Series de funciones e integral de Lebesgue Curso 14/15 Grupo A

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Curso 14/15

Grupo A

Francisco José Freniche Ibáñez

Modificado el 16 de octubre de 2014

Primera parte

1. Sucesiones y series de funciones

Se estudian propiedades de funciones f definidas como l´ımites o sumas de series de otras funciones: f (x) = l´ım n→∞fn(x) o f (x) = ∞ X n=1 fn(x)

1.1. L´ımite y suma puntual

Sea (fn) una sucesi´on de funciones reales definidas en D ⊂ R. Es decir, para cada n ∈ N, fn es una

funci´on fn : D → R. [Formalmente: es una funci´on definida en N con valores en el conjunto de todas las

funciones reales definidas en D].

Para cada x ∈ D, la sucesi´on num´erica (fn(x)) puede converger o no.

Se considera A ⊂ D tal que (fn(x)) converge para todo x ∈ A. La funci´on f : A → R definida por

f (x) = l´ım

n→∞fn(x)

es el l´ımite puntual en A de la sucesi´on (fn). Tambi´en se dice que (fn) converge puntualmente a f en A y

se escribe fn→ f punt. en A.

De igual forma, para cada x ∈ D, la serie num´erica P∞

n=1fn(x) puede converger o no.

Se considera B ⊂ D tal queP∞

n=1fn(x) converge para todo x ∈ B. La funci´on g : B → R definida por

g(x) =

∞

X

n=1

fn(x)

es la suma puntual en B de la serie de funcionesP∞

n=1fn. Tambi´en se dice que

P∞

n=1fn converge

puntual-mente a g en B y se escribe g =P∞

n=1fnpunt. en B.

Ejemplos: la convergencia puntual no conserva las propiedades de continuidad, derivabilidad o integrabili-dad.

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1.2. L´ımite uniforme

Sea (fn) una sucesi´on de funciones reales definidas en D ⊂ R y sea A ⊂ D. Se dice que la sucesi´on (fn)

converge uniformemente en A a la funci´on f : A → R si

para todo ε > 0 existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces |fn(x) − f (x)| ≤ ε, para todo x ∈ A

(n0 es el mismo para todos los x).

Tambi´en se dice que f es el l´ımite uniforme de (fn) en A y se escribe fn→ f unif. en A.

La relaci´on entre los dos tipos de convergencia la da el siguiente resultado:

Teorema. Si fn→ f unif. en A entonces fn → f punt. en A. Es decir, la convergencia uniforme implica

la convergencia puntual y la funci´on l´ımite uniforme coincide con la funci´on l´ımite puntual. No se da la equivalencia: xn→ 0 punt. en (0, 1) pero no unif.

Un criterio pr´actico de convergencia uniforme:

Teorema. fn→ f unif. en A si y sólo si existe una sucesión numérica (bn) tal que

bn→ 0 y |fn(x) − f (x)| ≤ bn para todo x ∈ A

Observar que la mejor sucesi´on que se podr´ıa poner en el teorema es bn= sup{|fn(x) − f (x)| : x ∈ A}.

De igual forma, se dice que la serie de funcionesP∞

n=1fn converge uniformemente a f en A y se escribe

f =P∞

n=1fn unif. en A, cuando la sucesi´on de sumas parciales Sn=Pnk=1fk converge uniformemente a f

en A.

Teorema (Condici´on necesaria). Si la serieP∞

n=1fn converge unif. en A entonces la sucesi´on fn→ 0 unif.

en A.

1.3. Criterio mayorante de Weierstrass

Teorema (Criterio de Cauchy para sucesiones). La sucesi´on de funciones (fn) converge uniformemente en

A si y s´olo si es uniformemente de Cauchy en A, es decir,

para todo ε > 0 existe n0 tal que si m, n ≥ n0 entonces |fm(x) − fn(x)| ≤ ε, para todo x ∈ A

Teorema (Criterio de Cauchy para series). La serie de funciones P∞

n=1fn converge uniformemente en A

si y s´olo si

para todo ε > 0 existe n0 tal que si m > n ≥ n0 entonces

m X k=n+1 fk(x) ≤ ε, para todo x ∈ A El criterio que se utiliza en la pr´actica es el criterio M de Weierstrass:

Teorema (Criterio mayorante de Weierstrass). Si existe una sucesi´on de n´umeros reales bn tal que |fn(x)| ≤

bn para todo n y todo x ∈ A, y la serie num´erica ∞

X

n=1

bn converge, entonces la serie de funciones ∞

X

n=1

fn

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1.4. Intercambio de l´ımites

La convergencia uniforme es condici´on suficiente para el intercambio de l´ımites: l´ım x→a l´ım n→∞fn(x) = l´ım n→∞ l´ım x→afn(x) como se ve en el siguiente teorema:

Teorema. Sea f el l´ımite uniforme de (fn) en A y sea a ∈ A0.

1. Si existe l´ım

x→afn(x) para todo n entonces existe l´ımx→af (x) y es igual a l´ımn→∞

l´ım

x→afn(x)

. 2. Si adem´as a ∈ A y fn es continua en a para todo n entonces f es continua en a.

1.5. Derivaci´on e integraci´on de l´ımites

Tambi´en, bajo ciertas hip´otesis, se pueden intercambiar l´ımites con derivadas y con integrales l´ım n→∞fn(x) 0 = l´ım n→∞f 0 n(x) Z b a l´ım n→∞fn(x) dx = l´ım n→∞ Z b a fn(x) dx

como vemos en los siguientes teoremas:

Teorema. Sean a, b ∈ R, a < b. Sea f el l´ımite puntual de (fn) en [a, b]. Si fn es derivable en en [a, b] para

todo n y la sucesi´on de derivadas f_n0 converge uniformemente en [a, b] entonces f es derivable en [a, b] y f0(x) = l´ım

n→∞f 0 n(x)

Teorema. Sean a, b ∈ R, a < b. Sea f el l´ımite uniforme de (fn) en [a, b]. Si fn es integrable Riemann en

[a, b] para todo n entonces f es integrable Riemann en [a, b] y Z b a f (x) dx = l´ım n→∞ Z b a fn(x) dx

Los tres teoremas anteriores sobre continuidad, derivabilidad e integraci´on se aplican a las series de funciones, con las hip´otesis correspondientes sobre Sn o Sn0. En particular, se tienen:

La suma uniforme de funciones continuas es continua. Derivación término a término

∞ X n=1 fn(x) !0 = ∞ X n=1 f_n0(x)

Integración término a término Z b a ∞ X n=1 fn(x) ! dx = ∞ X n=1 Z b a fn(x) dx

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2. Series de potencias

2.1. Radio de convergencia.

Una serie de potencias es una serie de funciones en R de la forma

∞

X

n=0

an(x − a)n= a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ . . .

siendo an, a ∈ R. Los an son los coeficientes y a es el centro.

