1. Propagación de Ondas 1

(1)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Un pulso se propaga en una cuerda muy larga, con velocidad de 4,0 [m/s] en la dirección x, sin cambiar de forma. La respectiva función de

onda y( tx, ) es tal que la oscilación del punto 0

=

x , en función del tiempo es la indicada en la figura.

a) Obtenga la oscilación del punto en 8

=

x [m], identificada como y(8,t).

b) Determine la forma de la cuerda en el instante t =2,0[s], denotada como y(x,2).

Solución 31

a) Todos los puntos de la cuerda describen el mismo movimiento al pasar el pulso. Dado el desplazamiento y(x,t), correspondiente a un punto de coordenada x en el instante t, entonces un punto en x' = x + x que esta una distancia x más adelante en la dirección de propagación, demora un lapso t en adquirir ese mismo desplazamiento, de modo que se satisface la relación x = v t. En nuestro caso x = 8 [m], resultando t = 2,0 [s] ; es decir el movimiento en x=8 [m] se inicia 2,0 [s] después que en x=0. Luego, el grafico de y(0,t) se debe desplazar en 2,0 [s] para obtener el gráfico de

y(8,t) indicado en la figura. b) En el grafico dado en el enunciado para el punto x=0, la función y(0,t) indica que dicho punto comienza a moverse en t=2 [s]. Entonces, en la función y(x,2) el pulso

aparece llegando al origen x=0. En el grafico del enunciado también se observa que el desplazamiento máximo llega al origen en t' = t+ t = 4s. En el lapso t=2[s] la onda recorre la distancia v t =8[m], lo cual indica que el punto de desplazamiento máximo esta a 8 [m] detrás

y(8,t) 0 2 4 6 8 10 t [s] 0,10 0,20 y(0,t) 0 2 4 6 8 10 t [s] 0,10 0,20

(2)

Proyecto 11.06.31 UTFSM del punto x=0, es decir, está en el punto x=−8[m]. Análogamente, considerando que el punto x=0 esta en movimiento solo durante 6 [s], concluimos que el ancho del pulso es 24 [m], de modo que en t =2 [s] su extremo posterior

esta en x=−24[m]. El grafico respectivo se indica en la figura; allí se aprecia que el grafico en la variable x esta invertido de derecha a izquierda respecto al gráfico con la variable t que se entrega en el enunciado.

y(x,2)

-24 -16 -8 0 8 x [m] 0,10

(3)

Proyecto 11.06.31 UTFSM La función que describe una onda transversal en una cuerda de densidad lineal de masa

] / [ 1 , 0 kg m = µ es: − = 2 01 , 0 3 2 2 ) , (x t sen

π

t x

ψ

,

dónde x se mide en metros, ψ en centímetros y t en segundos. a) Dibuje la forma de la cuerda en t=0, en función de la posición x. b) Determine la longitud de onda λ y la amplitud A.

c) Dibuje la oscilación del punto x=0, en función del tiempo t.

d) Determine el periodo y la frecuencia de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda. e) Determine la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.

f) Determine la velocidad y la aceleración de un punto cualquiera de la cuerda. g) Determine la tensión en la cuerda.

Solución 32

a) Evaluando la función dada, en el instante t=0 se obtiene: f(x)=−2⋅sen

[

π

⋅x/3

]

, cuyo gráfico se muestra a continuación.

b) La amplitud de la oscilación es A=2[cm] y corresponde al valor máximo de la función dada. La longitud de onda λ o periodo espacial cumple que: 2

3λ π

(4)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Notar que λ resulta en [m] pues éste es un valor particular de la variable x, los cuales se especifican en [m] para la función dada en el enunciado.

c) Evaluando la función dada, en x = 0 se obtiene:

ψ

(0,t)=g(t)=2⋅sen

(

200

π

⋅t/3

)

, cuyo gráfico es el siguiente.

d) El periodo temporal cumple que: 2 3

200π _T ₌ _π _{; entonces}

100 3

T= [s]. Notar que T resulta en [s], como lo especifica el enunciado para los valores de la variable t.

La frecuencia de oscilación de la cuerda en cualquier punto es 1 T

f = , entonces [ ]

3 100 f = Hz . e) Veamos cómo determinar la velocidad de propagación. Fijémonos en el punto x = 0 en el gráfico de f(x) que corresponde a la situación en t=0. Según el gráfico de g(t), que corresponde al punto x=0; a partir de t = 0 el punto x = 0 comienza a subir; es decir el desplazamiento f(x) adquiere valores positivos. Según el gráfico de f(x) el punto x = 0 comienza a subir cuando la curva se desplaza hacia la derecha. Entonces, la velocidad de la onda es hacia la derecha y su magnitud es

T

v= pues debe avanzar la longitud λ λ en el tiempo T.

Luego, 200[ / ] 100 / 3 6 _m _s v= = , hacia la derecha.

f) Vamos a determinar la velocidad y la aceleración del punto x = 0 de la cuerda.

Note que la onda es transversal, entonces los puntos de la cuerda se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda, como se indica en la figura.

(5)

Proyecto 11.06.31 UTFSM La velocidad del movimiento transversal de la cuerda en x=0 se obtiene derivando respecto al tiempo, = ∂ ∂ = t t g t x v 3 200 cos 3 200 2 ) , ( π π .

Análogamente se obtiene la aceleración del punto x = 0, =− ∂ ∂ = sen t t g t x a 3 200 3 200 2 ) , ( 2 2 2 _π π .

Las unidades de la velocidad y aceleración transversales son [cm/s] y [cm/s2 ], pues la amplitud se expresa en [cm] y el tiempo en [s] de acuerdo al enunciado.

g) La tensión de la cuerda puede obtenerse a partir de su relación con la velocidad de propagación de la onda, que está dada por:

µ F

v= , dónde F es la tensión de la cuerda y µ es su densidad lineal de masa. Entonces,

] [ 4000 1 . 0 (200) 2 2 _N v F =

µ

= ⋅ =

(6)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Problema 33

Considere una onda periódica en el mar que puede describirse aproximadamente por una función sinusoidal. Las olas se propagan a 2[m/s], de modo que un objeto flotando en el punto x 0= oscila verticalmente con un periodo de 3[s] y alcanza una velocidad máxima de π/8 [m/s] en el instante t=0[s].

a) Determine la frecuencia de oscilación del objeto, en [Hz].

b) Escriba una función del tiempo que describa la oscilación del objeto.

c) Determine la amplitud de oscilación del objeto.

d) Un segundo objeto oscila en x=1,5[m] ¿cuál es su diferencia de fase con el primero?

