RESOLVIENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA ( ).

RESOLVIENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA

RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 150 (131217)

Sea

Γ

la topología de

R

constituida por

R,

φ

y todos los intervalos infinitos

E

_x

= (x,∞)

donde

x ∈ R

.

a) Determinar los conjuntos cerrados de

₍

R, Γ

₎

.

b) Determinar la clausura de los conjuntos

_[

3, 7

₎

, 7, 24, 47,85

_{

_}

, 3, 6, 9,12,...

_{

_}

.

RESOLUCIÓN:

a) Puesto que los abiertos son

E

_x

= (x,∞)

,

R,

φ

, los cerrados son sus complementarios respecto de

R

:

R − R = φ

R − φ = R

R − x,∞

₍

₎

= −∞, x

₍

_]

Y la familia de cerrados del espacio topológico

₍

R, Γ

₎

será:

F = φ, R, −∞, x

_{

₍

_]

/ ∀x ∈ R

_}

b) La clausura de

A es el menor cerrado

A que le contiene, luego

3, 7

[

______

)

= −∞, 7

₍

_]

7, 24, 47,85

{

}

__________________

= −∞,85

₍

_]

3, 6, 9,12,...

{

}

__________________

= −∞,∞

₍

₎

= R

PROBLEMA 149 (151117)

Sea f una aplicación continua de [0,1] en sí mismo. Demostrar que f tiene al menos un punto fijo. RESOLUCIÓN: Hipótesis:

f : 0,1

[ ]

→ 0,1

[ ]

f continua

"

#

$

%$

x

0

∈ 0,1

[ ]

es punto fijo sii

f (x

0

) = x

0

Si f (0) = 0

, 0 será punto fijo

Si f (1) =1

, 1 será punto fijo

Si f (0) ≠ 0 → f (0) > 0

Si f (1) ≠1 → f (1) < 1

Sea la función

g : 0,1

_{[ ]}

→ R

, definida por

g(x) = f (x) − x, ∀x ∈ 0,1

_{[ ]}

Se tiene que:

g

es continua, por ser suma de dos funciones continuas

g( 0,1

_{[ ]}

)

es compacto conexo, por ser

_{[ ]}

0,1

compacto conexo y

g

continua.

Además:

g(0) = f (0) − 0 = f (0) > 0

g(1) = f (1) −1 < 0

Ahora bien, si

g(1) < 0 < g(0)

, y siendo

_{[ ]}

0,1

y

g( 0,1

_{[ ]}

)

compactos conexos, existirá en

0,1

[ ]

un punto

x

0 tal que

g(x

0

) = 0

:

∃x

0

∈ 0,1

[ ]

/ g(x

0

) = 0 → ∃x

0

∈ 0,1

[ ]

/ f (x

0

) − x

0

= 0 → ∃x

0

∈ 0,1

[ ]

/ f (x

0

) = x

0

PROBLEMA 148 (181017)

a) Determinar la ecuación de la envolvente a la familia de circunferencias que pasan por el orígen y tienen su centro en la parábola

y = x

2

b) Determinar la ecuación de la envolvente de un segmento móvil de longitud c constante dada, cuyos extremos se apoyan en los ejes cartesianos.

RESOLUCIÓN:

a) Ecuación de las circunferencias que pasan por el orígen:

x

2

+ y

2

− 2mx − 2ny = 0

Ecuación de los puntos que son sus centros:

y = x

2, en forma paramétrica:

x = t

y = t

2

!

