Estadística General

Estadística General

Clases 3 y 4 Probabilidades

Adriana Pérez

Probabilidad

 Ejemplo: Tiramos una moneda 10 veces y las 10 veces sale cara

 Pregunta: ¿Creeríamos que se trata de una moneda equilibrada?

 Respuesta: No

 Razón: Si se tratase de una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener 10 caras en 10 tiros sería menor a 0.1% (según la teoría de

probabilidades)

 Las probabilidades constituyen la

herramienta fundamental para evaluar la

Experimento aleatorio o ensayo:

es un proceso o acción cuyo resultado es incierto

 Es posible repetirlo un número indefinido de veces, sin

cambiar esencialmente las condiciones. Por repetición se entiende cada una de las veces que se realiza el

experimento

 En cada repetición se pueden conocer todos los

resultados posibles, aunque no pueda predecirse un resultado en particular.

 A medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, cuando el experimento se repite un "gran"

número de veces, aparece un modelo definido de regularidad.

EA1: Tirar una moneda

 Espacio muestral: Realizado un determinado

experimento aleatorio se llama espacio muestral S al conjunto de todos los resultados posibles

 EA1: Tirar una moneda S=

 EA2: Arrojar un dado S=

 EA3: Tratar a un ternero con un nuevo antiparasitario S=

 EA4: Medir el diámetro a la altura del pecho de un árbol S=

 Suceso o evento: Es un subconjunto de

resultados posibles, es decir, es un subconjunto del espacio muestral. Puede ser:

 Simple

 Compuesto

S espacio muestral S espacio muestral

Ejemplo: Tirar un dado Eventos simples:

1 2 3 4

E

E

E

E

–A: un número impar –B: un número > 2

A ={E

, E

, E

}

B ={E

, E

, E

, E

}

S A

•E

•E

•E

Eventos compuestos:

Probabilidad

 Es la incertidumbre que se posee sobre la ocurrencia de cierto suceso o evento

 Las probabilidades se calculan sobre los sucesos

 La probabilidad de un suceso A indica “cuan a menudo” ocurre A y se denota P(A)

 P(A) debe estar entre 0 y 1

 Si un evento nunca puede ocurrir, P(A) = 0.

0 0,5 1

Muy frecuente Altamente probab

le Siempre

Tan probable como improbable

A veces

Raramente

Nunca Muy frecuente Altamente probab

le Siempre

Tan probable como improbable

A veces

Raramente

Nunca

Cálculo de probabilidades

Enfoque clásico

 Las probabilidades se calculan a través de un razonamiento abstracto pues no es necesario

arrojar el dado ni extraer una carta para calcular las probabilidades anteriores (son a priori)

 Si un experimento aleatorio admite cierta

cantidad de resultados posibles, todos igualmente probables, la probabilidad de ocurrencia de un

suceso A es el cociente entre la cantidad de casos favorables a A y el total de casos posibles

Enfoque clásico: CF/CP

 EA1: Tirar una moneda

 EA2: Arrojar un dado

 EA3: Tratar a un ternero con un nuevo antiparasitario

 EA4: Medir el diámetro a la altura del pecho de un árbol

Cálculo de probabilidades

Enfoque frecuencista

 Las probabilidades se calculan a partir de la

realización de gran cantidad de repeticiones del experimento aleatorio (son a posteriori)

 Si un experimento aleatorio es repetido un cierto número de veces (n), y si algún evento

resultante, A, ocurre F veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia de A, F/n, es

aproximadamente igual a la probabilidad de

ocurrencia de A siempre y cuando la cantidad de

Convergencia de la frecuencia relativa a la probabilidad

 ¿cuál es la probabilidad de que una cabra preñada

tenga mellizos?

Necesitamos muestrear!

 Supongamos que dicha probabilidad es del 20%

 Muestreamos dicha

población hasta llegar a n

=10.000.

 A medida que aumenta n, la proporción en la muestra tiende a la probabilidad

n r

lim f )

A (

P  

Cálculo de probabilidades

Enfoque subjetivo

 La probabilidad subjetiva mide la confianza que un individuo tiene en la certeza de una

proposición determinada.

