Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda. Tenemos que Ωáguila, sol. Podemos definir la variable aleatoria X como:

Variables aleatorias

Las variables aleatorias son una herramienta que permite traducir los posibles resultados de un experimento aleatorio en números reales.

Definiremos a una variable aleatoria como una función X : Ω 7→ R tal que para todo x ∈ R se cumple que:

Si w ∈ Ω entonces X(w) ≤ x (1)

Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda. Tenemos que Ωáguila, sol. Podemos definir la variable aleatoria X como:

X(águila) = 1 (2)

X(sol) = 0 (3)

entonces los posibles resultados de nuestro experimento aleatorio son los números 0 y 1, los cuales se escogieron de manera arbitraria. Notemos que los únicos valores que puede tomar nuestra v.a. son el 0 y el 1, por lo que el dominio de nuestra función es el conjunto {0, 1}.

Además podemos establecer que P X = 0

=

(4)

P X = 1

=

(5)

Variables aleatorias

Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c)

Diremos que una variable aleatoria es discreta si el rango de la función X es un conjunto finito o numerable. En caso de que el rango de X es un conjunto infinito no numerable entonces decimos que X es una variable aleatoria continua.

En nuestro ejemplo de la moneda la variable es una v.a. discreta. De ahora

en adelante, en los experimentos se elegirá solo un tipo de variable: discreta o

continua.

Variables aleatorias

Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c)

Diremos que una variable aleatoria es discreta si el rango de la función X es un conjunto finito o numerable. En caso de que el rango de X es un conjunto infinito no numerable entonces decimos que X es una variable aleatoria continua.

En nuestro ejemplo de la moneda la variable es una v.a. discreta. De ahora

en adelante, en los experimentos se elegirá solo un tipo de variable: discreta o

continua.

Variables aleatorias

Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c)

Diremos que una variable aleatoria es discreta si el rango de la función X es un conjunto finito o numerable. En caso de que el rango de X es un conjunto infinito no numerable entonces decimos que X es una variable aleatoria continua.

En nuestro ejemplo de la moneda la variable es una v.a. discreta. De ahora

en adelante, en los experimentos se elegirá solo un tipo de variable: discreta o

continua.

Variables aleatorias

Funciones de densidad y de distribución

Sea X una v.a.d que toma los valores x

, x

, x

, . . . , x

. Definimos la función de densidad de X denotada por f

(x) : R 7→ R como:

f

(x) = P X = x

si x = x

, x

, x

, . . . , x

0 en otro caso (6)

Para una variable aleatoria continua X, definimos la función de densidad de X como aquella función continua f

: R 7→ R tal que para todo intervalo [a, b] ∈ R , se cumple que:

P X ∈ [a, b]
=

b

Z

a

f

(x)dx (7)

Variables aleatorias

Funciones de densidad y de distribución

Sea X una v.a.d que toma los valores x

, x

, x

, . . . , x

. Definimos la función de densidad de X denotada por f

(x) : R 7→ R como:

f

(x) = P X = x

si x = x

, x

, x

, . . . , x

0 en otro caso (6)

Para una variable aleatoria continua X, definimos la función de densidad de X como aquella función continua f

: R 7→ R tal que para todo intervalo [a, b] ∈ R , se cumple que:

P X ∈ [a, b]
=

b

Z

a

f

(x)dx (7)

Variables aleatorias

Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades.

Sea f

(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

f

(x) ≥ 0

R

−∞

f

(x)dx = 1 P

i=1

f (x

) = 1
Ahora definamos la función de distribución.

Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de dis- tribución de X, denotada por F

(x) : R → R, como

F

(x) = P (X ≤ x) (8)

Así, la relación entre la función de densidad f

y la función de distribución F

de una v.a.c. X se expresa como:

F

(x) = P (X ≤ x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (9)

Variables aleatorias

Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades.

Sea f

(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

f

(x) ≥ 0 R

−∞

f

(x)dx = 1 P

i=1

f (x

) = 1

Ahora definamos la función de distribución.

Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de dis- tribución de X, denotada por F

(x) : R → R, como

F

(x) = P (X ≤ x) (8)

Así, la relación entre la función de densidad f

y la función de distribución F

de una v.a.c. X se expresa como:

F

(x) = P (X ≤ x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (9)

Variables aleatorias

Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades.

Sea f

(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

f

(x) ≥ 0 R

−∞

f

(x)dx = 1 P

i=1

f (x

) = 1
Ahora definamos la función de distribución.

Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de dis- tribución de X, denotada por F

(x) : R → R, como

F

(x) = P (X ≤ x) (8)

Así, la relación entre la función de densidad f

y la función de distribución F

de una v.a.c. X se expresa como:

F

(x) = P (X ≤ x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (9)

Variables aleatorias

Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades.

Sea f

(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

f

(x) ≥ 0 R

−∞

f

(x)dx = 1 P

i=1

f (x

) = 1
Ahora definamos la función de distribución.

Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de dis- tribución de X, denotada por F

(x) : R → R, como

F

(x) = P (X ≤ x) (8)

Así, la relación entre la función de densidad f

y la función de distribución F

de una v.a.c. X se expresa como:

F

(x) = P (X ≤ x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (9)

Variables aleatorias

Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades.

Sea f

(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

f

(x) ≥ 0 R

−∞

f

(x)dx = 1 P

i=1

f (x

) = 1
Ahora definamos la función de distribución.

Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de dis- tribución de X, denotada por F

(x) : R → R, como

F

(x) = P (X ≤ x) (8)

Así, la relación entre la función de densidad f

y la función de distribución F

de una v.a.c. X se expresa como:

F

(x) = P (X ≤ x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (9)

Variables aleatorias

Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades:

Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F

(x), en- tonces:

1 lim

x→∞

F

(x) = 1

2 lim

x→−∞

F

(x) = 0

3 Si a ≤ b entonces F

(a) ≤ F

(b)

4 F

(x) es una función continua por la derecha Luego si X es una v.a.c., entonces:

P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(10)

=

b

Z

a

f

(x)dx = F

(b) − F

(a) (11)

Variables aleatorias

Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades:

Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F

(x), en- tonces:

1 lim

x→∞

F

(x) = 1 2 lim

x→−∞

F

(x) = 0

3 Si a ≤ b entonces F

(a) ≤ F

(b)

4 F

(x) es una función continua por la derecha Luego si X es una v.a.c., entonces:

P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(10)

=

b

Z

a

f

(x)dx = F

(b) − F

(a) (11)

Variables aleatorias

Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades:

Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F

(x), en- tonces:

1 lim

x→∞

F

(x) = 1 2 lim

x→−∞

F

(x) = 0

3 Si a ≤ b entonces F

(a) ≤ F

(b)

4 F

(x) es una función continua por la derecha Luego si X es una v.a.c., entonces:

P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(10)

=

b

Z

a

f

(x)dx = F

(b) − F

(a) (11)

Variables aleatorias

Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades:

Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F

(x), en- tonces:

1 lim

x→∞

F

(x) = 1 2 lim

x→−∞

F

(x) = 0

3 Si a ≤ b entonces F

(a) ≤ F

(b)

4 F

(x) es una función continua por la derecha Luego si X es una v.a.c., entonces:

P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(10)

=

b

Z

a

f

(x)dx = F

(b) − F

(a) (11)

Variables aleatorias

Ahora, para calcular a F

(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f

(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto:

F

(x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (12)

en el caso discreto se suman todos los valores de f

(u) para valores de u menores o iguales a x.

Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F

(x) y deseamos calcular la función de densidad f

(x) , debemos calcular:

f

(x) = d

dx F

(x) (13)

Para el caso de variables discretas usamos la relación:

f

(x) = F

(x

) − F

(x

) (14)

Es decir, f

(x) es el tamaño de la discontinuidad de F

en el punto x.

Variables aleatorias

Ahora, para calcular a F

(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f

(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto:

F

(x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (12)

en el caso discreto se suman todos los valores de f

(u) para valores de u menores o iguales a x.

Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F

(x) y deseamos calcular la función de densidad f

(x) , debemos calcular:

f

(x) = d

dx F

(x) (13)

Para el caso de variables discretas usamos la relación:

f

(x) = F

(x

) − F

(x

) (14)

Es decir, f

(x) es el tamaño de la discontinuidad de F

en el punto x.

Variables aleatorias

Ahora, para calcular a F

(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f

(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto:

F

(x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (12)

en el caso discreto se suman todos los valores de f

(u) para valores de u menores o iguales a x.

Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F

(x) y deseamos calcular la función de densidad f

(x) , debemos calcular:

f

(x) = d

dx F

(x) (13)

Para el caso de variables discretas usamos la relación:

f

(x) = F

(x

) − F

(x

) (14)

Es decir, f

(x) es el tamaño de la discontinuidad de F

en el punto x.

Variables aleatorias

Ahora, para calcular a F

(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f

(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto:

F

(x) =

x

Z

−∞

f

(u)du (12)

en el caso discreto se suman todos los valores de f

(u) para valores de u menores o iguales a x.

Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F

(x) y deseamos calcular la función de densidad f

(x) , debemos calcular:

f

(x) = d

dx F

(x) (13)

Para el caso de variables discretas usamos la relación:

f

(x) = F

(x

) − F

(x

) (14)

Es decir, f

(x) es el tamaño de la discontinuidad de F

en el punto x.

Variables aleatorias

Ejemplo 1

La variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad:

f (x) =



2

x

, x ∈ (−1, 1) 0 , x / ∈ (−1, 1) (15)

Grafique f (x) y calcule las siguientes probabilidades. Muestre estas probabil- idades gráficamente sombreando las correspondientes áreas bajo la función de densidad.

1 P − 1/4 < X < 2/3
2 P |X| < 1/2

3 P (X ∈ (−3/4, −1/4) ∩ (−1/2, 1/2))

Variables aleatorias

Para el primer caso, debemos integrar lo siguiente:

P − 1/4 < X < 2/3

=

2/3

Z

−1/4

3

2 x

dx = 3 2 1 3 x

2/3

−1/4

(16)

= 1

2

"

 2 3



−



− 1 4



#

= 539

3456 ≈ 0.156 (17)

-¹ 4

2 3

Figure: P − 1/4 < X < 2/3

Variables aleatorias

Para el segundo caso integraremos:

P |X| < 1/2) =

1/2

Z

−1/2

3

2 x

dx = 3 2 1 3 x

1/2

−1/2

(18)

= 1

2

"

 1 2



−



− 1 2



#

= 1

8 = 0.125 (19)

-¹ 2

1 2

Figure: P |X| < 1/2

Variables aleatorias

Y finalmente,

P (X ∈ (−3/4, −1/4) ∩ (−1/2, 1/2)) =

−1/4

Z

−1/2

3

2 x

dx = 3 2 1 3 x

−1/4

−1/2

(20)

=

h

−

− −

i

(21)

= 7

128 ≈ 0.0547 (22)

-³

4 -¹

4 -¹

2

1 2

Figure: P (X ∈ (−3/4, −1/4) ∩ (−1/2, 1/2))

Variables aleatorias

Ejemplo 2

Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por:

f

(x) =







−kx

, x ∈ [−1, 0) kx

, x ∈ [0, 1)

0 , x / ∈ (−1, 1) (23)

1 Obtenga el valor de k y grafique f

(x) 2 Obtenga y grafique F

(x)

3 Obtenga el valor α tal que P (−α ≤ X ≤ α) = 1/2 y muestre

gráficamente esta probabilidad.

Variables aleatorias

Solución

Para el punto 1, recordemos que una función de densidad de una v.a.c debe satisfacer que:

∞

Z

−∞

f

(x)dx = 1 (24)

Así, para la función de densidad dada debemos verificar que:

1

Z

−1

f

(x)dx = 1 (25)

= −

0

Z

−1

kx

dx +

1

Z

0

kx

dx (26)

= −k

4 x

0

−1

+ k 4 x

1

0

(27)

= k

4 + k 4 = 2

4 k = 1 (28)

Así, k = 2.

Variables aleatorias

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0

Figure: Gráfica de la función de densidad f

(x)

Variables aleatorias

Ahora, la función de distribución es la integral de la función de densidad sobre todo el intervalo donde esté definida esta, luego:

F

(x) =







1

2

, x ∈ [−1, 0)

1

2

, x ∈ [0, 1) 0 , x / ∈ (−1, 1)

(29)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figure: Gráfica de la distribución de probabilidad F

(x)

Variables aleatorias

Finalmente para encontrar a α recordemos que:

P (−α ≤ X ≤ α) =

α

Z

−α

f

(x)dx = F

(α) − F

(−α) = 1

2 (30)

De nuestro problema la constante α sólo puede tomar valores entre -1 y 1 ya que la función sólo está definida en ese intervalo. Por lo que podemos separar esta integral como:

0

Z

−α

f

(x)dx +

α

Z

0

f

(x)dx = (31)

−

0

Z

−α

2x

dx +

α

Z

0

2x

dx (32)

Variables aleatorias

− 1 2 x

0

−α

+ 1 2 x

α

0

= (33)

1

2 (−α)

+ 1

2 (α)

= 1

2 (34)

α

= 1

2 (35)

α = 1

√

2 (36)

Así, la solución pedida es: P (−2

≤ X ≤ 2

) =

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure: Probabilidad P (−2

≤ X ≤ 2

)