. 1 7. − 97. ,. 32.b. Ninguna;. 0. 10. !. !. ,. Y =. 26.e. Falso;. 3. 4. 3. 7. +. 35 53 i. − 12 53 +. 11 53 i. ! 35 53. −. 6 53 i. 18 53. +. 10 53 i. 96 53 i. +. + !. ;. − 53. 7 5. 7 5. 1. 1−i. 150 53 i. 26.g. Falso; ! 17 1 , −4 1. 29. X =. 30.2. X =. 58 53. 21 53. 32.c. Escalona reducida;. ;. 25. a = 6, b = 0, c = 3;. 26.f. Falso;. 1 28. A = − a I;. 30.4. X t =. ; 10 53. Y =. 24. x = −1, y = 2, z = 1;. 26.d. Falso; ! −1 ; 2. − 52. 25. 116 53. +. 35 53 i. !. 30.6. X =. 32.d. Ninguna;. 33.. !. ,. , Yt =. 5 3. 0. 4 3. − 83 1   1    2  . !. 35.. 37.4.. 1. 2. 3. 4. 5−i. ; 11. −1 + 3i. 39.d. Falso;. 37.1.. 2. !. ;. 39.e. Falso;. 1 − 2i −2. 37.5.. 5 −9 −2 − i 13. !. ;. −3 + 2i. 39.f. Verdadero;. −2 − i. 37.2.. 9. !. 3−i. ;. 2 + 2i 1 + 5i. !. ;. 37.3.. 39.a. Verdadero;. 39.g. Verdadero;. ,. − 16 5. − 16 5. −1. 10 53. +. 35 53 i. 9 53. +. 58 53 i. Yt =. !. −i 18 53. +. 10 53 i. − 13. 0. − 53. 10 3. ;. ! !. − 23. 0. 1 3. −1. 0. 1.  2   ; 4  . 2. 2. 3. 8 3. 13 3. −1. 5 + 2i. 11i. −i. −22i. 39.b. Falso;. 9 5. 2 3. 0. !. Y =. !. ;. ;. . − 11 3. ;. 39.c. Verdadero;. 39.h. Verdadero;. Bibliografía 1. Grossman, Staley I.: “Álgebra lineal”. Quinta edición. Mc Graw Hill. 2. Kolman, B. y Hill, D. R.: “Álgebra lineal”. Octava edición. PEARSON Prentice Hall. 3. Rangel, J., y otros: “Problemario de álgebra lineal”. Universidad Metropolitana. 1997. 4. Anton, H. - Rorres, C.: “Elementary linear algebra. Applications version”. Six Edition. WILEY.. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.. Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(26) Matemática III - Guía 1.. Última actualización: Septiembre 2015. Matrices. Definiciones básicas.. Farith J. Briceño N.. 26. [email protected].

(27) Matemática III - Guía 2. Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos a cubrir. Código : MAT-3.02. • Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Operaciones elementales sobre filas. • Método de Gauss y método de Gauss-Jordan. • Sistemas de ecuaciones homogéneos y no homogéneos consistentes e inconsistentes. Ejercicios resueltos. Ejemplo 23 : Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. (. 5x − 2y = 4 x + 4y = 1. Solución : Por cursos previos, son conocidos tres métodos clásicos de resolución de sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas • Método de reducción. • Método de igualación. • Método de sustitución. Resolvemos este sistema por los tres métodos. Método de reducción : Multiplicamos la segunda ecuación por −5 y la sumamos a la primera ecuación ( ( 5x − 2y = 4 5x − 2y = 4 =⇒ −5x − 20y = −5 x + 4y = 1 −5 −22y = −1. =⇒. y=. −1 −22. =⇒. y=. 1 . 22. Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo, sustituimos en la segunda ecuación 4 2 2 1 x+4 =1 =⇒ x+ =1 =⇒ x+ =1 =⇒ x=1− 22 22 11 11 =⇒. Luego, la solución del sistema es x =. 9 , 11. y=. x=. 11 − 2 11. =⇒. x=. 9 . 11. 1 . 22. Método de igualación : Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, por ejemplo despejamos la incógnita x 4 + 2y 1ra ecuación : 5x − 2y = 4 =⇒ 5x = 4 + 2y =⇒ x = 5 da 2 ecuación : x + 4y = 1 =⇒ x = 1 − 4y, ahora igualamos los despejes y resolvemos 4 + 2y = 1 − 4y 5 =⇒. =⇒. 4 + 2y = 5 (1 − 4y). 4 + 2y + 20y = 5. Última actualización: septiembre 2015. =⇒. =⇒. 4 + 2y = 5 − 20y. 22y = 5 − 4. Farith J. Briceño N.. =⇒. 22y = 1. =⇒. y=. 1 . 22. [email protected].

