ANALISIS DE CONTROLADORES DE ESTRUCTURA VARIABLE PARA HELICOPTEROS DE CUATRO ROTORES CON RETROALIMENTACION DE SALIDA

(1)

CETRO DE IVESTIGACIÓ Y DESARROLLO DE TECOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA E CIECIAS E SISTEMAS DIGITALES

AÁLISIS DE COTROLADORES DE ESTRUCTURA VARIABLE PARA HELICÓPTEROS DE CUATRO ROTORES CO

RETROALIMETACIÓ DE SALIDA

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRÍA E CIECIAS

PRESENTA:

ING. RAÚL RASCÓN CARMONA

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. LUIS TUPAK AGUILAR BUSTOS

Junio de 2008

TIJUANA, B. C., MÉXICO

(2)

(3)

(4)

A mi director de tesis, Dr. Luis Tupak Aguilar, por compartir sus conocimientos y hacer posible el desarrollo de este trabajo de tesis, a los profesores integrantes del comit´e de tesis:

Dr. Juan Tapia, Dr. Javier Moreno, Dr. Konstantin Starkov y M.C. Eusebio Bugarin por su valiosa colaboraci´on;

Al CONACyT y al IPN por el apoyo econ´omico prestado;

Al CITEDI por permitirme alcanzar mis metas y permitirme dar un paso m´as en la vida.

(5)

En especial a mis padres Raúl y Ana por la confianza y el apoyo prestados en esta etapa de mi vida. A mis hermanos Hugo y Ana por estar ah´ı, a mi abuela Norma por siempre acordarse de m´ı, a mi t´ıa Angélica por apoyarme cuando más se necesita;

A los amigos del CITEDI por su amistad y que juntos pasamos uno de los mejores momentos de mi vida, espero que esa amistad dure por muchos a˜nos;

A la vida por los momentos dif´ıciles y tambi´en por los momentos gozo a lo largo de estos dos a˜nos.

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Dise˜ no de controladores de estructura variable para helic´ opteros de cuatro rotores

Resumen

El presente trabajo de tesis aborda el problema de estabilización alrededor de una trayectoria deseada de helicópteros de cuatro rotores utilizando control por modos deslizantes de orden superior usando retroalimentación de salida. El helicóptero de cuatro rotores es un sistema con seis grados de libertad que está afectado por la dinámica de los actuadores, fric- ción del viento, gravedad, ruido de los sensores y dinámicas no modeladas. El objetivo de control es resolver el problema de seguimiento de trayectorias a pesar de perturbaciones y condiciones inciertas. En el análisis, se obtuvo el modelo dinámico a través de los métodos de Euler-Lagrange y de Newton-Euler. La solución para el problema de control considera dos vertientes, en una se asume que se tienen las mediciones de todos los estados que ocupa el controlador y en otra se asume medición de salida únicamente (donde la salida esta confor- mada por la posición absoluta y el ángulo de giro). Para el segundo caso se desarrolló un observador de estados por modos deslizantes de alto orden. La teor´ıa desarrollada se avala con resultados de simulación.

Palabras clave: Control por modos deslizantes, sistemas de estructura variable, modelado utilizando Euler-Lagrange.

(7)

Design of a variable structure controllers for a Quadrotor helicopters

Abstract

This paper addresses the stabilization problem around a desired trajectory of a quad-rotor helicopter by using high order sliding modes control assuming output feedback measurements.

The quad-rotor helicopter is a six degrees-of-freedom (DOF) system which is affected by the actuators dynamics, friction wind, gravity, sensors noise and non modeling dynamics. The control objective is to solve the tracking problem despite perturbations and uncertainties conditions. In the analysis, the dynamic model was obtained through Euler-Lagrange and Newton-Euler methods. The solution for the tracking problem considers two-cases, one is the state feedback controller, assuming that all the states are available for feedback, and the another one is output measurements controller where a high order sliding mode observer was contructed (the output is conformed by the absolute position and the yaw angle). Perfor- mance issues of the High Order Sliding Mode controller are evaluated in a simulation study.

Keywords: Sliding mode control, variable structure systems, Euler-Lagrange modelling.

(8)

Contenido

Cap´ıtulo P´agina

Resumen I

Abstract II

Lista de Figuras V

Lista de Tablas VI

Lista de S´ımbolos y Acr´onimos VII

1. Introducci´on 1

1.1. Motivaci´on . . . 4

1.2. Objetivo del trabajo . . . 4

1.2.1. Objetivo general . . . 4

1.2.2. Objetivos espec´ıficos . . . 4

1.3. Metodolog´ıa . . . 5

1.4. Organizaci´on del trabajo . . . 5

2. Modelo din´amico 7 2.1. M´etodo Euler-Lagrange . . . 7

2.1.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange . . . 10

2.1.2. Representaci´on de la orientaci´on . . . 10

2.2. M´etodo Newton-Euler . . . 15

2.2.1. Matriz de rotaci´on y de transformaci´on . . . 16

3. Control por retroalimentaci´on de estados 24 3.1. Pre´ambulo . . . 24

3.1.1. Objetivo de control . . . 24

3.1.2. Control por linealizaci´on entrada-salida . . . 25

3.2. Soluci´on al problema de estabilizaci´on . . . 26

3.2.1. Estructura del controlador interno . . . 26

3.2.2. Estructura del controlador externo . . . 32

3.3. Resultados de simulaci´on . . . 34

4. Control por medición de salida 37 4.1. Solución al problema de estabilización . . . 37

4.1.1. Objetivo de control . . . 37

4.1.2. Estructura del Controlador Interno . . . 38

4.1.3. Estructura del controlador externo . . . 40

4.2. Observador por modos deslizantes . . . 43

4.2.1. Modelo del observador . . . 44

4.3. Reconstrucci´on de los estados de salida . . . 47

4.4. Resultados de simulaci´on . . . 48

5. Control por medici´on de salida con estimador de perturbaciones 55 5.1. Objetivo de control . . . 55

5.2. Dise˜no del controlador . . . 56

(9)

