CATEDRA OBRAS HIDRÁULICAS
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE
PREPARACIÓN: Dr. Inga. TERESA REYNA Mag. Ing. MARÍA LÁBAQUE
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Universidad Nacional de Córdoba
FLUJO DE AGUA EN SUELOS
1. INTRODUCCIÓN ... 3
2. LEY DE DARCY. ... 3
2.1. El coeficiente de Conductividad Hidráulica K... 5
3. ECUACIÓN DE LAPLACE. ... 5
4. Método de las Redes de Flujo ... 6
4.1. Condiciones de frontera. ... 6
4.2. Flujo Bidimensional ... 9
4.3. Casos Singulares de la Red de Corriente ... 10
4.4. Proceso de Cálculo ... 11
5. Método de Relajación ... 11
5.1. Derivación ... 11
5.2. Ley de Darcy ... 13
FLUJO DE AGUA EN SUELOS 1. INTRODUCCIÓN
Este apunte tiende a presentar información para el estudio del flujo de agua subterránea y los interrogantes asociados a ella:
1) Cantidad de agua que infiltra
2) Análisis de estabilidad de estructuras atravesadas por el flujo subterráneo o sobre él.
Los problemas de filtración en régimen laminar y permanente se obtienen resolviendo la ecuación de Laplace la cual es una ecuación de diferencias parciales elíptica. Existen diferentes métodos de solución:
a) Métodos Analíticos (Mapeo- Método de los Fragmentos- Solución en Forma Cerrada).
b) Método de las Redes de Flujo.
c) Modelos (analogía eléctrica, a escala, etc.).
d) Métodos Numéricos: Diferencias Finitas (método de la relajación) y por Elementos Finitos.
Se desarrolla primero la obtención de la ecuación de Laplace y se presenta la solución por el Método de las redes de flujo y el método numérico de la relajación.
2. LEY DE DARCY.
El flujo de agua en un medio poroso cumple la ley de Bernoulli modificada: h g 2 v y p g 2 v y p 2 2 2 w 2 2 1 1 w 1 + + +∆ γ = + + γ 1. donde: g: aceleración de la gravedad
p1, p2 : presiones en dos secciones, 1 y 2, a lo largo de cierta trayectoria de flujo
y1, y2 : elevaciones medias de las secciones 1 y 2 con respecto a un plano horizontal
arbitrario
2 1,v
v : velocidades de flujo * en las secciones 1 y 2 γγγγw : peso volumétrico del agua
h
∆ : pérdida de carga hidráulica entre las secciones 1 y 2 debida a la viscosidad del agua
* Velocidad de flujo v es la velocidad media con que fluye el agua a través de los poros del suelo en dirección de la corriente ; esto es, v = q/Av , siendo q el gasto y Av el área de vacíos en la sección recta del tubo de flujo. Debe distinguirse de la velocidad de descarga v = q/A, en que A es el área total de la sección recta del tubo de flujo. Siendo n la porosidad del suelo, la relación entre ambas velocidades es v = n v.
La suma de los tres primeros términos en cada miembro de la ecuación anterior se llama carga hidráulica total, h. Los términos individuales se llaman, respectivamente, carga de presión, carga de posición y carga de velocidad.
En todos los problemas prácticos de flujo de agua en suelos, la carga de velocidadv2/2g es despreciable ( v raramente es de orden mayor de 0,1 m/seg, por lo que v2/2g es en general menor de 0,0005 m) y por lo tanto
h y p y p w w ∆ + + = + 2 2 1 1 γ γ 2.
La pérdida de carga h∆ entre dos secciones cualesquiera en un tubo de flujo (Figura 1) puede obtenerse por integración de la ecuación diferencial
i K ds dh K v=− = 3.
que representa una relación empírica, conocida como ley de Darcy, entre la velocidad de descarga v y el gradiente hidráulico v =− K h d / s d en que ds se mide a lo largo de la trayectoria media de flujo.
Hay una frontera superior y una inferior de la velocidad v que limitan el. intervalo de validez de la ley de Darcy (Barron, 1948) ; sin embargo, puede considerarse que en la mayoría de los problemas de ingeniería civil, entre ellos los de presas, la velocidad de descarga cae en dicho intervalo. Figura 1.
2.1. El coeficiente de Conductividad Hidráulica K.
La constante de proporcionalidad K en la ec 3 se denomina coeficiente de conductividad hidráulica tiene unidades [L/T] y puede interpretarse físicamente como la velocidad de descarga correspondiente a un gradiente hidráulico unitario. En la tabla Tabla 1 se presentan los intervalos aproximados de k para diversos suelos.
