1.- Dadas las rectas

Tema 5 y 6 Geometría.Repaso.Soluciones

1.- Dadas las rectas

r ≡



 

 

x = 1 − λ y = λ z = 0

s ≡ x − 1

1 = y − 1

2 = z − 1 1 P _r (1, 0, 0) − → u _r (−1, 1, 0) P _s (1, 1, 1) − → u _s (1, 2, 1) a) Estudia la posición relativa de las rectas.

rg(− → u _r , − → u _s ) = −1 1 0

1 2 1

!

= 2 ⇔     

1 2

−1 1     

= 3 6= 0

rg(− → u r , − → u s , − −− → P r P s ) =







−1 1 0

1 2 1

0 1 1





 = 3 ⇔       

−1 1 0

1 2 1

0 1 1

= −2 6= 0

Se cruzan

b) Halla la recta t que las corta perpendicularmente. Para ello hallamos dos planos:

π que contiene a r y paralelo a − → u r × − → u s

π ⁰ que contiene a s y paralelo a − → u r × − → u s

t = π ∩ π ⁰

−

→ u r × − → u s =       

−

→ i − → j − →

k

−1 1 0

1 2 1

= − → i + − →

j − 3 − → k

π ≡       

x − 1 y z

−1 1 0

1 1 −3

= 0 π ≡ −3 x − 3 y − 2 z + 3 = 0

π ⁰ ≡       

x − 1 y − 1 z − 1

1 2 1

1 1 −3

= 0 π ⁰ ≡ −7 x + 4 y − z + 4 = 0

t ≡

( −3 x − 3 y − 2 z + 3 = 0

−7 x + 4 y − z + 4 = 0

c) Halla la recta t ⁰ que se apoya en r, s y pasa por el punto P (1, 2, 3). Para ello hallamos dos planos:

π que contiene a r y P . π ⁰ que contiene a s y P .

t ⁰ = π ∩ π ⁰ Para ello hallamos

−−→ P _r P = (1, 2, 3) − (1, 0, 0) = (0, 2, 3)

π ≡       

x − 1 y − 2 z − 3

−1 1 0

0 2 3

= 0 3 x + 3 y − 2 z − 3 = 0

−−→ P s P = (1, 2, 3) − (1, 1, 1) = (0, 1, 1)

π ⁰ ≡       

x − 1 y − 2 z − 3

1 2 1

0 1 1

= 0 x − y + z − 2 = 0

t ⁰ ≡

( 3 x + 3 y − 2 z − 3 = 0 x − y + z − 2 = 0 d) Halla la recta r ⁰ que es paralela a la recta x = y

3 = z

3 y se apoya en r y s.

π que contiene a r y paralelo al vector director de x = y 3 = z

3 u(1, 3, 3) . π ⁰ que contiene a s paralelo al vector director de x = y

3 = z

3 u(1, 2, 3) . r ⁰ = π ∩ π ⁰

π ≡       

x − 1 y z

−1 1 0

1 3 3

= 0 3 x + 3 y − 4 z − 3 = 0

π ⁰ ≡       

x − 1 y − 1 z − 1

1 2 1

1 3 3

= 0 3 x − 2 y + z − 2 = 0

r ⁰ ≡

( 3 x + 3 y − 4 z − 3 = 0 3 x − 2 y + z − 2 = 0

e) Halla un plano π paralelo a r y s y que pase por el punto P (1, 2, 3) Obtenemos el plano π con los vectores directores u r , u s y el punto P (1, 2, 3)

π ≡       

x − 1 y − 2 z − 3

−1 1 0

1 2 1

= 0 π ≡ x + y − 3 z + 6 = 0

2.- Calcular el área del triángulo de vértices A(0, 0, 0), C(1, 1, 0), y el tercer vértice es el punto de inter- sección de la recta:

x + 1

2 = y + 1

3 = z + 2 1 con el plano XY .