 Este concepto no depende de la repetibilidad de proceso alguno (de hecho, al aplicar este

concepto de probabilidad, se puede calcular la

probabilidad de un evento que sólo puede ocurrir una única vez)

Axiomas de probabilidad (Kolmogorov)

 Se define el número P(A), llamado probabilidad de A, tal que:

1. 0  P(A)  1 , para todo A

2. P(S) = 1

3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)

 Cuando a cada elemento del espacio muestral S

= {_E1,..., _En} correspondiente a un experimento aleatorio se le asigna un número p_i = P(_Ei) tal

que p_i = 1 se obtiene el espacio de

probabilidades asociado al experimento

Relaciones entre eventos Unión

La unión de dos eventos A y B implica que, cuando se lleva a cabo el experimento,

pueden ocurrir o A, o B, o ambos.

Se denota A B (A o B)

S A A B B

Relaciones entre eventos:

Intersección

La intersección de dos eventos A y B implica que, cuando se lleva a cabo el experimento, ocurren tanto A como B.

Se denota A B (A y B)

S A AB B

Relaciones entre eventos:

Complemento

El complemento de un evento consiste en

todos los resultados del experimento que no resultan en el evento A.

Se denota (no A) A

S

A

Ejemplo

Se selecciona un individuo al azar de una población Sean los sucesos:

 D: el individuo es daltónico

 M: el individuo es mujer

•D:

•DM:

Operaciones con probabilidades

Se cuenta con un mazo de 40 cartas

españolas. Si se extrae una carta al azar, calcular la probabilidad de que:



Sea de oro



Sea un 7



Sea el 7 de oro



Sea de oro o de espada

Sea oro o sea un siete

Calculando probabilidades de uniones:

Regla de la suma



Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles:

Dos sucesos A y B en un espacio muestral S son mutuamente excluyentes o

incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir en la misma

repetición del experimento aleatorio.



En términos de conjuntos esto significa que su intersección es vacía, o sea:

A  B = 

Regla de la suma



Si los sucesos son incompatibles:



Si los sucesos son compatibles:

) (

) ( )

( A B P A P B

P   

S

A B

S

A B

Calculando probabilidades de complementos



Ya que P(A A) =1 se deduce:

P( ) = 1 – P(A) ^A

S

A

A

Operaciones con probabilidades

De un mazo de 40 cartas españolas se extraen dos cartas al azar,

a) con reposición b) sin reposición Calcular la probabilidad de que:

 Las dos sean de oro

 La primera sea de oro y la segunda de espada

 Una sea de oro y otra de espada

Calculando probabilidades de intersecciones

Sucesos independientes:

 Dos sucesos A y B son independientes cuando ninguno de ellos da información con respecto al otro.

 Por lo tanto, la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.

Regla del producto



Si los sucesos son independientes:



Si los sucesos son dependientes:

) (

) ( )

( A B P A P B

P  

) /

( )

( )

( A B P A P B A

P  

Probabilidad condicional



es la probabilidad de que ocurra un suceso A dado que ya ocurrió un suceso B, o sea la probabilidad de A condicional a B. Se

denota P(A/B)



Se deduce que

P(A/B) = , siempre que P(B)  0

) (

) (

B P

B A

P 

Redefiniendo independencia



Podemos redefinir independencia en términos de las probabilidades

condicionales:

Dos eventos A y B son independientes sí y solo sí

P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)

Caso contrario, son dependientes.

Tablas de contingencia o de doble entrada

Varón Mujer Total Daltónico 40 2 42

No

daltónico 470 488 958 Total 510 490 1000

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS



Suponiendo que el tamaño de la muestra

es lo suficientemente grande, es posible

Tablas de contingencia o de doble entrada

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

490 488

2 Mujer

958 470

No daltónico

1000 510

Total

42 40

Daltónico

Total Varón

490 488

2 Mujer

958 470

No daltónico

1000 510

Total

42 40

Daltónico

Total Varón

P(V) = P(D) =

Probabilidades marginales

0.49 0.488 0.002 Mujer

0.958 0.47

No daltónico

1 0.51

Total

0.042 0.04

Daltónico

Total Varón

0.49 0.488 0.002 Mujer

0.958 0.47

No daltónico

1 0.51

Total

0.042 0.04

Daltónico

Total Varón

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Tablas de contingencia o de doble entrada

0.49 0.488 0.002 Mujer

0.958 0.47

No daltónico

1 0.51

Total

0.042 0.04

Daltónico

Total Varón

0.49 0.488 0.002 Mujer

0.958 0.47

No daltónico

1 0.51

Total

0.042 0.04

Daltónico

Total Varón

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

•Si un individuo es daltónico ¿cuan probable es que sea mujer?