(28) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. 28. Sustituimos este valor en cualquiera de los dos despejes, por ejemplo, sustituimos en x = 1 − 4y, así, x=1−4. . 1 22. . =⇒. x=1−. 4 22. Luego, la solución del sistema es x =. =⇒ 9 , 11. x=1−. y=. 2 11. =⇒. 11 − 2 11. x=. =⇒. x=. 9 . 11. 1 . 22. Método de sustitución : Despejamos una de las dos incógnitas en una de las dos ecuaciones, por ejemplo, despejamos la incógnita x de la segunda ecuación del sistema x + 4y = 1. =⇒. x = 1 − 4y,. ahora, sustituimos este despeje en la primera ecuación 5x − 2y = 4 y resolvemos 5 (1 − 4y) − 2y = 4. =⇒. 5 − 20y − 2y = 4. =⇒. −22y = 4 − 5 =⇒. =⇒ y=. −22y = −1. −1 −22. =⇒. y=. 1 . 22. Sustituimos este valor en el despeje x+4. . 1 22. . =1. =⇒. x+. 2 =1 11. Luego, la solución del sistema es x =. =⇒ 9 , 11. x=1−. y=. 2 11. =⇒. x=. 11 − 2 11. =⇒. x=. 1 . 22. 9 . 11 ⋆. √ ( √ 8x + 2y = 2 √ 2x + 8y = 0. Ejemplo 24 : Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Solución : Usando el método de sustitución. Despejamos una de las dos incógnita en una de las dos ecuaciones, por ejemplo, despejamos la incógnita x de la segunda ecuación del sistema √ √ √ √ 8y 2x + 8y = 0 =⇒ 2x = 0 − 8y =⇒ 2x = − 8y =⇒ x=− , 2 observemos que. √ √ √ √ √ √ 8 = 23 = 22 · 2 = 22 2 = 2 2,. por lo tanto,. √ √ √ √ 8y 2 2y x=− =− = − 2y =⇒ x = − 2y, 2 2 √ √ √ √ ahora, sustituimos este despeje en la primera ecuación 8x+ 2y = 2, la cual es equivalente a 2 2x+ 2y = 2 y resolvemos √ √ √ √ √ √ √ 2 √ 2 2 − 2y + 2y = 2 =⇒ −2 2 2y + 2y = 2 =⇒ −2 2 y + 2y = 2 √ 2y = 2. =⇒. −2 (2) y +. =⇒. 2 y=√ 2−4. =⇒. y=. Última actualización: Septiembre 2015. 2. √ 2+4 2 − 16. =⇒. =⇒. =⇒. −4y +. √ 2y = 2. =⇒. √ 2+4 2 √ y= √ 2−4 2+4 y=. 2. √ 2+4 −14. Farith J. Briceño N.. =⇒. =⇒. √ 2−4 y =2. √ 2 2+4 y = √ 2 2 − (4)2 y=−. √ 2+4 . 7. [email protected].