Solución: 1. Calculamos el tercer punto

XY ≡ z = 0



 

  x + 1

2 = 2 y + 1

3 = 2

B(3, 5, 0)

− − →

AB = (3, 5, 0) − (0, 0, 0) = (3, 5, 0) −→

AC = (1, 1, 0) − (0, 0, 0) = (1, 1, 0)

− − → AB × −→

AC =       

−

→ i − → j − →

k

1 1 0

3 5 0

= 2 − → k

Área(ABC) = 1 2 | − − →

AB × −→

AC| = 1 2

p 0 ² + 0 ² + 2 ² = 1

3.- Hallar la distancia del punto A(1, 2, 3) a la recta r de ecuación x = 0, z = 0 como asimismo la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r.

Solución: √

10 ; y − 2 = 0.

r ≡

( x = 0

z = 0 ⇒ r ≡



 

  x = 0 y = λ z = 0 Sea R(0, λ, 0) un punto cualquiera de la recta r. El vector −→

RA es perpendicular a r y por tanto

−→ RA · − → u r = 0

−→ RA = (1, 2, 3) − (0, λ, 0) = (1, 2 − λ, 3) −→

RA · − → u r = 0 ⇒ (1, 2 − λ, 3) · (0, 1, 0) = 0 2 − λ = 0 ⇒ λ = 2 d(A, r) = | −→

RA| = p

1 ² + 3 ² = √ 10 Para el segundo apartado − → u _r = − → n _π = (0, 1, 0) por tanto

π ≡ y + D = 0 2 + D = 0 ⇒ D = −2 π ≡ y − 2 = 0

4.- Hallar el volumen del tetraedro que forman los planos:

π ₁ ≡ y = 0 π 2 ≡ z = 0 π ₃ ≡ x − y = 0

π 4 ≡ 3x + 2y + z − 15 = 0 Hallamos la intersección de los planos para obtener tres vértices:

π ₁ ≡ y = 0 π 2 ≡ z = 0 π 3 ≡ x − y = 0

⇒ A(0, 0, 0)

π ₁ ≡ y = 0 π 2 ≡ z = 0

π 4 ≡ 3x + 2y + z − 15 = 0

⇒ B(5, 0, 0)

π 1 ≡ y = 0 π 3 ≡ x − y = 0

π ₄ ≡ 3x + 2y + z − 15 = 0 ⇒ C(0, 0, 15)

π 2 ≡ z = 0 π 3 ≡ x − y = 0

π 4 ≡ 3x + 2y + z − 15 = 0

⇒

( y = x

3x + 2y = 15 ⇒ D(3, 3, 0)

V (ABCD) = 1 6 |[ − − →

AB, −→

AC, − − → AD]| = 1

6              

5 0 0 0 0 15 3 3 0

= 225 6 = 75

2 Solución: ⁷⁵ ₂

5.- Se consideran las rectas:

r ≡ x − 1

1 = y − 2

1 = z − 1

2 ; s ≡ x − 3

−2 = y − 3

−1 = z + 1

2

a) Determinar su posición relativa. Estudiaremos el

rg(− → u r , − → u s ) = 1 1 2

−2 −1 2

!

= 2 ⇔     

1 1

−2 −1     

= 1 6= 0 Estudiamos a continuación

rg(− → u _r , − → u _s , − −− → P _r P _s ) =







1 1 2

−2 −1 2

2 1 −2





 = 2

rg(− → u _r , − → u _s ) = rg(− → u _r , − → u _s , − −− → P _r P _s ) = 2 Las rectas se cortan en un punto P

b) Determinar la ecuación de la recta perpendicular. a r y s.