Solución 33

a) La frecuencia f de oscilación se relaciona con el periodo T según f T⋅ = . 1 Puesto que T= 3[s], se obtiene f= 0,33 [Hz].

b) Sabemos que la oscilación es sinusoidal y que el objeto alcanza la velocidad máxima en el instante t = 0. Puesto que la velocidad máxima de una oscilación ocurre al pasar por el punto medio, se concluye que la función adecuada para describir esta oscilación es una función seno. Entonces, ( )y t = ⋅A sen t( )

ω

c) Para encontrar la amplitud de oscilación es necesario usar la velocidad máxima que alcanza el objeto. Para ello derivamos y t( )obteniendo: y cos( )

dy

v A t

dt

ω

= = ⋅ . La expresión anterior indica que la

velocidad máxima del objeto es Aω. Entonces, A

ω π

= 8 y 3 0,19 [ ]. 16

A= = m

d) La diferencia de fase entre las oscilaciones de los dos objetos depende de la dirección de propagación de la onda. Supondremos que la onda viaja en dirección x de modo que la oscilación del segundo objeto está atrasada respecto al que está en el origen x 0= . El tiempo de retraso es

t x v

∆ = y nos permite escribir la segunda oscilación según:

2( ) [ ( )] ( / )

y t = ⋅A sen

ω

t− ∆ = ⋅t A sen t

ω ω

− x v La expresión anterior indica que la diferencia de fase pedida es:

2 3 6 2 x x v vT

ω

π

ϕ

π

∆ = = = =

(7)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Considere una onda longitudinal sinusoidal que se propaga en un resorte homogéneo y muy largo, desde el extremo colocado en x=0 hacia el lado negativo del eje x. La frecuencia del movimiento en el extremo es de 25 [Hz], la distancia entre dos rarefracciones consecutivas en el resorte es de 24 [cm], y el máximo desplazamiento longitudinal de un segmento del resorte respecto a su posición de equilibrio es de 3 [cm]. Suponga que el desplazamiento y(x,t) evaluado con x = 0 y t = 0 es y(0,0)=0.

a) Determine la velocidad de la onda

b) Escribe la ecuación que describe esta onda

Solución 34

a) Un resorte por el cual se propaga una onda longitudinal sinusoidal se ve más o menos de la siguiente forma:

En t = 0

En t=t₀+∆t:

Note que en una onda longitudinal, el medio de propagación (en este ejercicio las espiras del resorte) se mueve paralelamente a la dirección de propagación.

(8)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Además, la longitud de onda corresponde a la distancia entre dos compresiones consecutivas, que es igual a la distancia entre dos rarefacciones consecutivas. Entonces,

λ

=24 cm[ ]. La frecuencia del movimiento de las partículas del medio es igual para todas, y debe corresponder a la del extremo del resorte donde se está generando la onda en este caso. Entonces, f =25 Hz[ ].

En una onda sinusoidal la velocidad de la onda está dado por:

[ ]

cm

s

f

v

=

λ

⋅

=

24 ⋅

25 =

600

b) La función que describe una onda sinusoidal es:

En la expresión anterior, A es la amplitud, k es el número de onda, w es la frecuencia angular y φ es la constante de fase. Se cumplen las relaciones: k⋅

λ

=2

π

; w =2

π

⋅ f

La amplitud A es el máximo desplazamiento que logra un segmento del medio desde su posición de equilibrio; en este caso A = 3 [cm]. Entonces,

[

rad cm

]

; w 2 25 50

[

rad s

]

12

24 2

k =

π

=

π

=

π

⋅ =

π

Para determinar el desfase ± se evalúa la condición

φ

(0,0)= , con la cual resulta la ecuación: 0

( )

0

3⋅sen ±

φ

= , cuyas soluciones son múltiples y nos permite escoger

φ

=0. Así; la función de onda queda finalmente:

dónde se mide en [cm], x en [cm] y t en [s]. , 50 12 3 ) , (x t = ⋅ sen

π

x +

π

⋅t

ψ

(9)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Una cuerda de largo l y masa m se mantiene

inicialmente en posición vertical, sujetándola por su extremo superior. A continuación, en ella se genera un pulso que se propaga hacia su extremo inferior, como se muestra en la figura. Cuando el pulso llega al extremo inferior de la cuerda, se genera allí un pulso reflejado a) Determine la velocidad de propagación del pulso. b) ¿Hacia qué lado de la cuerda, derecho o izquierdo, es

el desplazamiento correspondiente al pulso reflejado? c) ¿En cuánto tiempo el pulso completa un ciclo de ida y

regreso?

Solución 35

a) La velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda satisface la relación:

v= T

µ

,

dónde T es la tensión en la cuerda y es su densidad lineal de masa.

En las condiciones del problema, la tensión se debe al peso de la misma cuerda. Dicha tensión varía a lo largo de ella; el valor máximo ocurre en el extremo superior donde se aplica todo el peso de la cuerda, y el valor mínimo ocurre en el extremo inferior, donde la tensión es nula. En términos de la coordenada x indicada en la figura, la tensión de equilibrio T(x) en cada punto es igual al peso de la porción de cuerda de longitud (l - x). Entonces,

g

x

l

x

)

(

)

(

T

=

µ

⋅

−

Luego, v(x)= (l−x)g

(10)

Proyecto 11.06.31 UTFSM b) Puesto que el extremo inferior de la cuerda está libre, el pulso reflejado en ese extremo

desplaza la cuerda hacia el mismo lado que el pulso original, es decir, hacia el lado derecho de la cuerda.

c) El tiempo que demora el pulso en propagarse desde el extremo superior hasta el extremo inferior de la cuerda, se calcula por integración a partir de la velocidad variable según la posición, como se indica a continuación.

g x l dx v dx dt dt dx v ) ( − = = = Integrando, lg 0 2 / 1 0 lg 0 0 0 ) ( 2 1 ) ( 0 u g u du g t g x l dx dt l t = − = − = g l t 2 ₀ =

El tiempo que tarda el pulso en regresar desde el extremo inferior hasta el extremo superior es igual al resultado anterior. Esto se puede verificar siguiendo un procedimiento similar al detallado anteriormente, notando que

dt dx

v=− e intercambiando los limites de integración ya que el pulso se propaga desde x=l hasta x=0. Por lo tanto, el tiempo que demora el pulso en completar un ciclo completo es:

g l T0 =4

(11)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Para un pulso u onda que llega a una unión entre dos cuerdas con distinta densidad lineal de masa (de valor µ1 en la cuerda desde la cual incide el pulso u onda), se cumplen las siguientes

relaciones para la amplitud de los pulsos u ondas transmitida (At) y reflejada (Ar) en términos de

la respectiva amplitud incidente (Ai) y las velocidades de propagación v₁ y v₂ en cada cuerda.

