1 Concepto de función: y=f(x)

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J. M^a Navarro FUNCIONES

Ficha N^o 1

1 Concepto de funci´ on: y=f(x)

Se define de forma informal una función como una relación entre dos magnitudes¹ o más. La relación entre las magnitudes se puede representar de varias formas:

• Mediante una frase, como por ejemplo: “El número de aprobados de la asignatura aumenta cuando los estudiantes dedican más horas de estudio” ⇒ Las magnitudes son el número de aprobados y el número de horas de estudio.

• Mediante una ecuación: por ejemplo, p = 3 · t ⇒ Las magnitudes son el número de platos (p) y el número de tenedores (t).

• Mediante una gr´afica. Usando los ejes cartesianos: eje de abscisas (eje de x) y eje de ordenadas (eje de y).

Una función, generalmente, se identifica con la nomenclatura “f (x)”. Sin embargo, como ocurr´ıa con el lenguaje algebraico con el nombre de las variables (x, y, z, a, b, . . .), puede usarse cualquier otra letra en lugar de la “f ” para llamar a una función. Por ejemplo, también puede llamarse g(x) a una función en lugar de f (x).

1.1 Zona de definici´on de una funci´on: Dominio y rango

Las funciones no siempre existen desde −∞ hasta ∞; por ejemplo, si pensamos en la función que relaciona los puntos de un equipo conseguidos en una jornada, con todas las jornadas de un campeonato de fútbol: si llamamos x a los goles del equipo analizado y llamamos y a los goles del otro equipo del partido, entonces la función valdrá 0 si los goles del equipo analizado (valor de x) son menores que los goles del otro equipo (x − y < 0 ⇒ x < y), en cambio sin los goles del equipo

analizado son iguales que los del otro equipo (x − y = 0 ⇒ x = y) entonces el equipo analizado ganar´ıa 1 punto, y finalmente, si el equipo analizado ha marcado más goles que el otro equipo (x − y > 0 ⇒ x > y) la función valdr´ıa 3. Si escribimos esta función forma de expresión matemática, ser´ıa:

f (x) =







0, si x < 0;

1, si x = 0;

3, si x > 0.

Si consideramos posibles: entre cero y veinte, por ejemplo ⇒ Dominio = [0, 20] y Rango = 0, 1, 3.

Abreviadamente, se escribe Dom (dominio) y Rg (rango).

1.2 Monoton´ıa

Una función es monótona cuando crece o cuando decrece. Matemáticamente, esto implica que:

• Una funci´on f(x) es creciente si: para cualquier par de puntos (x1, y1) y (x2, y2) se cumple que si x₁ > x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂).

• Una funci´on f(x) es decreciente si: para cualquier par de puntos (x1, y1) y (x2, y2) se cumple que si x1 < x2 ⇒ f (x₁) < f (x2).

Gráficamente, la monoton´ıa de una función se aprecia por la tendencia de su gráfica:

• f(x) es creciente: Si los valores representados en la gr´afica toman mayores valores conforme se recorre el eje de abscisas.

1Magnitud : Propiedad f´ısica que puede ser medida; p. ej., la temperatura, el peso, etc.

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• f(x) es decreciente: Si los valores representados en la gr´afica toman menores valores conforme se recorre el eje de abscisas.

Ejemplo:

x

y f (x) = ¹₃x

f (x) = −^x₁₆²

2 Tipos de funciones

2.1 Funci´on constante

Estas funciones tienen una fórmula f (x) = k, donde k es cualquier número. Por ejemplo, para k = 2, 5, la expresión es: f (x) = 2⁰5.

Su gr´afica es una recta paralela al eje de abscisas que corta al eje de ordenadas (eje y) en el valor k. Para el ejemplo, la funci´on cortar´ıa al eje de ordenadas en y = 2⁰5.

2.2 Funci´on lineal

Estas funciones tienen una expresión con la forma: f (x) = m · x, donde k es cualquier número. Por ejemplo, para m = 1, la expresión es: f (x) = 1 · x = x.

Su gr´afica es una recta inclinada que corta al eje de abscisas que corta al eje de ordenadas (eje y) en el valor y = 0. Al par´ametro m se le llama “pendiente” de la recta.

• Pendiente positiva: Ocurre cuando la función toma valores crecientes cada vez mayores ⇒ La función es monótona creciente.