Para determinar la ecuación de la recta t ⊥ r y t ⊥ s necesitamos el punto P = r ∩ s y el vector director − → u t = − → u s × − → u s Escribimos las ecuaciones en paramétricas.

r ≡



 

 

x = 1 + λ y = 2 + λ z = 1 + 2λ

r ≡



 

 

x = 3 − 2τ y = 3 − τ z = −1 + 2τ

⇒



 

 

3 − 2τ = 1 + λ 3 − τ = 2 + λ

−1 + 2τ = 1 + 2λ

⇒ λ = 0 τ = 1

P (1, 2, 1)

−

→ u t = − → u s × − → u s =       

−

→ i − → j − →

k

1 1 2

−2 −1 2

= 4 − → i − 6 − →

j + − → k

t ≡ x − 1

4 = y − 2

−6 = z − 1 1 Solución: P (1, 2, 1); ^x−1 ₄ = ^y−2 ₋₆ = ^z−1 ₁

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y es perpendicular al plano que pasa por dicho punto y contiene a la recta:

r ≡ x − 1 2 = y

3 = z + 1 2

Hallamos la ecuación del plano π que contiene a la recta r y al punto P (1, 2, 1) por tanto el plano π queda determinado por el punto P los vectores − → u r y −−→

P P r

P P r = (1, 0, −1) − (1, 2, 1) = (0, −2, −2) π ≡       

x − 1 y − 2 z − 1

2 3 2

0 −2 −2

= 0 − 2 x + 4 y − 4 z − 2 = 0

Dividimos la ecuación por -2

π ≡ x − 2 y + 2 z + 1 = 0

La recta s queda determinada por el vector u s = n π = (1, −2, 2) y el punto P (1, 2, 1)

s ≡ x − 1

1 = y − 2

−2 = z − 1

2

Solución: ^x−1 ₁ = ^y−2 ₋₂ = ^z−1 ₂

7.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2, −1), es paralela al plano 2x + y − z = 3 y es perpendicular a la recta:



 

 

x = 3 − t y = 2 + t z = 1 + 3t

Para hallar esta recta necesitamos un vector director y un punto. LLamamos r a la recta y π al plano

r ≡



 

 

x = 3 − t y = 2 + t z = 1 + 3t

π ≡ 2x + y − z = 3

Sea s la recta que estamos buscando. La recta s cumple: s ⊥ π y s ⊥ r el vector director − → u _s ⊥ − → u _r y

−

→ u s ⊥ − → n π por tanto

−

→ u s = − → u r × − → n π =       

−

→ i − → j − →

k

2 1 −1

−1 1 3

= 4i − 5j + 3k

Solución:

x − 1

4 = y − 2

−5 = z + 1 3

8.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (−1, 1, 0) y cuya dirección es perpendicular a la de las rectas:

r ≡

( y = 0

x = z ; s ≡

( x + 3y = 2 y − z = 1 Escribimos las rectas en paramétricas

r ≡



 

  x = λ y = 0 z = λ

s ≡

( x = 2 − 3y

z = y − 1 ⇒ s ≡



 

 

x = 2 − 3λ y = λ z = −1 + λ

La recta solución t es igual a una recta cuya dirección es perpendicular a r y s por tanto − → u t ⊥ − → u r

y− → u t ⊥ u s

u t = u r × u s =       

−

→ i − → j − →

k

1 0 1

−3 1 1

= − − → i − 4 − →

j + − → k

Solución:

x + 1

−1 = y − 1

−4 = z

9.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 0, 0) y es perpendicular al plano 2x+3y+z−7 = 0.

La solución es inmediata la recta r tiene como vector director u r = n π = (2, 3, 1) Solución:

x 2 = y

3 = z 1

10.- Calcular la ecuación del plano (o planos) que contienen al eje OX y distan 6 unidades del punto (0, 10, 0) .

OX ≡

( y = 0

z = 0

La ecuación del plano que buscamos es una combinación de las ecuaciones de los planos y = 0 y z = 0 por tanto

π ≡ αy + βz = 0 Dividimos toda la ecuación por el parámetro α

y + β α z = 0 Tomamos γ = β

α por tanto

y + γz = 0 d(P, π) = |10|

p 1 + γ ² = 6 ⇒ 10 = 6 p

1 + γ ² ⇒ 100 = 36(1+γ ² ) ⇒ 25 = 9(1+γ ² ) ⇒ 25 = 9+9γ ² ⇒ γ = ± 4 3 La solución dos planos

π 1 ≡ 3y + 4z = 0 π 2 ≡ 3y − 4z = 0 . Solución: Dos planos: 3y + 4z = 0, 3y − 4z = 0.