Tipo de suelo Intervalo K (cm/seg)
Gravas limpias 100 a 1
Arenas limpias 1 a 10-3
Arenas muy finas, limos y
mezclas de arena y limo 10
-3 a 10-7
Arcillas 10-7 a 10-9
Tabla 1 Intervalo aproximado del coeficiente de conductividad hidráulica, K, para
diversos tipos de suelo.
3. ECUACIÓN DE LAPLACE.
Si se supone que ni el agua ni el suelo se deforman volumétricamente y que este se encuentra totalmente saturado, entonces el caudal de agua que entra a cualquier elemento de suelo de un dominio de flujo es idéntico al caudal que sale de él, lo que puede expresarse mediante la ecuación de continuidad :
0 z v y v x vx y z = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 4. donde:
vx, vy, vz son las velocidades de descarga en tres direcciones x, y, z, mutuamente
ortogonales.
2 1 T T,ν
ν
Introduciendo en la ecuación anterior (ley de Darcy) se llega a la condición hidrodinámica que gobierna el flujo permanente del agua en suelos (ecuación de Laplace): 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z h y h x h 5.
donde h = y + p/γw es la carga hidráulica Figura 1
Se dice que hay flujo permanente cuando sus características no varían con el tiempo. La solución de la ecuación diferencial 5 con las condiciones de frontera apropiadas da la variación de la carga hidráulica, y por tanto la dirección del escurrimiento en todo punto de la zona de flujo
En la mayoría de los casos que aquí se tratarán, las condiciones de flujo pueden considerarse aproximadamente bidimensionales y, por tanto, la ecuación de Laplace se reduce a
0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y h x h 6.
4. Método de las Redes de Flujo
Para la resolución de la ecuación 6 por el Método de las Redes de Flujo, se trabaja con el hecho de que dicha solución puede representarse geométricamente mediante dos familias de curvas mutuamente ortogonales, una de las cuales está constituida por las curvas de igual carga hidráulica o líneas equipotenciales (h = constante), y la otra por las líneas de corriente o de flujo. El conjunto de ambas familias de curvas se llama red de flujo, de la cual se dan ejemplos en las Figura 2 y Figura 3.
Figura 2 Flujo confinado bajo la cimentación de una, es estructura vertedora
4.1. Condiciones de frontera.
El primer paso para resolver un problema de flujo es la especificación de las condiciones de frontera, para lo cual es necesario determinar las características geométricas e hidráulicas de las superficies extremas que delimitan el dominio de flujo. En los casos de flujo bidimensional (o tridimensional con simetría axial), una sección del medio en la dirección del flujo es representativa de las condiciones en cualquier otra, y aquellas superficies se reducen a líneas. En medios homogéneos hay cuatro posibles clases de líneas de frontera:
a) frontera suelo infiltrado-suelo impermeable (frontera impermeable). b) frontera agua-suelo infiltrado.
c) frontera suelo infiltrado-suelo permeable no infiltrado (línea superior de flujo). d) frontera suelo infiltrado-aire (línea de descarga libre).
a) Frontera suelo infiltrado - suelo impermeable (frontera impermeable). A través de una frontera de este tipo el agua no puede fluir. Por tanto, los componentes normales de la velocidad son nulos a lo largo de ella y dicha frontera define una línea de flujo (recíprocamente, toda línea de flujo puede tratarse como si fuese una frontera impermeable).
Figura 3 Flujo no confinado a través de una presa
Las líneas BCDEF y HI en la Figura 2, y la línea BC en la Figura 3, son ejemplos de
fronteras impermeables, pues se supone que la permeabilidad del material que constituye la estructura vertedora de la Figura 2 es despreciable en comparación con la del suelo de cimentación, y, en la Figura 3, otro tanto acerca de la permeabilidad del
suelo o roca debajo de AD, en comparación con la del suelo que constituye la presa.
b) Frontera agua-suelo infiltrado. Estas fronteras son ejemplificadas por ABy FG en la Figura 2, y por BE y CG en la Figura 3. En vista de que en el flujo de agua en suelos la carga de velocidad es despreciable, la distribución de presión en las fronteras agua-suelo infiltrado puede considerarse hidrostática. Entonces en un punto cualquiera de ellas, por ejemplo el punto P sobre la frontera BE (Figura 3), la carga de presión es
(h3 -y) y la carga de posición es y, por lo que en cualquier punto de la frontera BE la
carga hidráulica total será:
(h3 - y) + y = h3.
