9. Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas... 1

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(1). 9. Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. Índice. 9. Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas. ................................ 1 9.1. Introducción .......................................................................................................................................................................... 1 9.2. Número complejos .............................................................................................................................................................. 2 9.3. Conjugado, módulo y argumento de un número complejo ............................................................................... 3 9.4. Producto con números complejos ................................................................................................................................ 4 9.5. Potencias de números complejos. Fórmula de Moivre ....................................................................................... 5 9.6. Raíces de los números complejos ................................................................................................................................. 5 9.7. Aplicaciones geométricas de los números complejos ......................................................................................... 6 9.8. Resumen .................................................................................................................................................................................. 8 9.9. Conclusión .............................................................................................................................................................................. 8 9.10. Bibliografía .......................................................................................................................................................................... 8. Oposiciones de Secundaria (Matemáticas).

(2) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. 9. Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. LEGISLACIÓN. 9.1. Introducción Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene determinado por el siguiente marco legislativo estatal y autonómico: • Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre. • Decreto 48/2015 de 14 de mayo del Consejo de Gobierno. • Decreto 52/2015, de 21 de mayo, del Consejo de Gobierno.. CURRÍCULO. Los números complejos es una materia que no aparece en el currículo de matemáticas de los institutos hasta que los alumnos se encuentran en bachillerato. El temario que se puede impartir posee un carácter muy abierto y depende en gran parte del docente decidir hasta qué punto quiere profundizar en él. Es por eso que –en función de la importancia que se le otorgue a este tema en la programación- puede llegar a ser objeto de poca importancia, dedicando más tiempo y empleando una mayor energía en otras unidades en detrimento de los números complejos; o, por el contrario, dedicar demasiadas energías a consolidar las bases de este tema.. O.D.. El apartado dedicado a los números complejos en el marco legislativo no es muy grande, incluso, los alumnos y alumnas que cursen un bachillerato distinto a la modalidad de Ciencias y Tecnología, pueden terminar este proceso formativo (bachillerato) sin haber adquirido los conocimientos de qué es un número complejo o siquiera su existencia. En el caso de los números complejos, como alumnos y alumnas, les puede facilitar enormemente su comprensión contextualizar los contenidos de la unidad. Saber qué motivó su descubrimiento, ayuda en gran manera a acercarte a los conocimientos. Presentar el origen y la historia de los números complejos de manera atractiva para el alumnado, puede resultar, sin duda alguna, una estrategia de orientación didáctica acertada. Otra forma de asegurarnos de que nuestro alumnado adquiere las competencias que necesita para el correcto empleo y consolidación de las bases relativas a los números complejos es la utilización de herramientas como Geogebra planteando diversos ejercicios en los que se trabajen las distintas propiedades y operaciones de los números complejos.. HISTORIA. Tal como ocurrió con el nacimiento de los números enteros, los racionales y los reales, los números complejos surgieron por el interés y la necesidad de dar solución a un problema existente: no toda función polinómica tiene una raíz real. El ejemplo más notable es el de que no existe ningún número real x tal que x2+1 = 0. Este inconveniente es tan grave que ya en el siglo XVI los matemáticos sintieron la necesidad de inventar un número, que por imaginado llamaron i = √–1 para procurarse las soluciones de dicha ecuación (Euler en 1777 quien lo llamó así; Leibniz en el siglo XVII decía que √-1 «es una especie de anfibio entre el ser y la nada»). En 1843 Gauss y Hamilton definieron un complejo como una pareja de números reales dotados de ciertas propiedades especiales. A partir de ese momento, y después de que el nuevo número i demostró su compatibilidad con las operaciones ordinarias, resultó que cualquier ecuación, sea cual sea su grado, admitía soluciones del tipo a + bi siendo a y b números reales. Los beneficios repercutieron en el álgebra de los polinomios que se simplificó notablemente, así como en muchos otros campos tales como la Geometría Analítica y el Análisis. Así, funciones del tipo f(z) = a0+ a1 z+a2z2+... definidas como un polinomio de infinitos términos, son muy importantes en el campo analítico pues permiten expresar, mediante ellas, otras funciones como ex, log (1 + x), sen x, ... para todos o algunos valores de x. Las funciones de variable compleja y su estudio, la Teoría de Funciones Analíticas, constituyen hoy en día uno de los campos más activos y con problemas aún sin resolver dentro de la Matemática. A continuación, desarrollaremos el tema siguiendo el índice anteriormente expuesto. Página 1 de 9.

