Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Estadística

(1)

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN-Managua

Curso de Estadística

UNIDAD III

Variables Aleatorias

Y

Distribuciones de probabilidades

Estudiantes: FAREM-Carazo Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés.

II Semestre 2010

Año académico:

(2)

La duración de las clases prácticas será de 90 mínutos ininterrumpidas. Durante este tiempo se irán realizando las prácticas, las tareas y el Trabajo de curso.

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(3)

3

Variable aleatoria

• El

resultado de un experimento

aleatorio puede ser descrito en

ocasiones como una

cantidad numérica

.

• En estos casos aparece la noción de

variable aleatoria

– Función que asigna a cada suceso un número real

• Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

• En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de

temas anteriores, junto con su nueva designación.

Los nombres

son nuevos. Los conceptos no.

(4)

Definición

• El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de

probabilidad o distribución de probabilidad de la variable

aleatoria discreta X si, para cada resultado posible x:

1. f(X)≥0 (todos los f(x) son positivos o cero)

2. ∑f(x)=1 (la suma de todos los f(x) es igual a la prob. total

1)

(5)

Ejemplo 1

• Una empresa importadora recibe 8 microcomputadoras de las

cuales tres están defectuosas. Las cuales son enviadas a un

distribuidor.

Un

turista

compra

aleatoriamente

dos

microcomputadoras de ese lote. Encuentre la distribución de

probabilidad

para

el

número

de

microcomputadoras

descompuestas.

Sea X: la variable aleatoria, cuyos valores x son los posibles

números de computadoras defectuosas compradas por el

turista. Entonces x puede ser cualquiera de los números 0,1,2.

(6)

Solución

28 10 ! 6 ! 2 ! 8 ! 3 ! 2 ! 5 ! 3 ! 0 ! 3 2 8 2 5 0 3 ) 0 (                             x f 28 15 ! 6 ! 2 ! 8 ! 4 ! 1 ! 5 ! 2 ! 1 ! 3 2 8 1 5 1 3 ) 1 (                             x f 28 3 ! 6 ! 2 ! 8 ! 5 ! 0 ! 5 ! 1 ! 2 ! 3 2 8 0 5 2 3 ) 2 (                             x f x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 1 2 3 f(x) f(x) 0 1 2 x

(7)

Ejemplo 2

• El 50% de los automóviles que renta una agencia de turismo

son de diesel, encuentre la distribución de probabilidad del

número de automóviles diesel

entre los próximos 4

automóviles que se renta en esta agencia.

Sea X: la variable aleatoria, cuyos valores x son los posibles

automóviles diesel que se rentan para turistas. Entonces x

puede ser cualquiera de los números 0,1,2,3,4.

(8)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 1 2 3 4 5 f(x) f(x)

Solución

Ya que la probabilidad de rentar un modelo diesel

O de gasolina es 0.5. Los 24 _{puntos del espacio}

muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir.

          ₄ 2 4 ) (x x f x 0 1 2 3 4 f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 0 1 2 3 4 x 16 1 16 ! 4 ! 0 ! 4 2 0 4 ) 0 ( ₄             x f 16 4 16 ! 3 ! 1 ! 4 2 1 4 ) 1 ( ₄             x f 16 6 16 ! 2 ! 2 ! 4 2 2 4 ) 2 ( ₄             x f 16 4 16 ! 1 ! 3 ! 4 2 3 4 ) 3 ( ₄             x f 16 1 16 ! 0 ! 4 ! 4 2 4 4 ) 4 ( ₄             x f

(9)

9

Función de probabilidad (V. Discretas)

• Asigna a cada posible valor de

una variable discreta su

probabilidad.

• Recuerda los conceptos de frecuencia

relativa y diagrama de barras.

• Ejemplo

–

Número de caras al lanzar 3

monedas.

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 0 1 2 3

(10)

10

Función de distribución (V. discreta)

• La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidad es f(x) es:

– A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero.

– A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno.

    



  x t f x X P x F x t -para ) ( ) ( ) (

(11)

11

Función de distribución (V. discreta)

Ejemplo 1: Encuentre la distribución acumulada de la V.A. X en el ejemplo 1.

Solución:

Utilizaremos valores de la función de

probabilidad que obtuvimos en el ejemplo 1, para la obtención de los valores de la

distribución de probabilidad acumulada.

x<0 0≤x<1 1≤x<2 x≥2 28 10 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (  P X   f  F 28 25 28 15 28 10 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( P X   f  f    F 1 28 28 28 3 28 15 28 10 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 (  P X   f  f  f      F 0 1 2 1 .8 0.6 0.4 0.2 0 ) 0 ( ) (x P X   F

(12)

12

Función de distribución (V. discreta)

Ejemplo 2:

Encuentre la distribución acumulada de la V.A. X en el ejemplo 2.

