Sistema de ejercicios para la resolución de problemas matemáticos en los alumnos de 6to grado

Texto completo

(1)UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS FÉLIX VARELA MORALES SEDE CAIBARIÉN. MENCIÓN: EDUCACION INFANTIL TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MASTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN. SISTEMA DE EJERCICIOS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE CALCULO ARITMETICO EN LOS ALUMNOS DE 6TO GRADO.. AUTOR: BIENVENIDO LOPEZ REYES. TUTOR: MSC. NELIO HERRERA RODRIGUEZ.. CAIBARIÉN 2011 “AÑO 53 DEL TRIUNFO DE LA REVOLUCIÓN”..

(2) ”Resolver el problema después de conocer sus elementos, es más fácil que resolver el problema sin conocerlos…”. José Martí.

(3) D edicatoria: -A mis padres, por el ejemplo e infinito amor que recibo de ellos. - A mi hijo, por la gran felicidad que ha dado a mi vida. -A mis hermanos, hermanos, por el apoyo incondicional incondicional que me han brindado. - A mi esposa por compartir la alegría y la vida. - A mis alumnos por ser fuente impulsora de la labor educativa que realizo..

(4) A gradecim ientos: - A mi tutor, por su atención, apoyo y confianza en mi trabajo. - A todas las personas que han contribuido a que esta investigación culmine con éxito, en especial a mis padres, mi hijo, mis hermanos y esposa..

(5) RESUMEN: Este trabajo tiene como título “Sistema de ejercicios para la resolución de problemas matemáticos en los alumnos de 6to grado, que parte del siguiente problema científico, ¿Cómo contribuir a erradicar las dificultades existentes al resolver problemas matemáticos en los alumnos de 6to grado de la Escuela Primaria Francisco Ferrer de Caibarién?. El objetivo general que se propone es un Sistema de ejercicios que contribuyan a la formación y desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los alumnos de 6to grado, con énfasis en el significado de las operaciones de cálculo. Se aplicaron los métodos del nivel teórico, empírico y matemático. Se fundamenta la propuesta basada en la teoría general de los. sistemas por la interacción y organización de sus. componentes. Me afilio al concepto de sistema elaborado por Van Berthalanfty donde plantea que es un conjunto de elementos en interacción. Para la elaboración de la propuesta se ha tenido en cuenta la didáctica de los últimos años, así como la recopilación de ejercicios tomados de autores reconocidos, modificados y algunos creados, en el diario batallar de estos años de trabajo con alumnos de sexto grado. Se concluye dando respuesta a las preguntas y tareas propuestas en el diseño teórico..

(6) ÍNDICE:. Presentación. Resumen.. Introducción……………………………………………………………………………......1 Capítulo 1: Determinación de los fundamentos teóricos metodológicos que sustentan el proceso de Enseñanza - Aprendizaje en la resolución de problemas matemáticos 1.1 El proceso de enseñanza - aprendizaje en la resolución de problemas. matemáticos.………………………………………………………………………………12 1.2 La. solución. de. problemas. matemáticos. en. la. escuela. primaria. actual..……………………………………………………………………….……….12 1 1.3 Tratamiento didáctico para contribuir a la habilidad de solución de problemas matemáticos….……………………………………………………………………..33 1.4 La resolución de problemas matemáticos en los escolares de sexto grado………………………….…………………………………………..………….36 Capítulo 2: Presentación de la propuesta. Análisis de los resultados. 2.1 Diagnóstico y determinación de necesidades…………………………………...40 2.2 Modelación de la propuesta……………………………………………………….45 2.2.1 Fundamentación teórica de la propuesta de solución…………………….…45 2.2.2 Presentación de la propuesta: Subsistemas……………………………….....53 2.3 Criterios de evaluadores externos………………………………………………...56 2.4 Validación. Análisis de los resultados……………………………………………58 Conclusiones……………………………………………………………………………63 Recomendaciones……………………………………………………………………...64 Referencias Bibliográficas…………………………………………………………....65 Bibliografía………………………………………………………………………………66 Anexos.

(7) Introducción La educación tiene dentro de sus objetivos la formación de un joven integral que domine las diferentes ramas de la ciencia así como el desarrollo tecnológico que pueda tener incidencia en su perfil profesional, para ello es necesario que domine y aplique el contenido de las diferentes asignaturas que como parte del currículo a cumplir en cada especialidad técnica conforman una formación integral del futuro profesional que se forma en los politécnicos de nuestro país. En la actualidad, en los diferentes centros educacionales se manifiesta una tendencia en los escolares a desarrollar el nivel reproductivo, aspecto este del que los maestros se hacen eco en las diferentes asignaturas, trayendo como consecuencia que los mismos no desarrollen el pensamiento lógico, ni habilidades en la solución de problemas matemáticos en el desarrollo de las clases, manifestándose en no poder realizar en la práctica ejercicios del segundo y tercer nivel en las asignaturas que trabajan problemas concretos como la matemática, y otras donde tienen que aplicar estas habilidades al solucionar problemas que se llevan a la práctica, de allí la importancia que reviste el tema a investigar. El desarrollo de habilidades en la solución de problemas constituye la problemática fundamental que presentan los escolares de la enseñanza primaria y de la solución de dicha problemática es que depende en gran medida que puedan desarrollar el nivel intelectual necesario para aplicar en la práctica los conocimientos de las demás asignaturas. En el campo internacional se le da una especial atención al desarrollo de habilidades en la solución de problemas ya que de ello depende que el escolar pueda desarrollarse intelectualmente con una preparación adecuada para poder asimilar las asignaturas y contenidos de las diferentes ramas de la ciencia. A partir de desarrollar estas habilidades en la resolución de problemas se contribuye al desarrollo del pensamiento lógico del educando y su intelecto para poder asimilar nuevos contenidos y relacionarlos con diferentes disciplinas en las distintas carreras que decidan estudiar en el futuro. En América hoy se manifiestan en las diferentes instituciones educativas desde los primeros años dificultades en la.

(8) comprensión de los ejercicios matemáticos de mayor complejidad manifestándose poco desarrollo de habilidades en la solución de problemas haciendo que esta asignatura sea la más compleja y rechazada por el escolar por lo que se le presta una atención especial para fortalecer estas habilidades desde edades tempranas y de esta forma sentar las bases para años posteriores donde aumenta el rigor y nivel de los ejercicios matemáticos. En nuestro país el personal docente de las diferentes enseñanzas le da una atención especial a esta asignatura por lo que representa para las diferentes carreras en el futuro del joven, el dominio de la matemática y en especial la solución de problemas matemáticos y. las habilidades que el escolar debe. desarrollar para darle solución a las situaciones presentadas, la hacen que se ubique en el centro de atención del personal docente que trabaja en esta disciplina en cada centro estudiantil y muy en especial en los escolares primarios que presentan dificultades en la asimilación de estos contenidos en su generalidad. El desarrollo del pensamiento lógico es un problema que se manifiesta aparejado al desarrollo de habilidades en la generalidad de las asignaturas que reciben los escolares en los distintos grados de la enseñanza, específicamente del área de ciencias, las que necesitan mayor esfuerzo para poder hacer un razonamiento mayor para interpretar, reflexionar y resolver los problemas que en plantean en el decursar. ella. se. de los diferentes contenidos que se imparten en. esta área del conocimiento. En. el municipio de Caibarién se manifiesta esta situación de forma muy. generalizada en los diferentes centros de la Enseñanza Primaria, se trabaja con cada una de las invariantes de los programas de esta asignatura creando diferentes medios y vías que en la experiencia pedagógica hacen que se mejore el desarrollo de habilidades en la solución de problemas, contribuyendo de esta forma a desarrollar el pensamiento lógico del escolar. El grupo de sexto grado donde se desarrolla la investigación presenta grandes problemas en la solución de problemas matemáticos así como en el desarrollo de habilidades en la solución de los mismos por lo que el autor centra su interés en la elaboración y aplicación de. 2.

