Control de una suspensión semi activa con un amortiguador magnetorreol�?gico

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(1)INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. CONTROL DE UNA SUSPENSIÓN SEMI-ACTIVA CON UN AMORTIGUADOR MAGNETORREOLÓGICO. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN. POR. LUIS CARLOS FÉLIX HERRÁN. MONTERREY, N.L.. DICIEMBRE DE 2006.

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(3) ©Luis Carlos Félix Herrán, 2006..

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(5) Control de una Suspensión Semi-activa con un Amortiguador Magnetorreológico por. Luis Carlos Félix Herrán Tesis. Presentada al Programa de Graduados en Ingenierı́a del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey como requisito parcial para obtener el grado académico de. Maestro en Ciencias con Especialidad en. Automatización Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Monterrey, N.L., Diciembre de 2006.

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(7) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey División de Ingenierı́a y Arquitectura Programa de Graduados en Ingenierı́a. Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Luis Carlos Félix Herrán sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de: Maestro en Ciencias con Especialidad en Automatización. Comité de Tesis. Dr. José de Jesús Rodrı́guez Ortiz Asesor. Dr. Ricardo A. Ramı́rez M.. Dr. Rogelio Soto Rodrı́guez. Sinodal. Sinodal. Aprobado:. Dr. Francisco Angel Bello Director del Programa de Graduados en Ingenierı́a. Diciembre de 2006.

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(9) 9. Dedicatoria. A DIOS.... A mis padres, por su amor y su apoyo incondicional, porque siempre han estado ahı́.. A mis hermanos; aunque los tres estamos en lugares diferentes, siempre los llevo conmigo.. ”No importa que tan lejos me encuentre, ustedes son mi soporte.”.

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(11) ix. Resumen Se realiza una investigación en el campo de la modelación y el control de suspensiones semi-activas en vehı́culos terrestres con el fin de mejorar dos ı́ndices de desempeño que compiten entre ellos: el confort del pasajero y la estabilidad del vehı́culo. La referencia de estos ı́ndices se tomó de Sename [Sename 02] quien establece, para el ı́ndice de confort del pasajero, una reducción en 6dB del desplazamiento del chasis con respecto a la magnitud de las irregularidades de la superfice con respecto a una suspensión pasiva. En cuanto a la estabilidad del vehı́culo, se busca una reducción en 6dB del desplazamiento de la llanta con respecto a la magnitud de las irregularidades de la superficie. A partir de un modelo tı́pico de dos grados de libertad de un cuarto de vehı́culo y de un modelo no-lineal de un amortiguador magnetorreológico reportado en la literatura [Spencer 96], se desarrolla un modelo de suspensión semi-activa que contiene un cuarto de vehı́culo con un amortiguador magnetorreológico y que permite el control del amortiguamiento [Félix 06]. Las ecuaciones que representan la dinámica de la suspensión semi-activa se modelan en MATLAB-Simulink y se realizan pruebas de simulación para validar el modelo. Se aplican tres técnicas de control no-lineal para mejorar los ı́ndices de desempeño. Las estrategias: Skyhook, Groundhook e Hı́brida se aplican al modelo de la suspensión semi-activa con el amortiguador magnetorreológico. Se realizaron experimentos de simulación, modificando de forma heurı́stica la ganancia de los controladores para encontrar un buen balance entre confort y estabilidad [Gillespie 92]. Debido a la naturaleza heurı́stica de las técnicas de control mencionadas en el párrafo anterior, se aplicó un cuarto enfoque de control no-lineal. El Control Difuso, con algunas variantes, se utilizó para emular el comportamiento del controlador Hı́brido con reglas y conjuntos difusos. Se desarrollaron cuatro controladores difusos que se sintonizaron con base al método de prueba y error. Se define el diseño de los experimentos a realizar y se compara el desempeño de las estrategias de control. Debido a la referencia [Sename 02] tomada para el confort del pasajero y la estabilidad del vehı́culo, los resultados se presentan en el dominio de la frecuencia utilizando funciones descriptivas. Se comprobó que un controlador difuso puede ser aplicado al control de suspensiones semi-activas obteniendo resultados parecidos a los de un controlador hı́brido y en algunos casos mejores como lo demuestran los resultados de esta tesis. Como futura investigación queda la sintonización del controlador difuso con métodos de optimización para buscar mejorar en mayor grado los ı́ndices de confort del pasajero y estabilidad del vehı́culo..

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(13) Contenido 1. Introducción 1.1. Antecedentes . . . . . . . 1.2. Definición del Problema . 1.3. Hı́pótesis . . . . . . . . . . 1.4. Objetivos . . . . . . . . . 1.5. Metodologı́a . . . . . . . . 1.6. Descripción del documento. . . . . . .. 3 3 4 5 6 6 7. . . . . . . . . . . . . . .. 9 9 10 15 17 19 20 22 22 23 25 25 26 27 28. . . . .. 31 31 32 35 37. de Control No-lineal Skyhook, mejorando el confort . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groundhook, aumentando la estabilidad . . . . . . . . . . . . . Hı́brido; confort y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 46 46 49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de tesis. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 2. Marco Teórico 2.1. Sistemas No-lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Algunos tipos comunes de no-linealidades 2.2. Amortiguadores Magnetorreológicos . . . . . . . 2.3. Función Descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Modelo tı́pico de dos grados de libertad . . . . . 2.5. Dinámica de Vehı́culos . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Estabilidad del Vehı́culo . . . . . . . . . 2.5.2. Confort del Pasajero . . . . . . . . . . . 2.6. Índices de Desempeño . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Estrategias de Control No-lineal . . . . . . . . . 2.7.1. Control Skyhook . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Control Groundhook . . . . . . . . . . . 2.7.3. Control Hı́brido . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Control Difuso . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Modelación 3.1. Modelo de un cuarto de vehı́culo . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Revisión de Modelos de Amortiguadores Magnetorreológicos 3.2.1. Suspensión Semi-activa . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Validación del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Estrategias 4.1. Control 4.2. Control 4.3. Control. xi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(14) Contenido. xii. 4.4. Control Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Controladores Difusos Implementados . . . . . . . . . . . . . . . 5. Presentación y Análisis de Resultados 5.1. Experimentos en el dominio de la frecuencia 5.1.1. Suspensión Pasiva . . . . . . . . . . . 5.1.2. Control Skyhook . . . . . . . . . . . 5.1.3. Control Groundhook . . . . . . . . . 5.1.4. Control Hı́brido . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Control Difuso . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Compendio de resultados . . . . . . .. 51 52. . . . . . . .. 61 61 63 64 66 66 67 70. 6. Conclusiones y Trabajos Futuros 6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 73 74. Bibliografı́a. 75. A. Generación de la Función Descriptiva. 79. B. Modelación en MATLAB-Simulink. 83. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..

(15) Índice de figuras 2.1. Modelo de manómetro metálico con histéresis. Figura tomada de: www.hiru.com/es/fisika/fisika 01000.html . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Curvas de histéresis para un manómetro metálico de aguja . . . . . . . 2.3. Sistema masa-resorte-amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Sistema masa-resorte-amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Fenómeno No-lineal de Saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Sistema de Control de un Satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Esquemático de Amortiguador Magnetorreológico. Figura tomada de [Jolly 04] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Estado inicial, transitorio y estable de las partı́culas contenidas en un amortiguador magnetorreológico. Figura tomada de: etd.lib.fsu.edu/theses/available/etd-07072005164339/unrestricted/11 CMDW CHAPTER 3.pdf . . . . . . . . . . . . 2.9. Sistema mecánico sujeto a una entrada senoidal de magnitud A . . . . 2.10. Gráfica de transmisibilidad en un sistema mecánico masa-resorte . . . . 2.11. Vista del sistema de suspensión de un vehı́culo compacto tı́pico. Figura tomada de: www.tecnun.es/automocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Modelo tı́pico de dos grados de libertad con diagrama de cuerpo libre . 2.13. Transmisibilidad en una suspensión tı́pica. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Sensación de Confort por parte del pasajero. . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Algunas frecuencias de resonancia del cuerpo humano. Figura tomada de [Miyara 05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Estrategia de control Skyhook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Estrategia de control Groundhook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Estrategia de control hibrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Controlador Difuso, FKBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.. Modelo de Bouc-Wen para un amortiguador magnetorreológico. . . . . Modelo de amortiguador magnetorreológico propuesto por Spencer. . . Curvas de Histéresis del modelo de amortiguador reportado por Spencer Modelo de un cuarto de vehı́culo con el amortiguador magnetorreológico. Parámetros involucrados en el modelo de suspensión semi-activa. . . . . Gráfica de Fuerza vs tiempo entregada por del amortiguador magnetorreológico a la masa suspensida en el sistema de un cuarto de vehı́culo. xiii. 11 11 12 13 14 14 15. 16 18 19 20 21 21 23 24 26 27 28 29 32 33 35 36 38 39.