(29) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. Sustituimos este valor en el despeje de x ! √ √ √ √ 2 2+4 2+4 x=− 2 − =⇒ x= 7 7. √ √ √ 2 2+4 2 x= 7. =⇒. √ √ 2 2 +4 2 x= 7. =⇒ √ 2+4 2 Luego, la solución del sistema es x = , 7. 29. =⇒. √ 2+4 2 x= . 7. √ 2+4 y=− . 7 (. Ejemplo 25 : Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. ⋆. x − 4y = 5 3x − 12y = 0. Solución : Usando el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por −3 y la sumamos a la segunda ecuación ( ( −3x + 12y = −15 x − 4y = 5 −3 =⇒ 3x − 12y = 0 3x − 12y = 0 ← No tiene sentido, contradicción.. 0 = −15 Por lo que concluimos que el sistema no tiene solución.. ⋆ (. Ejemplo 26 : Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. x+ y = 7 2x + 2y = 14. Solución : Usando el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por −2 y la sumamos a la segunda ecuación ( ( x+ y = 7 −2x − 2y = −14 −2 =⇒ 2x + 2y = 14 2x + 2y = 14 0=0. ← Lo cual es cierto.. Así, se tiene que para obtener las soluciones del sistema se elige una de las ecuaciones del mismo y se despeja una de las incógnitas, por ejemplo, elegimos la primera ecuación y despejamos la incógnita x, x+y =7. =⇒. x = 7 − y,. con. y ∈ R,. entonces, el sistema tiene infinitas soluciones, las cuales viene dada por x = 7 − y,. con. y ∈ R. ⋆. Ejemplo 27 : Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. (. −x − 4y = 0 7x + 2y = 0. Solución : Usando el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 7 y la sumamos a la segunda ecuación ( ( −x − 4y = 0 −7x − 28y = 0 7 =⇒ 7x + 2y = 0 7x + 2y = 0 −26y = 0 Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. =⇒. y=. 0 −26. =⇒. y = 0.. [email protected].

(30) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. 30. Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo, sustituimos en la primera ecuación x − 4 (0) = 0. =⇒. x−0=0. x = 0.. =⇒. Luego, la solución del sistema es la solución trivial x = 0,. y = 0.. Ejemplo 28 : Escribir la matriz asociada al sistema de ecuaciones. (. ⋆ 5x1 + x2 = 0. .. 3x1 − 2x2 = 4. Solución : Tenemos que, la matriz asociada al sistema es la matriz cuya primera columna son los coeficientes de la primera variable del sistema, la segunda columna son los coeficientes de la segunda variable del sistema y así sucesivamente, por lo tanto, la matriz asociada al sistema dado viene dada por ! 5 1 A= . 3 −2 ⋆ Ejemplo 29 : Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, para el sistema ( 5x1 + x2 + x3 = −1 , 4x1 − 7x2 − x3 = 2 especificando A, x y b. Solución : Tenemos que. Ax = b. =⇒. 5. 1. 1. 4. −7. −1. donde, A=. 5. 1. 1. 4. −7. −1. . .  Ejemplo 30 : ¿Es  . 3. . !. x1. !. . x1. . −1.    x2  =   x3. .    x=  x2  x3. 2. b=. !. ,. −1 2. !. .. ⋆.  4   una solución del siguiente sistema? −2  5x1 − x2 + 2x3 = 7     −2x1 + 6x2 + 9x3 = 0     −7x + 5x − 3x = −7 1 2 3. Solución : Tenemos que. Ax = b. Última actualización: Septiembre 2015. =⇒. . 5.   −2  −7. −1 6 5. 2. . x1. . . 7. .      x2  =  0  , 9      −3 x3 −7. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(31) Matemática III - Guía 2.. donde,. . . Sistemas de ecuaciones lineales. 5. −1.  A=  −2.  entonces,  . igualdad, así,. . 3. 2. .  9   −3. 6. −7. . 5. x1. 31. . .    x x= 2   x3.  b= . 7. .  0  , −7.  4   es solución del sistema Ax = b, si al sustituir dicho vector en el sistema se satisface la −2 . 5. −1.  Ax =   −2. 2. 3. . (5) (3) + (−1) (4) + (2) (−2). . . 7. .           6 b, 9    4   (−2) (3) + (6) (4) + (9) (−2)  =  0  = −3 −2 (−7) (3) + (5) (4) + (−3) (−2) 5. 6. −7. . 5. por lo tanto, el vector dado no es solución del sistema..     . Ejemplo 31 : Considere el sistema de ecuaciones lineales       . −2. −x1 + 2x2. + 2x4 = −2 ¿Es el vector. 3x1 + x2 + x3 − x4 = −1     −2x + 3x + 2x − 4x = 18 1 2 3 4. .  0    solución del sistema? 3   −2. ⋆. Solución : Tenemos que. Ax = b.    . =⇒. −1. 2. 0. 3. 1. 1. −2. 3. 2. donde, .  A=  .    entonces,   . igualdad, así, .  Ax =  . −2. −1. 2. 0. 3. 1. 1. −2. 3. 2. 2. .  −1   −4. . . x1. .  −2   x2      −1   =  −1   x3     18 −4 x4 2. . x1. . .    x2    x=   x3    x4. .  , . . −2. .    b=  −1  , 18.  0    es solución del sistema Ax = b, si al sustituir dicho vector en el sistema se satisface la 3   −2. −1. 2. 0. 3. 1. 1. −2. 3. 2. 2. . .    −1     −4. Última actualización: Septiembre 2015. −2. .  (−1) (−2) + (2) (0) + (0) (3) + (2) (−2)   0    (3) (−2) + (1) (0) + (1) (3) + (−1) (−2) 3   (−2) (−2) + (3) (0) + (2) (3) + (−4) (−2) −2 Farith J. Briceño N.. . . −2. .     =  −1  = b,    18 [email protected].

