Modelado de flujo en redes
Jhon Jairo Padilla A., PhD.
Conceptos básicos
Demanda o volumen de Demanda:
Es el tráfico que están requiriendo los usuarios de una red.
Para transportar el volumen de demanda entre dos nodos de una red, se requieren uno o más caminos para transportarlo
Flujo:
Es el volumen de demanda que es transportado por un camino específico
También se conoce como: Flujo de camino, volumen de demanda que fluye en un camino ó volumen de demanda de enrutamiento en un camino
Conceptos básicos
Camino (path):
Es una de las rutas posibles entre dos nodos finales
Flujo de enlace:
Es la cantidad de flujo en un enlace sin importar para cuál de los nodos finales es el volumen de demanda.
Flujo en redes TCP/IP:
Se refiere a todos los paquetes que pertenecen a una misma comunicación, identificada por la quíntupla (dir orig, dir dest, pto orig, pto dest, identif protocolo)
En el modelado de flujo en redes le llamaremos microflujo, para diferenciarlo del concepto general de flujo.
Conceptos básicos
Red Capacitada:
Una red podría no transportar la demanda de tráfico, debido a limitaciones en sus recursos
Una red que puede transportar toda la demanda de tráfico es una red capacitada
Tradicionalmente, la ingeniería de tráfico analiza cómo
transportar el flujo de demanda sobre una red capacitada
Conceptos básicos
Red direccional:
Sus enlaces, y por tanto los flujos, son unidireccionales
Red no Direccional:
Los enlaces y los flujos son bidireccionales
Ejemplos:
Red IP basada en OSPF es direccional
Red Telefónica es bidireccional: Los enlaces pueden ser usados en ambos sentidos por parte de los nodos extremos.
Aquí, suponemos enlaces bidireccionales para simplificar los modelos (para tres nodos se usarían 3 enlaces
bidireccionales o 6 enlaces unidireccionales)
Conceptos básicos
Par de nodos ó Par de demanda:
Es un par de nodos que demandan tráfico y están comunicándose entre sí.
Par de nodos i:j
En una red direccional, i es el origen o fuente y j el destino o sumidero
Para una red direccional, el orden es intercambiable, aunque suele escribirse primero el nodo con menor identificación
Enlace i-j: interconecta directamente los nodos i y j. Es bidireccional.
i j: enlace direccional, con i como origen y j como
destino.
Conceptos básicos
Unidad de costo de flujo (en un enlace)
Unidad de Costo de enlace (para un flujo)
Ambos se refieren al volumen de demanda
No confundir con los costos de los algoritmos de
enrutamiento (costo de enlace, costo distancia)
Flujo en red para una o varias demandas
Single-Commodity:
Es el término usado para cuando hay una sola demanda (sólo un par de usuarios)
Mulit-commodity:
Es el término usado para cuando hay múltiples demandas, es decir, una red con múltiples comunicaciones simultáneas entre diferentes usuarios finales.
Hay múltiples pares de demanda.
Modelado de flujo en red Single-
Commodity
Ejemplo
Se requiere llevar un
volumen de demanda de 5 unidades entre los
nodos 1 y 2.
Se asume que el
volumen de demanda es un número
determinístico.
Todos los enlaces son bidireccionales y tienen una capacidad de 10
unidades cada uno.
Ejemplo
El enlace 1-2 puede acomodar fácilmente las 5 unidades de volumen de demanda ya que el enlace tiene una capacidad de 10 unidades.
Tan pronto como el volumen de demanda llegue a ser mayor que 10 unidades es claro que el camino del enlace directo no puede llevar todo el volumen de demanda entre los nodos 1 y 2.
En otras palabras cualquier cantidad en exceso a 10
unidades necesitaría ser llevada sobre el segundo camino 1-3-2.
