ANALISIS COMBINATORIO

(1)

ANÁLISIS COMBINATORIO

En esta parte se desarrollan las nociones básicas dela teoría matemática !e En esta parte se desarrollan las nociones básicas dela teoría matemática !e est!dia las di"erentes t#cnicas de conteo$ conocida como análisis combinatorio% est!dia las di"erentes t#cnicas de conteo$ conocida como análisis combinatorio%

1. 1. PRIN

PRINCIPI

CIPIOS BÁSIC

OS BÁSICOS DEL PRO

OS DEL PROCESO DE C

CESO DE CONT

ONTAR

AR

1 1..1

1..

P

PR

RIIN

NC

CIIP

PIIO D

O DE M

E MU

UL

LT

TIIP

PL

LIIC

CA

AC

CIIÓ

ÓN

N::

T

Teo

eore

rema 1.-

ma 1.-

SSeeaa SS

=

{{

aa11,, aa22,,⋯⋯,, aa_m_m

}}

!n !n cocon&!n&!ntnto o de de m m elelememenentotos s '' T

T

=

{{

bb11,, bb22,,⋯⋯,, bbnn

}}

$ !n con&!nto de n elementos$ entonces el n(mero de$ !n con&!nto de n elementos$ entonces el n(mero de

pares

((

aa j j;; bbk k

))

!e p!eden ser "ormados tomando !n elemento de S ' !n !e p!eden ser "ormados tomando !n elemento de S ' !n

elemento de T es) elemento de T es)

m m.. nn Es decir si

Es decir si !na decisi*n se p!ede tomar de m !na decisi*n se p!ede tomar de m maneras$ ' !na +e, tomadamaneras$ ' !na +e, tomada !na de ellas !na se-!nda decisi*n es tomada de n maneras$ entonces el !na de ellas !na se-!nda decisi*n es tomada de n maneras$ entonces el n(mero de maneras de tomar ambas decisiones es i-!al a

n(mero de maneras de tomar ambas decisiones es i-!al a m . nm . n

b

11

b

22

b

33

b

k k

b



a

11

a

22

a

33

a

! !

a

mm Ejemplo:

Ejemplo: S!pS!pon-on-amamos os !e !e c!ac!atrtro o !ni!ni+e+ersirsidaddades es de de la la RRe-ie-i*n *n P!P!nono de

desesean an cocontntraratatar r !n !n ememplpleaeado do papara ra cacada da !n!na a de de lalas s trtres es áráreaeas)s) biblioteca$ mantenimiento ' personal .C!ántas oport!nidades de empleo biblioteca$ mantenimiento ' personal .C!ántas oport!nidades de empleo /a' disponibles0

/a' disponibles0 Solu

Soluciónción:: 1a' tres empleos por cada !na de las c!atro !ni+ersidades$1a' tres empleos por cada !na de las c!atro !ni+ersidades$ esto es)

esto es)

m

m .. nn==

((

44

) ) ((

33

))

=12=12

Es

Es dedecicirr$ $ /a/a' ' 223 3 popossibiblles es paparres es dde e !!nini++eersrsididaad d ' ' eemmplpleeo o o o 2233 oport!nidades disponibles de

oport!nidades disponibles de empleoempleo%%

Ing. Ronald Mamani Mayta

(2)

UNI"ERSIDAD

EMPLEOS

2 4iblioteca 5antenimiento Personal 3 4iblioteca 5antenimiento Personal 6 4iblioteca 5antenimiento Personal 7 4iblioteca 5antenimiento Personal

Ejemplo: Si e8isten 6 candidatos para -obernador ' 9 para alcalde$ .De c!ántas "ormas p!eden oc!parse los dos car-os0

Solución:

1.2. A#RUPAMIENTOS M$LTIPLES:

Teorema 2:

Sean S1

={

a1, a2,⋯, a_n₁

}

!n con&!nto de n

2 elementos$

S2

={

b1,b2,⋯, b_n₂

}

!n con&!nto de n

3 elementos$ : $ Sr

={

x1, x2,⋯, xnr

}

!n con&!nto de nr elementos$ entonces es posible "ormar

n

=

n1∙ n2⋯nr

Gr!pos ordenados$ con r elementos en cada -r!po

{

a j1, b j2,⋯, x jr

}

$

donde a j1 es !n elemento de S1 $ b j2 es !n elemento de S2 $ :$

x_j

r es !n elemento de S_r

Ejemplo: Un cond!ctor de !n a!tom*+il p!ede tomar c!al!iera de las 9 r!tas para ir de la ci!dad A a la ci!dad 4; ' para ir de la ci!dad 4 a la ci!dad C p!ede tomar c!al!iera de las 7 r!tas ' <nalmente para ir de la ci!dad C a la ci!dad D tiene = r!tas posibles% Si para ir de A a D debe ir de de A a 4$ de 4 a C ' de C a D% .C!ántas r!tas posibles tiene para ir de A a D0

Solución: Sean

n1

=

número derutas de A a B

=

5 n₂

=

número derutas de B a C

=

4

n3

=

número derutas de C a D

=

6

(3)

Por lo tanto el n(mero total de maneras en !e se p!ede constr!ir !na r!ta completa es)

n

=

n₁∙ n₂∙ n₃

=

(

5

) (

4

) (

6

)

=

120

Ejemplo: S!pon-a !e las personas son clasi<cadas de ac!erdo al se8o$ estado ci+il >soltero o casado? ' pro"esi*n$ si /a' 6@ pro"esionales% .De c!ántas maneras se p!ede /acer esta clasi<caci*n0

Solución:

1.3. PRINCIPIO DE ADICIÓN:

Teorema 3.-

Si dos decisiones son m!t!amente e8cl!'entes ' la primera se p!ede tomar de m maneras ' la se-!nda de n maneras$ entonces !na o la otra se p!ede tomar de m+n maneras%

Ejemplo: .C!ántos n(meros de c!atro ci"ras menores de 36= se p!eden "ormar con los dí-itos 2; 3; 6 ' 7$ si cada di-ito se !sa !na sola +e,0

Solución: En!meramos las posibilidades en el si-!iente dia-rama del árbol%

Por lo tanto$ podemos "ormar m+ n=6+4=10 n(meros menores de 7 ci"ras menores !e 36=%

2. ARRE#LOS:

Si dos decisiones son m!t!amente e8cl!'entes ' la primera se p!ede tomar de m maneras ' la se-!nda de n maneras$ entonces !na o la otra se p!ede tomar de m+n maneras%

2.1. ARRE#LOS SIMPLES:

Un arre-lo simple de n ob&etos di"erentes tomados de k en k es !na ordenaci*n de k ob&etos entre los n dados$ de tal manera !e estos -r!pos de k elementos di<eran en al-(n elemento o en el orden de colocaci*n%

Teorema %.-

El n(mero de todos los arre-los a "ormarse con n ob&etos tomados de k en k es obtenido por la "*rm!la)

A_kn

=

n !

(

n

−

k

)

!

=

n

(

n

−

1

) (

n

−

2

)

⋯

(

n

−

k

+

1

)

(4)

Donde n !=n

(

n−1

) (

n−2

)

⋯

(

2

) (

1

)

_' 0!

=

1

E

!

emplo: .De c!ántas maneras di"erentes se p!eden sentar B personas en !na banca con capacidad para 9 personas0

Solución: Como nB ' 9$ el n(mero total de maneras di"erentes !e p!eden sentarse B personas en !na banca$ con capacidad para 9 personas es) A5 8

=

8!

(

8

−

5

)

!

=

8! 3!

=

8

(

7

) (

6

) (

5

) (

4

)

=

6720

2.2. ARRE#LOS CON REPETICIÓN:

Son a!ellos arre-los en los !e !n elemento$ c!al!iera de los dados$ p!ede repetirse en el mismo -r!po el n(mero de +eces !e se indi!e%

Teorema &.-

El n(mero de todos los arre-los con repetici*n a "ormarse con n ob&etos tomados de k en k es dado por la "*rm!la)

(

AR

)

_kn

=

nk

Ejemplo: Un *mnib!s parte de s! paradero inicial con = personas a bordo ' se detiene en 2@ paraderos di"erentes% .De c!ántas maneras p!eden ba&ar las = personas en los 2@ paraderos$ si en !n paradero p!eden ba&ar c!al!ier n(mero de personas0

