LÍMITE DE FUNCIONES. 1) Introducción geométrica del concepto de límite de una función cuando la variable tiende a un valor finito.

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LÍMITE DE FUNCIONES

1) Introducción geométrica del concepto de límite de una función cuando la variable tiende a un valor finito.

Simulador 1 Limite interpretación geométrica f(x)=x2 ¿La función está definida para todo número real?

Si la variable independiente tiende al valor 2: x 2 ¿A qué valor tiende su imagen? f(x)

Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente – compruebe con una tabla de valores para x ∈ (1,2)∪(2,3) - que al aproximarse la variable x al valor 2, tanto por valores mayores a 2 como menores a 2 (por derecha y por izquierda), los valores de la función se

aproximan a f(2)=4.

Podemos decir que la función tiene como límite el valor finito 4 cuando x tiende a 2 y lo expresamos:

4 4 x ) x ( f 2 2 x 2 x

lím

= = → →

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LÍMITE DE FUNCIONES

Simulador 2 Limite función racional

¿La función está definida para todo número real? Si la variable independiente tiende al valor 2: x 2 ¿A qué valor tiende su imagen? f(x) 1

Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente – compruebe con una tabla de valores para x ∈ (1,2)∪(2,3) - que al aproximarse la variable x al valor 2, tanto por valores mayores a 2 como menores a 2 (por derecha y por izquierda), los valores de la función se

aproximan a f(2) =1, pero ……….. La función no está definida en x=2 , pues 2∉Domf(x).

Podemos decir que la función tiene como límite el valor finito 1 cuando x tiende a 2 y lo expresamos:

1 1 x 1 ) x ( f

lím

2 x 2 x = − = → → 2 x 3 x 2 x ) x ( f ₂ + − − =

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LÍMITE DE FUNCIONES

Simulador 3 limite función por tramos

¿La función está definida para todo número real? Si la variable independiente tiende al valor 0: x 0 ¿A qué valor tiende su imagen? f(0) ?

Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente – compruebe con una tabla de valores para x ∈ (-1,0)∪(0,1) - que al aproximarse la variable x al valor 0, tanto por valores mayores a 0 como menores a 0 (por derecha y por izquierda), los valores de la función se

aproximan a f(0) …...?

¿Podemos decir que la función tiene como límite un valor finito cuando x tiende a 0?

Lo expresamos:

Veamos otro ejemplo 3 1 Limite (existencia)

EXISTE NO 0 x si x 0 x si 2 ) x ( f

lím

0 x 0 x    ≥ < = → →    ≥ < = 0 x si x 0 x si 2 ) x ( f

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LÍMITE DE FUNCIONES

Definición:

Sea f(x) una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene al punto “ a “ , excepto posiblemente en “ a “ mismo.

El límite de f(x) cuando x tiende a “ a “ es

L

y se simboliza:

si la siguiente proposición es verdadera:

Dado cualquier n > 0 , existe un r > 0 tal que si x ∈ E`(a , r) entonces f(x) ∈ E(L , n ).

Observación:

El límite de una función existe si los límites laterales son iguales y además es un número real finito L.

L ) x ( f

lím

a x = →

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LÍMITE DE FUNCIONES

Veamos el simulador 4 interpretación de la definicion (r(n))

Sea la función f(x) = x2_{. La gráfica asociada a la función resulta una} curva llamada parábola.

¿A que valor se acerca f(x) , si x tiende al valor 2? Si x 2 entonces f(2) 4

Si r=0,5 E´(2;r)=(2-0,5 ; 2+0,5)-{2} = (1,5 ; 2,5)-{2} Luego el entorno de L=4 es

(2,25 ; 6,25) pues f(1,5)=2,25 y f(2,5)= 6,25

¿Y si se tiene el intervalo del entorno de L? ¿cómo se calculan los extremos del intervalo reducido de centro 2?

E(4,n)=(2,25; 6,25)= (f(a);f(b))

Luego f(a)=2,25= a2 _{y f(b)=6,25= b}2 _{a=1,5 y b=2,5} Análisis de la función: Para análisis (límite)

3 x 9 x ) x ( f 2 − − =

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LÍMITE DE FUNCIONES

Teorema:

El existe y es igual a

L

si y sólo si y existen y son iguales.

Observación:

Depende de la función de análisis, por ejemplo para f(x) =

definida para los números reales menores o iguales que 2, sólo tiene sentido aproximarse a 2 por la izquierda: x → 2- (valores menores que dos), esta aproximación es el límite lateral izquierdo. Como el Dom f(x) es el intervalo (-∝

,

2 ] no tiene sentido plantear que sucede con f(x) para x > 2, es decir cuando x tiende a 2 por la derecha: x → 2+ que llamamos límite lateral derecho.

)

x

(

f

lím

a x→ _x

lím

_→ _a₊

f

(

x

)

x

(

f

lím

a x→ − x 2−

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LÍMITE DE FUNCIONES

¿Qué pasa cuando alguno de los límites laterales no tiene un valor finito, existe L?