(3) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. 9.2. Número complejos. Deseamos ampliar el cuerpo de los números reales de tal modo, que el nuevo cuerpo contenga un subcuerpo isomorfo a ℝ, y en donde la ecuación x2 + 1 = 0 tenga solución. En ℝ2, las operaciones:. ìï( a, b ) + ( a ', b ') = ( a + a ', b + b ') R2 ´ R2 ® R2 í "(a, b),(a ', b ') Î R 2"l Î R , lo dotan de estructura de ℝl a , b = l a , l b ( ) ( ) ïî espacio vectorial de dimensión 2. Consideremos el grupo abeliano (ℝ2,+), y definamos el producto (a,b).(c,d)=(ac − bd, ad + bc) . Sin dificultad se comprueba que (ℝ2,+,·) es un cuerpo conmutativo, en el cual: • • •. (0,0) es el elemento neutro aditivo (1,0) es el neutro multiplicativo Si z=(a,b) entonces -z=(-a,-b). •. Si z=(a,b)≠(0,0) entonces z. -1. -b ö æ a = ç 2 2 , 2 2 ÷ è a +b a +b ø. A este cuerpo se le llama el cuerpo de los números complejos. En lo sucesivo se notará por ℂ, y a sus elementos los llamaremos números complejos. Nota: La diferencia entre ℝ2 y ℂ es cuestión de matiz. ℝ2 lo vemos como un espacio vectorial real 2-dimensional y ℂ como un cuerpo conmutativo. Como conjuntos son idénticos.. 9.2.1. Inmersión de ℝ en ℂ ì R®C , se comprueba îa ! (a, 0). Veamos que este cuerpo es el que buscamos: Si consideramos la aplicación: í. inmediatamente que es un monomorfismo de cuerpos. Así pues, ℝ es isomorfo a un subcuerpo de ℂ. Podemos considerar por tanto ℝ ={(x,0): x∈ℝ}⊆ℂ con la identificación a=(a,0) ∀a∈ℝ. Además la estructura de cuerpo de ℝ se mantiene viéndolo como subconjunto de ℂ:. ì(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) ï (a, 0)·(b, 0) = ( Ab, 0) ï "a, b Î R í ( a , 0) = ( a , 0) ï ïî a ¹ 0, (a, 0) -1 = (a -1 , 0) 9.2.2. Unidad imaginaria Consideremos ahora ℝ2 como espacio vectorial. Una base de ℝ2 es el conjunto {(1,0),(0,1)}. Así cada número complejo (a,b) se expresa de forma única como: (a,b)=a(1,0)+b(0,1). En lo sucesivo denotaremos (0,1)≡i, (1,0)≡1. Además se verifica que i2=(0,1)(0,1)=-1. En virtud de esto, si z∈ℂ, entonces lo podemos escribir como z=a+bi de forma única, en donde a,b∈ℝ. "i" recibe el nombre de unidad imaginaria, "a" el de parte real de z, y "b" parte imaginaria de z. (a=Re z y b=Im z). Cuando un número complejo lo expresemos de la forma z=a+bi con a,b∈ℝ diremos que está en forma binómica. Un número se dice que es imaginario puro si su parte real es cero.. 9.2.3. Representación geométrica de los números complejos Podemos representar geométricamente los números complejos. A cada número complejo z=a+bi, podemos hacerle corresponder el punto P del plano cartesiano de coordenadas P=(a,b). De esta forma a todo número complejo z le corresponde de manera biunívoca un punto del plano cartesiano al que llamaremos afijo. Mediante esta aplicación, los números complejos de la forma a+0i se corresponden de manera biunívoca con el eje 0X, al que llamaremos eje real. De igual manera, los números de la forma 0+bi con los puntos del eje 0Y, eje imaginario.. Página 2 de 9.

