Geometría III, CC. Matemáticas

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Geometr´ıa III, CC. Matem´ aticas

Luis Guijarro

UAM

10 de Febrero de 2010

Luis Guijarro ( UAM) Geometr´ıa III, CC. Matem´aticas 10 de Febrero de 2010 1 / 10

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Geometr´ıa III, CC.Matem´ aticas, UAM.

Curso 2009/10, segundo semestre.

Profesor: Luis Guijarro Santamar´ıa. Despacho: C–XV–605. Tutor´ıas por cita previa.

Horario: Lunes a Jueves, 14:30-15:20. Aula 01.17.AU.102. P´agina WEB:

http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/lguijarr/ docencia/geometria 3 0910/geo 3 index.html

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Geometr´ıa III, CC.Matem´ aticas, UAM.

Profesor: Luis Guijarro Santamar´ıa. Despacho: C–XV–605.

Tutor´ıas por cita previa.

Horario: Lunes a Jueves, 14:30-15:20. Aula 01.17.AU.102. P´agina WEB:

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Geometr´ıa III, CC.Matem´ aticas, UAM.

Horario: Lunes a Jueves, 14:30-15:20. Aula 01.17.AU.102.

P´agina WEB:

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Geometr´ıa III, CC.Matem´ aticas, UAM.

Horario: Lunes a Jueves, 14:30-15:20. Aula 01.17.AU.102.

P´agina WEB:

http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/lguijarr/

docencia/geometria 3 0910/geo 3 index.html

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De qu´e trata este curso

Espacios topol´ogicos donde todo punto tiene entornos parecidos a los de Rⁿ.

Tres niveles:

1 Topol´ogico: ¿Se pueden clasificar salvo homeomorfismos?

2 Diferenciable: ¿C´omo puedo hacer c´alculo en ellos?

3 M´etrico: ¿Tienen forma? ¿Distancias? ¿Se curvan?

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Tres niveles:

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Tres niveles:

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Por qu´e es troncal

Generalizaci´on de curvas y superficies. ¿C´omo es un objeto n-dimensional para n general?

Extienden el c´alculo diferencial a otros espacios, lo que puede ayudar a entenderlo mejor en Rⁿ.

Son una gran fuente de ejemplos de espacios topol´ogicos. A muchos matem´aticos nos gustan y mucho.

Suelen aparecer en sitios insospechados, y ya habe´ıs visto alguna anteriormente. La geometr´ıa diferencial abre nuevas posibilidades para el estudio de muchas ´areas de las matem´aticas.

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Son una gran fuente de ejemplos de espacios topol´ogicos.

A muchos matem´aticos nos gustan y mucho.

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D´onde aparecen (Lista no exhaustiva)

Geometr´ıa algebraica: R, C, son las variedades algebraicas sin singularidades. Resoluci´on de singularidades.

EDP’s: ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ecuaci´on eikonal. Topolog´ıa: conjetura de Poincar´e.

Relatividad: espacios-tiempo son variedades de Lorentz. F´ısica te´orica.

Mecánica: sistemas hamiltonianos, variedades simplécticas. Algebra: teor´ıa geom´´ etrica de grupos. ¿Puedo ver un grupo? Variable compleja: muchos teoremas de funciones anal´ıticas se entienden mejor vistos como isometr´ıas del plano de Poincaré. (Micro)econom´ıa: Los puntos de equilibrio de mercados (Pareto) forman a menudo la variedad de equilibrio.

Matem´atica financiera: superficies de volatilidad. (c´omo cambia el precio de opciones del mismo activo subyacente bajo diferentes precios de ejercicio y diferentes fechas de vencimiento)

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EDP’s: ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ecuaci´on eikonal.

Topolog´ıa: conjetura de Poincar´e.

Relatividad: espacios-tiempo son variedades de Lorentz.

F´ısica te´orica.

Mec´anica: sistemas hamiltonianos, variedades simpl´ecticas.

Algebra: teor´ıa geom´´ etrica de grupos. ¿Puedo ver un grupo?

Variable compleja: muchos teoremas de funciones anal´ıticas se entienden mejor vistos como isometr´ıas del plano de Poincar´e.

(Micro)econom´ıa: Los puntos de equilibrio de mercados (Pareto) forman a menudo la variedad de equilibrio.

Matem´atica financiera: superficies de volatilidad.