Veamos el siguiente ejemplo: Dom f(x): R-{1,2}

¿Qué sucede en un entorno reducido del punto de abscisa x=1? Si me acerco por izquierda con valores entre 0 y 1: x

1-f(x) decrece rápidamente, es decir 1-f(x)

-

∝

Si me acerco por derecha con valores entre 1 y 2: x 1+

f(x) crece rápidamente, es decir f(x)

+

∝

Comprobar con el simulador 2 limite de la función racional

El LÍMITE NO EXISTE, el símbolo + ∝ ó - ∝ indica el

comportamiento de los valores de la función f(x) cuando x se aproxima al punto “a”. 2 x 3 x 2 x ) x ( f 2 ₋ ₊ − =

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LÍMITE DE FUNCIONES

Veamos el siguiente ejemplo:

Dom f(x): R-{0}

¿Qué sucede en un entorno reducido del punto de abscisa x=0? Si me acerco por izquierda con valores entre -1 y 0: x

0-f(x) crece rápidamente, es decir 0-f(x)

+

∝

Si me acerco por derecha con valores entre 0 y 1: x 0+

f(x) crece rápidamente, es decir f(x)

+

∝

Comprobar con el simulador Para análisis (límite)

Lo cual se expresa:

y

o simplemente

LÍMITE NO EXISTE, el símbolo + ∝ ó - ∝ indica el comportamiento de los valores de la función f(x) cuando x se aproxima al punto “a”.

2

x

1 )

x

(

f

=

∞ + = − → ) x ( f lím 0 x ∞ + = + → ) x ( f lím 0 x ∞ = → ) x ( f lím 0 x

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LÍMITE DE FUNCIONES

Observación:

En ambos casos el LÍMITE NO EXISTE, el símbolo +∝ indica el comportamiento de los valores de la función f(x) cuando x se aproxima al punto “a”.

CONVENCIÓN:

Como en los casos anteriores, en que hemos indicado que la función no tiene límite en x = a, cuando al tender x a+ _la

función tiende f - ∝ y al tender x a- _{la función f} ₊∝ _(o

viceversa); o cuando al tender x al valor a siempre crece (decrece) indefinidamente, se expresa que el LÍMITE de la función NO EXISTE, ya que ese límite es infinito.

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LÍMITE DE FUNCIONES

Ejercicio:

Considere las siguientes funciones (f1, f2, f3 y f4) y para cada una de ellas indique

a) Máximo dominio real b) Realice su gráfica

c) Determine si existe el valor de la función en x=1

d) Observe desde la gráfica y complete f(x) ? cuando x 1

f1(x)=3x-1    ≥ < = 0 x si x 0 x si 1 ) x ( 2 f    < − > = − − − = 0 x si 1 0 x si 1 ) x ( 4 f 1 x ) 1 x 3 )( 1 x ( ) x ( 3 f

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LÍMITE DE FUNCIONES

Propiedades

Consideramos los siguientes teoremas de límites, importantes para poder justificar la resolución de los ejercicios. Verifíquelas para f(x)=2x-1 y g(x)=4/3x-1 para a=1

Sean y 1) 2) 3) 4) 5) 1 L ) x ( f

lím

a x = → 2 L ) x ( g

lím

a x = → 2 L 1 L )] x ( g ) x ( f [

lím

a x ± = ± → 2 L . 1 L )] x ( g ). x ( f [

lím

a x = → 0 2 L si 2 L 1 L ) x ( g ) x ( f

lím

a x ≠ = → 1 L . c ) x ( f . c

lím

a x = → N n ) 1 L ( ] ) x ( f [ n n a x

lím

= ∈ →

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LÍMITE DE FUNCIONES

Propiedades (cont.)

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Además se verifican:

*Si y L=L´

** Si f(x) =c (constante real) entonces para cualquier “a”

*** Si f(x) =x (función identidad) entonces para cualquier “a”

L ) x ( f

lím

a x = → c ) x ( f

lím

a x = → 0 1 L entonces PAR es n si , N n ) 1 L ( ] ) x ( f [ n 1 n 1 a x

lím

= ∈ ≥ → ´ L ) x ( f

lím

a x = → a ) x ( f

lím

a x = →

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LÍMITE DE FUNCIONES

Técnicas para el cálculo de Límites y poder salvar indeterminaciones de la forma :

a) Sustitución directa Verifique que

b) Salvar la indeterminación * Por factorización de polinomios

Verifique que 1 4 x 2 x

lím

1 x − = − + → 0 0 2 1 L , ) 2 x )( 1 x ( por numerador el do reemplazan y 0 0 1 x 2 x 3 x 2 2 1 x

lím

+ ₋ + = + + = − − → 0 0 1 2 x x 1 x 2 3 1 x

lím

₊ −₋ = →

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LÍMITE DE FUNCIONES

Técnicas para el cálculo de Límites (cont.)

c) Por el conjugado de una expresión

Verifique que tiene por límite

Teniendo en cuenta la propiedad de los números reales (a-b)(a+b)=a2 _{– b}2

Resulta que el conjugado del numerador es la expresión Con lo cual

Luego para no alterar la expresión del límite multiplicamos a la función por 0 0 x 4 2 x

lím

4 x = − − → 4 1 L= − 2 x + 4 x 2 ) x ( ) 2 x )( 2 x ( − + = 2 − 2 = − 2 x 2 x 1 + + =

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LÍMITE DE FUNCIONES

Analice los siguientes gráficos y evalúe los límites en los puntos indicados

a) x=-1 x=1 x=2 b) x=-4 x=-2 x=3 Dom f=[-2;3] Dom f=[-4;4]

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LÍMITE DE FUNCIONES

DIRECCIONES

Simulador 1 Limite interpretación geométrica

http://tube.geogebra.org/student/m726509 Simulador 2 Limite función racional

http://tube.geogebra.org/student/m114615 Simulador 3 limite función por tramos

http://tube.geogebra.org/student/m1207053 Simulador 3 1 Limite (existencia)

http://tube.geogebra.org/material/show/id/1207005 Simulador 4 interpretación de la definicion (r(n))

http://tube.geogebra.org/student/m23007 Simulador Para análisis (límite)