INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA INDUSTRIAL RAFAEL NAVIA VARÓN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ONCE
EAP. II P. RELACIONES Y FUNCIONES
3.1 FUNCIÓN.-Es una relación en dónde se cumple que no hay dos parejas ordenadas diferentes con la misma primera coordenada.
3.2 NOTACIÓN.- La función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x del conjunto A, exactamente un elemento y del conjunto.
F. A→ B es una función tal que x ⇒ y dónde y = F(x)
3.3 RELACIONES.- La regla de correspondencia para una función establece un conjunto de pares ordenados de la forma (x, y).
Sea el conjunto A ={1,2,3}, B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
El conjunto de parejas ordenadas que se forman con la relación: {(x, y) ∈ A x B/y = 3x-1}
Solución: Es una función, ya que las parejas ordenadas que cumplen con la condición dada son: {(1,2),(2,5),(3,8)} y no hay dos parejas con la misma primera coordenada.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Así como se representan los números reales por puntos sobre la recta numérica, también se pueden representar parejas ordenadas de número reales como puntos sobre un plano, el cual se denomina plano cartesiano en honor del matemático francés Rene Descartes.
El plano cartesiano se forma mediante dos rectas numéricas reales perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen.
La recta horizontal es el eje X o eje de las abscisas y la recta vertical, el eje Y o eje de las ordenadas. Ambas rectas se forman lo que se conoce como ejes de coordenadas. Al cortarse ambas rectas en el origen se forman 4 regiones conocidas como cuadrantes.
El plano cartesiano esta formado por los cuadrantes y los ejes
Eje Y (ordenadas)
II cuadrante I cuadrante
Q(-x, y) P(x, y)
Eje X(abscisas)
III cuadrante IV cuadrante
R(-x,-y) S(x,-y)
A cada punto del plano cartesiano le corresponde una pareja de coordenadas y a cada pareja de coordenadas, un punto del plano.
En el plano cartesiano se pueden localizar puntos que tienen coordenadas de la forma (x,y), dónde la primera coordenada se localiza en el eje X y la segunda en el eje Y.
A partir del origen, hacia la derecha y hacia arriba se considera positivo, y hacia la izquierda y hacia abajo, negativo.
Los puntos siguientes: P(x,y), Q(-x,y), R(-x,-y), S(x,-y)
Se ubican en el plano cartesiano. Las coordenadas de los puntos que se encuentran sobre el eje X tienen la forma(x,0), de igual forma, los puntos que se encuentran sobre el eje Y tienen la forma (0,y).
La ubicación en el plano cartesiano del punto A(2,3) es diferente de la del punto B(3,2). Es decir, aunque los números de ambos son iguales, es importante considerar el orden en que aparecen. Así, el punto A(2,3) se encuentra dos unidades a la derecha en el eje X y después tres unidades hacia arriba, mientras que el punto B(3,2) se localiza tres unidades a la derecha en el eje X y luego dos unidades hacia arriba. El par de coordenada del punto A(2,3) se llama pareja ordenada, lo mismo para el punto B(3,2) , o cualquier otro punto del plano cartesiano.
En general, el punto P(x, y) es una pareja ordenada dónde la primera coordenada x se localiza a lo largo del eje X, y la segunda coordenada y se localiza a lo largo del eje Y.
Y 4 A(2,3) 3 2 B(3,2) 1 -2 -1 -11 2 3 4 X -2 -3
Ejemplo.- Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano: M(-2, 3), N( 4, 1), P( 1, 2), Q( 0,-2), R(-3 ,0)
Solución para ubicar los puntos, la primera coordenada se debe localizar sobre el eje X, a partir del origen, avanzando "x" unidades hacia la derecha o a la izquierda dependiendo si es positivo o negativo; la segunda coordenada se ubica avanzando "y" unidades hacia arriba o hacia abajo, a partir del punto dónde se localizo la primera coordenada.
