Electromagnetismo II. Solución Proyecto 1. Cuadrado

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Electromagnetismo II

Semestre: 2016-1 Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero

Soluci´ on Proyecto 1.

Cuadrado

Genera un programa de cómputo que calcule numéricamente la solución a la ecuación de Laplace en dos dimensiones para un conjunto discreto de puntos. Los puntos de la frontera exterior se encuentran a un potencial φ = 0, mientras que los puntos de la frontera interna están a un potencial igual a φ = 100.

Soluci´on

Para resolver el problema se programó el Método de Relajaciónel en Fortran 90. El método establece que en el punto (x_o, y_o) el potencial φ (x_o, y_o) se encuentra determinado por el valor que toma éste último en sus vecinos simétricos, como se muestra en la figura.

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La idea para demostrar lo anterior es expandir en Taylor cada uno de los potenciales vecinos:

φ (x_o± δ, y_o) = φ (x_o, y_o) ± ∂φ

∂x x=xo

δ + 1 2

∂²φ

∂x² x=xo

δ²+ O δ³ φ (x_o, y_o± δ, z_o) = φ (x_o, y_o) ± ∂φ

∂y y=yo

δ + 1 2

∂²φ

∂y² y=yo

δ²+ O δ³

Entonces a segundo orden resulta que

φ (x_o± δ, y_o) + φ (x_o, y_o± δ) = 4φ (x_o, y_o) + ∇²φ

(x=xo,y=yo)δ² Como el potencial electrost´atico satisface la ecuaci´on de Laplace,

φ (x_o, y_o) = φ (xo+ δ, yo) + φ (xo− δ, yo) + φ (xo, yo+ δ) + φ (xo, yo− δ) 4

lo cual prueba el argumento anterior.

Una vez entendido la idea del método, podemos utilizar este resultado para resolver el problema del proyecto. De forma que, el programa en Fortran 90 debe calcular el promedio del potencial en cada punto conocidos los potencial vecinos. Con la intención de resolver lo anterior, programé un algoritmo que genera una matriz donde se guardan los valores iniciales del potencial, estableciendo un valor aleatorio a aquellos puntos que no tienen asociado un potencial, es decir, los puntos que se encuentran fuera de los contornos de los cuadrados. Después, éste invoca una subrutina, denominada relajación, que calcula una nueva matriz con el promedio de los cuatro primeros vecinos y compara la matriz inicial con la nueva. Si la magnitud de la diferencia de las matrices es mayor o igual a prec entonces vuelve a calcular una nueva matriz con los promedios y la compara ahora con la matriz anterior; esto lo realiza hasta alcanzar una matriz que prácticamente no muestre cambio alguna con su predecesora. Finalmente, con la matriz de potencial eléctrico (digamos la certera), el programa invoca la subrutina campo que calcula el campo electrostático a partir de derivar el potencial. Tanto el potencial como el campo se guardan en archivos .dat respectivamente.

Observaciones:

1. Para calcular la norma de una matriz utilic´e el producto interior definido en el espacio de Hilbert de las matr´ıces de n × n con coeficientes en los reales, dado por: hA, Ai = tr (A^tA). El cual pueden verificar que es bilineal, definido positivamente y sim´etrico.

2. La derivada numérica que utilicé para calcular el campo eléctrico es una derivada de tres puntos, la cual necesita el punto anterior, el posterior y el punto en cuestión para calcular la derivada. Para mayor detalle de esto pueden revisar el libro: Richard Burden, ”Análisis numérico”.

3. Al ejecutar el programa les pedir´a en consola que indiquen el refinamiento, esto es para que indiquen que tan fina quieren hacer la malla, es decir, cu´antos puntos quieren que tenga.

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C´odigo Fortran

!---!

!---Main---!

!---!

!---Declaraci´on de la matriz--- program laplace

IMPLICIT NONE

real(16), allocatable :: V(:,:),Ex(:,:),Ey(:,:) integer :: i,j,k,n,m

real(16) :: prec,Vo,inicial

open(1,file="potencial.dat",status="REPLACE") open(2,file="campo.dat",status="REPLACE")

!---Llenado de la matriz y las condiciones iniciales--- write(*,*) ">>Indica el refinamiento:"

read*, n inicial=30.

m=n/10

allocate (V(n,n),Ex(n,n),Ey(n,n)) do i=1,n

do j=1,n

if (i==4*m .AND. j>=4*m .AND. j<=7*m) then V(i,j)=100.

else if (i==7*m .AND. j>=4*m .AND. j<=7*m) then V(i,j)=100.

else if (j==4*m .AND. i>=4*m .AND. i<=7*m) then V(i,j)=100.

else if (i==1 .OR. i==10*m .OR. j==1 .OR. j==10*m) then V(i,j)=0.

else

V(i,j)=inicial end if

end do end do

!---Invoca la subrutina que calcula el metodo de relajaci´on--- prec=1E-5

call relajacion(V,n,m,prec)

!---Invoca la subrutina que calcula el campo el´ectrico--- call campo(V,n,Ex,Ey)

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!---Escritura del potencial y el campo en un archivo .dat--- do i=1,n

do j=1,n

write(1,10) i,j,V(i,j) end do

end do

10 format("",2I6.0,F20.12) do i=1,n

do j=1,n

write(2,20) i,j,Ex(i,j)/10.,Ey(i,j)/10.

end do end do

20 format("",2I6.0,2F20.12) end program

!---!

