Título: División Simple y Justa del Cuadrado Unitario

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDR´ ES FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES

CARRERA DE MATEM ´ ATICA

T´ıtulo: Divisi´ on Simple y Justa del Cuadrado Unitario

Proyecto de Grado para la obtenci´ on del Grado de Licenciatura (Matem´ atica Aplicada)

Autora: Univ. Carla Maldonado Ivankovic [email protected]

Tutor: Dr. Victor Hugo Patty Yujra Docente Carrera de Matem´ atica - UMSA

[email protected] La Paz - Bolivia

Diciembre 2021

.

A mis padres, Esther Luz Ivankovic Pe˜narrieta y Juan Carlos Maldonado Rueda. .

Agradecimientos

Agradezco a mis padres, Esther Ivankovic y Juan Carlos Maldonado por su apoyo in- condicional a lo largo de toda mi formaci´on, sin el que no habr´ıa sido posible concluir con esta segunda carrera. Agradezco igualmente a mi tutor, el Dr. Victor Patty por su espl´endida orientaci´on en la elaboraci´on de este documento y a los profesores, el Dr. Porfirio Su˜nagua y el Lic. Miguel Yucra por sus sugerencias y recomendaciones.

Finalmente, agradezco al plantel docente de la carrera de matem´atica por su compro- miso y dedicaci´on, a quienes debo mi formaci´on y a la misma carrera de matem´aticas por su apoyo constante a mis investigaciones.

Resumen

El problema de divisi´on justa fue desarrollado matem´aticamente a partir del a˜no 1947 con la introducci´on del primer algoritmo sobre divisi´on justa. Este desarrollo continua hasta la actualidad. En este sentido, Jerzy Legut public´o a finales del 2019 el art´ıculo Simple Fair Divisi´on of a Square en el Journal of Mathematical Economics. El pre- sente documento describe y desarrolla los principales resultados de este art´ıculo, en el que se emplean conceptos de probabilidad y donde juega un papel importante el Teorema de Borsuk Ulam. Tambi´en se presentar´a una aplicaci´on al caso de la distri- buci´on de responsabilidades medioambientales a empresas contaminantes de oc´eanos con residuos pl´asticos. Para tal efecto, se realizar´an peque˜nas modificaciones a los resultados de Legut.

Palabras Clave: Teorema de Borsuk Ulam, divisi´on equitativa, divisi´on justa pro- porcional.

´ Indice general

Dedicatoria i

Agradecimientos ii

Resumen iii

Introducci´on 1

1. Espacios de Medida 3

1.1. σ - ´algebras y Funciones de Medida . . . 3

1.2. Medidas y Probabilidad . . . 7

1.3. Funciones de Densidad . . . 9

2. Teorema de Borsuk Ulam 17 2.1. Complejos Geom´etricos Simpliciales y Subdivisi´on Baric´entrica . . . . 18

2.1.1. Triangulaci´on . . . 24

2.1.2. Subdivisi´on Baric´entrica . . . 27

2.2. Teorema de Borsuk Ulam . . . 33

2.3. Lema de Fan . . . 41

2.4. Teorema de Brouwer . . . 48

2.5. Lema de Sperner . . . 52

3. Divisi´on Simple y Justa del Cuadrado Unitario 57 3.1. Introducci´on . . . 57

3.1.1. Divisi´on justa de un pastel . . . 58

3.1.2. Notaci´on . . . 69

3.1.3. Criterios de Divisi´on Justa . . . 70

3.2. Divisi´on simple y justa del intervalo unitario . . . 72

3.3. Divisi´on simple y justa del cuadrado unitario . . . 75

3.3.1. Extensiones . . . 97

4. Aplicaci´on: Contaminaci´on Pl´astica 100

Conclusiones 115

Ap´endice 115

A. Teorema de Borsuk (caso uni - dimesional) 116

B. Teorema de Brouwer v´ıa Lema de Sperner 117

Introducci´ on

El problema de la divisi´on justa se remonta hasta la antiguedad y contin´ua hasta nuestros d´ıas. Cuestiones tan simples como la divisi´on de un pastel, hasta asuntos m´as pol´emicos como el establecimiento de l´ımites fronterizos entre naciones o la re- partici´on de una herencia, tienen que ver con este problema. Brams y Taylor en [2] le otorgan or´ıgenes b´ıblicos en la historia de Ca´ın y Abel. Los celos de Ca´ın que provo- caron la muerte de Abel fueron causados por lo que Ca´ın consider´o un trato injusto de parte de Dios, quien daba mayor atenci´on a la ofrenda de Abel ignorando la suya.

Sin embargo, si bien este problema es bastante antiguo, fue considerado por la ma- tem´atica reci´en a partir de 1947, con la introducci´on del primer algoritmo presentado por la escuela polaca de matem´aticas en la reuni´on de la Sociedad Econom´etrica en Washington. Este trabajo fue estudiado y descrito por Knaster en [3] en 1946. A par- tir de entonces, el problema de la divisi´on form´o parte del inter´es de la comunidad matem´atica, mostrando desarrollos tanto en las diferentes formas en las que puede entenderse la justicia como en la costrucci´on de algoritmos que permiten conseguir divisiones que cumplan con estos criterios.

Estos desarrollos contin´uan en la actualidad, vea por ejemplo los trabajos de Aumann y Dombb en [4] o de Legut en [5] que prueban la existencia de una divisi´on simple equitativa del intervalo (0, 1) o tambi´en los trabajos de Nicol´o et al. en [6] y de Segal - Halevi et al. en [7], que obtienen algoritmos para la construcci´on de particiones que cumplen con el criterio de divisi´on justa del cuadrado (0, 1)².

Los m´etodos que se obtienen de estos desarrollos tienen aplicaciones en varias ´areas, especialmente de las ciencias sociales, tales como el derecho o la econom´ıa, mediante por ejemplo el establecimiento de acuerdos de divorcio y la repartici´on de acciones entre propietarios de una empresa.

En este sentido, y continuando con estos desarrollos, en el Journal of Mathematical Economics fue publicado a finales del 2019 el art´ıculo [8] Simple fair division of a square elaborado por Jerzy Legut de la Facultad de Matem´atica Pura y Aplicada de la Universidad de Wroclaw de Ciencia y Tecnolog´ıa de Polonia. En este art´ıculo se presentan tres resultados importantes. El primero es una extensi´on del resultado pre- sentado por Ch`eze en [13] sobre la existencia de una divisi´on equitativa del intervalo

unitario [0, 1]. Legut extiende ese resultado al caso bidimensional, considerando ya no el intervalo unitario, sino el cuadrado unitario (0, 1)².

La segunda contribuci´on que realiza Legut en [8] es el desarrollo de un algoritmo que permite la obtenci´on de una divisi´on simple proporcional de (0, 1)², demostrando adem´as la existencia de este tipo de divisi´on para el conjunto (0, 1)². Finalmente, el tercer resultado es la demostraci´on de la existencia de una divisi´on equitativa y proporcional del cuadrado unitario.

El objetivo general del proyecto de grado es describir y desarrollar los resultados centrales del trabajo de Jerzy Legut sobre la divisi´on simple y justa de un cuadrado descritos en el p´arrafo precedente.

