Proves d Hipòtesis amb Variables Qualitatives. Curs d'estadística Bàsica per a la Recerca Biomèdica UEB VHIR Alex Sánchez Pla

Curs d'Estadística Bàsica per a la Recerca Biomèdica

UEB – VHIR

Alex Sánchez‐Pla

[email protected]

Introducció

• Si la variable d'interès és categòrica la forma

de resumir-la és mitjançant una proporció.

• Podem plantejar diversos tests

– Sobre una variable (proves amb proporcions)

• La proporció (% d’afectats) coincideix amb un valor donat?

• La proporció (% d’afectats) és la mateixa en dues

poblacions?

– Sobre dues variables (khi-quadrat i relacionades)

• Hi ha associació entre dues variables categòriques?

• Hi ha relació entre els valors d’una variable categòrica

abans i després d’un tractament?

VARIABLES QUALITATIVES 1 variable 1 població Contrast 1 proporció 2 poblacions Contrast dues proporcions 2 Variables Independents n>5 Test khi-quadrat n<5 Test de Fisher Dependents Test Mcnemar

Resum

1.

INTRODUCCIO

2.

Contrastos per a una proporció

3.

Contrastos per a dues proporcions

4.

Anàlisi de taules de contingència

1.

Prova khi-quadrat

2.

Test de Fisher

3

5

6

Contrast per a una proporció

• Objectiu: comprovar si la proporció de successos en una variable

categòrica observada en una població s’ajusta a una proporció de

referència p

.

• Suposarem que es disposa d’una mostra de mida n.

• Farem servir un

test

normal, i requereix n  30 , n·p

= ≥ 5, n·q

= ≥ 5

• El contrast bilateral es planteja com: H

: p = p

vs H

: p ≠ p

• També es poden plantejar els tests unilaterals esquerra o dret

H

: p = p

vs H

: p < p

o be

H

: p = p

vs H

: p > p

7

Cas 1: contrast d’una proporció

Segons la bibliografia mèdica, al període 1950-1980, el percentatge d'individus obesos (criteri mèdic definit d'acord al índex de massa corporal IMC ≥ 30 kg/m2_{) era d'un}

15% en la població d'homes de més de 55 anys.

Una mostra aleatòria de la població obtinguda per enquesta a diferents Comunitats Autònomes, efectuada entre 2000 i 2003, va recollir que d'un total de 723 homes més grans de 55 anys, 142 eren obesos.

Atès l'interès en la salut pública, amb un nivell de significació del 5%, es pot considerar que la població d'homes més grans de 55 anys del període 2000-2003 te el mateix percentatge d'obesos que el que figura en la bibliografia?

Es compleixen les condicions:

•

•

•

Contrast de proporcions amb R

• Els tests de proporcions

amb R commander

necessiten que

proporcionem tot el

vector de dades.

• La instrucció d’R

prop.test

permet

fer-ho amb els comptatges

> prop.test(x=142, n=723, p=0.15)

1-sample proportions test with continuity correction

data: 142 out of 723, null probability 0.15

X-squared = 11.8493, df = 1,

p-value = 0.0005768

alternative hypothesis: true p is not equal to 0.15

95 percent confidence interval:

0.1684325 0.2276606

sample estimates: p

Contrasts de proporcions amb Rcmdr

• Els tests de proporcions

amb R commander

necessiten que

proporcionem tot el vector

de dades.

• Proporció menop a la

“població” = ?

10

Comparació entre (dues) proporcions

• Objectiu: comprovar si una variable binomial mesurada en dues poblacions diferents presenta la mateixa proporció de successos en totes dues.

• es disposa d’una mostra aleatòria simple per a cadascuna de les poblacions, de grandària respectiva n₁i n₂. és la freqüència relativa de successos a la població i.

• també es resol mitjançant una aproximació a la normal. El test requereix

• El contrast bilateral es planteja com: H₀: p₁ = p₂ vs H₁: p₁ ≠ p₂ • També es poden plantejar els tests unilaterals esquerra o dret

H₀: p₁ = p₂ vs H₁: p₁ < p₂ o bé H₀: p₁ = p₂ vs H₁: p > p₂

5

~

,

5

~

,

30

,

30



n



n

p



n

p



n

~

p

11

Cas 2: Comparació de proporcions

• per tal de detectar una certa variant de càncer de còlon es disposa de dues tècniques. Es vol comparar la seva efectivitat en la detecció, és a dir, la seva sensibilitat.

• una de les referències bibliogràfiques descriu que en una mostra de 210 pacients amb aquesta variant de càncer, la tècnica histoquímica clàssica el va detectar en 189 dels pacients.

• es processen amb una tècnica molecular alternativa altres 145 mostres de pacients amb aquesta variant de càncer, dels quals la tècnica en detecta 138 positius.

• les condicions d’aplicació del test es verifiquen, ja que:

Detecció

Prova Positiva Negativa Histoquímica 189 21 Molecular 138 7

5

138

~

5

189

~

210

30

145

30

















p

n

p

n

n

n

Comparació de proporcions amb R

• Amb la comparació de

proporcions passa el

mateix que amb una

sola

– R commander necessita

les dades

– L’ordre prop.test ho fa

directament

– El plugin EZR permet

calcular IC per a la

diferència de proporcions

> #####Confidence interval for a difference between two

proportions#####

> prop.diff.conf(189, 210, 138, 142, 95) [1] Difference : -0.072

[1] 95% confidence interval : 0.121 -0.023

13

Relació entre variables categòriques

• taula de contingència : classificació d'observacions d'acord a 2 característiques qualitatives, una d'elles determina les files i l'altre les columnes.