Contenido (Continuaci´ on)

Cap´ıtulo P´agina

5.2.1. Estructura del controlador externo . . . 58 5.2.2. Estimador discontinuo . . . 61 5.3. Resultados de simulaci´on . . . 62

6. Conclusiones 67

Bibliograf´ıa 70

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Lista de Figuras

Figura P´agina

2.1. (a) inclinación, (b) desviación y (c) rotación. . . . 8

2.2. Marco de referencia inercial del tetra-rotor. . . 9

2.3. Sistema de referencia 0XY Z y solidario al objeto 0UV W . . . . 11

2.4. Rotaci´on del sistema 0UVW con respecto al eje 0X, 0Y y 0Z. . . . 12

2.5. Marco fijo al cuerpo y marco fijo a tierra para el helicóptero de cuatro rotores. 22 2.6. Ilustración de como la rotación entre dos marcos se puede interpretar en forma de los ángulos de Euler. . . 23

3.1. Trayectoria deseada y trayectoria del sistema con control, en donde se puede ver que el error converge a cero despu´es de un tiempo determinado. . . 35

3.2. Gr´afica del error en las trayectorias para el sistema en lazo cerrado con retroalimentaci´on de estados. . . 36

3.3. Gr´afica de la sumatoria de fuerzas generadas por los cuatro motores. . . 36

4.1. Sistema en lazo cerrado total. UAV unmanned aerial vehicle: veh´ıculo a´ereo no tripulado . . . . 50

4.2. Trayectoria deseada, trayectoria del sistema con control y trayectoria del observador con diferentes condiciones iniciales, en donde se puede ver que el error converge a cero despu´es de un tiempo determinado. . . 51

4.3. Gr´afica del error en las trayectorias del sistema en lazo cerrado con retroalimentaci´on de salida. . . 52

4.4. Gr´afica de la sumatoria de fuerzas generadas por los cuatro motores. . . 52

4.5. Trayectoria deseada, trayectoria del sistema con control y trayectoria del observador con diferentes condiciones iniciales, en donde se puede ver que el error permanece acotado. . . 53

4.6. Gr´afica del error en las trayectorias: Caso perturbado. . . 54

4.7. Gr´afica de la sumatoria de fuerzas generadas por los cuatro motores: Caso perturbado. . . 54

5.2. Gr´afica del error en las trayectorias: Caso perturbado. . . 64

5.3. Gr´afica de la sumatoria de fuerzas generadas por los cuatro motores (Caso perturbado). . . 64

5.5. Gr´afica del error en la trayectoria del eje x (Caso perturbado). . . 66

5.6. Gr´afica de la sumatoria de fuerzas generadas por los cuatro motores: Caso perturbado. . . 66

(11)

Lista de Tablas

Tabla P´agina

2.1. Efectos f´ısicos actuando sobre el quadrotor expresados en el marco de referencia fijo . . . 18

(12)

Lista de S´ımbolos y Acr´ onimos

GDL grados de libertad CD corriente directa

PD proporcional derivativo

PID proporcional integral derivativo sign(x) signo de x

∈ pertenece

IR n´umeros reales

IR₊ conjunto de n´umeros reales positivos

k · k norma Euclidiana para vectores y norma espectral para las matrices rank(A) rango de la matriz A

λ(A) el espectro de la matriz cuadrada A, el conjunto de valores propios λ_max(A) el valor propio maximo de la matriz cuadrada A

λ_min(A) el valor propio minimo de la matriz cuadrada A , equivalencia por la definicion

≡ equivalente a

˙x derivada de x con respecto a tiempo

¨

x la segunda derivada de x con respecto a tiempo I Matriz identidad

Σ sumatoria

→ implica, entonces

∀ para todo

(13)

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

El diseño de máquinas inteligentes y autónomas para desarrollar tareas que sean tediosas, repetitivas o peligrosas y que requieran de cierta fuerza o destreza, es el objetivo principal de la robótica. La robótica es un campo de la tecnolog´ıa moderna, que involucra varias áreas de ingenier´ıa. Actualmente la mayor´ıa de las aplicaciones se encuentran en los procesos de fa- bricación para el desplazamiento de materiales, piezas, herramientas de diversos tipos, tareas de construcción, exploración espacial, reconocimiento aéreo y cuidados médicos.

El control por modos deslizantes es reconocido como una herramienta eficiente para diseñar controladores robustos para plantas dinámicas no lineales de alto orden las cuáles operan bajo condiciones de incertidumbre. La investigación en esta área fue iniciada en la antigua Unión Soviética hace alrededor de 60 años y ha recibido mucha más atención de la comunidad de control internacional dentro de las dos últimas décadas [15; 9; 5]. La may- or ventaja de los modos deslizantes es la baja sensibilidad respecto a variaciones de los parámetros de la planta y perturbaciones, las cuáles eliminan la necesidad de un modelo exacto. Control por modos deslizantes supone que las acciones de control son funciones de estados discontinuos los cuales pueden ser facilmente implementados por convertidores de energ´ıa convencionales con ‘encendido-apagado’ como el único modo de operación. Por ello la investigación en muchos centros cient´ıficos de industrias y universidades ha ido creciendo ya que ha demostrado ser aplicable para un amplio rango de problemas como en robótica, accionadores eléctricos y generadores, control de procesos, veh´ıculos y control de movimiento, entre otros.

Muchos sistemas f´ısicos naturalmente requieren el uso de términos discontinuos en sus dinámicas. Esto es, por ejemplo, el caso de sistemas mecánicos con fricción [44; 46]. Este hecho fue reconocido y aprovechado ventajosamente desde el comienzo mismo del siglo XX para la regulación de una gran variedad de sistemas dinámicos. La clave de este nuevo enfoque

(14)

era la teor´ıa de ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo utilizada por primera vez por grupos académicos de la antigua Unión Soviética.