•De los daltónicos, ¿qué proporción son varones?

•La condición de daltonismo, ¿es independiente del sexo?

Otro ejemplo: En una plantación el 70% de los

ejemplares pertenecen a la variedad A. De ellos el 10% se encuentra atacado por una plaga. De los ejemplares de la variedad B, está atacado el 20%.

 ¿Qué porcentaje de ejemplares atacados hay en total en la plantación?

 ¿Se elije a un ejemplar al azar y resulta estar

atacado. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la variedad A?

Expresión del problema en forma de árbol

ejemplar

Variedad

A No

atacado

Variedad B

atacado

atacado 0,7

0,1

0,3 0,2

0,9

Reglas de probabilidad

Eventos complementarios Regla de la suma

Regla

del producto

Probabilidad condicional

Eventos incompatibles

) ( 1

)

(A P A

P  

0 )

( A  B  P

) B ( P

) B A

( ) P

B / A (

P  

) (

) ( )

( )

( A B P A P B P A B

P     

) B / A ( P ) B ( P )

A / B ( P ) A ( P )

B A

(

P   

) ( )

( )

( A B P A P B

P   

) ( ) ( )

( A B P A P B

P  

Estadística General

Clase 5

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias

discretas

Variable aleatoria



El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como

una cantidad numérica



En estos casos aparece la noción de variable aleatoria

 es una descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio

 es imposible conocer de antemano el valor que tomará en una repetición cualquiera de

Tipos de variables aleatorias



V.A. discretas: asumen valores

numéricos, contables, finitos o infinitos



V.A. continuas: asumen valores

númericos, no contables e infinitos

Identificar en los siguientes experimentos aleatorios, la VA y su dominio

1) Responder por azar un examen choice de 16 preguntas y contar el número de respuestas correctas. Cada pregunta tiene 5 ítems.

2) Contar el número de larvas muertas luego de la aplicación de un herbicida en un lote de 50 larvas; la tasa de mortalidad es del 10%

Distribución de probabilidad de una V.A discreta

 Conocer la distribución de probabilidad de una V.A.

discreta X implica conocer para cada valor de X la

correspondiente probabilidad P(x) asociada a dicho valor

 Se denomina función de probabilidad al

procedimiento, fórmula o regla utilizado para obtener el valor de la probabilidad.

 Se puede definir también la función de distribución de probabilidad F(x) como

1 ) ( 1

) (

0  p x  y  p x  que

verificar

debe

Se

Ejemplo

 EA : tirar dos monedas equilibradas

 X = cantidad de caras (C) observadas cuando se lanzan dos monedas equilibradas

P (no observar caras) P (observar una cara) P (observar dos caras)

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Valor esperado o esperanza de una v.a.discreta



Se representa mediante E(x) o μ



Es el equivalente a la media



¿Cómo calculábamos el valor promedio?

ahora:

N FA x

 



i

p

x x

E ^{( )   } 

Varianza de una v.a. discreta



Se representa mediante Var(x) o σ

(x)



Resume la variabilidad en los valores de la V.A.



¿Cómo calculábamos la varianza?

ahora:

N

FA )

x

(

2

_  ^{ }



 ^

 x

p

2

(  )



Ejemplo

 X = cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas equilibradas





  x

p

x

E ( ) 

x P(x) F(x)

0 0,25 0,25

1 0,50 0,75

2 0,25 1,0

1,0

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

¿Cómo averiguamos la distribución de probabilidades de una VA discreta?



En forma empírica



A través de modelos teóricos

 Modelo o distribución binomial

Distribución Binomial

 La probabilidad de que un recién nacido sea varón es:

 Supongamos que nos interesan las familias de 3 hijos. ¿Cómo será la distribución de sexos?

 X=

 Dominio de X =

 ¿Distribución de probabilidades de X?

