3~..LS3WI~..L ~3WI~d. 0 S 3 oe. OSVd3~ 3<J SOIJIJ~3r3

(1)

3~..LS3WI~..L

~3WI~d

·0·S·3

oE

OSV

d3~

3<J

SOIJIJ~3r3

(2)

RI

R~O

D!V~Sti

DAD

Une con flechas:

l.

t4

ÚLTIPLO DE 2

l.

I

Ml)LTIPLÓ'DE

3.1. .lLA

SUMA ÚE LAS CIFRNi ESM(JLTIPLO' DE

3'1

1~:MÚLTIPLq,D;E 5.J •

I MÚI,.TIPLO DE ~

.l.

I

MÚLTIPLQ DE 10

l.

.ILA

SUMA DE LAS CIFRAS ES MÚLTIPLO DE.9 I

Selecciona entre estos números:

a) Los múltiplos de 2. b) Los múltiplos de 3. c) Los múltiplos de 5. d) Los múltiplos de 10.

Completa la cifra de las unidades en cada número, de todas las formas posibles, para que resulte múltiplo de 2

y

de 3.

a)

210

b)

26U

c)

770

d)

830

RECUERDA .

• Un número es múltiplo de 2 si termina en cifra par.

• Un número es múltiplo de

3

si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es múltiplo de 5 si termina en Oo en 5. i

• ~nnúmero es m~!~~plo_~e9 si la suma de sus cifras ~s ~últjplo d~_9..

NUMEROS

PR~MOS

y

NÚMEROS COMPUESTOS

OBSERVA .

• Los números que no se pueden descomponer en factores reciben el nombre de números pnmos.

• Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo

y

la unidad.

Escribe todos los números primos menores que 50.

(3)

Jil

DESCOMPOSICiON EN FACTORES PRiMOS

OBSERVA ..

180 180 1....::::2:...-,,---

_~

00 90

l...L

2 .

90 1O 45 3'---_

, - , : 1 ~ 2 .

45

O 15 15 3'---_L . . . : I ~

O O 5

_~

3 .

15

O

1 _~

180

2 3 .

5

~

90 2

₅ _. ₁

45 3

15 3

5 5

180

==

2 . 2 . 3 . 3 . 5

==

2

2 .

3

2 .

5

1

Descompón en factores primos los siguientes números.

a) 20 b) 27 c) 63 d) 110

20 = 27

=

63

=

110

=

Descompón en factores primos los números 120, 540, 720 Y1000.

(4)

OBSERVA .. 72 36 18

9

3

1 2 2 2

3

90

45

15

5

1

2

3

5

72 72 = 2 3 .3 2 } min c.m. (72, 90}

~!¡

l\

\ . 5

90

=.2 . 32 . 5 \ \ / /

90

mín.c.m. (72, 90)

=

23 . 32 . 5

=

360 :J~Calcula: a) mÍn.c.m. (18,24)

=

b) mÍn.c.m. (30,50) = c) rIÚn.c.m. (24, 54) = d) mÍn.c.m. (lOO, 120)

=

e) mÍn.c.m. (12, 15, 18)

=

f) mÍn.c.m. (8, 16,32) = RECUERDA ..

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: • Se descomponen en factores primos.

• Se toman todos los fadores primos, elevado cada uno al mayor de los exponentes con que aparece.

(5)

OBSERVA " ',., .., ,.. ' , " , , ,.' ' ,.. , , , , ' ,., , ,' .. 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 90 45 15

5

1 2 3 3

5

máx.c.d. (72, 90) :=: 2 . 32 ₌₌₁₈ 72 :=: 23 . 32 :=: 2· 2 90:=: 2·32 ·5:=:

·0·0·0

~.~.~.

5 J~ Calcula: a) máx.c.d. (18, 24)

=

b) máx.c.d. (14,21)

=

e) máx.c.d. (24, 54)

=

d) máx.c.d. (100,120)

=

e) máx.c.d. (16,24,40) = f) máx.c.d. (10,20,40)

=

RECUERDA ,., , ' , ,.., , ..

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

• Se descomponen en factores primos.

• Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor exponente con el que aparecen.

(6)

...