En este sentido, el presente proyecto de grado est´a organizado de la siguiente manera:

en el Cap´ıtulo 1 se realizar´a la revisi´on te´orica de ciertos conceptos fundamentales sobre Teor´ıa de la Medida, desde la definici´on de una σ− ´algebra hasta la definici´on de funci´on de densidad, siendo esta ´ultima de gran utilidad dado que ser´a a trav´es de funciones de densidad que los jugadores medir´an el valor que le asignar´an a cada elemento de la divisi´on de X = (0, 1)². Para esta revisi´on se usar´an los textos de Bartle en [10] y de Garc´ıa en [11].

En el Cap´ıtulo 2 se realizar´a la revisi´on de ciertos resultados fundamentales de To- polog´ıa Algebr´aica. En concreto, se demostrar´an teoremas sobre puntos fijos como el Teorema de Borsuk - Ulam, el Lema de Fan, el Teorema de Brouwer y el Lema de Spernner, siendo el Teorema de Borsuk - Ulam de gran utilidad para demostrar el pri- mer resultado del trabajo de Legut. La referencia de esta parte es el texto de Jaspers en [12]. En el Cap´ıtulo 3 se har´a la revisi´on de la teor´ıa de la divisi´on empleando los libros de Brams [2] y Robertson [9], donde adem´as de desarrollar los distintos criterios de divisi´on justa existentes, se demostrar´a el teorema de existencia de divisi´on justa simple y equitativa del intervalo (0, 1) desarrollado por Ch`eze en [13] y se describir´an y demostrar´an los tres resultados de Legut [8] antes mencionados.

En el Cap´ıtulo 4, se realizar´a un ejercicio de aplicaci´on del algoritmo elaborado por Legut en [8] al caso del problema de contaminaci´on pl´astica en oc´eanos, en donde se buscar´a repartir el ´area mar´ıtima contaminada de todo el planeta entre las principales empresas que contaminan el oc´eano con la producci´on de botellas pl´asticas. Para tal efecto, se demostrar´an los Teoremas demostrados por Legut en [8] para el caso dual;

es decir, para el caso en el que se consideren tareas para ser repartidas en lugar de bienes deseados. Los datos necesarios para el ejercicio se encuentran en los atlas [19], [20], [21] y [22].

Por ´ultimo, se presentar´an dos Ap´endices en donde se tratar´a la demostraci´on del Teo- rema de Borsuk-Ulam para el caso uni-dimensional y la demostraci´on del Teorema de Brouwer utilizando el Lema de Spernner.

Cap´ıtulo 1

Espacios de Medida

En el presente cap´ıtulo se expondr´an inicialmente definiciones y propiedades b´asicas de σ- ´algebras y funciones de medida. Dadas estas definiciones, en la segunda parte del cap´ıtulo se definir´an la Medida y la funci´on de Probabilidad. Finalmente, en la tercera parte se definir´a la funci´on de densidad la cual, junto con las funciones definidas en la segunda secci´on del cap´ıtulo, se emplear´an por los agentes para medir la valoraci´on de estos sobre cada objeto a ser repartido en la divisi´on¹. Para este cap´ıtulo las referencias son Bartle [10] y Garc´ıa [11]. Lo que se pretende es dar nociones preliminares que ser´an ´utiles para desarrollar los resultados de Legut en [8].

1.1. σ - ´ algebras y Funciones de Medida

Definici´on 1. Dado un conjunto X no vac´ıo, se dice que una familia Ω de subcon- juntos de X es una σ - ´algebra si cumple lo siguiente:

1. ∅, X ∈ Ω

2. Si A ∈ Ω, entonces C(A) = X − A ∈ Ω

3. Si (A_n) es una sucesi´on de conjuntos en Ω, entonces

∞

S

n=1

A_n∈ Ω

Ejemplo 1.1. Consideremos el conjunto X = {A, B, C}. Los siguientes son σ -

´

algebras de X:

Ω₁ = {{A, B, C}, ∅},

Ω₂ = {{A}, {B, C}, {A, B, C}, ∅},

Ω₃ = {{A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}, ∅},

1Los detalles sobre este punto ser´an expuestos con detalle en el Cap´ıtulo 3.

debido a que cumplen con las tres condiciones mencionadas en la definici´on², mientras que las siguientes familias de conjuntos:

Γ₁ = {{A}, {A, B, C}, ∅}, Γ₂ = {{A}, {A, B}, {A, B, C}},

no lo son, ya que en el primer caso, el complemento de A, C(A) = {A, B} no pertenece a Γ₁ y en el segundo caso ∅ 6∈ Γ₂. Las σ - ´algebras Ω₁ y Ω₃ son σ - ´algebras especiales que se definir´an m´as adelante.

Definici´on 2. El par ordenado (X, Ω) que consiste en un conjunto cualquiera X diferente del conjunto vac´ıo y un σ - ´algebra Ω de subconjuntos de X se denomina espacio medible y cada elemento de Ω se denomina conjunto Ω - medible o conjunto medible.

En este sentido, en base al ejemplo anterior los pares (X, Ω₁), (X, Ω₂) y (X, Ω₃) son espacios medibles, y los suconjuntos {A} y {B, C} son conjuntos medibles de Ω₂y Ω₃.

Observaci´on 1. Sea (A_n) una sucesi´on de conjuntos en Ω, tenemos

∞

T

n=1

A_n ∈ Ω. Vea- mos:

Como (A_n) es una sucesi´on, (C(A_n)) tambi´en ser´a una sucesi´on. Por la tercera con- dici´on de la Definici´on 1, la uni´on de los elementos de esa sucesi´on,

∞

S

n=1

C(A_n), per- tenecer´a a Ω y por la segunda condici´on de esta misma definici´on, su complemento tambi´en pertenecer´a a Ω. Es decir: C(

∞

S

n=1

C(A_n)) ∈ Ω. Por leyes de De Morgan:

C(

∞

[

n=1

C(A_n)) =

∞

\

n=1

C(C(A_n)) =

∞

\

n=1

(A_n)

Por tanto, la intersecci´on de los elementos de (A_n) pertenecer´a a Ω.

2N´otese que para el caso de Ω2 la tercera condici´on de la Definici´on 1 se cumple si se toman las siguientes sucesiones:

Las sucesiones constantes:

(A₁) = {A}, {A}, {A}, {A}, · · · tal que

∞

S

i=1

(A_i) = {A} ∈ Ω₂ (A2) = {B, C}, {B, C}, {B, C}, {B, C}, · · · tal que

∞

S

i=1

(Ai) = {B, C} ∈ Ω2

o la sucesi´on:

(A3) = {A}, {B, C}, {A}, {B, C}, · · · tal que

∞

S

i=1

(Ai) = {A, B, C} ∈ Ω2

y en general, se cumple si se toma cualquier otra sucesi´on de elementos de Ω2.

Ejemplo 1.2 (σ-´algebra discreta). Sea X cualquier conjunto distinto de vac´ıo y Ω = P (X) el conjunto de partes de X (familia de todos los subconjuntos de X), Ω es una σ-´algebra. Un ejemplo particular de σ-´algebra discreta fu´e Ω₃ del ejemplo 1.1.

Ejemplo 1.3 (σ-´algebra trivial). Sea Ω = {X, ∅}.