(9) un sistema de ejercicios que dio la posibilidad de contribuir en la práctica a dar solución a la situación presentada en los escolares del grupo. La aplicación de los problemas que propone desarrolla su contenido y contribuyen a desarrollar del escolar,. ya que a partir de la solución. el sistema de ejercicios el pensamiento lógico de estos problemas se. favorece el desarrollo de habilidades a partir de los diferentes ejercicios que se proponen haciendo énfasis en la vida práctica tomando como referencia los problemas que se les van. presentando en la cotidianidad, además que. proporciona ejercicios que suplen las carencia de tareas que él pueda desarrollar como vía de trabajo independiente y que esté al nivel de los conocimientos que posee. Los ejercicios se aplican en el desarrollo de la actividad docente como medio de enseñanza que favorecen las tareas docentes que desarrollan los maestros en las clases, además se utiliza para que el escolar trabaje en forma independiente en el estudio individual bajo la dirección y conducción del maestro que imparte la asignatura y conociendo el diagnóstico individualizado del grupo, este medio que el autor elabora lo hace con la idea de apoyar la actividad docente y para ello tuvo en cuenta diferentes aspectos que inciden en la labor pedagógica a la hora de aplicar en la práctica educativa entre los cuales se destacan: -El diagnóstico personológico y diferenciado de los escolares que constituyen la muestra seleccionada, teniendo en cuenta para ello el nivel de desarrollo intelectual demostrado durante el proceso docente y el desarrollo de los ejercicios que llevan implícita la resolución de problemas. -El principio didáctico de la asequibilidad del conocimiento como procedimiento pedagógico fundamental para poder ir de forma gradual diferentes tipos de problemas y su nivel, vaya. introduciendo los. autoevaluándose y auto. dirigiéndose en el avance de los problemas matemáticos que aparecen en la propuesta para ir desarrollando habilidades de forma gradual. - La asequibilidad de los textos que contienen los problemas dando la posibilidad de que el escolar pueda interpretar de forma adecuada la problemática y así hacer una compresión correcta del problema.. 3.

(10) Esto le dio la posibilidad al autor de ir trabajando los problemas propuestos en el desarrollo de las clases e ir despertando la motivación por la asignatura lo que hace que. la disposición psicopedagógica por los problemas presentados y el. interés por resolver los ejercicios orientados sean mayores propiciando un mejor aprendizaje de la asignatura de forma general . Los escolares del sexto grado de la escuela primaria Francisco Ferrer de Caibarién no son una excepción, en su desarrollo intelectual presentan carencias en el desarrollo de habilidades donde los 18 escolares que constituyen la muestra no tienen desarrolladas las habilidades en la solución de problemas ni de su pensamiento para darle de forma lógica las respuestas a diferentes problemas que se manifiestan en la asignatura y en la vida práctica. Inicialmente se pudo corroborar a partir de la aplicación de diferentes técnicas e instrumentos de recolección de información que los escolares que constituyen la muestra tienen grandes problemas en el desarrollo de habilidades en la solución de problemas matemáticos que se manifiestan en el desarrollo de las habilidades y en las tareas que se les ponen como trabajo independiente para las casas de estudio, presentando de hecho dificultades en la búsqueda de la solución y los pasos lógicos para llegar a una solución correcta, aspecto este que contribuye a afectar el desarrollo de su pensamiento en la búsqueda de soluciones y vías para este menester. El sistema de ejercicios que el autor propone aplicar a partir del diagnóstico hecho a sus escolares pretende como objetivo fundamental que en el desarrollo del proceso docente que se lleva a cabo en la asignatura de matemática en el programa que se imparte. en el grado se logre que de forma paulatina vaya. logrando desarrollar la lógica del pensamiento para buscar vías y procedimientos lógicos que lleguen a la solución de problemas matemáticos de mayor complejidad dotándolos de un desarrollo de habilidades que les permita dar solución a los problemas de forma correcta y con mayor rapidez en dependencia de las posibilidades que tienen los escolares por su coeficiente intelectual de forma individualizada.. 4.

(11) Después de los análisis realizados el autor declara que los escolares de este grado por las características que ellos presentan y su procedencia se manifiestan en ellos determinadas necesidades que van desde el conocimiento de los métodos, vías y procedimientos diversos para poder buscar la vía más correcta, corta e idónea para darle solución a una problemática presentada en un ejercicio matemático del segundo y tercer nivel y por ende se le dificulta desarrollar la habilidad necesaria para dar respuesta con mediana rapidez a un problema matemático presentado, allí que influya notablemente en la lógica a seguir en su pensamiento para dar respuestas correctas a la diversidad de problemas que se les puedan dar en la asignatura y en la vida práctica. Teniendo en cuenta todo lo antes expuesto y que en la asignatura de Matemática los ejercicios constituyen un medio esencial para formar en los escolares el sistema fundamental de conocimientos, capacidades, habilidades y hábitos que se han encomendado a la escuela, y que contribuye a la formación y desarrollo del pensamiento lógico de los escolares; y considerando esta. contribución. se. transformar un ejercicio. realiza para. cuando aplicar. se. desarrolla. uno u otro. la. capacidad. que de. método de solución,. cuando los escolares son capaces de aplicar nuevos medios para resolver un problema, cuando aprenden a extraer y utilizar la información, cuando son capaces de construir varios ejercicios sobre la base de uno dado, para ello es que se hace necesario entrenar a los escolares con ejercicios que contribuyan a dar solución a esta problemática a partir. de. el diagnóstico. personológico de los escolares muestra, por todo lo antes expuesto es que el autor declara en su proceso investigativo el siguiente problema: Problema científico: ¿Cómo contribuir a desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los escolares de sexto grado de la escuela primaria Francisco Ferrer? Objeto de Investigación: Proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Campo de Investigación: Desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos.. 5.

(12) Objetivo: Proponer la aplicación de un sistema de ejercicios para contribuir a desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los escolares de sexto grado de la escuela primaria Francisco Ferrer. Preguntas Científicas: 1. ¿Qué fundamentos teóricos metodológicos sustentan el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en la enseñanza primaria? 2. ¿Cuál es el estado actual de las habilidades adquiridas por los escolares de sexto grado para resolver problemas matemáticos? 3. ¿Cómo elaborar un sistema de ejercicios que tenga una estructura y orden lógico en sus tareas docentes para desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos en este nivel? 4. ¿Cómo valoran los especialistas la aplicabilidad, calidad y pertinencia del sistema de problemas propuestos? 5. ¿Cómo comprobar la efectividad de la propuesta de sistema de ejercicios que contribuya en la práctica a dar solución a la problemática planteada?. Tareas Científicas: 1. Determinación de los fundamentos teóricos-metodológicos que sustentan el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos a partir de la aplicación de un sistema de ejercicios. 2. Diagnosticar las insuficiencias que presentan los escolares de sexto grado en cuanto al desarrollo de habilidades para la resolución de problemas matemáticos. 3. Elaborar un sistema de ejercicios que contribuya a desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos para los escolares de sexto grado. 4. Valoración del sistema de ejercicios por los especialistas en cuanto a su aplicabilidad y pertinencia. 5. Validación de la propuesta del sistema de ejercicios por la vía del preexperimento pedagógico en la práctica. Métodos a emplear:. 6.