Solución: La primera persona p!ede ba&ar en c!al!iera de los 2@ paraderos$ la se-!nda lo mismo ' la se8ta de i-!al "orma$ entonces el n(mero total de maneras es)

(

AR

)

6 10

=

106

=

1000000

3. PERMUTACIONES:

3.1. PERMUTACIONES SIMPLES:

Son los di"erentes -r!pos !e p!eden "ormarse con los n ob&etos dados$ de modo !e inter+en-an todos los elementos en cada -r!po ' los -r!pos se di"erencian por el orden de colocaci*n de s!s elementos%

Teorema '.-

EL n(mero de perm!taciones distintas !e p!eden "ormarse con n ob&etos es dado por)

P_n

=

n !

=

n

(

n

−

1

) (

n

−

2

)

_⋯

(

3

) (

2

) (

1

)

Ejemplo: Se pro'ecta presentar = con"erencias en !na re!ni*n de padres de "amilia ' pro"esores en !n cole-io% El moderador del pro-rama desea saber de c!ántas maneras di"erentes se p!eden sit!ar en el escenario los = con"erencistas en <la%

Solución: El n(mero total de maneras de sit!ar los = con"erencistas en <la en el escenario es

(5)

P6

=

6!

=

720

Ejemplo: En !n c!rso de estadística /a' = /ombres ' 7 m!&eres% C!ando !n e8amen se reali,a los est!diantes son listados de ac!erdo a s! p!nta&e obtenido >ma'or a menor?% S!pon-a además !e nin-(n est!diante obtiene el mismo p!nta&e%

a? .C!ántos listados di"erentes se deben /acer0

b? Si los /ombres son ordenados entre ellos mismos ' las m!&eres entre ellas mismas .C!ántos listados di"erentes se deben /acer0

Solución:

a? El n(mero de listados di"erentes !e se deben /acer es

P₁₀

=

10!

=

3628800

b? Como los /ombres p!eden ordenarse entre ellos mismos de P₆

=

6!

=

720 _{maneras ' las m!&eres entre ellas mismas de}

P4

=

4!

=

24 maneras%

Entonces el n(mero de listados pedidos es)

(

6 !

) (

4 !

)

=

(

720

) (

24

)

=17280

Ejemplo: El seor Piero tiene = libros di"erentes de matemática$ 3 de estadística$ 7 de !ímica ' desea colocarlos en !n estante%

a? .De c!antas maneras di"erentes p!eden colocarse$ si los libros de cada materia deben estar &!ntos0

b? .De c!antas maneras di"erentes p!eden colocarse$ si solo los libros de !ímica deben estar &!ntos0

3.2. PERMUTACIONES CIRCULARES:

Son las di"erentes perm!taciones !e p!eden "ormarse con n ob&etos dados$ de modo !e no /a' ni primero ni (ltimo ob&eto$ p!es todos se enc!entran en !n circ!lo cerrado%

Teorema (.-

El n(mero de perm!taciones circ!lares distintas !e p!eden "ormarse con n ob&etos es dado por)

Pn C

=

(

n

−

1

)

_!

Ejemplo: .De c!ántas "ormas p!eden sentarse los 23 miembros del Conce&o de Fac!ltad de la Fac!ltad de In-eniería Estadística e In"ormática alrededor de !na mesa circ!lar$ si)

a? P!eden sentarse de c!al!ier "orma%

b? Dos miembros determinados deben estar !no al lado del otro% Solución:

a? Considerando !no de los miembros sentado en c!al!ier parte alrededor de la mesa$ entonces solo !eda acomodar a los 22 miembros restantes

L!e-o el n(mero total de maneras distintas !e p!eden sentarse los 23 miembros alrededor de la mesa es)

P12

C

=

(

12

−

1

)

!

=

11!

