Funciones Una FUNCIÓN es una relación entre dos conjuntos A Y B que asigna a cada valor del conjunto A le corresponde un único valor del conjunto B.

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(1)

Funciones

Una FUNCIÓN es una relación entre dos conjuntos A Y B que asigna a cada valor del conjunto A le corresponde un único valor del conjunto B.

A B

a f

b

c

1 2 3

A B

No es función

a

3 2 1

b c

Si es función

A B

No es función

A B

No es función

a b c

4 2

6

(2)

En casi todos los fenómenos físicos observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo,

 la estatura de una niño depende de su edad,

 la temperatura ambiente depende de la fecha,

 el costo de enviar un paquete por correo depende de su peso

Usamos el término función para describir esta dependencia de una cantidad con respecto a otra. Esto es, decimos lo siguiente:

� La estatura es una función de la edad.

� La temperatura es una función de la fecha.

Dependiente

Independiente

(3)

� El costo de enviar un paquete por correo depende de su peso.

La Oficina de Correos de Estados Unidos utiliza una sencilla regla para determinar el costo de enviar por correo un paquete de primera clase con base en el peso del paquete. Pero no es tan fácil describir la regla que relaciona la estatura con la edad o la regla que relaciona temperatura y fecha.

Otros ejemplos de funciones:

 El área de un círculo es una función de su radio.

 El número de bacterias en un cultivo es función del tiempo.

 El peso de una astronauta es una función de su elevación.

 El precio de una mercancía es una función de la demanda de esa mercancía.

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟

2

𝐴(𝒓) = 𝜋𝒓

2

Una función es una regla.

Para hablar de una función, es necesario darle un nombre. Usaremos letras como 𝑓, 𝑔, ℎ, … para representar funciones. 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = ℎ(𝑥)

Por ejemplo, podemos usar la letra 𝑓 para representar una regla como sigue:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

“𝒇” es la regla “𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐”

Entonces cuando escribimos:

 𝑓( 2) queremos decir “𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒇 𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝟐", lo que resulta en elevar al cuadrado el número 2, esto es:

𝑓(2) = 2

2

= 4

(4)

 𝑓( 3) queremos decir “𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒇 𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝟑", lo que resulta en elevar al cuadrado el número 3, esto es: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

𝑓(3) = 3

2

= 9

Los números a los cuales se les aplica la regla, se denotan como un conjunto de números, llamado DOMINIO DE LA FUNCIÓN, se denota por 𝑫(𝒇).

Diagrama de flecha de 𝒇

 El conjunto A (de la figura anterior) es el dominio de la función.

El símbolo "𝑓(𝑥)" se lee “𝒇 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒔” y se denomina valor de f en x, o la 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒙 𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒇.

 El rango de 𝒇 es el conjunto de todos los valores posibles de 𝑓 (𝑥) cuando 𝑥 varía en todo el dominio, es decir,

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓 = {𝑓(𝑥) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) }

 El símbolo que representa un número arbitrario del dominio de una función 𝑓 se llama variable independiente.

 El símbolo que representa un número en el rango de 𝑓 se llama variable dependiente.

 Por tanto, si escribimos

𝒚 = 𝑓 (𝒙),

entonces 𝒙 es la variable independiente y 𝒚 es la variable dependiente.

Es útil considerar una función como una máquina.

(5)

Si 𝑥 está en el dominio de la función 𝑓, entonces cuando 𝑥 entra a la máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida 𝑓 (𝑥) de acuerdo con la regla de la función. Así, podemos considerar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el conjunto de todas las posibles salidas.

Ejemplo 1:

Una función f está definida por la fórmula:

𝑓(𝑥) = 𝑥

2

a) Exprese verbalmente como actúa 𝑓 sobre la entrada 𝑥 para producir la salida 𝑓 (𝑥).

b) Evalúe 𝑓 (5), 𝑓(−2), 𝑓(√5).

c) Encuentre el dominio y rango de 𝑓.

d) Trace un diagrama de máquina para 𝑓.