El radio de convergencia se define como R = 1 l´ım sup n→∞ n p|an| (f´ormula de Hadamard)

donde se conviene que 1/(+∞) = 0, 1/0 = +∞.

El radio de convergencia s´olo depende del valor absoluto de los coeficientes y no depende del centro. Teorema (Intervalo de convergencia). Si la serie de potenciasP∞

n=0an(x − a)n tiene radio de convergencia

R > 0, se cumplen:

Si |x − a| < R entonces P∞

n=0an(x − a)n converge (absolutamente).

Si |x − a| > R entonces P∞

n=0an(x − a)n no converge.

Por tanto, si R > 0, alrededor de cada centro a queda definida una funci´on, la suma de la serie de potencias f (x) = ∞ X n=0 an(x − a)n

que es convergente al menos en el intervalo abierto (a − R, a + R), el cual se llama intervalo de convergencia. Si R = +∞ se entiende que |x−a| < R se da para todo x ∈ R y que por tanto el intervalo de convergencia es R. Si R ∈ R y R > 0, en los extremos del intervalo hay unas series que convergen y otras que no.

Teorema. La serie de potencias converge uniformemente en cada intervalo [a−r, a+r], para todo 0 < r < R. Teorema. La funci´on f suma de la serie de potencias P∞

n=0an(x − a)n con radio de convergencia R > 0

tiene derivadas de todos los órdenes en el intervalo de convergencia y éstas se calculan derivando la serie término a término: f(k)(x) = ∞ X n=0 n(n − 1) . . . (n − k + 1)an(x − a)n−k

(estas series de potencias tienen el mismo radio de convergencia que la de partida). En particular, an =

f(n)(a)

n! para todo n ≥ 0. Luego la funci´on suma determina los coeficientes de la serie.

Ejemplos. La serie geom´etrica

∞

X

n=0

xn tiene radio de convergencia R = 1. Su suma es la funci´on 1/(1 − x). La serie

∞

Xxn

n! tiene radio de convergencia R = +∞. Su suma es la funci´on exponencial e

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2.2. Serie de Taylor

Dada una funci´on que tiene derivadas de todos los ´ordenes en a, se define su serie de Taylor en a como la serie de potencias ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x − a) n

La serie de Taylor de f en a es la ´unica serie de potencias centrada en a cuya suma puede ser f en un entorno de a.

Ejemplos. (a) La función f (x) = e−1/x2 si x 6= 0, f (0) = 0, tiene derivadas de todos los órdenes en R, su serie de Taylor en el origen tiene radio de convergencia infinito, pero su suma sólo coincide con la función en el origen. (b) La función f (x) = 1/(1 + x2) tiene como serie de Taylor en el origen

∞

X

n=0

(−1)nx2n cuyo radio de convergencia es 1. Su suma coincide con la funci´on en el intervalo (−1, 1).

Funciones elementales. Son v´alidas, para todo x ∈ R, ex = ∞ X n=0 xn n! sen x = ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n + 1)! cos x = ∞ X n=0 (−1)n x 2n (2n)! senh x = ∞ X n=0 x2n+1 (2n + 1)! cosh x = ∞ X n=0 x2n (2n)! Si x est´a en el intervalo (−1, 1) se cumplen

log(1 + x) = ∞ X n=1 (−1)n−1x n n arctan x = ∞ X n=0 (−1)nx 2n+1 2n + 1 (1 + x) α₌ ∞ X n=0 α n xn

donde para α ∈ R el n´umero combinatorio es α n = α(α − 1) . . . (α − n + 1) n! si n ∈ N, α 0 = 1. 2.3. Funciones anal´ıticas

Una funci´on f definida en un abierto A ⊂ R es anal´ıtica en A cuando para todo a ∈ A existen δ > 0 y una serie de potencias tal que f (x) =P∞

n=0an(x − a)n para todo x ∈ (a − δ, a + δ).

Teorema. Sea f definida en un abierto A ⊂ R, que tiene derivadas de todos los ´ordenes en A. Si existen constantes C, M > 0 tales que |f(n)(x)| ≤ CMnn! para todos x ∈ A, n ≥ 0 entonces f es anal´ıtica en A.

Se cumplen:

1. Las funciones anal´ıticas tienen derivadas de todos los ´ordenes y la serie que aparece en la definici´on es la serie de Taylor.

2. Las funciones que son sumas de series de potencias con radio de convergencia R > 0 son funciones anal´ıticas en su intervalo de convergencia.

3. Las funciones elementales son anal´ıticas.

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2.4. Comportamiento en los extremos

Teorema (Teorema de Abel). Si R ∈ (0, +∞) y en el extremo R hay convergencia, es decir, converge

∞

X

n=0

anRn, entonces la serie converge uniformemente en [0, R] y la suma es continua en (−R, R]. En

parti-cular, l´ım x→R− ∞ X n=0 anxn= ∞ X n=0 anRn

Como consecuencia, en x = 1, para la funci´on log(1 + x) se obtiene log 2 =

∞ X n=1 (−1)n−1 n y para la funci´on arctan x se obtiene π 4 = ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1. 2.5. Aplicaciones

A la suma de series. Por ejemplo,P∞

n=0nkxn, k ∈ N, se pueden calcular derivando la serie geom´etrica.