(32) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. por lo tanto, el vector dado si es solución del sistema. (. Ejemplo 32 : Considere el sistema de ecuaciones. 32. ⋆ 2x1 + x2 = −2 3x1 + 4x2 = 4. 1. Escribir la matriz asociada al sistema. 2. Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, especificando A, x y b. 3. Escribir la matriz aumentada del sistema. 4. Utilice el método de eliminación de Gauss para obtener las soluciones del sistema, si es que existen. Solución : 1. Tenemos que la matriz asociada al sistema viene dada por ! 2 1 A= . 3 4 2. Tenemos que Ax = b donde, A=. 2. 1. 3. 4. =⇒ !. 2. 1. 3. 4. x=. 3. Matriz aumentada del sistema (A | b) =. x1 x2. !. x1 x2. !. =. !. −2 4. !. ,. b=. 2. 1. −2. 3. 4. 4. !. −2 4. !. .. .. 4. Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada para transformar dicha matriz en una versión de su forma escalonada (método de eliminación gaussiana)     1 ! 1 −1 1 −1  −3F1 +F2 →F2  1 1 2 1 −2  2 F1 →F1  2 2 , −−−−−→   −−−−−−−→    5 3 4 4 3 4 4 0 7 2. entonces,.  5    De la segunda fila : 2 x2 = 7    De la primera fila : x + 1 x = −1 1 2 2. Luego, la solución del sistema es x1 = −. 12 , 5. =⇒.      . x2 =. 14 5.      x = −1 x − 1 1 2 2. x2 =. 14 . 5. =⇒ x1 = −. =⇒. 1 2. . x1 = −. 14 5. . −1. 12 . 5 ⋆. Ejemplo 33 : Encuentre el punto (x1 , x2 ) ∈ R2 que pertenece tanto a la recta x1 + 5x2 = 7 como a la recta x1 − 2x2 = −2. Solución : Buscamos el punto común, punto de intersección entre las rectas para ello resolvemos el sistema de ecuaciones lineales Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(33) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. ( cuya matriz aumentada viene dada por. x1 + 5x2 = 7. 33. ,. x1 − 2x2 = −2 1. 5. 7. 1. −2. −2. !. .. Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada para transformar dicha matriz en su forma escalonada (método de eliminación gaussiana)   ! ! 1 5 7 1 − 7 F2 →F2 1 5 1 5 7 7 −F1 +F2 →F2   −−−−−−−→ −−−−−→  9 , 1 −2 −2 0 −7 −9 0 1 7 entonces,.  9   De la segunda fila : x2 = 7   De la primera fila : x1 + 5x2 = 7.     . =⇒.    . x2 =. 9 7. 9 x1 + 5 =7 7. =⇒. x1 + 5x2 = 7. =⇒. x1 = −. 45 +7 7. =⇒. 4 x1 = − . 7. 4 9 Luego, el punto de intersección entre las rectas es − , . 7 7. ⋆. Ejemplo 34 : Considere el sistema de ecuaciones  −4x1 + 2x2 + 4x3 = 1    6x1 − 2x2 − 5x3 = 0    −6x1 + 4x2 + 7x3 = 3 1. Escribir la matriz asociada al sistema.. 2. Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, especificando A, x y b. 3. Escribir la matriz aumentada del sistema. 4. Utilice el método de eliminación de Gauss para obtener las soluciones del sistema, si es que existen. Solución : 1. Tenemos que, la matriz asociada al sistema viene dada por   −4 2 4   −2 −5  A=  6 . −6 4 7 2. Tenemos que. Ax = b. Última actualización: Septiembre 2015. =⇒.    . −4. 2. 6. −2. −6. 4. 4. . x1. . . 1. .      