y es un número real (es decir, no es infinito). lím Observa que la función no está definida para valores negativos de la variable. Si x > 0 lim.

CAPÍTULO 8: DERIVADAS

1. CONCEPTO DE DERIVADA

1.1. Concepto de derivada de una función en un punto

Del curso pasado ya conoces la definición de derivada. Vamos a recordarla.

Recuerda que:

La derivada de una función en un punto responde al estudio de dos problemas aparentemente distintos: El primero es el estudio del ritmo de variación de la función en dicho punto. El segundo es de índole geométrica: la derivada de una función en un punto indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

El estudio de la tasa de variación media nos resultaba insuficiente para resolver determinados problemas.

Por ejemplo: Si un avión (o un coche) sufre un accidente, y los expertos quieren determinar las causas, no les interesa la velocidad media del avión, (o del coche) sino la velocidad instantánea en el momento del accidente.

Otro ejemplo más: Los bomberos utilizan lonas para recoger a las personas que deben saltar de un incendio. Para fabricar la lona y que resista deben conocer la velocidad en el momento del impacto, no la velocidad media de caída.

Definición:

Si X es un intervalo abierto, f: X   una función continua en a  X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

a x

a f x

lím

f

a

x 





) ( )

( y es un número real (es decir, no es infinito).

El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por (a) dx

df .

a x

a f x a f

dx a df DF a

f

lím

a

x 

 







) ( ) ) (

( ) ( ) (

' =

h a f h a

lím

f

h

) ( ) (

0







Actividades resueltas

Estudia la derivabilidad de la función f(x)cos x en x = 0.

Observa que la función no está definida para valores negativos de la variable. Si x > 0

x x x sen

f'( ) 2 , expresión que no está definida para x = 0. Para estudiar la derivabilidad de la función en x = 0, utilizamos la definición de derivada:

h f h f

lím

f

h

) 0 ( ) 0 ) (

0 ( '

0



 

 2

1 1 lim cos

0



 

 h

h h

. Luego la función es derivable en {x  x  0}.

Derivación y continuidad

Si f es derivable en un punto entonces la función es continua en dicho punto.

Demostración

Recuerda que una función es continua en x = a, si _{lim f(x) f(a)}

a

x 

 . Entonces ( ) ( )( )

) ( )

( x a

a x

a f x a f f x

f 



 

 .

Suponemos que la función es derivable en a, es decir que existe f ’(a) y es un valor finito. Tomamos límites.

0 0 ) ( ' ) ) (

( ) ) (

)( ( ) )) (

( ) (

(    



 

 

 

   

 lím x a f a

a x

a f x lím f a a x

x a f x lím f a f x f lím

a x a

x a

x a

x

. Por tanto lim f(x) f(a)

a

x 

 .

Actividades resueltas

Las funciones cuyas gráficas aparecen a continuación son continuas en todos los puntos, y derivables en todos los puntos excepto en x = 0. Observa el comportamiento de la gráfica en dicho punto.

Los límites laterales existen, pero no coinciden, valen 1 y 1 respectivamente.

Los límites laterales existen, pero no coinciden, valen 0 y 1 respectivamente.

La función y = x^2/3 es continua pero no es derivable en x = 0. La función y = x^1/3 es continua pero no es derivable en x = 0.

Estudia la derivabilidad de la función f(x)x^2/3 en x = 0 La función es continua en todo  ya que limf(x) limx^2/3 a^2/3

a x a

x



 

 y lim ( ) lim ^2/3 0

0

0  



 f x x

x

x .

Para estudiar la derivabilidad de la función en x = 0, utilizamos la definición de derivada:









 

 









 0 1/3

3 / 1 0 3 / 2 0 0

lim 1 lim

) lim 0 ( ) 0 lim ( ) 0 ( '

h h h

h h

f h f f

h h

h

h .

El límite tiende a infinito. No es derivable en x = 0. Observa en la gráfica como la recta tangente en el origen es una recta vertical. La función es derivable en {x  x  0}.

Estudia la derivabilidad de la función f(x)x^1/3 en x = 0.

La función es continua en todo . Para estudiar la derivabilidad de la función en x = 0, utilizamos la definición de derivada:









 

 









 0 2/3

3 / 2 0 3 / 1 0 0

lim 1 lim

) lim 0 ( ) 0 lim ( ) 0 ( '

h h h

h h

f h f f

h h

h h

.

El límite no existe. Tiende a infinito. No es derivable en x = 0. Observa en la gráfica como la recta tangente en el origen es una recta vertical. La función es derivable en {x  x  0}.