11.- Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta:

x − 2

2 = y − 1

3 = z − 4

−1 y que corta al eje X en el punto de abscisa 3.

r ≡ x − 2

2 = y − 1

3 = z − 4

−1 ⇒ − → u r (2, 3, −1) P r (2, 1, 4) P = π ∩ OX = (3, 0, 0)

π es perpendicular al vector − → u r (2, 3, −1) y pasa por el punto P (3, 0, 0) π ≡ 2x + 3y − z + D = 0

Sustituimos el punto P

6 + D = 0 ⇒ D = −6 π ≡ 2x + 3y − z − 6 = 0

12.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 0, 0) y es perpendicular al plano 2x+3y+z−7 = 0.

La recta que buscamos tiene como vector director − → u r = − → n π = (2, 3, 1) Solución: r ≡ x

2 = y 3 = z

1

13.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta:

x − 1

2 = 1 − y

3 = z + 1

−1 ⇒ x − 1

2 = y − 1

−3 = z + 1

−1

y perpendicular al plano x − y + z = 0. Hallamos el plano π ⁰ con el punto P r (1, 1, −1) , u r (2, −3, −1) y n π = (1, −1, 1)

π ⁰ ≡       

x − 1 y − 1 z + 1

2 −3 −1

1 −1 1

= 0

π ⁰ ≡ −4x − 3y + z + 8 = 0

Solución: 4x + 3y − z − 8 = 0.

14.- Sea el punto A(1, 1, 3) y la recta:

r ≡



 

  x = t y = 2 + t z = 2t Hallar:

a) Ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.

u _r (1, 1, 2) ⊥ π por tanto

x + y + 2z + D = 0 ⇒ 1 + 1 + 2 · 3 + D = 0 ⇒ D = −8 ⇒ π ≡ x + y + 2z − 8 = 0 b) La intersección de este plano con r.

R = r ∩ π = (t, 2 + t, 2t)

t + 2 + t + 4t − 8 = 0 ⇒ 6t − 6 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ R(1, 3, 2) c) La distancia de A a r.

d(A, r) = d(A, R) = p

(1 − 1) ² + (3 − 1) ² + (2 − 3) ² = √

4 + 1 = √ 5 Solución: x + y + 2z − 8 = 0; (1, 3, 2); √

5 .

15.- Dada la recta:

r ≡ x + 1

1 = y − 2

1 = z − 3 4 y el punto P (1, 2, 1), calcular:

a) Las ecuaciones de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. Buscamos un punto R(−1 + λ, 2 + λ, 3 + 4λ) ∈ r tal que −→

P R ⊥ − → u _r ⇔ −→

P R · − → u _r = 0

−→ P R = (−1 + λ, 2 + λ, 3 + 4λ) − (1, 2, 1) = (−2 + λ, λ, 2 + 4λ)

−→ P R·− → u r = 0 ⇒ (−2+λ, λ, 2+4λ)·(1, 1, 4) = 0 ⇒ −2+λ+λ+8+16λ = 0 ⇒ 6+18λ = 0 ⇒ λ = − 1 3 El vector director de la recta s

−

→ u s = −→

P R =



−2 − 1 3 , − 1

3 , 2 − 4 3



=



− 7 3 , − 1

3 , 2 3



Tomamos como vector director − → u s (7, 1, −2) por tanto s ≡ x − 1

7 = y − 2

1 = z − 1

−2

b) El punto de intersección de r y s. Escribimos las ecuaciones en paramétricas de las dos rectas r y s :

r ≡



 