Sea λ ∈ R, sea α =p|λ| y sea f una funci´on dos veces derivable en R que satisface f00(x) + λf (x) = 0 para todo x ∈ R

Entonces:

• Si λ > 0 entonces existen a, b ∈ R tales que f(x) = a cos αx + b sen αx. • Si λ < 0 entonces existen a, b ∈ R tales que f(x) = aeαx_{+ be}−αx_.

• Si λ = 0 entonces existen a, b ∈ R tales que f(x) = a + bx.

Segunda parte

3. Medida de Lebesgue en la recta real

S´olo vemos un esquema de la construcci´on de la medida de Lebesgue en la recta (en la asignatura IFVV de segundo cuatrimestre se desarrolla completamente).

3.1. Medida o longitud de intervalos

Sean a, b ∈ R, a ≤ b. El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de x ∈ R tales que a ≤ x ≤ b. El intervalo abierto se define con las dos desigualdades estrictas (puede ser vac´ıo). Y, en general, un intervalo en R se define de manera an´aloga poniendo las desigualdades estrictas o no, arbitrariamente. Un intervalo es degenerado si a = b.

La longitud de un intervalo I (acotado) de extremos a y b se define como long(I) = b − a (no depende de que las desigualdades sean estrictas o no). Es degenerado si y s´olo si su longitud es cero.

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3.2. Medida de un abierto

Lema. Todo conjunto abierto no vac´ıo es uni´on numerable de intervalos acotados dos a dos disjuntos, con cierre dentro del abierto.

En particular, todo conjunto abierto es uni´on numerable creciente de conjuntos compactos.

Notas: Si s, t ∈ [−∞, +∞] se definen de forma natural s ≤ t, s + t y s − t (excluyendo (+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞) y (+∞) + (−∞)). Si sk ∈ [0, +∞] y alguno de ellos es +∞, la suma de la serieP∞k=1sk se

define como +∞.

Si ∅ 6= S ⊂ [0, +∞] se define ´ınf S = +∞ si S = {+∞} e ´ınf S = ´ınf(S ∩ [0, +∞)) en otro caso. Definici´on. Sea G ⊂ Rn _{abierto. Si (I}

k) es una familia de intervalos dos a dos disjuntos tales que G =

S∞

k=1Ik, se define la medida de G como m(G) =

P∞

k=1long(Ik).

Medida exterior de Lebesgue. Si A ⊂ Rn la medida exterior de Lebesgue de A se define como m∗(A) = ´ınf {m(G) : A ⊂ G, G es abierto}.

Teorema. La funci´on m∗ : P(R) → [0, +∞] es una medida exterior en R, es decir: m∗(∅) = 0.

Si A ⊂ B ⊂ X, entonces m∗(A) ≤ m∗(B) (monoton´ıa).

Si (Ak) es una sucesi´on de partes de X, entonces m∗(S∞k=1Ak) ≤P∞k=1m∗(Ak) (subaditividad).

Para los intervalos coincide con la longitud y para los conjuntos abiertos coincide con la medida.

Definici´on. Se dice que A ⊂ R es medible Lebesgue cuando para todo ε > 0 existen F cerrado y G abierto tales que F ⊂ A ⊂ G y m(G \ F ) < ε.

Teorema. La familia M formada por todos los subconjuntos de R que son medibles Lebesgue es una σ-´

algebra de partes de R, es decir, ∅, R pertenecen a M.

Si A ∈ M entonces R \ A ∈ M.

Si (Ak) es una sucesi´on en M entonces S∞_k=1Ak∈ M.

M contiene a los intervalos y a los conjuntos con medida exterior cero.

Teorema. La restricci´on m : M → [0, +∞] de la medida exterior de Lebesgue m∗ a la σ-´algebra de los conjuntos medibles Lebesgue es una medida positiva, la medida de Lebesgue en la recta (longitud). Es decir, se cumplen:

m(∅) = 0.

Si (Ak) en M es de conjuntos dos a dos disjuntos, entonces m(S∞_k=1Ak) =P∞_k=1m(Ak) (aditividad).

Teorema. La medida de Lebesgue es completa, es decir, si m(A) = 0 y B ⊂ A entonces B es medible Lebesgue y m(B) = 0.

Teorema (Teorema de estructura). Sea A ⊂ R. A es medible Lebesgue si y s´olo si A = B \ C con B un Gδ

(intersección numerable de abiertos) y m(C) = 0, y si y sólo si A = B ∪ C con B un Fσ (unión numerable

de cerrados) y m(C) = 0. Ejemplos:

1. En R los conjuntos numerables tienen medida nula.

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3.3. Invariancia de la medida de Lebesgue

Teorema. La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones, es decir, x + A es medible y m(x + A) = m(A) para todo A medible y todo x ∈ R.

Ejemplo: Existen conjuntos no medibles Lebesgue.

4. Medidas positivas e integral de funciones medibles

4.1. Medidas positivas y conjuntos medibles

Conjuntos medibles. Sea X un conjunto. Una σ-´algebra de partes de X es una familia M de subconjuntos de X tal que:

∅, X pertenecen a M.

Si A ∈ M entonces X \ A ∈ M.

Si (Ak) es una sucesi´on en M entoncesS∞k=1Ak∈ M.

Los elementos de M se llaman conjuntos medibles y el par (X, M) se llama espacio medible.

Ejemplos: la familia de todas las partes de X es una σ-álgebra. La familia de todas las partes numerables o de complemento numerable también lo es. En R, la familia de conjuntos medibles Lebesgue es una σ-álgebra. Propiedades. Sea M una σ-álgebra de partes de X. Se cumplen:

Si (Ak) es una sucesi´on en M entoncesT∞_k=1Ak∈ M.

Si A, B ∈ M entonces A \ B ∈ M.

Si (Ak) es una sucesi´on en M, entonces definiendo B1 = A1 y Bk+1= Ak+1\ (Sj≤kAj), se tiene que

Bk∈ M,S∞k=1Ak=S∞k=1Bk y Bk∩ Bj = ∅ si k 6= j (son dos a dos disjuntos).

La intersección de todas las σ-álgebras de X que contienen a una familia dada es una σ-álgebra, la menor que la contiene. Se dice que es la σ-álgebra generada por esa familia.