Dada la función











  _

0 0 )

1 ) ln(

( ₂

x si e

x

x si x x a

f _x , se pide:

a) Calcula el valor de a, para que f(x) sea continua en todo .

b) Estudia la derivabilidad de f y calcular f’(x) donde sea posible. Selectividad. Junio 14. Opción B

a) Es una función definida a trozos por dos funciones continuas. Estudiamos la continuidad en x = 0.

a + ln(1 – x) en x = 0 es igual a a. (0) lim ² 0

0 



 ^

 x

x x e

f

a en x = 0.

Por tanto si a = 0 la función









 _

0 0 )

1 ) ln(

( ₂

x si e x

x si x x

f _x es continua en todo .

b) Estudio de la derivabilidad:













 



 2   ( 1) 0

1 0 1 )

( '

2e six

x xe

x x si

x f

x x

=











 



 0

) 2 (

1 0 1

2 e six

x x

x x si

x

.

En x = 0, la rama de la izquierda tiende a –1 y la de la derecha a 0, luego la función no es derivable.

Actividades propuestas

1.

Haciendo uso de la definición de derivada comprueba que la derivada de

sen x x

f 1

)

(  en x = a es igual a

a a x

f 1

1 cos )

(

' ₂

 



  si a es distinto de 0.

2.

Utilizando la definición de derivada comprueba que las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados es el valor dado:

f(x) = x³ en x = 2  f’(2) = 12. g(x) = x + 2 en x = a  g’(a) = 1.

h(x) = x²cosx en x = 0  h’(0) = 0.

1 2

4 ) 3

( 

  x x x

r

en x = 1  r’(1) = –11.

3.

Estudia la derivabilidad en x = 0 de f(x) = x³ (Selectividad Junio 1995)

1.2. Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente

Recuerda que:

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (a, f(a)) es igual a f’(a). Por tanto la ecuación de la recta tangente es:

y = f(a) + f ’(a)·(x  a).

Ejemplo:

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = 2x³ + x en x = 1 buscamos la recta de pendiente f’(1) que pase por el punto (1, f(1)): f(1) = 21³ + 1 = 3; f’(x) = 6x² + 1; f’(1) = 6·1² + 1 = 7;

Ecuación de una recta de pendiente 7 que pasa por el punto (1, 3): y = 3 + 7(x  1) = 7x – 4.

Actividades resueltas

Se consideran las funciones f(x) = x² 2x + 3, g(x) = ax² + b

a) Calcula a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa x = 2. 

b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibuja las gráficas de ambas funciones y halla la ecuación de la recta tangente común. (Septiembre 01. Opción A)  a) Calculamos las derivadas en x = 2  f’(x) = 2x  2, g’(x) = 2ax 

f’(2) = 2, g’(2) = 4a  2 = 4a  a = ½. 

Para x = 2  f(2) = 3 = g(2) = (1/2)4 + b = 2 + b  b = 1. 

b) Recta tangente en (2, 3) de pendiente 2: y = 3 + 2(x  2) = 2x – 1.

Las funciones son parábolas de vértices (1, 2) y (0, 1) respectivamente, que pasan por el punto (2, 3).

Actividades propuestas 4.

Dada la función f(x) =

ln ²1

 x

x , donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1 halla un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX. Selectividad. Septiembre 05. Opción B

5.

Dada la función f(x) = 6x² – x³. Halla un valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) sea paralela a la recta y = –15x. Selectividad. Curso 06/07. Modelo. Opción B

6.

Se considera la función f(x) = x² + m, donde m > 0 es una constante. a) Para cada valor de m halla el valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Halla el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f(x). Selectividad. Junio 07. Opción A 

Interpretación física de la derivada

Recuerda que:

La velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo, (en el caso en que la función indique, dado el tiempo, el espacio recorrido).

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

dt vde;

dt a dv

Ejemplo:

El espacio recorrido por un vehículo viene dado por e = 1’3t + 0’07t², donde e se mide en metros y t en  segundos.  Determina  la  velocidad  para t  =  1  segundos.  Determina  la  función  velocidad  y  la  función  aceleración. 

Calculamos la derivada: e’= 1’3 + 0’14t. Para t = 1, e’(1) = 1’44 m/s = v(1). La función velocidad es la derivada v = e’= 1’3 + 0’14t. Derivamos para obtener la aceleración: a = v’= 0’14 m/s².

Actividades propuestas

7.

Un coche recorre una distancia e, en kilómetros, a las t horas, siendo e = 22t + 0’4t². Determina su función velocidad y su función aceleración. ¿Es constante la aceleración? Si sigue a esa velocidad, ¿en qué instante sobrepasa la velocidad máxima permitida de 120 km/h?

8.