Es la m´as peque˜na σ-´algebra que puede considerarse en X, ya que dado un conjunto X, si consideramos todas las σ-´algebras que pueden construirse a partir de X, la interseci´on de todas esas σ-´algebras ser´a el σ-´algebra trivial, ya que por definici´on, todas deben contener a X y ∅.

Antes de pasar al siguiente ejemplo, se define a continuaci´on el σ-´algebra de Borel:

Definici´on 3. Dado X = Rⁿ, el σ-´algebra engendrada por los int´ervalos n-dimensionales de la forma {x ∈ Rⁿ : x_i < a} para alg´un a ∈ R se denomina σ-´algebra de Borel (B). Los elementos de B se denominan conjuntos de Borel Medible, Conjuntos de Borel o Borelianos.

Es decir, el σ-´algebra de Borel es el menor σ-´algebra que contiene a todos los int´erva- los n-dimensionales mencionados en la definici´on 3. A continuaci´on, se presenta un ejemplo para el caso de n = 1:

Ejemplo 1.4 (σ- ´Algebra de Borel). Sea X = R, el σ-´algebra de Borel (B) es el σ-´algebra engendrado por todos los intervalos de la forma (−∞, a).

Por definici´on de σ-´algebra, todos los siguientes subconjuntos de R son tambi´en Bo- relianos:

1. (−∞, a)

2. [a, +∞) = C(−∞, a) 3. (−∞, a] =

∞

T

n=1

(−∞, a + _n¹) 4. (a, +∞) = C((−∞, a])

5. (a, b) = (−∞, b) − (−∞, a] = (−∞, b) ∩ C((−∞, a]) = (−∞, b) ∩ (a, +∞) 6. [a, b) = (−∞, b) − (−∞, a) = (−∞, b) ∩ C((−∞, a)) = (−∞, b) ∩ ([a, +∞)) 7. (a, b] = (−∞, b] − (−∞, a] = (−∞, b] ∩ C((−∞, a]) = (−∞, b] ∩ (a, +∞) 8. [a, b] = (−∞, b] − (−∞, a) = (−∞, b] ∩ C((−∞, a)) = (−∞, b] ∩ [a, +∞) 9. {a} = (−∞, a] − (−∞, a) = (−∞, a] ∩ C((−∞, a)) = (−∞, a] ∩ [a, +∞) 10. N =

∞

S

n=1

{n}

11. Z =

∞

S

−∞

{n}

12. Q =

∞

S

(n,m=−∞∧m6=0)

{_mⁿ} 13. C(Q): Irracionales

Vale la pena mencionar que existen subconjuntos en R que no son borelianos, y que de hecho existen tantos subconjuntos de R que no pertenecen a B como elementos tiene la recta real.³

Ejemplo 1.5 (σ - ´Algebra de Borel extendida). Al siguiente conjunto se denomina sistema extendido de n´umeros reales:

R = R ∪ {−∞, +∞} (1.1)

Si E es un conjunto de Borel de R, sean:

E₁ = E ∪ {−∞}

E₂ = E ∪ {+∞}

E3 = E ∪ {−∞, +∞}

y sea B la colecci´on de todos los conjuntos E, E₁, E₂, E₃ con E variando en B. Es claro observar que B es una σ-´algebra.

Definici´on 4. Sea X un espacio medible, la funci´on f : X → R se dice Ω - medible (o simplemente medible) si para todo α ∈ R, el conjunto {x ∈ X : f (x) > α} ∈ Ω.

Lema 1.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una funci´on f : Ω → R:

a) ∀α ∈ R, Aα = {x ∈ X : f (x) > α} ∈ Ω b) ∀α ∈ R, Bα = {x ∈ X : f (x) ≤ α} ∈ Ω c) ∀α ∈ R, Cα = {x ∈ X : f (x) ≥ α} ∈ Ω b) ∀α ∈ R, Dα = {x ∈ X : f (x) < α} ∈ Ω

Demostraci´on. Como A_α = C(B_α), entonces a) es equivalente a b). De la misma manera, como C_α = C(D_α), los incisos c) y d) son equivalentes. Por otro lado, si a) se cumple, entonces A_α−¹

n ∈ Ω, ∀n ∈ N y como Cα =

∞

T

n=1

A_α−¹

n por la Observaci´on 1, C_α∈ Ω y a) implica a c). Finalmente, como A_α =

∞

S

n=1

C_α+¹

n, por la tercera condici´on de la Definici´on 1, c) implica a a).

3Una construcci´on de subconjuntos de R que no son Borelianos la realiza Nicolas Lusin en su art´ıculo de investigaci´on en [15].

Ejemplo 1.6. Toda funci´on constante es medible. Veamos:

Si f : X → R tal que f (x) = c, ∀x ∈ X y α ≥ c, entonces:

{x ∈ X : f (x) > α} = ∅;

mientras que si α < c, entonces:

{x ∈ X : f (x) > α} = X.

Como ∅ y X pertenecen a cualquier σ - ´algebra de X, no importa que conjunto no vac´ıo X se considere, ni que σ - ´algebra en X se tome, toda funci´on constante definida sobre X ser´a una funci´on medible.

Ejemplo 1.7. Si X = R y Ω es el σ-´algebra de Borel B, entonces cualquier funci´on continua f : R → R es medible. Veamos:

Si f es continua, entonces {x ∈ R : f (x) > α} es un conjunto abierto en R y por tanto, es la uni´on de una sucesi´on de intervalos abiertos. As´ı, pertenece a B y f es una funci´on medible.

Una funci´on de variable real extendida sobre X, f : X → R es medible en el caso en que el conjunto {x ∈ X : f (x) > α} ∈ Ω para todo α ∈ R. La colecci´on de todas las funciones Ω - medibles reales extendidas sobre Ω se denota por M (X, Ω).

1.2. Medidas y Probabilidad

Definici´on 5. Una medida es una funci´on µ : Ω → R de variable real extendida definida sobre una σ-´algebra Ω de subconjuntos de X tal que:

i) µ(∅) = 0,

ii) µ(E) ≥ 0, ∀ E ∈ Ω,

iii) µ es contable aditiva; es decir, si (E_n) es una sucesi´on disjunta de conjuntos en Ω, entonces:

µ

∞

[

n=1

En

!

=

∞

X

n=1

µ(En).

Observaci´on 2. Si una medida µ no toma valores en +∞ se dice que µ es finita.

Definici´on 6. Si existe una sucesi´on (E_n) de conjuntos en Ω con X =

∞

S

n=1

E_ntal que µ(E_n) < +∞ para todo n, entonces se dice que µ es σ - finita.

Ejemplo 1.8. Sea X un conjunto no vac´ıo y Ω la σ - ´algebra discreta de X. Sea µ₁ definida en Ω por:

µ₁(E) = 0, ∀E ∈ Ω y sea µ2 definida por:

µ₂(∅) = 0, µ₂(E) = +∞ si E 6= ∅ µ₁ y µ₂ son medidas.

Ejemplo 1.9. Sea (X, Ω) definido como en el Ejemplo 1.8, y sea p un elemento fijo de X. Dado un E ∈ Ω, se define µ como:

µ(E) = 0, si p /∈ E, 1, si p ∈ E

µ es una medida finita, y se la denomina medida unitaria concentrada en p.