En R, la σ-´algebra B generada por la topolog´ıa eucl´ıdea recibe el nombre de σ-´algebra de Borel. Sus elementos se llaman borelianos. Entre ellos figuran los Fσ y los Gδ. Todo conjunto de Borel de R es medible

Lebesgue, pero existen conjuntos medibles Lebesgue que no son borelianos.

Medidas positivas. Dado un espacio medible (X, M), una funci´on µ : M → [0, +∞] es una medida positiva si cumple:

µ(∅) = 0.

Si (Ak) en M es de conjuntos dos a dos disjuntos, entonces µ(

S∞

k=1Ak) =

P∞

k=1µ(Ak) (aditividad).

La terna (X, M, µ) se llama espacio de medida.

Ejemplos: la medida cardinal µ(A) = #(A). La delta de Dirac en x: µ(A) = 1 ó 0 según x ∈ A ó x /∈ A. Ambas son medidas positivas en el conjunto de todas las partes. La medida de Lebesgue en la recta es el ejemplo más importante.

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Propiedades. Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Se cumplen: Si A ⊂ B son medibles, entonces µ(A) ≤ µ(B) (monoton´ıa).

Si (Ak) es una sucesi´on en M, entonces µ(S∞k=1Ak) ≤P∞k=1µ(Ak) (subaditividad).

Si A ⊂ B son medibles y µ(A) < ∞ entonces µ(B \ A) = µ(B) − µ(A). Si (Ak) es una sucesi´on en M y Ak⊂ Ak+1, entonces µ(

S∞

k=1Ak) = l´ımk→∞µ(Ak).

Si (Ak) es una sucesi´on en M, Ak+1 ⊂ Ak y µ(A1) < +∞, entonces µ(T∞k=1Ak) = l´ımk→∞µ(Ak).

4.2. Integral de funciones simples

Si f : X → Y es una aplicación entre dos conjuntos y D ⊂ Y entonces [f ∈ D] representará a la imagen inversa de D mediante f , es decir, [f ∈ D] = f−1(D) = {x ∈ X : f (x) ∈ D}. Se suele leer [f ∈ D] como el conjunto de puntos donde f está en D. Esta notación se utiliza también en caso de conjuntos definidos mediante varias igualdades o desigualdades.

Sea A ⊂ X. La funci´on caracter´ıstica de A es la funci´on χA: X → R definida por χA(x) = 1 si x ∈ A y

χA(x) = 0 si x /∈ A.

Una funci´on ϕ : X → R se dice simple cuando toma un n´umero finito de valores. Las funciones simples forman un espacio vectorial: son las combinaciones lineales de las funciones caracter´ısticas.

Definici´on. Sea (X, M) un espacio medible. Diremos que una funci´on simple es medible cuando el conjunto [ϕ = a] es medible para todo a ∈ R.

Proposici´on. Las funciones simples medibles forman un espacio vectorial: son las combinaciones lineales de las funciones caracter´ısticas de conjuntos medibles.

Definici´on. Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Si ϕ es simple medible no negativa, ϕ = Pn

k=1akχAk,

con ak≥ 0 y Ak∈ M para todo k, entonces la integral de ϕ en X se define como

Z X ϕ dµ = n X k=1 akµ(Ak)

(convenimos en que 0.(+∞) = 0 y que a.(+∞) = +∞ si a > 0.).

También se escribirá R_Xϕ(x) dµ(x). La integral es un elemento de [0, +∞], pudiendo valer +∞. Lema. La definición de la integral es independiente de la representación de ϕ como combinación lineal. Lema. Sean ϕ y ψ funciones simples medibles no negativas y α ≥ 0. Se cumple que

Z X (ϕ + ψ) dµ = Z X ϕ dµ + Z X ψ dµ y que Z X (αϕ) dµ = α Z X ϕ dµ. Si adem´as ψ ≤ ϕ entonces R Xψ dµ ≤ R Xϕ dµ.

Definici´on. Si A ∈ M y ϕ ≥ 0 es simple medible, se define la integral de ϕ sobre A como Z A ϕ dµ = Z X ϕχAdµ. Se cumple que si ϕ =Pn k=1akχAk, ak≥ 0 y Ak ∈ M para todo k, Z A ϕ dµ = n X k=1 akµ(Ak∩ A)

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4.3. Funciones medibles

Se considera fijado un espacio medible (X, M).

Definición. Una función f : X → [−∞, +∞] se dice medible cuando [f < a] ∈ M para todo a ∈ R. Proposición. Dada f : X → [−∞, +∞], son equivalentes:

f es medible.

[f ≥ a] ∈ M para todo a ∈ R. [f ≤ a] ∈ M para todo a ∈ R. [f > a] ∈ M para todo a ∈ R.

[f = −∞], [f = +∞] y [a ≤ f < b] es medible, para todos a, b ∈ R, con a < b. [f = −∞], [f = +∞] y [f ∈ G] para todo G ⊂ R abierto, son conjuntos medibles.

Si la función f sólo toma valores reales, es decir f (X) ⊂ R, f es medible si y sólo si [f ∈ G] ∈ M para todo G ⊂ R abierto. Para las funciones simples ambos conceptos de medibilidad son equivalentes.

La medibilidad de una función depende de la σ-álgebra de partes considerada en X. As´ı, en R se hablará de funciones medibles Borel y funciones medibles Lebesgue, según se considere la medibilidad en un sentido u otro. Las funciones medibles Borel son también medibles Lebesgue.

Toda función continua o monótona f : R → R es medible Borel. El mismo resultado es cierto si f : A ⊂ R → R es continua y A es medible Borel, si se considera en A la σ-álgebra de los conjuntos de Borel contenidos en A.

Teorema. Sean f, g : X → [−∞, +∞] funciones medibles y a ∈ R. Los conjuntos [f < g + a], [f ≤ g] y [f = g] son medibles.

Teorema. El l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones medibles es una funci´on medible.

Teorema. Toda función medible no negativa f : X → [0, +∞] es l´ımite puntual de una sucesión monótona creciente de funciones simples medibles no negativas. Si además la función está acotada, se puede conseguir que la convergencia sea uniforme.

Teorema. Sean f, g : X → [0, +∞] funciones medibles y α ≥ 0 real. Las funciones αf , f + g, y f g son medibles no negativas.