Al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba la altura (en metros) y, que alcanza a los x segundos es: y = 30x – 4x². Calcula la velocidad a los x = 0, x = 1, x = 3 y x = 4 segundos. Determina también la altura de la piedra a esos segundos.

¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?

9.

Un coche recorre una distancia y, en kilómetros, en un tiempo x dado en horas, dada por la ecuación:

y = 0’1x² + 100x – 50. Determina la velocidad que lleva el coche para x = 1’5 horas.

1.3. Función derivada. Propiedades

Recuerda que:

Si f es derivable en X   se llama función derivada de f a la función que asocia a cada número real de X el valor de la derivada de f en dicho punto. A esta nueva función la designamos por f’, Df o

dx df . Por ejemplo,

En el caso: f(x) = x³ entonces f’(a) = 3·a². Por lo tanto, si f(x) = x³ entonces f ’(x) = 3·x². Pero a la función derivada podemos volverla a derivar, y obtener así la derivada segunda: f ’’(x) = 6·x. Y volver a derivar, obteniendo la derivada tercera:

f ’’’(x) = 6. Y la cuarta: f ^IV)(x) = 0. ¿Cuánto vale la derivada 28 de esa función? ¿Sabes hacerla? ¡Claro que sabes! A partir de la derivada tercera todas las derivadas valen cero.

Las derivadas sucesivas se pueden nombrar: f ’, f ’’, f ’’’, f ^IV), …, f ⁿ⁾, o también Df, D²f, D³f, …, Dⁿ⁾f. 

Actividad resuelta

Calcula la derivada n‐ésima de f(x) = ln(x): 

n n n

x x n

f x

x f x x x f

x

f ( 1) ( 1)!

) ) (

2 )(

1 ) ( ( '' 1 ' ) ( 1 '' ) (

' _{2 3} ⁾  ¹ 



 

 

 





 ^

Actividades propuestas

10.

Comprueba que la derivada n-ésima de las siguientes funciones es la indicada:

1 )

) (

! ) 1 ) ( 1 (

)

( _



 

 

 n

n n

a x x n a f

x x

f 











 

 



 

 

 

 ₂ ⁾ _{1 1}

) 2 (

1 )

2 (

! 1 ) 1 ( ) 2 (

2 2 1 4 2 ) 3

( n n

n n

x x

n x

x f x x

x x f

1 )

) 1 (

! ) 2

1 ( ) 1

( _



 

 

 

n n

x x n x f

x x

f ⁾

cos( 2 )

( cos

)

( ⁾ 







 ax f x a ax n

x

f ^{n n}

n n n

x x n

f x x

f (1 )

)!

1 ( ) 1 ) ( ( )

1 ln(

)

( ^{) 1}





 





 ^{ f(x)cos2x fn)(x)2n1cos(2xn}₂^)

Notación diferencial

La tasa de variación media de una función y = f(x) en el intervalo (a, a + h) es:

h a f h a

f(  ) ( ) siendo el numerador el incremento de la función y el denominador el incremento de la variable. Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la notación:

dx dy

para denotar la derivada de la función y respecto de la variable x, donde dy y dx no son numerador y denominador, sino un todo inseparable. Se lee, derivada de y respecto de x.

Esta notación es útil, sobre todo, si hay distintas variables.

Ejemplo:

 Si S = 4πr² entonces  r dr

dS  8  . 



Si V = πr²h entonces  dr

dV  = 2πr·h y 

dV = πr². dh La función derivada es lineal

Recuerda que:

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir:

(f + g)’(x) = f’(x) + g’(x)

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función:

Si f(x) = c·g(x) entonces f’(x) = c·g’(x).

Estas dos propiedades, que ya conoces del curso pasado, nos indican que el operador derivada, D, es lineal y permiten escribir: D(f + g) = Df + Dg D(cf) = cDf

Operaciones con derivadas

Recuerda que:

Pero también conoces el comportamiento de la derivada con otras operaciones, el producto, cociente, composición….

La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función:

(f · g)’(x) = f ’ (x) · g(x) + f(x) · g’(x)

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, divididos por el cuadrado del denominador:

 

( )²

) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ' (

x g

x g x f x g x x f g

f ^l    

 





La regla de la cadena expresa la derivada de la composición de funciones



f g



( x) en términos de las derivadas de f y g: h(x)



fg



(x) f



g(x)



 h'(x)(f g)'(x) f'



g(x)



g'(x)

o escrito en notación de Leibniz:

dx dg dg df dx df  

Actividades resueltas

Calcula la derivada de y = (x⁷ + 2)⁵. 