Ejemplo 1.10. Sea X = N = {1, 2, 3, · · · } y sea Ω el σ - ´algebra discreta de N. Si E ∈ Ω, se define µ(E) como el n´umero de elementos en E si E es un conjunto finito y +∞ si E es un conjunto infinito. µ as´ı definida es una medida denominada medida de conteo sobre N.

Notese que µ es no finita, ya que toma valores en +∞ para ciertos conjuntos medibles de Ω, como por ejemplo el conjunto de n´umeros pares. Sin embargo, µ es σ - finita, ya que existir´an sucesiones (E_n) de elementos que cubriran N tales que µ(Ei) 6= +∞, como por ejemplo, la sucesi´on que consiste de conjuntos unitarios disjuntos cuyos elementos son cada uno de los n´umeros naturales.

Ejemplo 1.11. Si X = R y Ω = B el σ- ´algebra de Borel, existe la medida λ : B → R tal que si E es un intervalo no vac´ıo (a, b) entonces:

λ(E) = b − a

A esta medida se la denomina medida de Lebesgue o de Borel. N´otese que λ no es una medida finita, pero si es σ - finita. No es finita ya que existen intervalos como E = (a, +∞) para los que λ(E) = ∞; sin embargo es σ - finita, ya que el conjunto de n´umeros reales puede cubrirse con intervalos acotados abiertos disjuntos.

Lema 1.2. Sea µ una medida definida sobre una σ - ´algebra Ω. Si E, F ∈ Ω y E ⊆ F , entonces µ(E) ≤ µ(F ). Si µ(E) < +∞, entonces µ(F − E) = µ(F ) − µ(E).

Demostraci´on. Como F = E ∪ (F − E) y E ∩ (F − E) = ∅, por ser la medida contablemente aditiva,

µ(F ) = µ(E) + µ(F − E), como µ(F − E) ≥ 0 se sigue que µ(F ) ≥ µ(E).

Si µ(E) < +∞, restando este t´ermino a ambos lados de la ecuaci´on anterior:

µ(F ) − µ(E) = µ(F − E)

Un espacio de medida es una tripleta (X, Ω, µ) que consiste en una σ-´algebra Ω de X y una medida µ definida sobre Ω. En este sentido, de los Ejemplos 1.9, 1.10 y 1.11, (X, Ω, µ), (N, Ω, µ) y (R, B, λ) son espacios de medida respectivamente.

Definici´on 7. Sea (X, Ω) un espacio medible. Una funci´on P : Ω → [0, 1] es una medida de probabilidad si:

a) P (Ω) = 1

b) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ Ω c) P

_∞ S

n=1

An



=P∞

n=1P (An), cuando An∩ Am = ∅, si n 6= m La terna (X, Ω, P ) se denomina espacio de probabilidad.

Ejemplo 1.12 (Probabilidad de Dirac). Si (X, Ω) es un espacio medible y ω ∈ X, la funci´on de conjuntos εω definida para A ∈ Ω por:

ε_ω(A) = 1, si ω ∈ A, 0, si ω /∈ A

Es una probabilidad que se denominar´a probabilidad de Dirac en ω, donde la terna (X, Ω, ε_ω) es un espacio de probabilidad.

1.3. Funciones de Densidad

Previamente se dar´an las siguientes nociones: Una funci´on medible f : X → R definida sobre un espacio medible (X, Ω) es discreta cuando el conjunto de valores que esta toma es un conjunto discreto, es decir, es un conjunto finito o numerable.

Ejemplo 1.13. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y se considera la σ - ´algebra discreta, las siguientes funciones medibles son discretas:

a) f (x) = x

La funci´on es discreta porque su conjunto de im´agenes es finito: {1, 2, 3, 4, 5}

b)

g(x) = 1, si x es par 0, si x es impar

El conjunto de im´agenes de esta funci´on se reduce a dos elementos: {0, 1}, por lo que es discreta.

c) h(x) = c, con c ∈ R

Su conjunto de im´agenes es el conjunto unitario {c}, por tanto es discreta.

Una funci´on medible f : X → R definida sobre un espacio medible (X, Ω) es continua cuando toma todos los valores dentro de un intervalo (a, b) ⊆ R.

Ejemplo 1.14. Sea X = (0, 1) y se considera el σ- ´algebra de Borel B, las siguientes funciones son medibles continuas:

a) f (x) = x.

El conjunto de im´agenes de esta funci´on es el intervalo (0, 1).

b) g(x) = ax + b, donde a y b pertenencen a los reales.

Su conjunto de im´agenes es el intervalo (b, a + b).

c) h(x) = ¹_x

El conjunto de im´agenes de h es el intervalo abierto (1, ∞).

Medida de probabilidad inducida

Dado un espacio medible (X, Ω) para cualquier intervalo (−∞, x] con x ∈ R, se puede obtener la imagen inversa bajo la variable aleatoria⁴ f ; es decir:

f⁻¹((−∞, x]) = {ω ∈ X : f (ω) ≤ x} ∈ Ω

Por tanto, puede aplicarse la medida de probabilidad P : Ω → [0, 1] a estas pre - im´agenes. As´ı, mediante la funci´on f puede trasladarse la medida de probabilidad P a intervalos de la forma (−∞, x].

Su notaci´on es Pf(·) y se denomina medida de probabilidad inducida por la variable aleatoria⁵. Se obtiene un nuevo espacio de probabilidad:

(R, B, P^f)

N´otese que la variable aleatoria f permite trasladarse del espacio medible (X, Ω) al espacio medible (R, B).

Ejemplo 1.15. Sea el conjunto X = {A, B} con la σ - ´algebra discreta. Def´ınase la siguiente variable aleatoria:

f (x) = 1, si x = A 0, si x = B Def´ınase tambi´en la siguiente funci´on de probabilidad:

4En un contexto probabilistico, la funci´on medible se denomina variable aleatoria.

5En un contexto probabil´ıstico, la medida de probabilidad inducida se denomina funci´on de distribuci´on.

P (ω) = ¹₂, para ω ∈ {{A}, {B}};

Se tiene:

a) P (f (x) ∈ [1, 2)) = P ({A}) = ¹₂ b) P (f (x) ∈ [2, 4]) = P (∅) = 0 c) P (f (x) ∈ [0, 1)) = P ({B}) = ¹₂ d) P (f (x) ≥ 0) = P (X) = 1

Ejemplo 1.16. Sea X = (−1, 1) × (−1, 1) = {(x, y) = −1 < x, y < 1} se define la σ - ´algebra Ω = {A ⊂ X : area(A)} < +∞.

Definimos tambi´en la siguiente medida de probabilidad:

P (A) = area(A) area(X) = 1

4area(A) Sean las funciones medibles:

f (x, y) = x ∈ (−1, 1) g(x, y) = y ∈ (−1, 1)

h(x, y) =p(x²+ y²) ∈ [0,√ 2)

Gr´aficamente, el conjunto X se representa mediante la figura 1.1.