(4) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. 9.2.4. Orden en ℂ. Imposibilidad de un orden total. ì(a + bi) £ (c + di) Û a £ c, b £ d . î (a + bi) £ (c + di) Û a £ c, b £ c. En ℂ, podemos definir varias relaciones de orden; por ejemplo: í. Puede demostrarse sin dificultad, que las dos relaciones definidas verifican las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero sin embargo ninguna de las dos es una relación de orden total. (Compruébese con z=3+7i y z’=5+2i). Justifiquemos que no es posible definir una relación de orden total < en ℂ. En caso de que exista una relación de orden total en ℂ tiene que cumplir las siguientes propiedades: a) Se verifica una y sólo una de las siguientes cosas: z=z' ó z<z' ó z'<z ∀z,z'∈ℂ. b) Si z<z', entonces z+w<z'+w ∀w∈ℂ c) c) Si z>0 y z'>0, entonces zz'>0. Como estamos suponiendo que existe un orden total en ℂ, e i≠0, se debería tener i<0 ó i>0. Suponiendo que i>0 obtendríamos, tomando z=z’=i en c), que i2 =-1>0, con lo que 1<0. Por otro lado, aplicando de nuevo c) esta vez a z=z'=-1 (sabemos que -1>0), obtendríamos 1>0, lo que contradice a). Razonando de forma análoga si suponemos que i<0 llegaríamos también a contradicción. Por tanto no podemos definir un orden total en ℂ.. 9.3. Conjugado, módulo y argumento de un número complejo Vamos a estudiar ahora conceptos nuevos fundamentales en la teoría de los números complejos: el conjugado y el módulo de un complejo.. 9.3.1. Conjugado de un número complejo Si z=a+bi∈ℂ se define el conjugado de z como z = a – bi ∈ ℂ. Examinemos la aplicación que asocia a cada número complejo su conjugado asociado. Geométricamente, se reduce a la reflexión del plano complejo con relación al eje real.. Propiedades del conjugado de un número complejo. ì i) z + w = z + w ï ii ) ï zw = z·w ï í æ1ö 1 iii ) z ¹ 0, ç ÷= ï èzø z ï ï z=z î iv). Las propiedades i) y ii) nos permiten afirmar que la conjugación z ! z es un endomorfismo de cuerpos. La propiedad iv) nos permite deducir que la conjugación es inyectiva ya que si. z = w Þ z = w Þ z = w . Como la conjugación es trivialmente sobreyectiva, se tiene que la conjugación es un automorfismo de ℂ. Además deja invariantes a todos los números reales.. 9.3.2. Módulo de un número complejo Dado z=a+bi∈ℂ, se llama módulo de z al número real no negativo: z = a 2 + b 2 = 1. 2. 3. 4. 5.. z z .. El único complejo de módulo nulo es 0∈ℂ. El módulo del producto de dos números complejos coincide con el producto de sus módulos. Para cada z∈ℂ, se cumplen las desigualdades |Re(z)|≤|z| y |Im(z)|≤|z|. (Desigualdad triangular): Dados z,v∈ℂ, |z+v|≤|z|+|v|. Dados z,v∈ℂ, se cumple que ||z|+|v||≤|z-v|.. Demostración: Las tres primeras propiedades se deducen de modo inmediato a partir de la definición de módulo. Para la cuarta, observamos que:. | z + v |2 = ( z + v)( z + v) =| z |2 + z v + z v + | v |2 = (| z |2 +2 Re( zv)+ | v |2 £ £| z |2 +2 | z || v | + | v |2 =| z |2 +2 | z || v | + | v |2 = (| z | + | v |) 2 . Para probar la última desigualdad, basta aplicar la anterior como sigue: Página 3 de 9.