Para aplicar bien la regla de la cadena es muy importante que comprendas bien la composición de funciones. En la derivada propuesta tenemos la función potencial “elevar a 5”, cuya derivada conoces bien 5x⁴, y la función x⁷ + 2 cuya derivada es 7x⁶. Aplicamos la regla de la cadena, primero la derivada de la función potencial en el punto x⁷ + 2, y luego multiplicamos por la derivada de esta función: y’ = 5(x⁷ + 2)⁴ · 7x⁶.

Calcula las derivadas de las funciones siguientes y comprueba el resultado: 

a) y = sen²(x)  y’ = 2sen(x) · cos(x) b) y = sen(x²)  y’ = cos(x²) · 2x c)

x x x

f 

  2 ) 2

( 

4 2

) 2 ( ) 2 ( '

x x x

f    d)

2 2

1 1 ) 2

(

x x x x f



  

3 2 2

2

) 1 (

4 ) 1

( '

x x x x f



 

e) f(x)(3x) 3x

x x x

f 

  3 2

) 1 ( ) 3 (

' f) f(x) x²9

9 )

(

'  2

x x x f

Actividades propuestas

11.

Si f y g son dos funciones derivables en todo punto, y se sabe que f(1) = 2, f(2) = 5, g(1) = 1, g(2) = 6, f’(1) = 3, f’(2) = 6, f ’(6) = 4, g’(1) = 1, g’(2) = 3, g’(5) = 1. Determina el valor de: a) (f g)'(2); b) (g f)'(1); c) (g  f)'(2); d)

) 1 ( )' (f  f .

12.

Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables en un punto x. Pruébese que su producto u(x)v(x) es derivable obteniendo la expresión de su derivada: Du(x)v(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x). (Selectividad Septiembre 1995)

2. CÁLCULO DE DERIVADAS

Recuerda que:

Del curso pasado ya conoces las reglas de derivación de funciones. Vamos a repasar algunas de ellas. Si ya sabes derivar con soltura, puedes saltarte este apartado, pero si no es tu caso, es importante que lo revises.

Derivada de la función potencial: La derivada de la función f(x) = x^k, para cualquier valor numérico de k, es f ’(x) = kx^k1. Derivada de la función logaritmo: Si f(x) = loga(x) entonces f ’(x) =

x 1logae.

Derivada de la función exponencial: Si y = a^x entonces y’ = a^x ^ln(a).

Derivada de la función seno: Si f(x) = sen(x) entonces f ’(x) = cos(x).

Derivada de la función coseno: Si f(x) = cos(x) entonces f ’(x) = sen(x).

Actividades resueltas

Observa cómo se han obtenido las derivadas siguientes: 

Función  ^{f(x) = x6} f(x) = x = x^1/2 f(x) = ⁿ x = x^1/n f(x) = 1/x = x^1 f(x) = 1/x² = x^2 Derivada  ^{f’(x) = 6x5}

f’(x) = 2 x

1 f’(x) = (1/n)x^(1/n)1 = (1/n)x^(n-1)/n = nxn

n ¹

1

 f’(x) = (1)x⁻² = ₂¹ x

 f’(x) = 2x⁻³ = ₃2 x



Calcula las siguientes derivadas y comprueba el resultado: 

a) x

x

f 1

)

(  

x x x

f 2

) 1

('  b)

9 ) 4

(

2 3 

x x

x

f 

9 2 ) 3

( '

2 x

x x

f  

c) f(x)³ x  f ’(x) _{3 2} 3

1 x

 d) f(x) = ln(x⁵  7x⁸)  f'(x) = (5 56 )

7

1 _{4 7}

8

5 x x

x x



 

e) f x x x x5

4 )

(  ³   ₂

3 2

5 3

1 ) 1

( '

x x x x

f    f)

3

)3

1 ) (

(

x x x

f   

x x

x x x

f ₂

2

2

) 1 ( ) 1 ( ) 3 (

'   

g)f(x)(2x1)(x²6x3) f'(x)6x²26x12

h) 3

) 4 ) (

( ²



  x x x

f  ₂

) 3 (

) 4 )(

2 ) ( (

' 



  x

x x x

f

Calcula las siguientes derivadas y comprueba los resultados: 

a) 1 cos( )

) ) (

( x

x x sen

f   

) cos(

1 ) 1 (

' x x

f   b) f(x)cos(sen²5x) f'(x)10sen5xcos5xsen(sen²5x) c) f(x)tg(5x7)

) 7 5 ( cos ) 5 (

' ₂

  x x

f d) f(x)cos(sen5x) f'(x)5cos5xsen(sen5x)

e) f(x)2 cos3x

x x x sen

f cos3

3 ) 6

(

'  f)

) ( 1

) ( ln 1

)

( sen x

x x sen

f 

  

) cos(

) 1 (

' x x

f 

g) f(x)ln(sen²(x))

) ( ) 2 (

' x tg x

f  h) f(x)sen(cos(x)) f'(x)sen(x)cos(cos(x)) i) f(x)ln(sen(x)) f’(x) = cotg(x) j) f (x) = ln(cos(x))  f ’(x) = tg(x)

Técnica de la derivación logarítmica

Aunque suponemos que ya la conoces vamos a repasar esta técnica que, en ocasiones, facilita los cálculos. Consiste en aplicar logaritmos a los dos miembros de la función, y a continuación, derivar.