 

x = −1 + λ y = 2 + λ z = 3 + 4λ

s ≡



 

 

x = 1 + 7τ y = 2 + τ z = 1 − 2τ



 

 

1 + 7τ = −1 + λ 2 + τ = 2 + λ 1 − 2τ = 3 + 4λ

⇒

( 1 + 7τ = −1 + τ

τ = λ ⇒ λ = τ = − 1 3 Por tanto el punto de corte es igual

Q



−1 − 1 3 , 2 − 1

3 , 3 − 4 3



=



− 4 3 , 5

3 , 5 3



c) Las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.

Q = P + P ⁰

2 ⇒



− 4 3 , 5

3 , 5 3



= (x, y, z) + (1, 2, 1) 2



 

 

 

 

 

 

 

 

 

  x + 1

2 = − 4 3 y + 2

2 = 5 3 z + 1

2 = 5 3

⇒



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1 = − 8 3 y + 2 = 10 3 z + 1 = 10

3 P ⁰



− 11 3 , 4

3 , 7 3



Solución:

x−1

−7 = ^y−2 ₋₁ = ^z−1 ₂ . (− ⁴ ₃ , ⁵ ₃ , ⁵ ₃ ) . (− ¹¹ ₃ , ⁴ ₃ , ⁷ ₃ ) .

16.- Hallar sobre la recta: (

3x − 2y − 11 = 0 2x − y − z − 5 = 0

un punto P equidistante de los puntos P 1 (0, 1, 1) y P 2 (1, 2, 1) . Pasamos la recta r ≡

( 3x − 2y − 11 = 0 2x − y − z − 5 = 0 a paramétricas

( 3x − 2y − 11 = 0 2x − y − z − 5 = 0 ⇒

( 3x − 2y = 11

2x − y = z + 5 ⇒ −x = −2z + 1 ⇒ x = −1 + 2λ 2(−1 + 2λ) − y = λ + 5 ⇒ −2 + 4λ − y = λ + 5 ⇒ −2 + 4λ − λ − 5 = y ⇒ −7 + 3λ = y

r ≡



 

 

x = −1 + 2λ y = −7 + 3λ

z = λ

P (−1 + 2λ, −7 + 3λ, λ) ⇒ d(P ₁ , P ) = d(P ₂ , P ) p (2λ − 1) ² + (−7 + 3λ − 1) ² + (λ − 1) ² = p

(2λ − 1 − 1) ² + (−7 + 3λ − 2) ² + (λ − 1) ² (2λ − 1) ² + (3λ − 8) ² +

 (λ − 1)   ² = 2λ − 2) ² + (3λ − 9) ² +

 (λ − 1)   ²

 4λ  ² − 4λ + 1 +  9λ  ² − 48λ + 64 =  4λ  ² − 8λ + 4 +  9λ  ² − 54λ + 81

−52λ + 65 = −62λ + 85 ⇒ 62λ − 52λ = 85 − 65 ⇒ 10λ = 20 ⇒ λ = 2 Solución: P (3, −1, 2).

17.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P 1 (2, 1, −3) y P 2 (4, 2, 1) y es perpendicular al plano de ecuación:

2x − y − z + 3 = 0

El plano π es paralelo a los vectores P ₁ P ₂ = (4, 2, 1) − (2, 1, −3) = (2, 1, 4) y − n _π = (2, −1, −1) y pasa por el punto P 1 (2, 1, −3)

π ⁰ ≡       

x − 2 y − 1 z + 3

2 1 4

2 −1 −1

= 0 π ⁰ ≡ 3x + 10y − 4z − 28 = 0

Solución: 3x + 10y − 4z − 28 = 0.

18.- Se consideran los puntos A(2, −1, −2) y B(−1, −1, 2).