(16) Índice de figuras 3.7. Gráfica de Fuerza vs desplazamiento (xs - xt ) del amortiguador magnetorreológico en el sistema de un cuarto de vehı́culo. . . . . . . . . . . . 3.8. Gráfica de Fuerza vs velocidad del amortiguador magnetorreológico en el sistema de un cuarto de vehı́culo. Se observa el comportamiento de histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Efecto en la fuerza al variar el voltaje de entrada del amortiguador. . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.. Modelo de dos grados de libertad con un control semi-activo . . . . . . Suspensión semi-activa y controlador Skyhook . . . . . . . . . . . . . . Suspensión semi-activa y controlador Skyhook . . . . . . . . . . . . . . Suspensión semi-activa y controlador Groundhook . . . . . . . . . . . . Suspensión semi-activa y controlador Hı́brido . . . . . . . . . . . . . . . Estructura de FKBCs implementados en FIS-Editor de MATLAB . . . Conjunto de funciones de membresı́a de la entrada (desplazamientos) de FKBC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Conjuntos difuso de la salida de FKBC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Conjunto de funciones de membresı́a (velocidades) de la entrada de FKBC2 4.10. Conjuntos difusos de la salida de FKBC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Conjunto de funciones de membresı́a (velocidad de ms con respecto a mt ) de la entrada de FKBC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Conjunto de funciones de membresı́a (velocidad absoluta de ms ) de la entrada de FKBC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Conjunto de funciones de membresı́a (velocidad absoluta de mt ) de la entrada de FKBC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Funciones de membresı́a de la salida de FKBC3 . . . . . . . . . . . . . 4.15. Conjunto de funciones de membresı́a de la deflexión para FKBC4 . . . 4.16. Conjunto de funciones de membresı́a de la velocidad Vs t para FKBC4 . 4.17. Funciones de membresı́a de la salida de FKBC4 . . . . . . . . . . . . .. 1. 40. 41 42 45 47 48 48 50 52 53 54 54 55 56 56 56 57 59 59 60. 5.1. Diagrama de flujo para obtener las funciones descriptivas . . . . . . . . 5.2. Pseudobode de la masa suspendida. Suspensión pasiva . . . . . . . . . 5.3. Pseudobode de la masa no-suspendida. Suspensión pasiva . . . . . . . . 5.4. PseudoBode de la masa suspendida. Control Skyhook . . . . . . . . . . 5.5. Pseudobode de la masa no-suspendida. Control Skyhook . . . . . . . . 5.6. PseudoBode de la masa suspendida. Control Groundhook . . . . . . . . 5.7. Pseudobode de la masa no-suspendida. Control Groundhook . . . . . . 5.8. PseudoBode de la masa suspendida. Control Hı́brido . . . . . . . . . . 5.9. Pseudobode de la masa no-suspendida. Control Hı́brido . . . . . . . . . 5.10. PseudoBode de la masa suspendida. Control Difuso . . . . . . . . . . . 5.11. Pseudobode de la masa no-suspendida. Control Difuso . . . . . . . . . 5.12. PseudoBode de la masa suspendida. Control Hı́brido, Difuso y Pasivo . 5.13. Pseudobode de la masa no-suspendida. Control Hı́brido, Difuso y Pasivo. 62 63 64 65 65 66 67 68 68 69 69 70 71. B.1. Implementación en Simulink del modelo de un cuarto de vehı́culo con la dinámica del amortiguador magnetorreológico 1 de 2 . . . . . . . . . .. 83.

(17) 2. Índice de figuras B.2. Implementación en Simulink del modelo de un cuarto de vehı́culo con la dinámica del amortiguador magnetorreológico 2 de 2 . . . . . . . . . .. 84.

(18) Capı́tulo 1 Introducción 1.1. Antecedentes. La suspensión de un vehı́culo tiene como objetivo absorber las desigualdades del terreno sobre el cual se desplaza, a la vez que mantiene las ruedas en contacto con el pavimento. El confort está relacionado con el aislamiento del chasis con respecto a las irregularidades de la superficie de rodamiento, mientras que la estabilidad del automóvil depende del agarre de las llantas con la superficie [Worden 01]. La situación que se presenta, es que las variables confort y estabilidad son inversamente proporcionales, al aumentar el confort, se disminuye la estabilidad y viceversa [Goncalves 01]. De forma tradicional, los automóviles utilizan como parte de su sistema de suspensión componentes pasivos, elementos con propiedades estáticas donde la causal de cambio está limitada al desgaste de los componentes a través del tiempo. Debido a lo anterior, el factor de amortiguamiento de las suspensiones pasivas está restringido a cumplir con el ı́ndice de desempeño para el que se diseñó y mejorar el confort del pasajero o la estabilidad del vehı́culo. A mediados del siglo pasado se empezó a trabajar con fluidos que podı́an cambiar sus propiedades fı́sicas al ser expuestos a corrientes eléctricas o a campos magnéticos; a estos materiales se les dio el nombre de fluidos reológicos [Villarreal 05]. Después de mantenerse durante décadas como una curiosidad de laboratorio, a finales de los ochentas se empiezaron a desarrollar aplicaciones con estos fluidos, hasta llegar a ser aplicados en suspensiones automotrices, en las llamadas suspensiones inteligentes [Pauwelussen 95]. Existen amortiguadores que contienen fluido reológico y que pueden cambiar su coeficiente de amortiguamiento en cuestión de milisegundos, al ser expuestos a una fuerza eléctrica o magnética. Los amortiguadores que se controlan mediante un campo eléctrico son llamados electrorreológicos [Chung 04] y aquellos que se manipulan por medio de un campo magnético son nombrados magnetorreológicos, estos últimos presentan ventajas [Carlson 95], [Spencer 96] con respecto a los amortiguadores 3.

(19) Capı́tulo 1. Introducción. 4. electrorreológicos, por lo que son más utilizados en suspensiones de vehı́culos. Los amortiguadores reológicos forman parte de las suspensiones semi-activas que conservan elementos pasivos e incorporan un elemento activo, un amortiguador cuyo coeficiente de amortiguamiento se puede manipular en tiempo real. El sistema de suspensión semi-activa a demostrado dar mejores resultados que los sistemas pasivos [Poussot 05], [Yeh 92] abriendo una beta de gran valor en el control de suspensiones de vehı́culos. Durante años, la industria automotriz ha trabajado con amortiguadores magnetorreológicos para incorporarlos al sistema de suspensión y contar con una versatilidad que permita, de forma simultánea, mejorar la estabilidad del automóvil y el confort del pasajero. Los esfuerzos se han redoblado y un gran número de instituciones a nivel mundial realizan investigaciones en esta área muy apreciada por la industria automotriz. La investigación del control de suspensiones semi-activas, en este caso con amortiguadores magnetorreológicos, incluye la modelación de la suspensión y el desarrollo de estrategias de control. Se tienen esfuerzos realizados en la modelación del amortiguador, pero se requiere un modelo que incorpore la dinámica de las masas del vehı́culo y del amortiguador magnetorreológico. El presente trabajo desarrolla un modelo basado en leyes fı́sicas que representa ambas dinámicas antes mencionadas y trabaja en estrategias de control que se equiparan con los resultados obtenidos por otras investigaciones de control semi-activo [Goncalves 01] y [Yeh 92]. Al final de este estudio, se contará con un modelo de suspensión controlado por una estrategia de control no-lineal que mejorará el confort de los pasajeros y la estabilidad del vehı́culo obtenidos con una suspensión pasiva y equiparables a los obtenidos por otros trabajos de investigación.. 1.2. Definición del Problema. La problemática del uso de suspensiones semi-activas radica en identificar su dinámica no-lineal [Worden 01]. Varias investigaciones se han realizado para obtener modelos matemáticos de suspensiones semi-activas; desde los primeros modelos que no incluı́an las no-linearidades inherentes en los elementos de la suspensión semi-activa, hasta los modelos más complejos propuestos por Spencer y Bouc-Wen [Spencer 96] que representan con gran exactitud la dinámica del amortiguador magnetorreológico. La presente investigación, no presenta la construcción fı́sica del cuarto de vehı́culo con el amortiguador magnetorreológico como es el caso de [Goncalves 01], sino que parte de un modelo tı́pico de un cuarto de vehı́culo de dos grados de libertad ampliamente documentado en la literatura [Majjad 97] al que se le integran las ecuaciones no-lineales que describen a un amortiguador magnetorreológico. El modelo del amortiguador es el propuesto por [Spencer 96], que es una mejora al modelo de Bouc-Wen [Wen 76]. El estudio se realiza a nivel de simulación (MATLAB-Simulink), dejando como posible.

