- Guía 6 - Intervalos Limitados

(1)

INTERVALOS LIMITADOS

II..EE..I I ““RRóóssuullo o SSootto o CCaarrrriilllloo”” I I BBIIM M – – AARRIITTMMÉÉTTIICCA A – – 33RROO. . AAÑÑO O

Entre dos puntos de

Entre dos puntos de la recta numérica corresla recta numérica correspondipondienteentes s a a dos númerodos números s realereales s diferdiferenteentes, existen otros infinitos, existen otros infinitoss números reales.

números reales.

Esto hace que pensemos en

Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERV!"#.llamaremos INTERV!"#. $n INTERV!" en la recta numérica podemos %

$n INTERV!" en la recta numérica podemos %raficarlo as&'raficarlo as&'

...(()) ((** ((++ (( --  ++ ** )) //... 01u2ntos números naturales existen entre 3 4  )

01u2ntos números naturales existen entre 3 4  ) inclu4endo a éstos últimos5...

inclu4endo a éstos últimos5... 01u

01u2nt2ntos númeos números entros enteroeros exists existen entren entre 3+ e 3+ 4  4  // inclu4endo a éstos últimos5 ...

inclu4endo a éstos últimos5 ...

6ero... 0cu2ntos números reales existen entre 3+ 4  / 6ero... 0cu2ntos números reales existen entre 3+ 4  / inclu4endo a éstos últimos5 ... ...

inclu4endo a éstos últimos5 ... ... Es

Estotos s ininfifininitotos s núnúmemeroros s rerealales es pepertrtenenececen en a a unun su

subcbcononjujuntnto o de de R R llllamamadado o IINTNTERERVV!"!", , cucu4o4oss extremos son 3+ 4 ).

extremos son 3+ 4 ). $n

$n INTEINTERV!" pRV!" puede o no inuede o no incluir a los excluir a los extremotremos7s7 como también, un INTERV!" puede incluir s8lo a un como también, un INTERV!" puede incluir s8lo a un extremo7 se%ún esto podemos tener entonces di9ersos extremo7 se%ún esto podemos tener entonces di9ersos tipos de inter9alos que lue%o pasaremos a estudiar7 tipos de inter9alos que lue%o pasaremos a estudiar7 pero antes %eneralicemos la idea

pero antes %eneralicemos la idea de INTERV!"'de INTERV!"'

TIOS DE INTERVALOS TIOS DE INTERVALOS 6uede ser limitados o ilimitados.

6uede ser limitados o ilimitados. !.

!. ININTETERVRVALALOS LIMOS LIMITITADADOSOS..

aa.. ##i i iinncclluuiimmoos s a a lloos s eexxttreremmoos s eell INTERVALOINTERVALO eses CERRADO.

CERRADO. :r2ficamente :r2ficamente a

a x x bb

donde x representa a cualquiera de los elementos donde x representa a cualquiera de los elementos del inter9alo.

del inter9alo.

"bser9a que los extremos a 4 b est2n resaltados con "bser9a que los extremos a 4 b est2n resaltados con puntos ne%ros lo cual si%nifica que se inclu4e a los puntos ne%ros lo cual si%nifica que se inclu4e a los extremos.

extremos. Rep

Represresententaciaci8n 8n simsimb8lb8licaica ' ' xx∈∈ [[a 7 ba 7 b]]

11oommo o ccoonnjjuunnttoo'' 6 6 ;;{{xx∈∈ R < a R < a ≤≤ x x≤≤ b b}}

E"#$%lo& E"#$%lo& Re

Reprpresesenentatar r el el ininteter9r9alalo o de de núnúmemeroros s rerealales es xx comprendido entre 3 / 4  inclu4endo a estos extremos. comprendido entre 3 / 4  inclu4endo a estos extremos. :r2ficamente'

:r2ficamente'

((// --  RReepprreesseennttaaccii88n n ssiimmbb88lliiccaa '' xx∈∈ [[ ( / 7  ( / 7 ]]

11oommo o ccoonnjjuunnttoo'' 6 6 ;;{{xx∈∈ R < (/ R < (/ ≤≤ x x≤≤  }}

b.

b. #i n#i no ino inclcluiuimomos a los es a los extxtreremomos, es, ell INTERVALOINTERVALO eses ABIERTO

ABIERTO..

:r2ficamente' :r2ficamente'

aa xx bb

En este caso como los extremos a 4 b no pertenecen al En este caso como los extremos a 4 b no pertenecen al inter9alo, éstos se representan en la recta numérica inter9alo, éstos se representan en la recta numérica por dos c&rculos peque=os.

por dos c&rculos peque=os.

RReepprreesseennttaaccii88n n ssiimmbb88lliiccaa ' ' xx∈∈ ]]a 7 ba 7 b[[

11oommo o ccoonnjjuunnttoo'' 6 6 ;;{{xx∈∈ R < a > x > b R < a > x > b}}

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra ?+?+

$n INTERV!" es un subconjunto de R, cu4os $n INTERV!" es un subconjunto de R, cu4os elementos x est2n comprendidos entre los elementos x est2n comprendidos entre los E@TREA"# a 4 b que también son números reales E@TREA"# a 4 b que también son números reales que pueden o no estar incluidos en el inter9alo. que pueden o no estar incluidos en el inter9alo.

N

(2)

E"#$%lo&

Representar el inter9alo de números reales x comprendido entre 3 B 4 3 + sin incluir a estos extremos.

:r2ficamente'

(B (+

-Representaci8n simb8lica' x∈ ]( B 7 ( +[

1omo conjunto' 6 ;{x∈ R < 3 B > x > 3 + }

c. #i incluimos s8lo a uno de los extremos, el INTERVALO es SEMIABIERTO.