Sobre esta base, las estrategias de control discontinuo aparecieron a mediados del siglo XX bajo el nombre de teor´ıa de sistemas de estructura variable. Dentro de este punto de vista, las entradas de control toman valores de un conjunto discreto, como los l´ımites extremos de un relevador. Basados en estos principios, una de las técnicas más populares fue creada y desarrollada desde los 1950’s y popularizado por el art´ıculo seminal de Utkin [41]. La caracter´ıstica esencial de esta técnica es la elección de una superficie deslizante en función del espacio de estados acorde con las especificaciones de la dinámica deseada del sistema en lazo cerrado. La lógica de conmutación, y as´ı la ley de control, son diseñadas tal que las trayectorias de estados alcancen la superficie y permanezcan en ella. Las principales ventajas de este método son:

Es robusto contra una amplia clase de perturbaciones o incertidumbres del modelo.

La posibilidad de estabilizaci´on de algunos sistemas no lineales los cuales no son esta- bilizables por leyes de retroalimentaci´on de estados continuos.

Las primeras implementaciones tuvieron un importante inconveniente: los actuadores tienen que hacer frente a altas frecuencias de las acciones de control tipo bang-bang que pueden producir desgaste prematuro, o incluso romperse. Este fenómeno era el principal obstáculo para el éxito de esta técnica en la comunidad industrial. Sin embargo, esta principal desventaja, llamada “chattering”, puede ser reducida, o hasta suprimida, utilizando técnicas como ganan- cias no lineales, extensiones dinámicas, o utilizando estrategias recientes, como un control por modos deslizantes de orden superior [24].

Los modos deslizantes de alto orden han demostrado tener una alta exactitud y robustez con respecto a perturbaciones internas y externas, también se revela su principal inconveniente: el llamado efecto “chattering”, i.e., peligrosas vibraciones de alta frecuencia del sistema controlado [33]. Para evitar “chattering.âlgunas soluciones fueron propuestas en [39; 38]. La idea principal era cambiar las dinámicas en una pequeña vecindad de la superficie discontinua con el fin de evitar discontinuidad real y al mismo tiempo conservar las propiedades principales del sistema entero. Sin embargo, la gran exactitud y robustez de

(15)

los modos deslizantes fue parcialmente perdida. Recientemente se desarrollaron los modos deslizantes de orden superior (por sus siglas en ´ıngles HOSM, High Order Sliding Modes) que generalizan la idea básica de los modos deslizantes, representando las derivadas de alto orden respecto al tiempo desde la limitante en lugar de influenciarse por la primera derivada como pasa en los modos deslizantes estándar. Junto con el mantenimiento de la principal ventaja de la solución original, al mismo tiempo se removió totalmente el efecto de “chattering ² para proporcionar incluso alta exactitud en el resultado. Un número de tales controladores fueron descritos en la literatura [13; 14; 40; 24; 22; 23]. Detalles sobre la solución de ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo se puede encontrar en [10].

Algunas aplicaciones mas recientes de modos deslizantes de orden superior se pueden encontrar en [45] donde se presentan resultados referentes a la estabilización orbital de sistemas subactuados: s´ıntesis del algoritmo, verificación experimental y la aplicación de control para balanceo. As´ı mismo en [7] se presenta un bloque de control por modos deslizantes de alto orden para sistemas no lineales sin modelado de actuadores, aplicado a sistemas de energ´ıa eléctrica y servomotores electrohidráulicos. En [18] otra aplicación es la regulación de glucosa en la sangre a tráves de control de doble lazo por modos deslizantes de alto orden y tasa de muestreo múltiple. En [34] se presenta la regulación de fuerza de contacto en pantógrafos actuados por cables. En [30] podemos encontrar un esquema de modos deslizantes para frenado

óptimo y estimación del camino con un neumático con fricción. En [4] se encuentra la apli- cación de control por modos deslizantes para nano-posicionadores. En [16] la aproximación por modos deslizantes de alto orden para el control y estimación de unidades de arranque eléctricas. En [6] se encuentra el control de seguimiento por retroalimentación de salida de fase no min´ıma para convertidores de energ´ıa de CD a CD (corriente directa a corriente directa).

En [35] encontramos la aplicación de control multivariable por modos deslizantes de segundo orden para sistemas mecánicos. En [25] también se aplica control por modos deslizantes de alto orden para un motor a pasos.

(16)

1.1. Motivaci´ on

Los helicópteros de cuatro rotores disponen de seis grados de libertad, donde tres corresponden a la posición relativa a un marco de referencia fijo y tres a la posición angular (inclinación, desviación y rotación) también referida a dicho marco de referencia [26]. En los helicópteros de cuatro rotores se busca la capacidad de moverse en diferentes ambientes con la finalidad de desarrollar una diversidad de tareas y que presenten un buen comportamien- to ante variaciones en la carga y perturbaciones. El sistema en estudio está gobernado por ecuaciones no lineales asumiendo que está sujeto a perturbaciones externas y cambios en sus parámetros (posición, velocidad, aceleración) considerando que no todas las variables se disponen para retroalimentación [32]. Para satisfacer el objetivo de control se utilizan controladores y observadores por modos deslizantes de orden superior. Debido a que el sistema del helicóptero de cuatro rotores en lazo abierto es subactuado e inestable se propone resolver el problema de estabilización del tetra-rotor por modos deslizantes, para garantizar estabilidad robusta y convergencia en tiempo finito hacia las trayectorias deseadas, de igual forma se pretende atenuar los efectos de “chattering”para el sistema controlado por retroalimentación de estados y para el sistema controlado por medición de salida. Algunos trabajos previos sobre control de helicópteros de cuatro rotores pueden encontrarse en [3; 11; 21; 26; 27].

1.2. Objetivo del trabajo

1.2.1. Objetivo general

Como objetivo general se aborda el problema de estabilización de trayectorias en un helicóptero no tripulado con cuatro rotores también llamado tetra-rotor.