Solución:

a) “𝒇” es la regla “𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐”

b) Para hallar 𝑓 (5), debemos sustituir o reemplazar el valor de 5 en la fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

𝑓(5) = 𝟓

2

𝒇(𝟓) = 𝟐𝟓

𝑓(−2) = (−𝟐)

2

= (−2)(−2) = 4 𝑓(√5) = (√5)

2

= 5

𝑓(0) = 0

2

= 0 𝑓 ( 2

5 ) = ( 2 5 )

2

= 4 25

c) El dominio de f está formado por todas las posibles entradas para x. Como podemos evaluar la fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

para cada número real 𝑥, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales.

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 = ℝ 𝑫( 𝒇) = ℝ = (−∞, ∞)

El rango de f está formado por todas las posibles salidas de 𝑓. Como

(6)

𝑥

2

≥ 0

de modo que por cada salida de 𝑓 tenemos 𝑓 (𝑥) ≥ 0.

Entonces, el rango de 𝑓 es

{𝑓(𝑥) 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) ≥ 0}

Pero si recordamos, podemos denotar 𝑓(𝑥) = 𝑦

{𝑦 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦 ≥ 0} = [0, ∞) Así las cosas,

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = [𝟎, ∞) a)

𝑥 0 1 -1 2 -2 3 -3

𝑦 = 𝑥

2

0 1 1 4 4 9 9

(0,0) (1,1) (-1,1) (2,4) (-2,4) (3,9) (-3,9) Elevar al cuadrado

𝑥 𝑥 2

2 Elevar al cuadrado 4

(7)

Algunas funciones especiales y sus graficas Ejemplo 1.

Función equis cubica

𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

, dominio son todos los números reales 𝑫( 𝒇) = 𝑫

𝒇

= ℝ = (−∞, ∞) Rango de la función es

𝑹( 𝒇) = 𝑹

𝒇

= ℝ = (−∞, ∞)

x f(x)=x^3

-6

Si x=-6, necesito hallar f(-6) reemplazar el valor de x=-6 en

la función

Evaluar la función

𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

En 𝒙 = −𝟔

𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

𝒇(−𝟔) = (−𝟔)

𝟑

= −𝟔 × −𝟔 × −𝟔 = −𝟐𝟏𝟔 Por lo tanto 𝒇(−𝟔) = (−𝟔)

𝟑

= −𝟐𝟏𝟔

En 𝒙 = −𝟒 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

𝒇(−𝟒) = (−𝟒)

𝟑

= −𝟒 × −𝟒 × −𝟒 = −𝟔𝟒 En 𝒙 = 𝟑

𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

𝒇(𝟑) = (𝟑)

𝟑

= 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 = 𝟐𝟕 En 𝒙 = 𝟎

𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

(8)

𝒇(𝟎) = (𝟎)

𝟑

= 𝟎

Y así sucesivamente con cada valor para x, y se obtiene las tablas de valores.

Tabla de valores Tabla de valores

x 𝒀 = 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

x y Puntos

-

6 𝑓(−6) = (−6)

3

=

−216

-6 -216 (-6,-216)

-

4 𝑓(−4) = (−4)

3

= −64 -4 -64 (-4,-64)

-

2 𝑓(−2) = (−2)

3

= −8 -2 -8 (-2,-8)

0 f(0)=(0)^3=0 0 0 (0,0)

2 f(2)=2^3 =8 2 8 (2,8)

4 f(4)=4^3 =64 4 64 (4,64)

6 f(6)=6^3 =216 6 216 (6, 216)

(9)

-300 -200 -100 0 100 200 300

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y

-300 -200 -100 0 100 200 300

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y

f(x)=x^3

-30 -20 -10 0 10 20 30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

(10)

Ejemplo 2:

Función valor absoluto

𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑨𝑩𝑺𝑶𝑳𝑼𝑻𝑶 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠

Recuerde:

 |56| = 56, 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝑑𝑒 56 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 56

 |6| = 6

 |−6| = 6

 |−1/2| = 1/2

 | − 0.98| = 0.98

 |−56| = 56

Tabla de valores Tabla de valores

x y=f(x)=|x| x y Puntos

-3 f(-3)=|-3|=3 -3 3 (-3,3)