(13) Todo el trabajo se desarrolló bajo el enfoque dialéctico-materialista como método general de las ciencias, que sirvió para aplicar las categorías y las leyes de esta metodología general al estudio que se presenta. Métodos teóricos: Analítico-sintético: permitió el análisis del objeto de investigación y la determinación de los factores que inciden en el logro de la adquisición de conocimientos sobre el desarrollo de las habilidades en la resolución de problemas matemáticos para sintetizar la esencia de los ejercicios que se debían elaborar en función del programa y el diagnóstico del escolar que integra la muestra. Inductivo-deductivo: se aplicó con el objetivo de inducir a partir del análisis de los diferentes problemas matemáticos que contiene el medio didáctico propuesto las diferentes variantes para resolver problemas matemáticos en los escolares, permitiendo hacer deducciones lógicas en el desarrollo del proceso docente que llevó a mejorar el resultado de la docencia en la práctica con este tipo de escolar. Modelación: permitió definir el diseño del sistema de ejercicios y su estructura interna teniendo en cuenta el nivel de asequibilidad de los ejercicios propuestos y la distribución en parte de. los bloques que definen la estructura interna del. material que se propone. Genético: se aplicó con el objetivo de analizar los factores que condicionan el problema, su evolución en un período de tiempo analizando a los escolares en el transcurso de su desempeño al resolver los ejercicios y tareas orientadas con un estudio del diagnóstico de los mismos y sus capacidades interculturales para la realización de las actividades docentes. Histórico-Lógico: dio la posibilidad de poder tener en cuenta cómo se ha comportado históricamente la resolución de problemas y el desarrollo de las habilidades en los diferentes grados de la enseñanza dando la posibilidad de conocer las principales causas y vías posibles de solución en los diferentes grados donde se trabaja este contenido como parte de los programas de estudio. Tránsito de lo abstracto a lo concreto: se aplicó para hacer abstracciones lógicas en el momento de concebir los problemas que contiene el sistema de ejercicios. 7.

(14) teniendo en cuenta el diagnóstico de las principales dificultades de los escolares y concretar los resultados posibles en la práctica docente. Métodos empíricos: Observación: permitió durante la observación de las clases diagnosticar las dificultades que tienen los escolares en la resolución de problemas, así como la efectividad de la aplicación de la propuesta en la práctica docente y el avance en el desarrollo de habilidades en las clases. Análisis de documentos: posibilitó hacer valoraciones al revisar los diferentes documentos normativos relacionados con los programas de estudio, indicaciones metodológicas y materiales que dan la posibilidad de indicar cómo trabajar el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos y sus métodos más utilizados en la práctica docente. Entrevista: se aplicó con el objetivo de obtener información con los escolares y determinar en qué consisten las dificultades presentadas por ellos en cuanto a la resolución de problemas, así como conocer el criterio de los maestros en cuanto a la efectividad de los problemas que contiene la propuesta en la práctica con los escolares. Encuesta: proporcionó conocer las opiniones en cuanto a las motivaciones de los escolares por la asignatura, así como definir el estado inicial y el final después de aplicado el sistema de ejercicios en cuanto al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos a partir de los propios criterios de ellos al aplicar en la práctica los ejercicios previstos. Criterio de Especialistas: se aplica con el objetivo de medir el grado de factibilidad y pertinencia o el posible impacto de la propuesta, su viabilidad al aplicarla a la práctica escolar para poder perfeccionar o remodelar la propuesta antes de introducirla en la práctica docente con los escolares por las diferentes vías pedagógicas. Análisis del producto de la actividad: (libretas) permitió valorar cómo se plantea el trabajo con los diferentes niveles de desempeño cognitivo y si se desarrollaron las habilidades aspiradas con la aplicación del sistema de ejercicios propuesto.. 8.

(15) Pruebas pedagógicas: permitió diagnosticar el nivel de partida de los escolares en los problemas teniendo presente los diferentes niveles de dificultad de las operaciones,. la. aplicación. de. regularidades. matemáticas,. así. como. la. determinación del nivel de desarrollo alcanzado en las habilidades para resolver problemas matemáticos. Experimental: se aplicó a partir de la variante del pre-experimento pedagógico en sus tres etapas dando la posibilidad de corroborar la efectividad de la propuesta en cuanto al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos teniendo en cuenta la comparación del estado inicial y los resultados en el estado final. Del nivel matemático y procesamiento estadístico: se aplicó para la realización del análisis porcentual y la estadística descriptiva en la elaboración de tablas y gráficos. Esto permitió el análisis de los resultados en un primer momento y como base fundamental para la elaboración de la propuesta en su intervención práctica, teniendo en cuenta las principales regularidades detectadas y sus principales dificultades para poder arribar a conclusiones precisas en todo el proceso investigativo. Población: Escolares de sexto grado de la escuela primaria Francisco Ferrer Muestra: 18 escolares del sexto grado de la escuela primaria. Tipo de muestra: Intencional no probabilística. Representa el 100% de la población por ser el único grupo de la escuela con las características apropiadas para la investigación. Criterio muestral: se seleccionó por ser los escolares que presentan las mayores insuficiencias en cuanto al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos, además de hacer rechazo evidente a la asignatura por la incapacidad de darle solución a los problemas elementales del grado que se les imparten durante el proceso docente, además son escolares que en su totalidad no rebasan el nivel de reproducción en la resolución de problemas y se encuentran en su mayoría en el primer nivel de aprendizaje y se demuestra en la práctica docente los problemas en ellos en cuanto al desarrollo de habilidades en. 9.

(16) la búsqueda de soluciones a problemas presentados en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática. Variable Independiente: Sistema de ejercicios de problemas matemáticos. Variable Dependiente: Desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos. Conceptualización de la variable: Habilidad: según Talizina Nina F:” Es un complejo formado por conocimientos específicos, sistemas de operaciones, conocimientos y operaciones lógicas, se supone que un escolar posee determinadas habilidades cuando puede aprovechar los datos, conocimientos o conceptos que se tienen, operar con ellos para aclarar las propiedades sustanciales de las cosas en la resolución exitosa de determinada tareas teóricas o prácticas. El autor comparte los criterios de los autores pero considera que los alumnos poseen determinadas habilidades para solucionar problemas, cuando son capaces de identificar el tipo de problema que debe resolver, determinar relaciones que se establecen, las condiciones del problema, los datos, lo que es necesario hallar, así como las vías de solución y proceder a la solución del problema. Novedad Científica: En lo metodológico: Se elabora un sistema de ejercicios con problemas matemáticos que abarca diferentes contenidos del programa que se imparte en la asignatura de Matemática en el grado sexto, aportando metodológicamente una estructura que favorece en su conjunto a desarrollar habilidades en la solución de problemas matemáticos contribuyendo a desarrollar potencialidades en los escolares para pasar de un nivel de asimilación a otro superior en la medida que resuelven estos problemas. En lo práctico: se aplican los ejercicios en las clases de la asignatura, como vía para fortalecer el conocimiento del escolar en la Matemática, además de permitir al docente ir diagnosticando en cuanto al avance en el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos. Contribuye el material a fortalecer el contenido de las tareas docentes como vía de trabajo independiente para los Círculos de estudio en horario extradocente.. 10.