Figura 1.1: X = (−1, 1) × (−1, 1)

En base a lo anterior, se calculan las siguientes medidas de probabilidad:

a) P (f (x) ≤ ¹₂) = ¹₄(2 −¹₂)(2) = ³₄

Figura 1.2: {f (x) ≤ ¹₂}

b) P (g(x) ∈ (a, b)) = ¹₄(2)(b − a)

Figura 1.3: {g(x) ∈ (a, b)}

c) P (h(x) ≤ r) = ¹₄πr²

Figura 1.4: {h(x) ≤ r}

Definici´on 8. Sea f : X → R variable aleatoria discreta que toma valores a0, a₁, a₂, · · · , la funci´on de probabilidad de f denotada por f_x : R → R se define como:

f (a) = P (f (x) = a), si a = a₀, a1, · · · 0, en otro caso Se denotar´a por:

p₀ =P (f (x) = a₀) p₁ =P (f (x) = a₁) p₂ =P (f (x) = a₂)

...

De tal manera que la funci´on de probabilidad es aquella que indica la probabilidad en los distintos valores que toma la variable aleatoria.

C´ alculo de la funci´ on de probabilidad

Sea A cualquier subconjunto de R, la probabilidad de que la variable aleatoria X : Ω → R

tome valores en A se calcula mediante la siguiente sumatoria:

P (X (x) ∈ A) =X

a∈A

f (a)

Demostraci´on. Como A ⊆ R y X es una variable aleatoria discreta, habr´a una can- tidad numerable de valores de X en A tal que:

X (x) ∈ A = {a₀, a₁, a₁, · · · , a_n, · · · }

Por la Definici´on 8, si a ∈ X (x), entonces f (a) = P (X (x) = a), por tanto:

P (X (x) ∈ A) = P (X (x) ∈ {a₀, a₁, a₂, · · · , a_n, · · · })

= P (X = a₀) + P (X = a₁) + P (X = a₂) + · · · + P (X = a_n) + · · ·

= f (a₀) + f (a₁) + f (a₂) + · · · + f (a_n) + · · ·

=X

a∈A

f (a)

Propiedad 1. f (a) ≥ 0, ∀a ∈ R

Demostraci´on. Por definici´on de funci´on de probabilidad:

Si a /∈ X (x), entonces f (a) = 0

Si a ∈ X (x), entonces f (a) = P (X (x) ∈ A) ≥ 0 La desigualdad del segundo caso se da por la Definici´on 7.

Propiedad 2. P

af (a) = 1 Demostraci´on.

X

a

f (a) = X

a /∈X (x)

f (a) + X

a∈X (x)

f (a)

= 0 + P (Ω)

= 1

Ejemplo 1.17. Sea la variable aleatoria X que tiene como codominio al conjunto N y sea la siguiente funci´on de probabilidad:

f (a) = (¹₂)^a, si a = 1, 2, 3, · · · 0, en otro caso Gr´aficamente, la funci´on se representa de la siguiente forma:

Figura 1.5: f (a) = (¹₂)^a

Ejemplo 1.18. Encontrar el valor de la constante c que haga que la siguiente funci´on sea de probabilidad:

f (a) = c · a, si a ∈ {0, 1, 2, 3}

0, en otro caso

Los valores que toma la variable aleatoria X son 0, 1, 2 y 3 con probabilidades:

f (0) = c · 0 = 0

f (1) = c · 1 = c f (2) = c · 2 = 2c f (3) = c · 3 = 3c

Por la Propiedad 2: 0 + c + 2c + 3c = 1 ⇒ 6c = 1 ⇒ c = ¹₆

Definici´on 9. Sea X : X → R una variable aleatoria continua. Decimos que la funci´on integrable y no negativa: f : R → R es la funci´on densidad de X si para cualquier intervalo [α, β] de R se cumple la siguiente igualdad:

P (X ∈ [α, β]) = Z β

α

f (a)da

Es decir, que la probabilidad de que la variable tome un valor dentro del intervalo [α, β] se calcula como el ´area bajo la funci´on f (a) en ese intervalo.

La funci´on de densidad muestra la forma en la que la probabilidad se distribuye sobre el conjunto de n´umeros reales. De manera an´aloga a la funci´on de probabilidad, la funci´on de densidad cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad 3. f (a) ≥ 0, ∀a ∈ R y R∞

−∞f (a)da = 1

Ejemplo 1.19. Sea X : X → R una variable aleatoria continua con funci´on de densidad:

f (a) = e^−a, si a > 0 0, en otro caso Gr´aficamente, la funci´on se representa de la siguiente forma:

Figura 1.6: f (a) = e^−a

N´otese que X⁻¹(x) = (0, ∞).

Si 0 ≤ α < β, entonces:

P (X ∈ (α, β)) = Z β

α

e^−ada

= −e^−a|^b_α eta

= e^−α− e^−β En particular:

P (X ∈ (0, ∞)) = l´ım

β→∞(e⁰− e^−β)

= 1 − l´ım

β→∞e^−∞

= 1

Ejemplo 1.20. Encontrar el valor de la constante c que hace que la siguiente funci´on sea de densidad:

f (a) = c|a|, si − 1 < a < 1 0, en otro caso

En este ejemplo, la variable aleatoria toma valores en (−1, 1). Por la Propiedad 3, esta funci´on debiera cumplir lo siguiente:

1 = Z 1

−1

c|a|da

= 2c Z 1

0

ada

= 2ca² 2 |¹₀

= ca² |¹₀

= c · 1²− c · 0

= c Por tanto, c = 1.

Definici´on 10. Sea Ω una σ - ´algebra y P : Ω → [0, 1] una medida de probabilidad.

E ser´a llamado ´atomo de P si:

i) P (E) > 0

ii) ∀F ∈ Ω, P (E ∩ F ) = 0 y P (E − F ) = 0

Lo que quiere decir que no existe ning´un otro conjunto medible en Ω tal que evaluado en P de un valor menor que P (E), cuyo valor es distinto de cero y positivo.

Definici´on 11. Se dir´a que una medida de probabilidad P : Ω → [0, 1] es at´omica si tiene ´atomos.

Cap´ıtulo 2

Teorema de Borsuk Ulam

En este cap´ıtulo se desarrollar´a parte de la teor´ıa de Complejos Simpliciales y Sub- divisi´on Baric´entrica. Utilizando los conceptos anteriores, se demostrar´an teoremas de punto fijo claves para obtener mas adelante en el Cap´ıtulo 3 los resultados de Legut [8]. Estos teoremas de punto fijo son: Teorema de Borsuk Ulam, Lema de Fan, Teorema de Brouwer y Lema de Sperner. La referencia de este cap´ıtulo es [12].

Se trata de especificar las condiciones bajo las cuales se puede afirmar que una fun- ci´on f : X → X sobre un dominio dado tiene un punto fijo; es decir, existe un punto x ∈ X tal que:

f (x) = x (2.1)

Busca encontrar condiciones sobre f y X tales que exista un punto x ∈ X tal que se cumpla 2.1 y busca encontrar condiciones que garanticen, de ser posible, su unicidad.

Los teoremas de punto fijo tienen aplicaciones en diversas ´areas, tanto dentro como fuera de la m´atem´atica. Dentro de la matem´atica tiene aplicaciones en topolog´ıa, an´alisis, ecuaciones diferenciales, teor´ıa de optimizaci´on, fractales, entre otros, y fuera de ella tiene aplicaciones en f´ısica, ingenier´ıa, biolog´ıa, econom´ıa, etc.