"

#

$#

Centro de las circunferencias:

(t, t

2

)

. Por tanto,

x

2

+ y

2

− 2tx − 2t

2

y = 0

Derivamos respecto al parámetro t:

_{−2x − 4ty = 0 → t = −}

1

2

x

y

. Por tanto es

x

2

+ y

2

− 2 −

1

2

x

y

"

#

$

%

&

' x − 2 −

1

2

x

y

"

#

$

%

&

'

2

y = 0

Al simplificar:

x

2

+ y

2

+

x

2

y

−

1

2

x

2

y

= 0 → x

2

(2y +1) + 2y

3

= 0

Envolvente:

x

2

_{(2y +1) + 2y}

3

= 0

b) Ecuación canónica de la recta que contiene al segmento:

x a + y b =1

[1] Relación entre los parámetros:

a

2

+ b

2

= c

2 [2] Derivando [1]:

1

a

2

x +

1

b

2

y

db

da

= 0 [3]

Derivando [2]:

a + b

db

da

= 0 [4]

Sustituimos [4] en [3]:

1

a

2

x +

1

b

2

y −

a

b

"

#

$

%

&

' = 0 →

x

a

2

−

a

b

3

y = 0 → b =

y

x

"

#

$

%

&

'

1 3

a

x a + y b = 1 → x a +

x

y

"

#

$

%

&

'

1 3

y a = 1 → x a + x

1 3

_y

2 3

"

#

$

%

&

' a = 1 → x + x

1 3

_y

2 3

_{= a →1+}

y

x

"

#

$

%

&

'

2 3

= a x

a

2

+ b

2

= c

2

→ a

2

+

y

x

"

#

$

%

&

'

2 3

a

2

= c

2

→ a =

c

1+ y x

₍

₎

2 3

Finalmente, identificando ambas expresiones:

1+

y

x

!

"

#

$

%

&

2 3

'

(

)

)

*

+

,

,

x =

c

1+ y x

₍

₎

2 3

'

()

*

+,

1 2

→ x 1+ y x

₍

₎

2 3

'

()

*

+,

3 2

= c → x

2 3

_{1+ y x}

₍

₎

2 3

'

()

*

+,

= c

2 3

_{→ x}

2 3

_{+ y}

2 3

= c

2 3 Envolvente:

x

2 3

_{+ y}

2 3

= c

2 3 (Astroide)

PROBLEMA 147 (200917)

Para todos los

α

,

β

∈ G =

{

α

/

α

: Z → Z

}

sea

α × β

la aplicación definida por

(α × β)(x) = α(x).β(x)

donde

_{x ∈ Z}

y . es la multiplicación usual de los enteros. ¿Es

(G,×)

un grupoide?. ¿Posee elemento neutro?. ¿Qué elementos poseen inverso?.

RESOLUCIÓN:

a) Es un grupoide:

Por definición, se trata de probar que

×

es ley interna en

G

. Es decir, hay que probar que

α × β

pertenece a

G

, o sea, que

α × β

es una aplicación de

Z

en

Z

.

∀α, β ∈ G, ∀x ∈ Z, (α × β)(x) = α(x).β(x) ∧α(x) ∈ Z, β(x) ∈ G → α(x).β(x) ∈ Z →

→ (α × β)(x) ∈ Z → α × β ∈ G

.

En definitiva,

_{α, β ∈ G, α × β ∈ G → (G,×) grupoide}

b) Elemento neutro:

El elemento neutro

_φ

ha de cumplir:

_{φ ×α = α ×φ = α, ∀α ∈ G , o sea ∀x ∈ Z, ∀α ∈ G :}

(

φ

×

α

)(x) =

φ

(x).

α

(x) =

α

(x)

(

α

×

φ

)(x) =

α

(x).

φ

(x) =

α

(x)

"

#

$

%$

→

φ

(x) = 1

En definitiva, el elemento neutro del grupoide existe y está el definido por la condición de que:

∀x ∈ G,

φ(x) = 1

c) Elementos inversibles:

Un elemento

_{α ∈ G}

poseerá inverso

_α

'

si

_{α ×α ' = α '×α = φ}

, o sea, si es,

_{∀x ∈ Z}

,

α(x).α '(x) = 1

α '(x).α(x) = 1

!