2 2 1 1 2 1 2 2 _, t i r i v v v A A A A v v v v − = = + +

a) Exprese las relaciones anteriores en términos de la densidad lineal de masa en cada cuerda. b) Analice el caso µ2 = µ1 y describa en palabras lo que indica el resultado.

c) Analice el caso µ2 = 2µ1 y dibuje aproximadamente los pulsos reflejado y transmitido

correspondientes a un pulso incidente que usted mismo(a) dibuje.

d) Considere que µ2 = 2µ1 y la onda incidente es: ( , )y x t = A sen(2

π

x−

π

t). Determine la

frecuencia y la longitud de onda en cada cuerda.

Solución 36

a) Para las velocidades de propagación de las ondas en cada cuerda usamos las relaciones:

1 1 , 2 2

v = T

µ

v = T

µ

,

dónde se ha usado el mismo valor para la tensión de equilibrio puesto que las cuerdas están unidas. Al sustituir estas velocidades en las expresiones dadas en el enunciado, las tensiones se simplifican y resultan:

1 1 2 1 2 1 2 2 , t i r i A

µ

A A

µ

A

µ

− = = + +

b) En el caso µ2 = µ1 las expresiones anteriores se reducen a: At = y Ai Ar = . Este resultado 0

corresponde a la propagación en una cuerda homogénea, de modo que no hay cambio en la amplitud del pulso incidente ni existe un pulso reflejado.

(12)

Proyecto 11.06.31 UTFSM 2 1 2 0,83 , y 0,17 1 2 1 2 i t i r i i A A = = A A = − A = − A + +

Las velocidades de propagación satisfacen la relación: v2 =v1 2, lo que hace que el pulso

transmitido a la cuerda 2 sea más angosto debido a la menor velocidad de propagación. En cambio, el pulso reflejado es invertido y del mismo ancho que el pulso incidente.

d) Para la onda incidente desde el medio 1: ( , )y x t = A sen(2

π

x−

π

t), la frecuencia angular

ω

y el número de onda k son:

ω π

= y k =2π . Luego,

1 2 0,50 [ ] y 1,0 [ ]. 2 f Hz m k

ω

_λ

π

= = = =

En el medio 2 la frecuencia debe mantener el valor f =0,50 [Hz] y la longitud de onda debe cambiar para satisfacer las relaciones: 1 2

1 2 v v f

λ

= = con v₂ =v₁ 2 0,70= v₁. Entonces, 1 2 0,70 [ ]. 2 m

λ

= = +D −−−−2D _O

(13)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Considere una onda senoidal transversal que viaja horizontalmente por un hilo de longitud L=8,0[m] y masa m=6,0[g]. Inicialmente la velocidad de propagación es v= 30 [m/s], la longitud de onda es

λ

=0,200[m] y la potencia media que transporta es P = 50[W].

a) ¿Qué amplitud tiene la onda?

b) ¿En qué factor aumenta la tensión en el hilo cuando la velocidad de propagación de la onda aumente al doble?

c) Si la tensión en la cuerda se aumenta al doble, y se mantienen la frecuencia y la amplitud ¿Cuál es la potencia media que transporta la onda?

Solución 37

a) La potencia media P para la onda en una cuerda de densidad lineal de masa

µ

está dada por la relación:

2

1 ₍ _{) ,}

2

P=

µ ω

v A

dónde v es la velocidad de propagación,

ω

es la frecuencia y A es la amplitud de la onda. Lo anterior puede obtenerse a partir de una relación general, en tres dimensiones, entre la intensidad I y la densidad media de energía w de una onda:

I v w= ⋅ .

Multiplicando la ecuación anterior por el área S∆ de sección transversal de la cuerda, en el lado izquierdo reconocemos la potencia media P y en el lado derecho, el producto w S⋅ ∆ se reconoce como la densidad lineal media de energía. Para llegar hasta la expresión dada para la potencia media, es necesario recordar que una onda elástica contiene energía cinética y energía potencial elástica, en igual proporción. Así, la energía en un elemento de largo ∆xse obtiene a partir de su energía cinética, multiplicando por el factor dos, entonces:

2 1 2 2 y E x t

µ

∂ ∆ = ⋅ ∆ ∂ , dónde y(x,t) representa el desplazamiento transversal.

(14)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Al calcular el valor medio temporal, el cuadrado de la velocidad transversal en la expresión anterior es reemplazado por el factor ₍

_ω

_A_{) 2}2 _{, resultando que la densidad lineal media de}

energía en la cuerda es:

( )

2

1

2

µ ω

A ,

lo cual completa la explicación acerca del origen de la expresión para la potencia media dada al comienzo.

Para obtener la amplitud A se requiere conocer la frecuencia angular ω que se obtiene según:

2 2 30 300 . 0, 20 v kv

π

ω

π

λ

⋅ = = = =

Despejando la amplitud A en términos de la potencia P se encuentra: 1 2 P A v

ω µ

⋅ = .

Sustituyendo los valores numéricos resulta: 1 2 50 8_-3 7,1 [ ]. 300 6 10 30 A cm

π

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅

b) Puesto que la velocidad de propagación de la onda depende de la tensión en la cuerda según la relación v= T

µ

, se concluye que la tensión debe aumentar en un factor cuatro para que la velocidad de propagación de la onda aumente al doble.

c) Al aumentar la tensión al doble, la fórmula dada para la velocidad de propagación en el párrafo precedente, indica que ésta aumenta en el factor 2. En tal caso, la relación para la potencia media indica que ésta también aumenta en el factor 2. Entonces,

2 50 71 [ ].

P= ⋅ = W

Haga el ejercicio de calcular la potencia media que transporta la onda cuando la tensión en la cuerda se aumenta al doble y se mantienen constantes la amplitud y la longitud de onda.

(15)

Proyecto 11.06.31 UTFSM El nivel de intensidad

β

de una onda sonora se mide en decibeles y corresponde a una escala logarítmica que se define por la relación:

β

= ⋅10 log ( / )₁₀ I I₀ ,

dónde I es la intensidad de la onda e I0=10-12

[

W/m2

]

es una intensidad mínima de referencia

correspondiente a un sonido apenas audible.

Suponga que usted escucha trinar un pájaro y se acerca para escucharlo mejor, disminuyendo la distancia a la mitad. ¿En cuánto cambian la intensidad y el nivel de intensidad?

Solución 38

Esta situación puede considerarse a partir del modelo de una fuente puntual que emite el sonido simétricamente en todas direcciones con igual intensidad, en un medio homogéneo. En tales condiciones, la potencia media P que atraviesa una esfera de radio R centrada en el punto emisor de ondas, debe ser constante e independiente del radio.