(5) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. | z |=| v + | z - v |£| v | + | z - v | y | v |=| (v - z ) + z |£| z | + | v - z |Þ| z | - | v |£| z - v | y | v | - | z |£| z - v | Luego,|| z | - | v ||£| z - v | . 9.3.3. Argumento de un número complejo La posición del afijo (P) de un complejo z≠0 en el plano, queda totalmente determinada prefijando su distancia z desde el origen de coordenadas hasta P, y al !!!" ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo OX, tomando como sentido positivo el contrario al de avance de las agujas del reloj. . El argumento de un número complejo z=a+bi≠0 es la medida de este ángulo. Lo denotaremos por Arg(z).. Luego el argumento de z queda determinado salvo un múltiplo de 2π, es decir, Arg(z) = {θ + 2kπ : k ∈ℤ} donde θ es cualquier ángulo que defina la posición de z. Llamaremos argumento principal de z, y lo denotaremos por arg(z), al único elemento de Argz que cumple la condición −π < arg(z) ≤ π . Se puede demostrar que si z∈ℂ*:. ì z Î R2 ® p ï arg(z) í Im z * ï z Î C \ R ® 2arctg | z | + Re z î Notar que para z=0 el argumento no está definido. Sea z=a+bi es un complejo distinto de cero. Puesto que a=|z|cosθ, y b=|z|senθ con θ argumento principal de z, entonces z=|z|(cosθ+isenθ). Esta expresión recibe el nombre de expresión trigonométrica. (Para cualquier elemento otro argumento de z que no sea el principal). El par (|z|,θ) o |z|θ recibe el nombre de forma polar del complejo. Señalemos algunas de las propiedades del conjunto de argumentos de un número complejo: 1. Si z,w∈ℂ*, entonces Arg(zw)=Arg(z)+Arg(w). (Notar que esta igualdad no es cierta si en lugar de tomar todo el conjunto de argumentos, tomamos el argumento principal. Por ejemplo z=w=-1, se tiene que arg(z)=arg(w)=π pero en cambio arg(zw)=0). 2. Arg(z/w)=Arg(z)-Arg(w) ∀z,w∈ℂ*. 3. Arg(zn)=nArg(z)+2πZ 4. Arg( z ) = −Arg(z) Ejemplo: Consideremos la unidad imaginaria i=(0,1). Tenemos, entonces, | i |= 02 + 12 = 1 y . argi =. p 2. , por tanto, i=1π/2.. 9.4. Producto con números complejos Aunque ya vimos también el producto de complejos estudiemos el caso en el que los complejos vienen expresados en forma polar. Si z=ρθ y z’= ρ’θ, son dos números complejos no nulos, entonces:. | zz ' |=| z || z ' | ì i) ( rq )( r 'q ' ) = ( rr ')q +q ' , es decir, í îarg( zz ') = arg( z ) + arg( z ') | z : z ' |=| z |:| z ' | ì ii) ( rq ) : ( r 'q ' ) = ( r : r ')q -q ' , es decir, í îarg( zz ') = arg( z ) - arg( z ') Demostración:. Página 4 de 9.