Entonces, la condición que debe cumplirse en toda frontera agua-suelo infiltrado es h = constante
Así pues, cada una de dichas fronteras es una línea equipotencial.
c) Frontera suelo infiltrado-suelo permeable no infiltrado (línea superior de
flujo ). En la Figura 3, la línea EF separa, dentro de la misma masa de suelo BHIC, la
zona de flujo BEFGC de la porción de suelo que teóricamente no es infiltrado por el agua que fluye de un lado a otro de la presa. Obviamente, los componentes de la velocidad, v, normales a dicha línea son nulos, y por tanto esta es una línea de flujo; pero el hecho de ser precisamente la línea superior de flujo le impone condiciones adicionales que no son comunes a cualesquiera otras líneas de corriente: la presión es constante en toda ella (igual a la atmosférica) y, siendo despreciable la carga de velocidad, la carga hidráulica total en dicha línea es
h = y 7.
lo que indica que la carga de las líneas equipotenciales que corten la línea superior de flujo será idéntica a la elevación del punto de intersección. Esto requiere que, si se
trazan equipotenciales con caída de carga ∆h constante, la diferencia de elevación de
las intersecciones de dos equipotenciales contiguas cualesquiera con la línea superior de
flujo sea también constante e igual a ∆h(Figura 4).
Por otra parte, se puede demostrar que las condiciones de entrada y de salida de la línea superior de flujo son las mostradas en la Figura 5.
d) Frontera suelo infiltrado-aire (línea de descarga libre ). La línea FG en la Figura 3 es una frontera de este tipo. En ella, como en la línea superior de flujo, la carga hidráulica es igual a la de posición, esto es, se cumple la ecuación 7. Sin embargo, FG no es línea de flujo, aunque tampoco es equipotencial; es simplemente una cara de descarga libre.
Por la ecuación 7 es evidente que FG no es una equipotencial. Se puede demostrar que tampoco es línea de corriente, como sigue: por las propiedades idénticas de las líneas de flujo y de las fronteras impermeables, pueden sustituirse las líneas de corriente EF y JG por fronteras impermeables sin que se alteren las condiciones de flujo entre ellas; si FG fuera línea de flujo, los componentes de v normales a ella serian nulos y el gasto a través del tubo de flujo definido por EF y JG también se anularía ; lo que es imposible siendo permeable el suelo comprendido en dicho tubo. El mismo razonamiento sirve para demostrar que dos líneas de corriente jamás se cortan.
En forma análoga a lo que ocurre con la línea superior de flujo, la ecuación 7 obliga a que todo par de- equipotenciales corten la línea de descarga libre en puntos con diferencia de elevación igual a la diferencia de carga hidráulica de dichas equipotenciales. En el caso de la línea de descarga libre, es obvio que tales intersecciones no ocurrirán perpendicularmente, pues se ha demostrado que la línea de descarga libre no es línea de flujo.
Atendiendo a las condiciones de frontera, los problemas de flujo de agua en suelos pueden clasificarse en dos categorías:
1) los de flujo confinado, en que todas las fronteras del dominio de flujo son conocidas de antemano, en cuyo caso las fronteras son de los tipos a y b descritos;
2) los de flujo no confinado, en que para tener completamente especificadas las condiciones de frontera es necesario definir previamente una de las dos fronteras desconocidas ([as de los tipos c y d, esto es, la línea superior de flujo y la de descarga libre).
La Figura 2 muestra un caso de flujo confinado, y la Figura 3 uno de flujo no confinado. En la mayoría de los casos de interés práctico, la solución analítica de la ecuación 6 es imposible. Otros procedimientos para tal solución son el método gráfico, el de modelos físicos, los de analogía eléctrica y diversos métodos numéricos. El procedimiento más adecuado y el grado de su refinamiento dependerán en cada caso del fin que se persigue; cuando solo interesa la estimación del gasto, generalmente basta una solución burda de la ecuación 6 por el procedimiento más expeditivo (casi siempre el método gráfico); pero cuando se pretende la determinación de presiones de poro o gradientes hidráulicos en ciertas zonas críticas, es necesario un mayor refinamiento, cualquiera que sea el método de solución empleado. En algunos de estos últimos casos, la aplicación de métodos numéricos con técnicas de Monte Carlo puede resultar ventajosa.