(17) La tesis se estructura en introducción y dos capítulos, el primero aborda los elementos teóricos y metodológicos que fundamentan el proceso de investigación con la propuesta aplicada en la enseñanza de la Matemática, y en especial el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje, el capítulo número dos contiene en su conjunto la operacionalización de las variables a partir de los indicadores seleccionados, el desarrollo del preexperimento en las tres etapas y el análisis de los resultados alcanzados. con. la. propuesta,. además. se. incluyen. las. conclusiones,. recomendaciones, bibliografía y anexos que le dan la integralidad al informe escrito de la investigación.. 11.

(18) CAPÍTULO 1: DETERMINACIÓN DE. LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS. METODOLÓGICOS QUE SUSTENTAN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS. 1.1 El proceso de enseñanza - aprendizaje en la resolución de problemas matemáticos. Entre las tendencias y corrientes que abordan el proceso de enseñanzaaprendizaje consideramos que las ideas expuestas por Vigostky (1982) pueden ser de gran utilidad a nuestros educadores. Según él la enseñanza es el sistema de organización y los medios por lo que se transmite al individuo la experiencia socialmente elaborada. La enseñanza correctamente organizada conduce tras sí al desarrollo mental. Es una actividad social y no solo un proceso de realización individual como se había sostenido, es una actividad de producción y reproducción del conocimiento. Mediante la evolución el niño asimila los modos sociales de actividad e interacción y más tarde en la escuela los fundamentos del conocimiento científico bajo las condiciones de orientación e interacción social. La solución de problemas es uno de los fenómenos más extendidos en la actividad del hombre. Desde los primeros años de su existencia el ser humano se enfrenta a situaciones que de una u otra forma pueden considerarse como problemas. Si se imagina el plan o esquema de vida que, alcanzado cierto grado de madurez, se traza cada individuo, éste puede concebirse como una amplia serie de problemas que deben ser resueltos a fin de obtener los objetivos parciales y finales que caracterizan cada etapa de su vida. Resulta imposible entonces, dejar de convenir en que la preparación del individuo para enfrentar el tema se va gestando desde etapas muy tempranas del desarrollo personal, desempeña un papel central en la obtención del éxito en las empresas que se acometen. En el perfeccionamiento continuo del Sistema Nacional de Educación hay que tener en cuenta que las adecuaciones de los programas de Matemática favorezcan la necesaria adaptación del contenido a nuestras realidades y. 12.

(19) condiciones actuales. Es necesario poner especial énfasis en cómo se enseña y se produce el aprendizaje en los alumnos, reflexionando en los requisitos y exigencias indispensables para desarrollar en ellos procedimientos generalizados que les permita adquirir una conciencia metacognitiva. La meta es enseñarle que no están en la escuela para recibir órdenes, sino para descubrir cómo pueden solucionar problemas cada vez más complejos usando sus propios recursos y pensamiento lógico. José Martí señaló:”Puesto que a vivir viene el hombre, la educación ha de prepararlo para la vida. En la escuela se ha de aprender el manejo de las fuerzas con que en la vida se ha de luchar”.(1) Se considera que es preparar al hombre para afrontar exitosamente las exigencias sociales y personales de cada etapa de la vida. A través del proceso de enseñanza - aprendizaje de cualquier disciplina, especialmente de Matemática, debe hacerse explícita concretamente por la manifestación que tiene lo que asimila en la ciencia, en la técnica, en la sociedad en general, y especialmente por la manifestación en sus actuaciones contextuales. Schonfeld (1991) refiere que responsabilidad fundamental del maestro de Matemática es enseñar a los alumnos a pensar, por lo que entre los objetivos de su enseñanza se destaca el aporte que debe ofrecer esta disciplina al desarrollo del pensamiento. La visión que la comunidad internacional tiene acerca del proceso de enseñanzaaprendizaje de la Matemática ha evolucionado en las últimas décadas, y existe cierto consenso al considerar que uno de los aspectos más importantes en la enseñanza de esta asignatura lo constituye el trabajo con problemas matemáticos, aunque no quedan ocultas las dificultades relativas a su enseñanza y a su aprendizaje. Por esta razón, en la actualidad se ha configurado como una de las principales líneas de investigación. Se considera que ellos constituyen uno de los recursos didácticos más empleados en este proceso, no solamente en Matemática sino en las restantes ciencias ya que es uno de los aspectos más efectivos para promover y fortalecer el conocimiento científico.. 13.

(20) Históricamente se ha demostrado que el desarrollo de teorías y conceptos matemáticos casi siempre ha estado motivado por la necesidad de identificar, formular. y resolver. problemas. concretos;. y desde. el. punto. de. vista. psicopedagógico, el trabajo con problemas matemáticos constituye una vía idónea para contribuir al desarrollo del pensamiento en los alumnos, por lo tanto es uno de los complejos de materia que históricamente se han empleado para consolidar y producir conocimientos relativos a esta disciplina. Tradicionalmente ellos han servido como vía para adquirir, ejercitar y consolidar sistemas de conocimientos matemáticos y para la formación de habilidades y hábitos correspondientes a esta asignatura; pero no siempre en esta actividad se benefician todas las potencialidades para la adquisición de conocimientos propios de la Matemática y de otras disciplinas. Su trabajo ejerce una influencia significativa sobre la formación de la personalidad de los alumnos, es decir, sobre el desarrollo de la concepción científica del mundo y de una posición activa y crítica acerca de los fenómenos y hechos naturales y sociales. Por ello, no es suficiente dirigir acertadamente el proceso de resolución, sino seleccionar adecuadamente los ejercicios a través de los cuales es posible actuar sobre determinada esfera de la personalidad del alumno, además ellos contribuyen a la labor política-ideológica y a la formación de valores. Permiten recopilar, analizar, expresar y valorar datos sobre la obra de la Revolución en diferentes esferas, de manera que las nuevas generaciones puedan defender con argumentos nuestras conquistas. Por consiguiente reviste una especial importancia su tratamiento ya que ofrece amplias posibilidades educativas que permiten al maestro influir de manera especial en el desarrollo de cualidades de la personalidad. El autor se afilia a este criterio. Para poder elaborar una propuesta de solución que se corresponda con las exigencias del problema científico se hace necesario tener en cuenta algunas consideraciones desde el punto de vista filosófico, pedagógico, psicológico, matemático y metodológico. Sabido que es el problema fundamental de la Filosofía analizado con criterios marxistas supone dos aspectos fundamentales. 14.

(21) como elementos de solución para el mismo: la materialidad del mundo y la posibilidad de su conocimiento. La materialidad del mundo constituye un elemento esencial a la hora de concebir, elaborar y poner en práctica los objetivos y acciones que conforman nuestra propuesta. Dentro de las funciones de la Filosofía Marxista, ocupa un lugar relevante la función gnoseológica que parte en última instancia de las posibilidades ilimitadas que tiene el hombre para enfrentar el conocimiento de la realidad objetiva. La solución de problemas es una vía y a la vez un contenido de aprendizaje que pone al alumno en situación de desarrollar al máximo sus posibilidades agnósicas. Tiene suma importancia reconocida a lo largo de la historia de la Matemática, desarrolla habilidades cuyas soluciones le brindan al ser humano satisfacción, desarrolla capacidades, habilidades, actitudes e intereses, posibilita el desarrollo de operaciones mentales como el análisis, la síntesis, la comparación y abstracción. En correspondencia con lo analizado anteriormente resulta procedente tener en cuenta algunos aspectos de carácter psicológico como son la teoría de la formación de etapas de la acción mental de Galperin y sus colaboradores, la zona de desarrollo próximo de Vigostky y las características psicopedagógicas del alumno. El análisis del contenido del fin de la educación nos permite comprender que la solución de problemas matemáticos forma parte del conocimiento de los alumnos adquieren a la vez que se relacionan con las orientaciones valorativas promoviendo el análisis, la solución de ejercicios y problemas, su comprensión, la aplicación a otras situaciones, el gusto por la actividad intelectual como son la independencia cognoscitiva, el carácter crítico, el carácter reflexivo y consciente de la actividad cognoscitiva, el autocontrol de las acciones y, desde luego, la tendencia al análisis profundo y multilateral (desde distintos puntos de vista) de los objetos y fenómenos. A. Labarrere (1983) hace referencia a que los alumnos proceden de inmediato a su realización sin que medie un proceso de análisis y reflexión de sus condiciones,. 15.