(6) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. i) ( rq )( r 'q ' ) = r (cos q + isen q ) r '(cos q '+ isen q ') =. ii) Esta igualdad es equivalente a = rr '[(cos q cos q '- sen q sen q ') + i(cos q sen q '+ sen q cos q ')] = rq = ( r : r ')q -q ' ( r 'q ' ) , que es cierta según i).. = rr '[(cos(q + q ') + i(sen(q + q ')] = ( rr ')q +q '. 9.5. Potencias de números complejos. Fórmula de Moivre Teorema: Para cada número complejo z=ρθ≠0 y cada n∈ℤ ocurre que: i) ii). (ρθ)n=( ρn) nθ, es decir, |zn|=|z|n y arg(zn)=narg(z). n En particular, para θ∈ℝ y n∈ℤ se cumple la fórmula de Moivre: (cos q + isen q ) = cos nq + isennq .. Demostración: Distinguimos para i): Si n>0, esta fórmula se obtiene aplicando reiteradamente 9.4.i. Si n=0, por definición es (ρθ)0=1, y entonces (ρθ)0=(ρ0)0θ. Si n<0, ocurre que (ρθ)n=1: (ρθ)-n=1: (ρ-n)0+nθ. Lo establecido en ii) es el caso particular de i) para ρ=1. Observaciones: A partir de la fórmula de Moivre pueden obtenerse las razones trigonométricas de ángulos nθ en función de las de θ. Según la fórmula del binomio:. cos nq + isennq = (cos q + isen q )n =. ænö ænö ænö ænö æ nö = ç ÷ cos n q + i ç ÷ cos n -1 q senq - ç ÷ cos n -2 q sen2q - i ç ÷ cosn -3 q sen3q + ... + i n ç ÷ sen nq è0ø è1ø è 2ø è 3ø è nø Basta con igualar las partes reales para obtener nθ y las imaginarias para sennθ.. 9.5.1. Fórmula de Euler. eiq = cos q + isenq ∀z∈ℂ se puede poner z = r.eiq Observaciones: ei2k p =1, ei p = -1, ∀k∈ℤ.. eiq ·eiq ´ = ei (q +q ´) . - iq. (eiq )-1 = e-iq = e . (eiq )n = ei.n.q , ∀n∈ℤ,. 9.6. Raíces de los números complejos Sea n∈ℕ. Se dice que w∈ℂ es raíz n-ésima de z∈ℂ si wn=z. Cualquier número complejo no nulo ρθ tiene n raíces n-ésimas distintas, que son los n números complejos. rj k en los que: r = n r > 0, jk =. q + 2kp n. para k = 0,1,..., n - 1.. Demostración:. Dado el número complejo ρθ≠0, resulta que otro número complejo rj es raíz n-ésima de ρθ si ocurre que. (r ) j. n. = rq , es decir, ( r n ) = rq , pero esta igualdad equivale a que, para algún k∈ℤ sea: nj. ì r = n r , con r>0 ì rn = r ï o bien í í q + 2 kp para k Î Z înj = q + 2kp ïj = î Como ρ es positivo, tiene una raíz n-ésima real y positiva, de manera que r queda biunívocamente determinado. Téngase en cuenta que sólo hay n raíces n-ésimas rφstintas, que son las que se obtienen para k=0,1,…,n-1, pues si k1,k2∈ℤ y k1-k2 es múltiplo de n, los correspondientes argumentos φ1 y φ2 difieren en un múltiplo entero de 2π y, por tanto, rj1 = rj2 . Observaciones:. Página 5 de 9.