Entonces,

2

4 ,

P I= ⋅

π

R

lo cual indica que al disminuir Ra la mitad, la intensidad aumenta cuatro veces, es decir, exigiendo que P sea constante, con R₂ =R₁ 2 se concluye que I₂ = ⋅ . 4 I₁

Por otra parte, usando el resultado anterior para relacionar los respectivos niveles de intensidad a cada distancia:

β

1 = ⋅10 log ( / )10 I I1 0 y

β

2 = ⋅10 log ( / )10 I I2 0 , se concluye que:

2 10 log (4)10 1

β

= ⋅ +

β

2 1 6

β

= +

β

Lo anterior indica que el nivel de intensidad aumenta en 6 decibeles cuando usted se acerca al pajarito para escuchar mejor su canto, acortando a la mitad la distancia que los separa.

(16)

Un hilo de acero de longitud L = 100 [cm] y densidad

δ

= 8[g/cm3_]_{, inicialmente tenso con sus}

dos extremos fijos, se hace oscilar en el modo fundamental. Se mide f = 200[Hz] para la frecuencia de oscilación y A = 1,0[mm] para la amplitud del movimiento en el punto medio. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en el hilo de acero?

b) ¿Cuál es el esfuerzo de tracción en la situación de equilibrio inicial? c) ¿Cuál es la aceleración máxima en el punto medio?

Solución 39

a) Una onda estacionaria puede describirse como la superposición de dos ondas sinusoidales, de iguales longitud de onda λ, frecuencia f y velocidad de propagación v, que se propagan en direcciones opuestas. Estas cantidades satisfacen la relación,

f v=

λ

⋅ ,

y también se manifiestan en la onda estacionaria resultante. Cuando el hilo vibra en su nodo fundamental, la longitud de onda puede determinarse como se indica en la figura siguiente.

Entonces, λ = 2L = 2,0[m], y la velocidad de las ondas transversales es: ×

=

s m v ₄ ₁₀2

(17)

Proyecto 11.06.31 UTFSM la presencia de la onda estacionaria, se necesita conocer la tensión que soporta, y usarla en la relación: ansversal sección tr de Área Tensión = = A F

σ

La tensión puede obtenerse a partir de su relación con la velocidad de propagación, F ₌_v _F ₌_v2_⋅ _,

dónde es la densidad lineal de masa que se relaciona con la densidad volumétrica ρ y el área de la sección transversal, según =

ρ

⋅A. Entonces, la tensión queda, F₌_v2

_ρ

_⋅A_{, y por lo tanto} es posible calcular el esfuerzo en el hilo de acero como sigue,

3 2 2 2 2 10 8 ) 10 4 ( A ₌ _⋅ ₌ _× _⋅ _⋅ ⋅ =

ρ

v

ρ

A v [J/m2] ₌₁_,₂₈_×₁₀9_[J/m2_]

Notar que la densidad dada en el enunciado es equivalente al valor ρ=8⋅103_[kg/m3_{] usado el}

párrafo anterior.

c) La magnitud a de la aceleración en un punto se obtiene derivando la función (t que ) describe la oscilación , como se indica a continuación.

Dada (t)= A⋅cos(wt+

φ

), entonces 2cos( )

2 2

φ

+ − = = Aw wt dt (t) d a . Luego, la aceleración

máxima y la amplitud de oscilación satisfacen la relación:

2 2 _A₍₂ _f₎

Aw

a_máx = = π⋅

Usando los valores numéricos se obtiene: 3 2 3

max =10− (2π ⋅200) =1,6⋅10

(18)

Un diapasón que emite un sonido de frecuencia f se hace vibrar frente al extremo abierto de un tubo de vidrio, parcialmente lleno de agua, como se muestra en la figura. El otro extremo del tubo esta conectado a un recipiente con agua mediante una manguera, lo cual permite cambiar la longitud de la columna de aire en el extremo abierto.

Con el nivel del agua casi al borde del extremo abierto del tubo, éste se va levantando gradualmente de modo que aumenta la longitud de la columna de aire que va desde el borde del tubo hasta el nivel del agua. Se encuentra que la intensidad del sonido alcanza un primer máximo cuando la distancia entre el nivel del agua y el extremo abierto del tubo es a. A continuación la intensidad alcanza un segundo máximo cuando la distancia es s.

a) Exprese la velocidad del sonido en el aire en términos de los datos f, a y s.

b) Evalúe la velocidad del sonido con los datos: f =1080[Hz], a = 7,1 [cm] y s = 22,4[cm].

Solución 40

a) La intensidad del sonido llega a un máximo cuando la columna de aire resuena con el diapasón, esto es cuando pueden formarse ondas estacionarias en la columna de aire. Las ondas estacionarias constan de un nodo de desplazamiento en la superficie del agua, dónde las

(19)

Proyecto 11.06.31 UTFSM en el extremo abierto del tubo. En realidad el antinodo ocurre un poco más afuera del extremo abierto, a una distancia que es del orden del radio del tubo, lo cual acá no se toma en cuenta.

La primera y segunda condición de resonancia corresponden a los desplazamientos estacionarios indicados en la figura, donde podemos observar que /2=

(

s−a

)

. Por lo tanto la velocidad del sonido en el aire queda dada por:

(

s a

)

f

v= 2 −

b) Con los datos dados en el enunciado,

(

s−a

)

=15 cm,3[ ] y usando f 1080=

[ ]

Hz , se obtiene ]

/ [ 330 m seg

v= .

Puesto que la frecuencia del sonido emitido por el diapasón es constante y que la velocidad del sonido en la columna de aire tiene un valor definido, la resonancia ocurre para una longitud de onda específica, de acuerdo a la relación:

f v =

(20)

Considere una cuerda con ambos extremos fijos, vibrando en su tercer modo estacionario. Usted dispone de los siguientes datos: la masa M, el largo L, la tensión T y la amplitud máxima A de oscilación de la cuerda. Determine la energía almacenada en la cuerda

Solución 41

Una cuerda con ambos extremos fijos vibrando en su modos estacionarios satisface que:

Para el tercer modo estacionario, n=3 la cuerda vibra adoptando la forma indicada en la figura, de modo que cada porción de ella realiza un movimiento armónico simple. Para calcular la energía total almacenada en la cuerda usaremos como punto de partida la energía de una masa

m

∆ que realiza un movimiento armónico simple, según:

2

1 ₍ ₎

2 máx

E m v

∆ = ∆ ⋅ ,

dónde v es la velocidad máxima que alcanza la masa. Debemos encontrar _máx v para cada _máx elemento de la cuerda. Esto lo hacemos a partir de la ecuación que describe una onda estacionaria en una cuerda con ambos extremos fijos. Consideremos la siguiente descripción de onda estacionaria, como producto de funciones armónicas de la posición y el tiempo:

) cos( ) sin( A t) (x, = kx+

φ

1 wt+

φ

2

En esta expresión k =2

π

λ

y ω =2πf . Escogiendo x=0 en un extremo de la cuerda, la expresión anterior debe satisfacer que (0,t)= , lo cual permite escoger 0

φ

1=0. Entonces en

L

x= se cumple que ( , ) 0ψ L t = pues sen(kL)=0 para cada uno de los modos estacionarios. 2 L= nλ, n=1,2,3,... v=λf , dónde: L T v= ; = M

(21)

Proyecto 11.06.31 UTFSM π

n kL= .