(22) formulación y vía de solución. El autor considera acertada esta reflexión visto desde su experiencia pedagógica. Mediante. diferentes. investigaciones. quedaron. demostradas. las. grandes. potencialidades de los alumnos de las escuelas de oficio, de apropiarse y aplicar generalizaciones teóricas del conocimiento en determinadas condiciones de aprendizaje y exigencia. Otras investigaciones realizadas por Pilar Rico (1978) con alumnos, han demostrado el efecto positivo sobre el desempeño intelectual, de aquellos alumnos que contienen estructurados sistemas de acciones encaminadas al autocontrol y autovaloración de su actividad. Ahora bien, la carencia de elementos esenciales reduce la posibilidad de realizar ejercicios, plantear problemas en que promueva la reflexión, aplicación y creatividad del alumno ante el conocimiento aprendido. Muchas veces faltan las definiciones de conceptos fundamentales, así como los electos necesarios para su formación. Por esta razón la educación cubana cuenta con una valiosa tradición de entrega y dedicación a la hermosa tarea de enseñar y educar. A lo largo de nuestra historia hay un cúmulo de importantes experiencias que constituyen una cantera de incalculable valor, el pensamiento de los forjadores de la nacionalidad, las ideas de aquellos que en su tiempo se enfrentaron a la enseñanza escolástica y el método dogmático que caracterizaba a la enseñanza colonial, el ideario pedagógico del maestro José Martí, luchador infatigable por la enseñanza científica y la vinculación de la escuela con la vida, la que se integra y se materializa en el pensamiento y acción de Fidel Castro, en su concepción de la universalización de la enseñanza y la vinculación del estudio con el trabajo. La educación en nuestro país enfrenta en la actualidad una serie de transformaciones que sin lugar a dudas se constituye las condiciones favorables para llevar a efecto un proceso educativo con mayor calidad, influenciado fundamentalmente por el reducido número de matrícula por aula, así como la inserción de la tecnología educativa, constituida en complemento significativo para los procesos instructivos y educativos que se desarrollan en la escuela, unido a los. 16.

(23) procesos de organización alumno que favorecen de forma coherente al trabajo encaminado a lograr la formación integral de la personalidad de los alumnos. La Revolución Educacional ha jugado un importante papel en esta solución de problemas a través del uso de los Software Educativos, los videos, las tele clases de las distintas asignaturas, los libros del Programa Libertad; entre otros. El análisis psicopedagógico de la enseñanza de la solución de problemas presupone como uno de los momentos iniciales, el esclarecimiento de lo que debe comprenderse por problema. Al revisar la literatura psicológica y metodológica sobre el tema, uno se tropieza con que no existe una concepción única acerca de qué debe ser considerado como tal. Al respecto veamos algunos conceptos dados por investigaciones: A. N. Leontiev considera que debe entenderse por problema:”Un fin dado en determinadas condiciones” (2). Con este criterio el autor tiene en cuenta el hecho de que cada problema le plantea a quién lo resuelve; la necesidad de obtener determinado producto (fin) que no puede ser alcanzado por cualquier vía, sino por aquella que permiten las condiciones del problema. S. L. Rubinstein; en opinión de este autor:”Un problema debe comprenderse como determinada situación problémica hecha consciente por el sujeto”. (3) Como se puede ver, lo común de las definiciones de problemas mencionadas, reside en que en ellas se hace intervenir como factor principal el contenido psicológico, es decir, la actividad psíquica del sujeto. Todo problema tiene su génesis en una situación percibida como tal por el sujeto, y es por tanto un hecho individual que tiene lugar solo cuando un sujeto determinado experimenta la necesidad de buscar o encontrar algo, lo cual sus conocimientos son insuficientes. Desde el punto de vista psicológico, un problema es intransferible, es decir, no se puede pasar de una persona a otra automáticamente. Por una serie de motivos, lo que para una persona puede ser un problema, puede no serlo para otra. Veamos el concepto “problema” más detallado en el marco de la metodología de la enseñanza específica de la Matemática.. 17.

(24) A. A Svechnikov; para él:”Un problema matemático es una narración lacónica en la que el valor de algunas magnitudes está implícito y se necesita hallar otro valor de la magnitud, dependiente de los valores ya dados, con los cuales mantiene determinadas relaciones que se señalan en las condiciones”. (4) Esto mismo ocurre con el concepto de solución de problemas ya que no existe en la literatura correspondiente, un punto de vista único, más bien existen grupos de criterios de los cuales los más relevantes son dos. Según el primer punto de vista solucionar un problema es obtener la respuesta correcta que satisfaga las condiciones del problema. El segundo grupo considera que por solución de problema debe comprenderse determinado proceso en el curso del cual y a través de él se arriba a una respuesta determinada. De manera general puede decirse que el primer criterio predomina por lo común en el ámbito de la metodología de la enseñanza en las distintas asignaturas y dentro de ellas la Matemática. En la enseñanza de la solución de problemas, el maestro debe tener en cuenta las peculiaridades, y está obligado a prestar atención tanto en las situaciones (problemas) que presenta al alumno, y a la forma peculiar (psicológica) en que este se relaciona con ellas, es decir, a contemplar los aspectos psicológicos y propiamente matemáticos (objetivo) de los problemas. Cuando se analiza la solución de problemas como proceso de pensamiento, se hace alusión, en primer lugar, a que dicha solución no es estática, sino dinámica, con un ritmo que le viene dado, tanto por las peculiaridades del problema como por las del alumno que lo resuelve. Se producen transformaciones en el alumno que se manifiestan bajo la forma de nuevos conocimientos, o de la reafirmación de los ya adquiridos, en el desarrollo de determinadas habilidades, determinados motivos. Como proceso de pensamiento, resulta necesario verla como actividad mental, en la cual se hayan en primer plano las operaciones básicas del pensar, o sea, el análisis, la síntesis, la generalización, la abstracción y la comparación. El autor tomó en cuenta lo antes expuesto pues considera que las operaciones del pensamiento en su interacción, determinan el mecanismo principal de la solución de cualquier problema.. 18.