Definici´on. Sea f : X → R. Las funciones f+(x) = sup{f (x), 0} y f−(x) = −´ınf{f (x), 0} se llaman funciones parte positiva y negativa de f , respectivamente.

Las funciones f+ y f− son medibles no negativas y cumplen f (x) = f+(x) − f−(x) y |f (x)| = f+(x) + f−(x).

Teorema. Toda funci´on real medible es l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones simples medibles. Si es acotada, se puede conseguir que la convergencia sea uniforme.

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4.4. Integral de funciones medibles no negativas

Se considera un espacio de medida (X, M, µ).

Definici´on. Sea f una funci´on medible no negativa. Se define la integral de f en X como Z X f dµ = sup Z X ϕ dµ : ϕ es simple medible y 0 ≤ ϕ ≤ f

Si A ∈ M se define la integral de f en A comoR

Af dµ = R Xf χAdµ. Tambi´en se escribir´a R Xf (x) dµ(x) y R Af (x) dµ(x).

La definici´on de integral que acabamos de dar es coherente con la previa de integral de funciones simples medibles no negativas.

La integral de una funci´on medible no negativa pertenece a [0, +∞], pudiendo valer +∞ como ya se˜ nala-mos al estudiar la integral de funciones simples.

Teorema. Sean f, g medibles no negativas y A, B ∈ M. Se cumplen: Si f ≤ g entonces R Xf dµ ≤ R Xg dµ. Si A ⊂ B entonces R Af dµ ≤ R Bf dµ.

Si f (x) = 0 para todo x ∈ A, o si µ(A) = 0, entonces R_Af dµ = 0. Si µ(B) = 0 entonces R_Xf dµ =R_X\Bf dµ.

Definici´on. Sean f y g funciones definidas en X, no necesariamente medibles. Diremos que f (x) = g(x) en casi todo x ∈ X cuando existe B ∈ M tal que µ(B) = 0 y f (x) = g(x) para todo x ∈ X \ B.

Sea (fk) una sucesi´on de funciones definidas en X y sea f otra funci´on definida en X, no necesariamente

medibles. Diremos que fkconverge a f puntualmente en casi todo X cuando existe B ∈ M tal que µ(B) = 0

y fk(x) → f (x) para todo x ∈ X \ B.

Y en general, una propiedad relativa a los puntos de X se cumple en casi todo X cuando existe B ∈ M tal que µ(B) = 0 de modo que la propiedad la cumplen todos los puntos de X \ B. Tambi´en pueden considerarse propiedades que se cumplen en casi todo A, siendo A ⊂ X medible, con una definici´on similar.

Teorema. Si el espacio de medida es completo entonces: Si f = g en casi todo X y f es medible, g tambi´en lo es.

Si fk→ f puntualmente en casi todo x ∈ X y fk es real y medible para todo k, entonces f es medible.

Teorema. Sea f una funci´on medible no negativa y A ∈ M.

(Desigualdad de Chebyshev) Para todo a > 0, µ([f ≥ a]) ≤ _a1R_Xf dµ. Si R_Af dµ = 0 entonces f = 0 en casi todo A.

Si R

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4.5. Integral de funciones con signo arbitrario

Continuamos en el marco de un espacio de medida (X, M, µ).

Definici´on. Sea A ∈ M y sea f : X → R una funci´on medible. La integral de f en A se define como R Af dµ = R Af +_{dµ −}R Af

−_{dµ, cuando al menos una de ellas sea finita. La integral est´}_{a en [−∞, +∞].}

Se dice que f es integrable en A cuando R

Af+dµ < +∞ y

R

Af

−_{dµ < +∞. En este caso, la integral es}

un n´umero real, no −∞ ni +∞.

Si f : X → R es medible no negativa, f es integrable en A si y s´olo siRAf dµ < +∞.

Teorema. Propiedades:

Si f (x) = 0 para todo x ∈ A, o si µ(A) = 0, entonces R

Af dµ = 0.

Si f y g son integrables y f ≤ g en casi todo X, entonces R_Xf dµ ≤R_Xg dµ.

Si f y g son medibles y f = g en casi todo A, entonces f es integrable en A si y s´olo si lo es g, y R

Af dµ =

R

Ag dµ.

5. Teoremas de convergencia

Continuamos en el marco de un espacio de medida (X, M, µ).

5.1. Teorema de convergencia mon´otona

Lema. Sea ϕ una funci´on simple medible no negativa. Se cumple que la funci´on A →R_Aϕ dµ es una medida positiva definida en M.

Teorema (Teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue). Sea (fk) una sucesi´on de funciones medibles

no negativas tales que fk ≤ fk+1 para todo k ≥ 1. Si fk → f puntualmente en X, entonces

Z X f dµ = l´ım k→∞ Z X fkdµ

Teorema. Propiedades de la integral de funciones no negativas: Linealidad: Si f y g son funciones medibles no negativas,

Z X (f + g) dµ = Z X f dµ + Z X g dµ Si α ∈ [0, +∞) entonces R Xαf dµ = α R Xf dµ.

Integración término a término de series (Beppo-Levi): Si f =P∞

k=1fk es la suma puntual de una serie

de funciones medibles no negativas, entonces f es medible no negativa y R

Xf dµ =

P∞

k=1

R

Xfkdµ.

Aditividad: Si A es la uni´on de la sucesi´on (Ak) de medibles disjuntos dos a dos y f es medible no

negativa, entonces R Af dµ = P∞ k=1 R Akf dµ.

(13)

5.2. Funciones integrables

Teorema. Una función real medible f es integrable en A si y sólo está acotada en valor absoluto en A por una función integrable, si y sólo si su valor absoluto es integrable en A. Y se cumple

R Af dµ ≤ R A|f | dµ.

Teorema. Las funciones reales medibles y acotadas son integrables en los conjuntos de medida finita. En particular, son integrables las funciones simples medibles que toman sus valores en conjuntos de medida finita.

En R se hablará de funciones integrables Lebesgue (aunque se trate de funciones medibles Borel) o, más brevemente, de funciones integrables. Una función f : R → R continua es integrable en cualquier compacto. Teorema.