1.2.2. Objetivos espec´ıficos

Los problemas espec´ıficos a resolver en la investigaci´on son:

1. Estabilizar helicópteros de cuatro rotores utilizando control por modos deslizantes de orden superior asumiendo medición de los estados. Adicionalmente se considerarán perturbaciones externas y desviaciones en los parámetros del modelo.

(17)

2. Estabilizar helicópteros de cuatro rotores utilizando control por modos deslizantes de orden superior asumiendo medición de la salida para retroalimentación únicamente.

Adicionalmente se considerar´an perturbaciones externas y desviaciones en los par´amet- ros del modelo.

3. Estimar las perturbaciones con el fin de robustificar el sistema de lazo cerrado.

Para satisfacer el objetivo de control se utilizan controladores y observadores por modos deslizantes de orden superior. En general, es posible medir todas las variables que requieren ser retroalimentadas, pero también es verdad que colocar un gran número de sensores hace al sistema más complejo y dif´ıcil de implementar. El problema de la estabilización de estos mecanismos ha sido un reto que ha llamado el interés de los investigadores por sus no lin- ealidades variantes en el tiempo, sensibilidad ante perturbaciones aerodinámicas y su grado relativo con respecto a entradas desconocidas es mayor que uno, por lo que no se satisfacen las condiciones suficientes y necesarias para su observación [32].

1.3. Metodolog´ıa

Para resolver el problema de control se propone encontrar el modelo dinámico que describe el comportamiento del helicóptero de cuatro rotores a través de los métodos Newton-Euler y Euler-Lagrange [1], aplicar la técnica de controladores por modos deslizantes de orden superior para resolver el problema de establización de seguimiento de trayectorias asumiendo que todos los estados están disponibles para medición, y aplicar la técnica de controladores por modos deslizantes de alto orden para resolver el problema de establización de seguimiento de trayectorias asumiendo medición de salida.

1.4. Organizaci´ on del trabajo

El trabajo está organizado de la siguiente manera: El Cap´ıtulo 2 es un estudio del modelo dinámico de un helicóptero de cuatro rotores. En el Cap´ıtulo 3 se propone una solución al problema de estabilización a través de la aplicación de un controlador de retroalimentación de estados. En el Cap´ıtulo 4 se ofrecen detalles sobre la aplicación de un controlador por

(18)

retroalimentaci´on de salida aplicando un observador de estados por modos deslizantes de orden superior. En el Cap´ıtulo 5 se complementa el controlador del cap´ıtulo 4 con la aplicaci´on de un estimador discontinuo de perturbaciones. En el Cap´ıtulo 6 se ofrecen conclusiones.

(19)

Cap´ıtulo 2

Modelo din´ amico

Aunque la soluci´on al problema de control de movimiento de sistemas completamente actuados ha sido estudiada y entendida por la comunidad cient´ıfica (v´ease e.g., [36]), en las

últimas décadas se han incrementado los esfuerzos en la investigación de control y estabi- lización de veh´ıculos autónomos. En el problema t´ıpico de control de movimiento (seguimien- to de trayectorias) se deben diseñar leyes de control que fuercen a un veh´ıculo a alcanzar y seguir una curva parametrizada en el tiempo a pesar de perturbaciones y parámetros inciertos del modelo matemático. Algunas técnicas de control requieren información par- cial o total del modelo dinámico que describe el comportamiento del sistema a controlar.

Las ecuaciones dinámicas de un sistema subactuado pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler [29, pp. 271], Euler-Lagrange [29, p. 129], principio de Lagrange–d’Alembert [8, Cap. 1] y el principio de Hamilton [8, Cap. 3]. El propósito del presente cap´ıtulo es ofrecer de manera compacta la metodolog´ıa que llevan a determinar las ecuaciones dinámicas de un veh´ıculo autónomo subactuado: helicóptero de cuatro rotores.

2.1. M´ etodo Euler-Lagrange

A continuaci´on presentamos el primero de estos modelos. Las coordenadas generales para el helic´optero de cuatro rotores son:

q = (x, y, z, ψ, θ, φ) ∈ IR⁶ (2.1)

donde (x, y, z) denotan la posición del centro de masa de los cuatro rotores respecto al marco I fijo a tierra (véase Figura 2.3), (ψ, θ, φ) son los ángulos de Euler (inclinación, desviación y rotación) y representan la orientación del tetra-rotor [32] (véase Figura 2.2). Por lo tanto

(20)

f3

f1

z

x

f4

f2

z

y

f3

f1

z

f4

f2

y

x

(b) (a)

(c)

Figura 2.1: (a) inclinación, (b) desviación y (c) rotación.

tenemos coordenadas traslacionales y rotacionales:

ξ = (x, y, z) ∈ IR³, η = (ψ, θ, φ) ∈ IR³. (2.2)

La energ´ıa cin´etica traslacional esta dada por:

T_trans , m

2 ˙ξ^T ˙ξ (2.3)

donde m denota la masa del helic´optero de cuatro rotores. La energ´ıa cin´etica rotacional es

T_rot , 1

2˙η^TJ ˙η (2.4)

(21)

mg

M1

M2

M3

M4

u

f₃

f₄

f₁ f₂

I Ez

Ey

Ex

Figura 2.2: Marco de referencia inercial del tetra-rotor.

donde

J =







I_x 0 0 0 I_y 0 0 0 Iz







actúa como matriz de inercia para la energ´ıa cinética rotacional del tetra-rotor, expresada en términos de η, donde I_x, I_y, I_z son las constantes de energ´ıa cinética en cada componente de x, y y z. La energ´ıa potencial está dada por:

U = mgz. (2.5)

Finalmente, de acuerdo a [32; 36] el Lagrangiano es

L(q, ˙q) = T_trans+ T_rot− U = m

2 ˙ξ^T ˙ξ + 1

2˙η^TJ ˙η − mgz. (2.6)

(22)

2.1.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange

El modelo para las din´amicas completas del rotor se obtiene mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange con fuerzas externas generalizada (v´ease Figura 2.2)

d dt

·∂L(q, ˙q)

∂ ˙q_i

¸

− ∂L(q, ˙q)

∂q_i = τi (2.7)

d dt

∂L

∂ ˙q − ∂L

∂q = F (2.8)

donde F = (F_ξ, τ ), τ son los momentos generalizados y F_ξ es la fuerza traslacional aplicada al rotor debido a las entradas de control.