"

#

$#

→ ∀α(x).α '(x) ∈ Z

Soluciones posibles:

_{α(x) =1 y α '(x) = −1 , o bien α(x) = −1 y α '(x) =1}

Los unicos elementos inversibles son los

φ

i

(x)

tales que φ

i

(x) = 1∨

φ

i

(x) = −1

PROBLEMA 146 (230817)

En una interpolación polinominal, encontrar el polinomio de interpolación para la función

f (x)

sabiendo que

f (0) = 1

f (1) = 3

f (2) = −2

"

#

$

%

$

$

RESOLUCIÓN: Soporte de la interpolación:

_{S = x}

[

₀

, x

1

, x

2

]

≡ 0,1, 2

[

]

Base:

_{B = 1, x, x}

2

!"

#$

Matriz de la interpolación:

G =

1 x

0

x

0 2

1 x

1

x

1 2

1 x

2

x

2 2

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

≡

1 0 0

1 1 1

1 2 4

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

Valores de la función en el soporte:

F =

1

3

−2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

Aplicamos la fórmula de Interpolación de Lagrange

p

n

(x) = B.L.F

.

Podemos calcular la matriz

L

bien como inversa de la matriz de la interpolación o bien como la matriz cuyas columnas son los coeficientes de los polinomios de Lagrange. Veámos su cálculo de ambas maneras.

a) Cálculo usando la matriz inversa de la matriz de interpolación:

L = G

−1

=

1

G

adj(trasp(G)) =

1

2

2

0

0

−3

4

−1

1

−2

1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

=

1

0

0

−3 2

2

−1 2

1 2

−1

1 2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

b) Cálculo usando los polinomios de Lagrange:

L

0

(x) =

x − x

1

(

)

(

x − x

2

)

x

0

− x

1

(

)

(

x

0

− x

2

)

=

(

x −1

)

(

x − 2

)

0 −1

(

)

₍

0 − 2

₎

= 1−

3

2

x +

1

2

x

2

L

1

(x) =

x − x

0

(

)

(

x − x

2

)

x

1

− x

0

(

)

(

x

1

− x

2

)

=

(

x − 0

)

(

x − 2

)

1− 0

(

)

₍

1− 2

₎

= 2x − x

2

L

2

(x) =

x − x

0

(

)

(

x − x

1

)

x

2

− x

0

(

)

(

x

2

− x

1

)

=

(

x − 0

)

(

x −1

)

2 − 0

(

)

₍

2 −1

₎

= −

1

2

x +

1

2

x

2

L =

L

₀₀

L

₁₀

L

₂₀

L

01

L

11

L

21

L

02

L

12

L

22

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

=

1

0

0

−3 2

2

−1 2

1 2

−1

1 2

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

Finalmente:

p

2

(x) = B.L.F = 1, x, x

2

!"

#$.

1

0

0

−3 2

2

−1 2

1 2

−1

1 2

!

"

&

&

&

#

$

'

'

'

.

1

3

−2

!

"

&

&

&

#

$

'

'

'

= 1+

11

2

x −

7

2

x

2

PROBLEMA 145 (260717)

Para la variable aleatoria

ξ

de contradominio

[

ξ

≥ x

0

]

y función de densidad de

probabilidad dada por

p(x) =

1

x

₀

e

−x x0

_{x ≥ 0}

0

x < 0

#

$

%%

&

%

%

Determinar: a) La función de distribución. b) Determinar

_{p x ≥ x}

_[

₀

_]

_{, ∀x}

. c) Representación gráfica. RESOLUCIÓN: a)

F(x) = p x ≥ x

[

0

]

=

p(x). dx

−∞ x

∫

=

p(x). dx

x₀ x

∫

=

1

x

0

e

− x x₀

. dx

x₀ x

∫

=

= −e

− x x0 x₀ x

= −e

−x x0

_{+ e}

−x0 x0

_{= e}

−1

_{− e}

−x x0

₌

1

e

−

1

e

x x0

b) lim

x→∞

p x ≥ x

[

0

]

= lim

x→∞

F(x) =

1

e

c) Representación gráfica:

PROBLEMA 144 (280617)

Hallar la ecuación de una hipérbola, referida a un sistema ortonormal contenido en los ejes coordenados, en cada uno de los siguientes casos:

a) Su excentricidad es 5/4 y su distancia focal es 5.

b) Su excentricidad es

13 3

y el punto

P(5,8 3)

pertenece a la hipérbola. c) Los puntos

P(25 4, 3)

y

Q(5, 0)

pertenecen a la hipérbola.