·OPERACIONES CON NUMERaS ENTEROS

a) 5 - 6 - 3 + 8

=

b)2-1-6+3-9+5= 'c) 1+7-10+8-9-2= d) 13 - 15 + 14 - 22 + 8 = e) 18-16+15-6-10+13= f) 26 - 8 - 13 + 21 - 11 = g) 10 - 14 + 19 + 15 - 13- 17

=

h) 25 - 17 + 8 + 31 - 33 - 17 = i) 81 - 52 + 16 + 12 - 74 = j) 63 - 47 + 21 - 18 - 15

=

UMA DE E

os

RECUERDA

• Al suprimir un paréntesis precedido del signo más, los signos interiores no varían. • Al suprimir un paréntesis precedido del

signo menos, los signos. interiores se invierten (más en menos y menos en más).

• Para sumar varios números positivos y negativos:

Se suman los positivos por un lado y los negativos por el suyo

Se restan los resultados y se pone el signo del mayor.

Calcula: . + (8 - 3 - 6 + 1) = 8 - 3 - 6 + 1 - (8 - 3 - 6 + 1) =-8 + 3 + 6 - 1 2-7-5+3-4+6= = (2 +

3

+

6)-

(7 + 5 + 4) = = 11 - 16 =-5 IISS&i&i

a_

_

(7)

EJERCICIO RESUELTO , ··· ..

Calcular:

3+(5 - 7+3) - (4 - 6 - 8)

PRIMER MÉTODO:

Primero, operar dentro de los paréntesis.

3 + (5 - 7 + 3) - (4 - 6 - 8) =

=

3 + (8 - 7) - (4 - 14)

=

3 + (-1) - (-10)

=

3 - 1+ 10=

=13-1=12

SEGUNDO MÉTODO:

Primero, eliminar los paréntesis.

3+(5 - 7+3) - (4 - 6 - 8) = =3+5-7+3-4+6+8= =3+5+3+6+8-7-4= = (3 + 5 + 3 + 6 + 8) - (7 + 4) = 25 - 11 = 14 ... • .-! Calcula: b)24-(8+3-6)= a) 5+ (6-10-S-3) = d) (8-4+ 1) - (6-10) = e) 13 +(5 - 6) - (S - 3)

=

f) (2-4+7-5)-(6+2-10)= e) (1- 6 + 12) + (3 -7 - S) = h) 16+ (7-10) - (5-8+ 1) + (3-9) = g) (8 - 10) - (4+8) - (5 - 7) = • Calcula: b) (5 - 3 + S) + [(7 -10 + 4) - (5 - 6 + 8)] = a) 13-[6- (S-5) + (3-11)]

=

d) 15.- [12 + (3-S)] - [5- (8-13)] = e) [8 - (5 -7)] - [6 - (S - 12)] =

(8)

.~ubnENTE

DE E

~

s

RECUERDA .

REGLA DE lOS SIGNOS

• El producto de dos enteros es:

+ ..+

=

+

- positivo, si los factores tienen el mismo signo.

+.-

=

- negativo, si los factores tienen distinto signa.

. +

=

• El cociente de enteras guarda, para los signos,

la misma regla que el producto.

. - =

+

.:1

Calcula: a) (+5)· (+2)

=

b) (-3) . (+8) = c) (+4) . (-5) = d) (-7) . (-2) = e) (-1) . (+4) = f) (+3) . (+7) = g) (-12) . '(-4) = h) (+11) . (-5) = i) (-10) . (-12) =

Ea

Calcula: a) (+6) : (+3)

=

b) (-10) : (+5)

=

e) (+18) : (-2)

=

< d) (-24) : (-8) = e) (-30) : (+6) = f) (-20) : (-10) = g) (+45) : (+15) = h) (-75) : (+25) = i) (+63) : (-21) = Calcula: a) (-2) . (-4) . (-3)

=

b) (-5) . (+2) . (-4) = e) (-12) : (-2) : (-3) = d) (+20) : (-10) : (+2)

=

e) (+20): [(-10): (+2)] = f) (-40) : (-10) . (+2) = g) (-40): [(-10)· (+2)]

=

h) [(+5) . (-9)] : [(-15) . (-3)] =

..

(9)

-'~J

r'FíEEActON-ES

COr~BrNADAS

.., .

RECUERDA.. .

En

las

expresiones con operaciones combinadas hemos 20 : 4 - 3 . [8 - 6) + 4 =

V

de atender:

=

20: 4 - 3 . 2 + 4

=

• Primero, a los paréntesis.

V

= 5 - 6 + 4

• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.

_~

= 3 • Por último, a las sumas y a las restas.