Ejemplo:

“El sonido recorre siempre aproximadamente una tercera parte de un kil´ometro cada segundo” ⇒ La tercera parte de un kil´ometro equivale a: ¹₃· x = f (x).

x (Segundos) y (Kil´ometros)

f (x) = ¹₃x

• Pendiente negativa: Ocurre cuando la función toma valores decrecientes cada vez menores ⇒ La función es monótona decreciente.

Ejemplo:

“Tengo diez euros y cada d´ıa gasto siempre un euro en comprar un bocadillo” ⇒ Gastar uno de diez euros equivale a: −₁₀¹ · x = f (x).

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2.3 Funci´on af´ın

Estas funciones tienen una fórmula f (x) = mx + n, donde k es cualquier número. Por ejemplo, para m = 1 y n = 2, la expresión es: f (x) = 1 · x + 2 = x + 2. Al parámetro m se le llama “pendiente” de la recta. Su gráfica es una recta inclinada. Una función af´ın es una recta.

x

y f (x) = x + 2

2.3.1 Puntos de corte de una funci´on

Para saber en qué puntos corta la función f (x) a los ejes hay que igualar a cero la función.

• Para calcular el punto de corte de f (x) con el eje x:

1. Igualo a cero la funci´on: f (x) = 0.

2. Despejo la inc´ognita x ⇒ El punto de corte ser´a (V alor_x, 0).

• Para calcular el punto de corte de f (x) con el eje y:

1. Despejo la x de la funci´on.

2. Supongo que la x vale cero.

3. Despejo la inc´ognita y ⇒ El punto de corte ser´a (0, V alor_y).

2.3.2 C´omo construir una funci´on af´ın usando dos puntos

Para construir una funci´on af´ın, basta con tener datos de dos puntos cualesquiera, (x1, y1) y (x2, y2).

Conociendo esos datos se aplica la f´ormula siguiente:

y = (y2− y₁

x2− x₁) · (x − x1) + y1 (1)

El procedimiento para construir una funci´on af´ın con dos puntos es el siguiente:

1. Obtener los dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂).

2. Sustituir los valores de los puntos en la expresi´on (1) y resolver.

3. Comprobar que la ecuaci´on de la recta calculada en el paso 2 se cumple.

Esto tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, permite predecir sucesos que pueden ser descritos de forma lineal. La fórmula de función af´ın con dos puntos es usada actualmente para predecir ventas en un futuro, el aumento de población de una ciudad, etc.

Ejemplo:

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“Si cada barril de petróleo se vend´ıa el mes pasado 70 ey este mes se vende a 74’4 e, de seguir as´ı la tendencia de precios, ¿cuánto costará el mes que viene cada barril de crudo?”

Siguiendo el procedimiento de c´alculo descrito antes:

1. Leo el texto y encuentro los datos: son los puntos (n^o mes, precio de barril) ⇒ (1,70) y (2,74,4).

2. Sustituyo los datos en la f´ormula (1) y resuelvo: y = (_x^y²^−y¹

2−x₁) · (x − x₁) + y₁ ⇒ y = (⁷⁴₂₋₁⁰⁴⁻⁷⁰)·(x−1)+70 → y = 4⁰40·(x−1)+70 ⇒⇒ 4⁰40x−4⁰40+70 → y = 4⁰40x+65⁰6 3. Comprobamos la funci´on calculada en el paso 2: sustituyo en la funci´on cada uno de los puntos que he usado para construirla y compruebo que el resultado sea el esperado

⇒ Para (1,70): y = 4⁰40 · 1 + 65⁰6 → y = 70

F IMPORTANTE: ¿Te has dado cuenta de que el valor de m (pendiente de la recta) es igual que el valor de _x^y²^−y¹

2−x1? Sabiendo esto, se puede calcular una función af´ın con tan sólo conocer su pendiente m y un punto de esa recta, en lugar de dos puntos como en el método anterior.

Ejemplo:

“Calcula la funci´on af´ın que tiene pendiente m = 5 y que pasa por el punto (1, 3)”.

Sabemos que una función af´ın es de la forma: f (x) = m·(x−x₁)+y₁⇒ Como ya conocemos el valor de la pendiente (m), sólo nos queda por hallar el valor de n ⇒ f (x) = 5·(x−x₁)+y₁ Como sabemos que la función ha de pasar por el punto (1, 3), entonces si sustituimos:

f (x) = 5 · (x − 1) + 3 ⇒ f (x) = 5 · x − 5 + 3 ⇒ f (x) = 5x − 2 → n = −2. As´ı que la funci´on ser´a:

f (x) = 5x − 2 2.3.3 Significado de la pendiente de una recta

La pendiente de una recta nos indica el comportamiento de esa recta. Su significado es similar al caso de subir una cuesta con mayor o menor pendiente: cuanto mayor sea la pendiente de la cuesta, más rápido alcanzcaremos alturas mayores; mientras que cuanto menor sea la pendiente de la cuesta, más lentamente se llegará a cotas de alturas ele- vadas.