-2 f(-2)=|-2|=2 -2 2 (-2,2)

-1 f(-1)=|-1|=1 -1 1 (-1,1)

0 f(0)=|0|=0 0 0 (0,0)

1 f(1)=|1|=1 1 1 (1,1)

2 f(2)=|2|=2 2 2 (2,2)

3 f(3)=|3|=3 3 3 (3,3)

0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

(11)

La prueba de la recta vertical

La gráfica de una función es una curva en el plano 𝑥𝑦. Pero surge la pregunta:

¿Cuáles curvas del plano 𝑥𝑦 son gráficas de funciones? Esto se contesta por medio de la prueba siguiente.

LA PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical cruza la curva más de una vez.

E J E M P LO: Uso de la Prueba de la Recta Vertical

Usando la Prueba de la Recta Vertical verifique cuál de las gráficas de abajo SI representa una función:

0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Para valores negativos de x ella es DECRECIENTE

Para valores POSITIVOS de x ella es CRECIENTE

(12)

Resumen de algunas funciones y sus gráficas

𝟑

√−𝟖

= −𝟐, (−𝟐)

𝟑

= −𝟖

(13)

Ejemplo 𝒉(𝒙) = √𝒙,

𝒉(𝒙) = √𝒙

𝒉(𝟏𝟔) = √𝟏𝟔 = 𝟒, ⟺ 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟔 𝒉(𝟗) = √𝟗 = 𝟑, ⟺ 𝟑 × 𝟑 = 𝟑 𝟐 = 𝟗

𝒉(𝟖𝟏) = √𝟖𝟏 = 𝟗 𝒉(𝟎) = √𝟎 = 𝟎

𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒉(𝒙) = √𝒙, 𝑫 𝒇 = [𝟎, ∞) 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒉(𝒙) = √𝒙, 𝑹 𝒇 = [𝟎, ∞)

𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒉(𝒙) = 𝒙 𝟑 , 𝑫 𝒇 = (−∞, ∞) = ℝ 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒉(𝒙) = 𝒙 𝟑 , (−∞, ∞) = ℝ

1. Ejemplo en clases:

𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟒

a) Expresar verbalmente lo que hace 𝑓

(14)

b) Evaluar f en 0 y en 2, hallar 𝑓(0) 𝑦 𝑓(2) c) Hallar Dominio

d) Hallar Rango Solución:

a) f eleva la equis al cuadrado después la multiplica por -3 y le suma 4.

a) f multiplica a x por -3x después le suma 4 b) Evaluar f en 0 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟒

𝑓(0) = −3(0)

2

+ 4 = −3 × 0 + 4 = 0 + 4 = 4, entonces 𝑓(0) = 4

a) Evaluar f en 2 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟒

𝑓(2) = −3(2)

2

+ 4 = −3 × 4 + 4 = −12 + 4 = −8 entonces 𝑓(2) = −8

a) Evaluar f en -5 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟒

𝑓(−5) = −3(−5)

2

+ 4 = −3 × 25 + 4 = −75 + 4 = −71 entonces 𝑓(−5) = −71

c)El dominio son TODOS LOS POSIBLES VALORES QUE LE PUEDO DAR A LA “equis”

Que a la “equis” le puedo dar cualquier valor, se traduce en que el Dominio de f=TODOS LOS REALES=𝑫

𝒇

= (−∞, ∞) = ℝ

𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟒 d) Hallar Rango

Solución:

𝑹𝒆𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒆 (−5)2

= (−5) × (−5) = 25

(15)

Para hallar el rango, nos fijamos en los “y” es decir en los “f(x)”, porque 𝒇(𝒙) = 𝒚.