(c´omo cambia el precio de opciones del mismo activo subyacente bajo diferentes precios de ejercicio y diferentes fechas de vencimiento)

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EDP’s: ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ecuaci´on eikonal.

Topolog´ıa: conjetura de Poincar´e.

Relatividad: espacios-tiempo son variedades de Lorentz.

F´ısica te´orica.

Mec´anica: sistemas hamiltonianos, variedades simpl´ecticas.

Algebra: teor´ıa geom´´ etrica de grupos. ¿Puedo ver un grupo?

Variable compleja: muchos teoremas de funciones anal´ıticas se entienden mejor vistos como isometr´ıas del plano de Poincar´e.

(Micro)econom´ıa: Los puntos de equilibrio de mercados (Pareto) forman a menudo la variedad de equilibrio.

Matem´atica financiera: superficies de volatilidad. (c´omo cambia el precio de opciones del mismo activo subyacente bajo diferentes precios de ejercicio y diferentes fechas de vencimiento)

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Qu´e necesito saber.

Algebra lineal: espacios vectoriales, bases, cambio de bases,´ aplicaciones lineales, un poco de formas cuadr´aticas, matrices.

Cálculo II y III: Diferencial de funciones F : Rⁿ→ R^m, derivada direccional, jacobiano, teorema de la función inversa, teorema de la función impl´ıcita, difeomorfismos y difeomorfismos locales.

Un poco de EDO’s: Teorema de Picard de existencia y unicidad de soluciones de sistemas lineales de primer orden X⁰= AX , X (0) = x0. Topolog´ıa: Casi toda, pero conveniente repasar lo antes posible la topolog´ıa cociente.

Curvas y superficies: Parametrizaciones, cartas, aplicaciones diferenciables entre superficies, sus diferenciales, primera forma fundamental.

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Un poco de EDO’s: Teorema de Picard de existencia y unicidad de soluciones de sistemas lineales de primer orden X⁰= AX , X (0) = x0.

Topolog´ıa: Casi toda, pero conveniente repasar lo antes posible la topolog´ıa cociente.

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C´omo se estructura.

1. Variedades y Topolog´ıa. Contenidos teóricos y prácticos. Variedades topológicas con y sin borde. Superficies topológicas: construcción de ejemplos mediante pegados y cocientes. Suma conexa. Orientabilidad. Clasificación de superficies. Caracter´ıstica de

Euler-Poincar´e.

2. Variedades y coordenadas. Entornos coordenados, atlas y estructuras diferenciales. Variedad diferencial. Ejemplos: espacios

eucl´ıdeos esferas, productos, espacios proyectivos. Funciones y aplicaciones diferenciables. Subvariedades regulares. Variedades cociente.

3. Derivadas en variedades. Vectores tangentes. Espacio tangente. Diferencial de funciones y de aplicaciones diferenciables. Campos de vectores. Flujos. Formas diferenciales en Rⁿ, producto y derivada exteriores. Comportamiento bajo aplicaciones diferenciables.

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C´omo se estructura.

1. Variedades y Topolog´ıa. Contenidos te´oricos y pr´acticos.

Variedades topol´ogicas con y sin borde. Superficies topol´ogicas:

construcci´on de ejemplos mediante pegados y cocientes. Suma conexa.

Orientabilidad. Clasificaci´on de superficies. Caracter´ıstica de Euler-Poincar´e.

2. Variedades y coordenadas. Entornos coordenados, atlas y estructuras diferenciales. Variedad diferencial. Ejemplos: espacios

eucl´ıdeos esferas, productos, espacios proyectivos. Funciones y aplicaciones diferenciables. Subvariedades regulares. Variedades cociente.

3. Derivadas en variedades. Vectores tangentes. Espacio tangente.

Diferencial de funciones y de aplicaciones diferenciables. Campos de vectores. Flujos. Formas diferenciales en Rⁿ, producto y derivada exteriores. Comportamiento bajo aplicaciones diferenciables.

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C´omo se estructura(cont.)

4. Estructuras Riemannianas. Contenidos teóricos y prácticos. Métricas Riemannianas. Longitud, distancia, ángulos. Isometr´ıas.

Derivada covariante. Transporte paralelo y geod´esicas. Curvatura. Efecto sobre las geod´esicas. Efecto sobre la topolog´ıa.

Los contenidos finales del ´ultimo cap´ıtulo dependeran en gran medida del tiempo disponible.

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C´omo se estructura(cont.)