(25) S. L. Rubinstein afirmó:”En el proceso del pensar, el objeto entra incesantemente en nuevas relaciones, en virtud de lo cual va adquiriendo nuevas cualidades que se fijan en nuevos conceptos; de esta suerte parece como si del objeto se fueran sacando nuevos contenidos; es como si esta cada vez se volviera de lado y presentara nuevas propiedades”.(5) Cuando un alumno resuelve un problema, él determina aquel sistema o relaciones cualitativas y cuantitativas que se piden en la pregunta; esos valores y relaciones constituyen la incógnita del problema o en otros términos la exigencia en él formulada. En realidad concebir la solución de problemas como el momento final al cual se arriba y expresa la respuesta satisface las condiciones, representa una limitación no sólo respecto a la consideración de lo que es la solución, sino con el quehacer pedagógico correspondiente. Esta solución no debe verse como un momento final, sino como todo un proceso complejo de búsqueda, encuentros, avances y retroceso en el trabajo mental. El carácter de proceso de la solución de problemas vista como actividad cognoscitiva, consiste en que el descubrimiento de la vía de solución no ocurre de golpe, no está preparado desde el mismo inicio, sino que se va operando de manera paulatina, a través del despliegue, en el tiempo, de la actividad mental del sujeto. En su significación práctica al ver la solución como un proceso gradual, está relacionado en esencia con la dirección de este en el aula y con el diagnóstico y la eliminación de las dificultades que al respecto experimentan los alumnos. Se debe señalar que los problemas (sistema de ellos) que se plantean a los alumnos en los diferentes momentos de la enseñanza, aumentan poco a poco su complejidad. La capacitación de los alumnos para la solución independiente de problemas, el desarrollo de capacidades intelectuales, el apoyo a la asimilación de conocimientos y desarrollo de habilidades, pueden considerarse. tres factores. importantes de la educación moral. En los problemas deben reflejar las formas de conducta de los hombres socialistas para que los alumnos adquieran conocimientos acerca de las normas que las rigen. Los contenidos se deben. 19.

(26) seleccionar y evaluar de tal forma, que provoquen en los alumnos sentimientos de orgullo por nuestra forma de vida y nuestro desarrollo. Los problemas que ofrecen los libros de texto se deben complementar en la clase mediante otros confeccionados por el mismo maestro. También puede pedirse a los alumnos que coleccionen materiales relacionados con su localidad, para que adquieran interés por las relaciones cuantitativas de su medio ambiente, datos que aparecen en la prensa que significa la búsqueda constante de información y así elaborar buenos problemas que los motiven y los instruyan. Es importante destacar, que el trabajo con problemas no constituye solo la inclusión de una nueva forma de ejercicios para la aplicación de las habilidades de cálculo adquiridas, sino que es objeto de enseñanza y debemos analizar cuidadosamente la forma de guiar a los alumnos en el proceso de solución de problemas, para que aprendan a organizar su actividad, reconozcan la importancia de planificar la solución, controlar su desarrollo y los resultados obtenidos y puedan expresar una respuesta lógica de lo que se les pide. El trabajo con problemas se dosifica de acuerdo con las posibilidades de los alumnos, primeramente se realiza de forma oral y a partir de las actividades prácticas, mediante láminas o medios. Después, el maestro planteará problemas oralmente, para que los alumnos razonen, calculen y expresen oralmente su respuesta. En relación con el texto del problema se incrementa el nivel de dificultad al utilizar las expresiones ”más que”, “igual que”, “tantos como” en problemas en los que hay que hallar una suma o una diferencia. Ahora bien, en el proceso de aprendizaje se distinguen los conocimientos y acciones o habilidades específicas que debe asimilar el alumno, poniendo en práctica un conjunto de habilidades cognoscitivas que transmitidas por el maestro sirven de procedimientos y estrategias al alumno, en este caso son las que tienen que ver con los procesos del pensamiento (análisis, síntesis, abstracción y generalización) que constituyen elementos importantes para un aprendizaje más reflexivo. También están las habilidades para planificar, controlar, y evaluar las actividades de aprendizaje que no siempre son insertadas en la actividad de aprendizaje, se. 20.

(27) caracterizan y sirven de indicadores de un nivel superior de desempeño intelectual en el alumno, en el proceso de apropiación del conocimiento y que también están presentes en cualquier actividad cognoscitiva que el sujeto realiza fuera o dentro de la escuela. La solución de problemas conlleva al desarrollo de habilidades, conocimientos, procedimientos, hábitos para que el sujeto pueda llegar a un fin que él mismo se ha trazado o que le ha sido propuesto por otra persona. Además todo genuino problema hace surgir, en aquel que lo resuelve, determinadas necesidades y motivos que lo impulsan a acometer la solución y a desarrollar, por tanto, una actividad cognoscitiva sostenida, que se atenúa o desaparece solo con la obtención de la respuesta o resultado esperado. Tiene su génesis en una situación percibida por el sujeto, y es por tanto un hecho individual que tiene lugar solo cuando un sujeto que experimenta la necesidad de buscar o encontrar algo sobre lo cual sus conocimientos son insuficientes, pero además tienen un carácter relativo, ambos son peculiaridades que tienen especial significación al estructurar el proceso de enseñanza de la solución de problemas. 1.2. La solución de problemas en la escuela primaria actual. La enseñanza de la Matemática ha adquirido un carácter comunicativo como nunca antes, ocupando un lugar importante específicamente en la capacidad del hombre para la solución de problemas. Se comprende cada vez con más claridad, que no se trata de que en la escuela se depositen contenidos en los alumnos como si tratara de recipientes, sino de desarrollar sus capacidades para enfrentarlos al mundo y en particular, enseñarlos a aprender. En el Seminario Nacional para Educadores se precisó que las investigaciones y la práctica pedagógica cotidiana demuestran, que existen muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general, pero muy especial cuando la vía de solución es aritmética. Se ha comprobado que los significados de las operaciones aritméticas que tienen tanto los alumnos como los maestros como sinónimo de las acciones de sumar, restar, multiplicar y dividir y que cuando aparecen en el texto. 21.

(28) de un problema inmediatamente operan como señal para resolverlo utilizando la o las operaciones que le corresponden. Esta conducta se ha aislado en estudios que estamos realizando sobre las estrategias que usan los alumnos al resolver problemas y que la hemos denominado” estrategia de usar palabras clave”. Según el punto de vista expuesto en la obra de L. V. Zarkov y sus colaboradores (1994) logrando una posición activa requiere que el alumno trabaje siempre al máximo de sus posibilidades cognoscitivas, para lo cual resulta necesario no solo plantearles verdaderos problemas, sino exigir y valorar de manera positiva las hipótesis, los razonamientos, los criterios personales. El autor comparte tal criterio ya que así estimula a los alumnos a mantenerse trabajando con un régimen alto de tensión y valorar el esfuerzo cognoscitivo realizado por ellos. El maestro debe tener en cuenta las consideraciones metodológicas para la elaboración y la selección de los ejercicios y contribuir así a fortalecer el carácter dinámico, flexible, participativo y desarrollador del proceso de enseñanzaaprendizaje relativo al trabajo con problemas. Las características de estos ejercicios deben estimular en los alumnos motivos e intereses para el establecimiento de relaciones útiles entre ellos y el ejercicio, de tal forma que se logre, además de la motivación por resolverlo. La. interacción. del. alumno. con. el. ejercicio. propuesto. no. se. logra. espontáneamente; el maestro debe tener en cuenta los resultados del diagnóstico, lo que contribuirá a que pueda precisar de manera consciente las condiciones específicas que garanticen la influencia recíproca que debe lograrse entre ambos. Algunas consideraciones a seguir para la elaboración de los ejercicios son las siguientes: •. El maestro adoptará como punto de partida el diagnóstico integral con carácter dinámico lo que favorecerá la atención diferenciada a partir del desarrollo real de cada alumno.. •. La situación que se describe en el problema debe resultar motivante para el alumno considerando los intereses, inquietudes y necesidades de los. 22.