Actividades resueltas

Utilizando derivación logarítmica halla la derivada de f(x) = e^{(x⁵  7x³)}    1) Aplicamos logaritmos neperianos: ln(f(x)) = ln(e^{(x⁵ 7x³)})

2) Utilizamos propiedades de los logaritmos para simplificar el segundo miembro (en este ejemplo, el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base):

ln(f(x)) = ln(e^{(x⁵  7x³)}) = (x⁵  7x³)  ln(e) = (x⁵  7x³) 3) Derivamos los dos miembros de la igualdad: '( ) 5 ⁴ 21 ²

) (

1 f x x x

x

f   

4) Despejamos f’(x): f’(x) = f(x) ^{(5x4 – 21x2) = e(x⁵  7x³)}^{(5x4 – 21x2).}

Derivando la función exponencial llegamos al mismo resultado. Compruébalo.

Calcula  las  siguientes  derivadas  utilizando  la  técnica  de  derivación  logarítmica  y  comprueba  los  resultados: 

a)f(x)=g(x)^h(x) )

) (

) ( ' ) )) ( ( ln(

) ( ' ( ) ( ) (

' ^{( )}

x g

x g x x h g x h x g x

f  ^hx  b) f(x) = x^x  f’(x) = x^x(ln(x) + 1)

c) f(x) = x^sen(x)  ( ))

) ln(

) (cos(

) (

' ^{( )}

x x x sen x x

x

f  ^{sen x}   d)  f(x)^tg(x)x  )

) ( ) ( cos

) ln(

) cos(

) ( ( )

(

' ^{( )} _{2 2}

x sen x x

x x x x sen x

f ^{tg x} 

Derivada de la función inversa

Recuerda que:

La función inversa de la función y = f(x) se define como:

f^1(y) = x  y = f(x)

Por este motivo, recuerda que la gráfica de una función y su inversa son simétricas respecto de la diagonal del primer cuadrante.

Si conocemos la derivada de una función podemos calcular la derivada de su función inversa, pues:

Si f es una función derivable y biyectiva en X con 0  f’(X) entonces f^1 es derivable en f(X) y: (f^1)’(y) =

 

y f f' ¹

1

 

Demostración:

Para comprobar que f^1 es derivable y calcular su derivada debemos calcular el límite:

b y

b f y b f

f

b

y 

 ^  ^



 ( ) ( )

lim ) ( )'

( ^{1 1 1}

Pero x = f^1(y) y sea a = f^1(b). Además, por definición de función inversa: y = f(x) y b = f(a). Por ser continua, cuando y  b, entonces x  a, por lo que el límite anterior es equivalente a:

) ( ) lim ( ) ( )' ( ¹

a f x f

a b x

f

a

x 

 





Por tanto

) ( '

1 ) ( ) ( lim 1 ) ( )' ( ¹

a f a x

a f x b f

f

a x





 



 .

Por tanto existe el límite y su valor es:

) ( '

1 ))

( ( '

1 )

( ' ) 1 ( )'

( ¹ _{1 1}

b f f b f a f b f

f^   _  _

 , c.q.d.

Derivada de las funciones inversas de las funciones trigonométricas

La función arco seno es la función inversa de la función seno y se define por tanto como:

y = arcsen(x)  x = sen(y) Si la definimos en el intervalo (π/2, π/2) es biyectiva. ¡Compruébalo!

Entonces su derivada es:

y = arcsen(x)  y’ = 1 2

1

x Demostración:

Aplicamos la derivada de la función inversa: (f ^1)’(x) = ( ) '

1

1 x f

f ^ =

)) ( cos(

1 x arcsen Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1, por tanto: cos(x) 1sen²(x)

)) ( cos(

1 x arcsen =

2

2 1

1 )) ( ( 1

1

x x

arcsen

sen  

 , c.q.d.

De forma similar se demuestran las derivadas de la función arco coseno y arco tangente.