Características de

la distribución binomial

 El experimento consiste en n ensayos idénticos

 Cada ensayo tiene 2 resultados posibles (éxito o fracaso)

 La probabilidad de éxito de un ensayo simple es



 La probabilidad de fracaso es

1- 

 Los ensayos son independientes

 Estamos interesados en x = cantidad de éxitos en n ensayos

Función de probabilidad



La probabilidad de encontrar exactamente k éxitos en n ensayos o repeticiones se

calcula como:



Siendo la cantidad de combinaciones distintas de n elementos con k elementos iguales

)!

(

!

! k n

k

n k

C

n

n

  



 



 

k n

C

k n k

k

n

C ( 1 )

) k x

(

P     

En el ejemplo

X=cantidad de varones en familias con 3 hijos Parámetros: n =  =

Dominio:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 1 2 3

X

P(X)

X P(x) F(x)

0 0,1176 0,1176 1 0,3674 0,4850 2 0,3823 0,8673 3 0,1327 1

1

¿Es binomial o no?



En una pecera hay 5 ejemplares de carpa dorada (Carassius auratus). Tres de estos

ejemplares están parasitados por el copépodo Ergasilus sp.



Se sacan 2 ejemplares de la pecera (sin reposición)



Sea x= cantidad de carpas parasitadas en la muestra de 2



¿Sigue x una distribución binomial?



¿Y si la extracción fuese con reposición?

¿Es binomial o no?

 En la práctica, el requisito de extracción con reposición rara vez se cumple

 Se sabe que el 4% de la población es portador del gen causante de la fenilcetonuria

 Se eligen 10 personas de la población

 Para la primera persona,  = P(gen) = 0.04

 Para la segunda persona,  ~ P(gen) = 0.04, aunque una persona ha sido removida de la población…

 Para la décima persona,  ~ P(gen) = 0.04

Esperanza y varianza

en la distribución binomial

El

valor esperado

Alternativamente puede calcularse como:

De la misma manera, la

varianza

i

p

x x

E ^{( )   } 



 n )

x (

E  

 ^



2

( x ) ( x  ) p



En el ejemplo

X=cantidad de varones en familias con 3 hijos Parámetros: n = 3  = 0.51

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

varones 53

. 1 51 . 0 x 3 n

) x (

E      

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 1 2 3

X

P(X)

X P(x) F(x)

0 0,1176 0,1176 1 0,3674 0,4850 2 0,3823 0,8673 3 0,1327 1

1

Volviendo a los ejemplos

1) Responder por azar un examen choice de 16 preguntas y contar el número de respuestas correctas. Cada pregunta tiene 5 ítems.

• Calcular la probabilidad de contestar por azar correctamente las 16 preguntas

• Calcular la probabilidad de aprobar por azar (se aprueba con 9 respuestas correctas)

2) Contar el número de larvas muertas luego de la aplicación de

Estadística General

Clase 6

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias

continuas

Variables aleatorias continuas

Interesa estudiar la temperatura ambiente a las 12 hs en abril en la ciudad de Buenos Aires. Utilizando un termómetro se obtiene la siguiente medición:

19°C

Pero si se hubiera utilizado un instrumento con

mayor precisión, se podría haber obtenido mayor información:

19,25°C O mejor aún:

19,25152110289... °C

Variables aleatorias continuas

 Se trata de una V.A. continua, ya que entre dos valores adyacentes admite infinitos valores

 La probabilidad de que un día cualquiera de abril la temperatura sea exactamente igual a

19,25152110289... °C vale

 También puede deducirse que sería imposible que dos valores de la variable sean exactamente

iguales (en sus infinitos decimales)

 Imposible de tabular!

Distribuciones de probabilidad

Función de densidad

 función de densidad f(x) es una función que describe la distribución de probabilidades de la variable aleatoria x.

 Una función de densidad debe cumplir con los siguientes

requisitos:

 f(x)  0 para todo x

 el área total bajo la curva = 1

Algunos ejemplos reales:

Karlsson,T. Gustafsson, B. (2001) Chemical abundance patterns - fingerprints of nucleosynthesis in the first stars.

