Análisis Matemático II

Prefacio

La asignatura es de naturaleza práctico – teórico, orientado a desarrollar en el estudiante habilidades superiores del pensamiento para el razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma de decisiones.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Integración Indefinida

Unidad II: Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones Parciales

Unidad III: Integración Definida

Unidad IV: Derivadas parciales, Integración Aproximada, Integrales Dobles e integrales Triples y sus aplicaciones

Estructura de los Contenidos

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Reconoce, determina, relaciona, evalúa, analiza y aplica los conocimientos matemáticos correspondiente al cálculo Integral, con destreza y seguridad”.

Integración Indefinida

Integración Trigonom. e Integrac. porFracciones

Parciales

Integración Definida

Deriv. Parcial,Integrac. Aprox, Integ. Dobles y Triples ysus aplicaciones La antiderivada de una función o Integral Indefinida. Integral. Inmediata Integrac. por sustituc. algebraica Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas Métodos de integración: Integración por partes Integración Trigonométrica Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas Integración por sustitución trigonométrica Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales) La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow Cálculo de áreas de regiones planas Trabajo mecánico. Longitud de arco Derivadas parciales Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método

del punto medio

Integral Doble y triple Aplicaciones de las Integrales Volúmenes de sólidos en revolución

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 -

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: INTEGRACIÒN INDEFINIDA 04-30 1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro)

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas

a. Tema 01: La antiderivada de una función o Integral Indefinida. b. Tema 02: Integrales inmediatas. Integración por sustitución algebraica. c. Tema 03: Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas. d. Tema 04: Métodos de integración: Integración por partes.

3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 05 05 05 05 05 05 06-27 06 14 19 23 28 28 29 30 UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: INTEGRACION TRIGONOMETRICA E INTEGRACION POR

FRACCIONES PARCIALES 31-58 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas

a. Tema 01: Integración Trigonométrica.

b. Tema 02: Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas. c. Tema 03: Integración por sustitución trigonométrica.

d. Tema 04: Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales) 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 32 32 32 32 32 32 33-54 33 39 44 48 55 55 56 58 UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: INTEGRACIÒN DEFINIDA 59-91 1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro)

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas

e. Tema 01: La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow. a. Tema 02: Cálculo de áreas de regiones planas.

b. Tema 03: Volúmenes de sólidos en revolución. c. Tema 04: Trabajo mecánico. Longitud de arco. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 60 60 60 60 60 60 61-86 61 67 74 79 87 87 89 91 UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: DERIVADAS PARCIALES, INTEGRACIÓN APROXIMADA, INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES

92-114 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas

a. Tema 01: Derivadas parciales

b. Tema 02: Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio. c. Tema 03: Integral Doble y triple

d. Tema 04: Aplicaciones de las Integrales 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 93 93 93 93 93 93 94-125 94 98 104 108 111 111 112 114 III. GLOSARIO 115

UNIDAD

1

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Introducción

a) Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la Integral Indefinida, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia

Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida.

c) Capacidades

1. Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida.

2. Determina y calcula las integrales inmediatas y la integración por sustitución algebraica.

3. Interpreta el contexto de la integración de funciones exponenciales y logarítmicas, con uso efectivo de las propiedades de este tópico.

4. Utiliza y aplica correctamente los métodos de integración por partes.

d) Actitudes

 Promueve actividades y toma de decisiones pertinentes.

 Reconoce y valora las relaciones entre “lenguaje gráfico” y “lenguaje algebraico”.

 Muestra interés y Confía en su capacidad para percibir y resolver la Integración Indefinida.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: INTEGRAL INDEFINIDA, comprende el desarrollo

de los siguientes temas:

TEMA 01: La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida.

TEMA 02: Integrales Inmediatas. Integración por Sustitución Algebraica

TEMA 03: Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas.

TEMA 1

Competencia:

“Analiza y relaciona debidamente el

concepto de la Integral Indefinida”.

La Antiderivada de una

Función

o Integral

Indefinida

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Desarrollo de los Temas

Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo: Si

( )

.

A la expresión:

∫ ( ) ( )

Ejemplo 1:

Hallar la antiderivada general de

( )

Solución:

Buscamos una función ( )

t

al que

( ) ( )

Es decir, ( )

,

entonces

( )

Tema 01: La Antiderivada de una Función o

Integral Indefinida

DEFINICIÓN:

Se llama integral indefinida donde:

 ∫ es el signo integral, f(x): es el

integrando.