(7) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas. 1. De la proposición anterior se deduce inmediatamente que los afijos de las raíces n-ésimas de un número complejo no nulo son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen. 2. El cuerpo ℝ fue ampliado a ℂ con la condición de que la ecuaciónx2+1=0 tuviera alguna solución. Pero en ℂ, tal y como deja entrever la proposición anterior, no sólo la ecuación anterior tiene soluciones sino que, según establece el Teorema Fundamental del Álgebra, cualquier polinomio complejo no constante tiene alguna raíz compleja. La primera demostración conocida de este teorema se debe a Gauss.. Ejemplo: Calculemos las potencias de i =1π/2: i1 = i; i2 = –1 ; i3 = –i ; i4 = 1, y a partir de aquí se repiten cíclicamente. En el plano complejo se representan de la manera que se indica a la derecha. La fórmula de Moivre también es cierta ∀n ∈ ℤ y z ≠ 0 puesto que: − si n = 0 entonces z0 = 1 = r0(cos0 + isen0). − si n < 0 entonces z n =. 1 1 æ 1 ö = - n0 = ç - n ÷ = r n nf -n z r - nf è r ø0-( - nf ). 9.7. Aplicaciones geométricas de los números complejos Las aplicaciones más notables de los números complejos radican fundamentalmente en el estudio de ciertas transformaciones geométricas, como pueden ser las traslaciones, giros, etc. Pasemos a estudiarlas.. 9.7.1. Traslaciones Inherente a todo espacio vectorial es el concepto de traslación. La operación suma, respecto de la cual el espacio vectorial es un grupo abeliano, permite asociar a cada vector una traslación. Sea a∈ℂ. La aplicación:. ta : C ® C z ! z+a. es una biyección de ℂ en ℂ. denominada traslación definida por el complejo a. Se llama así por su significado geométrico. Si P es el afijo de z, entonces el afijo P' de ta(z)= z+a, se obtiene sumando a P un representante del vector libre correspondiente al complejo “a”. Es decir, P' se obtiene trasladando P según el vector libre asociado al complejo "a".. Puede comprobarse que el conjunto de todas las traslaciones respecto de la operación composición. (ta ! tb = ta +b ) es un grupo abeliano isomorfo a (ℂ,+).. Podemos obtener unas ecuaciones para las traslaciones. Si a=m+ni y z=x+yi, su trasladado z'=x'+y'i se obtiene así: x'+y'i=(m+ni)+(x+yi)=m+x+i(n+y), con lo que identificando las partes reales e imaginarias se obtiene que:. ìx ' = x + m . í îy' = y +n Ejemplo: Dado z=3+i hallar su trasladado por la traslación asociada a 2-i. Aplicando las ecuaciones, el trasladado tiene por coordenadas: x'=3+2, y'=1-1=0, es decir el trasladado es z'=5.. Página 6 de 9.

(8) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. 9.7.2. Giros La transformación:. f :C ® C donde a=eαi es un número complejo de z ! c + ( z - c)a. módulo 1 y c∈ℂ (ambos prefijados previamente), recibe el nombre de giro de centro C (afijo de c) y ángulo α. Se llama así por su significado geométrico. Veamos cómo se obtiene el punto P= (afijo de c+(z-c)a) a partir de P (afijo de z): |z'-c|=|a||z-c|=1|z-c|=|z-c| luego z' dista de c lo mismo que z.. Arg(z'-c)=Arg((z-c)a)=Arga+Arg(z-c)=α+Arg(z-c) luego el ángulo que forma CP con CP ' es α. En resumen, P' es el girado de P en giro de centro C y ángulo α. Observación: Si α=π y c=0, entonces f(z)=-z. Se obtiene así la simetría central como caso particular de un giro. Al igual que las traslaciones podemos expresar los giros mediante ecuaciones. Su obtención es muy parecida a la de las traslaciones. Si z=x+yi, c=m+ni y f(z)=x=+y=i entonces:. ìx ' =m+(x-m)cosa -(y-n)sena æ x '- m ö æ cos a Þç í ÷=ç è y '- n ø è sena î y ' =n+(x-m)sena -(y-n)cona. - sena öæ x - m ö ÷ç ÷ cos a øè y - n ø. Ejemplo: Obtener el transformado de -4+2i respecto el centro de giro (-1,1) y un ángulo de 2π/3. Particularizando las ecuaciones anteriores para x=-4, y=2, m=-1, n=1, y α=2π/3, obtengo lo que quiero.. 9.7.3. Homotecia y semejanza Fijado el número real r∈ℝ*, y c=α+βi la transformación:. hr (c) : C ® C z ! c + r ( z - c). es. una. biyección. denominada homotecia de centro c y razón r. Tanto en este caso como en los restantes podríamos obtener las ecuaciones de la transformación de forma análoga a como lo hicimos en el caso de las traslaciones y. ì x ' = a + r(x - a ) . î y ' = b + r( y - b ). giros obtenemos: í. Dados dos números complejos k, b con k≠0, la transformación: el nombre de semejanza.. f :C ® C z ! kz + b. recibe. Observemos que esta transformación puede ponerse como composición de otras: Como k puede expresarse de la forma k=reiα, el paso de z a su transformado puede hacerse así:. z ! eia z ! r·eia z ! r·eia z + b , es decir, es la composición de un giro de centro. el origen y ángulo α, de una homotecia de centro el origen y razón r, y por último de una traslación definida por b.. Página 7 de 9.