x2  =  0  , −5      7 x3 3. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(34) Matemática III - Guía 2.. donde,. .  A= . Sistemas de ecuaciones lineales. −4. 2. 6. −2. −6. 4. 4. 3. Matriz aumentada del sistema. . .  −5   7. x1. 34. . .    x x= 2   x3 .  (A | b) =  . −4. 2. 4. 6. −2. −5. −6. 4. 7. 1. 1. .    b=  0 . 3 .  0  . 3. 4. Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada para transformar dicha matriz en una versión de su forma escalonada (método de eliminación gaussiana)    . −4. 2. 4. 6 −2 −5 −6. 4. 7. 1. . .   − 14 F1 →F1   0  −−−−−→    3. 1. 1 − 2. −1. 6. −2. −5. −6. 4. 7. . entonces,.  1  6F1 +F3 →F3   −−−−−−−→  0    0. 1 − 2. −1. 1. 1. 1. 1.  3    De la segunda fila : x2 + x3 = 2    De la primera fila : x − 1 x − x = − 1 2 3 1 2 4 =⇒. x1 −.  1 − 4   −6F1 +F2 →F2  0  −−−−−−−→  3. −1. 0. 1. 1. −6. 4. 7.  1     −F2 +F3 →F3     −−−−−−−→  0      0.      . x3 =. −. −. . =⇒. x1 = −. 3 − x2 2. . =−. 1 4. =⇒. 1 3 1 x2 − + 2 4 2. con. 1 2. −1. 1. 1. 0. 0. −. 1 4 3 2 3. −. 1 4 3 2 0.       . .    ,  . 3 − x2 2.      x − 1 x − x = −1 1 2 3 2 4. 1 x2 − 2. Así, el sistema tiene infinitas soluciones  1 5  − x2 +  2 4      x2 x=      3 − x2 2.      . 1 2. 1. . 1 − 4 3 2 3 2. =⇒. . x1 +. =⇒. 1 3 1 x2 − = − 2 2 4. x1 = −. 1 5 x2 + . 2 4. x2 ∈ R.. ⋆ Última actualización: Septiembre 2015. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(35) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. 35. Ejemplo 35 : Considere el sistema de ecuaciones  2x1 + 5x2 − x3 = 1    7x2 − 2x3 = −1    −x1 + 3x2 − x3 = 2 1. Escribir la matriz asociada al sistema.. 2. Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, especificando A, x y b. 3. Escribir la matriz aumentada del sistema. 4. Utilice el método de eliminación de Gauss para obtener las soluciones del sistema, si es que existen. Solución : 1. Tenemos que la matriz asociada al sistema viene dada por   2 5 −1   7 −2  A=  0 . −1 3 −1. 2. Tenemos que. Ax = b donde,. .  A= .    . =⇒. 2. 5. 0. 7. −1. 3. −1. 2. 5. 0. 7. −1. 3. . .  (A | b) =  .  −−−−−−−−→   0 0 . 1.    −−−−−−−−−→  0   0 −11F2 +F3 →F3. Última actualización: Septiembre 2015. x1. 2. 5. −1. 0. 7. −2. −1. 3. −1. 4. Aplicamos operaciones elementales sobre las en una versión de su forma escalonada (método de    2 5 −1 1 −1   F1 ←→F3   0  7 −2 −1    −−−−−→  0 −1 3 −1 2 2 −2F1 +F3 →F3. x1. . . . −3. 1. 7. −2. 11. −3. −3 1 0. −. 1. .    b=  −1  . 2 1. .  −1  . 2. filas de la matriz aumentada para transformar dicha matriz eliminación gaussiana)    3 −1 2 1 −3 1 −2  −F1 →F1    7 −2 −1  7 −2 −1   −−−−−→  0  5 −1 1 2 5 −1 1 −2. . . 1.   17 F2 →F2   −1  −−−−−→   0  5 0 1. −2. 2 7. −. 1 7. . 1. .    x=  x2  x3. 3. Matriz aumentada del sistema. 1. .         −2    x2  =  −1  , −1 x3 2 .  −2   −1. . −1. 1 7. 46 7. . −3. 1. −2. 1. 2 − 7. 1 − 7. 11. −3. 5.      .    ,  . Farith J. Briceño N.. [email protected].