(20) 1.3. Hı́pótesis. 5. trabajo futuro la implementación fı́sica del sistema. Se trabajará con un cuarto de vehı́culo para enfocar el estudio en la dinámica vertical y simplificar el análisis. No hay que olvidar que al trabajar con medio vehı́culo o con el modelo del vehı́culo completo hay que integrar otras dinámicas que influyen en la suspensión y que incrementan el nivel de complejidad en la modelación y el control. El análisis de los objetivos de control se hace en el dominio de la frecuencia [Sename 02], ya que los ı́ndices de desempeño están definidos en función de la respuesta en estado estacionario del cuarto de vehı́culo ante entradas senoidales. Lo anterior requiere de un método para obtener una función descriptiva [Slotine 91] equivalente a un diagrama de Bode [Ogata 03], pero para sistemas no-lineales. Para un sistema no-lineal habrá que aplicar una estrategia de control de igual caracterı́stica. El estado del arte indica que se han aplicado estrategias de control no-lineal tales como: Skyhook, Groundhook e Hı́brido [Goncalves 01]. Primeramente se aplicarán estas estrategias al modelo de un cuarto de vehı́culo con el amortiguador magnetorreológico y posteriormente se buscará mejorar el desempeño de la suspensión al variar, de forma heurı́stica, los parámetros de los controladores no-lineales. La siguiente etapa consiste en diseñar un controlador difuso [Wang 97] que se equipare al desempeño obtenido por el mejor de los controladores mencionados anteriormente. La idea es partir de las reglas heurı́sticas en las que se basan las estrategias Skyhook, Groundhook e Hı́brido para construir un controlador difuso sintonizado a prueba y error. No hay que perder de vista la idea de tener una suspensión que disminuya las vibraciones generadas por superficies irregulares. El reducir al máximo las vibraciones aumenta el confort percibido por los pasajeros y la maniobrabilidad del automóvil que impacta directamente en la seguridad en el manejo.. 1.3. Hı́pótesis. El uso de amortiguadores magnetorreológicos en el control semi-activo, manipulados por controladores no-lineales, mejora el desempeño de la suspensión, aumentando los niveles de confort y estabilidad de forma simultánea..

(21) Capı́tulo 1. Introducción. 6. 1.4. Objetivos. Los objetivos del presente estudio se pueden resumir en los siguientes puntos: Obtener un modelo de un cuarto de vehı́culo que contenga la dinámica de un amortiguador magnetorreológico. Diseñar y desarrollar a nivel simulación, el modelo integrado de un cuarto de vehı́culo con un amortiguador magnetorreológico. Al modelo simulado, aplicarle las estrategias de control Skyhook, Groundhook e Hı́brido, variando la ganancia de cada estrategia de forma heurı́stica para identificar la relación entre los ı́ndices de desempeño y la ganancia de la estrategia de control Desarrollar un controlador difuso que se equipare a los resultados obtenidos con el controlador hı́brido.. 1.5. Metodologı́a. Se empezará con la revisión de los avances logrados en cuanto a modelación de amortiguadores magnetorreoógicos y al control de suspensiones semi-activas. Con la información recabada se aplicará un modelo de amortiguador magnetorreológico que se pueda modelar y manipular en una herramienta de software (MATLAB-Simulink). El modelo del amortiguador se integrará a un sistema de un cuarto de vehı́culo para obtener el comportamiento de la dinámica vertical del automóvil. Es importante comprobar los resultados obtenidos para validar el modelo final al cual se le aplicarán las estrategias de control. Se definirán los ı́ndices de desempeño que deberá cumplir la suspensión. Los controladores se diseñarán para buscar cumplir con estos ı́ndices. Se implementarán cuatro estrategias de control no-lineal: Skyhook, Groundhook, Hı́brido y Difuso. Se simularán pruebas para el análisis de resultados. Estos resultados se revisarán en el dominio de la frecuencia, por lo que deberá desarrollarse un algoritmo que obtenga la función descriptiva a partir de la respuesta del sistema en estado estable ante una entrada senoidal con una amplitud fija pero con frecuencia variable. Se presentarán los resultados finales y se concluirá el trabajo. Por último, se presentan las posibles lı́neas de investigación que pueden dar lugar a trabajos futuros..

(22) 1.6. Descripción del documento de tesis. 1.6. 7. Descripción del documento de tesis. El capı́tulo 1 incluye una introducción al trabajo de tesis. Es necesario situar el problema y presentar los antecedentes de donde se partirá. Ası́ mismo, contiene la definición del problema, ası́ com la hipótesis que se desea comprobar. Los objetivos contienen las metas de la tesis. El capı́tulo se concluye con la metodologı́a a seguir para alcanzar los objetivos listados. El capı́tulo 2 contiene la teorı́a que se requirió para el desarrollo de la tesis. La presentación y explicación de los modelos a utilizar, ası́ como la teorı́a que sustenta las estrategias de control que se implementaron. Se incluyen la definición y explicación de los ı́ndices de desempeño que son el marco de referencia para la comparación de las estrategias de control. Adicionalmente, se incluye una revisión matemática de los enfoques de control y de las herramientas que se utilizaron durante el desarrollo de la investigación. En el capı́tulo 3 se desarrolla la modelación del cuarto de vehı́culo con el amortiguador magnetorreológico. Se presentan los modelos matemáticos que dan origen a las ecuaciones matemáticas de la suspensión semi-activa. Por último, se realizan pruebas al modelo generado para comprobar que incluye los comportamientos no-lineales de una suspensión semi-activa. El capı́tulo 4 presenta las estrategias de control con las que se busca alcanzar los objetivos de control. El desarrollo del control Skyhook, Groundhook, Hı́brido y Difuso son parte de este capı́tulo. El capı́tulo 5 contiene el diseño de los experimentos que se realizaron, la pruebas en el dominio de la frecuencia y una compilación, comparación y análisis de resultados. Por último, el capı́tulo 6 presenta la conclusión del trabajo de tesis y expone posibles trabajos futuros a considerar si se desea continuar la investigación..

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(24) Capı́tulo 2 Marco Teórico 2.1. Sistemas No-lineales. Todos los sistemas que existen en la naturaleza son no-lineales. La dinámica de un brazo robótico, un tren de engranes o un sistema masa-resorte es no-lineal, sin embargo, para modelar su comportamiento, se hacen simplificaciones y aproximaciones bajo cierta condiciones. En ciertas ocasiones, se establece un rango de operación dentro del cual el sistema es considerado lineal alrededor de un punto de equilibrio donde el sistema es estable. Este es un método muy utilizado para analizar y manejar sistemas no-lineales y se llama ”Linealización de Sistemas No-lineales”[Marquez 03]. En otras ocasiones, el sistema está formado por dinámicas difı́ciles de modelar, por lo que se suprimen del modelo, para que este pueda manejarse como lineal [Ogata 03]. En ambos casos, el resultado es un modelo que representa, de forma aceptable o bastante exacta, la dinámica del sistema no-lineal y que está sujeto a principios matemáticos muy bien demostrados y documentados. Desde el punto de vista formal, como lo establece [Slotine 91] los sistemas lineales cumplen con el principio de superposición y tienen un solo punto de equilibrio sin importar las condiciones iniciales. Desde el punto de vista matemático, el principio de superposición define lo que es lineal y lo que no lo es; estableciendo lo siguiente: ”La respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para un sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumando los resultados”[Ogata 03]. Por otro lado, un punto de equlibrio, es aquel a donde tenderá la respuesta de un sistema en estado estable. En el caso de sistemas lineales, independientemente del estado inicial, el sistema tiende a estabilizarse en un solo punto de equilibrio [Khalil 02]. Por desgracia, existen muchos casos donde es imposible la linealización del sistema. Factores como la fricción en artı́culaciones de brazos robóticos, condiciones de saturación que imponen limitaciones fı́sicas a las variables, efectos de histéresis, zonas muertas, valores absolutos, etc. deben ser incluidos en el modelo, ya que su exclusión 9.

(25) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 10. generarı́a un modelo que no representa la dinámica del sistema, o que la representa de una forma tan deficiente que trabajos posteriores basados en este modelo tienen una efectividad bastante pobre. En estas situaciones, el sistema no puede ser linealizado y hay que hechar mano de la teorı́a de sistemas no-lineales. El sistema con el que se trabajará en la presente tesis cuenta con varios tipos de no-linealizades que no pueden ser eliminadas del modelo. Los sistemas no-lineales son difı́ciles de analizar. El principio de susperposición no se cumple para un sistema no-lineal, perdiéndose el poder de análisis de la teorı́a de sistemas lineales para conocer la respuesta del sistema en estado transitorio y estado estable, que se estudia desde los primeros cursos de ecuaciones diferenciales [Zill 97]. Adicionalmente, los sistemas no-lineales presentan caracterı́sticas como: múltiples puntos de equilibrio, ciclos lı́mite, bifurcaciones y caos [Slotine 91] con los cuales no se está muy familiarizado o que proporcionan solo una aproximación del comportamiento en cuestión. Debido a lo anterior, se requieren enfoques y herramientas matemáticas no convencionales para analizar sistemas no-lineales.. 2.1.1. Algunos tipos comunes de no-linealidades. Existen muchos tipos de no-linealidades que hay que considerar al analizar un sistema no-lineal, sin embargo, en la siguiente sección, se incluirá un breve estudio de aquellas no-linealidades involucradas en la presente tesis. Comportamientos como: histéresis, amortiguamiento debido al paso de un fluido por un orificio y saturación de variables serán analizados en las siguientes secciones. Histéresis La histéresis se puede definir como los efectos de memoria en función del desplazamiento [Wen 76]. Para explicar este fenómeno, [Doebelin 04] presenta un manómetro, al cual se le varı́a la presión de entrada de forma lenta, empezando en cero y llegando hasta el total de la escala para posteriormente reducir la entrada hasta regresarla a cero. Se esperarı́a que la curva que describe la salida fuera igual al ir en ambos sentidos (de 0 a la escala completa y viceversa); sin embargo, hay una diferencia entre las curvas de carga y descarga debido a la fricción de las piezas metálicas móviles y el esfuerzo al que se someten las piezas debido a la fuerza del resorte. La situación anterior se presenta porque la energı́a que se transmite a los elementos del manómetro cuando este se carga, no se recupera en su totalidad al descargarlo, cumpliéndose la segunda ley de la termodinámica, que no permite procesos perfectamente reversibles en la naturaleza. El ejemplo anterior, es muy similar al comportamiento de otro tipo de manómetro basado en un tubo metálico elástico cuya curvatura depende de la presión del fluido de entrada, y donde existe fricción y juego mecánico entre los elementos metálicos. En este ejemplo, el tubo metálico elástico hace la función de resorte. En ambos casos se presenta el fenómeno de histéresis. La figura 2.1 presenta el esquemático de un manómetro metálico con fenómeno de histéresis..