=

39916800

(6)

b? Considerando las dos personas !e /an de ir &!ntas como !na sola$ entonces /a' 22 personas para sentarse en círc!lo !e los p!eden /acer de 2@ 5aneras%

Las dos personas consideradas como !na sola p!eden a s! +e, ordenarse entre s de 3 maneras%

Por tanto el n(mero de ordenaciones de 23 miembros del Conce&o de Fac!ltad alrededor de !na mesa circ!lar con 3 miembros determinados sentados &!ntos es)

(

10!

) (

2!

)

=

(

3628800

) (

2

)

=

7257600

3.3. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN:

Teorema ).-

Sean 2$ 3$ : $ m n(meros enteros positi+os tal !e

k 1

+

k 2

+

⋯

+

k _m

=

n

El n(mero de maneras en !e !n con&!nto de n elementos p!ede ser di+idido en m partes ordenadas >o particionado en m s!bcon&!ntos? de los c!ales el primero contiene 2 elementos$ el se-!ndo 3 elementos$ etc% Se

obtiene mediante la si-!iente "*rm!la% P_nk 1,k 2,⋯, k m

=

n !

k 1! k 2!⋯k _m!

Ejemplo: .C!ántas perm!taciones distintas se p!eden "ormar !sando las letras 5E55ER0

Solución: Se tiene)

n = letras$ n26 letras 5$ n33 letras E ' n62 letra R% Entonces /a'

P₆3,2,1

=

6!

3!2!1!

=

60 perm!taciones distintas

Ejemplo: .De c!ántas maneras di"erentes se p!eden ordenar 6 bolas blancas$ 7 ro&as ' 7 ne-ras en !na <la$ si las bolas de i-!al color no se distin-!en entre sí0

Solución:

%. COMBINACIONES:

Una combinaci*n de n ob&etos di"erentes tomados de  en  es !na selecci*n de  ob&etos de los n dados sin tener en c!enta la ordenaci*n de los mismos >no p!ede /aber dos -r!pos con los mismos elementos?

Teorema *.-

el n(mero de combinaciones de n ob&etos tomados de k en k se obtiene mediante la "*rm!la si-!iente)

C n_k

=

(

n k

)

=

n ! k !

(

n

−

k

)

!

Teorema 1+.-

el n(mero de combinaciones con repetici*n a "ormarse con n ob&etos tomados de k en k es)

(7)

CR ¿ ¿ ¿

Ejemplo: Una placa de !n tele+isor se p!ede ad!irir en  "ábricas% .De c!antas maneras se p!eden esco-er 7 de las  "ábricas0

Solución: El n(mero total de maneras de esco-er 7 "ábricas de  es C 7₄

=

(

7 4

)

=

7! 4!

(

7

−

4

)

!

=

7! 4!3!

=

35

Ejemplo: .C!ántos -r!pos de 3 /ombres ' 6 m!&eres se p!eden "ormar con 9 /ombres '  m!&eres0

Solución:

&. OBSER"ACIÓN:

Para resol+er !n problema de conteo se debe tener en c!enta las si-!ientes s!-erencias)

a? Est!die el problema ' determine si se "orma !n s!ceso simple%

 Seleccionar elementos de dos >o más? con&!ntos >sit!aci*n !e s!-iere el !so del principio de m!ltiplicaci*n o el principio de a-r!pamiento m(ltiple?%

 Seleccionar k elementos de !n solo con&!nto de n elementos >sit!aci*n !e s!-iere el !so de arre-los o perm!taciones o combinaciones?%

b? Las re-las de los arre-los ' perm!taciones p!eden ser aplicables si los ob&etos se toman de !n solo con&!nto ' cada ordenamiento di"erente de los k ob&etos de !n -r!po cond!ce a !n s!ceso simple di"erente%

c? La re-la de las combinaciones p!ede ser aplicable si los ob&etos se toman de !n solo con&!nto ' el reordenamiento de los ob&etos no prod!ce !n s!ceso simple%

d? Si se tiene di<c!ltad para +is!ali,ar la re-la >o re-las? de conteo apropiada para !n problema determinado !e in+ol!cra !n -ran n(mero de ob&etos$ se p!ede constr!ir !na +ersi*n en miniat!ra del problema de manera !e se p!edan contar man!almente los ob&etos% Esto p!ede a'!dar a +er c*mo se res!el+e la +ersi*n más complicada%