RESOLUCIÓN:

a)

e = c a = 4 5

c = 5

!

"

#

$#

→ a = 4 → b

2

= c

2

− a

2

= 25 −16 = 9 → b = 3

ecuación:

x

4

!

"

#

$

%

&

2

−

y

3

!

"

#

$

%

&

2

= 1

b)

e = c a = 13 3

5

a

!

"

#

$

%

&

2

−

8

3b

!

"

#

$

%

&

2

= 1

(

)

**

+

*

*

→

c

2

a

2

=

13

9

→

b

2

+ a

2

a

2

=

13

9

→ 9b

2

= 4a

2

25

a

2

−

64

9b

2

= 1

(

)

*

*

+

*

*

→

25

a

2

−

64

4a

2

= 1 →

→

25

a

2

−

16

a

2

= 1 →

9

a

2

= 1 → a = 3 , b

2

=

4

9

a

2

= 4 → b = 2

ecuación:

x

3

!

"

#

$

%

&

2

−

y

2

!

"

#

$

%

&

2

= 1

c)

25

4a

!

"

#

$

%

&

2

−

3

b

!

"

#

$

%

&

2

= 1

5

a

!

"

#

$

%

&

2

−

0

b

!

"

#

$

%

&

2

= 1

(

)

*

*

+

*

*

→

25

4a

!

"

#

$

%

&

2

−

3

b

!

"

#

$

%

&

2

= 1

a

2

= 25

(

)

*

+

*

→

25

16

−

9

b

2

= 1 → b = 4

ecuación:

x

5

!

"

#

$

%

&

2

−

y

4

!

"

#

$

%

&

2

= 1

PROBLEMA 143 (310517)

Mediante el Algoritmo de Euclides, obténgase el Máximo Común Divisor de los números

25905 y 12405. Obténgase también el Mínimo Común Múltiplo. RESOLUCIÓN: a) Cálculo del MCD(25905, 12405): 2 11 3 24 cocientes 25905 12405 1095 360 15 1095 1455 15 60 restos 360 0

Por tanto, el 15 es el número divisor al que corresponde el resto cero.

MCD(25905,12405)=15

b) Cálculo del MCM(25905,12405):

Por ser, para dos números cualesquiera, MCD(a,b).MCM(a,b)=a.b, se tiene que MCM(25905,12405) =25905.12405 / MCD(25905,12405) =25905.12405/15 = =21423435

PROBLEMA 142 (030517)

Sea (G,+) un grupo aditivo abeliano. Se pide:

a) Probar que para dos elementos, x e y, cualesquiera de G, se verifica que el opuesto de x+y es – x - y.

b) Demostrar que si H es subgrupo de G, entonces G/H es grupo abeliano.

c) Sea n un número entero. Probar que para dos elementos, x e y, cualesquiera de G se verifica que n.(x+y)=n.x+n.y.

RESOLUCIÓN:

a)

(x + y) + (−x − y) = (x + y + (−x)) + (−y) = (x + (−x) + y) + (−y) = (0 + y) + (−y) =

= y + (−y) = 0

∀x, y ∈ G, − (x + y) = −x − y

b)

∀x, y ∈ G → x + H, y + H ∈ G / H →

→ (x + H ) + (y + H ) = (x + y) + H = (y + x) + H = (y + H ) + (x + H )

O sea:

∀(x + H ), (y + H ) ∈ G / H, (x + H ) + (y + H ) = (y + H ) + (x + H )

c) 1. Si es

n = 0

:

n.(x + y) = 0.(x + y) = 0

n.x = 0.x = 0, n.y = 0.y = 0

!