Recuerda que:

f(x) = arcsen(x)  f’(x) = 1 2

1

x y = arcsen(f(x))  y’=

)2

( 1

) ( '

x f

x f

 y = arcsen(e^x)  y’ =

x x

e e 1 2

f(x) =arccos(x)f’(x) = 1 2

1

x

 y =arccos(f(x)) y’=

)2

( 1

) ( '

x f

x f

 

y = arccos(x²)  y’=

1 4

2 x x



 f(x) = arctg(x)  f’(x) =

1 2 1

x y = arctg(f(x))  y’= ₂ ) ( 1

) ( '

x f

x f

 y = arctg(x³)  y’= ²₆ 1

3 x x



Actividades resueltas

Calcula las siguientes derivadas y comprueba los resultados: 

a) f(x)e^{ln(arctg x)} 

x x x

f 2(1 )

) 1 (

'   b) ₂²

1 arccos1 )

(

x x x

f 

  

1 2

) 2 ( '

x x

f  

c) x

arcsen x x

f 3 2cos

2 cos 3 5

) 1

( 

  

x x

f 3 2cos

) 1 (

'   d)

x arctg senx

x

f 4 5cos

) 3

(   

x x

f 5 4cos

) 3 (

'  

Derivada de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas

La función argumento seno hiperbólico es la función inversa de la función seno hiperbólico y se define por tanto como:

y = argsh(x)  x = sh(y) Entonces su derivada es: y = argsh(x)  y’ =

1 2

1

x

Utilizaremos esta derivada cuando estudiemos las integrales, pues nos permitirá obtener algunas.

Demostración:

Aplicamos la derivada de la función inversa: (f^1)’(x) = ( ) '

1

1 x f

f ^ = ^{ch arg}



^1sh

 

^x



Sabemos que ch²(x)  sh²(x) = 1, por tanto: ch(x) 1sh²(x)

)) ( (arg

1 x sh

ch =

2

2 1

1 )) ( (arg 1

1

x x

sh

sh  

 , c.q.d.

De forma similar se demuestran las derivadas de la función argumento coseno y argumento tangente.

Recuerda que:

f(x) = argsh(x)  f’(x) = 1 2

1

x y = argsh(f(x))  y’=

)2

( 1

) ( '

x f

x f

 y = argsh(e^x)  y’ =

x x

e e 1 2 f(x) = argch(x)  f’(x) =

1 1

2 x

y = argch(f(x)) y’=

1 ) (

) ( '

2 x f

x f

y = argch(x²)  y’=

1 2

4 x

x

f(x) = argth(x)  f’(x) = ₂

1 1

x y = argth(f(x))  y’ =

)2 ( 1

) ( '

x f

x f



y = argth(x³)  y’ = ²₆ 1

3 x x



Actividades propuestas

13.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) y⁶5x¹¹; b)

7 3 3

3

4 2



  x

x

y x ; c)

3 5 4

7 ) 4 3 (

x x

y x   ; d)

5 2

3 7

  x

y x .

14.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) ³₅ ⁹



^{3 7 5 5}



³

6 4

7

2 x x

x x

y x 



 

b) x x

x x x y x

5 2

) 6 4 )(

5 (

4 3 3





  c)

4 5 2

2 4

6 4

5 3















 

x x

x

y x d) ³5 5 ⁵₅

x x

y  

15.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a)

x x

e tg e x

f ₃

3

1 ) 1

( 

 

b) f(x)(23x)sh(23x) c)

x tg senx

x

f 3 2cos

9 ) 4

( 

  d)

xsenx x

x x x senx

f 

  cos ) cos (

16.

Ya sabes que la función tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, las funciones hiperbólicas se definen utilizando la función exponencial. Comprueba las derivadas de la tabla siguiente de tg(x) =

) cos(

) (

x x sen ,

) 2

( e^x e ^x

x sh

 

 ,

) 2

( e^x e ^x

x ch

 

 , y de

) (

) ) (

( ch x

x x sh

th  .

f(x) = tg(x)  f’(x) = 1 + tg²(x) y = tg(f(x)) y’=(1+tg²(f(x)))f’(x) y = tg(x³)  y’=(1+tg²(x³))(3x²) f(x) = sh(x)  f’(x) = ch(x) y = sh(f(x))  y’ = f ’(x)ch(f(x)) y = sh( x )  y’ =

x x ch

2

f(x) = ch(x)  f’(x) = sh(x) y = ch(f(x))  y’ = f ’(x)sh(f(x)) y = ch(ln(x))  y’ =

x x sh(ln( ) f(x) = th(x)  f’(x) = 1th²(x) y = th(f(x))  y’=f’(x)(1-th²(f(x))) y = th(x⁴)  y’= (4x³)(1th²(x⁴))

17.