Figura 4 Condición de intersección de las equipotenciales con la línea superior de flujo
4.2. Flujo Bidimensional
El método gráfico es aplicable a la solución de la ecuación 6 para flujo bidimensional y en ciertos casos de flujo tridimensional con simetría axial. Desde el punto de vista pedagógico, dicho método tiene sobre los demás la ventaja de desarrollar en quien lo utiliza sistemáticamente una clara concepción física de las características generales del flujo de agua en suelos y de sus detalles más significativos.
Ya se mencionó que la solución de la ecuación 6 en un dominio de flujo homogéneo e isótropo está representada geométricamente por lo que se llama red de flujo, formada por infinidad de curvas pertenecientes a dos familias de líneas mutuamente ortogonales: las de flujo o corriente y las equipotenciales.
De la infinidad de equipotenciales y líneas de corriente, deben tomarse número de curvas de cada familia, de modo que entre cada par de líneas de flujo adyacentes el
gasto sea el mismo, ∆q, y entre dos equipotenciales vecinas cualesquiera la caída de
carga hidráulica sea idéntica, ∆h.
De ese modo se obtiene una red formada por nf = q/∆q canales de flujo y ne = h/∆q
caídas de potencial, en que q es el gasto total a través de la zona de flujo y h es la diferencia de carga hidráulica entre las equipotenciales extremas. Considérese un rectángulo cualquiera de la red de flujo resultante. Por la ley de Darcy, el gasto que pasa a través de él es e n h b a K xa b h K q = ∆ = ∆ 1
Se considera que el espesor del tubo de flujo en la dirección perpendicular al plano de la figura es unitario. Donde:
b a n n Kh n q e f q f∆ = = 8.
En vista .de que q, k, h y nf.,/ne son constantes para un problema dado, la relación de
lados a/b debe ser la misma para todos los rectángulos de la red. Este es uno de los principios básicos para el trazado de redes de flujo. En caso de que se elija a/b = 1, todos los elementos de la red serán "cuadrados" como en las Figura 2 a Figura 4, y la ecuación para el gasto por unidad de espesor de la zona de flujo será
e f n n Kh q =
Subdividiendo un número de veces suficiente cada elemento de la red de flujo, mediante líneas que definan tubos de flujo de igual gasto y equipotenciales de igual caída de carga, se debe obtener al fin elementos rigurosamente cuadrados, excepto en ciertos puntos singulares aislados. En torno a dichos puntos aparecen en la red de flujo cuadrados singulares (con más o menos de cuatro lados, como en el punto C de la fig Figura 2, con lados que no se intersecan perpendicularmente, como en el punto B de la Figura 3, o bien con lados cuya intersección está a distancias infinitas, como en los cuadrados singulares de la extrema derecha y de la extrema izquierda en la red de flujo
de la Figura 2. El único procedimiento válido para investigar si un cuadrado singular
está o no correctamente trazado consiste en subdividirlo; si cada subdivisión da lugar a tres cuadrados regulares y un cuadrado singular geométricamente semejante al original, este es correcto.
El coeficiente nf,/ne se llama factor de forma de la red de flujo y fija la relación de lados
a/b; su valor es independiente del número de canales de flujo o de caídas de potencial usados. Por otra parte, se puede demostrar que la ec 6 tiene solución única, es decir, que si en un problema dado se logran trazar dos familias de curvas mutuamente ortogonales cuyas intersecciones definan cuadrados y satisfagan las condiciones de frontera, dichas familias son la respuesta de la ecuación de Laplace (ecuación 6) para el problema dado. Esto constituye la justificación del método gráfico para la solución de problemas de flujo de agua en suelos.
4.3. Casos Singulares de la Red de Corriente
En los puntos de entrada o emergencia entre dos medios pueden darse circunstancias que modifiquen las leyes generales.
En principio, la superficie de entrada es una equipotencial, por lo que las líneas d corriente deben ser normales a ella, pero cuando está en desplome (situación que suele presentarse en los núcleos de las presas de material suelto) el ascenso no es posible, y la superficie libre es horizontal (a). El punto es singular y la velocidad en él es nula. En un punto de emergencia, si es un paramento, la superficie libre es tangente a él (d). Pero si se trata de un contacto en desplome, su tangente será vertical (f). Sin embargo en este caso no se trata de un punto singular, y la línea sigue siendo normal a la equipotencial.
Figura 5 Condiciones de entrada y de salida de la línea superior de flujo (tomados de Casagrande, 1925-1940)
4.4. Proceso de Cálculo
1) Se divide el espacio en rectángulos y triángulos con líneas paralelas a los ejes
coordenados.
2) Se establecen las líneas de fronteras (Línea de Saturación, Línea de Corriente,
Línea equipotancial, Línea isobara) y sus potenciales.