(9) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. 9.7.4. Inversión Sea r∈ℝ* y z0∈ℂ. La aplicación ℂ-{z0} en sí mismo tal que: z ! z ' = z0 +. r es la inversión de polo z0 z - z0. y potencia r. En efecto, si en la fracción que aparece en la expresión de z’ multiplicamos y dividimos por z-z0≠0, puede escribirse: z ' = z0 +. r r r = z0 + ( z - z0 ), es decir, z '- z0 = ( z - z0 ) y deducimos que 2 | z - z0 | | z - z0 |2 z - z0. z0, z y z’ están alineados (si r>0, z y z’ están a un mismo lado de z0; si r<0, zy z’ están uno a cada lado de z0), Además, |z-z0||z’-z0|=|r|, luego se trata de la inversión del polo z0 y potencia r. Los únicos puntos fijos de la inversión del polo z0 y potencia r>0 son los de la circunferencia de centro en z0 y radio √r, pues si es z’=z, entonces. z - z0 =. r y, por tanto, ( z - z0 )( z - z0 ) = r , es decir,|z-z0|2=r. Esto mismo prueba que, si r<0, no hay puntos z - z0. fijos.. 9.8. Resumen La existencia de operaciones algebraicas en ℝ sin solución motiva su ampliación al campo ℂ de los números complejos. Esta ampliación se inicia con la premisa de que la ecuación x2+1=0 tenga alguna solución y se acaba con mucho más de lo esperado: resulta que todas las operaciones algebraicas con números complejos pasan a tener solución, como postula el Teorema Fundamental del Álgebra. Entretanto, se habla de las características que les son propias a los números complejos, de sus distintas formas de expresión y de cómo operar con ellos. Por último, y aprovechando la representación geométrica de los números complejos, se estudian algunas transformaciones geométricas del plano euclídeo como aplicaciones del plano complejo en sí mismo.. APLICACIONES. DESARROLLO TEMA. 9.9. Conclusión Con el desarrollo del presente tema, se pretende ampliar el conjunto de los números pertenecientes a ℝ, con el objetivo de poder dar una solución a la ecuación ya presentada en anteriores epígrafes. Con ello, debemos dar, además, respuesta a las propiedades que presentará el nuevo conjunto y cómo se realizarán las distintas operaciones en el mismo. Además, cabe plantear las distintas posibilidades de utilización de los complejos, y sus posibles aplicaciones en diferentes campos. La aplicación de los números complejos resulta evidente en una gran variedad de campos. Para empezar, las aplicaciones presentadas en el presente desarrollo del tema consistentes en la modelización de transformaciones en el plano, también los fasores –empleados para representar movimientos oscilantes- y cuya aplicación resulta de directa utilidad en electricidad y electrónica de control, además, los fractales, subconjuntos del plano que se caracterizan por la repetición de una figura dentro de la propia figura a distintas escalas (que podemos encontrar en los copos de nieve) son ejemplos de la aplicación de los números complejos.. 9.10. Bibliografía GUZMÁN, RUBIO: Análisis matemático. Ed. Pirámide. FERNÁNDEZ VIÑA: Análisis Matemático I. Ed. Tecnos. ABBOTT: Understanding Analysis. Springer-Verlag, New York, 2001. TEMARIO DEIMOS TEMARIO GAMBOA TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS TEMARIO CLAUSTRO. Página 8 de 9.

(10) Tema 9: Números complejos. Aplicaciones geométricas.. Página 9 de 9.

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