(26) 2.1. Sistemas No-lineales. 11. Figura 2.1: Modelo de manómetro metálico con histéresis. Figura tomada de: www.hiru.com/es/fisika/fisika 01000.html. Suponiendo que el sistema con histéresis pudiera aceptar entradas hacia ambos lados del cero, las curvas de carga y descarga con efecto de histéresis serı́an como en la figura 2.2.. Figura 2.2: Curvas de histéresis para un manómetro metálico de aguja. Amortiguamiento No-lineal De acuerdo con [Worden 01], la ecuación 2.1 representa el comportamiento de amortiguamiento no-lineal..

(27) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 12. fd (ẏ) = c2 ẏ | ẏ |. (2.1). El efecto del amortiguamiento fd definido en la ecuación 2.1 aparece cuando un fluido pasa a través de un orificio, situación que se presenta en amortiguadores de automóviles. La fuerza de amortiguamiento depende de la velocidad del fluido que pasa por el orificio ẏ. c2 es un coeficiente de amortiguamiento y el término ẏ en valor absoluto, asegura que la fuerza sea opuesta a la velocidad [Worden 01]. Amortiguamiento con Histéresis Para el presente trabajo de tesis se tendrá que combinar el efecto de histéresis con el amortiguamiento no-lineal. Esta relación se estudia en [Worden 01], donde se cita: ”Polı́meros y materiales viscoelásticos tienen un amortiguamiento con una complicada dependencia en la frecuencia”. Como se estudiará más adelante, elementos fundamentales en esta investigación son los amortiguadores magnetorreológicos que contienen material viscoelátiscos con propiedades fı́sicas que dependen de la frecuencia. En su estudio de vibraciones mecánicas, [Steidel Jr 89] analiza un sistema masaamortiguador con histéresis. La figura 2.3 presenta un sistema con una masa conectada a un amortiguador viscoso en paralelo con un resorte elástico. La fuerza total ft es la suma de la fuerza generada por el resorte kx y la fuerza generada por el amortiguador cẋ; La relación anterior se expresa en la ecuación 2.2. ft = kx + cẋ. (2.2). Figura 2.3: Sistema masa-resorte-amortiguador. Si en la ecuación 2.2, x es una entrada senoidal de forma x = Asen (wt), donde A es la amplitud de la onda senoidal, y w es la frecuencia de la misma señal, entonces la.

(28) 2.1. Sistemas No-lineales. 13. fuerza total en la dirección del eje x, esta dada por la ecuación 2.3. ft = kAsen (wt) + cwAcos (wt). (2.3). De la ecuación 2.3, se grafica la fuerza ft vs el desplazamiento x, se obtiene la ecuación 2.4. x 2 A. +. . ft − kx cAw. 2. =1. (2.4). Si de la ecuación 2.4, se grafica la fuerza ft vs el desplazamiento x resulta una gráfica de forma elı́ptica, una figura cerrada en lugar de una lı́nea, como pudiera esperarse. Lo anterior se relaciona con lo expuesto por [Doebelin 04] y se presenta en la figura 2.4 que representa un tipo de no-linealidad.. Figura 2.4: Sistema masa-resorte-amortiguador. Adicionalmente, de la ecuación 2.4 se puede calcular la fuerza total ft en función de las constantes del sistema. La ecuación 2.5 define la fuerza ft . √ ft = kx ± cw A2 − x2. (2.5). En [Steidel Jr 89] analiza la energı́a disipada por un sistema mecánico con amortiguamiento e histéresis como el representado en la figura 2.3, donde el área de la elipse es la energı́a disipada en cada ciclo de carga-descarga se define como: ∆U = πcwA2 [Steidel Jr 89], que depende de la frecuencia de la señal de entrada w. Este fenómeno no-lineal deberá tomarse en cuenta en el Capı́tulo 3 cuando se valide, a nivel simulación, el modelo de suspensión semi-activo con el que se implementará el control de la suspensión de vehı́culo..

(29) 14. Capı́tulo 2. Marco Teórico. Saturación La saturación es un fenómeno que impone lı́mites relacionados con restricciones fı́sicas del sistema. La saturación es no-lineal debido a que interrumpe la relación lineal entre variables. Cuando se presenta saturación, a partir de valores frontera, no importa si la entrada sigue aumentando o disminuyendo, la salida no cambiará. A esto se le llama saturación. La figura 2.5 presenta un ejemplo de saturación.. Figura 2.5: Fenómeno No-lineal de Saturación. Adicionalmente, la saturación es una no-linealidad dura [Worden 01], esto es, no puede ser linealizada y no incluirla en la modelación, significa obtener un modelo que no representa la dinámica del sistema. [Slotine 91] incluye un ejemplo 2.6 de un sistema no-lineal que representa de forma simple el control de un satélite. El actuador está representado por cohetes que tienen dos estados, prendido y apagado. Para los casos, como el presentado en la figura 2.6, no importa si el proceso y el controlador son de naturaleza lineal, si el actuador o algún otro elemento (sensor) presenta saturación, el sistema completo debe realizarse como no-lineal.. Figura 2.6: Sistema de Control de un Satélite..

(30) 2.2. Amortiguadores Magnetorreológicos. 2.2. 15. Amortiguadores Magnetorreológicos. El estudio de fluidos con caracterı́sticas reológicas [Spencer 96] se remonta a la década de los sesentas; cuando se descubrió la posible manipulación de estos fluidos por medio de corrientes eléctricas o campos magnéticos. Años más tarde se empezaron a fabricar amortiguadores que contenı́an partı́culas polarizables magnéticamente distribuidas en lı́quido reológico (por lo general aceite mineral o de silicona). Está fuera del alcance de este estudio el adentrarse en las caracterı́sticas fı́sicas de los amortiguadores tan ampliamente estudiados; por lo que se limitará a mencionar que estos amortiguadores tienen la capacidad de cambiar su factor de amortiguamiento en cuestión de milisegundos ante cambios de voltaje en sus terminales de entrada. Un amortiguador magnetorreológico exhibe el comportamiento no-lineal de un fluido viscoso que pasa por un orificio, ya explicado en secciones previas de este capı́tulo. La figura 2.7 muestra el esquemático de un tipo de amortiguador magnetorreológico que existe en el mercado desarrollado por la compañı́a Lord Corporation.. Figura 2.7: Esquemático de Amortiguador Magnetorreológico. Figura tomada de [Jolly 04]. En la figura 2.7 se observan los elementos de interés del amortiguador. Aunque la apariencia fı́sica es muy parecida a la de un amortiguador pasivo, nótese los cables de alimentación que al recibir voltaje generan un campo electromagnético que afecta al fluido reológico que pasa por los canales. Este fluido reológico presenta amortiguamiento no-lineal por pasar através de los orificios localizados en los canales del amortiguador..

(31) 16. Capı́tulo 2. Marco Teórico. El fluido magnetorreológico contiene partı́culas milimétricas comúnmente de hierro que pueden ser polarizadas por un campo magnético. De un estado inicial donde se encuentran dispersas de forma aleatoria por todo el fluido, se alinean y hacen que la viscosidad del fluido reológico, aceite mineral o de silicón, aumente en aproximadamente 6.5ms [Spencer 96]. Al alinearse, el factor de amortiguamiento se puede alterar drásticamente. La figura 2.8 muestra las etapas por las que pasan las partı́culas sumergidas en el fluido reológico cuando son expuestas a un campo electromagnético. Existe más información de caracterı́sticas del amortiguador magnetorreológico que se encuentran en [Spencer 96].. Figura 2.8: Estado inicial, transitorio y estable de las partı́culas contenidas en un amortiguador magnetorreológico. Figura tomada de: etd.lib.fsu.edu/theses/available/etd-07072005164339/unrestricted/11 CMDW CHAPTER 3.pdf. Se han realizado muchos trabajos relacionados con la caracterización de amortiguadores magnetorreológicos y una importante parte de estos se concentraron en analizar el comportamiento de histéresis encontrado en sistemas estructurales estudiados por ingenieros civiles para disminuir el efecto de terremotos en edificios [Wen 76]. La problemática consiste en que un sistema con histéresis cuenta con una fuerza restauradora que depende del desplazamiento actual, pero también de valores pasados de la misma. Del fenómeno de histéresis, se desprende todo un estudio para desarrollar ecuaciones matemáticas que describan estos comportamientos [Worden 01]. [Sain 97] presenta un análisis del efecto de histéresis del modelo de Bouc-Wen. [Sain 97] incluye el modelo de Bouc-Wen en el estudio de del efecto de ondas sı́smicas en un edificio. Sin importar el método de identificación empleado en la obtención de un modelo, existen fluidos reológicos que se manipulan con campos magnéticos, y fluidos reológicos.