Ejemplo: Observaciones
Se supuso que se estaba utilizando enrutamiento del camino más corto basado en el número de saltos
El límite de la capacidad de un enlace es muy importante
Se asumió que el camino
directo era menos costoso que en camino alterno 1-3-2
Si el camino menos costoso fuera el 1-3-2, entonces la situación habría sido al contrario (camino elegido
hasta cumplir la capacidad: 1-3- 2)
CONCLUSIONES:
La decisión de enrutamiento depende del algoritmo de
enrutamiento y no del número de saltos solamente.
Necesitamos una manera genérica para representar el problema para que diversas situaciones puedan abordarse en una red capacitada, a fin de encontrar la mejor
solución
.
Enrutamiento de Costo Mínimo
Descripción Formal y objetivo de
enrutamiento de costo mínimo: restricciones
Se asume que la capacidad de cada enlace es c y que el volumen de demanda para el par 1:2 es denotado por h
.
El volumen de demanda para el par 1:2 puede ser dividido entre el enlace directo 1-2 y los dos enlaces 1-3-2
.
Entonces sea x la cantidad de volumen de demanda a ser enrutado en cada camino, entonces:
Este requerimiento es conocido como restricción de flujo de demanda o simplemente restricción de demanda.
Descripción Formal y objetivo de
enrutamiento de costo mínimo: restricciones
Las variables no pueden tomar valores negativos. Teniendo en cuenta que un camino no puede llevar demanda negativa, el más bajo costo es cero.
Cualquier flujo sobre un camino debido a enrutamiento no puede
exceder la capacidad sobre cualquier enlace que su camino usa. Entonces:
Las ecuaciones anteriores son referidas como las restricciones del problema.
Restricción de capacidad
Descripción Formal y objetivo de
enrutamiento de costo mínimo: Objetivo
Aun cuando las restricciones son conocidas, el problema entero no es completo ya que no está identificado aún la meta del problema.
Si no se define la meta del problema, el sistema tiene un número infinito de soluciones ya que una combinación infinita de valores que satisfagan las ecuaciones anteriores pueden ser asignadas a X
12y X
132.
Como la primera meta, se considera el costo de flujo de
enrutamiento. Es así que se introduce un costo no negativo
genérico por unidad de flujo en cada camino:
Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo
El costo total es referido como la función objetivo y es denotada por F. Si la meta es minimizar el costo de enrutamiento, se puede escribir el problema completo como:
El anterior es un Problema de flujo de red de comodidad única y también es conocido como problema de programación lineal.
Esta representación dada en las anteriores ecuaciones es referida como Formulación de un problema de optimización.
Este problema también es conocido como Problema de flujo de red de costo mínimo o enrutamiento de costo mínimo.
Una solución óptima para un problema de optimización es la que satisfaga las restricciones del problema (solución factible).
Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo
Situación 1:
Considere una de 10, c=10.
Si el costo unitario se basa en un flujo por unidad de enlace, entonces claramente se pueden escribir como componentes de costo ξ12 = 1 (ya que es una ruta de enlaces directos) y ξ132 = 2 (debido a dos enlaces conformando un camino).
En este caso los flujos óptimos se pueden escribir como:
Si h>20, es claro que la red no tiene suficiente capacidad para llevar toda la demanda de volumen, esto es conocido como una situación no factible y ese caso, el problema es considerado como no factible.
Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo
Situación 2:
Considere un caso alternativo donde el costo por unidad sobre un camino alternativo es 1 mientras sobre el camino directo es 2:
En este caso, el flujo óptimo puede ser escrito como:
Resolviendo el problema de flujo de red de comodidad única:
Cuando el volumen de demanda es menor que la capacidad de un enlace h<=c. Con dos variables desconocidas se puede resolver por sustitución, estableciendo:
Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo
Note que el ultimo término ( ξ
132h ) permanece constante para un situación específica del problema
Por tanto, se considera necesaria la minimización del resto de la expresión:
Sujeto a las restricciones apropiadas.