Solución:

Utilizaremos valores de la función de probabilidad que obtuvimos en el ejemplo 1, para la obtención de los

valores de la distribución de probabilidad acumulada.

x<0

0≤x<1

1≤x<2

2≤x<3

3≤x<4

x≥4

16 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( P X   f  F 16 5 16 4 16 1 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( P X   f  f    F 16 11 16 6 16 4 16 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 (  P X   f  f  f     F 16 15 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 3 ( P X   f  f  f  f      F 1 16 16 16 1 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 4 ( ) 4 (  P X   f  f  f  f  f        F 0 1 2 3 4 1 .8 0.6 0.4 0.2 0 ) 0 ( ) (x P X   F

(13)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 13

Valor esperado y varianza de una v.a. X

• Valor esperado

Sea X una V.A. Discreta, con distribución de

probabilidad f(x). La media o Valor esperado de X es:

E*X+= μ=∑x(fx)

Ejemplo 1: Encuentre el valor esperado de Licenciado

en Turismo que forman parte de comité de tres

miembros que se seleccionan al azar de un grupo de 3

Licenciado en Turismo y cuatro Administradores de

Empresas.

(14)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 14

Valor esperado y varianza de una v.a. X

Si se realizan los cálculos correspondientes. Se obtiene

lo siguiente:

E(x)=(0)(4/35) +(1)(18/35)+(2)(12/35)

+ (3)(1/35)= 0+0.51+0.69+0.086

E(x)= 1.29

35 4 ! 4 ! 3 ! 7 ! 1 ! 3 ! 4 ! 3 ! 0 ! 3 3 7 3 4 0 3 ) 0 (                              x f 35 18 ! 4 ! 3 ! 7 ! 2 ! 2 ! 4 ! 2 ! 1 ! 3 3 7 2 4 1 3 ) 1 (                              x f 35 12 ! 4 ! 3 ! 7 ! 3 ! 1 ! 4 ! 1 ! 2 ! 3 3 7 1 4 2 3 ) 2 (                              x f 35 1 ! 4 ! 3 ! 7 ! 4 ! 0 ! 4 ! 0 ! 3 ! 3 3 7 0 4 3 3 ) 3 (                              x f x 0 1 2 3 f(x) 4/35 18/35 12/35 1/35

(15)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 15

Valor esperado y varianza de una v.a. X

• Varianza

–

Se representa mediante VAR*X+ o σ

2

–

Es el equivalente a la

varianza

–

Se llama

desviación típica

a σ

(16)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 16

Algunos modelos de v.a.

• Hay v.a. que aparecen con frecuencia en diferentes las Ciencias.

– Experimentos dicotómicos.

• Bernoulli

– Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:

• Binomial

• Poisson (sucesos raros)

• Distribución Hipergeométrica

– Y en otras muchas ocasiones…

• Distribución normal (gaussiana, campana,…)

• Distribución t student (aproximamente normal)

• Distribución Chi cuadrada, F de Snedecor

(17)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 17

Distribución de Bernoulli

• Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar un

experimentos sólo son posibles dos resultados:

– X=1 (éxito, con probabilidad p)

– X=0 (fracaso, con probabilidad q=1-p)

• Lanzar una moneda y que salga cara.

– p=1/2

• Elegir una persona de la población y que esté enfermo.

– p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad

• Aplicar un tratamiento a un enfermo y que éste se cure.

– p=95%, probabilidad de que el individuo se cure

• Como se aprecia, en experimentos donde el resultado es

dicotómico, la variable queda perfectamente determinada

conociendo el parámetro

p

.

(18)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 18

Ejemplo de distribución de Bernoulli.

• Se ha observado estudiando

2000

accidentes de tráfico con

impacto frontal y cuyos conductores

no

tenían

cinturón de

seguridad

, que

300 individuos quedaron con secuelas. Describa

el experimento usando conceptos de v.a.

• Solución.

– La noción frecuentista de probabilidad nos permite aproximar la probabilidad de tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15%

– X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli

• X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15

(19)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 19

Ejemplo de distribución de Bernoulli.

• Se ha observado estudiando

2000

accidentes de tráfico con

impacto frontal y cuyos conductores

sí

tenían

cinturón de

seguridad

, que

10 individuos quedaron con secuelas. Describa

el experimento usando conceptos de v.a.