(32) 2.3. Función Descriptiva. 17. propensos a campos eléctricos. Estudios completos que comparan estos dos tipos de amortiguadores magnetorreológicos en cuanto a: tamaño del amortiguador, potencia requerida, efecto de temperatura y contaminantes, ası́ como otros aspectos se presentan en [Carlson 95]. Para efectos de manipulación, la diferencia en el tipo de amortiguador se encuentra en la cantidad de voltaje requerido para cambiar el comportamiento reológico del fluido. [Chung 04] deja claro el nivel de demanda requerido para controlar un amortiguador electrorreológico, haciendo de esta caracterı́stica, la principal desventaja de este tipo de amortiguador. Los amortiguadores electrorreológicos requieren de aproximadamente 8kV para generar un campo eléctrico con la suficiente intensidad que altere y mantenga las propiedades reológicas del fluido, mientras que el amortiguador magnetorreológico se puede manipular con 12V y generar una fuerza de soporte del orden de 20 veces mayor a la proporcionada por un amortiguador electrorreológico [Stanway 96].. 2.3. Función Descriptiva. Un método para analizar funciones de transferencia, es el diagrama de Bode. Las trazas de Bode están basadas en la respuesta de un sistema en estado estacionario ante una entrada senoidal [Ogata 03]. En los métodos de respuesta a la frecuencia (diagramas de Bode), la frecuencia de la señal senoidal de entrada es variada en el rango para el cual quiere analizarse la salida del sistema con el fin de obtener una relación entrada-salida. Para esta investigación, el utilizar métodos de respuesta en frecuencia proporciona las siguientes ventajas: Para el sistema en cuestión, se puede obtener una relación entrada-salida sin conocer el modelo. Permite diseñar sistemas donde se eliminan los efectos del ruido. Su análisis y diseño puede extenderse a ciertos sistemas de control no-lineales. El sistema con el que se trabaja a lo largo de este estudio es altamente nolineal y un método de respuesta en frecuencia ofrece ventajas [Ogata 03] para analizar su dinámica y su respuesta estacionaria ante entradas senoidales de diferente frecuencia. Aunque el análisis de Bode puede extenderse a sistemas no-lineales, es importante realizar algunas modificaciones y establecer algunas reglas ya que las funciones de respuesta a la frecuencia no pueden ser definidas para sistemas no-lineales [Slotine 91]. En el caso no-lineal se tiene una función descriptiva, una extensión del método de respuesta a la frecuencia que maneja una aproximación de un diagrama de Bode, algunas veces referenciado como PseudoBode. Aunque es una aproximación, este método es.

(33) 18. Capı́tulo 2. Marco Teórico. útil para encontrar la respuesta de ciertos sistemas no-lineales ante entradas senoidales. Para encontrar el pseudobode, hay que aplicar los principios de respuesta a la frecuencia. El modelo no-lineal debe ser excitado con una entrada senoidal de frecuencia variable. El rango de la señal periódica cubre el espectro de frecuencia donde se desea analizar del sistema. El rango de frecuencias se divide en tantos intervalos como exactitud se quiera tener en la función descriptiva. Para cada frecuencia, se guarda la respuesta del sistema en estado estacionario. El resultado es un arreglo que contiene la salida del sistema para cada frecuencia en la que se dividió el rango de interés. Con los datos obtenidos y conociendo la amplitud de la señal de entrada; se divide la amplitud de cada salida entre la magnitud de la entrada. El resultado es una relación llamada transmisibilidad, definida como la relación absoluta de la amplitud de la salida con respecto a la amplitud de la entrada [Steidel Jr 89]. Esta definición es muy importante para analizar el fenómeno indeseable de resonancia mecánica [Steidel Jr 89]. La frecuencia de resonancia es aquella donde la entrada provoca una ganancia muy grande en la salida del sistema. La transmisibilidad puede comprenderse con el análisis del sistema representado en la figura 2.9; un arreglo masa-resorte expuesto a una entrada senoidal de forma Asen (wt), donde A es la amplitud de la onda senoidal, y w es la frecuencia de la misma señal.. Figura 2.9: Sistema mecánico sujeto a una entrada senoidal de magnitud A. En la figura 2.9, la transmisibilidad estarı́a representada en una gráfica que contiene la relación entre la amplitud de salida X y la amplitud de entrada A. Si la frecuencia de entrada se altera entre 0 y 10 Hz, la ganancia máxima que puede tener la salida del sistema es de 2 veces la entrada. Un bosquejo de transmisibilidad estarı́a expresado en la figura 2.10..

(34) 2.4. Modelo tı́pico de dos grados de libertad. 19. Figura 2.10: Gráfica de transmisibilidad en un sistema mecánico masa-resorte. 2.4. Modelo tı́pico de dos grados de libertad. La mayorı́a de los modelos mecánicos con los que se trabaja para analizar respuestas transitorias y estacionarias cuentan con una masa conectada a resortes y amortiguadores. A estos sistemas se les conoce como modelos de un grado de libertad. Un sistema mecánico de este tipo, presenta solo una frecuencia de resonancia. La frecuencia de resonancia aparece alrededor de la frecuencia natural del sistema, frecuencia donde la transmisibilidad es máxima [Ogata 03]. Muchos sistemas mecánicos existentes en la naturaleza se pueden simplicar a un sistema masa-resorte de un grado de libertad, pero en varias ocasiones la simplificación no puede realizarse y el modelo se representa con más de una masa en movimiento. En estos casos, la relación entre las dinámicas de ambas masas, no puede despreciarse. Los sistemas mecánicos de más de un grado de libertad, también llamados de múltiples grados de libertad, cuentan con más de una frecuencia de resonancia [Steidel Jr 89]. Cada masa cuenta con su frecuencia de resonancia que depende de los efectos impresos por las todas las masas que interactúan entre sı́. Este estudio de tesis utiliza el modelo tı́pico de un cuarto de vehı́culo representado en la figura 2.12 y ampliamente documentado en la literatura [Palm III 99] y [Majjad 97]. El modelo de dos grados de libertad es una abstracción que representa la dinámica vertical de los elementos que conforman un cuarto de vehı́culo delimitados por la elipse de la figura 2.11. Está claro que el modelo de dos grados de libertad de la figura 2.12 no puede representar a todos los elementos contenidos en el área de interés de la figura 2.11; sin embargo, ofrece una aproximación aceptable para trabajar con modelos matemáticos. Los principales elementos contenidos en el modelo tı́pico de un cuarto de vehı́culo.

(35) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 20. Figura 2.11: Vista del sistema de suspensión de un vehı́culo compacto tı́pico. Figura tomada de: www.tecnun.es/automocion. son: ms o un cuarto de la masa del chasis del automóvil, también llamada masa suspendida, mt que representa la masa no suspendida (principalmente masas de: llanta, rin y suspensión), ks que representa el resorte entre la llanta y el chasis, kt , representa la rigidez de la llanta y c como el elemento amortiguador. Por su parte, xs es el desplazamiento de la masa suspendida, xt es el desplazamiento de la masa no suspendida y xp representa las irregularidades del camino que son entradas al sistema masa-resorte-amortiguador. Se califica como modelo tı́pico ya que es aceptado para fines de análisis y modelación con la premisa de ser un modelo simplificado donde sus componentes están linealizados mientras que algunos elementos se suprimen para no aumentar la complejidad del análisis. En la investigación realizada por [Goncalves 01], para un modelo de un cuarto de vehı́culo con dos grados de libertad y con valores de masas, resortes y amortiguador tı́picos de un carro compacto promedio [Majjad 97], se identifica la frecuencia de resonancia de la masa suspendida (un cuarto del chasis) alrededor de 1.5Hz, mientras que la frecuencia de resonancia de la masa no suspendida se encuentra alrededor de 10.5Hz. La figura 2.13 muestra como se dispara la transmisibilidad en las frecuencias de resonancia de las masas del modelo. Las frecuencias de resonancia dependen de los valores de la masas, de forma que un modelo de un cuarto de vehı́culo para un camión de carga, cuenta con diferentes frecuencias de resonancia.. 2.5. Dinámica de Vehı́culos. El estudio de las dinámicas de un vehı́culo es complejo, ya que se pueden encontrar dinámicas laterales y verticales que interactúan entre sı́. [Gillespie 92] y [Wong 01] incluyen una revisión de las dinámicas del automóvil. Este estudio se enfoca en la.