!---Subrutina M´etodo de Relajaci´on---!

!---!

subroutine relajacion(V,n,m,prec) IMPLICIT NONE

integer, intent(in) :: n,m

real(16), dimension(n,n), intent(inout) :: V real(16), intent(in) :: prec

integer :: i,j real(16) :: dif

real(16), dimension(n,n) :: V_ant dif=1.

do while (dif>=prec) V_ant=V

do i=2,n-1 do j=2,n-1

if (i==4*m .AND. j>=4*m .AND. j<=7*m) then V(i,j)=100.

else if (i==7*m .AND. j>=4*m .AND. j<=7*m) then V(i,j)=100.

else if (i==1 .OR. i==10*m .OR. j==1 .OR. j==10*m) then V(i,j)=0.

else

V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4.

end if

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end do end do

call magnitud(V-V_ant,n,dif) print*, dif

end do

end subroutine

!---!

!---Subrutina que calcula el campo el´ectrico---!

!---!

subroutine campo(V,n,Ex,Ey) IMPLICIT NONE

integer, intent(in) :: n

real(16), dimension(n,n), intent(in) :: V real(16), dimension(n,n), intent(out) :: Ex,Ey integer :: i,j,h

h=1

do i=2,n-1 do j=2,n-1

Ex(i,j)=-(V(i+1,j)-V(i-1,j))/(2*h) Ey(i,j)=-(V(i,j+1)-V(i,j-1))/(2*h) end do

end do

end subroutine

!---!

!---Subrutina que calcula la magnitud de una matriz---!

!---!

subroutine magnitud(A,dimA,dif) IMPLICIT NONE

integer, intent(in) :: dimA

real(16), dimension(dimA,dimA), intent(in) :: A real(16), intent(out) :: dif

real(16), dimension(dimA,dimA) :: B integer :: i

dif=0.

B=matmul(transpose(A),A) do i=1,dimA

dif=dif+B(i,i) end do

end subroutine

Para graficar el potencial electrostático, las curvas equipotenciales y los vectores de campo eléctrico pueden utilizar gnuplot, a continuación les dejo el código para graficar cada una.

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C´odigo Gnuplot

Potencial Electrost´atico

splot "potencial.dat" using 1:2:3 set xlabel "X"

set ylabel "Y"

set zlabel "V(X,Y)"

set xrange [0:100]

set yrange [0:100]

set zrange [0:100]

set title "Potencial El´ectrost´atico"

unset key replot

set term png

set out "potencial.png"

replot

Curvas equipotenciales

plot "potencial.dat" using 1:2:3:4 with vector head set xlabel "X"

set ylabel "Y"

set xrange [0:100]

set yrange [0:100]

set title "Curvas Equipotenciales"

unset surface set contour base unset key

replot

set term png

set out "equipotenciales.png"

replot

Vectores de Campo El´ectrost´atico

plot "campo.dat" using 1:2:3:4 with vector head set xlabel "X"

set ylabel "Y"

set xrange [0:100]

set yrange [0:100]

set title "L´ıneas de Campo El´ectrico"

unset key replot

set term png

set out "campo.png"

replot

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Yo decid´ı utilizar Origin para graficar cada uno de los anteriores, a continuaci´on les muestro mis resultados:

Para realizar esta gráfica sólo agreguen los datos del archivo potencial.dat, luego seleccionen la última columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a Z. Por último seleccionen las tres columnas vayan a Plot, 3D XYZ, 3D Scatter.

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Para graficar las curvas de nivel agreguen los datos del archivo potencial.dat, luego seleccionen la ´ultima columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a Z. Por

´

ultimo seleccionen las tres columnas vayan a Plot, Contour, XYX Contour.

Para graficar el campo vectorial agreguen los datos del archivo campo.dat, luego seleccionen la pen´ultima columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a X. Por ´ultimo seleccionen las cuatro columnas vayan a Plot, Specialized, Vector XYXY.

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Soluci´ on Proyecto 1.

C´ırculo

La idea es exactamente la misma que para el caso del cuadrado, s´olo que ahora las condiciones de frontera son sobre dos radios: r_max y r_min que yo establec´ı igual 5 y 2,5 respectivamente.