Utiliza derivación logarítmica para calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) y = (3x)^{x⁵  9x³} b) y = ((2x+7)^{5x³  6x²}) c) y = (x + e)(4x⁵  8x³)⁵ d) _f(x) _(x^x₎^x

18.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) y =

senx arcsen senx



 4

4 b) ye^{arccos 6x8} c) )

2 1 ( 7

x2

arctg x sen y



 d)

16 2

arccos 5 x y x





19.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) y =

shx sh shx



 5

arg 5 b) y 2e^{argch 7x3} c) )

16 25

6 (arg 2

x2

th x sh y



  d) )

3 5

arg sen2x2

ch senx y





3. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.1. Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema de Rolle

El teorema de Rolle nos indica bajo qué condiciones podemos asegurar que hay un punto con tangente horizontal.

Sea f: [a, b]   una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b) entonces existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que f’(c) = 0.

Demostración

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo y un valor mínimo absolutos en dicho intervalo. Pueden ocurrir dos casos:

1.- Estos valores máximos y mínimos no se alcancen en el interior del intervalo. Entonces se alcanzan en los extremos a y b.

Pero al ser por hipótesis f(a) = f(b) entonces el valor máximo coincide con el valor mínimo y la función es constante. Por tanto f’(c) = 0 para todo c  (a, b).

2.- En caso contrario el máximo o el mínimo o ambos pertenecen al interior del intervalo. Sea por ejemplo   (a, b) el valor máximo. Al ser la función derivable en (a, b), existe f’(). Por ser  un máximo, la función es creciente para valores x

menores a  por lo que ( ) ( )0











 x

f x lím f

x

. Y es decreciente para valores x mayores a  por lo que ) 0

( )

( 











 x

f x lím f

x

. Al existir la derivada ambos límites deben coincidir y para ello: f’() = 0.

Análisis de las condiciones

Basta que una de las condiciones no se verifique, para que pueda la función no tener un punto de tangente horizontal.

Si f(a)  f(b) no tiene que tener un punto de tangente

horizontal

Si no es continua en [a, b] no tiene que tener un punto

de tangente horizontal

Si no es derivable en (a, b) no tiene que tener un punto

de tangente horizontal Sin embargo si se verifican las hipótesis, entonces existe un punto en el que la tangente es horizontal.

Actividades resueltas

Dos  coches  de  carreras  parten  al  mismo  tiempo  y  del  mismo  lugar  y  llegan  a  la  meta  empatados.

 

Demuestra que en algún momento llevaron la misma velocidad. 

Llamamos f y g a las funciones que indican el espacio recorrido por cada coche, y sean a el instante de partida y b el de llegada. Las funciones f y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Definimos una función h(x) = f(x) – g(x) que verifica las condiciones del teorema de Rolle, es continua en [a, b], derivable en (a, b) y h(a) = f(a) – g(a) = 0 = h(b) = f(b) – g(b). Por tanto existe un instante c en el que h’(c) = 0, luego f’(c) – g’(c) = 0, y f’(c) = g’(c).

Determina el valor de b para que la función f(x) = x² – 3x + 5 verifique el teorema de Rolle en el intervalo  [1, b] e indica dónde se verifica la tesis. 

La función es continua y derivable en toda la recta real luego lo es en cualquier intervalo [1, b]. Queremos que f(1) = f(b), por tanto f(1) = 3 = b² – 3b + 5, por lo que b = 2. f'(x) = 2x – 3 = 0, por lo que el punto c donde se anula la derivada es c = 3/2

[1, 2].

Teorema del valor medio

Sean f, g: [a, b]   dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b). Existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que: (f(b) – f(a)) g’(c) = (g(b) – g(a))f’(c).

Demostración

Construimos la función h: [a, b]  ; h(x) = (f(b) – f(a)) g(x) – (g(b) – g(a))f(x). La función h es continua en [a, b] pues es suma de funciones continuas, f y g, multiplicadas por números, (f(b) – f(a)) y (g(b) – g(a)) que existen. La función h es derivable en (a, b) pues está formada por funciones derivables. Además h(a) = h(b). En efecto: h(a) = (f(b) – f(a)) g(a) – (g(b) – g(a))f(a) = f(b) g(a) – g(b) f(a), y h(b) = (f(b) – f(a)) g(b) – (g(b) – g(a))f(b) = – g(b) f(a) + f(b) g(a), por lo que son iguales.

La función h verifica las condiciones del teorema de Rolle, por lo que existe un punto c de (a, b) en el que h’(c) = 0 = (f(b) – f(a)) g’(c) – (g(b) – g(a))f’(c).

Corolario (Teorema del valor medio)

Una consecuencia del teorema anterior es este corolario, que también recibe el nombre de teorema del valor medio.