Ejemplo 1:

Hallar la siguiente integral:

∫(

)

Solución:

dx

x

xdx

dx

x

dx

x

x

x

5

5

7

4

)

3

5

5

7

4

3

(



















c

x

x

x

dx

x

xdx

dx

x





















5

7

2

5

6

3

7

5

3

5 2 6 4 5

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

Sean f y g funciones que tienen antiderivadas (integrales indefinidas), sea k una constante y r un número racional, entonces:

1.

∫

2. ∫ ( ) ∫ ( )

3. ∫( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ( )

4. ∫( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ( )

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USO DE LA TECNOLOGÍA: PROGRAMA WINPLOT

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TABLA BÁSICA DE INTEGRALES

1.

1

;

1

1













C

n

n

x

dx

x

n n

2.

C

x

Ln

x

dx

_

_



3.















C

a

e

dx

e

C

a

Ln

a

dx

a

x x x x

;

)

0

(

4.



sen

x

dx





cos

x



C

5.



cos

x

dx



sen

x



C

6.



x

dx



tg

x



C

2

sec

7.



cos

ec

x

dx





cot

g

x



C

2

8.



sec

x

tg

x

dx



sec

x



C

9.



cos

ec

x

cot

g

x

dx





cos

ec

x



C

10.



tg

x

dx



Ln

sec

x



C

11.



cot

g

x

dx





Ln

cos

ec

x



C

12.



sec

x

dx



Ln

sec

x



tg

x



C

14.









,



0

1

2 2

C

a

a

x

arctg

a

a

x

dx

15.















2

,

0

1

2 2

C

a

a

x

a

x

Ln

a

a

x

dx

16.















2

,

0

1

2 2

C

a

x

a

x

a

Ln

a

x

a

dx

17.















,

0

2 2 2 2

Ln

x

x

a

C

a

a

x

dx

18.











2

,

(

0

)

2

_a

C

a

x

arcsen

x

a

dx

19.











2

sec

,

(

0

)

2

_a

C

a

x

arc

a

x

x

dx

20.



senh

x

dx



cosh

x



C

21.



cosh

x

dx



senh

x



C

22.



h

x

dx



tgh

x



C

2

sec

23.



cos

ec

h

x

dx





cot

gh

x



C

2

24.



sec

h

tgh

x

dx



sec

h

x



C

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Ejemplos:

∫

=

∫

∫

∫

∫( )

=∫(

)

∫

∫

∫

_∫

_∫

_{= 9.}

∫( )

=∫(

)

TEMA 2

Competencia:

“Determina y calcula las integrales

inmediatas y la integración por sustitución

algebraica”.

Integrales Inmediatas,

Integración por Sustitución

Algebraica

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( ) ∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Tema 02: Integrales Inmediatas, Integración

por Sustitución Algebraica

1.

INTEGRALES INMEDIATAS O POR SUSTITUCIONES ELEMENTALES

Evaluar:

2.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

o

∫ ( ) ∫ ∫

o

∫ √

∫

o

∫ .

√

/ ∫

_∫

o

∫ √ ∫( )

( )

∫

=

( )

o

_{∫ .}

( )

/

( )

∫( )

Evaluar

Solución:

Haciendo: u = 5x + 1

Tenemos du = 5 dx (es el resultado de derivar: 5x + 1 ) Despejando: ∫( ) ∫ ∫ ( ) ∫( ) Solución: u = du = 2b2 x dx ∫( ) ₌ ∫ = + C = ( ) + C ∫ ( ) Solución: Como ( ) ∫ ( ) ∫( ) ∫ ∫

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∫_√ Solución: ( ) ∫ √ ∫ ( ) ∫[( ) ] ∫( ) ( ) _{( ) ( )} ∫ √ Solución:

, se tiene que du= ∫ √ ∫ √ ∫ ( ) ∫( ) ∫ ∫ _∫ ( ) ( ) _{( )} ∫(√ ) √ ∫( ) ∫ ∫

∫(√ √ ) (√ √ ) ( √ √ ) ∫(√ √ ) ∫ √ ∫ ∫ √ ∫( ) ∫( ) ∫ ( ) ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫ ⁄ ∫ _⁄ ⁄

√(

)

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TEMA 3

Competencia:

“Interpreta el contexto de la integración de

funciones exponenciales y logarítmicas, con

uso efectivo de las propiedades de este tópico”.