Los teoremas de punto fijo contemplan una basta cantidad de teoremas; sin embargo, en este proyecto de grado son necesarios principalmente cuatro:

Teorema de Borsuk Ulam;

Lema de Fan;

Teorema de Brouwer;

Lema de Sperner.

Estos cuatro teoremas se encuentran conectados entre s´ı, en el sentido de que algunos implican otros y otros son equivalentes. El siguiente diagrama muestra estas implica- ciones:

Figura 2.1: Teoremas de punto fijo

Antes de pasar a enunciarlos y demostrarlos, se har´a una revisi´on de la teoria de complejos simpliciales y triangulaci´on, que juegan un papel importante en el desarrollo y entendimiento de estos teoremas.

2.1. Complejos Geom´ etricos Simpliciales y Subdi- visi´ on Baric´ entrica

Sean v₁, · · · , v_k puntos en Rⁿ; diremos que son af´ınmente dependientes, (A.D.) si existen n´umeros reales α₁, · · · , α_k no todos iguales a 0 tales que:

Pk

i=1α_iv_i = 0 yPk

i=1α_i = 0

En otro caso, los puntos v₁, · · · , v_kson llamados af´ınmente independientes, (A.I.).

Respecto a la independencia af´ın entre un conjunto de puntos en Rⁿ se tienen las siguientes observaciones:

Observaci´on 3. Dos puntos se dicen af´ınmente independientes si v₁ 6= v₂.

Observaci´on 4. Tres puntos v₁, v₂ y v₃ ser´an af´ınmente independientes si no son coli- neales.

Observaci´on 5. Cuatro puntos v₁, v₂, v₃ y v₄ son af´ınmente independientes si no se encuentran en el mismo plano.

Lema 2.1. Las siguientes condiciones son equivalentes:

a) v₁, · · · , v_k∈ Rⁿ son af´ınmente independientes A.I.

b) Los k − 1 vectores v₁− v_k, · · · , v_k−1− v_k son linealmente independientes L.I.

c) Los vectores (v₁, 1), · · · , (v_k, 1) ∈ Rⁿ⁺¹ son linealmente independientes.

Demostraci´on. .

a) ⇒ b) Si v₁, · · · , v_k son A.I., entonces v₁− v_k, · · · , v_k−1− v_k son L.I.

Por contrarec´ıproco, sup´ongase que v1 − vk, · · · , vk−1 − vk son L.D., se debe demostrar que v₁, · · · , v_k son A.D. Por hip´otesis, existen reales α₁, · · · , α_k−1 no todos cero tales que:

k−1

X

i=1

α_i(v_i− v_k) = 0 Def´ınase α_k = −Pk−1

i=1 α_i; se tiene Pk

i=1α_i = 0, por tanto, α₁· · · , α_k no son todos cero y:

k

X

i=1

α_iv_i =

k−1

X

i=1

α_iv_i+ α_kv_k

=

k−1

X

i=1

α_iv_i−

k−1

X

i=1

α_iv_k

=

k−1

X

i=1

α_i(v_i− v_k)

= 0,

es decir, v1, · · · , vk son af´ınmente dependientes.

b) ⇒ a) Si v₁− v_k· · · , v_k−1− v_k son L.I., entonces v₁, · · · , v_k son A.I.

Por el contra rec´ıproco, suponemos que v1, · · · , vk son A.D. por lo que debe demostrarse que los v₁ − v_k, · · · , v_k−1 − v_k son L.D. Por hip´otesis, existe un conjunto de n´umeros reales α₁, · · · , α_k no todos cero tales que Pk

i=1α_iv_i = 0 y Pk

i=1α_i = 0. Por tanto, α_k= −Pk−1 i=1 α_i y:

k−1

X

i=1

α_i(v_i− v_k) =

k−1

X

i=1

α_iv_i−

k−1

X

i=1

α_iv_k

=

k−1

X

i=1

α_iv_i− α_kv_k

=

k

X

i=1

α_iv_i

= 0,

lo que significa que v₁− v_k, · · · , v_k−1− v_k son linealmente dependientes.

a) ⇒ c) Si los vectores v₁, · · · , v_k son A.I., entonces los (v₁, 1), · · · , (v_k, 1) ∈ Rⁿ⁺¹ son L.I.

Por el contrarec´ıproco, suponemos que los vectores (v1, 1), · · · , (vk, 1) son L.D.

Debe demostrarse que los vectores v₁, · · · , v_k son A.D. Por hip´otesis, existen n´umeros reales α₁, · · · , α_k no todos cero, tales quePk

i=1α_i(v_i, 1) = 0, entonces:

α₁v₁ 1



+ · · · + α_kv_k 1



=0 0



α₁v₁ α1



+ · · · +α_kv_k αk



=0 0



Por tanto, Pk

i=1α_iv_i = 0 yPk

i=1α_i = 0, as´ı, los vectores v₁, · · · , v_k son A.D.

c) ⇒ a) Si los vectores (v₁, 1), · · · , (v_k, 1) ∈ Rⁿ⁺¹son L.I., entonces los vectores v₁, · · · , v_k son A.D.

Por el contrarec´ıproco, suponemos que los vectores v₁, · · · , v_kson A.D., por tan- to, existen n´umeros reales α1, · · · , αk no todos cero, tales que Pk

i=1αivi = 0 y Pk

i=1α_i = 0, entonces:

k

X

i=1

α_i(v_i, 1) = (

k

X

i=1

α_iv_i,

k

X

i=1

α_i)

= (0, 0)

= 0,

por tanto, los vectores (v1, 1), · · · , (vk, 1) ∈ Rⁿ⁺¹ son L.D.

La envolvente convexa, envoltura convexa o c´apsula convexa de un conjunto de puntos A ⊂ Rⁿ es la intersecci´on de todos los conjuntos convexos que contienen a A. En este subconjunto, dados k puntos x₁, x₂, · · · , x_k su envolvente convexa C viene dada por la expresi´on:

C(A) = ( _k

X

i=1

α_ix_i : x_i ∈ A, α_i ∈ R, αi ≥ 0,

k

X

i=1

α_i = 1 )

Un simplejo σ o simplejo es una envoltura convexa de un conjunto af´ınmente inde- pendiente finito A ∈ Rⁿ. Los puntos de A se denominan v´ertices de σ. La dimensi´on de σ se define como dim σ = |A| − 1. As´ı, cada simplejo k - dimensional o k - simplejo tiene k + 1 v´ertices.

Ejemplo 2.1. Sean los conjuntos de puntos af´ınmente independientes A = {v₁, v₂} y B = {v1, v2, v3}. Los siguientes son simplejos:

(a) x = v₁+ λ(v₁− v₂) = (1 − λ)v₁+ λv₂ (b) y = λ₁v₁+ λ₂v₂+ λ₃v₃

Figura 2.2: Simplejos de A y B

La envoltura convexa de un subconjunto arbitrario, que puede ser vac´ıo, de v´ertices de un simplejo σ es una cara de σ. Por tanto, cada cara es en si misma un simplejo.

Tambi´en, cada simplejo tiene al conjunto ∅ como cara.

El interior relativo de un simplejo σ surge de σ al remover todas las caras de dimensi´on menor a dim σ.

En el Ejemplo 2.1, las caras del simplejo de A son los v´ertices v₁, v₂ y el segmento entre v1 y v2; mientras que las caras del simplejo de B son los v´ertices v1, v2 y v3, los segmentos v₁− v₂, v₂− v₃ y v₁− v₃ y el mismo simplejo representado por el tri´angulo de v´ertices v₁, v₂ y v₃.