Linealidad: Sean f y g funciones integrables en A y sean α y β n´umeros reales. Entonces αf + βg es integrable en A y se cumple R A(αf + βg) dµ = α R Af dµ + β R Ag dµ.

Aditividad: Si f es integrable en A y A es la uni´on de la sucesi´on (Ak) de medibles disjuntos dos a

dos, entonces R Af dµ = P∞ k=1 R Akf dµ.

A la inversa, si f es integrable en los Ak y siP∞k=1

R

Ak|f | dµ converge, entonces f es integrable en A.

Si R

Af dµ = 0 para todo A ∈ M entonces f = 0 en casi todo X.

5.3. Teorema de convergencia dominada

Lema (Lema de Fatou). Sea (fk) una sucesi´on de funciones medibles no negativas. Se cumple que

Z X l´ım inf k→∞ fkdµ ≤ l´ım infk→∞ Z X fkdµ

Teorema (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue). Sea (fk) una sucesi´on de funciones reales

medibles, puntualmente convergente en X hacia una funci´on f , de modo que existe una funci´on integrable g que cumple |fk(x)| ≤ g(x) para todo k ≥ 1 y casi todo x ∈ X.

Entonces f y las fk son integrables y

Z X f dµ = l´ım k→∞ Z X fkdµ

En algunas ocasiones se consideran funciones reales definidas en casi todo, o iguales a una medible en casi todo. Se puede hablar sin ambigüedad tanto de la integrabilidad de este tipo de funciones como del valor de su integral. En este sentido el teorema de la convergencia dominada se puede enunciar con la hipótesis más débil fk→ f en casi todo X, y se tiene el siguiente resultado de intercambio:

Teorema (Integración término a término). Sea (fk) una sucesión de funciones integrables tal que la serie

P∞

k=1

R

X|fk| dµ converge. Entonces

P∞

k=1fk(x) converge en casi todo X, la funci´on suma puntual f es

integrable y se verifica que R

Xf dµ =

P∞

k=1

R

(14)

6. Integral de Lebesgue de funciones de una variable real

6.1. Teoremas fundamentales del c´alculo

Notación: Si f es una función integrable en un subintervalo J de R de extremo inferior a y superior b, no necesariamente acotado, la integral de Lebesgue f en J se escribiráRb

af (x) dx. Cuando b < a se entiende

queRb

af (x) dx = −

Ra

b f (x) dx.

Teorema. Sea f integrable Lebesgue en [a, b], a, b ∈ R. Entonces la funci´on F (x) =Rx

a f (t) dt est´a definida

y es continua en [a, b], y si f es continua en c ∈ [a, b] entonces F es derivable en c y F0(c) = f (c). Lema. Sean a, b, c ∈ R, a < b. Si f es continua en [a + c, b + c] entoncesRb

af (x + c) dx =

Rb+c

a+c f (x) dx

Teorema (Regla de Barrow). Sea f una funci´on integrable Lebesgue y acotada en [a, b], a, b ∈ R. Si F es continua en [a, b] y F0(x) = f (x) en (a, b) entonces Rb

af (x) dx = F (b) − F (a).

Consecuencias:

Integraci´on por partes: R_abF (x)G0(x) dx = F (b)G(b) − F (a)G(a) −R_abG(x)F0(x) dx si F y G son continuas en [a, b] y derivables en (a, b) con derivadas acotadas.

Cambio de variables: si ϕ : [c, d] → R es derivable en [c, d], con derivada acotada y f es continua en ϕ([c, d]), entonces, si a = ϕ(c) y b = ϕ(d) se tiene que Rb

af (x) dx =

Rd

c f (ϕ(t))ϕ 0_{(t) dt.}

6.2. Funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados

Teorema. Sea f una funci´on medible definida en el intervalo (a, +∞). Si f es integrable en (a, +∞), entonces Z +∞ a f (x) dx = l´ım b→+∞ Z b a f (x) dx Inversamente, si l´ım b→+∞ Z b a

|f (x)| dx < +∞ entonces f es integrable en (a, +∞). Definici´on. Sea a ∈ R. Si f es integrable en cada (a, b) para todo b > a, el l´ımite l´ım

b→+∞

Z b

a

f (x) dx se llama integral impropia de primera especie de f en (a, +∞). Se dice que la integral impropia converge cuando existe ese l´ımite, y su valor se escribe tambi´en

Z +∞

a

f (x) dx.

Sean a, b ∈ R. Si f es integrable en cada (a, c) para todo a < c < b, el l´ımite l´ım

c→b−

Z c

a

f (x) dx se llama integral impropia de segunda especie de f en (a, b). Se dice que la integral impropia converge cuando existe ese l´ımite, y su valor se escribe tambi´en

Z b

a

f (x) dx.

Igualmente se definen las impropias de segunda especie con impropiedad en a y las de primera especie en (−∞, b).

Teorema. Sea a ∈ R y sea f integrable en cada (a, b) para todo b > a. La funci´on f es integrable en (a, +∞) si y s´olo si la integral impropia

Z +∞ a

|f (x)| dx es convergente (se dice que converge absolutamente). En ese caso, el valor de la integral coincide con el de la integral impropia

Z +∞

(15)

Para comprobar que una integral impropia es convergente se puede: (a) calcularla haciendo la integral; (b) acotar el integrando en valor absoluto por una funci´on integrable; (c) (si tiene signo constante) compararla por paso al l´ımite con una que sea convergente.

Ejemplo. La integral Z +∞

0

sen x

x dx converge como impropia pero sen x

x no es integrable Lebesgue en [0, +∞). Como en el caso de las series, se habla de convergencia condicional.

Definición. Una integral extendida a un intervalo de forma que se puede descomponer en un número finito de intervalos en los que es impropia de primera o de segunda especie, se llama integral impropia mixta. Se dirá que converge cuando haya convergencia de todas y cada una de las que la componen y su valor será la suma de las integrales impropias componentes.

6.3. Relaci´on con la integral de Riemann

Teorema. Sean a, b ∈ R, a < b. Sea f : [a, b] → R acotada. Se cumplen:

Si f es integrable Riemann en [a, b] entonces f es integrable Lebesgue en [a, b] y ambas integrales coinciden.