Entonces, la velocidad de los elementos de la cuerda está dada por: ) ( ) ( t t) (x, ) , ( =− ⋅ +φ₂ ∂ ∂ = Aw sen kx sen wt t x v ,

de modo que la velocidad máxima para cada uno es: v_máx(x)= Aw⋅sen(kx). Luego, la energía almacenada en un elemento de longitud dx de la cuerda es:

) ( A 2 1_dx 2_w2_sen2 _kx dE= ⋅ ⋅ ,

y la energía almacenada en la cuerda completa se obtiene integrando desdex=0 hasta

x

=

L

. Entonces, ⋅ = L Total w sen kx dx E 0 2 2 2 ₍ ₎ A 2 1 _.

Para el modo con n=3 , kL 3= π y la integral es

L

/

2

. Este resultado para la integral es independiente del modo estacionario, por lo tanto la energía en la cuerda para cualquiera de los nodos es:

4 A2_w2_L

E_Total = ⋅

Notar que la frecuencia depende del modo estacionario considerado y por ende la energía total depende de _{n según:}2 2 ( ) 4 Total T n A E L π ⋅ =

(22)

Dos fuentes F1 y F2 emiten ondas sonoras senoidales en fase, de igual amplitud y de frecuencia

20 [Hz], que se propagan con velocidad de 340 [m/s]. A 20[m] de la fuente F2, se coloca un

detector en el punto D como se muestra en la figura. El punto P es equidistante de ambas fuentes. a) Si el detector indica un mínimo de intensidad,

calcule los valores posibles para la distancia d entre las fuentes.

b) A continuación el detector se mueve desde D hasta P describiendo un arco de circulo de radio 20[m] alrededor de la fuente F2. Usando el menor

valor para la distancia d, determine cuántos máximos y mínimos de interferencia se detectan en dicho recorrido.

Solución 42

a) Los mínimos de intensidad cumplen con la condición de interferencia destructiva. Entonces, en el punto D la diferencia de fase entre las ondas provenientes de ambas fuentes debe ser un múltiplo impar de π y por lo tanto satisfacen la condición:

(

1 2

)

2 _; _1,3,5 i i F D F D n n π _π λ − = =

La diferencia entre paréntesis corresponde a la distancia d entre las fuentes, entonces: 2

i

d n

π _π

λ = .

Luego, los valores posibles para la distancia d son

λ

2, 3 2, 5 2,

λ

b) De acuerdo al enunciado, supondremos que d =

λ

2. Entonces, en el punto D la diferencia de fase entre las ondas es π. En el punto P, equidistante de las fuentes, la diferencia de fase entre las ondas es cero. Por lo tanto al ir desde D hasta P la diferencia de fase va cambiando continuamente desde el valor π hasta cero. Puesto que los máximos de interferencia corresponden a diferencias de fase que son múltiplos de 2π y los mínimos de interferencia corresponden a

F1

F2

D

(23)

Proyecto 11.06.31 UTFSM P no se encuentran máximos ni mínimos, y la intensidad del sonido va aumentando continuamente.

Solución 42 alternativa

a) La diferencia de fase ∆ entre las oscilaciones que se superponen en el punto D depende de ϕ la diferencia r∆ entre las distancias hasta las respectivas fuentes. Para obtener un mínimo de intensidad se requiere que ∆ sea múltiplo impar de , según la relación: ϕ

π λπ

ϕ = ⋅∆ = 2 ⋅(1− 2)=(2 +1)

∆ k r r r m , dónde m es entero: m=0 ,±1 ,±2,....

Puesto que en el punto D se cumple que ∆r=d, siendo d la distancia entre las fuentes, entonces el valor mínimo de esa distancia se obtiene para m=0.

Luego, π λ π _{⋅ d} ₌ 2 _{, y por lo tanto} 2 λ = d .

La longitud de onda es λ =v/ f =340/20=17[m] y la distancia pedida es d =8 m,5[ ].

b) Al describir la trayectoria indicada en el enunciado, la distancia r₂que va desde un punto de ella hasta la fuente F2 permanece constante y la distancia r1 que va hasta la fuente F1 va

disminuyendo. Entonces, la diferencia r∆ entre ellas cambia desde ∆r =d =λ/2 hasta ∆r =0 y por ende la diferencia de fase va desde ∆ϕ =π hasta ∆ϕ =0. Sabiendo que los máximos de interferencia ocurren cuando ∆ϕ=2π⋅m y los mínimos ocurren cuando ∆ϕ =(2m+1)π, concluimos que al describir el arco de circunferencia indicado, no se detectan máximos ni mínimos (excepto el mínimo en D y el máximo en P correspondientes a los extremos de la trayectoria).

(24)

Dos parlantes colocados en un plano horizontal, a 75[cm] de distancia entre sí, emiten ondas en fase con frecuencia de 680[Hz] e igual intensidad. El sonido se examina en una superficie vertical, perpendicular a la línea que une los parlantes, colocada a 150[cm] del punto medio entre ellos, como se indica en la figura.

Para la velocidad del sonido use el valor 340[m/s].

a) Determine cuántos máximos mínimos habrá sobre la superficie vertical.

b) Determine el radio R de los máximos y mínimos de interferencia sobre la superficie vertical.

Solución 43

a) Puesto que aquí los parlantes están emitiendo ondas en fase, la interferencia dependerá sólo de la diferencia de caminos desde cada parlante hasta un punto de la superficie vertical. Con la ayuda de la figura, y con L=150 [cm], calculamos las longitudes r1 y r2 correspondientes a los

(25)

Proyecto 11.06.31 UTFSM 2 1 4 ; 4 = + + = R r R r ; ∆r =r1−r2

Las ondas provenientes de uno y otro parlante llegan al punto P con desfase ∆ dado por: φ

2 r ∆ = ∆ π φ Luego; 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 2 5 3 4 4 L L R R π φ λ ∆ = + − +

Para obtener un máximo de interferencia se requiere ∆φ=n⋅2π , lo que es equivalente a ⋅

=

∆r n , con n=0,1,2,3...

Análogamente, para obtener un mínimo de interferencia se requiere ∆ =φ (2 1)n+ ⋅π , lo que es equivalente a ∆ =r (2n+ ⋅1) /2 , con n=0,1,2,3...