El refinamiento que pide inicialemnte el programa es para realizar el malleo del la región sobre el cual vamos a calcular el potencial. A continuación les muestro el código que realicé en Fortran 90.

C´odigo Fortran

!---!

!---Main---!

!---!

!---Declaraci´on de la matriz--- program laplace

IMPLICIT NONE

real(16), allocatable :: V(:,:),Ex(:,:),Ey(:,:) complex(16), allocatable :: P(:,:)

integer :: i,j,k,n

real(16) :: prec,Vo,inicial,r,rmax,rmin,hx,hy,x,y,eps open(1,file="potencial.dat",status="REPLACE")

open(2,file="campo.dat",status="REPLACE")

!---Llenado de la matriz y las condiciones iniciales--- write(*,*) ">>Indica el refinamiento:"

read*, n hx=10./n hy=10./n inicial=50.

rmax=5.

rmin=2.5 eps=1E-4 x=0.

i=1 j=1

allocate (V(n+6,n+6),Ex(n+6,n+6),Ey(n+6,n+6),P(n+6,n+6)) do while (x<=10.)

y=0.

j=1

do while (y<=10.)

r=sqrt((x-5.)**2+(y-5.)**2) if (abs(r-rmin)<eps) then V(i,j)=100.

else if (r<rmin .AND. abs(r-rmin)>eps) then

(10)

V(i,j)=100.

else if (r>rmin .AND. r<rmax .AND. abs(r-rmax)>eps) then V(i,j)=inicial

else if (r>rmax) then V(i,j)=0.

else if (abs(r-rmax)<eps) then V(i,j)=0.

end if

P(i,j)=CMPLX(x,y) y=y+hy

j=j+1 end do x=x+hx i=i+1 end do

!---Invoca la subrutina que calcula el metodo de relajaci´on--- prec=1E-5

call relajacion(V,n,hx,hy,rmin,rmax,prec,eps)

!---Invoca la subrutina que calcula el campo el´ectrico--- call campo(V,n,Ex,Ey)

!---Escritura del potencial y el campo en un archivo .dat--- do i=1,n+6

do j=1,n+6

write(1,10) REAL(P(i,j)),AIMAG(P(i,j)),V(i,j) end do

end do

10 format("",3F20.12) do i=1,n+6

do j=1,n+6

write(2,20) REAL(P(i,j)),AIMAG(P(i,j)),Ex(i,j)/10.+REAL(P(i,j)),Ey(i,j)/10.+AIMAG(P(i,j)) end do

end do

20 format("",4F20.12) end program

!---!

!---Subrutina M´etodo de Relajaci´on---!

!---!

subroutine relajacion(V,n,hx,hy,rmin,rmax,prec,eps) IMPLICIT NONE

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real(16), dimension(n+6,n+6), intent(inout) :: V real(16), intent(in) :: prec,eps,rmin,rmax,hx,hy integer :: i,j

real(16) :: dif,r,x,y

real(16), dimension(n+6,n+6) :: V_ant dif=1.

do while (dif>=prec) V_ant=V

x=0.

i=1

do while (x<=10.) y=0.

j=1

do while (y<=10.)

r=sqrt((x-5.)**2+(y-5.)**2) if (abs(r-rmin)<eps) then V(i,j)=100.

else if (abs(r-rmax)<eps) then V(i,j)=0.

else if (r>rmax) then

V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4.

else if (r<rmin .AND. abs(r-rmin)>eps) then V(i,j)=100.

else if (rmin<r .AND. r<rmax .AND. abs(r-rmax)>eps) then V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4.

end if y=y+hy j=j+1 end do x=x+hx i=i+1 end do

call magnitud(V-V_ant,n,dif) print*, dif

end do

end subroutine

!---!

!---Subrutina que calcula el campo el´ectrico---!

!---!

subroutine campo(V,n,Ex,Ey) IMPLICIT NONE

real(16), dimension(n+6,n+6), intent(in) :: V real(16), dimension(n+6,n+6), intent(out) :: Ex,Ey

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integer :: i,j,h h=1

do i=2,n+5 do j=2,n+5

Ex(i,j)=-(V(i+1,j)-V(i-1,j))/(2*h) Ey(i,j)=-(V(i,j+1)-V(i,j-1))/(2*h) end do

end do

end subroutine

!---!

!---Subrutina que calcula la magnitud de una matriz---!

!---!

subroutine magnitud(A,dimA,dif) IMPLICIT NONE

integer, intent(in) :: dimA

real(16), dimension(dimA,dimA), intent(in) :: A real(16), intent(out) :: dif

real(16), dimension(dimA,dimA) :: B integer :: i

dif=0.

B=matmul(transpose(A),A) do i=1,dimA

dif=dif+B(i,i) end do

end subroutine

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Utilizando exactamente la misma metodologa del cuadrado, obtuve las siguientes gr´aficas para el potencial, las curvas equipotenciales y el campo el´ectrico.

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