A&A 79:461

Cálculo de probabilidades

 La probabilidad de que ocurra un evento

comprendido en un intervalo (a,b) es el área bajo la curva y el eje x de la función en ese intervalo

 Se calcula utilizando integrales:

 Entonces:

 Y la probabilidad de que la VA tome un valor exacto

0,00 2,02 4,03 6,05 8,06 10,0812,0914,1116,1318,14X

0,00 0,05 0,09 0,14 0,18

f(x)

a b









1 )

(x dx f

Ejemplo

Mediante datos históricos suficientes, fue posible

modelar el tamaño de una partícula contaminante (en micrones, m)

La función de densidad es:

f(x) = 200x^-2 para 100 m < x < 200 m Y entonces vale:

0,00 0,01 0,02 0,03

100 125 150 175 200

X

f(x)

200

Cálculo de probabilidades

Hallar la probabilidad de que una partícula mida a lo sumo 150 m

6666 ,

0 100 )

( 200 150

200 x

200 1

dx x

200 dx

) x ( f )

150 x

( P ) 150 x

( P

150

100

150

100

2 150

100









 

 

 















 

Función de distribución

 Se define la función de distribución de probabilidades de la v.a. continua, F(x), como la probabilidad de que X sea menor o igual a un dado valor de la variable







 ^o

x

dx ) x ( f )

x x

( P )

x ( F

Función de distribución

0 0

x

100

x

100

2 x

100 o

x 2 200 100 )

( 200 x

200 x

200 1

dx x

200 dx

) x ( f )

x x ( P ) x ( F

0

0 o











 

 

 













 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

100 125 150 175 200

X

F(x)

0,6666

Calculando más probabilidades

 Hallar la probabilidad de que una partícula mida entre 150 y 125 m

 Hallar la probabilidad de que una partícula mida más de 125 m

2666 ,

0 4 , 0 6666 ,

0 125 )

2 200 150 (

2 200

) 125 ( F ) 150 ( F dx ) x ( f )

150 x

125 ( P

150

125





























200

Esperanza y varianza

i i

p x x

E ( )  

i

i

p

x

x

2

( ) (  )

   

V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS









 ( x ) f dx )

x

(

2











 x f dx x

E ( )

En el ejemplo





200 dx

x 200 dx

x 200 x dx

f x )

x (

E ₁₀₀²⁰⁰

200

100 1 200

100

2 200

100

) x

(     



 

















100

2

2 



f(x) = 200x^-2 para 100 m < x < 200 m

dx x

) 28 , 19218 x

26 , 277 x

(

200 ^{200 2}

100

2   





 

1 200 2

100

1 19218,28x )dx 200 x 277,26 ln x 19218,8x x

26 , 277 1

(

200  ^  ^    ^





m2

2 , 783 ))

19 , 192 83

, 1276 100

( 094 , 96 01

, 1469 200

(

200       



¿Qué tipo de simetría esperaría para la distribución de las siguientes variables?

 Diámetro a la altura del pecho de Celtis tala

 Edad al momento de morir en poblaciones humanas

 Concentración de monóxido de carbono en la atmósfera

 Notas de un examen fácil

 Ingresos de un grupo de empleados en un momento dado

 Peso de los cerdos de 1 año (machos y hembras)

Modelos

 Existen numerosos modelos de distribución de

probabilidades para V.A.

continuas

 Nosotros veremos:

 la distribución normal

 la distribución t de Student

 la distribución chi-cuadrado

-5,0 -2,5 0,0 2,5 5,0

x 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4

Función de densidad

DISTRIBUCION NORMAL

-5,0 -2,5 0,0 2,5 5,0

X 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4

Función de densidad

DISTRIBUCION t DE STUDENT

0,2 0,3

ensidad

DISTRIBUCION CHI CUADRADO

Propiedades de la esperanza o media y de la varianza

 Sea k una constante cualquiera. Entonces:

E(k) = k

²(k) = 0

 Sea k una constante cualquiera. Si se suma k a cada uno de los valores de una variable aleatoria X entonces:

E(X . k) = E(X) . k

²(X . k) = ²(X) . k²

 Sea k una constante cualquiera. Si se multiplica por k a cada uno de los valores de una variable aleatoria X entonces:

Propiedades de la esperanza o media y de la varianza

 Sean dos variables aleatorias independientes X₁ y X₂, siendo sus esperanzas E(X₁) y E(X₂) y sus

varianzas ²(X₁) y ²(X₂) respectivamente

 Si se define la VA X₁ + X₂ entonces E(X₁ + X₂ ) = E(X₁) + E(X₂)

²(X₁ + X₂ ) = ²(X₁) + ²( X₂ )

 Si se define la VA X₁ - X₂ entonces

Estadística General

Clase 7

Distribución normal

Distribución normal o de Gauss

 Aplica a variables aleatorias continuas

 Distribución simétrica y unimodal

 Media, mediana y moda coinciden

 Asintótica al eje de las x

 El dominio de la variable es

 Aparece de manera natural:

 Altura, peso

 Error de medición

 En procesos donde la variable es el resultado de la acción de muchos efectos pequeños









 x

Los parámetros de

la distribución normal

Está caracterizada por dos parámetros:

 la media μ localizada en el eje x en el centro de la distribución

 el desvío estándar σ localizado en el eje x en cada punto de inflexión

La localización y el aplanamiento de la curva cambian en función de estos parámetros:

Función de densidad

La función de densidad que describe el comportamiento de la variables es:

donde e= 2,7183..  = 3,1416…

y  y  son los parámetros de la distribución

2

2 1

2 ) 1

(

 



  









x

e x

f

- 5, 00 5, 00

X 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4

f(x)

Cálculo de probabilidades

 Las probabilidades son áreas bajo la curva de f(x) y se calculan mediante integrales

 El área total bajo la curva vale 1. Es decir:

dx 2 e

dx 1 ) x ( f )

b x

a ( P

b

a

x 2 b 1

a

2









 ^







1 dx 2 e

dx 1 ) x ( f

x 2

2 1









 







- 5, 00 5, 00

X 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4

f(x)

a b X

Cálculo de probabilidades utilizando la normal estándar

 La variable en estudio debe ser transformada (reescalada) en esta variable normal estándar

 Este proceso se denomina estandarización

 Para ello, cada valor de x se expresa como un valor estandarizado o valor

Z

x µ

z 

 

La distribución normal estándar

 La variable es Z

 Media = 0; Desvío estándar = 1

 Simétrica con respecto a Z = 0

 Es una normal, por lo tanto responde a la función de densidad ya vista

 Valores de Z a la izquierda del centro son negativos

 Valores de Z a la derecha del centro son positivos

 La variable Z no tiene unidades y por lo tanto es una medida útil para comparar valores de datos de dos poblaciones

-4 -2 0 2 4

Z

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

Densidad

Función de densidad Normal(0,1): p(evento)=0,8686

Cálculo de probabilidades utilizando la normal estándar

 El diámetro de las matas de la forrajera Poa pratensis se

distribuye normalmente con un promedio de 1 dm y un desvío estándar de 0.1 dm.

 ¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar elegido al azar mida a lo sumo 0.8 dm?

 









z x

? )

8 , 0 x

( P

0,3 0,4

sidad

Normal(0,1): p(evento)=0,0228

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

X (en dm)

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Densidad

Normal(1,0,01): p(evento)=0,0228

0.0228

Calculando más probabilidades

 x = diámetro de las matas de la forrajera Poa pratensis

  = 1 dm y  = 0,1 dm

 ¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar elegido al azar supere los 1,14 dm?

1,0 2,0 3,0 4,0

Densidad

Normal(1,0,01): p(evento)=0,0808

Calculando más probabilidades

 ¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar elegido al azar mida entre 0.8 y 0.85 dm?

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Densidad

Normal(1,0,1): p(evento)=0,0441

Calculando fractiles

 ¿Cuál es el diámetro tal que sólo el 1% de las

matas excede dicho valor?

Combinando normal con binomial

 Si se colectan 20 ejemplares al azar

 ¿Cuántos esperaría que superen 1,14 dm de diámetro?

 ¿Cuál es la probabilidad de ningún ejemplar de los 20 supere los 1,14 dm de diámetro?

 Entre la media ± un desvío estándar tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68%

 Entre la media ± dos desvíos estándar: aprox. 95%

 Entre la media ± tres desvíos estándar aprox. 99.7%

La regla 68-95-99.7