La longitud de onda del sonido utilizado es 0,50 680 340 = = = f v λ [m].

De acuerdo a la geometría de la situación, la mayor diferencia posible de camino ocurre justo en el punto central de la superficie vertical, para el cual R=0 , y su valor es ∆r =L/2=75 [cm]

/2 3⋅

= . La menor diferencia posible de camino es ∆r =0 y ocurre en puntos de la pantalla con R→∞ . Se concluye que la diferencia de camino varía entre cero y 3⋅ /2 . Por lo tanto, habrá sólo un máximo de intensidad sobre la superficie, correspondiente a ∆r= , y habrá dos mínimos de intensidad correspondiente a ∆r= /2 y ∆r=3 /2 . Este último será un punto oscuro en el centro de la superficie.

b) Usando n = 1 en la condición para máximos de interferencia y despejando R se obtiene:

65 , 1 4 3 ) 2 ( ) ( 2 12 2 2 2 2 max − = − = L L R

λ

_[m]

Análogamente, usando la condición para mínimos de interferencia con n = 1, se obtiene:

23 , 4 4 3 ) 4 / ( 2 12 2 2 2 2 min − = − = L L R

λ

_[m].

(26)

Considere la interferencia de las ondas de longitud de onda λ provenientes de dos fuentes puntuales separadas a una distancia d, cuyas oscilaciones son:

1 ( )

y = A sen t

ω

e y2 =A cos( )

ω

t

Escriba la condición de interferencia constructiva en un punto P arbitrario situado a distancias r1

y r2 de cada fuente.

Solución 44

En primer lugar usamos una conocida identidad trigonométrica para escribir ambas oscilaciones usando la misma función. Escogemos usar la función seno, y para ello escribimos:

2 cos( ) sen( 2)

y = A

ω

t = A

ω π

t+ .

Supondremos que el punto P está casi igualmente alejado de ambas fuentes de modo que ellas contribuyen con igual amplitud 2

P

A =A r a la superposición. Esto significa que se considera a ambos: r1 y r2, mucho mayores que la distancia d entre las fuentes. Sin embargo las

diferencias entre ellos producirán diferencias de fase que afectan a la superposición, según el valor de la longitud de onda, como se verá a continuación.

Puesto que la ondas se propagan con velocidad v, demoran un tiempo ∆ =t r ven ir desde una fuente hasta un punto que se encuentra a distancia r de ella. Esto significa que las oscilaciones en P, yP1 e yP2, ocurren un tiempo más tarde que en las fuentes, lo que permite escribirlas como

sigue:

1 [ ( 1 )]

P P

y = A sen

ω

t r v− yP2 =A senP [ (

ω

t r v− 2 )]

Para hacer la superposición de ambas oscilaciones en el punto P, usamos nuevamente una identidad trigonométrica: senα+senβ =2sen[(α β+ ) / 2] cos[(⋅ α β− ) / 2]. Entonces,

₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ 2 4 2 4 2 ( ) cos ( ) P P P P v v y = y +y = A sen ωt− ω r r+ +π ⋅ ω r r− −π .

El producto en la expresión anterior contiene dos funciones trigonométricas, una que depende del tiempo y describe una oscilación senoidal, y otra que es independiente del tiempo y determina la amplitud de la oscilación. En los lugares en que la función independiente del tiempo adopta sus

(27)

Proyecto 11.06.31 UTFSM cumple que el argumento de la función coseno satisface:

2 1

2v(r r) 4 m , m=0, , 2 ,

ω _{− − =}π _π _±_π _± _π

La condición anterior se puede expresar en función de la longitud de onda si usamos la relación 2 v

ω

=

π λ

. Así, la condición para un punto P en que la amplitud de oscilación es máxima se escribe como:

2 1

1 4

r r− = m+ λ

Esta es la condición de interferencia constructiva para la presente situación. Análogamente puede obtenerse la condición para los puntos en que la amplitud de oscilación es nula, o condición para interferencia destructiva: 2 1 1 4 r r− = m− λ. Solución 44 alternativa

Es conveniente escribir la oscilación de la fuente 2 de modo que muestre más claramente su diferencia de fase en /2 con la otra fuente.

) 2 / ( ) cos( 2 = A⋅

ω

t = A⋅sen

ω

t+

π

y

A continuación usamos la idea más básica de la propagación de ondas con velocidad constante v: la oscilación que ocurre en cierto instante en una fuente, también ocurre un lapso después en un punto que está a distancia r de ella y el retraso correspondiente es r / . Lo anterior permite v escribir matemáticamente cada una de las oscilaciones que se superponen en un punto P, a distancias r1 y r2 de las fuentes, como sigue:

)] / ( [ ₁ 1 A sen t r v y_P = ⋅

ω

− , y₂_P = A⋅sen[

ω

(t−r₂ /v)+

π

/2]

Note que el procedimiento consiste en reemplazar t de la oscilación en la fuente por (t−r/v) correspondiente al punto P. Esto es así pues lo que ocurre, por ejemplo, en t=0 para la fuente,

(28)

Proyecto 11.06.31 UTFSM debe ocurrir en t =r/v para el punto P. Para hacer la superposición recordamos la respectiva identidad trigonométrica, entonces:

] 2 / ) / ( [ )] / ( [ ₁ ₂ 2 1 + = ⋅

ω

− + ⋅

ω

− +

π

= y y A sen t r v A sen t r v y_P _P _P ] 4 / 2 / ) ( cos[ ] 4 / 2 / ) ( [ 2 ⋅

ω

−

ω

₁ + ₂ +

π

⋅

ω

₂ − ₁ −

π

= A sen t r r v r r v y_P _P

Hemos escrito 2AP en vez de A2 para tomar en cuenta la inevitable disminución de amplitud

que experimente una onda que se genera en una fuente puntual y viaja en dos o tres dimensiones. El factor coseno en la expresión anterior es independiente del tiempo y contiene los efectos de interferencia Para interferencia constructiva exigimos que ese factor sea 1± , y entonces el argumento debe ser:

π π

ω _r _r _m

v⋅( − )− 4 =

2 2 1 , siendo m un entero m=0 ,±1 ,±2,...

Usando la relación v=λf , con ω =2πf , la expresión anterior puede escribirse en términos de la longitud de onda como sigue:

λ

) 4 / 1 ( ) (r2 −r1 = m+

Análogamente, para interferencia destructiva se requiere que el factor coseno sea nulo, y para ello debe cumplirse: 2 ) 1 2 ( 4 ) ( 2 2 1 π π ω _⋅ _r ₋_r ₋ ₌ _m₋

v , siendo m un entero m=0 ,±1 ,±2,... , lo cual puede escribirse en términos de la longitud de onda como sigue:

λ

) 4 / 1 ( ) (r2 −r1 = m−

Note que las diferencias de camino (r₂ −r₁)correspondientes a un máximo y un mínimo consecutivos es /2, al igual que en el caso de la interferencia de fuentes puntuales en fase.