1

Integración de las Funciones

Exponenciales y Logarítmicas

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0

Ley de Exponentes

( ₎

Tema 03: Integración de las Funciones

Exponenciales y Logarítmicas

INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:

Las funciones exponenciales y logarítmicas son integrables en sus dominios y se tienen las siguientes fórmulas de integración:

1) exdxex c 2)



h

'

(

x

)

e

h(x)

dx



e

h(x)



c

3) a c a dx ax  x   ln 1 si a0a1 4) a c a dx a x g g x  g x   ( ) ( ) ln 1 ) ( ' si a0 a1 5) 1dxlnx c , x0 x 6)

ln

(

)

,

(

)

0

)

(

)

(

'

_

_

_



dx

f

x

c

f

x

x

f

x

f

7)

Derivada de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

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∫ Solución: ∫ ∫ ( ) ∫ ∫( ) ∫ ∫( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫( ) ( )∫

∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫( ) ( )∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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TEMA 4

Competencia:

“Utiliza y aplica correctamente los métodos

de integración por partes”.

Métodos de Integración:

Integral por partes

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Tema 04: Métodos de Integración:

Integral por partes

INTEGRACIÓN POR PARTES Y APLICACIÓN

du

v

uv

dv

u









Observaciones:

Considerar:

Derivadas trigonométricas: , ( )- , ( )- ( ) ( ) , ( )- , ( )- , ( )- , ( )- ( ) ( ) Funciones trigonométricas

Sean uu(x) y vv(x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:

1.

Reconocer a u y v en el problema original.

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Donde:

Ejemplo 1: Hallar



ln

x

dx

Solución

INTEGRANDO POR PARTES

Sea dx x du x uln   1 dvdx vx dx x x dx x x x x dx x       ln (ln )( ) 1 (ln )( )

c

x

x

dx

x











ln

(ln

)(

)

Ejemplo 2:



x

.

Sec

2

x

dx

Solución

INTEGRANDO POR PARTES dx du x u  1 x v x Sec dv 2  tan





v

du

uv

_∫





x

dx

x

x

.

tan

tan

.

c

x

Ln

x

x

.

tan



sec



Aplicar sustitución trigonométrica para casos complejos √ √

f(x) = ∫u.dv



f(x) = u.v - ∫v.du

f(x) = ∫u.dv



f(x) = u.v - ∫v.du

√ T 1 z z z

Ejemplo 3: _∫ ( ) Solución _ , ( )- _∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ _∫ ∫ _√ Ejemplo 4: _{∫ √ ∫ √ ∫ ∫ ∫ ∫} √ ∫ ( ∫ ) ( ) ( ) √ _(√ ) √ _{(√ )} √ X 1 z z z

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∫ ∫ _∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ _] [ _{] [ ]}

Lecturas Recomendadas



Integral Indefinida (Inmediatas-Por sustitución-Por Partes-Varias)

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html



Integral Indefinida

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Indefinida.pdf



Integración por partes

http://www.scribd.com/doc/506075/Integracion-por-partes

Cálculo de Integrales, Usando el Software Matlab 2009. (En caso de no tener el Software indicado, puede resolverlo mediante la aplicación de Fórmulas básicas de Integración). Envía el desarrollo de tus actividades a través de “Cálculo de Integrales”.

1

.-

∫

2

.-

∫

3.-



a

x

dx





3

x

dx



4. -

   





2 2 2 2 2 x dx a x dx

Actividades y Ejercicios

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Autoevaluaciones

1. Calcular ∫ ( x3 +1 ) 3/2 a) ( x 3 _{+1 )} 5/2 _{+ C b)} ( x 3 _{+1 )} 5/2 _{+ C c)} ( x 3 _{+1 )} 5/2 _{+ C} d) ( x3 +1 ) 5/2 + C e) ( x3 +1 ) 5/2 + C 2. ∫ √ a) √ + c b) √ + c c) √ + c d) √ + c e) 2x + c 3. ∫ √ a) √ + c b) √ + c c) √ + c d) √ + c e) √ + c 4. ∫ ( ) a) . / ( ) + c b) √ + c c) √ + c d) Ln 3x + c e) ln 2x 5. Calcular : ∫( ) dx a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 6. Calcular:



x ln

2

xdx

a)

x

x



x



c

9

3

ln

3 3 b)

x



x



c

9

3

ln

3 c)

x

x



x



c

3

3

ln

3 3 d)

x

x



c

3

ln

3 e)

c

x

x

x



_

3

ln

2 3

Resumen

U

U

N

N

I

I

D

D

A

A

D

D

D

D

E

E

A

A

P

P

R

R

E

E

N

N

D

D

I

I

Z

Z

A

A

J

J

E

E

I

I

:

:

LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN O INTEGRAL INDEFINIDA

Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si

I x x f x F'( ) ( ),  . A la expresión:



f

(

x

)

dx



F

(

x

)



c

Se llama integral indefinida donde: es el signo integral, f(x): es el integrando y C es la constante de integración.

Fórmulas Fundamentales De Integración

1. Si F(x) f(x), entonces



f

(

x

)

dx



F

(

x

)



C

donde C , es una constante arbitraria.

2. Si n es cualquier número real, excepto –1, entonces:



    C 1 n x dx x 1 n n

, donde C es una constante arbitraria.

3. La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función. Esto es:



a f (x) dx = a



f(x) dx

4. La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones. Esto es: si f y g son funciones, entonces:

( ) ∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

INTEGRALES INMEDIATAS INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

( ) ( ) . /

Sean uu(x) y vv(x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:



u

dv



uv





v

du

INTEGRACION DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:

( ) ( ) . /

Propiedades de la función logaritmo neperiano Ln:

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UNIDAD

2

a) Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la “INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA E INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES” así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia (Logro)

Identifica y comprende la Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones parciales.

c) Capacidades

1. Resuelve operaciones que se le presenta con integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas.

2. Analiza y resuelve integrales que involucran funciones trigonométricas inversas.

3. Analiza con criterio y destreza la integración por sustitución trigonométrica

4. Aplica criterios y técnicas adecuadas para evaluar la integración de funciones racionales.

d) Actitudes

 Respeto a las normas de convivencia: Cumple con los horarios establecidos. Respeta y cumple las normas de convivencia en el ámbito universitario.  Desarrolla interés por investigar sobre formas y configuraciones que pueden

representarse matemáticamente.

 Valora la utilidad de la Integración Trigonométrica y de la Integración por Fracciones Parciales para explicar y predecir ciertos hechos de la vida cotidiana.

 Reconoce y valora críticamente la utilidad del desarrollo tecnológico para realizar cálculos, exploraciones numéricas y representaciones gráficas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad

La Unidad de Aprendizaje 2: “Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones Parciales “comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01:Integración Trigonométrica

TEMA 02:Integrales que involucran Funciones Trigonométricas Inversas

TEMA 03:Integración por Sustitución Trigonométrica

TEMA 04:Integración Funciones Racionales

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Competencia:

“Resuelve operaciones que se le presenta con

integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas

básicas de integración en combinación con las

identidades trigonométricas”.

Integración

Trigonométrica

Desarrollo de los Temas

Tema 01: Integración Trigonométrica

Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas, se aplican las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas, para evaluar integrales que contienen productos de potencias de funciones trigonométricas. 3) ∫ 4) ∫ 5) ∫ ∫ 6) ∫ -Ln ∫ Ln 7) ∫ Ln ∫ Ln 8) ∫ Ln + C ∫ -Ln + C

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Si n es un número entero positivo impar, se comienza

escribiendo:

Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica

, para obtener una integral más fácil.

∫

∫

Análogamente par potencias impares de Cos x se escribe:

Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica

para obtener una integral más sencilla

∫

∫

Cuando el integrando es

o bien

, para n par, las

fórmulas para la mitad de un ángulo:

=

o bien

=

Pueden ayudar a simplificar el integrando.

Calcular las siguientes integrales:

1.

∫

2.

∫

dx =

Ejemplo1:

Hallar: ∫

Solución:

∫ = ∫

Haciendo

u = Cos x

∫

- ∫

= - ∫

-Ln + C

= -Ln + C

Ejemplo 2:

Hallar: ∫

Solución:

∫ = ∫ .