Sea f: [a, b]   una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Existe un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que f’(c) =

a b

a f b f



 ( ) )

( .

Nos garantiza bajo qué condiciones existe un punto en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

Demostración

En el teorema anterior tomamos como función g(x) = x, que es continua y derivable en toda la recta real. Como g’(x) = 1,  sustituimos: 

0 = (f(b) – f(a)) g’(c) – (g(b) – g(a))f’(c) = (f(b) – f(a)) 1 – (b – a))f’(c). De donde: f’(c) =

a b

a f b f



 ( ) )

( .

Actividades resueltas

Se  considera  la  función: 













 

-2 x si

-2 x si )

( 3

2

m x

nx x x

f

.  a)  Determina  m  y  n  para  que  se  cumplan  las 

hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [4, 2]. b) Hallar los puntos del intervalo  cuya existencia garantiza el teorema.          

Selectividad Junio 1999 

a) El teorema del valor medio requiere que la función sea continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto.

La función está definida a trozos por funciones polinómicas que son siempre funciones continuas y derivables, luego el único punto dudoso es x = 2.

Para que sea continua debe verificarse que (2)² + n(2) = (2)³ + m  4 – 2n = 8 + m  12 = 2n + m. 

Para que sea derivable:











 

‐2 x        si  x

‐2 x    si  n ) x x ( '

f ₂

3

2 en x = 2 debe verificarse que: 2(2) + n = 3(2)²  4+n = 12  n = 16

Por tanto 12 = 2(16) + m  m = 12 – 32 = 20, y













 

‐2 x     si  x

‐2 x    si  x ) x

x ( f

20 16 3

2 , verifica las hipótesis del teorema en [4, 2].

b) El teorema garantiza que existe un punto c  (a, b) en el que f’(c) =

a b

a f b f



 ( ) )

( .











 

-2 x si 3

-2 x si 16 ) 2

(

' ₂

x x x

f debe ser:

3 38 6 76 6

64 16 28 4

2

4 16 4 20

2^{3 2}     













 



 ( ) ( )

) (

)) ( ) ((

) ( a b

) a ( f ) b (

f .

Igualamos ambas ramas a 38/3 y obtenemos: 2x + 16 = 38/3  x = 38/6 – 8 = –10/6  1’666 > 4.

3x² = 38/3  2

3 1 6 3 38 9

38   

 '

x no pertenece al intervalo.

Solución: c = –10/6  (4, 2).

Actividades propuestas 20.

Se considera la función: f(x) =

x senx cos 2

1





. Se pide: Comprueba la existencia de, al menos, un punto c є  [π,  π]    tal  que  f’’(c)  =  0.  (Sugerencia:  Utiliza  el  teorema  de  Rolle).  Demuestra  que  en  c  hay  un  punto  de 

inflexión.       Selectividad. Curso 05/06. Modelo. Opción B 

21.

Sea: f(x) =

2 1 x

x a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f en x = 0. B) Estudia cuándo se verifica f’(x) = 0. Puesto que f(1) = f(1), ¿existe contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo [1, 1]? Selectividad. Curso 08/09.

Nota: Observa que la función no es derivable en (1, 1) luego no se verifican las hipótesis del teorema.

3.2. La regla de L’Hôpital

Sean f y g dos funciones derivables en un entorno del punto x = a. Si

( )  0



f x lím

a

x ,

( )  0



g x lím

a

x y existe el límite )

( '

) ( lim '

x g

x f

xa , entonces también existe el

) (

) lim (

x g

x f

xa y es:

) (

) lim (

x g

x f

xa =

) ( '

) ( lim '

x g

x f

xa .

Demostración

Para simplificar la demostración vamos a suponer que f(a)0 y que g(a)0.

a x

) a ( g ) x ( g x a

) a ( f ) x ( f

) a ( g ) x ( g

) a ( f ) x ( f ) x ( g

) x ( f







 

  . Luego

) x ( ' g

) x ( ' lím f

a x

) a ( g ) x ( g x a

) a ( f ) x ( f ) lím x ( g

) x ( lím f

a x a

x a

x   







 .

La regla de L’Hôpital también puede usarse si 

f(x) lím

a

x y 

g(x) lím

a

x , e incluso si x tiende a .

Para demostrarlo basta tener en cuenta que si



 ) x ( g

) x (

f entonces

0 0 1 1



 ) x ( f

) x ( g ) x ( g

) x ( f

Actividades resueltas

Calcula 

x cos xsenx lim

x_01 . 

Como si llamamos f(x)xsenx; g(x)1cosx se verifica que 0 0 0



 

 f(x) limg(x) lim

x

x , podemos aplicar la regla de