♦ A/i#rto %or la i01ui#r)a2 '#rra)o %or la

)#r#'3a.4 :r2ficamente'

a x b

qu&, s8lo / pertenece al inter9alo, no as& el extremo a.

Representaci8n simb8lica ' x ∈ ] a 7 b ]

1omo conjunto' 6 ;{x∈R < a > x ≤ b} ♦ A/i#rto %or la )#r#'3a2 '#rra)o %or la

i01ui#r)a.4 :r2ficamente'

a x b

En este caso, s8lo a pertenece al inter9alo, no as& el extremo /.

Representaci8n simb8lica ' x ∈ [ a 7 b C

1omo conjunto' 6 ;{x∈ R < a ≤ x > b}

ROBLEMAS RESELTOS

. Dados los inter9alos '

 ; [(B 7 + [ 4  ; [ ( / 7 B ] .

Fallar aG  ∪ bG ∩ 

Solu'ió-'

$n inter9alo es un conjunto. En este caso es posible el c2lculo de  ∪  4  ∩ 

recordando que un elemento de la $NIHN pertenece a , o a , o a ambos, 4 un elemento de la INTER#E11IHN pertenece a ambos conjuntos. :raficando los inter9alos dados en la recta numérica'

(B (/ - + B Del %r2fico se nota que'

aG ∪  ;[(B 7 B]

bG ∩  ;[(/ 7 + [

+. Dados los inter9alos '

 ; ] (* 7 + ] 4  ; [ / 7 [ . Fallar '

aG  (  bG  3  Solu'ió-'

Recordemos que los elementos que pertenecen a la diferencia  3 , pertenecen a  pero no pertenecen a . simismo, los elementos que pertenecen a  3 , pertenecen a  pero no pertenecen a .

:raficando los inter9alos dados en la recta numérica'

(* - /  + Del %r2fico se nota que'

aG  3  ; ] (* 7 / [ ∪ [  7 + ]

bG  3  ; ∅

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra

(3)

I.E.I “Rósulo Soto Carrillo” I BIM – ARITMÉTICA – 3RO. AÑO

. 1ompleta el si%uiente cuadro, %raficando en la recta numérica cada inter9alo dado'

Representaci8n simb8lica

del inter9alo Inter9alo como conjunto x∈ [ ( / 7 * ] {x∈ R < ( /≤ x≤ *} {x∈ R < (  > x≤ B} x∈ J / 7 ? C {x ∈ R < ( +≤ x≤ )} x ∈ [ 3 ) 7 - C {x∈ R < ( ≤ x > 3 *} x∈ [ 3 + 7 3 * J {x ∈ R < * > x > B } x ∈ J 3 * 7  C {x∈ R < 3 / > x≤ 3 }

. Dados los si%uientes inter9alos efectuar las operaciones indicadas'  ; J (B 7 ) ]  ;] + 7  [ 1 ; [ (  7 K [ D ; [ 3 * 7 B ] LG ∪ L+G  3  L*G L 3 1G∩ D L)G ∩ L/G ∪ 1 LKG L1 3  G∪ LBG  ∩ D LG 1 ∪ D L?G L 3 1G 3  L-G  3 D LG  ∩ D L+G  ∪ L 1∩ G L*G D 3  L)G  3 D L/G L ∆ G 3 1 LKG  3  LBG 1∆ D LG L ∪ DG∩ 1

G Dados los si%uientes inter9alos efectuar las operaciones indicadas.  ;[ 3 * , +] 7  ; ] 3 ) 7  [ 1 ;] 3 / 7 3 + ] 7 D ;] *, /[ E ; ] - 7 + ] 7 M ;[ 3  7 ) [ G ∪  +G ∩  *G  3  )G  3  /G ∪ 1 KG ∩ 1 BG  3 1 G 1 3  ?G ∪ D -G ∩ D G ∪ M +G M 3 E *G LE∩ 1G 3  )G L∩ DG 3 1 /G L∩ EG 3 L ∩ 1G KG L 3 G ∪ L 3 G BG  ∆  G L E 3 M G∆ D ?G L∩ DG 3 L 1 ∆  G +-G [ L 3 G ∪ 1 J ∆ D

G Desarrolla cada uno de los problemas propuestos' . En la si%uiente recta numérica se representan dos

inter9alos  4 . Encontrar el inter9alo  ∩

.

- 2 2 6

a) { 2} b)[ – 2 , 2] c) ] –2 ; 2[

d) [ -2 ; 6[ e)∅

+. Del problema anterior calcular ∪ 

aG { +} bG[ 3 + , + ] cG ] 3 + 7 K J

dG [ (+ 7 K [ eG∅

*. Del problema uno calcular  3 

aG { ( +} bG[ 3 + , K ] cG ] 3+ 7 K [

dG [ + 7 K[ eG∅

). 01u2ntos números enteros existen en el inter9alo

] ( B 7 B[

aG / bG B cG ) dG * eG N..

/. #abiendo que '  ; [ 3 B ,  ]  ; [ 3 + ,  [

4 1 ;] 3 * , + [ Fallar L 3 1G ∩ L 3  G

K. Representa los si%uientes inter9alos como conjuntos'

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra ?)

E+ERCICIOS DE ALICACI5N

A B

TAREA DOMICILIARIA N6 7

(4)

(5)

I.E.I “Rósulo Soto Carrillo” I BIM – ARITMÉTICA – 3RO. AÑO

{x∈ R < 3 B ≤ x≤ 3 *}

. Elabore un mapa conceptual de acuerdo al tema tratado.