• Solución.

– La noción frecuentista de probabilidad nos permite aproximar la probabilidad de quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%

– X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli

• X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005

(20)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 20

Observación

• En los dos ejemplos anteriores hemos visto cómo enunciar los resultados de

un experimento en forma de estimación de parámetros en distribuciones de

Bernoulli.

– Sin cinturón: p ≈ 15%

– Con cinturón: p ≈ 0,5%

• En realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades son muy diferentes

o aproximadamente iguales, pues en otros estudios sobre accidentes, las

cantidades de individuos con secuelas hubieran sido con seguridad diferentes.

• Para decidir si entre ambas cantidades existen diferencias estadísticamente

significativas necesitamos introducir conceptos de estadística inferencial

(21)

21

Distribución binomial

• Función de probabilidad

– Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

• Media: μ =n p

• Varianza: σ

2

_{= n p q}

n k q p k n k X P _ k n k           0 , ] [

(22)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 22

Distribución Binomial

• Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con

parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución binomial de parámetros (n,p).

• Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.

– Bin(n=10,p=1/2)

• Cuál es la probabilidad de obtener al menos 4 caras en 10 lanzamientos de una moneda

P(X≤4) =F(4)=CDF.BINOM(4,10,0.5)=

0.376953

• Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.

– Bin(n=100,p=1/2)

– Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado.

• El número de personas que enfermará (en una población de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas.

– Bin(n=500.000, p=1/2000)

(23)

23

“Parecidos razonables”

• Aún no tratamos la distribución

normal, ni de Poisson.

• De cualquier forma ahí teniene la

comparación

entre valores de p

no

muy extremos

y una

normal

de

misma media y desviación

típica, para tamaños de n grandes

(n>30).

• Cuando p es muy

pequeño

es

mejor usar la aproximación del

modelo de

Poisson

.

(24)

24

Distribución de Poisson

• También se denomina de

sucesos raros

.

• _{Se obtiene como aproximación de una distribución}

binomial con la misma media, para ‘

n grande

’ (n>30) y

‘

p pequeño

’ (p<0,1).

• _{Queda caracterizada por un único}

_parámetro

_{μ (λ)}

(que es a su vez su

media y varianza

.)

• Función de probabilidad:

,...

2 ,

1 ,

0 ,

!

]

[





k



k

e

k

X

P

k



(25)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 25

Ejemplos de variables de Poisson

• El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de

urgencias del hospital clínico universitario.

– En Managua hay 1,000.000 habitantes (n grande)

– La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es pequeña, pero no nula. Supongamos que es 3/10000

– Bin(n=1,000.000,p=3/10000) ≈Poisson(μ=np=300)

• Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de traumatología

de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos que aún

demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes

(ciudades, pueblos,…)

– Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la población que cubre el hospital.

– Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,…

(26)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 26

Distribución Hipergeométrica

• La distribución de probabilidad de la variable aleatoria

hipergeométrica X, el números de éxitos en una muestra

aleatoria de tamaño n seleccionada a N resultados posibles, de

los cuales k son considerados como éxitos y N-k como fracasos

es:

n 0,1,2,.., x , ) , , ; (                       n N x n k N x k k n N x h N nk               N k N k n N n N 1 1 2 

(27)

Ejemplo

• Un crucero que llega San Juan del Sur trae 50 turistas

Europeos, de los cuales 5 tienen VIH, si 10 de los los turistas

establecen

relaciones

sentimentales

con

personas

nicaragüenses, cual es la probabilidad de que exactamente 2

de ellos tienen VIH.

N=300; n=30 ; k=10, x=2

0.20983972 ! 40 ! 10 ! 50 ! 37 ! 8 ! 45 ! 3 ! 2 ! 5 10 50 2 10 5 50 2 5 ) 5 ; 10 ; 50 ; 2 (                              h

(28)

Ejemplo

• Cual es la probabilidad que una mesera se niegue a servir

bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad, si

verifica aleatoriamente sólo cinco de 9 estudiantes de los

cuales 4 no tienen la edad suficiente.

N=9; n=5 ; k=4, x=2

476 . 0 126 10 6 ! 4 ! 5 ! 9 ! 2 ! 3 ! 5 ! 2 ! 2 ! 4 5 9 2 5 4 9 2 4 ) 4 ; 5 ; 9 ; 2 (                               x h

(29)

29

Función de densidad (V. Continuas)

• Definición

– Es una función no negativa, cuya área bajo la

– curva es 1.

• Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables

continuas.

• ¿Para qué lo voy a usar?