(36) 2.5. Dinámica de Vehı́culos. Figura 2.12: Modelo tı́pico de dos grados de libertad con diagrama de cuerpo libre. Figura 2.13: Transmisibilidad en una suspensión tı́pica.. 21.

(37) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 22. dinámica vertical para medir la estabilidad del vehı́culo y el confort del pasajero.. 2.5.1. Estabilidad del Vehı́culo. De acuerdo con [Wong 01], la estabilidad del vehı́culo está en función de la respuesta del automóvil ante cambios en la dirección (por parte del conductor) y a entradas provenientes del ambiente, como corrientes de viento o irregularidades de la superficie. El enfoque de estabilidad se enfoca a la habilidad del vehı́culo para estabilizar su dirección de movimiento ante perturbaciones externas, en este caso provenientes de la superficie en contacto. Un vehı́culo se puede considerar como un cuerpo rı́gido de seis grados de libertad, que se puede mover en tres ejes: x, y y z y rotar en cada uno de estos ejes. Este análisis de seis grados de libertad es demasiado complejo; sin embargo puede reducirse a la dinámica vertical que es el objeto de interés en esta investigación. Existen diferentes métodos para medir la estabilidad de un vehı́culo. En esta tesis se utiliza un análisis de transmisibilidad entre el desplazamiento de la masa que representa la llanta y las irregularidades del pavimento.. 2.5.2. Confort del Pasajero. Se puede decir que el confort es una percepción humana que depende de factores tan variables como la temperatura o las dimensiones del automóvil. En esta tesis se hace referencia al confort que depende de vibraciones mecánicas. Existen varias fuentes de vibración en un automóvil como: irregulariades del pavimento, uniones entre componentes de la suspensión, vibraciones generadas por el motor y la transmisión, etc. [Gillespie 92]. En esta investigación, las vibraciones estarán limitadas a aquellas provenientes de las irregularidades de la superficie. Un vehı́culo en movimiento está expuesto a un gran espectro de vibraciones generadas por la superficie de rodamiento; estas vibraciones pasan por los elementos fı́sicos del automóvil hasta llegar a los pasajeros, pudiendo ocasionar una sensación de desagrado cuando estas vibraciones se encuentran en cierto rango de frecuencias y exceden ciertos valores de amplitud. La figura 2.14 presenta un diagrama de bloques de como se percibe el confort por parte del pasajero. El nivel de confort es muy subjetivo, ya que cada persona es diferente y de acuerdo a su aspecto fı́sico, antropológico, capacidades sensoriales, etc. establece su nivel de confort. Sin embargo, hay que estandarizar el confort, por lo que más adelante se establecerán ı́ndices de desempeño para calificar el confort del pasajero..

(38) 2.6. Índices de Desempeño. 23. Figura 2.14: Sensación de Confort por parte del pasajero.. 2.6. Índices de Desempeño. Se trabajará con dos ı́ndices de desempeño, uno relacionado con el confort y el otro con la estabilidad del automóvil. Ambos criterios son medidos con respecto a la dinámica vertical del vehı́culo. Cuando se habla de la dinámica vertical, se trabaja con las vibraciones provenientes de la superficie por donde se desplaza el vehı́culo. Estas irregularidades entran a la suspensión como señales de tipo senoidal con una frecuencia y amplitud especı́fica. La frecuencia depende de la velocidad del automóvil y la amplitud de la senoidal de la magnitud de las irregularidades de la superficie. Si el enfoque se hace en el confort de los pasajeros, entonces hay que hacer referencia al efecto de las vibraciones sobre el cuerpo humano. Es sabido que cada parte de nuestro organismo tiene una frecuencia de resonancia donde la transmisibilidad es máxima. El cuerpo humano es sensible a vibraciones dentro del rango 0 a 25 Hz. Una de las partes del cuerpo humano de mucha importancia al estudiar el efecto de vibraciones es el conjunto tórax-abdomen cuya frecuencia de resonancia se encuentra entre los 3 y 6 Hz [Águila 97]; por su parte, la frecuencia de resonancia de la espina dorsal está dividida en dos, una alrededor de los 5Hz y otra entre los 9.4 y 13.1 Hz [Teschke 99]. Otras frecuencias de resonancia de interés son de 4 a 6 Hz y de 20 a 30 Hz para la cabeza y de 4 a 8 Hz para vı́sceras y riñones [Fontanillo 06]. La figura 2.15 presenta la información antes mencionada. Existen algunas organizaciones internacionales dedicadas a establecer estándares.

(39) 24. Capı́tulo 2. Marco Teórico. Figura 2.15: Algunas frecuencias de resonancia del cuerpo humano. Figura tomada de [Miyara 05]. que han definido niveles de confort como la ISO-International Organization for Standardization, en su estándar ISO 2631 [ISO 89] o la BS-British Standard Institution en su estándar BS6841. Estos estándares establecen valores lı́mite de transmisibilidad en un rango de frecuencias para cada grado de libertad. Estos criterios no son los únicos, ası́ que diferentes investigadores se basan en distintos criterios; por ejemplo, [Poussot 05] maneja un transmisibilidad máxima en ambas masas de 1.8; mientras la transmisibilidad sea menor a este valor se está dentro de los lı́mites aceptables. Otro caso es el manejado por Janeway, criterio referenciado en la sección de apéndices de [Gillespie 92] donde se incluye una gráfica de respuesta a vibraciones verticales con lı́mites que no deben rebasarse para mantener una situación de confort. Por otro lado se tiene la estabilidad del vehı́culo, donde se analiza la relación de desplazamientos entre la masa no suspendida y la amplitud de las irregularidades de la superficie. Al igual que el confort existen varios estándares en el mercado. Esta investigación presenta relaciones de transmisibilidad en el dominio de la frecuencia definidas por [Sename 02]. Se fijaron dos objetivos de control que impactan en el confort del pasajero y en la estabilidad del vehı́culo. Las especificaciones de desempeño son las siguientes: Confort en bajas frecuencias (0-5 Hz). Limitar el desplazamiento vertical del chasis con respecto a las irregularidades de la superficie. Excitar el sistema con una entrada senoidal de magnitud de ±10mm variando la frecuencia de 0 a 10Hz. Se busca encontrar una estrategia de control que sea la que más reduzca el efecto de las irregularidades en el chasis. Como lo indica [Sename 02], el análisis se realiza en el dominio de la frecuencia por eso hay que expresar la transmisibilidad en dB. Se busca una reducción de al menos 6dB con respecto a los resultados.

(40) 2.7. Estrategias de Control No-lineal. 25. obtenidos con la suspensión pasiva. Estabilidad del vehı́culo (8-15 Hz). Disminuir el desplazamiento vertical de la llanta con respecto a las irregularidades de la superficie. Reducir en al menos 6dB esta magnitud con respecto al resultado obtenido con una suspensión pasiva. La entrada senoidal será similar a la utilizada para el ı́ndice de confort y la señal senoidal deberá cubrir el rango de frecuencias de interés. Los criterios anteriores se tomarán como referencia al momento de comparar los resultados obtenidos en esta tesis. Se buscará reducir en la mayor medida posible las transmisibilidades de cada masa en el rango de frecuencias especificado. Se espera poder disminuir las relaciones en más de 6dB con respecto a los resultados obtenidos con la suspensión pasiva.. 2.7. Estrategias de Control No-lineal. El modelo que representará la dinámica de la suspensión será de carácter no lineal. Como se mencionó anteriormente, el proceso a modelar contiene efectos no-lineales que no pueden ser suprimidos del modelo, por lo que un controlador lineal no es una opción viable. Esta investigación aplicará diferentes estrategias de control no-lineal para encontrar el esquema de control que proporcione el mejor desempeño de la suspensión. Las siguientes secciones presentan los aspectos claves de las estrategias de control que se aplicarán en esta tesis.. 2.7.1. Control Skyhook. La técnica Skyhook supone que la masa suspendida está conectada a un amortiguador, el cual está fijo a un marco de referencia inercial. El fin de esta idea es modelar la ecuación de fuerza de la masa suspendida de forma que, ante una entrada, sus oscilaciones disminuyan debido a la acción de ese elemento amortiguador Csky, en otras palabras, el objetivo del control Skyhook es reducir la transmisibilidad de la masa suspendida con respecto a las irregularidades de la superficie. La figura 2.16 presenta un esquemático de la propuesta del control skyhook. Cabe mencionar que el arreglo mostrado en la figura 2.16 es hipotético y es referenciado con fines teóricos para especificar que la fuerza entrega por el amortiguador equivale a tener un amortiguador conectado de esa manera. Como se explica en [Goncalves 01], después de hacer un análisis de fuerzas, las ecuaciones de control se definen en 2.6 y 2.7.. Si. Vs Vst ≥ 0,. entonces. Fsa = Csky |Vs |. (2.6).