Si ε12<ε132, entonces el problema está en mínimo cuando x*12=h;
Si ε12>ε132 , el mínimo es observado cuando x*12=0.
Si ε12=ε132, entonces x12 puede tomar cualquier valor en el rango [0,h]
Por tanto, el problema tiene múltiple soluciones óptimas.
Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo
•
Considere ahora el caso en el cual el volumen de demanda, h, es mayor que c pero el problema es aún factible.
•
Por ejemplo, h>c, pero h<=2c:
• En este caso, se necesita tomar los limites apropiadamente
• Si ε12<ε132, luego x*12=min{h,c}
• Si ε12>ε132, luego el mínimo es observado cuando x*12=max{0,h-c}.
Para valores de h que van desde 0 a 2c, se puede ver que
flujos óptimos son como ya se ha identificado en la
situación 1 y la situación 2 correspondientes a ε
12<ε
132y
ε
12>ε
132respectivamente.
Balanceo de Carga
Meta: Minimización de utilización máxima del enlace
Esta meta también es conocida como Balanceo de carga de flujos en la red.
La utilización del enlace está definida como la cantidad de flujo sobre un enlace dividida por la capacidad del enlace.
La utilización máxima sobre todos los enlaces, significa el máximo sobre estas dos expresiones:
Variación en objetivo: Balanceo de Carga.
Para el equilibrio de carga, se recogen los valores de las variables de tal manera que la máxima utilización de los enlaces está en un mínimo.
Para ilustrar el significado de utilización máxima del enlace, considere c=10 y h=5. Si todo el volumen de demanda es enrutado sobre el enlace 1-2, luego
x
12=5 yx
132=0; el máximo de la utilización del enlace es:max{5/10, 0/10}=1/2.
Sin embargo si se fuera a enrutar una unidad de volumen de demanda sobre el camino alterno 1-3-2, por ejemplo:
x
132=1 mientras se guarda el resto en el enlace directox
12=4. Entonces la máxima utilización del enlace es:max{4/10,1/10}=2/5. Este valor de utilización es más bajo que si todo el volumen de demanda fuera enrutado por el enlace directo.
Variación en objetivo: Balanceo de Carga.
Note que el máximo en el objetivo es sobre dos términos, por tanto el mínimo puede ser alcanzado si estos términos son iguales:
Las incógnitas están relacionadas por:
Substituyendo X*132 se obtiene:
Se puede observar que cuando el balanceo de carga de flujos es la meta principal, la solución optima, es partir por partes iguales los flujos sobre ambos caminos. Este resultado es verdad mientras el volumen de demanda h< 2c. El problema llega a ser no factible cuando h>2c.
Balanceo de Carga: Capacidades diferentes
Considere una simple variación en el cual la capacidad de los enlaces en la red no es la misma.
Para considerar este caso, se mantiene la capacidad del enlace 1-2 igual a c, pero se incrementa la capacidad de los otros dos enlaces a 10 veces el enlace 1-2 por ejemplo a 10c. La utilización del enlace 1-3 y 3-2 es ahora
x
132/10c, y la formulación cambia a:Balance óptimo cuando:
Balanceo de Carga: Capacidades diferentes
Esto esencialmente dice que el balanceo de cargas sobre una red con capacidad no uniforme resulta en la utilización siendo balanceada, pero no los flujos necesariamente.
Considere la capacidad del enlace 1-2 a ser 10Mbps y la
capacidad de los otros enlaces 100Mbps; sería preferible
enviar más tráfico al enlace con capacidad mayor.
Enrutamiento con retardo mínimo
Retardo promedio en un sistema de un único enlace.
Se asume que la llegada de paquetes a un enlace de red sigue un proceso Poisson con tasa de llegada promedio λ paquetes por segundo. La tasa de servicio de paquetes por un enlace es asumido como μ paquetes por segundo. Se considera el caso en el cual la tasa de llegada promedio es más baja que la tasa de servicio promedio, λ<μ; de otra manera se tendría una situación de sobreflujo.
k: tamaño promedio de paquete; h: tasa de llegada en Mbps
Objetivo: Retardo Promedio.