F =ˆ





 0 0 u





 (2.9)

donde

u = f₁+ f₂+ f₃+ f₄ f_i = k_iw²_i, i = 1, ..., 4

k_i > 0 es una constante, w_i es la velocidad angular del i-´esimo motor (M_i, i = 1, ..., 4), entonces

F_ξ = RˆF (2.10)

donde

R =







cθcψ sψsθ −sθ

cψsθsφ − sψcφ sψsθsφ + cψcφ cθsφ cψsθcφ + sψsφ sψsθcφ − cψsφ cθcφ





 (2.11)

es la matriz de rotación que representa la orientación del quadrotor [1; 2]. En (2.11) se denotó cθ por cos θ y sθ por sin θ.

2.1.2. Representaci´ on de la orientaci´ on

Un punto queda totalmente definido en el espacio a tráves de los datos de su posición. Sin embargo, para el caso de un sólido, es necesario definir cuál es su orientación con respecto

(23)

a un sistema de referencia. Los vectores unitarios del sistema de referencia 0XY Z serán i_x, j_y, k_z, mientras que los del sistema de referencia 0UV W serán i_u, j_v, k_w. Un vector P del espacio podrá ser referido a cualquiera de los sistemas de la siguiente manera:

P_uvw = [p_u, p_v, p_w]^T = p_u· i_u+ p_v · i_v+ p_w· i_w

P_xyz = [p_x, p_y, p_z]^T = p_x· i_x+ p_y· i_y + p_z · i_z se puede obtener la siguiente equivalencia:





 p_x p_y pz





 = R





 p_u p_v pw







donde:

R =







i_xi_u i_xj_v i_xk_w j_yi_u j_yj_v j_yk_w kziu kzj_v kzkw







es la matriz de rotación que define la orientación del sistema 0UV W con respecto al sistema 0XY Z (véase Figura 2.4), donde cada elemento de R esta dado por una multiplicación de vectores e.g. i_xi_u.

X Y

Z

U V

W

0

Figura 2.3: Sistema de referencia 0XY Z y solidario al objeto 0UV W .

(24)

R(x, φ) =



 1 0 0

0 cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ





R(y, φ) =



 cos θ 0 sin θ

0 1 0

− sin θ 0 cos θ





R(z, ψ) =



 cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0

0 0 1





Figura 2.4: Rotaci´on del sistema 0UVW con respecto al eje 0X, 0Y y 0Z.

Las matrices R(z, ψ), R(y, θ) y R(x, φ), se denominan matrices b´asicas de rotación [1] de un sistema espacial de tres dimensiones (véase Figura 2.6), las cuáles al ser multiplicadas entre s´ı forman la matriz de rotación:

R = R(z, ψ)R(y, θ)R(x, φ) =







cψ −sψ 0

sψ cψ 0

0 0 1













cθ 0 sθ

0 1 0

−sθ 0 cθ













1 0 0

0 cφ −sφ 0 sφ cφ







(25)

=







cψcθ −sψcφ + cψsθsφ sψsφ + cψsθcφ sψcθ cψcφ + sψsθsφ −cψsφ + sψsθcφ

−sθ cθsφ cθcφ





 .

Nótese que la matriz R dada en la ecuación 2.11, difiere de esta matriz de rotación R, ya que las matrices básicas de rotación fueron multiplicadas en otra secuencia, pero no afecta la solución del problema de modelado ya que R denota los giros angulares del tetra-rotor, de esta forma se pueden tener diferentes matrices de rotación R todas ellas correctas.

Los momentos generalizados en la variable η son

τ =





 τ_ψ τ_θ τ_φ





=





 P₄

i=1τ_M_i (F₂− F₄)`

(F₃− F₁)`





 (2.12)

donde ` es la distancia de los motores al centro de gravedad y τ_M_i es el par producido por el motor M_i.

Debido a que el Lagrangiano no contiene término cruzados en la energ´ıa cinética que combina ˙ξ y ˙η, la ecuación de Euler-Lagrange puede dividirse en las dinámicas para las coordenadas ξ y las dinámicas para η, entonces

m¨ξ +





 0 0 mg





 = F^ξ (2.13)

J¨η + ˙J ˙η − 1 2

∂

∂η( ˙η^TJ ˙η) = τ. (2.14)

Def´ınase el vector de Coriolis y fuerzas centr´ıfugas:

V (η, ˙η) = ˙J ˙η −¯ 1 2

∂

∂η( ˙η^TJ ˙η) = µ

˙J − 1 2

∂

∂η( ˙η^TJ)

¶

| {z }

C(η, ˙η)

˙η (2.15)

(26)

entonces la ecuaci´on (2.14) queda como:

J¨η + ¯V (η, ˙η) = τ (2.16)

donde C(η, ˙η) ˙η son los t´erminos de Coriolis y contiene los t´erminos gyroscopicos y centr´ıfugos asociados a η dependiente de J. Finalmente obtenemos

m¨ξ = u







− sin θ cos θ sin φ cos θ cos φ





+





 0 0

−mg





 (2.17)

J¨η = −C(η, ˙η) ˙η + τ. (2.18)

Para simplificar, se propone el siguiente cambio de variable:

τ = C(η, ˙η) ˙η + J˜τ (2.19)

donde ˜τ = (˜τψ, ˜τθ, ˜τφ)^T entonces ¨η = ˜τ . Reescribiendo las ecuaciones:

m¨x = −u sin θ (2.20)

m¨y = −u cos θ sin φ (2.21)

m¨z = −u cos θ cos φ − mg (2.22)

ψ = ˜¨ τ_ψ (2.23)

θ = ˜¨ τθ (2.24)

φ = ˜¨ τ_φ (2.25)

donde x y y son coordenadas en el plano horizontal y z es la posición vertical, ψ (rotación) es el ángulo alrededor del eje z, θ (desviación) es el ángulo alrededor del eje y, y φ (inclinación) alrededor del eje x. Las entradas de control se denotan como u, ˜τ_ψ, ˜τ_θ y ˜τ_φ.