Y 4 M 3 2 P 1 N R 0
Ejercicio.- Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(-5, 6), B( 2, 3), C( 5, 1), D( 0,-6), E(-8 ,0)
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
En una función f: A→ B , el conjunto A es llamado dominio de la función (DF) y el
conjunto B contiene al rango de la función (RF)
Ejemplo 1.- Si tenemos siete estudiantes con sus respectivas calificaciones: Dnydia= 8, Ilse=9, Siclari=6, Salvador=7, Yadira=5, Eduardo=10, Francisco=6
Con base en este ejemplo de los siete estudiantes, el dominio de la función esDF={Dnydia, Ilse, Siclari, Salvador, Yadira, Eduardo, Francisco} y el rango de la función
F
R ={8,9,6,7,5,10,6}
Ejemplo 2.- Si F= {(1,2),(3,5),(4,8),(9,12)} es una función, entonces el dominio de F esDF={1,3,4,9,} y el rango de f es RF= {2,5,8,12}
Para denotar las parejas ordenadas de una función f se usa la notación (x,y) =(x,f(x)) en este caso particular se tiene que:
F= {(1,2), (3,5), (4,8), (9,12)} = (1, f(1)), (3, f(3)), (4,f(4)), (9,f(9)) Por lo tanto, F(1) = 2, F(3) = 5, F(4) = 8, F(9) = 12
Ejemplo 3.- Si f(x) = 2x - 3, es una función y los valores de x son 2, -3, 0 y 4, determina el dominio y el rango.
El dominio de la función esta restringido a cuatro valores en este caso y esta determinado por los valores de la variable x; es decir Df = {2,-3,0,4}
Para encontrar el rango de la función f(x), es necesario sustituir los valores del dominio en la función dada, Si realizamos un tabulación:
x f(x) = 2x -3 parejas ordenadas
2 f(2) = 2(2) - 3 = 1 ( 2, 1)
-3 f(-3)= 2(-3) -3 = -9 (-3,-9)
0 f(0) = 2 (0) - 3 = -3 ( 0,-3)
4 f(4) = 2 (4) - 3 = 5 ( 4 ,5)
Por lo tanto, el rango de la función es: RF= {1,-9,-3, 5}. Con las parejas ordenadas se tiene el conjunto: {(2,1),(-3,-9),(0,-3),(4,5)}
Ejemplo 4.- Hallar el dominio y el rango de la función de f(x) = x2 - 4 . Hacer la grafica. Solución: por la forma de la expresión (carece denominadores y de radicales), los valores permitidos para la variable x pueden ser cualquier numero real.
Tabulemos algunos valores parejas ordenadas
x f(x)= x2 - 4 -3 f(-3)= (-3) - 4 = 5 (-3, 5) -2 f(-2)= (-2) - 4 = 0 (-2, 0) -1 f(-1)= (-1) - 4 = -3 (-1,-3) 0 f(0 )= ( 0) - 4 = -4 ( 0,-4) 1 f(1 ) = ( 1) - 4 = -3 (1,- 3) 2 f(2 ) = ( 2 ) -4 = 0 ( 2, 0) 3 f(3 ) = (3 ) - 4 = 5 (3 , 5)
El dominio de la función son todos los números realesDf = R y el rango RF= [-4,+α)
Ejemplo 5.- Hallar el dominio y el rango de la función de f(x) = 2x + 1 . Hacer la grafica.
Ejemplo 6.- Hallar el dominio y el rango de la función de f(x) = -x2 + 1 . Hacer la grafica. Ejemplo 7.- Hallar el rango dela función F(x)= x+1, si su dominio se restringe a (0,+∝).
Hacer la grafica.
EJERCICIOS.
Ejercicio 1.- Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(-1, 2), B( -4, 3), C( 3, 4), D( 0,-3), E(-4 ,-2), F(2,0)
Ejercicio 2.- Si F= {(2,3),(4,6),(5,9),(10,13)} es una función, encuentra el dominio y el rango de F.
Ejercicio 5.- Hallar el rango dela función F(x)= x −2, si su dominio se restringe a
(0,+∝). Hacer la grafica.