Se considera de nuevo la red de tres nodos con volumen de demanda h entre nodo y nodo 2, la capacidad de todos los enlaces es fijada a c.
El retardo promedio en una red con flujo
x
12 sobre el camino de enlace directo yx
132 sobre un camino alternativo puede ser capturado a través de la expresión:La fórmula del retardo es tomada, teniendo en cuenta que cada enlace se comporta como una cola M/M/1.
Variación en objetivo: Retardo Promedio.
• La capacidad es normalizada, por lo que las unidades de medida para flujo y capacidad son la misma. La meta de minimización de retardo promedio es resolver el siguiente problema:
Consideraciones:
- La función objetivo no está definida para
x
12=c óx
132=c.- Y el problema tiene significado solamente cuando
x
12< c yx
132< c.- Se desea limitar el flujo sobre un enlace mediante una cantidad pequeña, donde
x
12 ≤ c – ε yx
132 ≤ c – ε.Variación en objetivo: Retardo Promedio.
Para resolver el problema anterior teniendo en cuenta la restricción del flujo h, se puede obtener la función objetivo:
Esta es una función no lineal que se desea minimizar.
Se puede usar calculo para resolver este problema. Primero se deriva la expresión F con respecto a
x
12 y sefija el resultado a cero y se resuelve la ecuación para encontrar la solución de
x
12. Se puede hacer la prueba de la segunda derivada a esta solución para verificar que es un mínimo y no un máximo.
En este caso la primera derivada da una ecuación cuadrática lo cual significa que se obtienen dos soluciones.
Sin embargo solamente una solución es relevante conociendo que
x
12 debe ser > 0, y además que,x
12debe ser menor o igual que h.
Variación en objetivo: Retardo Promedio
La solución es:
Si la demanda de volumen es baja, la solución óptima enruta
todo el flujo sobre el camino de enlace directo, pero
cuando la demanda crece, es óptimo fluir algo del valor
sobre el segundo camino.
Flujo en el enlace directo para diferentes objetivos
Conclusiones:
La función objetivo, cambia el comportamiento de la
cantidad de flujo sobre el enlace directo
En las regiones de baja carga y cuando se está llegando al
máximo de capacidad, las diferencias en el flujo no son considerables.
En la región media sí es
considerable la diferencia en el comportamiento del flujo según sea el objetivo de
optimización
Importa el valor de c y de h.
Modelado de Flujo en red Multi-
commodity
Multi-commodity Network Flow
Ocurre cuando una red tiene múltiples flujos entre diferentes pares de nodos.
Para la optimización, se persiguen los mismos objetivos
que en el caso single-commodity
Caso de enrutamiento de mínimo costo.
- Suponga que se tiene una red de tres nodos como la de la figura. Los tres pares de demanda deben tener volúmenes de demanda positivos.
- Cada demanda se denota como
h
ij, donde i y j son los nodos extremos de la demanda.- Para cada par de demanda, el volumen de demanda puede ser acomodado usando dos caminos, uno es el camino directo y otro es el camino alterno usando el tercer nodo.
Caso de enrutamiento de mínimo costo.
La cantidad de flujo sobre cada camino es desconocido y va a ser determinada basada en un objetivo. El problema completo puede ser formulado así:
Hay enlaces que llevan los nodos de diferentes demandas. Estas demandas no pueden exceder la capacidad del enlace
Caso de enrutamiento de mínimo costo.
El problema es clasificado como programación lineal (LP) ya que todas las restricciones y la función objetivo son lineales.
Los problemas de LP pueden ser resueltos usado el bien conocido método simplex, y otros métodos tales como el método de punto interior. También algunos software como CPLEX.