(29) alumnos, así como las características del contexto donde se encuentra ubicada la escuela. •. Plantear problemas que admitan más de una solución, varías vías de solución y algunos que no tengan solución.. •. Tener en cuenta los vínculos interdisciplinarios, de manera que la situación que se describa propicie que los alumnos adquieran o reafirmen conocimientos relativos a otras disciplinas.. •. Se considera que los problemas propuestos no se conviertan en ejercicios rutinarios que influyan negativamente en la motivación del alumno.. En el VI Seminario Nacional para Educadores se hace referencia a la frase de Martí cuando afirmó:”Resolver el problema después de conocer sus elementos, es más fácil que resolver el problema sin conocerlos (…) conocer es resolver”. (6) Se considera que una vez que los alumnos sepan interpretar, conozcan el procedimiento heurístico a seguir entonces será más fácil solucionarlos. Es por ello que usualmente el proceso de solución se analizará según determinados momentos o etapas ya que el trabajo mental del que lo resuelve está encaminado a lograr u obtener diversos productos. Estos momentos condicionan lo que usualmente se denomina estructura general de la solución de problemas. Según la dificultad del ejercicio y la capacidad de los alumnos se desarrollan más rápido o más lentamente cada una de las etapas. El proceso mental durante la solución de problemas depende de: •. La dificultad del problema.. •. Los conocimientos, las capacidades y habilidades de los alumnos.. •. La posición de los alumnos para trabajar.. Esta disposición y alegría por la actividad, el maestro puede desarrollarla: •. A través de ejercicios interesantes que los alumnos puedan imaginar.. •. Estimularlos por los éxitos de hallar la solución del problema de forma independiente dándoles indicaciones necesarias y el tiempo suficiente para que lo resuelvan en forma independiente.. •. Vincular la solución de los problemas con las actividades extramaestros.. 23.

(30) Desde que se comienza la solución del problema en primer grado, es necesario que el niño se vaya formando la conciencia de su necesidad y que el maestro lo vaya entrenando en las distintas formas, empezando por la estimación y la realización del problema inverso al original, que son las más sencillas y que se pueden ir haciendo, con la ayuda del maestro. Entre las condiciones necesarias para la solución de problemas, se encuentran que el individuo quiera hacer la transformación, es decir, que quiera resolver el problema. Esto significa que al igual que se debe lograr crear en el alumno determinados motivos o razones para la acción general de estudiar, hay que crearlos para la acción específica de solucionar problemas, induciéndolos a la realización consciente y deseada de esa actividad. Por tanto los maestros tienen que prever cómo realizar la motivación en los alumnos. El alumno debe escuchar atentamente el problema y después explicarlo con sus propias palabras, ¿Qué pide la pregunta? ¿Qué se debe hallar? Ello contribuye a que tomen conciencia de la función de la pregunta en un ejercicio. El proceso legal que tiene lugar en la solución de un ejercicio determinado, depende esencialmente de la disposición del alumno para ocuparse del problema planteado. El maestro puede despertar esta disposición y alegría por la actividad intelectual mediante ejercicios interesantes y recreativos así como otros con situaciones que los alumnos pueden imaginarse fácilmente. Mediante la unión de la clase con la actividad extradocente se puede aumentar el interés de los alumnos por la solución de ejercicios matemáticos. La impartición de los conocimientos necesarios y la formación de capacidades y habilidades para la solución de ejercicios con texto y problemas tienen que ser objeto de la clase para que el alumno pueda emplear estos conocimientos y capacidades en la solución de ejercicios con un nivel de exigencia cada vez mayor. Se ha elaborado un conjunto de técnicas de resolución de problemas aritméticos por parte de la Dra. Celia Rizo y el Dr. Luís Campistrous (1991) que son: •. Técnica de formulación.. •. Técnica de modelación.. •. Técnica de lectura analítica y la reformulación.. 24.

(31) •. Técnica de determinación de problemas auxiliares.. •. Técnica de tanteo inteligente.. •. Técnica de la comprobación.. Estas técnicas ayudan a comprender mejor el problema o a encontrar la vía de solución. La lectura analítica y reformulación son una expresión que manifiesta cómo se dan los procesos de análisis y síntesis en la solución de problemas, constituye una unidad indisoluble cuyo aprendizaje es imprescindible para facilitar la comprensión y la búsqueda de la solución. Por lo general se utiliza acompañada de otras técnicas como la modelación y la determinación de problemas auxiliares y a su vez, son la base de todo el procedimiento generalizado de solución. En fin el alumno se hace una baja representación de la situación que se modela en las condiciones del problema. Se apoya y utiliza todo el texto y extrae la información necesaria para la solución y con ella construye el modelo matemático del problema. Por lo tanto este tipo de análisis es el más habitual, y es susceptible de ser aplicado tanto en problemas simples como complejos. Con posterioridad, se hacen que adquieran conciencia de la exactitud de la vía utilizada, sobre la cual frecuentemente el alumno no puede dar explicación alguna. En el sistema de los ejercicios con texto y problemas, los ejercicios con un solo paso de cálculo tiene la misma importancia que los ejercicios básicos para el cálculo oral y escrito. En ellos se basan los ejercicios compuestos. Por eso, las capacidades para la solución de problemas simples son condiciones previas indispensables para la solución de ejercicios con más de un paso de cálculo. Por su amplia aplicabilidad y gran utilidad para la comprensión de los problemas consideramos significativo incluir en nuestro trabajo diferentes técnicas que puede aplicar el alumno en su aprendizaje de la Matemática. La palabra problema se usa en el lenguaje común en su más amplia acepción. Es decir, aquella en la que se expone una situación de la cual se busca un resultado a partir de ciertos datos. Para el profesor de Matemática esta palabra ha de tener un. significado. más. preciso;. un. problema. representará. una. situación. verdaderamente nueva. ¿A qué se denomina problema?. 25.

(32) Según Arturo Millares y José M. Escalona, problema es una cuestión que hay que resolver. También se sabe que el problema es aritmético cuando la cuestión a resolver consiste en dados varios números (datos), hallar otro u otros (incógnitas). En la enseñanza hacia el planteamiento y la solución de problemas que surgen del contenido de la propia enseñanza (demostraciones, búsqueda de leyes, solución de problemas y ejercicios de construcción difícil, etc.) hay que diferenciar los conceptos problemas, tareas y ejercicios: •. Tarea en el sentido amplio de la palabra (Cualquier actividad que se realice con vistas a educar a los alumnos).. •. Tarea en el sentido estrecho de la palabra (tareas para la casa).. •. Ejercicio (Ejemplo: Calcula 34+2.5:84).. •. Problema en el sentido amplio de la palabra (Ejemplo: ¿qué relación existe entre los lados y los ángulos de un triángulo?).. •. Problema en el sentido estrecho de la palabra (solución de los ejercicios con texto tomados de la realidad objetiva).. Para diferenciar lo que es un problema en el sentido amplio de la palabra y un ejercicio se tiene en cuenta que el alumno en el ejercicio conoce un algoritmo, pero no para la solución del problema. En el aspecto didáctico se plantean” tareas” que pueden ser tanto ejercicios como problemas. Esta según el conocimiento de la persona puede constituir un ejercicio o un problema. Un ejercicio de cualquier tipo no es por si solo ni fácil ni difícil; tal discriminación depende, en última instancia, del dominio de los conocimientos y habilidades que los alumnos hayan alcanzado con relación a un determinado contenido y depende del diagnóstico que se tenga de ellos, para poderlos presentar de diferentes maneras y puedan ser resueltos, también se utilizan los recursos que estén a su alcance como son los Software Educativos relacionados con este componente, los libros de textos, la propia realidad en que se desarrollan. Para abordar la solución de lo que es verdaderamente un problema se requiere de una estrategia específica y propia para el problema en cuestión. Esto no significa que para resolverlo se excluya el modelo de procedimientos y técnicas análogas a las utilizadas en problemas ya conocidos; la aplicación de estas técnicas se hará. 26.