Lema 2.2. Sea σ un simplejo con v´ertices v1, · · · , vn. Entonces cualquier punto x ∈ σ puede ser escrito de manera ´unica como una combinaci´on convexa de v´ertices de σ, es decir:

x =

n

X

i=1

α_iv_i con α₁, · · · , α_n ≥ 0 y Pn

i=1α_i = 1.

Demostraci´on. La existencia de una combinaci´on convexa de este tipo, se debe al he- cho de que por definici´on, σ es la envoltura convexa de sus v´ertices. Ahora, sup´ongase que se tienen dos diferentes combinaciones convexas que se igualan a x:

x =

n

X

i=1

αivi y x =

n

X

i=1

βivi

igualando ambas ecuaciones:

n

X

i=1

α_iv_i =

n

X

i=1

β_iv_i

n

X

i=1

αivi−

n

X

i=1

βivi = 0

n

X

i=1

(αi− βi)vi = 0,

donde no todos los (α₁− β₁), · · · , (α_n− β_n) son cero pero a su vez:

n

X

i=1

(α_i− β_i) =

n

X

i=1

α_i−

n

X

i=1

β_i = 0,

lo que es una contradicci´on con la independencia af´ın de v1, · · · , vn. Por tanto, la combinaci´on convexa es ´unica.

Una familia no vac´ıa ∆ de simplejos es un complejo simplicial si se cumplen las siguientes condiciones:

i. Cada cara de cualquier simplejo σ ∈ ∆ es tambi´en un simplejo de ∆.

ii. La intersecci´on σ₁∩ σ₂ de cualquier par de simplejos σ₁, σ₂ ∈ ∆ es una cara de ambos simplejos, σ₁ y σ₂.

Se introduce de igual manera los siguientes conceptos relacionados con un complejo simplicial:

La uni´on de todos los simplejos en un complejo simplicial ∆ se denomina po- liedro de ∆ y se denota por ||∆||

La dimensi´on de un complejo simplicial ∆ es dim ∆ = m´ax{dimσ : σ ∈ ∆}.

El conjunto de v´ertices de ∆, V (∆), es la uni´on del conjunto de v´ertices de todos los simplejos de ∆.

Ejemplo 2.2. La siguiente figura representa un complejo simplicial:

Figura 2.3: Complejo simplicial ∆

∆ est´a formado por 5 simplejos, el simplejo 3 - dimensional representado por el tetraedro, el simplejo 2 - dimensional representado por el tri´angulo y 3 simplejos 1 - dimensionales representados por segmentos. La dimensi´on de ∆ es dim ∆ = 3, ya que el tetraedro es su simplejo de mayor dimensi´on, y el conjunto de v´ertices de este complejo simplicial es:

V (∆) = {S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆, S₇}

Observaci´on 6. Un complejo simplicial formado por todas las caras de un simplejo σ n - dimensional cualquiera, incluyendo el mismo simplejo, se denotar´a por σⁿ. Observaci´on 7. Los interiores relativos de todos los simplejos de un complejo simplicial

∆ forman una partici´on del poliedro ||∆||.

Definici´on 12. Para cada punto x ∈ ||∆|| existe exactamente un simplejo σ ∈ ∆ que contiene a x en su interior relativo. Este simplejo se denota por supp(x) y se denomina soporte de x.

Observaci´on 8. Cuando x se escribe como una combinaci´on de los v´ertices de su soporte, todos los coeficientes α son mayores a cero.

Sea f : V (∆) → Rⁿ; se define la funci´on denominada extensi´on af´ın de f :

||f || : ||∆|| → Rⁿ

Esta funci´on extiende f a los interiores relativos de los simplejos de ∆ de la siguiente manera: si σ ∈ ∆ con v´ertices v₁, · · · , v_k, son soporte del punto x ∈ ||∆||, entonces de acuerdo al Lema 2.2, x puede escribirse de manera ´unica como x =Pk

i=1α_iv_i con α1, · · · , αk ≥ 0 yPk

i=1αi = 1, entonces se define:

||f ||(x) =

k

X

i=1

α_if (v_i)

2.1.1. Triangulaci´ on

Sea X un espacio topol´ogico. Un complejo simplicial ∆, tal que X es el poliedro de

∆ si es que existe, se denomina triangulaci´on de X.

Ejemplo 2.3. La siguiente figura representa la triangulaci´on de una superficie con- vexa:

Figura 2.4: Triangulaci´on de una superficie convexa

El politopo cruzado n - dimensional es la envoltura convexa:

conv(e₁, −e₁, · · · , e_n, −e_n)

de vectores de la base est´andar ortonormal y sus negativos. Tambi´en puede describirse por la siguiente expresi´on:

(

x ∈ Rⁿ :

n

X

i=1

|x_i| ≤ 1 )

Ejemplo 2.4. El politopo cruzado de 3 dimensiones es un octaedro regular. A con- tinuaci´on, se muestra su representaci´on gr´afica:

(a) Vectores: {e1, −e1, e2, −e2, e3, −e3} (b) conv(e1, −e1, e2, −e2, e3, −e3) Figura 2.5: Politopo cruzado 3 - dimensional

Lema 2.3. Sea σ un simplejo con v´ertices v₁, · · · , v_n y sea P = σ × [0, 1] el prisma encima de σ de dimensi´on n. Sean v⁰₁, · · · , v_n⁰, v⁰⁰₁, · · · , v_n⁰⁰ donde cada v_i⁰ = (v_i, 0) es un v´ertice inferior y v⁰⁰_i = (v_i, 1) es el v´ertice por encima del v´ertice inferior. Para i = 1, · · · , n def´ınase σ_i = conv(v₁⁰, · · · , v⁰_i, v_i⁰⁰, · · · , v_n⁰⁰) entonces σ₁, · · · , σ_n triangula P .

Demostraci´on. Primero, se establecer´a que σi es un simplejo n - dimensional para i = 1 · · · , n mostrando que v₁⁰, · · · , v_i⁰, v⁰⁰_i, · · · , v_n⁰⁰ son af´ınmente independientes. Por Lema 2.1 esto es equivalente a demostrar que:

v⁰₁− v_i⁰, · · · , v⁰_i−1− v_i⁰, v⁰⁰_i − v_i⁰, v⁰⁰_i+1− v⁰_i, · · · , v⁰⁰_n− v⁰_i son linealmente independientes. Tomamos la siguiente matriz:

v⁰₁− v_i⁰ · · · v⁰_i−1− v_i⁰ v⁰⁰_i − v_i⁰ · · · v⁰⁰_n− v⁰_i

=v₁− v_i · · · v_i−1− v_i v_i− v_i v_i+1− v_i · · · v_n− v_i

0 · · · 0 1 1 1 1



=v₁− vi · · · vi−1− vi 0 vi+1− vi · · · vn− vi

0 · · · 0 1 1 1 1

 .