(36) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. 36. entonces,  1 46  De la tercera fila : x3 =    7 7    2 1 De la segunda fila : x2 − x3 = −   7 7      De la primera fila : x1 − 3x2 + x3 = 2 =⇒.  2 1   x2 − (46) = − 7 7   x1 − 3x2 + (46) = 2 =⇒.         . =⇒. x3 = 46. 2 1  x2 − x3 = −   7 7      x1 − 3x2 + x3 = 2.  92 1   x2 = − 7 7   x1 − 3x2 = 2 − 46. =⇒. x1 − 3 (13) = −44. La solución del sistema es el vector. . −5. =⇒.    . =⇒.   . x2 = 13 x1 − 3x2 = −44. x1 = 39 − 44. =⇒. x1 = −5.. .    x=  13  . 46. ⋆. Ejemplo 36 : Considere el sistema de ecuaciones lineales  3x1 + 6x2 − 2x3 = 1    x1 + x2 − 3x3 = 6    2x1 + 2x2 − 6x3 = 5 1. Escribir la matriz asociada al sistema.. 2. Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, especificando A, x y b. 3. Escribir la matriz aumentada del sistema. 4. Utilice el método de eliminación de Gauss para obtener las soluciones del sistema, si es que existen. Solución : 1. Tenemos que la matriz asociada al sistema viene dada por   3 6 −2   1 −3  A=  1 . 2 2 −6 2. Tenemos que. Ax = b. donde,. . 3. 6.  A=  1. 1. 2. 2. Última actualización: Septiembre 2015. =⇒. −2. .  −3   −6. . 3. 6.   1  2. 1. −2. . x1. . . 1. .      x2  =  6  , −3      x3 5 −6. 2 . x1. .    x x= 2   x3 Farith J. Briceño N.. . 1. .    b=  6 . 5 [email protected].

(37) Matemática III - Guía 2.. Sistemas de ecuaciones lineales. 37. 3. Matriz aumentada del sistema . 3. 6.  (A | b) =   1. −2. 1. −3. 2. −6. 2. 1. .  6  . 5. 4. Aplicamos operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada para en una versión de su forma escalonada (método de eliminación gaussiana)      1 1 −3 6 1 3 6 −2 1   F1 ←→F2   −3F1 +F2 →F2   1   1 −3 6  6 −2 1    −−−−−→  3  −−−−−−−−→  0 2 2 −6 5 2 2 −6 5 2 . 1. −2F1 +F3 →F3  −−−−−−−−→   0. 0. Observemos la última fila de esta matriz, se tiene que 0x + 0y + 0z = −7. =⇒. 0 = −7. transformar dicha matriz 1. −3. 3. 7. 2. −6. 1. −3. 3. 7. 0. 0. 6. .  −17   5 6. .  −17  . −7. No tiene sentido, contradicción.. ←. Por lo que concluimos que el sistema no tiene solución.. ⋆. Ejemplo 37 : Considere el sistema de ecuaciones  2x1 − x2 + 2x3 = 8       x1 + 5x2 − 4x3 = −4      . 14x2 − 2x3 = −15. 3x1 + 4x2 − 2x3 =. 4. 1. Escribir la matriz asociada al sistema. 2. Escribir la forma matricial del sistema, Ax = b, especificando A, x y b. 3. Escribir la matriz aumentada del sistema. 4. Utilice el método de eliminación de Gauss para obtener las soluciones del sistema, si es que existen. Solución : 1. Tenemos que la matriz asociada al sistema viene dada por   2 −1 2    1 5 −4    A=    0 14 −2   3 4 −2 2. Tenemos que. Ax = b. Última actualización: Septiembre 2015. =⇒. . 2.   1    0  3. −1 5 14 4. 2. . . . . 8. . x1    −4  −4        ,   x2  =   −15  −2     x3 4 −2. Farith J. Briceño N.. [email protected].