"

#

$#

→ n.(x + y) = n.x + n.y = 0, ∀x, y ∈ G

2. Si es

_{n > 0}

:

Procedemos por inducción:

- para

n = 1 →1.(x + y) = x + y = 1.x +1.y

. Se verifica.

- para

n > 1 → ∃m ∈ N / n = m +1, (m > 0).

Supongamos la expresión cierta para m y veamos que entonces ha de ser cierta para m+1. Se tendrá:

n(x + y) = (m +1).(x + y) = m.(x + y) +1.(x + y) = m.x + m.y +1.x +1.y =

= (m.x +1.x) + (m.y +1.y) = (m +1).x + (m +1).y = n.x + n.y

Por tanto:

∀x, y ∈ G, ∀n ∈ Z

+

, n.(x + y) = n.x + n.y

3. Si es

n < 0 :

Hacemos

n = −m (m > 0)

:

n.(x + y) = (−m).(x + y) = m.(−1).(x + y) = m.(−(x + y)) = m.(−x − y) =

= m. (−x) + (−y)

_[

_]

= m.(−x) + m.(−y) = (−m.x) + (−m.y) = (−m).x + (−m).y =

= m. (−x) + (−y)

_[

_]

= m.(−x) + m.(−y) = (−m.x) + (−m.y) = (−m).x + (−m).y =

Por tanto:

∀x, y ∈ G, ∀n ∈ Z

−

, n.(x + y) = n.x + n.y

PROBLEMA 141 (050417)

Se desea obtener el punto de la gráfica de la función

f (x) =

x

2

4

− 2x

en el que la recta tangente es paralela a la recta de ecuación

3x − 2y +1 = 0

RESOLUCIÓN:

Pendiente de la recta tangente en x=x0:

m = f '(x

0

) =

1

2

x

0

− 2

Pendiente de la recta dada:

3x − 2y +1 = 0 → y =

3

2

x +1 → pend =

3

2

Si la recta tangente es paralela a la recta dada han de tener ambas la misma pendiente, luego:

1

2

x

0

− 2 =

3

2

→ x

0

= 7

El punto de la gráfica pedido es

₍

7, f (7)

₎

. Y como es

f (7) =

7

2

4

− 2.7 = −

7

4

, se tiene,

finalmente que el punto es

7, −

7

4

"

#

$

%

&

'

PROBLEMA 140 (080317) Estudiar la continuidad de a)

f

₁

(x) = + x

2

− 3x + 2, ∀x ∈ R

b)

f

2

(x) = L(cos x), en 0, 2

[

]

c)

f

3

(x) =

π

2

− x

2

.tgx, ∀x ∈ R

RESOLUCIÓN: a)

f

₁

(x) = + x

2

− 3x + 2

x

2

− 3x + 2 = 0 → x

₁

= 1, x

₂

= 2

y se tiene que

x ≤ 1 → x

2

− 3x + 2 ≥ 0

1 < x < 2 → x

2

− 3x + 2 < 0

x ≥ 2 → x

2

− 3x + 2 ≥ 0

La función existe en

R − (1, 2)

∀x ∈ R − (1, 2), f

1

(x + 0) = +lim

h→0

(x + h)

2

− 3(x + h) + 2 = + x

2

− 3x + 2 = f

1

(x)

∀x ∈ R − (1, 2), f

1

(x − 0) = +lim

h→0

(x − h)

2

− 3(x − h) + 2 = + x

2

− 3x + 2 = f

1

(x)

O sea,

f

₁

(x + 0) = f

1

(x − 0) = f

1

(x)

, por lo que

lim

Δx→0

f

1

(x + Δx) = f

1

(x)

La función existe y es continua en

R − (1, 2)

. b)

f

₂

(x) = L(cos x)

La función no existe si cos x ≤ 0 →

π

2

≤ x ≤

3π

2

, es decir, solo existe en

0,

π

2

!