(27)

El modelo din´amico Euler-Lagrange en su forma compacta resulta en [36]:

M(q)¨q + g(q) = B(q)τ (2.26)

y el vector q = [x, y, z, ψ, θ, φ]^T, el cual esta compuesto de los seis estados del sistema, los que a su vez tambien son los seis grados de libertad del helic´optero, donde

M(q) =



 m 0_3×3 0_3×3 J



 ,

g(q) =





 0 0 mg

0 0 0







, B(q)τ =







− sin θ 01×3

cos θ sin φ 0_1×3 cos θ cos φ 0_1×3 0_3×1 I_3×3









u

˜ τ



 .

2.2. M´ etodo Newton-Euler

El tetra-rotor, mostrado en la Figura 2.5 se compone de cuatro rotores para generar las fuerzas de propulsión F₁, F₂, F₃ y F₄. Esta configuración simplifica el desplazamiento e incrementa la fuerza de elevación. Variando la velocidad de los rotores en conjunto, la fuerza de elevación cambiará, afectando en este caso la altitud del veh´ıculo. Los dos pares de rotores (F₁, F₃) y (F₂, F₄) giran en direcciones opuestas para balancear los momentos y producir el movimiento de guiñada necesario (rotación respecto de un eje vertical “yaw”)[27; 3; 26]. El

ángulo de guiñada (yaw) se obtiene aumentando o disminuyendo la velocidad de los motores que giran en sentido de las manecillas del reloj, dependiendo del ángulo de dirección deseado.

La dirección de movimiento acorde con el plano horizontal depende del sentido del ángulo de guiñada y los ángulos de inclinación (cabeceo y alabeo), de si estos son positivos o negativos.

Las ecuaciones que describen la altitud y el sentido del movimiento del helicóptero tetra- rotor son básicamente las de un cuerpo r´ıgido en rotación con seis grados de libertad. Existen

(28)

dos marcos de referencia principales (véase Figura 2.5): el marco de referencia fijo a tierra Eâ(0â,−→

e^a₁,−→ e^a₂,−→

e^a₃) tal que−→

e^a₃ denota la direcci´on vertical desde la tierra y el marco de referencia del cuerpo fijo al centro de masa del tetra-rotor E^b(0^b,−→

e^b₁,−→ e^b₂,−→

e^b₃)[27].

La posición absoluta del tetra-rotor es descrito por X = [x0, y0, z0]^T y su postura respecto al marco de referencia por los ángulos de Euler Θ = [ψ, θ, φ]^T [27; 3; 26], utilizado según la convención de aeronáutica. Los ángulos de postura son llamados respectivamente ángulo guiñada (ψ rotación alrededor del eje z), ángulo cabeceo (θ rotación alrededor del eje y) y

ángulo alabeo o rolido (φ rotación alrededor del eje x). El vector V = [u, v, w]^T ∈ E^b denota la velocidad lineal y Ω = [p, q, r]^T ∈ E^b denota la velocidad angular de la armadura del helicóptero expresada en el marco fijo del cuerpo. La relación entre los vectores de velocidad (V, Ω) y ( ˙X, ˙Θ) está dada por [27]:





X = R(Θ)V˙ Ω = M (Θ) ˙Θ

(2.27)

donde R(Θ) y M (Θ) son respectivamente la matriz de velocidad de rotación y la matriz de velocidad de transformación entre Eâ y E^b. Por lo que las ecuaciones contenidas en (2.27) corresponden a la cinemática del modelo.

2.2.1. Matriz de rotaci´ on y de transformaci´ on

La matriz de velocidad de rotación se obtiene de la rotación del marco de referencia a tierra Eâ con respecto al marco de referencia del cuerpo E^b (véase Figura 2.6), tal que [1]:

R(Θ) = Rx(φ)Ry(θ)Rz(ψ), (2.28)

donde las matrices básicas de rotación están dadas por [1]

Rx(φ) =







1 0 0

0 cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ





, Ry(θ) =







cos θ 0 sin θ

0 1 0

− sin θ 0 cos θ





, Rz(ψ) =







cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0

0 0 1





.

(2.29)

(29)

A partir de estas matrices se obtiene

R(Θ) = R_x(φ)R_y(θ)R_z(ψ) =







CψCθ −SψCφ + CψSθSφ SψSφ + CψSθCφ SψCθ CψCφ + SψSθSφ −CψSφ + SψSθCφ

−Sθ CθSφ CθCφ





 .

(2.30)

donde las abreviaturas S(·) y C(·) denotan respectivamente sin(·) y cos(·).

La relaci´on entre el vector de velocidad angular, [p, q, r]^T y la tasa de cambio de los

ángulos de Euler, [ ˙ψ, ˙θ, ˙φ]^T, se determinada resolviendo la estimación de Euler en el marco de las coordenadas fijas al cuerpo [20]. Esta velocidad angular está dada por:

Ω = R_x(φ)^TR_y(θ)^T





 0 0 ψ˙





 + R^x(φ)^T





 0

˙θ 0





 +







˙φ 0 0





 (2.31)

por lo que [17; 20; 27]:

M (Θ) =







−Sθ 0 1

CθSφ Cφ 0

CθCφ −Sφ 0





 . (2.32)

Podemos decir que ˙R(Θ) = R(Θ)S(Ω) donde S(Ω) denota una matriz antisimétrica tal que S(Ω)v = Ω × v es el producto cruz del vector Ω con cualquier vector v ∈ IR³. En otras palabras, para un vector dado Ω, la matriz antisimétrica S(Ω) está dada por [26]:

S(Ω) =







0 −Ω3 Ω2

Ω₃ 0 −Ω₁

−Ω₂ Ω₁ 0





 . (2.33)

La derivada de (2.27) con respecto al tiempo resulta en











X = R(Θ) ˙¨ V + ˙R(Θ)V = R(Θ) ˙V + R(Θ)S(Ω)V

= R(Θ)( ˙V + Ω × V )

˙Ω = M(Θ) ¨Θ +³

∂M(Θ)

∂φ ˙φ + ^∂M(Θ)

∂θ ˙θ´

˙Θ.