(29)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Dos parlantes P1 y P2 están conectados a un

generador sinusoidal de amplitud y frecuencia ajustable, que puede enviar señales con diferencia de fase a los parlantes. Un medidor del nivel de intensidad acústica se coloca en el punto Q a distancias d1 =8 m y d2

= 11 m de cada parlante, como se indica en la figura. Se realizan experimentos en que inicialmente se ajustan la frecuencia, en el valor f = 170 Hz , y ambas amplitudes de

modo que estando un parlante encendido y el otro apagado el medidor indica 60 db en ambos casos (P1 encendido, P2 apagado y viceversa).

a) Obtenga el nivel de intensidad en el punto Q cuando ambos parlantes están encendidos y el generador les proporciona señales en fase ( = 0).

b) Obtenga el nivel de intensidad en el punto Q cuando ambos parlantes están encendidos y el generador les proporciona señales con diferencia de fase ( = ).

c) Considere que se ajustan la frecuencia y la diferencia de fase en los valores = 0 y f=85 Hz ¿cual es el nivel de intensidad que indica el medidor colocado en el punto Q?

Solución 45

a) Vamos a suponer que las ondas longitudinales recibidas en el medidor viajan en la misma dirección, con el objeto de simplificar la situación para nuestro análisis. A continuación escribimos las relaciones entre intensidad I, nivel de intensidad J en decibeles y amplitud A de una onda sinusoidal.

) ( ) , ( 1 x t A sen kx t y = ⋅ −

ω

2 1 ₂ ( ) 1 _v _A I = ρ⋅ ⋅ ω J₁ =10⋅log₁₀(I₁/I₀)

En las relaciones anteriores, I0 =10−12 [W/m2], es la densidad del medio (aire), v = 340 [m/s] y

es la frecuencia angular de oscilación de un punto. Estas relaciones implican que la amplitud de las ondas que llegan al medidor provenientes de cada parlante tienen igual amplitud A.

1

2

Q

d2

(30)

Proyecto 11.06.31 UTFSM Puesto que de acuerdo al enunciado, J1 =60 db se obtiene para I1,

] / [ 10 ) ( 2 1 2 6 2 1 v A W m I ₌ _ρ_⋅ _⋅ _ω ₌ −

Aunque la amplitud A podría calcularse a partir de la relación anterior, no es necesario obtenerla para responder a lo pedido, como veremos a continuación.

Las oscilaciones en fase de ambos parlantes se describen por: ) ( ) ( 1 1 t A sen t yP = ⋅

ω

yP2(t)= A2⋅sen(

ω

t)

Las oscilaciones que se superponen en el medidor se obtienen de las expresiones anteriores, considerando los tiempos de viaje t1 y t2 de las ondas hasta ese lugar, y se representan por:

)] ( [ ) ( 1 1 t A sen t t yM = ⋅

ω

− yM2(t)=A⋅sen[

ω

(t−t2)] donde t1 y t2 satisfacen: d₁=v⋅t₁ , d₂ =v⋅t₂.

Usando los datos numéricos encontramos 2,0[ ] 170

340₌ _m

=

λ , y entonces d1 =4

λ

y d2 =5,5

λ

.

El resultado trigonométrico de la superposición es:

] 2 / ) ( cos[ ] 2 / ) ( [ 2 ₁ ₂ ₂ ₁ 2 1 y A sen t t t t t y y_M = _M + _M = ⋅

ω

−

ω

+ ⋅

ω

−

El factor coseno en la expresión anterior depende de la diferencia de fase ∆Φ_M =

ω

(t₂−t₁) entre las señales que llegan al medidor, y en este caso es:

π λ π ω( ) 2 ( 2 1) 3 1 2 = − ⋅ ⋅ = − = ∆Φ v d d v t t M

Con esta diferencia de fase en el medidor, el resultado de la superposición es nulo, lo cual puede verificarse evaluando el factor coseno, resultando cos(∆ΦM /2)=0 en este caso. Por lo tanto la intensidad del sonido en el medidor es nula: I = 0.

b) Supongamos que la oscilación en el parlante P1 no cambia y la oscilación en el parlante P2 se

atrasa en de modo que:

) ( ) ( 2 2 t =A ⋅sen

ω

t−

π

yP yM2(t)=A⋅sen[

ω

t−

ω

t2−

π

)]

En este caso la diferencia de fase en el medidor es:

π

ω

π

ω

2 + − 1 =∆Φ + =4 = Φ′ ∆ M t t M

(31)

Proyecto 11.06.31 UTFSM 1

) 2 /

cos(∆Φ′M = en este caso. Puesto que la amplitud resultante es 2A, la intensidad respectiva es I2 =4 I1 y por lo tanto el nivel de intensidad es:

db 66 60 6 ) / ( log 10 ) 4 ( log 10 ) / 4 ( log 10 10 1 0 10 10 1 0 2 = ⋅ I I = ⋅ + ⋅ I I = + = J

c) Siguiendo el mismo procedimiento que en la parte a) ahora se necesita recalcular la diferencia de fase entre las oscilaciones en el medidor. En este caso 4,0[ ]

85 340₌ _m = ′ λ , y entonces d1 = 2

λ

′ y d₂ = 752,

λ′

. Luego, 2 3 75 , 0 2 ) ( 2 ) ( 2 1 1 2 π_λ π π ω ⋅ − = ⋅ = ′ ⋅ = − ′ = Φ ′′ ∆ v d d v t t M , y en este caso el

factor coseno es cos(∆Φ ′′_M/2)=− 2 2. Luego, la amplitud resultante de la superposición en el medidor es A′= 2A.

El producto A′ω′que determina la intensidad resultante en este caso es Aω Aω 2

2 = ′

′ . Puesto

que la intensidad depende de dicho factor elevado al cuadrado, concluimos que en este caso la intensidad en el medidor es I3 = I1 /2. Luego el nivel de intensidad es:

db 57 60 3 ) / ( log 10 ) 2 ( log 10 ) 2 / ( log 10 10 1 0 10 10 1 0 3 = ⋅ I I =− ⋅ + ⋅ I I =− + = J

Note que cualquiera de los parlantes, a la frecuencia de 170 [Hz], produce en el medidor un nivel de intensidad de 60 db; al encender otro parlante en fase con el primero, la intensidad se reduce a cero porque la diferencia de caminos d2−d1 hasta el medidor es 1,5 ; al cambiar solamente la

diferencia de fase entre los parlantes al valor = , la intensidad aumenta cuatro veces y el nivel de intensidad sube a 66 db; finalmente al cambiar solamente la frecuencia a la mitad, la intensidad producida por ambos parlantes disminuye a la mitad y el nivel de intensidad disminuye a 57 db.