– Nunca lo vas a usar directamente.

(30)

30

¿Para qué sirve la f. densidad?

• Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son

conocidas las probabilidades en intervalos.

• La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide

con la probabilidad de los mismos.

• Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la

(31)

32

Distribución normal o de Gauss

• Aparece de manera natural:

–

Errores de medida.

–

Distancia de frenado.

–

Altura, peso, propensión al crimen…

–

Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y ‘p ni pequeño’

(np>5) ‘ni grande’ (nq>5).

• _{Está caracterizada por}

_{dos parámetros}

_{: La}

_media

_{, μ, y la}

desviación típica

, σ.

• Su función de densidad es:

2 2 1

2

1 )

(

       



 





x

e

x

f

(32)

33

N(μ, σ): Interpretación geométrica

• Puedes interpretar la

media

como un factor de

traslación

.

• Y la

desviación típica

como un factor de

escala

, grado de

dispersión,…

(33)

34

N(μ, σ): Interpretación probabilista

• Entre la media y una

desviación típica

tenemos siempre

la

misma probabilidad

:

aprox. 68%

• Entre la media y dos

desviaciones típicas

aprox. 95%

(34)

Tema 5: Modelos

probabilísticos 35

Algunas características

• La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.

– Media, mediana y moda coinciden.

• Los puntos de inflexión de la función de densidad están a distancia σ de μ.

• Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…

– a distancia σ, tenemos probabilidad 68%

– a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%

– a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%

• No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones

‘comunes’.

• Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal tipificada.

– Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.

(35)

36

Tipificación

• Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor

tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor

de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad

por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales

diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.









x

(36)

37

Ejemplo

• Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico.

– El estudiante Atiene una calificación de 8en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).

– El estudiante Btiene una calificación de 80en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

• Solución

– No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas

poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)

– Como Z_A>Z_B, podemos decir que el porcentajede compañeros del mismo sistema de estudios que ha

superadoen calificación el estudiante A es mayorque el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidatopara la beca.

1 10 70 80 2 1 6 8           B x z x z B B B A A A A









0.841345 0.977250 0.135905

(37)

Tema 5: Modelos probabilísticos

¿Por qué es importante la distribución normal?

• Las propiedades que tiene la distribución normal son

interesantes, pero todavía

no hemos hablado

de por qué es una

distribución

especialmente importante

.

• La razón es que

aunque una v.a. no posea distribución

normal

, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre

muestras elegidas al azar

sí que poseen una distribución normal

.

• Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos,

los

‘objetos’ que resumen la información

de una

(38)

39

Veamos aparecer la distribución normal

• Como

ilustración

mostramos

una variable que presenta

valores distribuidos más o

menos uniformemente sobre

el intervalo 150-190.

• Como es de esperar la media

es cercana a 170.

El

histograma no se parece

en

nada a una distribución

normal con la misma media y

desviación típica.

(39)

40

• A continuación elegimos

aleatoriamente

grupos de 10

observaciones de las

anteriores y calculamos el promedio.

• Para cada grupo de 10 obtenemos

entonces una nueva medición, que vamos

a llamar

promedio muestral

.

• Observa que las nuevas cantidades están

más o menos

cerca de la media

de la

variable original.

• Repitamos el proceso un número elevado

de veces

. En la siguiente transparencia

estudiamos la distribución de la nueva

variable.

Muestra

1ª

2ª

3ª

185 190 179 174 169 163 167 170 167 160 159 152 172 179 178 183 175 183 188 159 155 178 152 165 152 185 185 175 152 152 173 169 168 …

(40)

41

• La distribución de los promedios muestrales sí que tiene distribución aproximadamente

normal.

• La media de esta nueva variable (promedio muestral) es muy parecida a la de la variable original.

• Las observaciones de la nueva variable están

menos dispersas. Observa el rango. Pero no sólo eso. La desviación típica es

aproximadamente ‘raiz de 10’ veces más pequeña. Llamamos error estándar a la desviación típica de esta nueva variable.

(41)

42

Teorema central del límite

• Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de

tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:

• dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal;

• La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original. • La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error

estándar).

• Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

– Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

– Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.

(42)

Tema 5: Modelos probabilísticos

Distribuciones asociadas a la normal

• Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable.

• Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas):

– X2_{(chi cuadrado)}

– t- student

– F-Snedecor

• Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos.

• Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual.

• Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”.

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Chi cuadrado

• Tiene un sólo parámetro

denominado grados de libertad.

• La función de densidad es

asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos.

• La función de densidad se hace más

simétrica incluso casi gausiana cuando aumenta el número de grados de libertad.