(2.34)

(30)

Tabla 2.1: Efectos f´ısicos actuando sobre el quadrotor expresados en el marco de referencia fijo

Modelo Fuente

F_prop= −P₄

i=1F_ie₃ T_prop =



 d(F₂ − F₄) d(F₁ − F₃)

c(F₁− F₂+ F₃− F₄)



 Sistema de propulsi´on F_aero = A_F(U)

T_aero= A_T(U) Efecto aerodin´amico F_grav = mgR(Θ)^Te₃ Efecto gravitacional

Utilizando las leyes de Newton en el marco de referencia E^b, observamos que el tetra-rotor esta sujeto a las fuerzas desarrollados en el epicentro P

F_exty los momentosP

T_extaplicados sobre el epicentro [26; 27], es decir :





PFext = m ˙V + Ω × (mV ) PT_ext = J ˙Ω + Ω × (JΩ)

(2.35)

donde m y J = diag[I_x, I_y, I_z] son la masa y la matriz de inercia total del helic´optero, respectivamente; P

F_ext y P

T_ext incluyen las fuerzas/torques externos desarrollados en el epicentro del quadrotor acorde con la direcci´on del marco de referencia E^b, tal que [27]:





PFext= Fprop+ Faero+ Fgrav

PT_ext= T_prop+ T_aero

(2.36)

donde las fuerzas F_prop, F_aero, F_grav y los torques T_prop, T_aero son explicados en la Tabla 2.1 con e3 = [0, 0, 1]^T; g es la gravedad; AF(U) = [Ax(U), Ay(U), Az(U)]^T, AT(U) = [A_p(U), A_q(U), A_r(U)]^T son dos funciones de vectores no lineales, las cuales representan re- spectivamente las fuerzas aerodin´amicas y torques; d es la distancia del centro de masa a los ejes del rotor y c > 0 es el factor de fricci´on [27].

Las funciones aerodinámicas Ai(U) son altamente no lineales y dependen de numerosas variables fisicas como ángulo entre la velocidad del aire y el marco fijo al armazón y la forma geométrica del helicóptero. En este trabajo, asumimos que AF(U) = Kt(V − Vair)

(31)

y A_T(U) = K_r(Ω − Ω_air) donde {V_air, Ω_air} son las velocidades del aire de translación y rotación acorde con el marco de referencia E^b y {K_t, K_r} son las dos matrices diagonales aerodinámicas. Utilizando las ecuaciones dinámicas de rotación del quadrotor (2.35) y (2.36), expresadas en el marco de referencia Eâ, nos queda [27]:











X =¨ _m¹R(Θ)[F_prop+ A_F(U)] + ge₃ Θ = (JM (Θ))¨ ⁻¹[T_prop− J(^∂M(Θ)

∂φ ˙φ +^∂M(Θ)

∂θ ˙θ) ˙Θ + A_T(U)

−(M (Θ) ˙Θ) × (JM (Θ) ˙Θ)]

(2.37)

Ahora definiremos las variables utilizadas en la Tabla 2.1, donde d es la distancia del centro de masa a los rotores. El empuje resultante de los cuatro rotores u₁ es definido en [2; 3] como:

u₁ = (F₁+ F₂ + F₃+ F₄) (2.38)

u₂ es la diferencia de empuje entre el rotor izquierdo y el rotor derecho, definido como:

u₂ = d(F₄− F₂) (2.39)

u₃ es la diferencia de empuje entre el rotor frontal y el rotor trasero, definido como:

u₃ = d(F₃− F₁) (2.40)

u₄ es la diferencia de torque entre los dos rotores que giran en sentido de las manecillas del reloj y los dos rotores que giran en contra del sentido de las manecilla del reloj, definido como:

u₄ = c(F₁− F₂+ F₃− F₄) (2.41) c es el factor de escalado fuerza-momento. Cada rotor experimenta empuje y torque. Por lo que se puede mostrar que el empuje y torque son proporcionales al cuadrado de la velocidad angular del eje del rotor [28]. Asumiendo que los motores eléctricos son controlados por velocidad, entonces (u₁, u₂, u₃, u₄) pueden ser vistos como entradas de control. Las señales de control reales (u1, u2, u3, u4) han sido reemplazadas por (u1, u2, u3, u4) [2; 3] para evitar singularidades en las matrices de transformación (las cuales estan compuestas por derivadas

(32)

de Lie) cuando se utiliza linealización exacta. En este caso u₁ ha sido retardado por un doble integrador. Las otras señales de control permanecerán sin ser cambiadas:

u₁ = ζ; ˙ζ = ξ; ˙ξ = u₁ u₂ = u₂

u₃ = u₃ u₄ = u₄.