(41) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 26. Figura 2.16: Estrategia de control Skyhook. Si. Vs Vst < 0,. entonces. Fsa = 0. (2.7). Las ecuaciones 2.6 y 2.7 establecen una acción de control F sa que depende de la velocidad relativa Vst de la masa suspendida ms con respecto a la masa no suspendida mt y de la velocidad absoluta Vs de ms con respecto al piso. El valor de la acción de control debe traducirse a un valor de voltaje que alimentará al amortiguador magnetorreológico.. 2.7.2. Control Groundhook. La técnica de control Groundhook supone que la masa no-suspendida está conectada a un amortiguador, y este está fijo a una superficie imaginaria. [Goncalves 01] expone que el objetivo es modelar la ecuación de fuerza de la masa no-suspendida de forma que, ante una entrada, sus oscilaciones disminuyan debido a la acción de ese elemento amortiguador Cgnd, de tal forma que se reduzca la transmisibilidad de la masa no-suspendida con respecto a las entradas provenientes de la superficie. La figura 2.17 presenta un esquemático con la conceptualización de esta estrategia de control. De igual forma que en el caso del controlador skyhook, en la realidad no se cuenta con un amortiguador conectado a un marco inercial fijo. El resultado de hacer un análisis de fuerzas son las ecuaciones de control 2.8 y 2.9.. Si. − Vt Vst ≥ 0,. entonces. Fsa = Cgnd |Vt |. (2.8).

(42) 2.7. Estrategias de Control No-lineal. 27. Figura 2.17: Estrategia de control Groundhook. Si. − Vt Vst < 0,. entonces. Fsa = 0. (2.9). De las ecuaciones 2.8 y 2.9 se observa que la acción de control F sa dependerá de la velocidad relativa Vst de la masa ms con respecto a mt y de la velocidad absoluta Vt de mt con respecto al piso. El valor de la acción de control debe traducirse a un valor de voltaje que alimentará al amortiguador magnetorreológico.. 2.7.3. Control Hı́brido. El control Hı́brido es un enfoque donde se mezclan las acciones de control Skyhook y Groundhook con el fin de encontrar un puntos intermedio donde se controle la oscilación de los masas. La estrategia hı́brida manipula una variable α en el rango de 0 a 1 para incrementar o decrementar la influencia de cada estrategia. La figura 2.18 ilustra esta estrategia de control. Las ecuaciones de control referentes al control hı́brido se presentan acontinuación:. Si. Vs Vst ≥ 0, Si. Si. entonces. Vs Vst < 0,. − Vt Vst ≥ 0,. σsky = Csky |Vs |. (2.10). σsky = 0. (2.11). entonces entonces. σgnd = Cgnd |Vt |. (2.12).

(43) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 28. Figura 2.18: Estrategia de control hibrido. Si. − Vt Vst < 0,. entonces. σgnd = 0. (2.13). Las ecuaciones 2.10, 2.11, 2.12 y 2.13 son muy similares a las ecuaciones descritas por las estrategias Skyhook y Groundhook. En el caso hı́brido, las salidas de estas ecuaciones, se ponderan en una ecuación hı́brida que integra ambos enfoques y genera una acción de control que busca mejorar tanto el confort como la estabilidad. La acción hı́brida que recibe como entrada los efectos Skyhook y Groundhook queda definida en la ecuación 2.14. Fsa = Ghib [αGsky + (1 − α) Ggnd ]. (2.14). Por lo general, Gsky y Ggnd son fijas en 1. Ghib es una ganancia que se manipula. α se varı́a en el rango [0,1] para dar más o menos peso a cada estrategia de control Skyhook o Groundhook).. 2.7.4. Control Difuso. Desde los inicios de la teorı́a de conjuntos difusos hasta aplicaciones actuales, el control difuso ha sido una herramienta cada vez más empleada en aplicaciones de control. El presente marco teórico no busca presentar el desarrollo de la teorı́a difusa con sus conjuntos, implicaciones, métodos de fusificación y defusificación tan ampliamente documentados en libros [Tanaka 97], [Wang 97], [Driankov 96], si no.

(44) 2.7. Estrategias de Control No-lineal. 29. incluir los conceptos relacionados con el controlador difuso aplicados a esta tesis. Este trabajo incluye un controlador del tipo FKBC (Fuzzy Knowledge Based Controller). Este controlador forma parte de un lazo de control retroalimentado tı́pico, con la variante de contar con un controlador basado en reglas heurı́sticas (conocimiento basado en pruebas y aproximaciones para generar soluciones. Se cuenta con información aproximada, como la manejarı́a un humano). Debido a que el resto del lazo de control maneja valores nı́tidos, hay que hacer una conversión para poder utilizar esta estrategia de control no-lineal. El error que se genera entre la referencia y la variable de proceso, debe ser transformado a un valor difuso, con un método de fusificación. Posteriormente, de acuerdo a este error, se generará una acción de control a partir de reglas heurı́sticas del tipo IF...THEN [Wang 97]. La acción del controlador, debe convertirse al mundo continuo por medio de un defusificador. La salida del FKBC es un valor nı́tido dirigido a la planta a controlar. En la figura 2.19 se muestran las secciones que componen un controlador difuso.. Figura 2.19: Controlador Difuso, FKBC. El método de fusificación que se utilizará es el método de singleton [Wang 97]. El singleton está definido por las siguientes ecuaciones:. µf (x) = 1. si. x=x∗. (2.15). µf (x) = 0. si. x! = x ∗. (2.16). En las ecuaciones 2.15 y 2.16, µf es una función de membresı́a [Tanaka 97], y x∗ es algún punto en el universo de la entrada. La máquina de inferencia a utilizar es Mamdani mı́nimo [Wang 97]. Con reglas de tipo IF...THEN, las cuales pueden tener más de un antecedente, pero solo un consecuente. En control difuso, la implicación de Mamdani es la más utilizada.

(45) Capı́tulo 2. Marco Teórico. 30. [Driankov 96]. L aimplicación de Mamdani requiere un tiempo de cómputo pequeño basada en la operación de intersección definida en la ecuación 2.17.. p→q ≡p∧q. (2.17). La forma más común de representar la implicación de Mamdani mı́nimo está dada por la ecuación 2.18.. µM P (x, y) = min (µA (x) , µB (y)). (2.18). Para la defusificación se utiliza el centro promedio o centro de área [Driankov 96]. Los conjuntos difusos de salida son funciones rectangulares de anchura muy pequeña para simular singletons que disminuyan el tiempo de calculo de la salida nı́tida, pensando en un proceso que se tendrá que realizar en tiempo real. La defusificación por centro de área es muy precisa pero es muy tardada por las multiplicaciones y divisiones que realiza. Driankov presenta una comparación de los diferentes métodos de defusificación donde califica a este método como computacionalmente complejo [Driankov 96]. En la presente tesis se utilizará la defusificación por centro de área con las funciones de membresı́a mofdificadas para disminuir el tiempo de cómputo..

(46) Capı́tulo 3 Modelación Dentro del proceso de desarrollo de una suspensión, existen varias etapas que deben cubrirse en cierto orden y siempre validando cada una de ellas para evitar la propagación de errores hacia etapas posteriores. Uno de los pasos iniciales, después de la conceptualización, es la modelación del proceso objetivo. En este capı́tulo se presenta el desarrollo de un modelo de un cuarto de vehı́culo con un amortiguador magnetorreológico. Al término de este capı́tulo se contará con un modelo semi-activo para su consecuente estudio de control de la suspensión. El modelo se basa en principios fı́sicos, por lo que representará fielmente el comportamiento de la suspensión semi-activa. Se busca que este modelo sea la base para obtener esquemas de control de suspensiones que mejoraren el confort del pasajero y la estabilidad del automóvil. Este capı́tulo empieza por hacer un breve análisis de un modelo pasivo de dos grados de libertad que representa un cuarto de vehı́culo. Posteriormente, se presenta el modelo de amortiguador magnetorreológico tomado de la literatura. Se continua con la unión de ambos modelos (un cuarto de vehı́culo y un amortiguador magnetorreológico) para obtener el modelo de suspensión semi-activa con las masas del cuarto de vehı́culo. Por último, se presentan pruebas de simulación para validar el modelo obtenido.. 3.1. Modelo de un cuarto de vehı́culo. De la figura 2.12, se plantean las ecuaciones diferenciales de movimiento para ms y mt . Tomando como base el diagrama de cuerpo libre de la misma figura se hace una sumatoria de fuerzas en cada masa generándose las ecuaciones 3.1 y 3.2. ms ẍs = c (ẋs − ẋt ) − ks (xs − xt ). (3.1). mt ẍt = c (ẋt − ẋs ) − ks (xt − xs ) − kt (xt − xp ). (3.2). 31.