Teorema de Lebesgue: f es integrable Riemann en [a, b] si y s´olo si el conjunto de sus discontinuidades tiene medida de Lebesgue cero.

7. Integrales dependientes de par´

ametros

Definición. Sea (X, M, µ) un espacio de medida y sea J un subintervalo de la recta, acotado o no. Sea f : X × J → R tal que la función f (·, t), definida por x 7→ f (x, t), es integrable para todo t ∈ J. La función F : J → R dada por F (t) =R

Xf (x, t) dµ(x) se llama integral dependiente del par´ametro t.

Teorema (Intercambio de l´ımite con integral). Sea t0∈ J0. Supongamos que:

Existe l´ımt→t0f (x, t) en casi todo X.

Existe g integrable en X tal que para todo t ∈ J , |f (x, t)| ≤ g(x) en casi todo X. Entonces l´ımt→t0F (t) =

R

Xl´ımt→t0f (x, t) dµ(x).

En particular, si en casi todo X f (x, ·) es continua en t0, entonces F tambi´en.

La parte de intercambio se aplica tambi´en en el caso en que t0 sea infinito.

Teorema (Derivaci´on bajo el signo integral). Supongamos que la integral dependiente del par´ametro t cumple:

En casi todo X, existe ∂f_∂t(x, t) para todo t ∈ J . Existe g integrable en X tal que en casi todo X,

∂f ∂t(x, t) ≤ g(x), para todo t ∈ J . Entonces F es derivable en J y F0(t) =R X ∂f ∂t(x, t) dµ(x) (regla de Leibniz).

En particular, si X es un intervalo acotado de R y f es una funci´on de clase C1 en un abierto que contiene a X × J , entonces F es de clase C1 y F0(t) se calcula usando la regla de Leibniz.

Ejemplos. Z +∞ 0 sen x x dx = π 2 (integral de Dirichlet) Z +∞ 0 e−x2dx = √ π 2 (integral de Gauss)

(16)

7.1. Las funciones Gamma y Beta de Euler

La funci´on Gamma: Γ(p) = Z +∞

0

xp−1e−xdx (p > 0) Γ es una función de clase C∞, que cumple Γ(p + 1) = p Γ(p). Γ(n + 1) = n! si n ≥ 0 entero. Γ0(1) = −γ (constante de Euler). La función Beta: B(p, q) = Z 1 0 xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0) B es una función de clase C∞.

B(p, q) = Γ(p) Γ(q)

Γ(p + q) (lo vemos en IFVV; tambi´en ver Rudin PAM teor. 8.20).

Tercera parte

8. Series de Fourier

8.1. Coeficientes de Fourier

Una serie trigonom´etrica es una serie de funciones de la forma a0 2 + ∞ X k=1 akcos kx + bksen kx Si P∞

k=1|ak| + |bk| < ∞ entonces la serie trigonom´etrica converge uniformemente en R y su suma f

es una función continua y periódica (de per´ıodo 2π). Los coeficientes de la serie se calculan mediante las fórmulas: ak= 1 π Z π −π f (x) cos kx dx si k ≥ 0 bk= 1 π Z π −π f (x) sen kx dx si k ≥ 1

Sea f una función integrable en (−π, π). La serie de Fourier de f es la serie trigonométrica cuyos coeficientes están definidos por las igualdades anteriores. Los ak, bk se llaman coeficientes de Fourier de f y

cumplen |ak|, |bk| ≤ 1 π Z π −π |f (x)| dx para todo k. Escribiremos f (x) ∼ a0 2 + ∞ X k=1

akcos kx + bksen kx para que la serie de Fourier de f es esa serie.

Como las funciones trigonométricas que se suman son todas periódicas, la suma en todo R ser´ıa igual a la extensión periódica de f . Caso de ser f continua en [−π, π] tendr´ıa que cumplir f (−π) = f (π).

(17)

8.2. Series en senos y cosenos

Si la funci´on f integrable en el intervalo (−π, π) es par, todos los coeficientes bk se anulan, por lo que la

serie de Fourier sólo tiene sumandos en cosenos y el término constante. Si es impar, los coeficientes que se anulan son los ak y la serie de Fourier sólo tiene senos.

Una funci´on que no es necesariamente par ni impar, puede desarrollarse en serie de cosenos pero s´olo en (0, π), no en todo (−π, π): ak= 2 π Z π 0 f (x) cos kx dx si k ≥ 0, bk= 0 si k ≥ 1 o de senos ak= 0 si k ≥ 0, bk= 2 π Z π 0 f (x) sen kx dx si k ≥ 1

8.3. El problema de la cuerda vibrante

La vibración de una cuerda tensa con extremos fijos en los puntos 0 y π del eje de abscisas —con varias hipótesis de simplificación (la vibración es transversal, la tensión es constante, etc.)— está determinada por la función u(x, t) que da la ordenada en el instante t del punto de la cuerda cuya abscisa es x, y se rige por la ecuación de ondas en una dimensión

a2∂

2_u

∂x2 =

∂2u ∂t2

D’Alembert y Euler a mediados del siglo XVIII demostraron que si f es dos veces derivable en [0, π] y se extiende al [−π, 0] de forma impar y despu´es a todo R peri´odica con per´ıodo 2π, entonces u(x, t) =

1

2(f (x + at) + f (x − at)) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas, con f como forma inicial de la cuerda, es decir,

u(x, 0) = f (x) para x ∈ [0, π], y con velocidad inicial nula, es decir, ∂u

∂t(x, 0) = 0 para todo x ∈ [0, π]. Por otra parte, fijada la forma inicial de la cuerda, hay una única solución de la ecuación de ondas que tiene velocidad inicial nula.

Daniel Bernoulli dio poco después la solución como combinación lineal infinita (suma de una serie) de funciones trigonométricas:

u(x, t) = b1sen x cos at + b2sen 2x cos 2at + b3sen 3x cos 3at + · · ·

Para t = 0 se obtiene que la forma inicial f , a pesar de que puede ser muy arbitraria, cumple f (x) = b1sen x + b2sen 2x + b3sen 3x + · · ·

desarrollo en serie de senos. A principios del siglo XIX, Fourier enunció que cualquier función puede escribirse como suma de la serie trigonométrica que hemos llamado de Fourier.