/

=

∫

Tomando como u el denominador de este cociente se obtiene:

u = Sec x + tan x

= Sec x Tan x + Se

x

=

∫

dx =

∫

+ C

= Ln + C

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Ejemplo 3:

Hallar ∫

Solución:

∫

∫(

)

∫(

) ( )

∫(

)( )

∫(

)

∫

∫

Ejemplo 3:

Hallar ∫

Solución:

,

∫

∫( )

(

)

Ejemplo 4:

Hallar ∫

Solución:

∫

( )

∫

( )

∫

(

)

( )

∫(

_{)( )}

∫(

₎

∫

_∫

(

-2) +c

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Competencia:

“Analiza y resuelve integrales que

involucran funciones trigonométricas

inversas”.

Integrales que

involucran funciones

Trigonométricas Inversas

Tema 02: Integrales que involucran funciones

Trigonométricas Inversas

Sea u, una función derivable de x, y sea a > 0

1.

∫

_√

= arc Sen

2.

∫

=

arc Tan

3.

∫

_√

=

arc Sec

4.

∫

|

|

5.

∫

|

|

Transformación de diferencial Trigonométrica: Una diferencial trigonométrica que contiene sólo funciones racionales, sex, cosx puede transformarse en otra expresión diferencial, racional en “z”.

√ z 1 zz z

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Ejemplos:

1.

∫

_√

= arc Sen

a = 2

2.

∫

=

∫

(√ ) ( )

√

arc Tan

√

3.

∫

_√

= ∫

_{√( )}

u = 2x , a = 3

=

+ C

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ( )

4.

∫

√

= arc Sec

5.

∫

√

(

)

∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ∫ √

6.

∫

∫ ∫ ∫ ∫ , - , - 0 1

7.

∫

√

∫

_{√ ( )}

8.

∫

v a zz z

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

(

)

∫

∫

∫

( )

∫

( )

( )

0

1

9.

∫

√

∫

_√

∫

_√

10.

∫

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Competencia:

“Analiza con criterio y destreza la

integración por sustitución

trigonométrica”.

Integración por

Sustitución Trigonométrica

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Tema 03: Integración por Sustitución

Trigonométrica

Ejemplo 1:

∫

_√

Solución

∫

_√

Tomando: √

∫

_√

√

√

= √ (

) √ √

√

Como: X = 4

dx = 4

Reemplazando:

∫

∫

∫

∫

Expresión en el integrado

Sustitución Trigonométrica

√

√

√

X = a Sen

X = a Tan

X = a Sec

.

/

á

(

)

(

)

∫

(

)

∫

∫

[

( ) ]

6

√

√

7

.

/

Ejemplo 2:

∫

_√

Ejemplo 3

:

_∫

( ) √ 3x 4 zz z x 2 zz z

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

∫

(

)

∫

(

)

∫

∫

∫

∫

( )

[

]

, -

(

)

√

√ (

√

)

√

√

√

√

√

∫

√

∫

√

√

∫

∫

√

Ejemplo 4:

∫

_√

√ x √ zz z

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Competencia:

“Aplica criterios y técnicas adecuadas

para evaluar la integración de funciones

racionales”.

Integración de

Funciones Racionales

(Descomposición en fracciones parciales)

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Puntos Críticos : * +

Sustituir: x = 0 Para encontrar los valores de A, B y C.

Sustituir: x = 0 Para encontrar los valores de A, B y C. Hay que sustituir x por valores que hagan que varios de los factores sean cero. X= 0 X = 1 X = -3 -9 = -3A 8 = 4C -12 = 12B 3 = A C = 2 -1 = B













_















1

2

3

1

3

1

3

9

13

4

2

x

x

x

dx

x

x

x

x

x









_







dx

x

dx

x

dx

x

1

1

2

3

1

1

3

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

Tema 04: Integración de Funciones Racionales

(Descomposición en fracciones parciales)

Ejemplo 1:

∫

∫

_{( )( )}

( )( )

( )( )

C

x

Ln

x

Ln

x

Ln













3

3

2

1

c

x

Ln

x

Ln

x

Ln













₃ 2

1

3



1



3

.

2 3









Ln

x

x

Ln

x





c

x

x

x

Ln









3

1

.