3) Se divide la red delimitada trazando líneas lo más paralelas posibles a las
fronteras.
4) Tanteo líneas hasta obtener que cumplan con dos condiciones entre ellas:
ortogonalidad entre las líneas de corriente y las equipotenciales; discretización en figuras cuadradas
5. Método de Relajación
El método de relajación permite obtener la solución de la ecuación de Laplace por diferencias finitas.
5.1. Derivación
Para infiltración en dos dimensiones, y para flujo permanente, la distribución de la altura de carga la ecuación de Laplace toma la forma:
0 2 2 2 2 = + z h Kz x h Kx ∂ ∂ ∂ ∂ (1)
h x h z h1 h3 h2 ho h4 dx dx 0 2 1 3 dz dz 4 ho
Para flujo en la dirección x, la relación entre las alturas de carga h1, h0, y h3, usando la
expansión en series de Taylor. h1 = h0 + (∂ ∂ h x)dx + ( ∂ ∂ 2 2 h x )(dx) 2/2! + (∂ ∂ 3 3 h x )(dx) 3/3! + ... (2) h3 = h0 - (∂ ∂ h x)dx + ( ∂ ∂ 2 2 h x )(dx) 2/2! - (∂ ∂ 3 3 h x )(dx) 3/3! + ... (3)
Sumando las ecuaciones (2) y (3), se obtiene: h1 + h3 = 2h0 + 2(∂ ∂ 2 2 h x )(dx)
2/2! + ( términos de mayor orden de dx ) (4)
Despreciando los términos mayor orden, asumiendo que un paso dx lo suficientemente pequeño, la ecuación (4) se puede reescribir como:
∂ ∂ 2 2 h x = ( h1 + h3 - 2h0) / (dx) 2 (5)
Para flujo en la dirección z , se obtiene una relación similar: ∂ ∂ 2 2 h z = ( h2 + h4 - 2h0) / (dz) 2 (6)
Sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (1), se obtiene: 0 ) ( 2 ) ( 2 2 0 4 2 2 0 3 1+ − + + − = dz h h h Kz dx h h h Kx (7)
Para un suelo isotrópico, Kx = Kz = K and dx = dz, y la ecuación (7) se simplifica quedando:
5.2. Ley de Darcy q = KiA. q1-0 = K (h1 - h0)(dz/dx) (8) q2-0 = K (h2 - h0)(dx/dz) (9) q0-3 = K (h0 - h3)(dz/dx) (10) q0-4 = K (h0 - h4)(dx/dz) (11)
Para el punto 0, qin = qout
q1-0 + q2-0 = q0-3 + q0-4
Se puede obtener el mismo resultado que para la ecuación (a):
Puntos simétricos
h0 = (2h1+2h2+2h3+2h4) / 8
Para diferentes condiciones de borde, se pueden escribir diferentes ecuaciones para evaluar la carga. Se presentan a continuación seis casos.
Caso (a): Elemento básico para región uniforme
h0 = (h1+h2+h3+h4) / 4 (a) 2 0 4 3 1 2 0 4 3 1 2 3 4 1
Caso (b): Borde impermeable
h0 = ( h1+ 2h2 + h3 ) / 4 (b)
Case (c): Esquina
h0 = ( h1 + h2 ) / 2 (c)
Caso (d): Esquina región exterior
h0 = ( 2h3 + 2h4 + h2 + h1 ) / 6 (d)
Caso (e): Pila
h0 = ( 2h1 + h2’ + h2” + 2h3 + 2h4 ) / 8 (e) 2 0 3 1 2” 0 4 3 1 2’ 2 0 1 2 0 4 3 1
Caso (f): Capas de suelo Suelo 1, K1 Suelo 2, K2 h0 = { h1 + [2K1 / ( K1 + K2 )] h2 + h3 + [2K2 / ( K1 + K2 )] h4 }/4 (f) 2 0 4 3 1
5.3. BIBLIOGRAFÍA
- “Presas de Tierra y Enrocamiento”. Raúl J. Marsal y Daniel Resendiz Nuñez. Capítulo 5.·Edición 1975, Talleres de Victoria Litográfica, S.A., Naucalpan, Edo. de México.
- “Groundwater and Seepage”. Milton Harr. MacGraw-Hill. Año 1962. New York.
- “Tratado Básico de Presas”. Eugenio Vallarino. Tomo I: Capítulo 3 y 13. Colegio de Caminos, Canales y Puertos. 5º Edición 2001. España.