9. Convergencia de la serie de Fourier

9.1. Convergencia uniforme de las medias aritm´eticas: teorema de Fej´er

La suma parcial de la serie de Fourier es el polinomio trigonom´etrico Sn(f, x) = a0 2 + n X k=1 akcos kx + bksen kx

(18)

Teorema (Expresi´on integral de las sumas parciales). Para toda f integrable en [−π, π] se tiene que Sn(f, x) = 1 2π Z π −π f (y)Dn(x − y) dy

donde la sucesi´on de funciones

Dn(x) = 1 + 2 n X k=1 cos kx = sen(n + 1 2)x senx₂ , n ≥ 0 se llama n´ucleo de Dirichlet.

La sucesi´on de medias aritm´eticas de la serie de Fourier se escribe σn(f, x) = 1 n + 1 n X k=0 Sk(f, x)

Teorema (Expresión integral de las medias aritméticas). Se define el núcleo de Fejér como la sucesión de funciones Fn(x) = 1 n + 1 n X k=0 Dn(x) = 1 n + 1 sen2_{(n + 1)}x 2 sen2 x 2 , n ≥ 0 Para toda f integrable en (−π, π) se tiene que

σn(f, x) = 1 2π Z π −π f (y)Fn(x − y) dy

Teorema (Teorema de Fej´er). Si f es continua en [−π, π] y f (−π) = f (π), entonces σn(f, x) → f (x)

uniformemente en R.

Teorema (Completitud del sistema trigonom´etrico). Si la funci´on f es continua en [−π, π], f (−π) = f (π), yRπ

−πf (x) cos kx dx = 0 para k ≥ 0 y

Rπ

−πf (x) sen kx dx = 0 para k ≥ 1, entonces f = 0.

9.2. Aproximaci´on en media y en media cuadr´atica

Si f es medible en (−π, π) se define la norma 1 de f como kf k1 =

Z π

−π

|f (x)| dx

Tiene las propiedades de una norma en el espacio vectorial de las funciones integrables, excepto que kf k1= 0

no implica f = 0 sino f = 0 en casi todo. Una sucesi´on fn de funciones integrables converge en media hacia

f cuando kfn− f k1→ 0. Tambi´en se dice que converge en L1.

Se define la norma 2 de una funci´on medible f en (−π, π) como kf k2 =

Z π −π

f (x)2dx 1₂

(19)

Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz y desigualdad de Minkowski). Dadas f, g funciones medibles no negativas en (−π, π), se cumple que

Z π

−π

f (x)g(x) dx ≤ kf k2kgk2 kf + gk2 ≤ kf k2+ kgk2

El conjunto de funciones de cuadrado integrable, es decir, funciones medibles f tales que kf k2 < +∞,

es un subespacio vectorial del de las integrables y la norma 2 tiene las propiedades de una norma (salvo que kf k2 = 0 implica s´olo que f = 0 en casi todo). Una sucesi´on fn de funciones de cuadrado integrable

converge en media cuadr´atica hacia f cuando kfn− f k2 → 0. Tambi´en se dice que converge en L2.

Teorema (Densidad de las funciones continuas). Sea f medible en (−π, π) y sea ε > 0.

Si f es integrable existe una funci´on continua g en [−π, π] tal que g(−π) = g(π) = 0 y tal que kf − gk1 < ε.

Si f es de cuadrado integrable existe una funci´on continua g en [−π, π] tal que g(−π) = g(π) = 0 y tal que kf − gk2 < ε.

9.3. Consecuencias del teorema de Fej´er

Teorema (Teorema de unicidad). Si f y g son integrables en (−π, π) y tienen las mismas series de Fourier, son iguales en casi todo.

Teorema (Lema de Riemann-Lebesgue). Los coeficientes de Fourier ak, bk de una funci´on integrable en

(−π, π) convergen a cero.

9.4. Convergencia puntual de la serie de Fourier

Teorema (Condici´on de Dini). Sea f : R → R integrable en (−π, π), 2π- peri´odica y sea x ∈ R. Si existen los l´ımites laterales f (x+), f (x−) y las “derivadas laterales” en x

l´ım y→x− f (y) − f (x−) y − x y y→x+l´ım f (y) − f (x+) y − x entonces la serie de Fourier en x converge a la semisuma f (x+) + f (x−)

2 .

Si f es continua en x, la condici´on de Dini equivale a que existan las derivadas laterales de f en x (aunque no coincidan). En este caso la suma de la serie de Fourier es f (x).

Teorema (Principio de localizaci´on de Riemann). Sea x ∈ R. Si f y g coinciden en un entorno de x entonces las dos series de Fourier tienen el mismo comportamiento en x, convergiendo en su caso al mismo valor.

9.5. Convergencia en media cuadr´atica

Teorema (Mejor aproximaci´on). Si f es de cuadrado integrable en (−π, π) y f ∼ a0 2 +

∞

X

k=1

akcos kx +

bksen kx entonces para cualquier polinomio trigonom´etrico p(x) =

c0

2 +

n

X

k=1

ckcos kx + dksen kx se cumple

(20)

Adem´as kf − S_n(f, ·)k2₂= kf k2₂− π a 2 0 2 + n X k=1 a2_k+ b2_k !

Teorema. Dada f de cuadrado integrable en (−π, π), se tiene: Sn(f, x) → f (x) en L2. Identidad de Parseval: 1 π Z π −π |f (x)|2_{dx =} a20 2 + ∞ X n=1 (a2_n+ b2_n) 9.6. Convergencia uniforme

Teorema. Si f es continua en [−π, π], f (−π) = f (π), y f0 existe salvo en un n´umero finito de puntos y es integrable y acotada, entonces

La serie de Fourier de f0 se obtiene derivando la de f t´ermino a t´ermino:

si f (x) ∼ a0 2 +

∞

X

k=1

akcos kx + bksen kx entonces f0(x) ∼ ∞

X

k=1

kbkcos kx − kaksen kx

La serie de Fourier converge uniformemente a f . Nota: f0 integrable es consecuencia de las otras hip´otesis.