2 3







dx

x 1

4

1







dx

x 1

4

4

4

1

C

x

Ln

4



1



4

1

REGLA LOG PARA INTEGRACIÓN

USO DE LA REGLA LOG PARA INTEGRACIÓN

Ejemplo:



dx x 2



dx Lnx x 2 1 2

+C =

Lnx2C

Casos:

1.



dxLnx C x 1

2.

du Lnu C u  



1

3.

dx

Ln

u

C

u

u







,

Forma Alternativa

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP







dx

x

x

1

2



_

dx

x

x

1

2

2

1

2 =

Ln

x



1



C

2

1

₂









dx

x

x

x

3 2

1

3

C

x

x

Ln

3













dx

x

x

x

2

1

2







dx

x

x

x

2

2

2

2

1

2 =

Ln

x



2

x



C

2

1

2



_

dx



x 2

3

1







dx

x

2

3

3

3

1

C

x

Ln

3



2



3

1

DIVIDIR ANTES DE INTEGRAR











dx

x

x

x

1

1

2 2



















dx

x

x

1

1

₂ =









dx

x

x

dx

1

2

2

1

2





1

CAMBIO DE VARIABLE CON LA REGLA LOG

Hallar:



_

_

_

dx

x

x

2

1

2

Si se toma u = x + 1 , entonces du = dx y x = u - 1







_

dx

x

x

2

1

2

=





du

u

u

2

)

1

(

2

= 2















_

du

u

u

u

2 2

1

=







u



du

u

du

2

2

2

= 2



_

















u



C

u

Ln

1

2

1 =

C

u

u

Ln



2



2

=

C

x

x

Ln









1

2

1

2

Ejercicios Resueltos

∫( ) ∫( ) ∫( )

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∫(

)

∫

∫

( )

∫

( )

∫

_∫

_∫

∫

( )

(

)

∫

( )

(

)

∫

( )

( )( )

∫ [

( )

( )

]

∫ [

( )

( )

]

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∫ [

( )

( )

] ∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

|

( )

⁄

( )

⁄

|

|

( )

⁄

( )

⁄

| |√

( )

( )

|

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Lecturas Recomendadas

Integrales Trigonométricas

http://prepa2.blogcindario.com/ficheros/funciones.pdf http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recurso_ 2005/textos/paraiso/apuntes/metodos_integracion.pdf

Integración de Funciones Racionales

http://www.matematicasypoesia.com.es/monografias/Integrales.htm http://www.x.edu.uy/inet/fracciones_simples2.pdf

.

Cálculo de Integrales, Usando el

Software Matlab 2009

. (En caso de no tener el Software indicado, puede resolverlo mediante la aplicación de Fórmulas básicas de Integración). Desarrolla tus ejercicios en envía esta actividad a través de “Cálculo de Integrales trigonom tricas”.

1. Calcular :

∫

2. Calcular:

∫

3

∫

Actividades y Ejercicios

4

∫

5. Calcular:

∫

Autoevaluación

1. Evaluar : ∫

a. –Cos x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C b. –Sen x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C c. –Tan x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C d. –Csc x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C e. –Sec x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C

2. Evaluar : ∫ a. b. c. d. e. 3. Hallar: ∫ √ a. c x arc  4 2 sec b. c x arc  4 2 sec 4 1 c. c x arc  4 sec 4 1 d. c x  4 2 sec 4 1 e. c x arc  4 2 sec 2 1

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4. Hallar:











32 2

5

2x

x

dx

a.

c

x

x

x

_





2

5

4

2 b.

c

x

x

x

_







5

2

1

2 c.

c

x

x

x

_







5

2

4

1

2 d.

c

x

x







2

5

4

1

2 e.

c

x

x

x

_







5

2

4

1

2 5. Hallar:

dx

x

x

x

x

x



3

4

_

₂



2

9

_



_

1

₂

2 a.



 



c x x x _    2 1 1 ln 3 2 b.



 



c x x x _    3 1 1 ln 3 2 c.



 



c x x x _    3 1 1 ln 3 2 d.



 



c x x x _    2 1 1 ln 3 2 e.