En la figura del margen, se analiza el significado matem´atico de la pendiente. El s´ımbolo 4 es una letra griega y se lee “delta”;

se utiliza para indicar una variaci´on en una magnitud o variable.

Observa que la figura, 4x indica la variaci´on del valor de la variable x en la pendiente de la recta, y que 4y indica la variaci´on del valor de la variable y en la pendiente de esa recta.

Si recordamos la f´ormula para construir una recta con dos puntos:

y = (y₂− y₁

x2− x₁) · (x − x₁) + y₁

Prestando atención a la división de esa fórmula, se puede comprobar que lo que estamos haciendo con esa división en calcular la variación de los valores de la y de la función respecto de la variación de los valores de la x; es decir:

y = (y₂− y₁

x2− x₁) · (x − x₁) + y₁ ⇒ y = (4y

4x) · (x − x₁) + y₁

La pendiente de una recta mide la variaci´on de la funci´on.

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3 Ejercicios

1. Calcula las rectas que pasan por cada uno de los pares de puntos siguientes e indica la pendiente de cada una:

(a) Recta que pasa por (3, 4) y (−5, 9).

(b) Recta que pasa por (³₄,⁴₃) y (−5, 9).

(c) Recta que pasa por (−1, 5) y (6, 9).

(d) Recta que pasa por (⁻²¹₈ , 1) y (0, 1).

(e) Recta que pasa por (4, 9) y (0, 0).

(f) Recta que pasa por (−3, 0) y (2, −11).

2. “Alfredo y Elena han quedado para jugar al p´adel en el Polideportivo de Ciudad Jard´ın. Alfredo vive cerca del polideportivo, as´ı que Elena acuerda ir a buscarlo a

él. El trayecto de Elena es el siguiente: sale de su casa y camina cuatro minutos en cuatro cientos metros. Llega hasta el cruce más próximo y justo en ese momento se pone el semáforo en rojo. Espera dos minutos hasta que el semáforo se pone verde (cree que ha salido de su casa con tiempo de sobra cruza y lentamente los veinte metros de calzada en un minuto). De repente, nada más cruzar, ve el autobús que tiene que coger hasta la casa de Alfredo y decide empezar a correr para intentar llegar a tiempo a la parada. Llega cansada porque ha tardado en recorrer un minuto lo que andando tarda tres minutos , unos quinientos metros. Por suerte puede llegar a tiempo al autobús. Hay un gran atasco porque son las dos de la tarde y el autobús va parando cada a rato, y emplea cuatro minutos en un trayecto de quinientos metros. Para justo en frente del piso de Alfredo y se baja Elena. Cuando llega Elena, Alfredo le pide que calcule su trayecto en forma función.”

(a) ¿Cu´al es la variable independiente y la variable dependiente de la funci´on?

(b) Representa el trayecto de Elena en forma de gr´afica.

3. Adivina la f´ormula de las rectas con los datos que se proporcionan:

(a) “Es una recta que tiene pendiente tres y que pasa por el punto (8,0)”.

(b) “Es una recta que tiene pendiente dos y que pasa por el punto (-9,7)”.

(c) “Es una recta que tiene pendiente nueve y que pasa por el punto (1,11)”.

(d) “Es una recta que tiene pendiente nueve y que pasa por el punto (5,5)”.

(e) “Es una recta que tiene pendiente cuatro y que pasa por el punto (1,9)”.

(f) “Es una recta que tiene pendiente cinco y que pasa por el punto (-1,1)”.

(g) “Es una recta que tiene pendiente tres y que pasa por el punto (1,3)”.

4. Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes x e y:

(a) f (x) = 4x + 5 (b) f (x) = −5x

(c) f (x) = −^3x₂₂− 12 (d) f (x) = ^45x₂ − 13

(e) f (x) = ^189x₃₄ −³₇ (f) f (x) = 5⁰891x

5. Se quiere realizar un recuento de la población de España en el 2015. Según una noti- cia de un periódico, en España estaban registradas 47.059.533 personas a comienzos de enero del 2013. Si este resultado supon´ıa un descenso del 0’44% con respecto al 2012, de seguir esta tendencia, ¿podr´ıas saber cuántas personas hay en España a comienzos del 2015?