4. Estructuras Riemannianas. Contenidos te´oricos y pr´acticos.

M´etricas Riemannianas. Longitud, distancia, ´angulos. Isometr´ıas.

Derivada covariante. Transporte paralelo y geod´esicas. Curvatura. Efecto sobre las geod´esicas. Efecto sobre la topolog´ıa.

Los contenidos finales del ´ultimo cap´ıtulo dependeran en gran medida del tiempo disponible.

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Bibliograf´ıa:

Boothby, William M., An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press, 2003. Buena referencia para el cap´ıtulo 2 y partes del 3, aunque bastante exigente.

D´ıaz Miranda, Antonio, Geometr´ıa III. Apuntes disponibles en formato pdf en la p´agina http://www.uam.es/luis.guijarro/clases/diaz.pdf. Conveniente si no pode´ıs acceder a los textos de Boothby o Gonzalo.

G.K. Francis, J.R. Weeks: Conway’s ZIP Proof, Amer. Math. Monthly, Vol 106, N 5, pp. 393-399. Este art´ıculo da una demostración simple y visual del teorema de clasificación de superficies del cap´ıtulo I. Se puede descargar (conectados a la red de la UAM) desde la sección de revistas electrónicas de la página de la biblioteca de la UAM.

Jesús Gonzalo Pérez, Variedades y Geometr´ıa: un curso breve, Colección Documentos de Trabajo, vol. 64, UAM (2005); a la venta en la librer´ıa del Campus. Este libro cubrirá gran parte del temario del curso a un nivel adecuado. Muy recomendabla cuando se combina con una asistencia reguilar a clase.

W. S. Massey, Algebraic topology, an introduction. Springer Verlag. Para aquellos que exigen un nivel superior de exigencia en las demostraciones del cap´ıtulo I.

Y por supuesto, los apuntes de clase.

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Bibliograf´ıa:

Boothby, William M., An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press, 2003. Buena referencia para el cap´ıtulo 2 y partes del 3, aunque bastante exigente.

D´ıaz Miranda, Antonio, Geometr´ıa III. Apuntes disponibles en formato pdf en la p´agina http://www.uam.es/luis.guijarro/clases/diaz.pdf. Conveniente si no pode´ıs acceder a los textos de Boothby o Gonzalo.

G.K. Francis, J.R. Weeks: Conway’s ZIP Proof, Amer. Math. Monthly, Vol 106, N 5, pp.

393-399. Este art´ıculo da una demostración simple y visual del teorema de clasificación de superficies del cap´ıtulo I. Se puede descargar (conectados a la red de la UAM) desde la sección de revistas electrónicas de la página de la biblioteca de la UAM.

Jesús Gonzalo Pérez, Variedades y Geometr´ıa: un curso breve, Colección Documentos de Trabajo, vol. 64, UAM (2005); a la venta en la librer´ıa del Campus. Este libro cubrirá gran parte del temario del curso a un nivel adecuado. Muy recomendabla cuando se combina con una asistencia reguilar a clase.

W. S. Massey, Algebraic topology, an introduction. Springer Verlag. Para aquellos que exigen un nivel superior de exigencia en las demostraciones del cap´ıtulo I.

Y por supuesto, los apuntes de clase.

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Sistema de evaluaci´on:

Durante el curso habrá un examen parcial (EP) y un examen final (EF). La calificación final se calculará mediante la fórmula

Max(0.7 EF + 0.3 EP, EF)

En la convocatoria extraordinaria de septiembre se considerar´a

exclusivamente la nota obtenida en el examen correspondiente, quedando sin valor la nota de problemas. El examen de septiembre compartir´a algunas cuestiones con el examen de la clase del primer semestre, aunque podr´a diferir en otras.

Fecha del examen parcial: A determinar (¿15 de Abril?) Fecha del examen final: 17 de Junio de 2010.

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Sistema de evaluaci´on:

Durante el curso habrá un examen parcial (EP) y un examen final (EF). La calificación final se calculará mediante la fórmula

Max(0.7 EF + 0.3 EP, EF)

En la convocatoria extraordinaria de septiembre se considerar´a

exclusivamente la nota obtenida en el examen correspondiente, quedando sin valor la nota de problemas. El examen de septiembre compartir´a algunas cuestiones con el examen de la clase del primer semestre, aunque podr´a diferir en otras.

Fecha del examen parcial: A determinar (¿15 de Abril?) Fecha del examen final: 17 de Junio de 2010.