Puesto que las ondas longitudinales llegan al medidor formando un ángulo que no es exactamente cero, se esperaría que las conclusiones obtenidas acá respecto a la suma de amplitudes, no sean exactas. Sin embargo las diferencias en este caso son pequeñas y se deja al lector interesado la resolución de este último aspecto.

(32)

Un aviso comercial indica que un equipo musical con cuatro parlantes iguales, proporciona una potencia acústica de salida de 100 [W]. Con el objeto de verificar esta especificación se colocan juntos los parlantes formando una cruz, dirigiendo el sonido hacia los cuatro costados. Luego se aumenta el volumen del equipo al máximo mediante el control remoto, reproduciendo un sonido monótono de una frecuencia fija.

Suponga que la configuración de parlantes se modela como una fuente sonora puntual colocada en el suelo, emitiendo el sonido simétricamente dentro del volumen semiesférico que la rodea. a) ¿A qué distancia mínima de los parlantes puede estar una persona, sin lastimarse los oídos? b) Suponga que una persona debe acercarse a 2,0 [m] de los parlantes para empezar a sentir

dolor en sus oídos ¿qué potencia emiten realmente los parlantes?

Solución 46

a) La relación entre potencia P e intensidad I de una fuente puntual que emite con simetría esférica, se construye considerando que la potencia corresponde a la energía por unidad de tiempo que pasa a través de una superficie esférica de radio R, centrada en la fuente. Entonces,

2

4 P I= ⋅ πR

En nuestro caso toda la potencia se emite simétricamente sólo en un volumen semiesférico, entonces:

2

2 P I= ⋅ πR

Considerando que el umbral de dolor está en el nivel de intensidad J 120 [db]= , la respectiva intensidad I está dada por la relación:

(

12

)

10

10 log 10 120[ ]

J _{= ⋅} I − ₌ db _,

dónde el valor _{10 [ /}−12 _{W m}2_]_{es la intensidad mínima audible que corresponde al nivel de 0 [db].}

Al resolver la ecuación para la intensidad que corresponde a 120[db] resulta _I ₌_{1,0[ /}_{W m}2_]_.

Con este resultado y la potencia dada en el enunciado se calcula el radio correspondiente a la mínima distancia que una persona, con oído normal, puede acercarse al grupo de parlantes. Despejando R y calculando se obtiene:

(33)

Proyecto 11.06.31 UTFSM 4,0[ ]. 2 2 R m I

π

= = =

b) Usando la intensidad _I ₌_{1,0[ /}_{W m}2_]_{obtenida anteriormente, que marca el límite doloroso}

para una persona con oído normal, y la distancia dada en el enunciado, encontramos:

2 2

2 1 2 2 25[ ].

P I= ⋅ πR = ⋅ π⋅ = W

Nota. La potencia PMPO que aparece en las especificaciones de los equipos se refiere a la potencia máxima de salida durante intervalos muy cortos de tiempo, y no corresponde a la potencia usada en este ejercicio que se conoce como potencia RMS. Dicha potencia es un valor de estado estacionario, lo cual significa que puede mantenerse por largo tiempo.

(34)

Una bocina que esta en reposo en la cercanía de una pared, emite ondas de frecuencia 500 [Hz] que se propagan en direcciones opuestas, alejándose y acercándose a la pared respectivamente, con velocidad de 340 [m/s]. Dos personas, A y B se desplazan alejándose de la bocina, A se acerca a la pared con rapidez de 10 [m/s] y B se aleja de la pared con rapidez de 20 [m/s].

B _A

B

V _V_A

a) Determine las frecuencias y las longitudes de onda que percibe A. b) Determine las frecuencias y las longitudes de onda que percibe B.

Solución 47

Usando un sistema de coordenadas S fijo a la bocina, la onda que emite en dirección x se describe por:

( , ) ( - ) [ ( - S )]

y x t = ⋅A sen kx ωt = ⋅A sen k x v t ,

siendo k=2

π λ

, ω =kvS y v la velocidad del sonido. Usando también un sistema de S

coordenadas S' en movimiento junto con el observador A, es decir, con velocidad v_A respecto al sistema S, entonces de acuerdo a la transformación de Galileo, tenemos la siguiente relación entre las coordenadas en ambos sistemas:

t v x

x= ′+ _A . Luego, la descripción de la onda según el observador A es:

] ) ( [ )] ( [ ) , (x t A senk x v t v t A senkx k v v t y′ ′ = ⋅ ′+ _A − _S = ⋅ ′− _S − _A

Lo anterior indica que según el observador A, la longitud de onda no cambia y la frecuencia angular cambia a ω′=k(v_S −v_A)=ω(v_S −v_A)/v_S. Las relaciones ω =2πf y

ω

′_A =2

π

f ′_A conducen al resultado: ) 1 ( A S A f v v f′ = −

Notar que según el observador en movimiento se mantiene la longitud de onda y cambian la frecuencia y la velocidad de propagación. Esto contrasta con lo que sucede cuando un observador

x y

(35)

Proyecto 11.06.31 UTFSM longitud de onda y la velocidad de propagación.

La otra onda que percibe A viene en la dirección –x, después de reflejarse en la pared. El análisis anterior también es aplicable a la onda reflejada; solo cambia la dirección de propagación y en el resultado anterior basta cambiar v por S − para considerar que en este caso la onda se propaga vS

en la dirección contraria. Entonces,

) 1

( _A _S

A f v v

f ′′= +

El observador B percibe la onda emitida directamente por la bocina en dirección –x, cuya descripción en el sistema de coordenadas fijo a la bocina es:

)] ( [ ) ( ) , (x t A sen kx t A senk x v t y = ⋅ +ω = ⋅ + _S

Usando un sistema de coordenadas S'' fijo al observador B, con el eje x ′′ apuntando en la dirección x, tenemos que:

t v x

x= ′′− B ,

y la onda descrita por el observador B es:

] ) ( [ ) , (x t A senkx k v v t y′′ ′′ = ⋅ ′′+ _S − _B

De acuerdo a la expresión anterior, según el observador B la longitud de onda coincide con la original y la frecuencia es de valor:

) 1

( _B _S

B f v v

f′ = −

La otra onda que percibe el observador B proviene de la reflexión en la pared y tiene la misma dirección de propagación que la onda recién considerada. Luego, el análisis realizado es valido para ambas ondas, por lo tanto este observador percibe solo una frecuencia. En realidad el observador B percibe solo una onda que resulta de la superposición de ambas ondas de igual frecuencia e igual dirección de propagación, con diferentes amplitudes y constantes de fase.

(36)