1°Paso: partir de que 𝒙

𝟐

≥ 𝟎, 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒙

𝟐

𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 2°Paso: a partir de 𝑥

2

≥ 0, debemos construir la 𝑓(𝑥):

𝑥

2

≥ 0

−3 ∙ 𝑥

2

≤ −3 ∙ 0

−3𝑥

2

≤ 0

−3𝑥

2

+ 4 ≤ 0 + 4

−3𝑥

2

+ 4 ≤ 4

𝑦 = 𝑓(𝑥) ≤ 4

𝒚 ≤ 𝟒 Rango son todos los

𝒚 ≤ 𝟒

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝑹

𝒇

= (−∞, 𝟒]

2. Ejemplo en clases:

𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎 a) Expresar verbalmente lo que hace 𝒇

“f eleva al cuadrado a equis le multiplica -5 y le resta 10”

b) Evaluar f en 0, en 2 y en −6,es decir, hallar 𝑓(0)𝑦 𝑓(2) 𝑦 𝑓(−6) 𝑓(0) = −5(0)

2

− 10 = −5.0 − 10 = 0 − 10 = −10 Entonces 𝑓(0) = −10

𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎

𝑓(2) = −5(2)

2

− 10 = −5 × .4 − 10 = −20 − 10 = −30

Entonces 𝑓(2) = −30

(16)

𝑓(−6) = −5(−6)

2

− 10 = −5 × 36 − 10 = −180 − 10 = −190 Entonces 𝑓(−6) = −190

c) Hallar Dominio La función es

𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎

Y su dominio son todos los números reales o puedo simbólicamente escribir así:

𝑫(𝒇) = 𝑫

𝒇

= (−∞, ∞) d) Hallar Rango

Para hallar el rango, nos fijamos en los “y” es decir en los “f(x)”, porque 𝒇(𝒙) = 𝒚.

1°Paso: partir de que 𝒙

𝟐

≥ 𝟎, 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒙

𝟐

𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 2°Paso: a partir de 𝑥

2

≥ 0, debemos construir la 𝑓(𝑥) = −𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎

𝑥

2

≥ 0

−5 × 𝑥

2

≤ −5 × 0

−5𝑥

2

≤ 0

−𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎 ≤ 𝟎 − 𝟏𝟎 𝒚 = 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙

𝟐

− 𝟏𝟎 ≤ −𝟏𝟎

𝒚 ≤ −𝟏𝟎

Por lo tanto el 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = (−∞, −𝟏𝟎]

(17)

Ejemplo 1:

𝑟(𝑥) = 2 𝑥 − 3

𝑟(0) = 2

0 − 3 = 2

−3 = − 2

3 , 𝑟(1) = 2

1 − 3 = 2

−2 = −1 𝑟(−3) = 2

−3 − 3 = 2

−6 = 1

−3 = − 1 3 𝑟(7) = 2

7 − 3 = 2 4 = 1

2

𝑟(𝑥) = 2 𝑥 − 3

𝒓(𝟑) = 𝟐

𝟑 − 𝟑 = 𝟐

𝟎 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆

Si quiero Dominio de 𝑟

1er paso: Me fijo en el denominador 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 3

2do paso: Buscar donde ese denominador se hace cero, que es lo mismo que buscar el o los valores de 𝑥 para los que se anula ese denomindor.

𝑞(𝑥) = 𝑥 − 3 = 0

(18)

𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 = 3, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 3er paso (último):

Dominio de 𝑟 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑙 3} = 𝐷 𝑟 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 3}

𝐷 𝑟 = (−∞, 3) ∪ (3, ∞) Ejemplo 2:

𝑠(𝑥) = 3𝑥 + 5 𝑥 + 2 Si quiero Dominio de 𝑟

1er paso: Me fijo en el denominador 𝑞(𝑥) = 𝑥 + 2

2do paso: Buscar donde ese denominador se hace cero, que es lo mismo que buscar el o los valores de 𝑥 para los que se anula ese denomindor.

𝑞(𝑥) = 𝑥 + 2 = 0

𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 3er paso (último):

Dominio de 𝑠 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑙 − 2} = 𝐷 𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ −2}

𝐷 𝑠 = (−∞, −2) ∪ (−2, ∞)

 Graficar

 𝑦 = (𝑥 − 3) 2 + 2, conocen 𝒚 = 𝒙 𝟐

 𝑦 = −𝑥 2 + 4

 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| − 3

(19)

Figure

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