. . . . . . . • . o., . . . •.•••.••• Calcula: b)4-6·3+5= a) 8-3·5+ 10= d) 14 - 3 . 5 + 2 . 6 = e) 2 . 4 + 5 - 3 . 4 = f) 14 - 40: 8 - 3 . 2 = e) 5 . 4 - 6 . 3 - 2 . 8 = h) 15 : 3 - 5 + 8 . 2 = g) 48 : 6 - 3 . 4 +12 : 4 = j) 25 - 17 . 2 + 30 : 15

=

i) 18 - 6 . 4 + 24 : 8

=

E

Calcula: a) 18 - 3 . (6 - 4) = b)3·(6-2)-14= d) 12 - 5· (6 -7) - 3·6 = f) 2 . (3 - 9) - 6 . (5 - 6) - 4 . (8 - 9) = ;~:~. ' , f ' '...¡.., ""t;' l.:.·;..·.; :',.,-~~',;:",1.

(10)

Calcula: a) (8-3-6+2)· (5-4-3) = b) (10-6-3)· (12-4-3+ 1) = e) (12- 3 -10) . (4- 2) - (5 -6) - (8- 3) = d) (6-10) . (11-13+7) - (4-6+5) - (1-7-4) = e) (8 4) . (5 8) . (6 9) (2 8) . (4 10) = f) (3 - 7) . (2 5) + (4 - 7) . (10 - 4) = g) 18 3 . (12 15) + 3 . (6 4) . (5 9) = h) 25 + 5 . (6 - 8) - 4 . (2 - 5) . (5 - 7) = J. Calcula: a) 26-5· [10+4· (5-6)] = b) 18+3· [25-6· (8-3)] = e) 2· (5 -7) 2· [8 - 4· (5 - 3)] = d) 9 - (8 - 3) - 6 . [2 - (6 - 8) . 4] = e) 2· [22+5· (4-2-5)]+18= f) 6· [12 - 4 - (13 - 6·2)] 35 = g) [6+2· (3-5)]-[4-3- (8-6)]= h) [3 + 5 . (8 9)] - [7 4· (5 3)] =

(11)

"'/~¡

POTIENC~AS

y

RAleE

_.E

NUMEROS ENTEROS

RECUERDA " , ..

Una potencia es una multiplicación de factores iguales: on:= o· o· o· .... a

n veces

Escribe en forma de potencia:

a) (-4) . (-4) . (-4) = b) (+3) . (+3) =

c) (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = b) (-10) . (-10) . (-10) =

E

Escribe en forma de producto y calcula:

a) (_2)4 = b) (+3)4

=

c) (_3)3 = b) (-10)5

=

Calcula:

a) 25 = b) (_2)5 = _c)₄2 ₌

d) (_4)2 = e) (-10)3 = f) (-10)4 =

-,. Reduce a una sola potencia:

a) 22 . 32

=

b) (-4)3. (+2)3

=

c) (_5)2. (_2)2

=

d) 34 • (-2)4

=

e) (_6)2. (_1)2

=

f) (_3)5. 25

=

g) 103 . 23

=

h) (_1)6. (-2)6

=

i) (_3)5. (+4)5

=

RECUERDA ~ .

• La potencia de un producto es igual al producto de las

j(o.b)n:=on.bn I

potencias de los factores.

• La potencia de un cociente es igual al cociente de las

(12)

RECUERDA

• Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes.

• Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes.

• Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.

a m . an

=

am+n

am : an

₌

_{am- n}

(amJn = am·n

.

Reduce a una sola potencia:

a)

x?- .

;x;3 = b)

a4 .

a2 =

e) (+4)2. (+4)3

=

d) (_3)5. (-3) =

e) (+5) 2 . (-5) 2 = f) (-2)4. (-2)3 =

11 Reduce a una sola potencia:

a) x7 : x4

=

b)

a4 :

a2 =

e) (+4)6: (+4)3 = d) (_3)6: (-3) =

e) (+10),5: (-10)2 = f) (+10)8: (-10)5

=

Reduce a una sola potencia:

a) (x2)3

=

d) [(+5)3J4 = b) (a2)3 = e) [(-2)3J3 = e) [(-2)2J3 = f) [(_10)4]2 = Calcula, si existen: a) -,/+81 d) -,/-100 g) ~10000 b) -,/-81 e)

Vl

h) V-10000 e) )+100 f)

'(:1

i) ~100000 '.: " _.'~r - (