Encontrar un punto C sobre la recta r de ecuaciones

r ≡ x − 1

1 = y − 1

−1 = z − 1 2 de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C.

r ≡



 

 

x = 1 + λ y = 1 − λ z = 1 + 2λ Sea C(1 + λ, 1 − λ, 1 + 2λ) tal que −→

CA · − − → CB = 0

−→ CA = (2, −1, −2) − (1 + λ, 1 − λ, 1 + 2λ) = (1 − λ, −2 + λ, −3 − 2λ)

− − →

CB = (−1, −1, 2) − (1 + λ, 1 − λ, 1 + 2λ) = (−2 − λ, −2 + λ, 1 − 2λ) (1 − λ, −2 + λ, −3 − 2λ) · (−2 − λ, −2 + λ, 1 − 2λ) = 0

−2 + 2λ − λ + λ ² + λ ² − 4λ + 4 − 3 + 6λ − 2λ + 4λ ² = 0 6λ ² + λ − 1 = 0 ⇒ λ = −1 ± √

1 + 24

12 = −1 ± √

25

12 = −1 ± 5

12 ⇒ λ 1 = − 1

2 λ ₂ = 1 3 C 1

 1 + 1

3 , 1 − 1 3 , 1 + 2

3



=  4 3 , 2

3 , 5 3



C 2 =

 1 − 1

2 , 1 + 1 2 , 1 − 2

0



=  1 2 , 3

2 , 0



Solución: Dos soluciones para C que son C 1 4 3 , ² ₃ , ⁵ ₃

, C 2 1 2 , ³ ₂ , 0

.

19.- Se considera el punto P (−1, 2, 1).

a) Determinar un punto Q del plano π ≡ −3x + y + z + 5 = 0 de forma que el vector P Q sea perpendicular al plano π.

Hallamos una una recta r perpendicular al plano π y que pase por P

r ≡



 

 

x = −1 − 3λ y = 2 + λ z = 1 + λ

Q = π ∩ r ⇒ −3(−1 − 3λ) + 2 + λ + 1 + λ + 5 = 0 ⇒ 3 + 9λ + 2 + λ + 1 + λ + 5 11 + 11λ = 0 ⇒ λ = −1

Q(−1 + 3, 2 − 1, 1 − 1) = (2, 1, 0)

b) Determinar un punto M de la recta r ≡ x − 2

−1 = y + 1

1 = z − 10

−1 de forma que el vector MP sea paralelo al plano π.

r ≡



 

 

x = 2 − λ y = −1 + λ

z = 10 − λ

⇒ M (2 + λ, −1 + λ, 10 − λ)

Para que el vector −−→

M P sea paralelo a al plano π se debe cumplir

−−→ M P ⊥ − → n π ⇔ −−→

M P · − → n π = 0

M = (2 − λ, −1 + λ, 10 − λ) −−→

M P = (−1, 2, 1) − (2 − λ, −1 + λ, 10 − λ) = (−3 + λ, 3 − λ, −9 + λ)

−−→ M P · − → n _π = 0 ⇒ (−3 + λ, 3 − λ, −9 + λ) · (−3, 1, 1) = 0 ⇒ 9 − 3λ + 3 − λ − 9 + λ = 0 ⇒ λ = 1

M = (2 − 1, −1 + 1, 10 − 1) = (1, 0, 9) c) Calcular el área del triángulo MP Q.

S(M P Q) = 1 2 | −−→

P M × − − → P Q|

P Q = (2, 1, 0) − (−1, 2, 1) = (3, −1, −1) P M = (1, 0, 9) − (−1, 2, 1) = (2, −2, 8)

−−→ P M × − − → P Q =

−

→ i − → j − →

k

3 −1 −1

2 −2 8

= −10 − → i − 26 − →

j − 4 − → k

S(M P Q) = 1 2 | −−→

P M × − − → P Q| = 1

2

√ 100 + 676 + 16 = 1 2

√ 792 =

√

2 ³ · 3 ² · 11

2 = 3 √

22 Solución: Q(2, 1, 0), M(1, 0, 9), Supercie = 3 √

22 .