(33) desde luego con una óptica diferente: tendrá nueva planificación y distinta organización, o tal vez, se encontrarán apropiadamente combinadas, técnicas y procedimientos antes empleados en la solución de otros problemas ya conocidos. Los procedimientos de solución en la enseñanza de la Matemática básicamente se agrupan en dos tipos: Los procedimientos heurísticos y los procedimientos algorítmicos. Estos últimos están muy bien determinados en los programas de la enseñanza, a través de los objetivos y contenidos que reflejan. Se refieren a sus posibilidades para el desarrollo de habilidades en la enseñanza de la Matemática. Resolver problemas, requiere según Polya, trabajar mucho con estos problemas, estudiarlos acuciosamente y analizar las distintas posibilidades que permitan acometer su solución. La contribución de este tratamiento le brinda amplias posibilidades al alumno en su preparación y al docente al abordar en clases este complejo de materia, pues es preferible resolver un mismo problema por varias vías que varios problemas por la misma vía de solución, garantizando de esta manera un desarrollo aún mayor del pensamiento lógico del alumno y un mejor aprendizaje de esta temática. El análisis de los factores que dependen de los alumnos en la resolución de problemas ha permitido distinguir como fundamentales los que se exponen a continuación: a) Capacidad Individual: es evidente que la resolución de problemas requiere de cierto grado de capacidad individual que no todos los alumnos poseen. Este es un factor que se puede modificar, pues se sabe que la inteligencia es un rasgo innato, pero sí se pueden mejorar las condiciones del alumno en este aspecto adaptando el contenido de los problemas y de los métodos de aprendizaje al nivel de capacidad individual de los alumnos. b) Dominio del contenido: frente a un problema el alumno tiene que decidir qué operaciones va a efectuar para encontrar la solución. Es necesario que tenga una noción clara del significado de las operaciones, y que sea capaz de relacionar este con la situación que presenta el problema. Pero no basta que razone correctamente, es necesario además que sea capaz de realizar con exactitud las operaciones propuestas.. 27.

(34) c) Dominio del lenguaje: para que un alumno pueda resolver un problema es necesario que comprenda lo que dice el problema, de modo que, el razonamiento del problema debe ir por la interpretación de su lectura. Los maestros deben procurar que los problemas respondan al grado de dominio de la lectura mental que posean los alumnos, y que en la redacción de los problemas se utilice un vocabulario ajustado a cada grado y lenguaje claro y preciso. Para dirigir a los alumnos en la determinación de las operaciones que han de utilizar para resolver los problemas, el maestro debe proceder de acuerdo con las siguientes orientaciones: 1ro. Insistir en el significado de las operaciones. 2do. Dirigir el razonamiento de los alumnos. 3ro. Utilizar esquemas y diagramas. 4to. Destacar algunas características de los problemas. 5to. Utilizar problemas sin números. 6to. Propiciar la redacción de problemas originales de los alumnos. En la ejecución de operaciones se analiza si los alumnos han aprendido bien las operaciones fundamentales, si el maestro ha dedicado igual atención al significado de las operaciones y al dominio de los procesos operatorios; es posible que los alumnos no fallen en la ejecución que han decidido aplicar en la resolución de los problemas. Ahora bien, cuando los problemas son de varios pasos, es decir, cuando tienen que resolverse mediante varias operaciones, ocurre con frecuencia que los alumnos fallan porque no realizan un trabajo organizado y ordenado. También es importante que los alumnos adquieran el hábito de comprobar los resultados que han obtenido en la formulación del problema, para así conocer si la solución es la deseada. Sin restar atención a la comprensión del texto del problema que de hecho es esencial como fase primaria, hay que conceder un especial interés a la búsqueda de la vía de solución, como ya se ha dicho, en general la vía no es única, de aquí que la alternativa metodológica que plantea el trabajo está dada en este sentido. La experiencia acumulada y la realización de investigaciones relacionadas con el. 28.

(35) desarrollo del pensamiento en los alumnos durante el proceso de enseñanzaaprendizaje permiten proponer un sistema de actividades que posea las características que propone el MSc Luis O. Rivero en su tesis de maestría. En el proceso de resolución de problemas, se hace indispensable utilizar oportuna y correctamente la información que brinda su enunciado, planificar paulatinamente la estrategia de solución y usar convenientemente, en cada caso las técnicas idóneas de trabajo. Resolver problemas relacionados con la vida diaria, y su solución aritmética son objetivos esenciales en la enseñanza de la Matemática. El conjunto de capacidades y habilidades que contribuye a preparar al alumno para abordar la solución de un problema, es lo que usualmente se le denomina entrenamiento para la solución de problemas. Mediante un entrenamiento bien orientado, un escolar será capaz de redescubrir la solución de algunos problemas que son clásicos en los programas de la Matemática Escolar. Al enfrentarse por primera vez ante un determinado problema para el que se propone hallar una solución, se encuentran un poco confusos y sienten una sensación semejante a la que se experimenta cuando se camina en penumbras; con el propósito de buscar claridad y acercarse a la luz se auxilia. a los. principiantes: Primero: ¿a qué clase pertenece el problema? Segundo: Distinguir claramente las fases fundamentales que se presentan en la solución del problema matemático. Tercero: Autodirigirse una colección de preguntas que varían según el tipo de problema. •. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición que se propone?. •. Analice si la condición puede desglosarse.. •. ¿Qué relación existe entre los datos y la incógnita?. •. Recuerda algún problema que le sea familiar y que tenga una incógnita igual o semejante.. 29.

(36) •. Concentrarse en la condición desglosada y piense si existe una vía que le oriente hacia la incógnita; ¿Puede extraer en los datos algún elemento que le sea útil? ¿Podría pensar en otros datos que le permitan hallar la incógnita? ¿Podría cambiar los datos, o la incógnita, o ambos, por otros equivalentes, de modo que estos nuevos revele mejor su mutua relación?. •. ¿Empleó todos los datos? ¿Utilizó completa la condición?. Un problema aritmético puede pertenecer también a otra ciencia, a la cual le correspondan las cantidades que en él intervienen, siendo necesario el conocimiento de determinados principios de esa ciencia para poder resolverlo. Este requerimiento permite asegurar que el sistema de problemas se aborde adecuadamente: Los conocimientos que deben ser aprendidos por los alumnos al nivel de sistematización, generalización y profundización adecuado. Las habilidades teóricas que deben ser desarrolladas, es decir, aquellas que permiten operar con los diferentes componentes de las teorías para la solución exitosa de determinadas tareas teóricas o prácticas, así como las de carácter lógico que resultan útiles en este sentido. Las habilidades matemáticas que deben ser desarrolladas, al establecer con claridad el nivel de complejidad, generalización y profundización con que se exigen los procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y gráficos en la solución de problemas. Las habilidades generales relacionadas con el uso del libro de texto y otras fuentes bibliográficas de consulta, la preparación de resúmenes, etc. Como puede apreciarse en esta apretada síntesis de razones, al aprender a resolver problemas no ha figurado como una de esas razones durante un largo período de tiempo. Realmente hay que decir que la creencia predominante durante siglos fue el que se aprende a resolver problemas por imitación, es decir, viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el proceder del que resuelve. No puede negarse que esta vía y también la de ensayo y error pude servir a algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha para que algunos. 30.