Como los v1, · · · , vn son af´ınmente independientes, por el Lema 2.1 los n − 1 vec- tores v₁ − v_i, · · · , v_n − v_i son linealmente independientes, adem´as, el vector (0, 1) es linealmente independiente del resto de las columnas de la matriz. Por tanto, v₁⁰ − v_i⁰, · · · , v⁰_i−1− v⁰_i, v_i+1⁰ − v_i⁰, · · · , v_n⁰ − v_i⁰ son linealmente independientes, y por

tanto los σ_i son simplejos n - dimensionales. Ahora mostraremos que σ₁, · · · , σ_n cu- bre P . Tomamos (x, h) ∈ P con x ∈ σ y h ∈ [0, 1], podemos entonces escribir x como:

x =

n

X

k=1

α_kv_k con Pn

k=1α_k = 1 y α₁, · · · , α_n ≥ 0. Tomamos un 1 ≤ i ≤ n tal que:

n

X

k=i

α_k ≥ h y

n

X

k=i+1

α_k≤ h (2.2)

Se define tambi´en: t = h −Pn

k=i+1α_k, se puede escribir:

x h



=

Pn

k=1α_kv_k h



=α₁v₁+ · · · + α_i−1v_i−1+ α_iv_i+ α_i+1v_i+1+ · · · + α_nv_n h



=0 h



+ α₁v₁ 0



+ · · · + α_i−1v_i−1 0



+ α_iv_i 0



+ α_i+1v_i+1 0



+ · · · + α_nv_n 0



=0 h



+ α1v₁⁰ + · · · + αi−1v_i−1⁰ + αi

v_i 0



+ αi+1

 v_i+1 1 − 1



+ · · · + αn

 vn

1 − 1



=0 h



+ α₁v₁⁰ + · · · + α_i−1v_i−1⁰ + α_iv_i 0



+ α_itv_i− v_i 1 − 1



+ α_i+1v_i+1 1



− α_i+10 1



+ · · · + α_nv_n 1



− α_n0 1



=0 h



+ α1v₁⁰ + · · · + αi−1v_i−1⁰ + αi

v_i 0



+ αitv_i 1



− αitv_i 0



− α_it0 1



+ α_i+1v⁰⁰_i+1− α_i+10 1



+ · · · + α_nv_n⁰⁰− α_n0 1



=0 h



+ α₁v₁⁰ + · · · + α_i−1v_i−1⁰ + α_iv_i⁰+ α_itv⁰⁰_i − α_itv_i⁰− α_it0 1



+ αi+1v_i+1⁰⁰ − αi+1

0 1



+ · · · + αnv_n⁰⁰− αn

0 1



=0 h



+ α₁v₁⁰ + · · · + α_i−1v_i−1⁰ + α_iv_i⁰(1 − t) + α_itv_i⁰⁰− α_it0 1



+ α_i+1v_i+1⁰⁰ + · · · + α_nv⁰⁰_n−

 0

Pn

k=i+1α_k



Por tanto:

(x, h) = α₁v⁰₁+ · · · + α_i−1v⁰_i−1+ α_i[(1 − t)v_i⁰+ tv⁰⁰_i] + α_i+1v_i+1⁰⁰ + · · · + α_nv_n⁰⁰ Que muestra que (x, h) es una combinaci´on de v´ertices de σ_i, entonces en particular (x, h) ∈ σi.

Lo ´ultimo que debe mostrarse, es que si dos simplejos del conjunto σ₁, · · · , σ_n com- parten un punto, entonces ese punto yace en una cara com´un de esos dos simplejos.

Tomamos el punto (x, h) ∈ P que yace en ambos σ_i y σ_j con i < j. Por 2.2:

n

X

k=i

α_k ≥ h y

n

X

k=i+1

α_k≤ h (2.3)

Adem´as:

n

X

k=j

σ_k ≥ h y

n

X

k=j+1

α_k≤ h (2.4)

Para que 2.3 y 2.4 se cumplan, Pn

k=jα_k = h y α_k = 0 para i < k < j. Por tanto, (x, h) debe yacer en la cara com´un conv(v⁰₁, · · · , v_i⁰, v_j⁰⁰, · · · , v⁰⁰_n). As´ı, α₁, · · · , α_njuntos con todas sus caras forman un complejo simplicial que triangula P .

2.1.2. Subdivisi´ on Baric´ entrica

Es el refinamiento de una triangulaci´on subdividiendo simplejos de una triangulaci´on en simplejos de menor di´ametro.

Ejemplo 2.5. La siguiente figura representa subdivisiones baric´entricas de un sim- plejo 2 - dimensional:

Figura 2.6: Subdivisiones baric´entricas de un simplejo 2 - dimensional

Ejemplo 2.6. La siguiente figura representa una subdivisi´on baric´entrica 3 - dimen- sional:

Figura 2.7: Subdivisi´on baric´entrica de un simplejo 3 - dimensional

Lema 2.4. El di´ametro de un simplejo arbitrario σ, diam(σ) es igual a la distancia m´axima entre dos de sus v´ertices.

Demostraci´on. Sean v₁, · · · , v_n v´ertices de σ. Por la definici´on de di´ametro dada en este lema, el di´ametro de σ es:

diam(σ) = m´ax{||x − y|| : x, y ∈ σ}

Sup´ongase que para x, y ∈ σ con y 6= v₁, · · · , v_n se tiene que: ||x − y|| = diam(σ).

Escribimos: y =Pn

i=1αivi con α1, · · · , αn≥ 0 y Pn

i=1αi = 1, se obtiene:

||x − y|| = ||

n

X

i=1

αix −

n

X

i=1

αivi||

= ||

n

X

i=1

αi(x − vi)||

≤

n

X

i=1

α_i||x − v_i||

≤

n

X

i=1

α_im´ax {||x − v_j|| : v_j ∈ {v₁, · · · , v_n}}

= m´ax {||x − v_j|| : v_j ∈ {v₁, · · · , v_n}},

As´ı, se demuestra que si y 6= v1, · · · , vn, existe un vj ∈ σ tal que ||x − y|| ≤ ||x − vj||.

Repitiendo el mismo argumento para x se tiene que:

diam(σ) = m´ax {||v_i− v_j|| : v_i, v_j ∈ {v₁, · · · , v_n}}, con i, j = 1, · · · , n Que muestra que el di´amentro de σ es igual a la distancia entre dos v´ertices de σ.

Definici´on 13. Sea ∆ un complejo simplicial. La (primera) subdivisi´on ba- ric´entrica de ∆, denotada por sd(∆) es el complejo simplicial construido como sigue:

Para todo σ ∈ ∆, sd(σ) tiene un v´ertice en el centro gravitacional o baricentro de σ. El centro gravitacional es la media de todos los v´ertices de σ.

Si σ₁ ⊂ σ₂ ⊂ · · · ⊂ σ_n es una cadena de simplejos en ∆, entonces el simplejo extendido por los correspondientes v´ertices en sd(∆) es un simplejo en sd(∆).

Notar que esta definici´on asegura que si σ es un simplejo en sd(∆), entonces todas las caras de σ son tambi´en simplejos de sd(∆).

Ejemplo 2.7. La siguiente figura representa la primera subdivisi´on baric´entrica de un complejo simplicial ∆ formado por un simplejo 2 - dimensional y un simplejo 1 - dimensional.

(a) Complejo simplicial ∆ (b) Primera subdivisi´on baric´entrica sd(∆) Figura 2.8: Primera subdivisi´on baric´entrica de ∆