(47) 32. Capı́tulo 3. Modelación. En las ecuaciones 3.1 y 3.2, ms es masa suspendida, mt es la masa no suspendida, ks es el resorte entre la llanta y el chasis, kt es la rigidez de la llanta y c es el elemento amortiguador. xs es el desplazamiento de la masa suspendida, xt es el desplazamiento de la masa no suspendida y xp son entradas al sistema masa-resorte-amortiguador provenientes de la superficie irregular. En secciones posteriores, las ecuaciones 3.1 y 3.2 cambiarán al reemplazar el elemento amortiguador c fijo (pasivo), por un amortiguador magnetorreológico. Antes de hacer el cambio de amortiguador, es necesario conocer la dinámica del nuevo elemento para conocer las ecuaciones que se integrarán al modelo de un cuarto de vehı́culo.. 3.2. Revisión de Modelos de Amortiguadores Magnetorreológicos. Varios trabajos se han realizado con respecto a la modelación de amortiguadores magnetorreológicos y en [Spencer 96] se encuentra un compendio de modelos que han representado la naturaleza reológica no-lineal de estos amortiguadores. Desde los primeros modelos como el de Bingham [Spencer 96] para amortiguadores que contenian fluido controlable, pasando por el modelo propuesto por [Gamota 91], hasta el modelo de Bouc-Wen [Wen 76] que originalmente se desarrolló para explicar el comportamiento de sistemas estructurales sometidos a una acción de carga dinámica que presentaban un comportamiento de histéresis, pero que en años anteriores se extendió su aplicación para modelar amortiguadores con caracterı́sticas de histéresis [Gervais 01]. El modelo presentado por Wen de un amortiguador magnetorreológico se presenta en la figura 3.1.. Figura 3.1: Modelo de Bouc-Wen para un amortiguador magnetorreológico.. En la figura 3.1 se identifican las siguientes variables: f es la fuerza de salida del amortiguador magnetorreológico, x es el desplazamiento del objeto en contacto con.

(48) 3.2. Revisión de Modelos de Amortiguadores Magnetorreológicos. 33. el amortiguador, c0 es el coeficiente de amortiguamiento pasivo del elemento, k0 es la rigidez del amortiguador, Bouc − W en es el elemento que presenta histéresis y está representado por αz, donde α es un parámetro en función del comportamiento de histéresis, y z es una fuerza restauradora que depende del desplazamiento del amortiguador en el tiempo [Wen 76]. El modelo de Wen ha sido base para el desarrollo de modelos más complejos como el de [Pei 05], quien desarrolló un modelo de amortiguador magnetorreológico con técnicas adaptables de identificación en lı́nea. Posteriormente, el modelo de Bouc-Wen se mejoró para representar con más exactitud las dinámicas no-lineales del amortiguador, generándose el modelo propuesto por [Spencer 96] que corrije el problema del modelo de Bouc-Wen, que carecı́a de elementos para representar la rigidez k1 de un elemento acumulador (presente en los amortiguadores magnetorreológicos y que proporciona una fuerza de soporte natural). Adicionalmente, incluye el efecto de amortiguamiento debido al gas presurizado contenido en el acumulador c1 . La figura 3.2 presenta el modelo de Spencer también llamado modelo de Bouc-Wen mejorado.. Figura 3.2: Modelo de amortiguador magnetorreológico propuesto por Spencer.. En la figura 3.2, x, y, x0 son desplazamientos de las masas involucradas. A continuación se presentan las ecuaciones que modelan las dinámicas presentes en la figura 3.2. f = c0 (ẋ − ẏ) − k0 (x − y) − k1 (x − x0 ) + αz. (3.3). La variable z es una fuerza restauradora que se observa en componentes con histéresis y α es una constante, ambas definadas por [Wen 76]..

(49) Capı́tulo 3. Modelación. 34. ẏ =. . 1 c0 + c1. . {αz + k0 (x − y) + c0 ẋ}. (3.4). Finalmente, se define la dinámica de z. Se trabaja con una n = 2 dado que se trata de una no-linealidad dura [Wen 76]. La dinámica z se expresa en la ecuación 3.5.. ż = −γ | ẋ − ẏ | z | z | −β (ẋ − ẏ) z 2 + A (ẋ − ẏ). (3.5). Existen otros modelos que representan el comportamiento de un amortiguador magnetorreológico, como el presentado por [Niño 06] o el desarrollado por [Savaresi 04], un modelo de caja negra que cuenta con múltiples términos polinomiales obtenidos con base en herramientas estadı́sticas. El modelo obtenido por Niño es de estructura autoregresiva exógena y no-lineal, además de permitir una identificación recursiva en tiempo real. Recientemente, [Giuclea 04] modeló la dinámica de un amortiguador magnetorreológico usando algoritmos genéticos. Otro estudio inovador lo realizó [WangMiao 76] quien desarrolló un modelo de un amortiguador magnetorreológico utilizando redes neuronales recurrentes. [WangMiao 76] compara resultados experimentales del amortiguador con resultados obtenidos de la respuesta del modelo para validar su modelo. Los resultados arrojados por el modelo son muy parecidos a los datos experimentales; sin embargo, el modelo es de tipo çaja negra”por lo que no se cuenta con ecuaciones que describan la dinámica del modelo. En el presente trabajo, se simuló el amortiguador magnetorreológico representado por las ecuaciones de [Spencer 96]. En la herramienta computacional Simulink de Matlab, se armaron las ecuaciones diferenciales del modelo reológico y se obtuvieron los mismos resultados que los presentados por él. Para observar el fenómeno no-lineal de histéresis, el modelo de Spencer armado en MATLAB-Simulink se alimentó con diferentes valores de voltajes entre 0 y 2.5V. El amortiguador magnetorreológico presenta saturación en su salida a partir de 2.25V. El resultado esperado son una serie de curvas de histéresis que se hacen más pronunciadas conforme se aumenta el voltaje. Los resultados siguen el comportamiento de los experimentos realizados por [Spencer 96] y se presentan en la figura 3.3. En la figura 3.3 se observa el efecto de saturación que el amortiguador presenta cuando la velocidad es mayor a 3cm/s y menor a -3cm/s. Es importante que se tengan identificadas las limitaciones fı́sicas del elemento que alterará el factor de amortiguamiento de la suspensión. El siguiente paso es incorporar las ecuaciones del amortiguador magnetorreológico no lineal, al modelo de un cuarto de vehı́culo..

(50) 3.2. Revisión de Modelos de Amortiguadores Magnetorreológicos. 35. Figura 3.3: Curvas de Histéresis del modelo de amortiguador reportado por Spencer. 3.2.1. Suspensión Semi-activa. Se busca hacer un cambio en la suspensión, y reemplazar un elemento amortiguador pasivo, por uno semiactivo. Este componente que tiene una entrada de voltaje, puede cambiar su factor de amortiguamiento. En caso de recibir un voltaje nulo, proporcionará un factor de amortiguamiento base. La figura 3.4 muestra un modelo de un cuarto de vehı́culo con una suspensión semiactiva desarrollado por [Félix 06]. Obsérvese que se reemplazó el elemento pasivo c por todo el modelo de Spencer presentado en la figura 3.2. El análisis del modelo aumenta de complejidad, pero se sigue el mismo procedimiento en cuanto a las ecuaciones de movimiento para las masas, ası́ como la barra rı́gida representada por y cuya masa se desprecia. Este nuevo modelo se implementó en Matlab-Simulink y se observaron los comportamientos de histéresis propios del amortiguador magnetorreológico. Las ecuaciones que describen la dinámica de la figura 3.4 son las siguientes:. ms ẍs = c0 (ẋs − ẏ) − k0 (xs − y) − (k1 + ks ) (xs − xt ) − αz. (3.6). mt ẍt = c1 (ẋt − ẏ) − kt (xt − xp ) − (k1 + ks ) (xt − xs ). (3.7). (c0 + c1 ) ẏ = c0 ẋs + c1 ẋt − k0 (y − xs ) + αz. (3.8).

(51) 36. Capı́tulo 3. Modelación. Figura 3.4: Modelo de un cuarto de vehı́culo con el amortiguador magnetorreológico.. La ecuación de ż será similar a la presentada en la ecuación 3.5, solo que en este caso se tiene xs para la conexión del amortiguador con la masa del chasis y se presenta en la ecuación 3.9.. ż = −γ | ẋs − ẏ | z | z | −β (ẋs − ẏ) z 2 + A (ẋs − ẏ). (3.9). Como se mencionó al principio de la sección anterior, la ecuación de ż modela el fenómeno de histéresis del amortiguador magnetorreológico e incluye comportamientos no-lineales explicados en el Capı́tulo 2 de esta investigación. Esta fuera del alcance de esta tesis el desarrollar la dinámica de histéresis del amortiguador magnetorreológico. Se sabe que la forma de la histéresis es la que genera los valores para las constantes α, γ, β y A. En [Wen 76] se incluye un estudio detallado del significado de α, γ, β y A. Estos valores de la histéresis del amortiguador son las moldean la variable evolutiva z. Adicionalmente, [Worden 01] incluye un análisis más profundo de este tipo de no-linealidades donde se incluyen gráficas experimentales y cálculos de coeficientes con base en criterios de optimización. Junto con las ecuaciones que describen la dinámica del sistema completo, hay que incluir las que rigen el comportamiento de α, c0 y c1 que están en función de una entrada de voltaje al amortiguador que puede variar de 0V a 3V. Una parte de las ecuaciones en 3.10, 3.11 y 3.12 contienen un número con subı́ndice a que es el valor.