• quan la mostra correspon a una única població amb individus classificats d'acord a 2 variables qualitatives, l'objectiu és determinar si existeix relació entre les variables: és una prova d'independència.

• quan cada fila correspon a una mostra d'una població diferent

l'objectiu és determinar si les diferents poblacions tenen diferències significatives en la variable estudiada: és una prova d'homogeneïtat de poblacions. Clasif B₁ B₂ … B_s Total A₁ n₁₁ n₁₂ … n_1s n_1 A₂ n₂₁ n₂₂ … n_2s n_2 … … … … … A_r n_r1 n_r2 … n_rs n_r Total n_1 n_2 n_s N

14

Prova d‘independència

• Objectiu: comprovar en una única població la possible dependència de dues variables categòriques A, amb categories (A₁ ,..., A_r), i B, amb categories (B₁,..., B_s):

• si son independents, les probabilitats en la població han de verificar p(A_i ∩ B_j) = p(A_i) p(B_j) per a i=1,...,r i j=1,...,s amb i ≠j • Per tant

H₀: p(A_i ∩ B_j) = p_i p_j per a i=1,...,r i j=1,...,s amb i ≠j H₁ : alguna de les igualtats anteriors no és certa.

• Aquest test requereix que un 80% de les categories tinguin 5 o

15

Cas 3: prova de independència

Es vol comprovar si hi ha una possible relació entre la gravetat del tumor que presenten pacients amb càncer de colon i la mutació d’un cert gen que es pot detectar de forma molt precisa mitjançant una nova tècnica molecular.





mutació).

En termes de contrast d’hipòtesis:

H₀: La gravetat del tumor i la mutació son independents.

H₁: La gravetat del tumor i la mutació estan relacionats

Classificació Braf - Braf + Total

Grau 1 97 5 102

Grau 2 81 7 88

Grau 3 32 18 50

16

Obtenció de les freqüències esperades

la fórmula per les freqüències esperades sota la hipòtesis de independència és:

e_ij = ( n_i· · n_·j ) / N

Cap freqüència esperada és menor que 5

Observades Braf - Braf + Total

Grau 1 97 5 102

Grau 2 81 7 88

Grau 3 32 18 50

Total 210 30 240

Esperades Braf - Braf +

Grau 1 102·210 / 240 = 89.25 102·30 / 240 = 12.75 Grau 2 88·210 / 240 = 77.00 11.00

Càlcul de l’estadístic

• Hem observat això

• Si fossin independents

esperaríem això

• Quan més difereixin

més evidència tenim

en contra d’H

Observades Braf - Braf +

Grau 1 97 5

Grau 2 81 7

Grau 3 32 18

Esperades Braf - Braf + Grau 1 89.25 12.75 Grau 2 77.00 11.00 Grau 3 43.75 6.25 (n_ij-e_ij)2_/e ij Braf - Braf + Grau 1 (97-89.25)2_{/89.25=0.6730} 4.710 Grau 2 0.2078 1.4545 Grau 4 3.1557 22.0900

Calcul de khi quadrat amb R

Pearson's Chi-squared test data: .Table

X-squared = 32.2918, df = 2, p-value = 9.726e-08

fisher.test(.Table)

Fisher's Exact Test for Count Data

data: .Table

p-value = 1.578e-06

alternative hypothesis: two.sided

El test de Fisher

• El test khi quadrat pot ser inexacte amb mostres

petites.

• El test de Fisher calcula la probabilitat d’observar el

valor de test igual o més gran al observat construïnt

totes les possibles taules

– Amb un mateix nombre d’observacions

– I els mateixos totals de files i columnes

• S’anomena test exacte perque no fa servir una

distribució sino que es calcula de nou per cada taula

de dades  Millor opció que la khi-quadrat

• Test de dades aparellades amb dades categòriques.

– Per exemple si interessa determinar si un individu presenta

certa característica abans o després d’una intervenció.

• En un aquest estudi trobem 4 possibles resultats

– Característica present abans i després de la intervenció

– Característica absent abans i després de la intervenció

– Característica present abans i absent després de la

intervenció.

– Característica absent abans i present després de la

intervenció.

Taula per al test de McNemar

Condició 1\2

Present

Absent

Present

n

₁₁

n

₁₂

Test de Mc Nemar

• H

: La probabilitat que la característica estigui present

no canvia al fer la intervenció

• H

: La probabilitat es veu afectada per la intervenció.

• No es tracta com una taula de contingència sino com

un test de proporcions aparellades.

|)

|

(

2

)

05

.

0

96

.

1

(

|

|

:

.

.

:

.

.

z

Z

P

val

P

if

z

z

R

R

n

n

n

n

z

S

T



















Presentació del cas 4

• Subjectes de l’estudi: 165 dones a les que es va demanar

d’informar, després d’haver rebut un implant de silicona,

si aquest s’havia deteriorat.

– Aquesta possibilitat es va confirmar quirúrgicament

• Condicions (Cadascuna en totes les dones)

– Auto informe de Presencia/Absencia de problemes

– Confirmació quirúrgica de Presencia/Absencia

SELF * SURGICAL Crosstabulation

Count 69 28 97 5 63 68 74 91 165 Rupture No Rupture SELF Total Rupture No Rupture SURGICAL Total