"#

$

%

&

.

∀x ∈ 0,

π

2

#

$%

&

'

(, f

2

(x + 0) = +lim

h→0

L(cos(x + h)) = L(cos x) = f

2

(x)

∀x ∈ 0,

π

2

#

$%

&

'

(, f

2

(x − 0) = +lim

h→0

L(cos(x − h)) = L(cos x) = f

2

(x)

O sea,

f

₂

(x + 0) = f

2

(x − 0) = f

2

(x)

, por lo que

lim

Δx→0

f

2

(x + Δx) = f

2

(x)

La función existe y es continua en

0,

π

2

!

"#

$

%

&

. c)

f

3

(x) =

π

2

− x

2

.tgx

π

2

− x

2

= 0 → x = ±π

y se tiene que

f

3

(x)

no existe para x < −π, x > π .

Si x = ±

π

es tg(±π ) = ±∞ y

f

3

(x)

no está definida.

Campo de existencia:

₍

−

π

,

π

₎

Y se cumple que

f

3

(x + 0) = f

3

(x − 0) = f

3

(x)

, por lo que

lim

Δx→0

f

3

(x + Δx) = f

3

(x)

PROBLEMA 139 (080217)

Calcúlese por medio de una integral definida

A = lim a

n

siendo

(a

n

)

la sucesión cuyo término general es

a

n

=

1+

2

n

!

"

#

$

%

& 1+

4

n

!

"

#

$

%

& 1+

6

n

!

"

#

$

%

&... 1+

2n

n

!

"

#

$

%

&

n RESOLUCIÓN:

A = lim a

n

→ LA = L(lim a

n

) = lim(La

n

) = lim

1

n

k=1 n

∑

L 1+ 2

k

n

#

$

%

&

'

(

haciendo

k

n

= x

k

será Δx

k

=

k +1

n

−

k

n

=

1

n

, por lo cual:

A = lim

1

n

k=1 n

∑

L 1+ 2

k

n

"

#

$

%

&

' = lim

Δx_k→0

L 1+ 2x

(

k

)

Δx

k k=1 n

∑

=

_∫

₀1

L(1+ 2x). dx

hacemos un cambio de variables y a continuación integramos por partes:

h = 1+ 2x, dx =

1

2

dh → A =

0

L(1+ 2x). dx

1

∫

=

1

2

1

Lh. dh

3

∫

integrando por partes:

1

2

1

Lh. dh

3

∫

=

1

2

[

h.Lh

]

1 3

−

1

2

h

1 3

=

1

2

(L3

3

− 2) =

1

2

(L3

3

− Le

2

) =

1

2

L

3

3

e

2

= L

3

3

e

2

=

3 3

e

Resultado:

A =

3 3

e

PROBLEMA 138 (110117)

La gráfica de

y

2

+ 2xy + 40 x = 400

divide al plano en varias regiones una de las cuales está acotada. Calcula el área de esa región.

RESOLUCIÓN:

Si

x ≥ 0

, la función es

y

2

+ 2xy + 40x = 400

, es decir ,

y

2

− 400 = −2x(y + 20)

que es equivalente a

(y + 20)(y − 20) + 2x(y + 20) = 0 → (y + 20)(y − 20 + 2x) = 0

, que

corresponde a las dos rectas

y = −20

y = −2x + 20

"

#

$

%$

Si

x < 0

, tendríamos la función

y

2

+ 2xy − 40x = 400

, y por tanto es

y

2

− 400 = −2x(y − 20)

. O sea,

(y + 20)(y − 20) + 2x(y − 20) = 0 → (y − 20)(y + 20 + 2x) = 0

, que corresponde a las rectas

y = 20

y = −2x − 20

"

#

$

%$

La grafica de la función dada es la siguiente, donde se observa que la región acotada es el paralelogramo de base 20 y altura 40. El área es, por tanto, 800.