 



c x x x _    2 2 1 ln 3 2

Si P(x) y Q(x) son dos polinomios con coeficientes reales; f(x) es función racional si:

f(x)=P(x)/Q(x) y 2 _{( )} 3

Se llaman fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

( ) ( )

Resumen

U

U

N

N

I

I

D

D

A

A

D

D

D

D

E

E

A

A

P

P

R

R

E

E

N

N

D

D

I

I

Z

Z

A

A

J

J

E

E

I

I

i

i

:

:

Expresión en el integrado Sustitución Trigonométrica √ √ √ X = a Sen X = a Tan X = a Sec Integración Trigonométrica Integración por Sustitución

Trigonométrica Integrales que Involucran

Funciones Trigonométricas Inversas Integración de Funciones Racionales Pueden ayudar a simplificar el integrando. Sea u, una función derivable de x, y sea a > 0 ∫_√ = arc Sen ∫ = arc Tan ∫ _√ = arc Sec ∫ ∫ ∫ ∫ Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo:

Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica , para obtener una integral más fácil.

Análogamente par potencias impares de Cos x se escribe:

Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica para obtener una integral más sencilla

1. Cuando el integrando es o bien , para n par , las fórmulas para la mitad de un ángulo:

2.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

UNIDAD

3

Introducción

f) Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la Integración Definida así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

g) Competencia

Reconoce, determina, relaciona, gráfica y resuelve problemas relacionados a la Integración Definida.

h) Capacidades

1. Calcula con criterio y destreza las propiedades y la regla de Barrow de la integral definida.

2. Utiliza convenientemente la integral definida para calcular el área de una región plana.

3. Identifica y calcula con eficacia volúmenes de sólido en revoluciones y los métodos del disco.

4. Determinar el trabajo mecánico y la longitud de un arco

i) Actitudes

 Sentido de Organización. Planifica y cumple oportunamente sus tareas y actividades diarias. Presenta sus trabajos en forma organizada.

 Presenta y explica el proceso y los resultados de su trabajo en forma clara y ordenada respecto a la Integración Definida. Valora la precisión y utilidad del “lenguaje matemático” para comunicar y resolver problemas y fenómenos de la vida diaria.

j) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 03: INTEGRACIÓN DEFINIDA comprende el desarrollo

de los siguientes temas:

TEMA 01: La Integral Definida y sus Propiedades. La regla de Barrow.

TEMA 02: Cálculo de Áreas de Regiones Planas.

TEMA 03: Volúmenes de sólidos en Revolución.

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TEMA 1

Competencia:

“Calcula con criterio y destreza las

propiedades y la regla de Barrow de la

integral definida”.

La Integral Definida y sus Propiedades

La Regla de Barrow

Desarrollo de los Temas

Tema 01:

La Integral Definida. Propiedades, La

Regla de Barrow

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida de la función

entre

x



a

y

x



b

se denota por:







b

x

a

x

f

(

x

)

dx

y representa el área limitada por la curva

y



f

(x

)

, las rectas

x



a

,

x



b

y el eje x.







b a

f

x

dx

A

(

)

La i n t e g r a l d e f i n i d a se representa por:

∫ ( )

∑( (

)

)

A a b 0 _x y ) (x f

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∫

es el signo de integración.

A e s e l límite inferior de la integración. b e s e l límite superior de la integración.

( )

Es el i n t e g r a n d o o función a integrar.

d x es d i f e r e n c i a l d e x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

(

) (

) (

)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (LA REGLA DE BARROW)

Sea

f

una función integrable en

[ b

a

,

]

, además sea F una antiderivada cualquiera de

f

,

entonces:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sean

f

y g funciones integrables en

[a,b], además sea k una constante:







b

a

b

a

f

x

dx

k

dx

x

f

k

(

)

(

)







b











a b a b a

f

x

dx

g

x

dx

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

(

)

(

)







b

f

(

x

)



g

(

x

)

dx





b

f

(

x

)

dx





b

g

(

x

)

dx

)

(

)

(

)

(

x

dx

F

b

F

a

f

b

x

a

x



























 2 1 2 2 1 2 1 2

6

4

)

6

4

(

x

x

dx

x

dx

x

dx

.

12

3

1

3

8

6

2

1

2

4

4















 













 



Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

Ejemplo 1:

Evalúe







2

1

2

)

6

4

(

x

x

dx

Solución

Ejemplo 2 :

∫

( )

Solución

∫

( )

[

( )

]

[

( )

( )

]

2 1 3 2 1 2

3

6

2

4

     





x x x x

x

x