VARIABLE ALEATORIA
Ejemplo de la señal aleatoria
En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe
considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal recibida.
1. ¿Cuál es el experimento aleatorio ?
2. ¿Cuáles son los resultados posibles de dicho experimento?
3. Establezca una correspondencia entre el espacio muestral y los números reales.
4. Defina variable aleatoria.
Variable aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s).
:
X S
S
Rx
s X(s)
Rx es el recorrido o Imagen de la
variable.
Son los posibles valores de X
Supongamos que se conoce la probabilidad de transmitir correctamente la señal, p=0.4. (p es la probabilidad de éxito). Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria asociada a dicho experimento.
Variable de Bernoulli
Experimentos o pruebas repetidas
Se transmiten 5 señales. ¿Cuál es el espacio muestral asociado?
Se define la variable aleatoria X: “ número de señales transmitidas correctamente que se obtienen en los cinco lanzamientos”
1. Determine Rx, (conjunto de valores que toma la variable).
2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.
3. ¿Son equivalentes los sucesos (c, c, c, i, i) y (c,i, i, c,c)?
A y B son sucesos equivalentes si sólo si ocurren simultáneamente
Clasificación
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
i 1
a) p (x ) 0 i b) p(x ) 1
i
i
Variable discreta: Se dice que una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le
puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones:
La función p definida se llama función de probabilidad de X o función de peso.
El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de probabilidades de X.
Interpretación Geométrica
X1 X2 X3 xi
P(x3)
P(x1)
P(x2)
P
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
1/36
2/36
6/36
4/36 5/36
3/36
2/36
1/36 5/36
4/36
3/36
Función de probabilidad de la variable aleatoria X Suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.
Ejemplos de variable aleatoria discreta
Experimento Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Llamar a cinco clientes por teléfono
Cantidad de clientes que atendieron
0, 1,2,3,4,5 Inspeccionar un
embarque de 40 chips
Cantidad de chips defectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamiento de un restaurante durante un día
Cantidad de clientes 0,1,2,3…….
Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer
Ejemplo
Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se selecciona una calculadora al
azar y se la prueba, repitiéndose la operación
hasta que aparezca una calculadora no defectuosa.
Hallar la distribución de probabilidades de X definida
como “el número de extracciones que se hacen”
x
iP(x
i)1 P(x
1)=2 P(x
2)=3 P(x
3)=4 P(x
4)=Variable aleatoria continua
Se dice que X es una variable aleatoria continua si:
existe una función f(x), llamada función de densidad de probabilidad de X, (fdp) que satisface las
siguientes condiciones:
a) f(x) 0 x b) f(x)dx 1
c) Para cualquier intervalo (a,b)/ -
( ) f(x)dx
b
a
a b P a x b
Consideraciones
1. P(X=Xo) = 0 porque P(X = Xo)= 0
0
f(x)dx 0
x
x
La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible, ya que Si A es vacio , la P(A) = 0 pero la recíproca no es cierta.
P(a x<b)= P(a x b)= P(a<x b)
P(a<x<b)=
2. Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su dominio, y
f*(x) dx = k R
f*(x) no es una fdp legítima. Pero puede convertirse en tal si f*(x)
f(x)= x
k
Consideraciones
3.
Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b] podemos decir que f(x) = 0 para todo x que no pertenece alintervalo [a,b] ,
entonces la integral entre a y b de f(x) es 1.
Ejemplo: Hallar el valor de k de modo que f(x) sea una fdp legítima, y luego graficar, siendo:
kx(1-x) si x 0,1 ( ) 0 si x (0,1)
f x
4. f(x) no representa ninguna probabilidad. Sólo cuando la función se integra entre dos límites expresa alguna probabilidad.
Ejemplos de variable aleatoria continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minuto, entre llegadas de
clientes Llenar una lata de
bebida
(máx = 360 cm3 )
Cantidad de cm3
Proyecto para
construir un biblioteca
Porcentaje terminado del proyecto
Ensayar un nuevo proceso químico
Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min
150º F; máx 212ºF)
0 x
0 x 360
0 x 100
150 x 212
Ejemplo
Con la función kx(1-x) si x
0,1 ( ) 0 si x (0,1)f x
Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) =
b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=
Función de distribución acumulativa FDA
Dada una variable aleatoria discreta o continua X se llama función de distribución a la función F definida como:
1. Si X es VAD entonces
2. Si X es una VAC entonces
F(a)=P(x a)= a f(x)dx
) (
) (
] 1 , 0 [ :
a x
P a
F F
x a
F(a) ( )
j
P x a p xj
Ejemplo: Grafica la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) (FDA) de una variable discreta X
definida como: “Puntos obtenidos en la cara de un dado”.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6
x
iP(x
i) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
x F(x)
X<1 0
[1,2) 1/6
[2,3) 2/6
[3,4) 3/6
[4,5) 4/6
[5,6) 5/6
x 6 1
Para variables discretas
0
6 1
1 x
f(x)
1
0.5
0 1
F(x)
6 6 x
Función de probabilidad f(x) Función de distribución acumulada F(x)