En este tipo de problemas da como resultado valores reales
Algunos problemas tienen restricciones con variables que toman valores enteros, entonces el problema se denomina
“Problema de programación lineal Mixto” (variables enteras y reales) MILP.
Si todas las variables toman valores enteros se denomina
“Programa de programación lineal entera” ILP.
Caso de enrutamiento de mínimo costo.
Los problemas con restricciones enteras son en general más duros de resolver, consumen más tiempo.
Además un problema con restricciones enteras no puede ser resuelto por el método Simplex; se usan metodos
como Branch and Bound y Branch and cut.
Herramientas como CPLEX soportan este tipo de métodos. Para problemas con muchas restricciones y
variables, algunas veces los solvers no son efectivos, por
lo que se debe recurrir a algoritmos especializados.
Balanceo de Carga
También referido como “Minimización de la máxima utilización del enlace”.
y =Flujo total sobre un enlace.
h=Flujo enviado entre un par de nodos.
Balanceo de carga
Es importante notar que la máxima utilización del enlace es una cantidad entre 0 y 1, teniendo en cuenta que el flujo de enlace debería ser menor que la capacidad del respectivo enlace para un problema factible.
El problema no es un LP debido a que la función objetivo no es lineal, pero se puede decir que es una función lineal a
trozos.
Teniendo en cuenta que una función es convexa si para cada
dos puntos z1 y z2 en su dominio, y para un parámetro α en
0≤ α ≤1 se sostiene que:
Balanceo de Carga
Esto significa que la combinación convexa de la linea de segmento que conecta los valores de la función a f(z1) y f(z2) será mayor o igual que la función entre los puntos z1 y z2.
Se puede observar que la función objetivo es convexa, y
también se recalca que es una función lineal a trozos es
así que se puede escribir:
Balanceo de carga
Donde r es mayor o igual que cada uno de los componentes.
Debido a que la meta es minimizar, esto es equivalente a minimizar r sujeto a las restricciones.
Objetivo: Retardo promedio
Teniendo en cuenta colas M/M/1
Dado que la carga ofrecida total externa h12 + h13 + h23 es una constante, este factor puede ser ignorado en la función objetivo.
Retardo promedio
Consideraciones:
- La función objetivo no está definida cuando la carga sobre un enlace sea igual a la capacidad del enlace. Por tanto, en el desarrollo de un algoritmo para resolver esta formulación se puede restringir la capacidad por una cantidad pequeña ε. Ej:
- Es importante notar que la función objetivo es convexa cuando el flujo del enlace es menor que la capacidad.
- A diferencia de la máxima capacidad del enlace, esta función no es lineal a trozos, esta es altamente no lineal cuando la carga se aproxima a la capacidad.
Retardo promedio
Para resolver un problema de optimización no lineal se usan aproximaciones tales como el algoritmo de desviación de flujos.
Sin embargo, aquí se describe una aproximación que considera una aproximación lineal a trozos de la función objetivo.
Primero se considera que la función objetivo incluye la forma funcional:
Esta función, escalada por c, por ejemplo cf(y), puede ser
aproximada por la siguiente función lineal a trozos
complementando la función a varios puntos sobre la curva tales
como y/c=0,1/3,2/3 y así sucesivamente:.
Retardo promedio
Función de aproximación lineal a trozos de y/(c-y) (Cuando c=1).
La función aproximación puede también ser escrita como el máximo de cada una de las piezas lineales como sigue:
Retardo promedio
Recordando la aproximación para transformar la
minimización de una función máxima, se tiene:
Retardo promedio
Considerando la función original, el objetivo de la función tiene tres partes, una por cada enlace, y cada uno de la misma forma.
Es así que por cada parte se puede usar la aproximación lineal a trozos. La formulación queda:
Esta formulación uede usar CPLEX para ser resuelta
Formulación general de un problema de
flujo de red multi-commodity
Introducción
Ahora se describirá el problema de flujos multi- commodity en una red arbitraria.