(2.42)

El sistema extendido obtenido es descrito por ecuaciones de espacio de estado de la forma [2; 3]:

˙x = f (x) +P₄

i=1g_i(x)u_i y = h(x)

(2.43)

donde:

x = (x0, y0, z0, ψ, θ, φ, ˙x0, ˙y0, ˙z0, ζ, ξ, p, q, r)^T y = (y1, y2, y3, y4)^T = (x0, y0, z0, ψ)^T

(2.44)

(33)

f (x) =







˙ x₀

˙ y₀

˙ z₀

qSφS_eθ + rCφS_eθ qCφ − rSφ p + qSφT θ + rCφT θ

Ax

m + g₁⁷(ψ, θ, φ)ζ

Ay

m + g₁⁸(ψ, θ, φ)ζ

Az

m + g + g₁⁹(ψ, θ, φ)ζ ξ

0

Iy−Iz

Ix qr + ^A_I_x^p

Iz−Ix

Iy pr +^A_I_y^q

Ix−Iy

Iz pq + ^A_I_z^r







(2.45)

con 





g₁⁷ = −_m¹(CφCψSθ + SφSψ) g₁⁸ = −_m¹(CφSθSψ − CψSφ) g₁⁹ = −_m¹(CθCφ)





 (2.46)

y:

g₁(x) = col(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) g₂(x) = col(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,_I^d_x, 0, 0) g₂(x) = col(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, _I^d

y, 0) g₂(x) = col(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,_I¹_z).

(2.47)

(34)

x e₁^a

(Yaw) g

w r

q v

(Roll) u (Pitch)

p F₁

d

F₂ F₃

F₄

marco fijo al cuerpo

e₁^b e₂^b

e₃^b 0^b E^b

0^a E^a

marco fijo a tierra

z y

e₂^a e₃^a

Figura 2.5: Marco fijo al cuerpo y marco fijo a tierra para el helic´optero de cuatro rotores.

(35)

x_a

x_b ψ θ

y_a y_b ψ

φ φ θ

z_a

z_b

Figura 2.6: Ilustración de como la rotación entre dos marcos se puede interpretar en forma de los ángulos de Euler.

(36)

Cap´ıtulo 3

Control por retroalimentaci´ on de estados

En el presente cap´ıtulo se resolverá el problema de estabilización de postura de hel- icópteros tetra-rotores considerando que todas las variables se disponen para retroali- mentación. Se propone la técnica de modos deslizantes de orden superior para la solución del problema debido a la propiedad de robustez, atenuación de los efectos de altas frecuencias que son indeseables en el helicóptero tetra-rotor y porque garantizan convergencia en tiempo finito. El incremento en el número de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden [31].

3.1. Pre´ ambulo

3.1.1. Objetivo de control

Encontrar un controlador u tal que el sistema en lazo cerrado tengo un equilibrio asint´oticamente estable, es decir

t→∞l´ım kek = l´ım

t→∞ky(t) − y_d(t)k = 0, (3.1)

donde y(t) = (y₁, y₂, y₃, y₄)^T = (x₀, y₀, z₀, ψ)^T es la salida real del sistema y y_d(t) = (x_0d, y_0d, z_0d, ψ_d)^T es la salida deseada del sistema. Las ecuaciones del sistema estan dadas en ecuaci´on (2.43).

(37)

3.1.2. Control por linealizaci´ on entrada-salida

Previo a la estrategia del diseño del controlador se aplicará el criterio de linealización entrada-salida [19] para ello consideresé, el sistema no lineal

˙x = f (x) +P₄

i=1g_i(x)u_i y = h(x)

(3.2)

donde x ∈ IRⁿ, es el vector de estados, u ∈ IR^m es la entrada de control, y ∈ IR^p es la salida, f ∈ IRⁿ, g ∈ IR^n×m y h ∈ IR^p son funciones continuamente diferenciables. Diferenciando la salida con respecto al tiempo se obtiene:

˙y = ^∂h_∂xf (x) + ^∂h_∂xg(x)u : = L_fh(x) + L_gh(x)u

(3.3)

Lfh(x) : IRⁿ 7→ IR y Lgh(x) : IRⁿ 7→ IR representan las derivadas de Lie de h con respecto a f y g, respectivamente. De esta manera, L_fh(x) es una función que da la razón de cambio de h a lo largo del campo vectorial f ; de igual manera para Lgh(x). Si Lgh(x) es diferente de cero entonces la ley de retroalimentación de estados está dada por

u = 1

L_gh(x)(−L_fh(x) + v) (3.4)

entonces sustituyendo (3.4) en (3.3) se llega a

˙y = v (3.5)

donde v es una funci´on que estabiliza a y de manera exponencial. En el caso que L_gh(x) ≡ 0, significando que L_gh(x) = 0 ∀x ∈ U, se diferencia la ecuaci´on (3.3) una vez mas

¨

y = ^∂L_∂x^f^hf (x) + ^∂L_∂x^f^hg(x)u : = L²_fh(x) + L_gL_fh(x)u

(3.6)

(38)

entonces la ley de control u esta dada por

u = 1

L_gL_fh(x)(−L²_fh(x) + v) (3.7) y la ecuaci´on en lazo cerrado resulta en

¨

y = v. (3.8)

De manera general, si y es el n´umero entero m´s peque˜no para el cual L_gLⁱ_fh(x) ≡ 0 sobre U para i = 0, . . . , γ − 2 y L_gL^γ−1_f h(x) es diferente de cero U, entonces la ley de control esta dada por

u = 1

L_gL^γ−1_f h(x)(−L^γ_fh(x) + v) (3.9) produciendo el γ-´esimo sistema lineal de la entrada v a la salida y:

y^(γ) = v. (3.10)

3.2. Soluci´ on al problema de estabilizaci´ on

3.2.1. Estructura del controlador interno

Consid´erese la salida y = (x₀, y₀, z₀, ψ)^T, entonces

(y^(r₁¹⁾, y₂^(r²⁾, y₃^(r³⁾, y^(r₄⁴⁾)^T = b(x) + ∆(x)¯u + w (3.11)

donde w ∈ IR⁴ es el vector de perturbaciones, dado por

w =



M₁η₁ + M₂η₂ M₃η₂



 (3.12)

M₁ ∈ IR^3×3, M₂ ∈ IR^3×3, M₃ ∈ IR^1×3, η₁ ∈ IR³ y η₂ ∈ IR³ las componentes de cada elemento se encuentran en la ec. (3.35). {r₁, r₂, r₃, r₄} es el vector de grado relativo [2] dado por:

r₁ = r₂ = r₃ = 4; r₄ = 2 (3.13)