Se requieren algunas notaciones útiles en el contexto.
Notación
Suponga una red con N nodos y L enlaces
Número de demandas posibles:
Red direccional:
Red bidireccional:
No todos los nodos son generadores ni destinos de tráfico, algunos son simplemente nodos de tránsito
Se agrega un índice a los flujos indicando a qué flujo
positivo pertenecen (no todos los pares de demanda
tienen flujos)
Ejemplo de la notación
Para sólo dos demandas entre 1y2 y entre 2 y 3 (K=2):
Para tres demandas (entre todos los pares posibles, K=3):
Notación
Los caminos candidatos pueden ser indexados con p:
P
kes el número máximo de caminos candidatos
Ejemplo:
Cada demanda tiene dos caminos candidatos
: variable de flujo para la demanda k y
el camino p
Las restricciones se podrán escribir como:
Formulación Link-path
Representación usada para indicar la relación entre los enlaces y los caminos.
Se utiliza debido a que no todos los pares de demanda
posibles tienen flujos de demanda.
Formulación General
Representa la sumatoria de todos los flujos de demanda que pasan por el enlace l, cuyo flujo total es l.
El flujo total por el enlace l debe ser menor o igual que la
capacidad del enlace (cl).
Formulación General enlace-camino.
Enrutamiento de menor costo
: es el costo del camino p para la demanda k
Formulación enlace camino.
Tamaño del problema
Red direccional con N nodos
Número de flujos de demanda:
Número de restricciones de demanda si todos los flujos son positivos:
Para L enlaces, habrá L restricciones de capacidad
: numero medio de caminos candidatos para la demanda k
Número de variables de flujo:
Observaciones importantes
Según la programación lineal, para que la formulación del
problema tenga solución, se requiere que haya K+L variables de flujo.
Para N=50 nodos, hay 200 enlaces y 1225 pares de demanda, se requieren 1.425 variables de flujo de las 12.250 posibles, para que haya una solución.
Aún si se duplicase el número de caminos candidatos de 10 a 20 (aumentaría las posibles variables a 24500) se mantendría el número mínimo de variables de flujo necesarias para que la
formulación del problema tenga solución
Observaciones
Es difícil definir cuáles son los caminos candidatos para obtener una solución óptima.
Esto se debe a la aleatoriedad del comportamiento de los usuarios de la red.
Deben elegirse algunos según estimativos y según las estadísticas de comportamiento de los usuarios.
Se sugiere que se tengan alrededor de 5 a 10 caminos
candidatos para cada par de demanda para obtener una
solución aproximada a la óptima.
Formulación enlace camino.
Balanceo de carga
La expresión siguiente captura el factor de máxima utilización delo enlace:
Se requieren K+L-1 variables, ya que la variable r completa las K+L variables requeridas para que la formulación tenga
solución.
Formulación Nodo Enlace.
Balanceo de Cargas
Para cualquier volumen de demanda, un nodo es: fuente o destino o un nodo intermediario
Cualquier flujo que entra para esta demanda a través de un enlace, debe ir a través de otro enlace para mantener la conservación de flujos.
Este tipo de formulación es descrita inherentemente para
una red direccionada (enlaces direccionados)
Formulación Nodo Enlace.
Balanceo de Cargas
Formulación Nodo Enlace.
Balanceo de Cargas
Problema de flujo no particionable.
En muchas instancias no se permite que el volumen de demanda entre un origen y un destino sea repartido en múltiples caminos.
Desde el punto de vista de modelamiento se necesita seleccionar un solo camino entre un conjunto de caminos candidatos para un par demanda.
Por tanto, la decisión de escoger un camino es una decisión binaria. Es así que se asigna 0/1 a una variable de decisión Ukp, para el camino p por demanda para k.
Problema de flujo no particionable.
Para determinar el flujo sobre un enlace, se necesita primero identificar cual camino candidato está usando un enlace particular para un par de demanda particular.
